Construction de vecteurs

4
Construction
de vecteurs
Un ballon de basket a la forme d’une boule. Sa masse m est 600 grammes.
La force
P
ur
, appelée poids, est due à la pesanteur terrestre. On considère
qu’elle s’applique au centre du ballon.
Donner la droite d’action et le sens de la force –
P
ur
.
L’intensité de cette force est donnée par la relation P = 9,8m où P est en new-
tons et m en kilogrammes.
Calculer le poids P du ballon de basket, en newtons. –
Donner une représentation géométrique de
–
P
ur
à l’aide d’une flèche. Pren-
dre 1 cm pour représenter 2 newtons.
La mécanique est
un des domaines où
les vecteurs sont des
outils indispensables :
par exemple,
on représente
une force
par un vecteur.
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Est-ce que je sais… ?
Identifier un parallélogramme1.
Parmi les phrases suivantes, lesquelles sont vraies ?
Si les diagonales d’un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère a)
est un parallélogramme.
Si un quadrilatère a deux côtés opposés parallèles, alors c’est un parallélogramme.
b)
Si les diagonales d’un quadrilatère sont perpendiculaires, alors ce quadrilatère est c)
un parallélogramme.
Si un quadrilatère non croisé a deux côtés parallèles et égaux, alors ce d)
quadrilatère est un parallélogramme.
Distinguer direction et sens2.
On dit que deux droites parallèles ont la même direction.
Sur ce dessin, les droites d1 et d5 sont parallèles, ainsi que
les droites d3 et d4.
Combien de directions de droites a-t-on ?a)
Mb) est un point de d1. Combien de sens de déplacement
le point M a-t-il sur la droite d1 ?
Qu’est-ce qu’un vecteur ?
Le funiculaire qui monte ` a plat
À Valparaiso en Amérique du Sud, les
collines qui entourent la ville sont
desservies par de vieux funiculaires
colorés. Leur particularité est d’avoir une
cabine qui reste horizontale pendant les
montées et les descentes.
Ouvrir le fichier « 04_funiculaire.pdf » et
imprimer la page où sont schématisés
cette cabine et un des rails de roulement.
Lorsque le point A de la cabine se déplace en A¢, les autres points de la cabine se
déplacent dans la même direction, le même sens et de la même longueur. On note
B¢, C¢… les points obtenus.
En utilisant le quadrillage, placer les points
• B¢, C¢…
Relier le point • B au point B¢ par une flèche. Faire de même pour les autres couples
de points : C à C¢, D à D¢…
Dessiner en couleur la cabine du funiculaire en traçant les segments [
• A¢B¢], [B¢C¢]…
La flèche de A vers A¢ représente le vecteur
AA¢
uruuu
.
Le vecteur
AA¢
uruuuu
est caractérisé par :
– sa direction : celle de la pente, donc celle de la droite (xy) ;
– son sens : le sens de la montée, donc de A vers A¢ ;
– sa longueur ou norme : la distance de déplacement, donc la distance AA¢.
Activité
Qu’est-ce qu’un vecteur ?
Qu’est-ce qu’un vecteur ?
1
Vecteurs égaux
Cette activité est la suite du travail précédent.
Comparer les éléments caractéristiques (direction, sens, norme) des vecteurs a)
et .
Quelle est la nature du quadrilatère ABB¢A¢ ?
On dit que les vecteurs et sont égaux.
Donner deux autres vecteurs égaux au vecteur
b) .
Donner le vecteur d’origine E égal au vecteur .
Les vecteurs et sont-ils égaux ? Justifier.
On peut désigner les vecteurs égaux , , … par la même notation, par
exemple .
Somme de deux vecteurs
Un chien qui se mouille
Le chien Waterproof décide de traverser
la rivière à la nage.
La force du courant est représentée par
le vecteur et la force développée par
Waterproof en nageant est
représentée par le vecteur .
Ces deux forces s’ajoutent à chaque
instant. On veut déterminer
graphiquement leur somme qui est le
vecteur noté .
Ouvrir le fichier « 04_waterproof.ggb ».
Cliquer sur le bouton
a) en bas de l’écran pour que le logiciel construise la
somme pas à pas. Chaque clic montre une étape de la construction.
À l’aide du a., décrire cette méthode de construction du vecteur b) .
Déplacer l’extrémité du vecteur c) avec
la souris.
La méthode décrite est-elle valable pour
d’autres positions du vecteur ?
Au milieu de la rivière, Waterproof
d)
renonce à la traverser et décide de nager
dans le sens du courant, toujours avec la
même intensité.
Modifier en conséquence la position du vecteur
• à l’écran.
Observer ce qui se passe pour le vecteur • .
Mêmes questions si Waterproof décide de nager à contre-courant.e)
Activité
Activité
d3
d4d1
d5
d2
4 Construction de vecteurs
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Vecteurs égaux
Cette activité est la suite du travail précédent.
Comparer les éléments caractéristiques (direction, sens, norme) des vecteurs a)
AA′
uruuu
et
BB′
uruu
.
Quelle est la nature du quadrilatère ABB¢A¢ ?
On dit que les vecteurs
AA′
uruuu
et
BB′
uruuu
sont égaux.
Donner deux autres vecteurs égaux au vecteur b)
AA′
uruuu
.
Donner le vecteur d’origine E égal au vecteur
AA′
uruuu
.
Les vecteurs
CC′
uruuu
et
EE′
uruu
sont-ils égaux ? Justifier.
On peut désigner les vecteurs égaux
AA′
uruuu
,
BB′
uruu
,
CC′
uruuu
… par la même notation, par
exemple
u
ur
.
Somme de deux vecteurs
Un chien qui se mouille
Le chien Waterproof décide de traverser
la rivière à la nage.
La force du courant est représentée par
le vecteur
C
ur
et la force développée par
Waterproof en nageant est
représentée par le vecteur
W
uru
.
Ces deux forces s’ajoutent à chaque
instant. On veut déterminer
graphiquement leur somme qui est le
vecteur noté
CW
ur uru
+
.
Ouvrir le fichier « 04_waterproof.ggb ».
Cliquer sur le bouton a) en bas de l’écran pour que le logiciel construise la
somme
CW
ur uru
+
pas à pas. Chaque clic montre une étape de la construction.
À l’aide du a., décrire cette méthode de construction du vecteur b)
CW
ur uru
+
.
Déplacer l’extrémité du vecteur c)
W
uru
avec
la souris.
La méthode décrite est-elle valable pour
d’autres positions du vecteur
W
uru
?
Au milieu de la rivière, Waterproof d)
renonce à la traverser et décide de nager
dans le sens du courant, toujours avec la
même intensité.
Modifier en conséquence la position du vecteur
•
W
uru
à l’écran.
Observer ce qui se passe pour le vecteur •
CW
ur uru
+
.
Mêmes questions si Waterproof décide de nager à contre-courant.e)
Activité
Vecteurs égaux
2
Activité
Somme de deux vecteurs
Somme de deux vecteurs
3
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Multiplication d’un vecteur par un nombre
Le produit d’un vecteur
u
ur
par un nombre k est le vecteur noté k
u
ur
.
Par exemple, 1,5
u
ur
est un vecteur. On va le définir par ses trois éléments
caractéristiques : sa direction, son sens et sa norme.
Ouvrir le fichier « 04_multiplication.ggb ».
On a construit a)
AB u
uruu ur
et
CD u
uruu ur
15,
.
Comparer :
– la direction des vecteurs
AB
uruu
et
CD
uruu
,
– leur sens,
– leur norme.
Les longueurs affichées sont données au centième.
Déplacer un ou plusieurs des points b) A, B et C.
Les réponses à la question a. sont-elles modifiées ?
Changer le nombre
c) k : le sélectionner dans la partie gauche de l’écran et le faire
varier à l’aide des touches du pavé fléché ou des touches + et -.
Observer les modifications du vecteur
CD
uruu
.
Choisir d) k = - 0,8.
Comparer la direction, le sens et la norme des vecteurs
u
ur
et - 0,8
u
ur
.
Choisir e) k = - 1.
Les vecteurs
AB
uruu
et
CD
uruu
sont alors dits opposés.
Les vecteurs
AB
uruu
et
CD
uruu
ont-ils :
– même direction ?
– même sens ?
– même norme ?
Construire pour f) k = - 1, sur papier quadrillé ou à l’écran, le point E tel que
AE AB CD
uruu uruu uruu
+
.
Où est le point E ?
Quel vecteur particulier obtient-on
pour le vecteur
AE
uruu
?
Activité
Multiplication d’un vecteur par un nombre
4
Pour la
construction à
l’écran du point E,
taper sur la ligne Saisie,
en bas : E=A+u+v.
Définition d’un vecteur
Le vecteur est défini par ses trois éléments caractéristiques :
sa
• direction : celle de la droite (AB) ;
son
• sens : celui de son origine A vers son extrémité B ;
sa
• norme ou longueur : la distance de A à B, notée ou AB.
On représente un vecteur par une flèche.
Si l’extrémité B d’un vecteur est confondue avec son origine A, on a .
Un tel vecteur est le vecteur nul, noté .
Les caractéristiques du vecteur sont : direction
horizontale, sens vers la droite, norme 2,4.
Vecteurs égaux
Il existe une infinité de vecteurs égaux au vecteur : ce sont tous les vecteurs qui
ont même direction, même sens et même norme que .
On peut les désigner par une notation particulière, par exemple .
On dit que , , sont des représentants du
vecteur . Le vecteur est le représentant
d’origine C du vecteur .
Si , alors ABDC est un parallélogramme.
Si ABDC est un parallélogramme, alors .
Addition de deux vecteurs
Quels que soient les points A, B et C, on a .
C’est la relation de Chasles.
Pour appliquer cette relation, l’extrémité du premier vecteur
doit être égale à l’origine du deuxième.
4 Construction de vecteurs
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Définition d’un vecteur
Le vecteur
AB
uruu
est défini par ses trois éléments caractéristiques :
sa
• direction : celle de la droite (AB) ;
son
• sens : celui de son origine A vers son extrémité B ;
sa
• norme ou longueur : la distance de A à B, notée
AB
uruu
ou AB.
On représente un vecteur par une flèche.
Si l’extrémité B d’un vecteur est confondue avec son origine A, on a
AB
uruu
0
.
Un tel vecteur est le vecteur nul, noté
0
ur
.
Exemple
Les caractéristiques du vecteur
MS
uruu
sont : direction
horizontale, sens vers la droite, norme 2,4.
Vecteurs égaux
Il existe une infinité de vecteurs égaux au vecteur
AB
uruu
: ce sont tous les vecteurs qui
ont même direction, même sens et même norme que
AB
uruu
.
On peut les désigner par une notation particulière, par exemple
u
ur
.
Exemple
AB CD EF u
uruu uruu uruur
On dit que
AB
uruu
,
CD
uruu
,
EF
uru
sont des représentants du
vecteur
u
ur
. Le vecteur
CD
uruu
est le représentant
d’origine C du vecteur
u
ur
.
Si
AB CD
uruu uruu
, alors ABDC est un parallélogramme.
Si ABDC est un parallélogramme, alors
AB CD
uruu uruu
.
Addition de deux vecteurs
Quels que soient les points A, B et C, on a
AB +BC=AC
uruu uruu uruu
.
C’est la relation de Chasles.
Pour appliquer cette relation, l’extrémité du premier vecteur
doit être égale à l’origine du deuxième.
1
Vecteurs égaux
Vecteurs égaux
2
Addition de deux vecteurs
Addition de deux vecteurs
3
A
B
MS
A
B
C
D
E
F
u
ur
u
ur
u
ur
A
D
B
C
A
B
C
u
ur
v
u
r
u �
ur
v
ur
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