Espaces Vectoriels Normés et Topologie

Cycle Préparatoire Polytechnique 2ème année
Espaces Vectoriels Normés et Topologie
Polycopié de cours
Rédigé par Yannick Privat
Bureau 321 - Institut Élie Cartan Nancy (Mathématiques) - Université Henri Poincaré Nancy 1
B.P. 239, F-54506 Vandoeuvre-lès-Nancy Cedex.
e-mail : Yannick.Priv[email protected]nancy.fr

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Introduction
Ce cours présente les grands concepts à l’origine de la Topologie et de l’Analyse fonctionnelle.
L’étymologie du mot « topologie » est éloquente. En effet, en Grec, topos signifie lieu tandis que
logos signifie étude.
Ce domaine des Mathématiques s’intéresse donc à l’étude des lieux, appelés en général espaces et
aux propriétés qui les caractérisent. L’Analyse Fonctionnelle est très liée à la Topologie. En effet,
dans cete branche des Mathématiques, on s’intéresse plus précisément aux espaces de fonctions.
Un espace fonctionnel que vous connaissez probablement très bien est C([0,1]), l’espace des
fonctions continues sur le segment [0,1].
Pour vous donner un exemple assez concret, vous connaissez peut-être le résultat suivant : si fest
continue sur [0,1], alors il existe x0et x1, deux éléments de [0,1] qui, respectivement, maximise et
minimise fsur ce segment. Nous verrons qu’il existe un résultat bien plus général permettant de
démontrer l’existence de minima et maxima d’une fonction. On comprendra aisémnent l’intérêt
que cela présente dans le domaine de l’Optimisation par exemple. En Physique notamment, il
est courant que l’on cherche à maximiser ou minimiser une énergie.
Historiquement, c’est Leonhard Euler (1707-1783) qui a initié la Topologie. En 1736, il présenta
le problème des sept ponts de Königsberg. Kaliningrad (Königsberg jusqu’en 1946) est une ville
de Russie, située dans une enclave territoriale totalement isolée du territoire russe, (jusqu’en 1945
« Prusse orientale ») au bord de la mer Baltique, entre la Pologne et la Lituanie. L’histoire veut
que Léonhard Euler, en visite dans cette ville, ait eu à résoudre le problème qui préoccupait
fortement ces habitants :
« Est-il possible de trouver un circuit qui emprunte une fois et une seule chacun des sept ponts
de la ville ? »
La réponse, négative, fut trouvée par Léonhard Euler. Son intérêt principal réside dans le fait
que ce résultat ne dépend d’aucune mesure (aucune distance).
La Topologie a connu une avancée considérable à la fin du XIXème siècle et tout au long du
XXème siècle. Quelques grands noms de la Topologie sont :
•Henri Poincaré (1854-1912) ; (homotopie, cohomologie)
•David Hilbert (1862-1943) ; (bases de Hilbert, espaces de Hilbert)
•Maurice Fréchet (1878-1973) ; (convergence uniforme, convergence compacte, d’équiconti-
nuité)
•Stefan Banach (1892-1945) ; (fondateur de l’Analyse Fonctionnelle, espaces de Banach)
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Table des matières
1 Espaces vectoriels normés 1
1.1 Quelques rappels d’Algèbre linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Structure d’espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Quelques généralités sur les espaces vectoriels normés . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Quelques éléments sur les normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 Normes dans Rn................................ 7
1.2.3 Notions sur les ouverts et les fermés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.4 Intérieur et Adhérence d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Suites et continuité dans un e.v.n. 17
2.1 Convergence et continuité dans un e.v.n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.1 Suites et convergence dans un espace vectoriel normé . . . . . . . . . . . . 17
2.1.2 Notion de densité dans un espace vectoriel normé . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.3 Limite et continuité dans un espace vectoriel normé . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.4 Applications Lipschitziennes et uniforme continuité . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Notion de complétude dans un espace vectoriel normé . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.1 Suites de Cauchy dans un E.V.N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.2 Espaces complets et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.3 Le théorème du point fixe et ses applications . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3 Compacité dans un espace vectoriel normé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.2 Lien entre applications continues et uniformément continues . . . . . . . . 42
2.3.3 Notion de densité et approximations uniformes . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3.4 Propriété de Borel-Lebesgue et recouvrements . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4 Connexité dans les espaces vectoriels normés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.4.1 Connexité par arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
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