1 Ondes dans l`océan

Physique année 2016-2017
Corrigé du DS commun de physique n°5 - Ondes mécaniques
1 Ondes dans l’océan
1.1 Ondes de gravité en eaux peu profondes
1. Les ondes étudiées sont décrites par les fonctions vx(x,t)et z=Z(x,t); ce sont des fonctions des
variables xet t, donc elles se propagent selon la direction de l’axe Ox, dans le sens de Oxou dans le sens
opposé.
2. L’incompressibilité du fluide se traduit par div−→ v(M,t) = 0⇔∂vx
∂x+∂vz ∂z=0, donc ∂vz ∂z=−∂vx ∂xest
indépendant de z, ce qui donne, en intégrant par rapport à z:
vz(x,z,t) = −(z+h)∂vx
∂x
compte-tenu de la condition aux limites au fond (rigide, imperméable et fixe) : ∀x,∀t,vz(x,−h,t) = 0.
3. À partir de l’expression précédente, on constate que, en ordres de grandeur |vz| ≃ h|vx|
λ≪ |vx|,
puisque h≪λ(ondes de surface).
4. On suit une particule de fluide de la surface dans son mouvement, entre les instants tet t+dt. Sa
position à l’instant test (xp(t) = x,zp(t) = Z(x,t)) et sa position à l’instant t+dt est :
(xp(t+dt) = x+vx(x,t)dt,zp(t+dt) = Z(x+vx(x,t),t+dt)).
Par définition du champ de vitesse en surface :
vz(x, 0, t) = zp(t+dt)−zp(t)
dt =Z(x+vx(x,t),t+dt)−Z(x,t) dt =∂Z ∂t+vx(x,t)∂Z ∂x≃∂Z ∂t≃vz(x, 0, t)
dans l’approximation des ondes de petite amplitude, puisque vx(x,t)∂Z
∂xest du 2eordre.
5. On applique en z=0 la relation trouvée à la question 2, en remplaçant vz(x, 0, t)par ∂Z
∂t:
∂Z
∂t=−h∂vx ∂x(Équation 1)
6. On écrit l’équation d’Euler : µ∂−→
v
∂dt + (−→
v·grad)−→ v=−−−→ gradp −µg−→ ez≃µ∂−→
v
∂tdans l’approxima-
tion des ondes de petite amplitude, puisque (−→ v·grad)−→ vest du 2eordre.
7. Puisque vz(x,z,t)est du 2eordre, la projection verticale de l’équation d’Euler donne :
∂p
∂z=−µg⇒p(x,z,t) = −µg(z−Z(x,t))+p0
compte-tenu de la condition aux limites à la surface : ∀x,∀t,p(x,Z(t),t) = p0.
8. On utilise le champ de pression qui vient d’être déterminé :
µ∂vx
∂t=−∂p ∂x=−µg∂Z ∂x⇒∂vx ∂t=−g∂Z ∂x(Équation 2)
9. On élimine vxentre les deux équations :
∂2Z
∂t2=−h∂
∂t∂vx ∂x=−h∂ ∂x∂vx ∂t=−h∂ ∂x−g∂Z ∂x=hg ∂2Z
∂x2⇒∂2Z ∂x2−1
hg
∂2Z
∂t2=0 .
C’est une équation de D’Alembert; la célérité est c=hg ; la solution générale est :
Z(x,t) = f(x−ct) + g(x+ct),fet gétant des fonctions quelconques.
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ca la dimension d’une vitesse, c’est la vitesse de déplacement des plans d’ondes pour une onde pro-
gressive.
10. Z(x,t) = Z0cos(ωt−kx +φ),Z0étant l’amplitude de l’onde, ωla pulsation, −→ k=k−→ exle vecteur
d’onde, T=2π
ωla période, λ=2π
kla longueur d’onde, et φun déphasage qui dépend du choix de
l’origine des temps.
On injecte cette solution dans l’équation de propagation pour trouver la relation de dispersion :
−k2Z+ω2
c2Z=0⇒k2=ω2 c2(relation de dispersion).
Pour une onde se propageant dans le sens des xcroissants, k=ω
cet la vitesse de phase est :
vφ=ω
k=c=vφ.
La vitesse de phase étant indépendante de la fréquence, il n’y a pas dispersion. Toute onde plane pro-
gressive se propage alors à la vitesse csans se déformer; ce résultat est déjà contenu dans la forme
générale de l’équation de D’Alembert.
1.2 Ondes de gravité en eaux profondes
11. On calcule le rotationnel de l’équation d’Euler linéarisée :
∂
∂t−→
rot−→ v=−1
µ−→
rot −−→ gradp−−→ rot(g−→ ez) = −→ 0 ,
donc −→ rot−→ vest indépendant du temps; comme il s’agit d’une solution ondulatoire (moyenne temporelle
nulle), c’est donc que −→ rot−→ v=−→ 0 .
12. L’eau étant incompressible, div−→ v=0=div −−→ gradΦ=△Φ=∂2Φ
∂x2+∂2Φ ∂z2=0 (Équation 3).
13. Comme ∂
∂t−−→
gradΦ=−−→ grad ∂Φ
∂t, l’équation d’Euler peut s’écrire :
−−→
grad ∂Φ
∂t(x,z,t) + 1 µp(x,z,t) + gz=−→
0 ,
ce qui signifie que l’expression ∂Φ
∂t(x,z,t) + 1
µp(x,z,t) + gz =ϵ(t)ne dépend que du temps. Comme
Φ(x,z,t)est définie à une fonction du temps près (une fonction du temps ajoutée à Φn’a aucune in-
cidence sur le champ des vitesses), on peut choisir cette fonction du temps de sorte que ϵ(t) = 0. On
suppose donc par la suite que :
∀x,∀zdans le fluide, ∀t,∂Φ
∂t(x,z,t) + 1 µp(x,z,t) + gz =0
14. Comme le fond est rigide, imperméable et fixe, vz(x,−h,t) = 0=∂Φ
∂z(x,−h,t),∀x,∀t.
15. On applique la relation de la question 13 à la surface, puis on la dérive par rapport au temps :
∂Φ
∂t(x, 0, t) + p0 µ+gZ(x,t) = 0⇒∂2Φ
∂t2(x, 0, t) + p0
µ+g∂Z ∂t(x,t) = 0.
Comme ∂Z
∂t(x,t)≃vz(x, 0, t) = ∂Φ ∂z(x, 0, t),
∂2Φ
∂t2(x, 0, t) + g∂Φ
∂z(x, 0, t) = 0, ∀x,∀t(Équation 4).
16. On injecte Φ(x,z,t) = F(z)cos(ωt−kx)dans l’équation 3, d’où : F”(z)−k2F(z) = 0 .
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17. La solution générale de l’équation précédente est F(z) = Aekz +Be−kz, d’où F′(z) = kAekz −Be−kz.
Comme F′(−h) = 0, Ae−kh −Bekh =0, donc :
F(z) = Ae−kh ek(z+h)+e−k(z+h)=αcosh(k(z+h)) = F(z),
où αest une constante réelle.
Φ(x,z,t) = αcosh(k(z+h)) cos(ωt−kx), donc :
∂Z
∂t=∂Φ ∂z(x, 0, t) = αksinh(kh)cos(ωt−kx)⇒Z(x,t) = αk ωsinh(kh)sin(ωt−kx).
18. On injecte l’expression de Φ(x,z,t)dans l’équation 4 :
−ω2αcosh(kh)cos(ωt−kx) + gαksinh(kh)cos(ωt−kx) = 0⇒ω2=gk tanh(kh)(relation de dispersion).
19. La vitesse de phase est vφ=ω
k=gtanh(kh)
k=vφ; elle dépend de la longueur d’onde, donc de
la fréquence; le système est donc dispersif.
20. On se place dans le cas où h≫λ, alors tanh(kh)≃1.
a) La relation de dispersion devient ω=gk , la vitesse de phase est vφ=ω
k=g k=gλ
2π=g ω=vφ
et la vitesse de groupe vg=dω
dk =1
2g
k=gλ
8π=g 2ω=1 2vφ=vg.
b) On reprend la résolution de la question 17 dans le cas limite h→+∞:F(z) = Aekz car B→0, donc
Φ(x,z,t) = Aekz cos(ωt−kx).
c) Le champ des vitesses est donc :
vx=∂Φ
∂x=kAekz sin(ωt−kx)et vz=∂Φ ∂z=kAekz cos(ωt−kx),
d’où, pour une particule de fluide en mouvement au voisinage de (x0,z0):
˙
x=kAekz0sin(ωt−kx0)⇒x(t) = −k
ωAekz0cos(ωt−kx0) + x0
˙
z=kAekz0cos(ωt−kx0)⇒z(t) = −k
ωAekz0sin(ωt−kx0) + z0
d) Les particules de fluide décrivent donc des cercles centrés sur la position de repos, parcourus dans le
sens horaire, dont le rayon R=k
ωAekz0décroît exponentiellement lorsque la profondeur −z0croît.
21. Si h≪λ, la relation de dispersion devient ω2=gk2h, d’où la vitesse de phase vφ=gh indépen-
dante de la fréquence; le système est donc bien non dispersif, comme trouvé en section 1.
1.3 Application aux mouvements de l’océan
1.3.1 Cas d’une houle
22. Comme λ≪h, la houle au large correspond à la situation en eaux très profondes, donc
ω2=gk =g2π
λ=(2π)2
T2⇒T=2πλ
g
Application numérique : T=8 s .
23. Sauf pour les plus grandes houles, a≪λ, donc l’approximation linéaire est justifiée.
24. vφ=ω
k=g k=gλ
2π=vφ. Application numérique : vφ=13 m.s−1≃50 km/h .
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25. Lorsque l’onde s’approche des côtes, la condition d’eaux très profondes n’est plus vérifiée et
tanh(kh)<1; le résultat de la question 19 permet de prévoir l’évolution de la vitesse de phase : vφ=
gtanh(kh)
k<g k, ce qui montre que la vitesse diminue lorsque hdiminue.
Lorsque la profondeur devient très inférieure à la longueur d’onde, la vitesse est fixée par la profondeur
(résultat de la question 10).
26. Pour h=1 m, h≪λ, donc vφ=gh et λ=Tgh . Application numérique : vφ=3 m/s≃10 km/h
et λ=25 m .
1.3.2 Cas d’un tsunami
Dans le cas d’un tsunami, l’amplitude ades vagues en haute mer est de l’ordre du mètre et la longueur
d’onde de l’ordre de 500 km.
27. Dans le cas du tsunami, λ≫h, donc l’onde obéit à une équation de D’Alembert, avec c=gh,
donc λ=Tgh et T=λ
gh . Application numérique : T=2500 s≃40 min .
28. Comme a≪λ, l’approximation linéaire est justifiée.
29. c=gh =200 m/s≃700 km/h .
30. C’est la grande longueur d’onde et la grande période qui rendent difficile le repérage d’un tsunami,
même pour une hauteur de vague de l’ordre de a=1 m.
La surface étant décrite par Z(x,t) = acos(ωt−kx),
•∂Z
∂x=2πa
λsin(ωt−kx)), d’amplitude de l’ordre de 10 µm/m, ce qui n’est pratiquement pas déce-
lable,
•∂Z
∂t=2πa
Tsin(ωt−kx)), d’amplitude de l’ordre de 2, 5 mm/s qui est très difficile aussi à déceler
en pleine mer.
Le tsunami n’est donc pas facile à déceler avant son arrivée près des côtes, qu’il atteint à grande vitesse.
31. La puissance Ptransportée par l’onde peut être estimée pour un front de largeur Len ne tenant
compte que de l’énergie cinétique et en utilisant le fait que vxne dépend pas de zdans l’approximation
des eaux peu profondes :
Z(x,t) = acos(ωt−kx)⇒∂Z
∂t=−aωsin(ωt−kx)
D’où :
∂vx
∂x=−1 h
∂Z
∂t=a hωsin(ωt−kx)⇒vx=−a h
ω
kcos(ωt−kx)
P≃chLµ<v2
x>=1
2chL a2
h2
ω2
k2=1
2ghµhL a2
h2gh =β√ha2≃P,
où βest une constante ne dépendant pas de h. En négligeant les pertes d’énergie, on trouve que a2√h
se conserve au cours de la propagation, donc l’amplitude a′à la profondeur h′et reliée à l’amplitude en
pleine mer par : a′=ah
h′1/4. Avec h′=10 m, on trouve a′=25.
2 Analyse documentaire : les tuyaux d’orgue
32. r12 =2⇒r=21/12 =1, 0594631 .
33. Mi2 est 17 demi-tons en dessous de La3, donc fMi2=fLa32−17/12 =165 Hz ,
Do3 est 9 demi-tons en dessous de La3, donc fDo3=fLa2−9/12 =262 Hz ,
Do4 est 3 demi-tons au dessus de La3, donc fDo4=fLa323/12 =523 Hz ,
Mi4 est 7 demi-tons au dessus de La3, donc fMi4=fLa327/12 =659 Hz ,
et La4 est une octave au dessus de La3, donc fLa4=2fLa3=880 Hz .
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2.1 Étude des tuyaux de Bourdon et de Montre
34. À l’extrémité bouchée, la vitesse est nulle; la grandeur représentée sur le schéma est donc la vitesse
(ou le déplacement). À l’extrémité côté biseau est représenté un ventre de vitesse, ce qui correspond
à une extrémité ouverte, donc à un noeud de surpression. La longueur du tuyau correspond donc au
quart de longueur d’onde dans le mode fondamental, c’est-à-dire un demi-fuseau, qui est improprement
appelé "demi-onde" dans la légende de la figure.
35. Dans ces conditions, les modes propres ont une longueur d’onde λ2p+1qui vérifie L= (2p+1)λ2p+1
4,
donc λ2p+1=4L
2p+1=c
f2p+1, d’où f2p+1= (2p+1)c
4L. La fréquence du son produit par un tel tuyau
est celle du fondamental f1=c
4L. Son spectre en fréquence n’a que des composantes dont la fréquence
est un multiple impair du fondamental.
36. Pour qu’un tuyau de type Bourdon produise un Mi2, on doit choisir Ltel que fMi2=c
4L, donc
L=c
4fMi2. Application numérique : L=0, 52 m =1, 69 pied . C’est bien dans l’intervalle de valeurs
de longueurs de tuyaux donné dans le texte.
37. Dans le cas du tuyau à résonateur ouvert de type Montre, les conditions aux limites aux extrémités
du tuyau sont : surpression nulle aux deux extrémités. Les deux extrémités correspondent alors à des
ventres de vitesse. La longueur du tuyau correspond donc à une demi-longueur d’onde dans le mode
fondamental, c’est-à-dire un fuseau, qui est improprement appelé "onde entière" dans la légende de la
figure.
38. Dans ces conditions, les modes propres ont une longueur d’onde λnqui vérifie L=nλn
2, donc
λn=2L
n=c
fn, d’où fn=nc
2L. La fréquence du son produit par un tel tuyau est celle du fondamental
f1=c
2L(cette fréquence est le double de celle d’un tuyau de type Bourdon de même longueur). Son
spectre en fréquence contient a priori tous les multiples du fondamental; il est donc plus riche que celui
du Bourdon, ce qui se traduit par un timbre différent.
39.
40. Pour L1=1,3
5pieds, f1=c 2L1=2, 1 kHz =f1.
Pour L2=32 pieds, f2=17 Hz , qui est à la limite de l’audible.
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