1 Ondes dans l`océan

Physique
année 2016-2017
Corrigé du DS commun de physique n°5 - Ondes mécaniques
1
1.1
Ondes dans l’océan
Ondes de gravité en eaux peu profondes
1. Les ondes étudiées sont décrites par les fonctions v x ( x, t) et z = Z ( x, t) ; ce sont des fonctions des
variables x et t, donc elles se propagent selon la direction de l’axe Ox, dans le sens de Ox ou dans le sens
opposé.
→
2. L’incompressibilité du fluide se traduit par div−
v ( M, t) = 0 ⇔
indépendant de z, ce qui donne, en intégrant par rapport à z :
vz ( x, z, t) = −(z + h)
∂v x
∂x
+
∂vz
∂z
∂vz
∂z
= 0, donc
x
= − ∂v
∂x est
∂v x
∂x
compte-tenu de la condition aux limites au fond (rigide, imperméable et fixe) : ∀ x, ∀t, vz ( x, −h, t) = 0.
3. À partir de l’expression précédente, on constate que, en ordres de grandeur |vz | ≃ h
puisque h ≪ λ (ondes de surface).
|v x |
λ
≪ | v x |,
4. On suit une particule de fluide de la surface dans son mouvement, entre les instants t et t + dt. Sa
position à l’instant t est ( x p (t) = x, z p (t) = Z ( x, t)) et sa position à l’instant t + dt est :
( x p (t + dt) = x + v x ( x, t)dt, z p (t + dt) = Z ( x + v x ( x, t), t + dt)).
Par définition du champ de vitesse en surface :
vz ( x, 0, t) =
z p (t + dt) − z p (t)
Z ( x + v x ( x, t), t + dt) − Z ( x, t)
∂Z
∂Z
∂Z
=
=
+ v x ( x, t)
≃
≃ vz ( x, 0, t)
dt
dt
∂t
∂x
∂t
e
dans l’approximation des ondes de petite amplitude, puisque v x ( x, t) ∂Z
∂x est du 2 ordre.
∂Z
∂t
5. On applique en z = 0 la relation trouvée à la question 2, en remplaçant vz ( x, 0, t) par
:
∂v x
∂Z
= −h
(Équation 1)
∂t
∂x
→
)
−−→
∂−
v
→
→
→
+ (−
v · grad)−
v = − gradp − µg−
ez ≃ µ
dans l’approxima∂t
→
→
tion des ondes de petite amplitude, puisque (−
v · grad)−
v est du 2eordre.
6. On écrit l’équation d’Euler : µ
(
→
∂−
v
∂dt
7. Puisque vz ( x, z, t) est du 2eordre, la projection verticale de l’équation d’Euler donne :
∂p
= −µg ⇒ p( x, z, t) = −µg (z − Z ( x, t)) + p0
∂z
compte-tenu de la condition aux limites à la surface : ∀ x, ∀t, p( x, Z (t), t) = p0 .
8. On utilise le champ de pression qui vient d’être déterminé :
µ
∂v x
∂p
∂Z
∂v x
∂Z
(Équation 2)
=−
= −µg
⇒
= −g
∂t
∂x
∂x
∂t
∂x
9. On élimine v x entre les deux équations :
∂2 Z
∂
= −h
∂t
∂t2
(
∂v x
∂x
)
= −h
∂
∂x
(
∂v x
∂t
)
= −h
∂
∂x
(
C’est une équation de D’Alembert ; la célérité est c =
−g
√
∂Z
∂x
)
= hg
∂2 Z
1 ∂2 Z
∂2 Z
⇒
−
=0.
2
2
hg ∂t2
∂x
∂x
hg ; la solution générale est :
Z ( x, t) = f ( x − ct) + g( x + ct) , f et g étant des fonctions quelconques.
Classes de PC, PC*1 et PC*2
1
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c a la dimension d’une vitesse, c’est la vitesse de déplacement des plans d’ondes pour une onde progressive.
−
→
→
10. Z ( x, t) = Z0 cos(ωt − kx + φ), Z0 étant l’amplitude de l’onde, ω la pulsation, k = k−
ex le vecteur
2π
2π
d’onde, T = ω la période, λ = k la longueur d’onde, et φ un déphasage qui dépend du choix de
l’origine des temps.
On injecte cette solution dans l’équation de propagation pour trouver la relation de dispersion :
− k2 Z +
ω2
ω2
2
Z
=
0
⇒
k
=
(relation de dispersion).
c2
c2
Pour une onde se propageant dans le sens des x croissants, k =
vφ =
ω
c
et la vitesse de phase est :
ω
= c = vφ .
k
La vitesse de phase étant indépendante de la fréquence, il n’y a pas dispersion. Toute onde plane progressive se propage alors à la vitesse c sans se déformer ; ce résultat est déjà contenu dans la forme
générale de l’équation de D’Alembert.
1.2
Ondes de gravité en eaux profondes
11. On calcule le rotationnel de l’équation d’Euler linéarisée :
−
→
1−
∂ (−
→ →)
→ →
→ (−−→ ) −
rot−
v = − rot gradp − rot( g−
ez ) = 0 ,
∂t
µ
−
→→
donc rot−
v est indépendant du temps ; comme il s’agit d’une solution ondulatoire (moyenne temporelle
→
−
→→ −
nulle), c’est donc que rot−
v = 0 .
(−−→ )
∂2 Φ ∂2 Φ
→
+ 2 = 0 (Équation 3).
12. L’eau étant incompressible, div−
v = 0 = div gradΦ = △Φ =
∂x2
∂z
(
) −−→ ( )
∂ −−→
gradΦ = grad ∂Φ
13. Comme ∂t
∂t , l’équation d’Euler peut s’écrire :
(
)
−−→ ∂Φ
−
→
1
grad
( x, z, t) + p( x, z, t) + gz = 0 ,
∂t
µ
1
ce qui signifie que l’expression ∂Φ
∂t ( x, z, t ) + µ p ( x, z, t ) + gz = ϵ ( t ) ne dépend que du temps. Comme
Φ( x, z, t) est définie à une fonction du temps près (une fonction du temps ajoutée à Φ n’a aucune incidence sur le champ des vitesses), on peut choisir cette fonction du temps de sorte que ϵ(t) = 0. On
suppose donc par la suite que :
∀ x, ∀z dans le fluide, ∀t,
∂Φ
1
( x, z, t) + p( x, z, t) + gz = 0
∂t
µ
14. Comme le fond est rigide, imperméable et fixe, vz ( x, −h, t) = 0 =
∂Φ
( x, −h, t), ∀ x, ∀t .
∂z
15. On applique la relation de la question 13 à la surface, puis on la dérive par rapport au temps :
p
∂2 Φ
p
∂Z
∂Φ
( x, 0, t) + 0 + gZ ( x, t) = 0 ⇒ 2 ( x, 0, t) + 0 + g ( x, t) = 0.
∂t
µ
µ
∂t
∂t
Comme
∂Z
∂t ( x, t )
≃ vz ( x, 0, t) =
∂Φ
∂z ( x, 0, t ),
∂2 Φ
∂Φ
( x, 0, t) + g
( x, 0, t) = 0, ∀ x, ∀t (Équation 4).
2
∂z
∂t
16. On injecte Φ( x, z, t) = F (z) cos(ωt − kx ) dans l’équation 3, d’où : F”(z) − k2 F (z) = 0 .
Classes de PC, PC*1 et PC*2
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(
)
17. La solution générale de l’équation précédente est F (z) = Aekz + Be−kz , d’où F ′ (z) = k Aekz − Be−kz .
Comme F ′ (−h) = 0, Ae−kh − Bekh = 0, donc :
(
)
F (z) = Ae−kh ek(z+h) + e−k(z+h) = α cosh(k(z + h)) = F (z) ,
où α est une constante réelle.
Φ( x, z, t) = α cosh(k(z + h)) cos(ωt − kx ), donc :
∂Z
∂Φ
αk
=
( x, 0, t) = αk sinh(kh) cos(ωt − kx ) ⇒ Z ( x, t) =
sinh(kh) sin(ωt − kx ) .
∂t
∂z
ω
18. On injecte l’expression de Φ( x, z, t) dans l’équation 4 :
−ω 2 α cosh(kh) cos(ωt − kx ) + gαk sinh(kh) cos(ωt − kx ) = 0 ⇒ ω 2 = gk tanh(kh) (relation de dispersion).
√
g tanh(kh)
= v φ ; elle dépend de la longueur d’onde, donc de
k
la fréquence ; le système est donc dispersif.
19. La vitesse de phase est v φ =
ω
k
=
20. On se place dans le cas où h ≫ λ, alors tanh(kh) ≃ 1.
a) La relation de dispersion devient ω =
√
√
gk , la vitesse de phase est v φ =
ω
k
√
=
√
g
k
=
√
g
gλ
=
= vφ
2π
ω
gλ
g
1
=
= v φ = vg .
8π
2ω
2
b) On reprend la résolution de la question 17 dans le cas limite h → +∞ : F (z) = Aekz car B → 0, donc
et la vitesse de groupe v g =
dω
dk
=
1
2
g
k
=
Φ( x, z, t) = Aekz cos(ωt − kx ) .
c) Le champ des vitesses est donc :
∂Φ
∂Φ
= kAekz sin(ωt − kx ) et vz =
= kAekz cos(ωt − kx ),
∂x
∂z
d’où, pour une particule de fluide en mouvement au voisinage de ( x0 , z0 ) :
vx =
ẋ = kAekz0 sin(ωt − kx0 ) ⇒ x (t) = −
k
Aekz0 cos(ωt − kx0 ) + x0
ω
ż = kAekz0 cos(ωt − kx0 ) ⇒ z(t) = −
k
Aekz0 sin(ωt − kx0 ) + z0
ω
d) Les particules de fluide décrivent donc des cercles centrés sur la position de repos, parcourus dans le
sens horaire, dont le rayon R = ωk Aekz0 décroît exponentiellement lorsque la profondeur −z0 croît.
√
21. Si h ≪ λ, la relation de dispersion devient ω 2 = gk2 h, d’où la vitesse de phase v φ = gh indépendante de la fréquence ; le système est donc bien non dispersif, comme trouvé en section 1.
1.3
Application aux mouvements de l’océan
1.3.1
Cas d’une houle
22. Comme λ ≪ h, la houle au large correspond à la situation en eaux très profondes, donc
(2π )2
2π
=
⇒ T=
ω = gk = g
λ
T2
2
√
2πλ
g
Application numérique : T = 8 s .
23. Sauf pour les plus grandes houles, a ≪ λ, donc l’approximation linéaire est justifiée.
24. v φ =
ω
k
√
=
√
g
k
=
gλ
= v φ . Application numérique : v φ = 13 m.s−1 ≃ 50 km/h .
2π
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25. Lorsque l’onde s’approche des côtes, la condition d’eaux très profondes n’est plus vérifiée et
tanh(kh) < 1 ; le résultat de la question 19 permet de prévoir l’évolution de la vitesse de phase : v φ =
√
√
g tanh(kh)
g
<
k
k , ce qui montre que la vitesse diminue lorsque h diminue.
Lorsque la profondeur devient très inférieure à la longueur d’onde, la vitesse est fixée par la profondeur
(résultat de la question 10).
26. Pour h = 1 m, h ≪ λ, donc v φ =
√
gh et λ = T
√
gh . Application numérique : v φ = 3 m/s≃ 10 km/h
et λ = 25 m .
1.3.2
Cas d’un tsunami
Dans le cas d’un tsunami, l’amplitude a des vagues en haute mer est de l’ordre du mètre et la longueur
d’onde de l’ordre de 500 km.
√
27. Dans le cas du tsunami, λ ≫ h, donc l’onde obéit à une équation de D’Alembert, avec c = gh,
√
λ
donc λ = T gh et T = √
. Application numérique : T = 2500 s≃ 40 min .
gh
28. Comme a ≪ λ, l’approximation linéaire est justifiée.
29. c =
√
gh = 200 m/s≃ 700 km/h .
30. C’est la grande longueur d’onde et la grande période qui rendent difficile le repérage d’un tsunami,
même pour une hauteur de vague de l’ordre de a = 1 m.
La surface étant décrite par Z ( x, t) = a cos(ωt − kx ),
2πa
• ∂Z
∂x = λ sin( ωt − kx )), d’amplitude de l’ordre de 10 µm/m, ce qui n’est pratiquement pas décelable,
2πa
• ∂Z
∂t = T sin( ωt − kx )), d’amplitude de l’ordre de 2, 5 mm/s qui est très difficile aussi à déceler
en pleine mer.
Le tsunami n’est donc pas facile à déceler avant son arrivée près des côtes, qu’il atteint à grande vitesse.
31. La puissance P transportée par l’onde peut être estimée pour un front de largeur L en ne tenant
compte que de l’énergie cinétique et en utilisant le fait que v x ne dépend pas de z dans l’approximation
des eaux peu profondes :
Z ( x, t) = a cos(ωt − kx ) ⇒
∂Z
= − aω sin(ωt − kx )
∂t
D’où :
∂v x
1 ∂Z
a
aω
=−
= ω sin(ωt − kx ) ⇒ v x = −
cos(ωt − kx )
∂x
h ∂t
h
h k
P ≃ chLµ < v2x >=
√
1
a2 ω 2
1√
a2
ghµhL 2 gh = β ha2 ≃ P ,
chL 2 2 =
2
2
h k
h
√
où β est une constante ne dépendant pas de h. En négligeant les pertes d’énergie, on trouve que a2 h
se conserve au cours de la propagation, donc l’amplitude a′ à la profondeur h′ et reliée à l’amplitude en
( )1/4
pleine mer par : a′ = a hh′
. Avec h′ = 10 m, on trouve a′ = 25.
2
Analyse documentaire : les tuyaux d’orgue
32. r12 = 2 ⇒ r = 21/12 = 1, 0594631 .
33. Mi2 est 17 demi-tons en dessous de La3, donc f Mi2 = f La3 2−17/12 = 165 Hz ,
Do3 est 9 demi-tons en dessous de La3, donc f Do3 = f La 2−9/12 = 262 Hz ,
Do4 est 3 demi-tons au dessus de La3, donc f Do4 = f La3 23/12 = 523 Hz ,
Mi4 est 7 demi-tons au dessus de La3, donc f Mi4 = f La3 27/12 = 659 Hz ,
et La4 est une octave au dessus de La3, donc f La4 = 2 f La3 = 880 Hz .
Classes de PC, PC*1 et PC*2
4
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Physique
2.1
année 2016-2017
Étude des tuyaux de Bourdon et de Montre
34. À l’extrémité bouchée, la vitesse est nulle ; la grandeur représentée sur le schéma est donc la vitesse
(ou le déplacement). À l’extrémité côté biseau est représenté un ventre de vitesse, ce qui correspond
à une extrémité ouverte, donc à un noeud de surpression. La longueur du tuyau correspond donc au
quart de longueur d’onde dans le mode fondamental, c’est-à-dire un demi-fuseau, qui est improprement
appelé "demi-onde" dans la légende de la figure.
35. Dans ces conditions, les modes propres ont une longueur d’onde λ2p+1 qui vérifie L = (2p + 1)
donc λ2p+1 =
4L
=
2p + 1
c
f 2p+1 , d’où
f 2p+1 = (2p + 1)
λ2p+1
4 ,
c
. La fréquence du son produit par un tel tuyau
4L
c
. Son spectre en fréquence n’a que des composantes dont la fréquence
4L
est un multiple impair du fondamental.
est celle du fondamental f 1 =
c
36. Pour qu’un tuyau de type Bourdon produise un Mi2, on doit choisir L tel que f Mi2 = 4L
, donc
c
L=
. Application numérique : L = 0, 52 m = 1, 69 pied . C’est bien dans l’intervalle de valeurs
4 f Mi2
de longueurs de tuyaux donné dans le texte.
37. Dans le cas du tuyau à résonateur ouvert de type Montre, les conditions aux limites aux extrémités
du tuyau sont : surpression nulle aux deux extrémités. Les deux extrémités correspondent alors à des
ventres de vitesse. La longueur du tuyau correspond donc à une demi-longueur d’onde dans le mode
fondamental, c’est-à-dire un fuseau, qui est improprement appelé "onde entière" dans la légende de la
figure.
38. Dans ces conditions, les modes propres ont une longueur d’onde λn qui vérifie L = n λ2n , donc
2L
c
λn =
= fcn , d’où f n = n
. La fréquence du son produit par un tel tuyau est celle du fondamental
n
2L
c
f1 =
(cette fréquence est le double de celle d’un tuyau de type Bourdon de même longueur). Son
2L
spectre en fréquence contient a priori tous les multiples du fondamental ; il est donc plus riche que celui
du Bourdon, ce qui se traduit par un timbre différent.
39.
40. Pour L1 =
1,3
5
pieds, f 1 =
c
2L1
= 2, 1 kHz = f 1 .
Pour L2 = 32 pieds, f 2 = 17 Hz , qui est à la limite de l’audible.
Classes de PC, PC*1 et PC*2
5
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