Généralités : Espaces, sous-espaces, familles de vecteurs

Espaces vectoriels
Première partie
Généralités : Espaces, sous-espaces, familles de
vecteurs
1
Espaces et sous-espaces
1.1
1.1.1
Structure de K-espace vectoriel
Définition et propriétés élémentaires
On pose K le corps des nombres réels ou des nombres complexes.
Définition
On appelle espace vectoriel sur le corps K où K-espace vectoriel tout ensemble non vide E muni d’une loi de
composition interne notée + et d’une loi de composition externe c’est-à-dire d’une application de K × E dans E
qui a tout couple (λ, x) associe un élément noté λ.x vérifiant les propriétés suivantes :
•
•
•
•
•
V1 :
V2 :
V3 :
V4 :
V5 :
(E, +) est un groupe commutatif. Son élément neutre est noté 0 ou 0E .
∀λ ∈ K, ∀(u, v) ∈ E 2 , λ.(u + v) = λ.u + λ.v.
∀(λ, µ) ∈ K2 , ∀u ∈ E, (λ + µ).u = λ.u + µ.u.
∀(λ, µ) ∈ K2 , ∀u ∈ E, λ.(µ.u) = (λµ).u
∀u ∈ E, 1.u = u.
Les éléments d’un espace vectoriel sont appelés vecteurs.
Soit E un K-espace vectoriel.
1. Propriété 1 :
∀u ∈ E, 0.u = 0.
Démonstration :
0.u + u = 0u + 1.u = (0 + 1).u = 1.u = u d’où 0.u = 0.
2. Propriété 2 :
∀u ∈ E, ∀λ ∈ K, λu = 0 ⇔ λ = 0 ou u = 0.
Démonstration :
Soient λ ∈ K et u ∈ E tels que λ.u = 0. Si λ 6= 0, alors on a λ−1 .(λ.u) = λ−1 .0 = 0.
Or λ−1 .(λ.u) = (λ−1 .λ).u = 1.u. D’où u = 0.
3. Pour tout vecteur u, on désigne par −u l’opposé de u pour la loi de groupe additif.
Propriété 3 :
On a alors : ∀u ∈ E, (−1).u = −u.
Démonstration :
(−1).u + u = (−1).u + 1.u = (−1 + 1).u = 0.u = 0 d’où la propriété.
4. Propriété 4 :
∀(λ, µ) ∈ K2 , ∀u ∈ E, (λ − µ)u = λu − µu.
Démonstration :
(λ − µ)u + µ.u = (λ − µ + µ).u = λ.u.
5. Propriété 5 :
∀λ ∈ K, ∀(u, v) ∈ E 2 , λ.(u − v) = λ.u − λ.v.
Démonstration :
λ.(u − v) + λ.v = λ.[(u − v) + v] = λ.u.
1
1.1.2
Exemples de référence

x1
 x2 
 
n
• K est l’ensemble des n-uplets  . d’éléments de K.
 ..

xn
On les note verticalement.


  
   
λx1
x1
x1 + y1
y1
x1
 x2   λx2 
 x2   y2   x2 + y2 

  
    

et
le
produit
par
les
scalaires
par
λ
L’addition est définie par  . +  . = 
 .. =  ..
..




 ..  .. 
.
.
.
xn
xn
xn + yn
yn
λxn
• K[X], muni de l’addition et du produit par les scalaires est un K-espace vectoriel.
• Si Ω est un ensemble non vide, l’ensemble KΩ , encore noté F (Ω,K), des applications de Ω dans K est muni
d’une structure d’espace vectoriel en posant, pour toutes f et g ∈ KΩ , f + g est l’application x 7→ f (x) + g(x)
et, pour toute fonction f et tout scalaire λ, λf est l’application x 7→ λf (x).
• Un cas particulier est celui où Ω = N. Les applications de N dans K sont les suites numériques (xn )n∈N .
Pour U = (un )n∈N , V = (vn )n∈N et λ ∈ K, on a U + V = (un + vn )n∈N et λU = (λun )n∈N .
• Pour (n,p) ∈ (N∗ )2 , Mn,p (K) est un K-espace vectoriel. On peut l’identifier à l’ensemble K[[1,n]]×[[1,p]] .
[[1,n]] × [[1,p]] → K
En effet la matrice (mi,j ) 16i6n s’identifie à l’application
(i,j)
7→ mi,j
16j6m
1.2
1.2.1
Combinaisons linéaires
Combinaisons linéaires d’un nombre fini de vecteurs
Définition
Soit E un K-espace vectoriel, pour tout n ∈ N∗ pour toute famille de vecteurs (x1 , x2 , . . . ,xn ) ∈ E n et toute famille
n
X
(λ1 , λ2 , . . . ,λn ) ∈ Kn , on dit que le vecteur
λi xi est une combinaison linéaire des vecteurs x1 , x2 , . . . ,xn .
i=1
1.2.2
Exemples
Cas de 1, 2, 3 vecteurs.
• Soit E un K-espace vectoriel et x ∈ E, les combinaisons linéaires de x sont les vecteurs λx, λ ∈ K.
Lorsque x est le vecteur nul, qu’obtient-on?
• Les combinaisons linéaires de deux vecteurs x et y sont les λx + µy, (λ,µ) ∈ K2 .
Exercice 1


 
 
1
2
x
3





0 et
1 sont les triplets y  tels que
Montrer que, dans R , les combinaisons linéaires de
−1
−3
z
x + y + z = 0.
• Enfin, les combinaisons linéaires de trois vecteurs x, y et z sont les λx + µy + νz, (λ, µ, ν) ∈ R3
Exercice 2
   
 
1
1
1
Montrer que, tout élément de R3 est combinaison linéaire de 1 , 0 et 1.
0
1
1
2
1.2.3
Transitivité de la combinaison linéaire
Il s’agit de la proposition suivante :
Soient E un K-espace vectoriel, x1 , . . . ,xn des vecteurs de E et y1 , . . . ,yp des combinaisons linéaires de x1 , . . . ,xn .
Toute combinaison linéaire de y1 , . . . ,yp est une combinaison linéaire de x1 , . . . ,xn .
Autrement dit : “Une combinaison linéaire de combinaisons linéaires de vecteurs x1 , . . . ,xn est une combinaison
linéaire de x1 , . . . ,xn ”.
Exercice 3
Faire la démonstration dans le cas de p = 2.
On prend deux vecteurs y et y 0 qui sont des combinaisons linéaires de x1 , . . . ,xn .
Montrer que, pour tout (α, α0 ) ∈ K2 , αy + α0 y 0 est une combinaison linéaire de x1 , . . . ,xn .
La démonstration générale est analogue ou peut se faire par récurrence à partir de ce qu’on vient de prouver.
1.3
1.3.1
Sous-espaces vectoriels
Définitions
Soit E un K-espace vectoriel.
Exercice 4
Montrer l’équivalence des trois définitions suivantes :
Définition 1
Une partie F non vide de E est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si :
∀(x, y) ∈ F 2 , ∀(λ,µ) ∈ K2 , λx + µy ∈ F
Définition 2
Une partie F non vide de E est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si :
∀(x,y) ∈ F 2 , x + y ∈ F et ∀x ∈ F, ∀λ ∈ K, λx ∈ F
Définition 3
Une partie F non vide de E est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si :
∀(x, y) ∈ F 2 , ∀λ ∈ K, λx + y ∈ F
En résumé :
Un sous-espace vectoriel est une partie non vide et stable pour la combinaison linéaire.
3
1.3.2
Exemples
• Si I est un intervalle, C(I,R) est un sous-espace vectoriel de F (I,R).
De même, l’ensemble des fonctions dérivables sur I est un sous-espace de C(I,R).
• Les Kn [X] sont des sous-espaces vectoriels de K[X].
 

 x

• Soit (a,b,c) ∈ K3 .  y  ∈ K3 , ax + by + cz = 0 est un sous-espace vectoriel de K3 (Le prouver en


z
exercice).
1.3.3
Sous-espace engendré par une famille finie
Soient E un K-espace vectoriel et (x1 , . . . ,xn ) une famille finie d’éléments de E.
On note Vect{x1 , . . . ,xn } l’ensemble des combinaisons linéaires de x1 , . . . ,xn .
Définition
On dit que Vect(x1 , . . . ,xn ) est le sous-espace engendré par x1 , . . . ,xn .
Exercice 5
Montrer que Vect(x1 , . . . ,xn ) est un sous-espace vectoriel de E.
Exemples
1. Un sous-espace engendré par un vecteur non nul u est appelé la droite vectorielle engendrée par u.
Comme c’est l’ensemble des ku, k ∈ K, on la note Ku.
2. Deux vecteurs u et v sont dits indépendants lorsque v ∈
/ Ku et u ∈
/ Kv.
Lorsque u et v sont deux vecteurs indépendants, on dit que Vect(u, v) est un plan vectoriel. C’est le plan
engendré par u et v.
Exercice 6
(a) Montrer que l’ensemble des fonctions de la forme x 7→ ρ sin(x − x0 ), ρ ∈ R, x0 ∈ R est un plan vectoriel.
(b) Montrer que, dans F (R, R), l’espace engendré par les fonctions x 7→ ex et x 7→ e−x est un plan vectoriel
et qu’il est aussi engendré par les fonctions ch et sh.
1.3.4
Intersection d’une famille de sous-espaces vectoriels
Exercice 7
Soit A = {x1 , . . . , xn }. Montrer que Vect{x1 , . . . ,xn } est l’intersection de tous les sous-espaces contenant A.
Exercice 8
Montrer la propriété suivante :
Propriété :
L’intersection d’une famille quelconque non vide de sous-espaces vectoriels d’un K-e.v E est un sous-e.v de E.
Application :
Soit E un K-espace vectoriel et A une partie de E. D’après ce qui précède, l’intersection de tous les sous-espaces
de E contenant A est un sous-espace contenant A.
Par définition, il est inclus dans tous les sous-espaces contenant A. C’est donc le plus petit sous-espace contenant A.
4
Définition
Soit E un espace vectoriel et A une partie de E. On appelle Vect(A) l’intersection de tous les sous-espaces vectoriels
de E contenant A.
Et la réunion?
Exercice 9
Soient U et V deux sous-espaces d’un K-e.v. E.
Montrer, en raisonnant par l’absurde, que U ∪ V est un sous-espace vectoriel si et seulement si U ⊂ V ou V ⊂ U .
1.4
1.4.1
Sommes et sommes directes
Somme de deux sous-espaces vectoriels
Définition
Soit E un K-espace vectoriel, U et V deux sous-espaces. On appelle somme de U et V et on note U + V l’ensemble
des vecteurs de E qui sont somme d’un élément de U et d’un élément de V .
U + V = {x ∈ E, ∃u ∈ U et ∃v ∈ V | x = u + v}
Propriété :
U + V est un sous espace vectoriel et U + V = Vect(U ∪ V )
Démonstration :
U + V 6= ∅ car 0 ∈ U, 0 ∈ V donc 0 = 0 + 0 ∈ U + V .
Soient x = u + v, x0 = u0 + v 0 ∈ U + V et λ ∈ K alors λx + x0 = (λu + u0 ) + (λv + v 0 ) ∈ U + V car
λu + u0 ∈ U et λv + v 0 ∈ V .
Ensuite U + V contient U ∪ V car ∀u ∈ U, u = u + 0 avec 0 ∈ V idem pour tout v ∈ V .
Si F est un sous-espace vectoriel contenant U et V alors, par stabilité de F pour l’addition, les sommes des
éléments de U et de V sont dans F donc U + V ⊂ F .
Comme U + V est lui-même un sous-espace vectoriel, c’est l’intersection de tous les s.e.v contenant U ∪ V .
1.4.2
Sommes directes
Définition
Soit E un K-e.v ; on dit que deux sous-espaces U et V de E sont en somme directe ou que la somme U + V est
directe lorsque U ∩ V = {0}.
La somme des sous-espaces U et V se note alors U ⊕ V .
Caractérisation
Deux sous-espaces U et V sont en somme directe si et seulement si ∀x ∈ U + V, ∃!u ∈ U et ∃!v ∈ V, x = u + v.
Remarque : l’intérêt de cette proposition réside évidemment dans l’unicité.
Démonstration :
Si la somme est directe, soit x = u+v = u0 +v 0 ∈ U +V avec u, u0 ∈ U et v, v 0 ∈ V . On a alors u−u0 = v 0 −v ∈ U ∩V
d’où u − u0 = v 0 − v = 0 donc u = u0 et v = v 0 .
Inversement, si ∀x ∈ U + V, ∃!u ∈ U et ∃!v ∈ V, x = u + v alors soit x ∈ U ∩ V . On peut écrire x = x + 0 avec
x ∈ U et 0 ∈ V et aussi x = 0 + x avec 0 ∈ U et x ∈ V d’où 0 = x et x = 0.
C.Q.F.D.
5
1.4.3
Sous-espaces supplémentaires
Définition
On dit que deux sous-espaces U et V d’un K-e.v E sont supplémentaires lorsqu’ils sont en somme directe et que
celle ci est égale à E.
Autrement dit, deux sous-espaces U et V sont supplémentaires lorsque U ⊕ V = E.
Caractérisation :
Deux sous-espaces U et V sont supplémentaires si et seulement si ∀x ∈ E, ∃!u ∈ U et ∃!v ∈ V | x = u + v.
Cela résulte de la caractérisation des sommes directes et du fait que U + V = E.
Pour montrer que deux sous-espaces U et V sont supplémentaires, il existe deux méthodes :
1. Montrer séparément que U + V = E et que U ∩ V = {0}.
2. Montrer que tout élément de E se décompose de façon unique en somme d’un élément de U et d’un élément
de V .
Exercice 10
Soit E = K[X] et B ∈ E non nul de degré n.
Montrer que Kn−1 [X] et BK[X] sont deux sous-espaces supplémentaires.
(BK[X] désigne l’ensemble des multiples de B.)
2
Familles finies de vecteurs
2.1
Familles libres, familles liées
2.1.1
Familles libres
Définition
Soit E un K-e.v et (u1 , . . . ,un ) une famille finie de vecteurs.
On dit que cette famille est libre ou que les vecteurs u1 , . . . ,un sont linéairement indépendants lorsque :
∀(λ1 , . . . ,λn ) ∈ Kn ,
n
X
λi ui = 0 ⇒ ∀i ∈ [[1, n]], λi = 0
i=1
Question : Que se passe-t-il si l’on remplace l’implication ⇒ par ⇐ dans la définition ci-dessus?
Et pratiquement?
Pour montrer qu’une famille donnée est libre, on rédige ainsi :
Soient λ1 , . . . ,λn des scalaires.
n
X
Supposons
λi ui = 0
i=1
Quelques lignes de raisonnement...
Donc tous les λi sont nuls.
C.Q.F.D.
6
Exercice 11
     
1
0
2
Montrer que la famille   0 , 1 , 1  est libre dans R3 .
−1
1
1
2.1.2
 
Unicité de l’écriture d’une combinaison linéaire d’une famille libre
On rappelle que, pour une famille finie (x1 , . . . ,xn ), Vect(x1 , . . . ,xn ) désigne l’ensemble des combinaisons linéaires
des xi , 1 6 i 6 n.
n
X
n
Autrement dit, pour tout x ∈ Vect(x1 , . . . ,xn ), il existe (λ1 , . . . ,λn ) ∈ K tels que x =
λ i xi .
i=1
On a la proposition suivante :
Soit E un K-e.v et (x1 , . . . ,xn ) une famille finie de vecteurs de E.
Les propriétés suivantes sont équivalentes :
1. (xi )16i6n est libre.
n
X
2. ∀x ∈ Vect(x1 , . . . ,xn )∃!(λi )16i6n telle que x =
λ i xi .
i=1
Démonstration :
Exercice 12
1⇒2 On prend x =
n
X
i=1
λi xi =
n
X
λ0i xi ∈ Vect(x1 , . . . ,xn ). En formant la différence de ces deux expressions de x
i=1
et en appliquant l’hypothèse , montrer que ∀i, λi = λ0i .
n
X
2⇒1 On prend λ1 , . . . ,λn ∈ K tels que 0 =
λ i xi .
i=1
En observant que 0 ∈ Vect(x1 , . . . ,xn ) s’écrit aussi de façon triviale comme combinaison linéaire des xi avec
1 6 i 6 n, montrer que tous les λi sont nuls.
2.1.3
Sous-famille d’une famille libre
Proposition : Toute sous-famille d’une famille libre est libre.
Démonstration
Soit (x1 , . . . ,xp ,xp+1 , . . . ,xn ) une famille libre. Montrons que (x1 , . . . ,xp ) est libre.
p
n
X
X
Soient λ1 , . . . ,λp ∈ K tels que
λi xi = 0. On pose λp+1 = · · · = λn = 0 et on a
λi xi = 0.
i=1
i=1
Comme (x1 , . . . ,xp , xp+1 , . . . ,xn ) est libre, on a λi = 0 pour tout i de 1 à n d’où aussi, en particulier, pour tout i
de 1 à p.
2.1.4
Caractérisation de proche en proche
La propriété suivante permet de montrer de proche en proche que certaines familles sont libres.
Proposition
Si (x1 , . . . ,xp−1 ) est une famille libre et xp ∈
/ Vect{x1 , . . . ,xp−1 } alors (x1 , . . . ,xp−1 ,xp ) est libre.
Démonstration
Soient λ1 , . . . ,λp ∈ K tels que λ1 x1 + . . . + λp−1 xp−1 + λp xp = 0.
p−1
X
λi
xi ∈ Vect{x1 , . . . ,xp−1 } donc λp = 0.
Si λp était non nul, on aurait xp = −
λp
i=1
7
On a
p−1
X
λi xi = 0 d’où λi = 0 pour tout i de 1 à p − 1 car (x1 , . . . ,xp−1 ) est libre.
i=1
2.2
Familles liées
Définition
Une famille (x1 , . . . ,xn ) est liée lorsqu’elle n’est pas libre.
On écrit la négation de “(x1 , . . . ,xn ) est libre”. (Le faire en exercice)
2.2.1
Familles liées, relations de dépendance linéaire
Définition
Soit (x1 , . . . ,xn ) une famille liée.
On appelle relation de dépendance linéaire toute égalité
n
X
λi xi = 0 où les λi sont des scalaires non tous nuls.
i=1
On a donc la caractérisation suivante :
Une famille (xi )16i6n est liée si et seulement si il y a des relations de dépendance linéaire entre ces vecteurs.
2.2.2
Caractérisation : l’un des vecteurs est combinaison linéaire des autres
Propriété :
Une famille (xi )16i6n est liée si et seulement si l’un des vecteurs st combinaison linéaire des autres.
Démonstration
Si la famille est liée, soit
n
X
λi xi = 0 une relation de dépendance linéaire. L’un des λi est non nul disons λi0 . On
i=1
peut alors écrie xi0 = −
X λi
xi .
λ i0
16i6n
i6=i0
Inversement, si un vecteur xi0 est combinaison linéaire des autres, il existe une famille (λi )16i6n de scalaires telle
que xi0 =
X
λi xi = 0. On pose alors λi0 = −1 6= 0 et on a
16i6n
i6=i0
2.2.3
n
X
i6=i0
λi xi = 0 donc (xi )16i6n est liée.
i=1
Exemples
• Une famille constituée d’un seul vecteur (x) est libre si et seulement si x 6= 0.
Toute famille contenant le vecteur nul est liée.
Le prouver.
• Montrer que deux vecteurs forment une famille liée si et seulement s’ils sont colinéaires.
• Une famille de polynômes (Pi )06i6n est dite de degrés échelonnés lorsque leurs degrés forment une suite
strictement croissante d’entiers (en particulier, ce sont des polynômes non nuls).
Montrer que toute famille de degrés échelonnés est libre.
On pourra s’inspirer de l’exercice analogue du chapitre sur les polynômes.
8
2.3
2.3.1
Familles génératrices
Famille génératrice d’un sous-espace
Définitions
Soit E un K-e.v.
On dit qu’une famille (xi )i∈I (finie ou non) est génératrice d’un sous-espace F lorsque F = Vect ((xi )i∈I ).
On dit que (xi )i∈I est génératrice (sans préciser davantage) lorsqu’elle est génératrice de E c’est-à-dire lorsque
E = Vect ((xi )i∈I ).
On observe qu’une famille F est génératrice si et seulement si le seul sous-espace de E contenant F est E lui-même.
Le prouver !
2.3.2
Sur-famille d’une famille génératrice
Proposition
Soit (xi )i∈I et J une partie J de I. Si (xi )i∈J est génératrice, alors (xi )i∈I est génératrice.
Démonstration
Si un sous-espace contient (xi )i∈I , il contient aussi (xi )i∈J donc ce sous-espace est E et ainsi (xi )i∈I est génératrice.
2.3.3
Caractérisation par l’écriture de tout vecteur comme combinaison linéaire
On considère ici des familles finies.
Proposition
Une famille (x1 )16i6n est génératrice si et seulement si ∀x ∈ E, ∃(λ1 , . . . ,λn ) ∈
Kn
tel que x =
n
X
λ i xi .
i=1
Démonstration
Il suffit d’observer que Vect(x1 , . . . ,xn ) est l’ensemble des combinaisons linéaires de x1 , . . . ,xn .
2.4
Bases
Dans cette section, il ne sera question que de familles finies ; néanmoins, il est possible, voire indispensable de
pouvoir considérer des bases infinies mais ce n’est pas l’optique du programme.
2.4.1
Bases, coordonnées dans une base
Définition
Soit E un K-e.v.
On dit qu’une famille finie B = (e1 , . . . ,en ) est une base de E lorsqu’elle est libre et génératrice.
D’après les caractérisation des familles libres et des familles génératrices, on a la propriété suivante :
Propriété
Une famille B = (e1 , . . . ,en ) de vecteurs de E est une base de E si et seulement si :
∀x ∈ E, ∃!(x1 , . . . ,xn ) ∈ Kn tel que x =
n
X
i=1


x1
 
On dit que  ... est la colonne des coordonnées de x dans la base B.
xn
9
xi e i
2.4.2
Exemples
Les exemples sont traités dans l’exercice suivant :
Exercice 13
1. Dans Kn . Pour tout j de 1 à n, on note ej la colonne définie par ej = (δi,j )16i6n ∈ Mn,1 (K) = Kn .

x1
 
Montrer que C = (e1 , . . . ,en ) est une base de E et déterminer les coordonnées de tout vecteur X =  ...
xn
dans cette base.

C s’appelle la base canonique de Kn .
2. Soit E = Kn [X]. Montrer que (1, X, X 2 , . . . ,X n ) est une base de Kn [X]. On l’appelle aussi la base canonique
de Kn [X].
3. Soit (n,p) ∈ (N∗ )2 . Pour tout couple (i,j) ∈ [[1,n]] × [[1,p]], on note Mi,j la matrice appartenant à Mn,p (K)
dont tous les termes sont nuls sauf celui à l’intersection de la ligne i et de la colonne j, qui vaut 1.
(a) Représenter les matrices Mi,j pour n = p = 2.
X
(b) Étant donnée une famille (αi,j )16i6n de scalaires, que vaut
16j6p
αi,j Mi,j ?
16i6n
16j6p
(c) En déduire que la famille des Mi,j , 1 6 i 6 n, 1 6 j 6 p forme une base de Mn,p (K).
2.4.3
Bases adaptées à une somme directe
Proposition
Soient E un K-e.v, U et V deux sous-espaces en somme directe, (u1 , . . . ,up ) une base de U et (v1 , . . . ,vq ) une
base de V .
Alors la famille (u1 , . . . ,up ,v1 , . . . ,vq ) obtenue par concaténation de ces deux bases est une base de U ⊕ V .
Démonstration
• Caractère générateur : tout vecteur x de U ⊕ V se décompose en somme d’un élément y de U et d’un élément
p
q
X
X
z de V puis il existe des scalaires α1 , . . . ,αp ,β1 , . . . ,βq tels que y =
αi ui et z =
β j vj .
i=1
Alors x =
p
X
αi ui +
i=1
q
X
βj vj et le caractère générateur est établi.
j=1
• Caractère libre : Soit (α1 , . . . ,αp ,β1 , . . . ,βq ) tel que
p
X
αi ui +
i=1
Alors
p
X
i=1
αi ui = −
j=1
q
X
j=1
βj vj ∈ U ∩ V donc
p
X
αi ui = −
i=1
q
X
βj vj = 0.
j=1
q
X
βj vj = 0 ce qui entraı̂ne que ∀i de 1 à p, αi = 0
j=1
et pour tout j de 1 à q, βj = 0 et ainsi la famille est libre.
La base obtenue ci-dessus est dite adaptée à la décomposition en somme directe U ⊕ V .
2.4.4
Cas des sous-espaces supplémentaires
Il résulte de la proposition précédente que si U et V sont deux sous-espaces supplémentaires dans E alors toute
famille obtenue par concaténation d’une base de U et d’une base de V est une base de E.
10
2.5
Application de ces notions dans Kn , lien avec les systèmes linéaires
2.5.1
Familles libres ou liées




a1,p
a1,1




Soient C1 =  ... , . . . , Cp =  ... des éléments de Kn .
an,p
an,1
Pour déterminer s’ils forment une famille libre, il faut résoudre l’équation vectorielle λ1 C1 + λ2 C2 + · · · + λp Cp = 0
d’inconnue (λ1 ,λ2 , . . . ,λp ) ∈ Kp ; cette équation se ramène au système :


 λ1 a1,1 + λ2 a1,2 + · · · + λp a1,p = 0
..
..
.
.


λ1 an,1 + λ2 an,2 + · · · + λp an,p = 0
Un tel système est homogène donc compatible. Il admet toujours n-uplet 0 comme solution.
Il s’agit simplement de savoir si c’est la seule.
Pour cela, on met ce système sous forme échelonnée réduite.
S’il reste des inconnues secondaires (qui peuvent être prises comme paramètres), alors 0 n’est pas la seule solution
et la famille est liée. C’est notamment le cas lorsque p > n.
Lorsqu’il ne reste aucune inconnue secondaire, la famille est libre.
On obtient en particulier la propriété suivante :
Proposition :
Toute famille de n + 1 (au moins) vecteurs de Kn est liée.
2.5.2
Caractérisation des combinaisons linéaires d’un nombre fini de colonnes


x1
 
On garde les notations précédentes. Le problème est le suivant : À quelles conditions un vecteur X =  ...
xn
appartient-il à Vect(C1 , . . . ,Cp )?
Il s’agit de savoir s’il existe des scalaires λ1 , . . . ,λp telsque X = λ1 C1 + · · · + λp Cp .

 λ1 a1,1 + λ2 a1,2 + · · · + λp a1,p = x1
..
..
On doit donc trouver à quelles conditions le système
admet
.
.


λ1 an,1 + λ2 an,2 + · · · + λp an,p = xn
des solutions.


a1,1 a1,2 · · · a1,p x1 



 .
..
.. 
 sous forme échelonnée réduite (cela ne concerne
.

On met la matrice augmentée M̃ = 


.
. 

 .


an,1 an,2 · · · an,p xn
que la partie à gauche du trait).
Posons r le rang de la matrice (C1 ,C2 , · · · ,Cp ) ; on rappelle que c’est le nombre de pivots et aussi le nombre de
lignes non nulles de la matrice échelonnée réduite.
Les n − r dernières lignes de M̃ sont de la forme (0 0 · · · 0|ϕk (x1 , . . . ,xn )) pour r + 1 6 k 6 n.
Les conditions de compatibilité sont les équations ϕk (x1 , . . . ,xn ) = 0, r + 1 6 k 6 n.
Un vecteur X appartient à Vect(C1 , . . . ,Cp ) si et seulement s’il vérifie les n − r équations ci-dessus.
11
Deuxième partie
Théorie de la dimension
3
Espaces de dimension finie
Définition
Un espace vectoriel E est de dimension finie lorsqu’il admet une famille génératrice finie.
3.1
3.1.1
Existence des bases en dimension finie
Le théorème de la base extraite
Théorème
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie.
De toute famille génératrice finie de E, on peut extraire une base.
Autrement dit si (u1 , . . . ,un ) est une famille génératrice finie de E, il existe p 6 n et i1 < i2 < · · · < ip tels que
(ui1 , ui2 , . . . , uip ) soit une base de E.
Démonstration
Cette démonstration fournit une méthode pour obtenir une base extraite.
On prend i1 l’indice du premier vecteur non nul (donc formant une famille libre).
Puis soit i2 l’indice du premier vecteur n’appartenant pas à Vect(ui1 ) de sorte que (ui1 , ui2 ) est libre.
Puis i3 l’indice du premier vecteur n’appartenant pas à Vect(ui1 , ui2 ) de sorte que (ui1 , ui2 , ui3 ) est libre et ainsi
de suite.
Quand le processus s’arrête au rang ip , tous les ui sont dans Vect(ui1 , ui2 , . . . ,uip ) donc
E = Vect(u1 , . . . ,un ) = Vect(ui1 , . . . ,uip ).
Par construction, à chaque étape, (ui1 , . . . ,uik ) est libre en appliquant la propriété du 2.1.4.
Il en résulte que c’est une base de E.
On a une conséquence importante :
Proposition :
Les espaces de dimension finie admettent des bases.
3.1.2
Théorème de la base incomplète
Théorème
Soit E un espace de dimension finie et (e1 , . . . ,ep ) une famille libre. Si ce n’est pas une base, il existe des vecteurs
ep+1 , . . . ,en tels que (e1 , . . . ,ep , ep+1 , . . . ,en ) soit une base de E.
Démonstration
On se donne une famille génératrice finie u1 , . . . ,uq .
La famille (e1 , . . . ,ep ,u1 , . . . ,uq ) est génératrice. On en extrait une base au moyen de la méthode du paragraphe
3.1.1 .
Les p premiers vecteurs de cette base sont alors e1 , . . . ,ep ce qui prouve le théorème.
3.2
3.2.1
Dimension
Un lemme essentiel
Lemme
Dans un espace engendré par n vecteurs, toute famille de n + 1 (au moins) vecteurs est liée.
12
Démonstration
Soit (e1 , . . . ,en ) une famille génératrice 
et (u1
, . . . ,un , un+1 ) une famille de n + 1 vecteurs.
a1,j
n
X
 ..
Pour tout j de 1 à n + 1, il existe Cj =  . telle que uj =
ai,j ei .
i=1
an,j
D’après la proposition du 2.5.1 , il existe des scalaires λ1 , . . . ,λn+1 non tous nuls tels que
n+1
X
λj Cj = 0 ce qui se
j=1
traduit par la même relation de dépendance linéaire pour les uj .
3.2.2
C.Q.F.D.
Le théorème de la dimension finie
Théorème
Dans un espace de dimension finie, toutes les bases ont un seul et même cardinal.
Démonstration
Soient (e1 , . . . ,em ) et (f1 , . . . ,fn ) deux bases.
Comme (e1 , . . . ,em ) est génératrice et (f1 , . . . ,fn ) est libre, on a, par contraposée du lemme précédent : n 6 m
puis, en échangeant les rôles : m 6 n d’où le théorème.
Définition
Soit E un K-e.v de dimension finie, on appelle dimension de E et on note dim(E) le cardinal commun de toutes
les bases de E.
Corollaire
Dans un espace de dimension finie n, les familles libres sont de cardinal 6 n et les familles génératrices de cardinal
> n.
Cela résulte du théorème de la base incomplète et du théorème de la base extraite.
Attention : Les réciproques sont fausses : ce n’est pas parce qu’une famille a moins de n éléments qu’elle est libre
ou, pour une famille de plus de n éléments, qu’elle est génératrice.
3.2.3
Exemples
• La base canonique C de Kn définie dans l’exercice 13 est une base !
Kn est donc de dimension n.
La colonne de coordonnées d’une colonne X dans la base C est X elle-même.
• La famille (1, X, X 2 , . . . ,X n ) est une base de Kn [X]. Donc Kn [X] est un espace vectoriel de dimension
n + 1 (Attention au piège).
 
a0
n


X
 a1 
La colonne des coordonnées d’un polynôme P =
ai X i ∈ Kn [X] est  . ∈ Kn+1 .
 ..
i=1
• La famille (Mi,j )16i6n
16j6p
an
définie au 3. de l’exercice 14 est une base de Mn,p (K). Ce dernier est donc un
espace de dimension finie np.
Traditionnellement, on ordonne la famille des Mi,j de façon que Mi,j soit avant Mi0 ,j 0 si et seulement si
i < i0 ou (i = i0 et j 6 j 0 ).
Exercice 14
Énumérer la base canonique de M2,3 (R) suivant cet ordre.
13
3.3
Caractérisations des bases
3.3.1
La triple équivalence
Théorème
Soit E un K-e.v de dimension finie n et soit F = (e1 , . . . ,en ) une famille finie à n éléments.
Les propriétés suivantes sont équivalentes deux à deux :
1. F est une base.
2. F est libre.
3. F est génératrice.
Autrement dit, pour une famille dont le cardinal est déjà égal à la dimension de l’espace, il suffit de vérifier une
seule des deux propriétés : libre et génératrice.
Démonstration
1 ⇒ 2 et 1 ⇒ 3 sont évidents.
Supposons que F est libre. Si elle n’était pas une base, on pourrait la compléter mais comme elle est de cardinal
n, ce n’est pas possible donc c’est une base.
Supposons que F est génératrice. On peut en extraire une base qui sera aussi de cardinal n et sera donc F toute
entière. Donc F est une base.
3.3.2
Exemples
Exercice 15


a1,j


1. On se donne une famille (Xj )16j6n de vecteurs de Kn telle que ∀j, Xj =  ... avec, pour tout couple
an,j
(i,j) ∈ [[1,n]]2 , i > j ⇒ ai,j = 0 et ∀j ∈ [[1,n]], aj,j 6= 0.
Montrer que cette famille est libre et conclure.
2. En utilisant la formule de Taylor, montrer que, pour tout a ∈ K, la famille ((X − a)k )06k6n est génératrice
de Kn [X] et conclure.
4
Propriétés des sous-espaces de dimension finie
4.1
4.1.1
Dimension
Dimension d’un sous-espace
Proposition
Soit E un K-e.v de dimension finie et F un sous-espace de E.
Alors F est de dimension finie et dim(F ) 6 dim(E).
Démonstration
Il suffit d’observer qu’une famille libre d’éléments de F est libre en tant que famille d’éléments de E ; elle est donc
de cardinal 6 dim(E).
On prend alors une famille libre (u1 , . . . ,up ) d’éléments de F et de cardinal maximal. Pour tout vecteur x ∈ F ,
on a x ∈ Vect(u1 , . . . ,up ) sinon (u1 , . . . ,up ,x) serait libre de cardinal p + 1. Donc (u1 , . . . ,up ) est génératrice de F ;
c’est une base et p 6 n.
C.Q.F.D.
4.1.2
Cas d’égalité
Proposition
Soient U et V deux sous-espaces de même dimension finie d’un K-e.v. E tels que U ⊂ V . Alors U = V .
Démonstration
14
Si (u1 , . . . ,up ) est une base de U , alors c’est une famille libre dans V et de cardinal égal à dim(V ) donc c’est une
base de V d’où U = Vect(u1 , . . . ,up ) = V .
C.Q.F.D.
4.2
4.2.1
Dimension des sommes
Dimension d’une somme directe, cas des supplémentaires
Proposition
Dans un K-e.v, soient U et V deux sous-espaces de dimensions finies et en somme directe. Alors U + V est de
dimension finie et dim(U ⊕ V ) = dim(U ) + dim(V ).
Démonstration. Cela résulte de la construction des bases adaptées à une somme directe par concaténation.
4.2.2
Existence des supplémentaires
Proposition
Dans un espace de dimension finie, tout sous-espace admet des supplémentaires.
Démonstration
Soit U un s.e.v et (e1 , . . . ,ep ) une base de U . On la complète en une base B = (e1 , . . . ,ep ,ep+1 , . . . ,en P
de E.
p
MontronsP
que V = Vect(ep+1 , . . . ,en ) est un supplémentaire de U . Soit x ∈ E. On cherche u =
i=1 xi ei ∈
n
U et v = i=p+1 xi ei tels que x = u + v. S’ils existent alors x1 , . . . ,xp ,xp+1 , . . . ,xn sont les coordonnées de x dans
B ce qui donne l’unicité puis l’existence.
C.Q.F.D.
4.2.3
Caractérisation des supplémentaires
Théorème
Soient E un K-e.v de dimension finie, U et V deux sous-espaces de E.
Les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
1. U et V sont supplémentaires.
2. U ∩ V = {0} et dim(U ) + dim(V ) = dim(E)
Démonstration
1 ⇒ 2 est évident d’après la proposition précédente.
Pour 2 ⇒. Comme U ∩ V = {0}, on a dim(U + V ) = dim(U ) + dim(V ) = dim(E) donc U + V = E.
4.2.4
C.Q.F.D.
Formule de Grassmann
Théorème
Soient U et V deux sous-espaces de dimension finie dans un K-e.v E.
On a la formule :
dim(U + V ) = dim(U ) + dim(V ) − dim(U ∩ V )
Démonstration.
Soit U 0 un supplémentaire de U ∩ V dans U . Montrons que U 0 ⊕ V = U + V .
U 0 ∩ V = (U 0 ∩ U ) ∩ V = U 0 ∩ (U ∩ V ) = {0}.
Soit x ∈ U + V, x = u + v. Il existe u0 ∈ U 0 , v 0 ∈ U ∩ V tels que u = u0 + v 0 .
Alors x = u0 + v 0 + v = u0 + (v 0 + v) avec v 0 + v ∈ V donc U 0 + V ⊂ U + V ⊂ U 0 + V d’où U 0 + V = U + V et
comme la somme est directe, on a bien établi U 0 ⊕ V = U + V .
Exercice 16
Finir la démonstration.
15
4.2.5
Produit.
Si E et F sont deux K-espaces vectoriels, alors on peut vérifier que E × F est muni d’une structure d’espace
vectoriel en posant : ∀(~x, ~y ) ∈ E × F, ∀(~x0 , ~y 0 ) ∈ E × F, ∀(λ, λ0 ) ∈ K2
λ(~x, ~y ) + λ0 (~x0 , ~y 0 ) = (λ~x + λ0 ~x0 , λ~y + λ~y 0 )
Le vecteur nul de E × F est (~0E , ~0F ).
Proposition 4.2.5
Si E et F sont des K-e.v. de dimensions finies respectives m et n, alors E × F est un K-e.v. de dimension finie
m + n.
Démonstration :
Soient (~e1 , . . . , ~em ) une base de E et (f~1 , . . . , f~n ) une base de F .
Vérifions que la famille (~e1 ,~0F ), (~e2 ,~0F ), . . . , (~em ,~0F ), (~0E ,f~1 ), (~0E ,f~2 ), . . . , (~0E ,f~n )) est une base de E × F .
Tout repose sur l’égalité suivante à partir de laquelle il est facile de voir que cette famille est libre et génératrice
dans E × F .


m
n
m
n
X
X
X
X
∀(λ1 , . . . , λm , µ1 , . . . , µn ) ∈ Km+n ,
λi (~ei ,~0F ) +
µj (~0E ,f~j ) = 
λi~ei ,
µj f~j  i=1
j=1
i=1
16
j=1
Troisième partie
Applications linéaires
5
Généralités
5.1
5.1.1
Applications linéaires
Définition générale
Définitions
Soient E, F deux K-e.v et f : E → F une application.
On dit que f est linéaire lorsqu’elle vérifie l’une des trois propriétés suivantes qui sont équivalentes entre elles.
1. ∀x, x0 ∈ E, f (x + x0 ) = f (x) + f (x0 ) et ∀x ∈ E, ∀λ ∈ K, f (λx) = λf (x)
2. ∀x, x0 ∈ E, ∀λ ∈ K, f (λx + x0 ) = λf (x) + f (x0 )
3. ∀x, x0 ∈ E, ∀λ, λ0 ∈ K, f (λx + λ0 x0 ) = λf (x) + λ0 f (x0 ).
Exercice 17
Montrer l’équivalence de ces trois propriétés.
5.1.2
Terminologie
•
•
•
•
•
5.2
5.2.1
Homomorphisme est un synonyme d’application linéaire .
Un endomorphisme est une application linéaire (homomorphisme) d’un espace dans lui-même.
Un isomorphisme est un homomorphisme bijectif.
Un automorphisme est un endomorphisme bijectif.
Une forme linéaire est une application linéaire d’un K-espace vectoriel dans le corps K.
Exemples
De Kp vers Kn
Soit M ∈ Mn,p (K). L’application X 7→ M X de Kp vers Kn (attention à l’ordre des formats) est linéaire d’après
la bi-linéarité du produit matriciel.
Inversement, soit f : Kp → Kn une application linéaire. On note C = (e1 , . . . ,ep ) la base canonique de Kp .
Pour tout j de 1 à p, soit Cj = f (ej ) ∈ Kn . On pose M = (C1 , . . . ,Cp ) la matrice dont les colonnes sont les
Cj , 1 6 j 6 p.
Exercice 18
Montrer que ∀X ∈ Kp , f (X) = M X.
De façon générale, X 7→ M X est un homomorphisme de Kp dans Kn . Lorsque n = p, la matrice M est carrée et
f est un endomorphisme.
5.2.2
Sur des espaces de fonctions
• Pour tout intervalle non trivial I et pour tout n ∈ N∗ , la dérivation est un homomorphisme de
C n (I,K), K = R ou C dans C n−1 (I,K) (vérifier).
• La dérivation est un endomorphisme de C ∞ (I,K).
Z b
• L’application f 7→
f (t)dt est une forme linéaire sur C([a,b],K) (vérifier).
a
• L’application qui à f : I → K associe g : x 7→ xf (x) est un endomorphisme de C n (I,K).
17
5.2.3
Sur des espaces de polynômes
• La dérivation est un endomorphisme de K[X].
• Soit B ∈ K[X]\{0}.
Exercice 19
Montrer que les applications f et g de K[X] dans lui-même qui, à tout polynôme A associent respectivement le reste et le quotient de la division euclidienne de A par B sont des endomorphismes.
• Soit x0 ∈ K et δx0 : K[X] → K définie par ∀P ∈ K[X], δx0 (P ) = P (x0 ).
δx0 est l’évaluation en x0 .
Exercice 20
Montrer que δx0 est linéaire. Quelle est la nature de cette application?
5.3
5.3.1
Calcul sur les applications linéaires
Combinaisons linéaires, l’espace L (E,F )
Proposition
Soient E et F deux K-espaces vectoriels, f et g deux applications linéaires de E dans F , λ et µ deux scalaires.
Exercice 21
Montrer que λf + µg : E → F définie par ∀x ∈ E, (λf + µg)(x) = λf (x) + µg(x) est un homomorphisme.
Il en résulte que l’ensemble des homomorphisme de E dans F est un K-espace vectoriel. D’où la
Définition
On note L (E,F ) l’espace vectoriel des applications linéaires de E dans F .
Lorsque E = F , cet espace se note L (E).
5.3.2
Composition
Proposition
Soient E, F, G trois K-espaces vectoriels, f ∈ L (E,F ), g ∈ L (F,G). Alors g ◦ f ∈ L (E,G).
Exercice 22
Le montrer.
5.3.3
Bilinéarité de la composition des homomorphismes
Exercice 23
1.
2.
3.
4.
Que signifie la propriété : “La composition des homomorphismes est bilinéaire ”?
Établir la linéarité à droite. A-t-on utilisé le fait que les applications concernées sont linéaires? Si oui, où?
Établir la linéarité à gauche. A-t-on utilisé le fait que les applications concernées sont linéaires? Si oui, où?
Soient f ∈ L (E,F ) et g ∈ L (F,G).
(a) À quelle condition sur les espaces E, F, G peut-on définir g ◦ f et f ◦ g ?
(b) À quelle condition peut-on comparer f ◦ g et g ◦ f ?
0 1
1 1
(c) En utilisant les matrices
et
trouver deux applications linéaires f et g telles que
1 0
1 0
f ◦ g et g ◦ f soient définies, appartiennent au même ensemble mais soient différentes.
18
5.4
5.4.1
Applications linéaires et sous-espaces vectoriels
Image directe d’un sous-espace
Proposition
Soient E, F des K-espaces vectoriels, f ∈ L (E,F ) et U un sous-espace de E.
Alors f (U ) est un sous-espace de F .
Démonstration
0F = f (0E ) ∈ f (U ) car 0E ∈ U donc f (U ) 6= ∅.
Soient y et y 0 dans f (U ) et λ ∈ K. Il existe x, x0 ∈ U tels que y = f (x) et y 0 = f (x0 ).
Alors f (λx + x0 ) = λf (x) + f (x0 ) = λy + y 0 donc λy + y 0 ∈ f (U ).
5.4.2
C.Q.F.D.
Image réciproque d’un sous-espace
Proposition
Soient E, F deux K-espaces vectoriels, f ∈ L (E,F ) et V un sous-espace de F .
Alors f −1 (V ) est un sous-espace de E.
Exercice 24
Montrer cette proposition.
1. Rappeler la définition de l’image réciproque d’une partie de l’ensemble d’arrivée.
2. Pourquoi f −1 (V ) est-il non vide?
3. On prend deux éléments dans f −1 (V ). Comment est-il judicieux de les noter?
4. Montrer que toute combinaison linéaire de ces vecteurs appartient aussi à f −1 (V ).
5.5
5.5.1
Image, noyau
Image et surjectivité
Proposition
Soit f : E → F un homomorphisme. f (E) est un sous-espace vectoriel.
Cela résulte des propriétés précédente.
Définition
On appelle image de f et on note Im(f ) le sous-espace de F défini par Im(f ) = f (E).
La proposition suivante est triviale et n’a nullement besoin de la linéarité de f . On l’énonce car elle est le pendant
de la propriété d’après.
Proposition
Soit f : E → F un homomorphisme.
f est surjective si et seulement si Im(f ) = F .
5.5.2
Noyau et injectivité
Définition
Soit f : E → F un homomorphisme.
On appelle noyau de f et on note Ker(f ) le sous-espace de E défini par Ker(f ) = f −1 (0F ).
19
Remarque
Ker(f ) est un sous-espace de E car c’est l’image réciproque de {0F } par f et {0F } est un sous-espace vectoriel de F .
Théorème
Un homomorphisme est injectif si et seulement si Ker(f ) = {0E }.
Démonstration
On commence par prouver le lemme suivant :
Soit f : E → F un homomorphisme. ∀x, x0 ∈ E, f (x0 ) = f (x) ⇔ x0 − x ∈ Ker(f ).
En effet, ∀x, x0 ∈ E, f (x0 ) = f (x) ⇔ f (x0 ) − f (x) = 0F ⇔ f (x0 − x) = 0F ⇔ x0 − x ∈ Ker(f ).
Revenons au théorème.
Si f est injective alors 0F admet 0E pour unique antécédent donc Ker(f ) = {0E }.
Si Ker(f ) = {0E } alors ∀x, x0 ∈ E, f (x0 ) = f (x) ⇔ x0 − x ∈ Ker(f ) ⇔ x0 − x = 0E ⇔ x0 = x.
5.5.3
C.Q.F.D.
Noyau de X 7→ AX
Soit A ∈ Mn,p (K) et f : X 7→ AX ; f ∈ L (Kp ,Kn ).
Notons C1 , . . . ,Cp les colonnes de A.
Il existe une correspondance naturelle entre les éléments non nuls du noyau et les relations de dépendance linéaire
entre les Cj .
 
x1
p
p
X
X
 ..
p
En effet, pour tout X =  . ∈ K . On sait que AX =
xj Cj . Il en résulte X ∈ Ker(f ) ⇔
xj Cj = 0.
xp
j=1
j=1
Il en résulte que f est injective si et seulement si la famille C1 , . . . ,Cp est libre.
6
Isomorphismes
6.1
6.1.1
Généralités
Isomorphismes, automorsphismes
Rappel
Un isomorphisme est un homomorphisme bijectif et un automorphisme est un endomorphisme bijectif.
Exercice 25
Soit E un K-espace de dimension finie n muni d’une base B(e1 , . . . ,en ). Montrer que l’application ϕ : E → Kn
qui, à tout vecteur x ∈ E associe sa colonne de coordonnées dans la base B est un isomorphisme.
Exercice 26
À toute matrice M ∈ Mn,p (K), on associe ϕM ∈ L (Kp ,Kn ) définie par X 7→ M X.
1. Montrer que M 7→ ϕM est une application linéaire de Mn,p (K) dans L (Kp ,Kn ).
2. Que déduit-on de 5.2.1 pour M 7→ ϕM ? Injectivité? Surjectivité?
3. Montrer l’autre propriété (surjectivité, injectivité) et conclure.
6.1.2
Réciproque d’un isomorphisme
Propriété
Soit f : E → F un isomorphisme.
f −1 est linéaire ; c’est donc aussi un isomorphisme.
20
Démonstration
Soient y, y 0 ∈ F, x = f −1 (y), x0 = f −1 (y 0 ), λ ∈ K.
On a f (λx + x0 ) = λf (x) + f (x0 ) = λy + y 0 d’où f −1 (λy + y 0 ) = λx + x0 = λf −1 (y) + f −1 (y 0 ).
6.1.3
C.Q.F.D.
Composée d’isomorphismes
Proposition
Si f : E → F et g : F → G sont des isomorphismes, alors g◦f : E → G est un isomorphisme et (g◦f )−1 = f −1 ◦g −1 .
Démonstration
En exercice.
Définition
Deux espaces sont dits isomorphes lorsqu’il existe un isomorphisme de l’un dans l’autre.
D’après ce qui précède, la relation “E isomorphe à F ” est une relation d’équivalence.
6.1.4
Le groupe GL(E)
Définition
Soit E un espace vectoriel. On note GL(E) l’ensemble des automorphismes de E.
Propriétés :
•
•
•
•
La composition des automorphismes est une loi de composition interne.
Elle est associative.
IdE est un automorphisme ; c’est l’élément neutre de la composition.
Tout élément de GL(E) admet un symétrique pour la composition.
On dit que GL(E) est un groupe. C’est le groupe linéaire de l’espace E.
6.2
6.2.1
Isomorphismes en dimension finie
Caractérisation par les bases
Proposition
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n et (e1 , . . . ,en ) une base de E.
Soit f : E → F une application linéaire.
1. f est injective si et seulement si (f (e1 ), . . . ,f (en )) est libre.
2. f est surjective si et seulement si (f (e1 ), . . . ,f (en )) est génératrice.
3. f est un isomorphisme si et seulement si (f (e1 ), . . . ,f (en )) est une base de F .
21
Démonstration
1. Si f est injective, soient λ1 , . . . ,λn des scalaires tels que
n
X
n
X
λi f (ei ) = 0F . On a donc f
i=1
n
X
!
λi ei
= 0F d’où
i=1
λi ei = 0E car f est injective. Or (e1 , . . . ,en ) est libre donc les λi sont nuls et (f (e1 ), . . . ,f (en )) est libre.
i=1
Inversement, si (f (e1 ), . . . ,f (en )) est libre, soit x =
n
X
λi ei ∈ Ker(f ) alors 0F = f
i=1
n
X
!
λi ei
=
i=1
Il en résulte que les λi sont nuls donc x = 0E et f est injective.
2. Démonstration en exercice.
Exercice 27
(a) Montrer que, pour toute famille (u1 , . . . ,um ) d’éléments de E,
f (Vect(u1 , . . . ,um )) = Vect(f (u1 ), . . . ,f (um )).
(b) En déduire l’équivalence : f surjective ⇔ (f (e1 ), . . . ,f (en )) est génératrice.
3. C’est la conjonction des deux équivalences précédentes.
6.2.2
Espaces isomorphes, caractérisation par la dimension
Théorème
Deux espaces de dimension finie sont isomorphes si et seulement s’ils sont de même dimension.
Démonstration
C’est une condition nécessaire d’après ce qui précède.
Inversement, si E et F sont deux espaces de même dimension finie n munis respectivement de bases
B = (e1 , . . . ,en ) et C = (f1 , . . . ,fn ).
n
n
X
X
Soit f :
λi ei 7→
λi fi .
i=1
i=1
Exercice 28
Montrer que f est un isomorphisme.
6.2.3
Application au cas des suites récurrentes d’ordre 2
Exercice 29
Soit (a,b) ∈ K2 et E l’ensemble des suites (un )n∈N vérifiant ∀n ∈ N, un+2 = aun+1 + bun .
1. Montrer que E est un sous-espace vectoriel de KN .
2. Montrer que l’application f : E → K2 définie par f ((un )n∈N ) = (u0 ,u1 ) est un isomorphisme.
3. Montrer qu’une suite géométrique (q n )n∈N appartient à E si et seulement si q est solution de
(χ) λ2 − aλ − b = 0.
4. On suppose que (χ) admet deux solutions distinctes q1 , q2 .
Montrer que les suites (q1n )n∈N et (q2n )n∈N forment une base de E.
5. On suppose que (χ) admet une racine double q0 .
Montrer que (q0n )n∈N et (nq0n )n∈N forment une base de E.
22
n
X
i=1
λi f (ei ).
7
Modes de définition d’une application linaire
7.1
7.1.1
En dimension finie
Définition par l’image d’une base
Proposition
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n muni d’une base B = (e1 , . . . ,en ) et F un autre espace vectoriel.
Pour toute famille (y1 , . . . ,yn ) de vecteurs de F , il existe une unique application linéaire f de E dans F telle que,
pour tout j de 1 à n, f (ej ) = yj .
Démonstration
Si une telle application existe, alors ∀x =
Ensuite, on vérifie facilement que f : x =
n
X
j=1
n
X
j=1
7.1.2
xj ej , f (x) =
n
X
xj yj d’où l’unicité.
j=1
xj ej 7→
n
X
xj yj est bien linéaire et vérifie ∀j ∈ [[1, n]], f (ej ) = yj .
j=1
Cas où l’on connaı̂t une base de E et une de F ; notion de matrice d’une application linéaire
On se donne E un K-e.v de dimension p muni d’une base B = (e1 , . . . ,ep ), un K-e.v F de dimension n muni d’une
base C = (f1 , . . . ,fn ) et ϕ ∈ L (E,F ).
ϕ est complètement définie par 
les yj
= ϕ(ej ), 1 6 j 6 p.
a1,j
 ..
Pour tout j de 1 à p, soit Cj =  . la colonne des coordonnées de yj dans la base C de sorte que :
an,j
∀j ∈ [[1,p]], ϕ(ej ) = yj =
n
X
ai,j fi .
i=1
On forme la matrice A dont les colonnes sont les Cj , 1 6 j 6 p :
A = (C1 , . . . ,Cp ).
Définitions
La matrice A s’appelle la matrice de ϕ dans les bases B et C . Elle se note : A = M atB,C (ϕ).
Lorsque E = F et B = C et que ϕ ∈ L (E), la matrice A s’appelle la matrice de l’endomorphisme ϕ dans la base
B. C’est une matrice carrée. On la note M atB (ϕ).
Les propriétés des matrices des homomorphismes seront développées dans le chapitre suivant.
7.2
7.2.1
Cas où E se décompose en sous-espaces supplémentaires
Le résultat général
Théorème
Soient E et F deux espaces vectoriels, U et V deux sous-espaces de E tels que E = U ⊕ V .
Quels que soient u ∈ L (U,F ) et v ∈ L (V,F ), il existe une unique application linéaire f ∈ L (E,F ) telle que
f |U = u et f |V = v.
Démonstration
23
Exercice 30
1. Soit x ∈ E. Justifier qu’il existe y ∈ U et z ∈ V tels que x = y + z. Si f |U = u et f |V = v, que vaut f (x) en
fonction de y, z, u et v ?
Qu’a-t-on obtenu : existence? unicité?
2. Pour x = y + z ∈ E, on définit f (x) par l’expression trouvée à la question précédente.
(a)
(b)
(c)
(d)
Montrer que f (x) est défini sans ambigüité.
Montrer que f est linéaire.
Montrer que f |U = u et f |V = v.
Au terme de cette question n◦ 2, qu’a-t-on prouvé : existence? unicité?
On dit que f est le recollement de u et v.
7.2.2
Exemples
1. Soit E = U ⊕ V . Pour u ∈ L (U ) et v ∈ L (V ) il existe une unique f ∈ L (E) telle que f |U = u et f |V = v.
Montrer que U et V sont stables par f .
2. On se donne BU base de U et BV une base de V . On forme la base B de E adaptée à la décomposition
E = U ⊕ V obtenue par concaténation des bases BU et BV .
On pose A = M atBU (u) et B = M atBV (v).
Décrire la matrice de f dans la base B au moyen des matrices A et B.
8
Endomorphismes remarquables
8.1
8.1.1
Calculs sur les endomorphismes
Puissances
On définit, pour tout u ∈ L (E) et tout entier k : uk = |u ◦ ·{z
· · ◦ u}.
ntermes
Cette définition s’étend aux puissances négatives lorsque u est un automorphisme.
8.1.2
Formules de Newton et de Bernoulli
Si u et v commutent (i.e. u ◦ v = v ◦ u) alors :
∀n ∈ N, (u +
v)n
n X
n k n−k
=
u v
k
Formule de Newton
k=0
et
∀n ∈ N∗ , un − v n = (u − v)
n−1
X
uk v n−1−k = (u − v)
k=0
8.2
8.2.1
n−1
X
un−1−k v k
k=0
Identité et homothéties
Définition
Pour tout K-espace vectoriel E l’application IdE est un automorphisme de E.
Définition
Pour tout λ ∈ K, l’homothétie de rapport λ est l’application hλ = λ IdE .
24
Formule de Bernoulli
8.2.2
Propriétés
• Les homothéties sont linéaires (on sait que le produit d’une application linéaire par un scalaire est une
application linéaire).
• Lorsque λ 6= 0, hλ est un automorphisme et (hλ )−1 = h1/λ . (évident).
• Les homothéties commutent avec tous les endomorphismes de E (Le prouver en exercice)
8.3
Projecteurs et symétries associés à une décomposition en somme directe
8.3.1
Définitions
Soient E = F ⊕ G un K-e.v décomposé en somme de deux s.e.v supplémentaires.
Pour tout vecteur x ∈ E, il existe un unique y ∈ F et un unique z ∈ G tels que x = y + z.
On peut alors définir sans ambigüité (du fait de l’unicité de la décomposition) les applications suivantes :
Pour tout x = y + z, y ∈ F, z ∈ G
•
•
•
•
On peut résumer dans le tableau ci-dessous :
x
p(x)
q(x)
s(x)
s0 (x)
p(x) = y
q(x) = z
s(x) = y − z
s0 (x) = −y + z
=
y + z
=
y
=
z
=
y − z
= −y + z
Définitions
Avec les notations ci-dessus,
•
•
•
•
p est le projecteur sur F parallèlement à G
q est le projecteur sur G parallèlement à F
s est la symétrie par rapport à F parallèlement à G
s0 est la symétrie par rapport à G parallèlement à F .
Propriété
Les applications définies ci-dessus sont des endomorphismes de E.
Démonstration
Soient x = y + z, x0 = y 0 + z 0 deux éléments de E avec y, y 0 ∈ F, z, z 0 ∈ G et soit λ ∈ K.
Alors λx + x0 = λ(y + z) + (y 0 + z 0 ) = (λy + y 0 ) + (λz + z 0 ).
Comme λy + y 0 ∈ F et λz + z 0 ∈ G, l’écriture ci-dessus est la décomposition de λx + x0 suivant F ⊕ G donc
p(λx + x0 ) = λy + y 0 = λp(x) + p(x0 ) et idem pour q.
La linéarité de s et s0 résulte de ce qui suit.
8.3.2
Relations
Les applications IdE , p, q, s, s0 sont reliées les unes aux autres par diverses relations qui font l’objet de l’exercice
suivant.
Exercice 31
1.
2.
3.
4.
8.3.3
Relation entre p, q et IdE . En déduire q en fonction de p.
Exprimer s et s0 au moyen de p et IdE .
Exprimer p et q au moyen de IdE et s.
Relation entre s et s0 .
Caractérisations
25
Exercice 32
1. Soient E = F ⊕ G un espace décomposé en somme de s.e.v supplémentaires et p le projecteur sur F
parallèlement à G.
(a) Soit x ∈ E, x = y + z avec y ∈ F et z ∈ G. Que vaut p(y)? En déduire p ◦ p(x) = p(x).
(b) Montrer que F = Im(p) et G = Ker(p).
2. Soit E un K-espace vectoriel et p ∈ L (E) tel que p ◦ p = p.
On pose F = Ker( IdE − p) et G = Ker(p).
On veut montrer que F ⊕ G = E et que p est le projecteur sur F parallèlement à G.
Soit x ∈ E. Montrons qu’il existe un unique y ∈ F et un unique z ∈ G tels que x = y + z.
(a) On suppose qu’on a trouvé y ∈ F et z ∈ G tels que x = y + z. Calculer p(x) au moyen de y et z et en
déduire y puis z en fonction de x et p.
Qu’a-t-on obtenu : existence? unicité?
(b) On prend y et z obtenus dans la question précédente.
Montrer y ∈ F, z ∈ G et conclure.
Exercice 33
(a) Vérifier que si s est une symétrie (par rapport à un sous-espace F et parallèlement à un supplémentaire
G de F ), alors s ◦ s = IdE .
(b) Soit s un endomorphisme d’un K-e.v. E vérifiant s ◦ s = IdE .
1
i. On pose p = (s + IdE ). Montrer que p est un projecteur.
2
On note F son image et G son noyau.
ii. Montrer que s est la symétrie par rapport à F parallèlement à G.
En résumé, on les caractérisations suivantes :
• Un endomorphisme f d’un K-e.v; E est un projecteur si et seulement si f ◦ f = f
• Un endomorphisme f d’un K-e.v. E est une symétrie si et seulement si f ◦ f = IdE
8.3.4
Détermination des éléments caractéristiques
Pour un projecteur p sur F parallèlement à G, on a vu que F = Im(p) = Ker( IdE − p) et G = Ker(p). Ces deux
sous-espaces constituent ses éléments caractéristiques.
Il est facile de déterminer G en résolvant l’équation G(x) = 0.
Pour F = Im(p) = Ker(p − IdE ), c’est généralement en résolvant p(x) = x c’est-à-dire en cherchant le noyau de
p − IdE qu’on le trouve le plus facilement.
Pour une symétrie, avec les mêmes notations, ce sont à nouveau F et G les éléments caractéristiques.
On dit parfois que p est le projecteur de base F et de direction G.
On dit de même que s est la symétrie de base F et de direction G.
Exercice 34
Pour une symétrie s de base F et de direction G, montrer que F = Ker(s− IdE ) (Ensemble des vecteurs invariants)
et que G = Ker(s + IdE ) = {x ∈ E, s(x) = −x} (Ensemble des vecteurs anti-variants ).
26
9
Théorie du rang
9.1
9.1.1
Rang des applications linéaires
Applications linéaires de rang fini
Définition
Soient E et F deux K-e.v. et f ∈ L (E).
On dit que f est de rang fini lorsque Im(f ) est de dimension finie et on pose alors rg(f ) = dim(Im(f )).
Exemple important
Si E ou F est de dimension finie alors tout élément f de L (E,F ) est de rang fini et rg(f ) 6 min{dim(E), dim(F )}.
Démonstration
∗ Si E est dimension finie p muni d’une base (e1 , . . . ,ep ) alors Im(f ) = Vect(f (e1 ), . . . ,f (ep )) est de dimension
finie inférieure ou égale à p.
∗ Si F est de dimension finie, Im(f ) est un sous-espace de F donc est de dimension finie inférieure ou égale à
dim(F ).
9.1.2
Détermination du rang
Soit E de dimension finie p et f : E → F un homomorphisme. Posons r = rg(f ).
On suppose E muni d’une base (e1 , . . . ,ep ). On sait qu’alors (f (e1 ), . . . ,f (ep )) est une famille génératrice de Im(f ).
On peut en extraire une base (f (ej1 ), . . . ,f (ejr )) avec j1 < j2 < · · · < jr .
Prenons A ∈ Mn,p (K) et f : Kp → Kn définie par X 7→ AX. En prenant (e1 , . . . ,ep ) la base canonique,
f (e1 ), . . . ,f (ep ) sont les colonnes de A.
L’extraction d’une base de Im(f ) peut se faire suivant le procédé décrit en 3.1.1
Ce procédé fournit aussi une base du noyau.
En effet, pour tout j ∈
/ {j1 , . . . ,jr }, Cj ∈ Vect{eik , ik < j} ce qui fournit
une relation de dépendance linéaire de la
 
•
 ..
 .
 
•
X
 

forme −
αk,j Cik + Cj = 0. Il lui correspond un élément du noyau 
1 ← j.


ik <j
0
 ..
 .
0
Le caractère étagé de cette famille montre qu’elle est libre et son cardinal p − r est égal à la dimension du noyau.
9.1.3
Rang d’une composée
Proposition
Soient E, F, G trois K-e.v. f : E → F et g : F → G deux homomorphismes dont l’un au moins est de rang fini.
Alors g ◦ f est de rang fini et rg(g ◦ f ) 6 min(rg(f ), rg(g)).
Démonstration
27
Exercice 35
1.
2.
3.
4.
9.1.4
Montrer que Im(g ◦ f ) = g(Im(f ))
En déduire rg(g ◦ f ) 6 rg(g)
Montrer que Im(g ◦ f ) = Im(g|Im(f ) ).
En déduire que rg(g ◦ f ) 6 rg(f ) et conclure.
Invariance par composition par un isomorphisme
Proposition
Soit g : F → G est de rang fini et soient f : E → F et h : G → H deux isomorphismes.
Alors h ◦ g et g ◦ f sont de rang fini et on a rg(h ◦ g) = rg(g) = rg(g ◦ f ).
Démonstration
Im(g ◦ f ) = Im(g) car f est surjective d’où rg(g ◦ f ) = rg(g).
Les isomorphismes conservent les dimensions des sous-espaces donc :
rg(h ◦ g) = dim(Im(h ◦ g)) = dim(h(Im(g))) = dim(Im(g)) = rg(g).
9.2
9.2.1
Le théorème du rang
Restriction à un supplémentaire du noyau
Proposition
Soient E, F deux K-espaces vectoriels, f ∈ L (E,F ) et U un supplémentaire de Ker(f ) dans E et V = Im(f ) ⊂ F .
Soit f˜ : U → V définie par ∀x ∈ U, f˜(x) = f (x). Alors f˜ est un isomorphisme.
Démonstration
Ker(f˜) = U ∩ Ker(f ) = {0} donc f˜ est injective.
Soit y ∈ V . Il existe x ∈ E tel que y = f (x) puis il existe u ∈ U et z ∈ Ker(f ) tels que x = u + z. Mais alors
y = f (x) = f (u) car x − u ∈ Ker(f ) d’où y = f˜(u) et ainsi, f˜ est surjective.
C.Q.F.D.
Remarque :
On résume parfois (un peu abusivement, il est vrai) ce théorème en disant que “Tout supplémentaire du noyau
est isomorphe à l’image”.
9.2.2
Le théorème du rang
Ce théorème est une conséquence immédiate de la propriété précédente.
Théorème
Soit E un Ke.v de dimension finie et f : E → F un homomorphisme. On sait que f est de rang fini et on a :
dim(E) = dim(Ker(f )) + rg(f )
Démonstration
Soit U un supplémentaire de Ker(f ) dans E.
Comme il est isomorphe à Im(f ), on a dim(E) = dim(Ker(f )) + dim(U ) = dim(Ker(f )) + rg(f ).
28
C.Q.F.D.
9.2.3
Application : La triple équivalence
Théorème
Soient E et F deux K-e.v de même dimension finie et f ∈ L (E,F ).
Les trois propriétés suivantes sont équivalentes :
1. f est bijective.
2. f est injective.
3. f est surjective.
Il y a juste à prouver 2 ⇒ 1 et 3 ⇒ 1 qui se déduit de 2 ⇔ 3. et résulte alors de dim(E) = dim(F ) = dim(Ker(f ))+
dim(Im(f )).
9.3
9.3.1
Équations linéaires
Généralités
Définition
On appelle équation linéaire toute équation de la forme y = f (x) où l’inconnue x appartient à un K-espace
vectoriel E, le second membre y appartient à un (autre) K-e.v F et f ∈ L (E,F ).
Exemples
1. Les équations différentielles linéaires d’ordre 1
Soit (E ) : y 0 − a(x)y = b(x).
Exercice 36
Quelle est l’inconnue?, le second membre? Les espaces E et F et l’application f ?
2. Les équations d’ordre 2.
Soit (E ) : y 00 − ay 0 − by = h.
Exercice 37
Mêmes questions.
3. Les suites récurrentes linéaires d’ordre 2.
Exercice 38
Montrer que la recherche de suites (un )n∈N vérifiant, pour tout n ∈ N, un+2 = aun+1 + bun équivaut à la
résolution d’une équation linéaire. On donnera à nouveau E, F et f ∈ L (E,F ).
9.3.2
Équation homogène
Les solutions de l’équation homogène f (x) = 0 forment le noyau de f ; c’est donc un sous-espace vectoriel de E.
Exercice 39
Reprendre les solutions des équations différentielles homogènes et les suites récurrentes linéaires d’ordre 2.
9.3.3
Équation avec second membre
Soit (E ) : f (x) = y avec y quelconque (de préférence non nul) et soit (E 0 ) : f (x) = 0 l’équation homogène
associée.
29
Proposition
Soit x0 une solution particulière de (E ).
La solution générale de (E ) est la somme de x0 et de la solution générale de (E 0 ).
Autrement dit, toute solution x de (E ) est de la forme x0 + x0 avec x0 solution de (E 0 ) et inversement, pour toute
solution x0 de (E 0 ), x0 + x0 est solution de (E ).
Démonstration : En exercice.
9.3.4
Système homogène

a1,1 x1 + a1,2 x2 + · · ·



 a2,1 x1 + a2,2 x2 + · · ·
Soit (S0 )
..

.



an,1 x1 + an,2 x2 + · · ·
+ a1,p xp
+ a2,p xp
..
.
= 0
= 0
.. un système linéaire homogène.
.
+ an,p xp = 0
Posons A = (ai,j )16i6n la matrice du système.
16j6p
La résolution du système équivaut à la recherche du noyau de
f : Kp → Kn
.
X 7→ AX
Il résulte de l’étude précédente que l’ensemble des solutions est un sous-espace de Kp de dimension p − r où r est
le rang de f .
D’un autre côté, on a une définition du rang s d’un système comme étant le nombre de lignes de la forme échelonnée
réduite dudit système.
Les solutions s’expriment alors au moyen de p − s paramètres λ1 , . . . ,λp−s correspondant aux p − s inconnues
secondaires.
On a ainsi une surjection linéaire de Kp−s sur l’ensemble des solutions.
Les images des vecteurs de la base canonique de Kp−s ornent une famille échelonnée, donc libre, de solutions.
L’espace des solutions est donc de dimension p − s et ainsi s = r.
On dispose donc de deux méthodes pour trouver une base du noyau de f :
1. Résolution par pivot de Gauss. On exprime les solutions au moyen de p − s paramètres. Il est possible
d’exprimer les solutions comme combinaison linéaires d’une base avec les paramètres comme coordonnées.
2. On extrait une base de Im(f ). Le procédé fournit des relations de dépendance linéaire qui donnent une base
du noyau.
9.3.5
Système avec second membre

a1,1 x1 +



 a2,1 x1 +
On considère le système (S )
..

.



an,1 x1 +

a1,2 x2
a2,2 x2
+ ···
+ ···
+ a1,p xp
+ a2,p xp
..
.
= b1
= b2
.. .
.
an,2 x2 + · · · + an,p xp = bn

b1
 
Notons C1 , . . . ,Cp les colonnes de A et B =  ...
bn
p
X
Le système peut s’écrire AX = B. Il équivaut à B =
xj Cj .
j=1
Ce système est compatible si et seulement si B ∈ Im(f ).
D’un autre côté, on sait que ce même système est compatible si et seulement si b1 , . . . ,bn vérifient les relations de
compatibilité.
30
On peut donc dire que les relations de compatibilité forment un système d’équations de Im(f ).
31