Généralités : Espaces, sous-espaces, familles de vecteurs

Espaces vectoriels
Premi`ere partie
G´en´eralit´es : Espaces, sous-espaces, familles de
vecteurs
1 Espaces et sous-espaces
1.1 Structure de K-espace vectoriel
1.1.1 D´efinition et propri´et´es ´el´ementaires
On pose Kle corps des nombres r´eels ou des nombres complexes.
D´efinition
On appelle espace vectoriel sur le corps Ko`u K-espace vectoriel tout ensemble non vide Emuni d’une loi de
composition interne not´ee + et d’une loi de composition externe c’est-`a-dire d’une application de K×Edans E
qui a tout couple (λ, x) associe un ´el´ement not´e λ.x v´erifiant les propri´et´es suivantes :
• V1: (E, +) est un groupe commutatif. Son ´el´ement neutre est not´e 0 ou 0E.
• V2:∀λ∈K,∀(u, v)∈E2, λ.(u+v) = λ.u +λ.v.
• V3:∀(λ, µ)∈K2,∀u∈E, (λ+µ).u =λ.u +µ.u.
• V4:∀(λ, µ)∈K2,∀u∈E, λ.(µ.u)=(λµ).u
• V5:∀u∈E, 1.u =u.
Les ´el´ements d’un espace vectoriel sont appel´es vecteurs.
Soit Eun K-espace vectoriel.
1. Propri´et´e 1 :
∀u∈E, 0.u = 0.
D´emonstration :
0.u +u= 0u+ 1.u = (0 + 1).u = 1.u =ud’o`u 0.u = 0.
2. Propri´et´e 2 :
∀u∈E, ∀λ∈K, λu = 0 ⇔λ= 0 ou u= 0.
D´emonstration :
Soient λ∈Ket u∈Etels que λ.u = 0. Si λ6= 0, alors on a λ−1.(λ.u) = λ−1.0 = 0.
Or λ−1.(λ.u)=(λ−1.λ).u = 1.u. D’o`u u= 0.
3. Pour tout vecteur u, on d´esigne par −ul’oppos´e de upour la loi de groupe additif.
Propri´et´e 3 :
On a alors : ∀u∈E, (−1).u =−u.
D´emonstration :
(−1).u +u= (−1).u + 1.u = (−1 + 1).u = 0.u = 0 d’o`u la propri´et´e.
4. Propri´et´e 4 :
∀(λ, µ)∈K2,∀u∈E, (λ−µ)u=λu −µu.
D´emonstration :
(λ−µ)u+µ.u = (λ−µ+µ).u =λ.u.
5. Propri´et´e 5 :
∀λ∈K,∀(u, v)∈E2, λ.(u−v) = λ.u −λ.v.
D´emonstration :
λ.(u−v) + λ.v =λ.[(u−v) + v] = λ.u.
1

1.1.2 Exemples de r´ef´erence
•Knest l’ensemble des n-uplets 
x1
x2
.
.
.
xn
d’´el´ements de K.
On les note verticalement.
L’addition est d´efinie par 
x1
x2
.
.
.
xn
+
y1
y2
.
.
.
yn
=
x1+y1
x2+y2
.
.
.
xn+yn
et le produit par les scalaires par λ
x1
x2
.
.
.
xn
=
λx1
λx2
.
.
.
λxn
•K[X], muni de l’addition et du produit par les scalaires est un K-espace vectoriel.
•Si Ω est un ensemble non vide, l’ensemble KΩ, encore not´e F(Ω,K), des applications de Ω dans Kest muni
d’une structure d’espace vectoriel en posant, pour toutes fet g∈KΩ,f+gest l’application x7→ f(x)+g(x)
et, pour toute fonction fet tout scalaire λ,λf est l’application x7→ λf(x).
•Un cas particulier est celui o`u Ω = N. Les applications de Ndans Ksont les suites num´eriques (xn)n∈N.
Pour U= (un)n∈N, V = (vn)n∈Net λ∈K, on a U+V= (un+vn)n∈Net λU = (λun)n∈N.
•Pour (n,p)∈(N∗)2,Mn,p(K) est un K-espace vectoriel. On peut l’identifier `a l’ensemble K[[1,n]]×[[1,p]].
En effet la matrice (mi,j)16i6n
16j6m
s’identifie `a l’application [[1,n]] ×[[1,p]] →K
(i,j)7→ mi,j
1.2 Combinaisons lin´eaires
1.2.1 Combinaisons lin´eaires d’un nombre fini de vecteurs
D´efinition
Soit Eun K-espace vectoriel, pour tout n∈N∗pour toute famille de vecteurs (x1, x2, . . . ,xn)∈Enet toute famille
(λ1, λ2, . . . ,λn)∈Kn, on dit que le vecteur
n
X
i=1
λixiest une combinaison lin´eaire des vecteurs x1, x2, . . . ,xn.
1.2.2 Exemples
Cas de 1, 2, 3 vecteurs.
•Soit Eun K-espace vectoriel et x∈E, les combinaisons lin´eaires de xsont les vecteurs λx, λ ∈K.
Lorsque xest le vecteur nul, qu’obtient-on?
•Les combinaisons lin´eaires de deux vecteurs xet ysont les λx +µy, (λ,µ)∈K2.
Exercice 1
Montrer que, dans R3, les combinaisons lin´eaires de 
1
0
−1
et 
2
1
−3
sont les triplets 
x
y
z
tels que
x+y+z= 0.
•Enfin, les combinaisons lin´eaires de trois vecteurs x, y et zsont les λx +µy +νz, (λ, µ, ν)∈R3
Exercice 2
Montrer que, tout ´el´ement de R3est combinaison lin´eaire de 
1
1
0
,
1
0
1
et 
1
1
1
.
2

1.2.3 Transitivit´e de la combinaison lin´eaire
Il s’agit de la proposition suivante :
Soient Eun K-espace vectoriel, x1, . . . ,xndes vecteurs de Eet y1, . . . ,ypdes combinaisons lin´eaires de x1, . . . ,xn.
Toute combinaison lin´eaire de y1, . . . ,ypest une combinaison lin´eaire de x1, . . . ,xn.
Autrement dit : “Une combinaison lin´eaire de combinaisons lin´eaires de vecteurs x1, . . . ,xnest une combinaison
lin´eaire de x1, . . . ,xn”.
Exercice 3
Faire la d´emonstration dans le cas de p= 2.
On prend deux vecteurs yet y0qui sont des combinaisons lin´eaires de x1, . . . ,xn.
Montrer que, pour tout (α, α0)∈K2, αy +α0y0est une combinaison lin´eaire de x1, . . . ,xn.
La d´emonstration g´en´erale est analogue ou peut se faire par r´ecurrence `a partir de ce qu’on vient de prouver.
1.3 Sous-espaces vectoriels
1.3.1 D´efinitions
Soit Eun K-espace vectoriel.
Exercice 4
Montrer l’´equivalence des trois d´efinitions suivantes :
D´efinition 1
Une partie Fnon vide de Eest un sous-espace vectoriel de Esi et seulement si :
∀(x, y)∈F2,∀(λ,µ)∈K2, λx +µy ∈F
D´efinition 2
Une partie Fnon vide de Eest un sous-espace vectoriel de Esi et seulement si :
∀(x,y)∈F2, x +y∈Fet ∀x∈F, ∀λ∈K, λx ∈F
D´efinition 3
Une partie Fnon vide de Eest un sous-espace vectoriel de Esi et seulement si :
∀(x, y)∈F2,∀λ∈K, λx +y∈F
En r´esum´e : Un sous-espace vectoriel est une partie non vide et stable pour la combinaison lin´eaire.
3

1.3.2 Exemples
•Si Iest un intervalle, C(I,R) est un sous-espace vectoriel de F(I,R).
De mˆeme, l’ensemble des fonctions d´erivables sur Iest un sous-espace de C(I,R).
•Les Kn[X] sont des sous-espaces vectoriels de K[X].
•Soit (a,b,c)∈K3.
x
y
z
∈K3, ax +by +cz = 0
est un sous-espace vectoriel de K3(Le prouver en
exercice).
1.3.3 Sous-espace engendr´e par une famille finie
Soient Eun K-espace vectoriel et (x1, . . . ,xn) une famille finie d’´el´ements de E.
On note Vect{x1, . . . ,xn}l’ensemble des combinaisons lin´eaires de x1, . . . ,xn.
D´efinition
On dit que Vect(x1, . . . ,xn) est le sous-espace engendr´e par x1, . . . ,xn.
Exercice 5
Montrer que Vect(x1, . . . ,xn) est un sous-espace vectoriel de E.
Exemples
1. Un sous-espace engendr´e par un vecteur non nul uest appel´e la droite vectorielle engendr´ee par u.
Comme c’est l’ensemble des ku, k ∈K, on la note Ku.
2. Deux vecteurs uet vsont dits ind´ependants lorsque v /∈Kuet u /∈Kv.
Lorsque uet vsont deux vecteurs ind´ependants, on dit que Vect(u, v) est un plan vectoriel. C’est le plan
engendr´e par uet v.
Exercice 6
(a) Montrer que l’ensemble des fonctions de la forme x7→ ρsin(x−x0), ρ ∈R, x0∈Rest un plan vectoriel.
(b) Montrer que, dans F(R,R), l’espace engendr´e par les fonctions x7→ exet x7→ e−xest un plan vectoriel
et qu’il est aussi engendr´e par les fonctions ch et sh.
1.3.4 Intersection d’une famille de sous-espaces vectoriels
Exercice 7
Soit A={x1, . . . , xn}. Montrer que Vect{x1, . . . ,xn}est l’intersection de tous les sous-espaces contenant A.
Exercice 8
Montrer la propri´et´e suivante :
Propri´et´e :
L’intersection d’une famille quelconque non vide de sous-espaces vectoriels d’un K-e.v Eest un sous-e.v de E.
Application :
Soit Eun K-espace vectoriel et Aune partie de E. D’apr`es ce qui pr´ec`ede, l’intersection de tous les sous-espaces
de Econtenant Aest un sous-espace contenant A.
Par d´efinition, il est inclus dans tous les sous-espaces contenant A. C’est donc le plus petit sous-espace contenant A.
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D´efinition
Soit Eun espace vectoriel et Aune partie de E. On appelle Vect(A) l’intersection de tous les sous-espaces vectoriels
de Econtenant A.
Et la r´eunion?
Exercice 9
Soient Uet Vdeux sous-espaces d’un K-e.v. E.
Montrer, en raisonnant par l’absurde, que U∪Vest un sous-espace vectoriel si et seulement si U⊂Vou V⊂U.
1.4 Sommes et sommes directes
1.4.1 Somme de deux sous-espaces vectoriels
D´efinition
Soit Eun K-espace vectoriel, Uet Vdeux sous-espaces. On appelle somme de Uet Vet on note U+Vl’ensemble
des vecteurs de Equi sont somme d’un ´el´ement de Uet d’un ´el´ement de V.
U+V={x∈E, ∃u∈Uet ∃v∈V|x=u+v}
Propri´et´e :
U+Vest un sous espace vectoriel et U+V= Vect(U∪V)
D´emonstration :
U+V6=∅car 0 ∈U, 0∈Vdonc 0 = 0 + 0 ∈U+V.
Soient x=u+v, x0=u0+v0∈U+Vet λ∈Kalors λx +x0= (λu +u0)+(λv +v0)∈U+Vcar
λu +u0∈Uet λv +v0∈V.
Ensuite U+Vcontient U∪Vcar ∀u∈U, u =u+ 0 avec 0 ∈Videm pour tout v∈V.
Si Fest un sous-espace vectoriel contenant Uet Valors, par stabilit´e de Fpour l’addition, les sommes des
´el´ements de Uet de Vsont dans Fdonc U+V⊂F.
Comme U+Vest lui-mˆeme un sous-espace vectoriel, c’est l’intersection de tous les s.e.v contenant U∪V.
1.4.2 Sommes directes
D´efinition
Soit Eun K-e.v ; on dit que deux sous-espaces Uet Vde Esont en somme directe ou que la somme U+Vest
directe lorsque U∩V={0}.
La somme des sous-espaces Uet Vse note alors U⊕V.
Caract´erisation
Deux sous-espaces Uet Vsont en somme directe si et seulement si ∀x∈U+V, ∃!u∈Uet ∃!v∈V, x =u+v.
Remarque : l’int´erˆet de cette proposition r´eside ´evidemment dans l’unicit´e.
D´emonstration :
Si la somme est directe, soit x=u+v=u0+v0∈U+Vavec u, u0∈Uet v, v0∈V. On a alors u−u0=v0−v∈U∩V
d’o`u u−u0=v0−v= 0 donc u=u0et v=v0.
Inversement, si ∀x∈U+V, ∃!u∈Uet ∃!v∈V, x =u+valors soit x∈U∩V. On peut ´ecrire x=x+ 0 avec
x∈Uet 0 ∈Vet aussi x= 0 + xavec 0 ∈Uet x∈Vd’o`u 0 = xet x= 0. C.Q.F.D.
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