Analyse fonctionnelle - Université d`Orléans

Universit´e d’Orl´eans
UFR Sciences
D´epartement de Math´ematiques
Master de Math´ematiques
M1S1MT05 – Analyse fonctionnelle
Automne 2007
Page web :
http : //www.univ–orleans.fr/mapmo/membres/anker/enseignement/AF1.html
3. Dualit´e et r´eflexivit´e
Dans ce chapitre, Ed´esigne un espace vectoriel norm´e sur F=Rou C.
Rappels :
•Le dual topologique E∗de Eest l’ensemble des formes lin´eaires continues sur E.
•E∗est un espace de Banach pour la norme d’op´erateur.
Proposition : E6= 0 =⇒E∗6= 0 .
Plus pr´ecis´ement, pour tout x∈E, il existe f∈E∗avec kfk=1 et f(x)=kxk.
C’est un corollaire du th´eor`eme de Hahn–Banach.
D´efinition–Propri´et´e :
•Le plongement canonique Jde Edans son bidual E∗∗ = (E∗)∗est d´efini par
J(x)(f) = f(x)∀x∈E , ∀f∈E∗.
•Jest une application lin´eaire isom´etrique.
•Eest r´eflexif si Jest bijectif i.e. surjectif.
D´efinition : Un espace norm´e Eest r´eflexif si le plongement canonique J:E→E∗∗
est surjectif.
Exemples :
•Tout espace norm´e de dimension finie est r´eflexif.
•Tout espace de Hilbert est r´eflexif.
•ℓp(N) [ resp. Lp(R) ] est r´eflexif ∀1< p < +∞.
•c0(N) [ resp. C0(R) ] , ℓ1(N) [ resp. L1(R) ] et ℓ∞(N) [ resp. L∞(R) ] ne sont pas
r´eflexifs.
•cc(N) [ resp. Cc(R) ] n’est r´eflexif pour aucune norme k.kp.
•CN( [ 0,1 ] ) n’est pas r´eflexif.
Remarques :
•Tout espace r´eflexif est complet.
•R´ealisation dans E∗∗ du compl´et´e de E:
◦b E=J(E) est un espace de Banach,
◦Jest une isom´etrie de Edans b E,
◦J(E) est dense dans b E.
Proposition : Soit Fun sous–espace de E. Alors Fest dense dans Esi et seulement
si f=0 est l’unique ´el´ement de E∗qui s’annule sur F.
La seconde partie de ce chapitre est consacr´ee `a la topologie faible et `a la caract´erisation
de la r´eflexivit´e au moyen de la compacit´e faible de la boule–unit´e
BE={x∈E| kxk ≤ 1}.
D´efinition : La topologie forte sur Eest la topologie m´etrique standard, d´efinie par la
distance d(x, y) = kx−yk.
Rappel : Th´eor`eme de finitude de Riesz
BEest compacte pour la topologie forte ⇐⇒ Eest de dimension finie.

D´efinition : La topologie faible σ(E, E∗) sur Eest la topologie initiale pour les appli-
cations f∈E∗.
Propri´et´e 1 : Tout ouvert pour la topologie σ(E, E∗) est une r´eunion de semi–boules
B(x0;f1,...,fn;r) = {x∈E| |fj(x)−fj(x0)|< r ∀1≤j≤n},
o`u x0∈E,f1,...,fn∈E∗,r > 0 .
Propri´et´e 2 : La topologie σ(E, E∗) est s´epar´ee.
Propri´et´e 3 : La topologie σ(E, E∗) est contenue dans la topologie forte sur E, avec
´egalit´e en dimension finie.
Propri´et´e 4 : Soient (xn) une suite dans Eet x∈E. Alors :
(i) xn→xfortement =⇒xn→xfaiblement.
(ii) xn→xfaiblement ⇐⇒ f(xn)→f(x)∀f∈E∗ .
(iii) (xn) converge faiblement =⇒(xn) est born´ee .
(iv) xn→xfaiblement et fn→fdans E∗fortement =⇒fn(xn)→f(x) .
Le point (iii) se d´emontre en appliquant le th´eor`eme de Banach–Steinhaus aux formes
lin´eaires J(xn) sur E∗. Comme J(xn) converge ponctuellement, on a
supnkxnk= supnkJ (xn)k<+∞.
Le point (iv) se d´emontre en estimant
|fn(xn)−f(x)| ≤ |(fn−f)(xn)|+|f(xn−x)| ≤ kfn−fk
|{z }
→0
kxnk
|{z}
≤C
+kfk kxn−xk
|{z }
→0
→0.
Propri´et´e 5 : Soit fune forme lin´eaire sur E.
Alors fest faiblement continue ⇐⇒ fest fortement continue i.e. f∈E∗.
Propri´et´e 6 : Si Eest un espace norm´e complexe, d´esignons par Fl’espace norm´e r´eel
obtenu par restriction des scalaires. Alors les topologies faibles σ(E, E∗) et σ(F, F ∗)
co¨ıncident.
La d´emonstration repose sur les relations suivantes entre E∗et F∗:
•`a tout f∈E∗, on associe u∈F∗par u(x) = Re f(x) ;
•`a tout u∈F∗, on associe f∈E∗par f(x) = u(x)−i u(ix) .
En dimension infinie, la topologie faible σ(E, E∗) est strictement incluse dans la topolo-
gie forte, comme le montrent les faits suivants.
Propri´et´e 7 : En dimension infinie,
(i) tout ensemble born´e dans Ea un int´erieur vide pour la topologie σ(E, E∗), en
particulier aucune boule B(x0, r) = {x∈E| kx−x0k< r}de rayon r > 0 n’est
faiblement ouverte ;
(ii) l’adh´erence faible de la sph`ere S(x0, r) = {x∈E| kx−x0k ≤ r}est la boule
B′(x0, r) = {x∈E| kx−x0k ≤r}.
Toutefois les ensembles convexes ferm´es sont les mˆemes.
Propri´et´e 8 : Soit Cune partie convexe de E.
Alors Cest faiblement ferm´ee ⇐⇒ Cest fortement ferm´ee.
D´emonstration :
=⇒r´esulte de l’inclusion de la topologie faible dans la topologie forte.
⇐= r´esulte de la forme g´eom´etrique du th´eor`eme de Hahn–Banach. Plus pr´ecis´ement,
apr`es s’ˆetre r´eduit au cas r´eel grˆace `a la propri´et´e 6, on ´ecrit Ccomme intersection de
demi–espaces f(x)≤α, avec f∈E∗et α∈R, qui sont des ensembles faiblement ferm´es.

Propri´et´e 9 (th´eor`eme de Mazur) : Soit (xn) une suite convergeant faiblement
vers un point xdans E. Alors une suite de combinaisons convexes des xnconverge
fortement vers x.
D´emonstration : On applique la propri´et´e 8 `a l’ensemble convexe ferm´e
C=Tnco {xm|m≥n}.
Propri´et´e 10 : Les conditions suivantes sont ´equivalentes, pour une application lin´eaire
T:E→Fentre deux espaces de Banach :
(i) Test continue pour les topologies fortes,
(ii) Test continue pour les topologies faibles,
(iii) Test continue pour la topologie forte sur Eet pour la topologie faible sur F.
D´emonstration :
(i) ⇒(iii) et (ii) ⇒(iii) : imm´ediat.
(i) ⇒(ii) et (iii) ⇒(ii) : D’apr`es la propri´et´e universelle de la topologie initiale, il s’agit
de voir que, pour tout f∈F∗, l’application f◦T:E−→ Fest continue pour la
topologie σ(E, E∗). Or f◦Test une forme lin´eaire sur E, qui est continue pour la
topologie forte sur E, comme compos´ee d’applications lin´eaires continues. Elle est aussi
continue pour la topologie σ(E, E∗), d’apr`es la propri´et´e 5.
(ii) ⇒(i) : Le graphe de Test un ensemble convexe dans E×F, qui est ferm´e pour la
topologie σ(E, E∗)×σ(F, F ∗) = σ(E×F , E∗×F∗). D’apr`es la proposition 8, il est ferm´e
pour la topologie forte sur E×F. Le th´eor`eme du graphe ferm´e implique (i).
D´efinition : La topologie faible σ(E∗, E) sur E∗est la topologie initiale pour les ap-
plications J(x)∈J (E) .
Propri´et´e 1∗:Tout ouvert pour la topologie σ(E∗, E) est une r´eunion de semi–boules
B(f0;x1, . . . , xn;r) = {f∈E∗| |f(xj)−f0(xj)|< r ∀1≤j≤n},
o`u f0∈E∗ ,x1,...,xn∈E,r >0 .
Propri´et´e 2∗:La topologie σ(E∗, E) est s´epar´ee.
Propri´et´e 3∗:On a les inclusions suivantes de topologies sur E∗:
σ(E∗, E)⊂σ(E∗, E∗∗)⊂topologie forte ,
avec ´egalit´es en dimension finie.
Propri´et´e 4∗:Soient (fn) une suite dans E∗et f∈E∗. Alors :
(i) fn→ffortement =⇒fn→fpour σ(E∗, E∗∗) =⇒fn→fpour σ(E∗, E).
(ii) fn→fpour σ(E∗, E)⇐⇒ fn(x)→f(x)∀x∈E.
(iii) (fn) converge pour σ(E∗, E) =⇒(fn) est born´ee,
si Eest un espace de Banach.
(iv) fn→fpour σ(E∗, E) et xn→xfortement dans E=⇒fn(xn)→f(x).
Propri´et´e 5∗:Les formes lin´eaires sur E∗, qui sont continues pour la topologie
σ(E∗, E), sont les ´el´ements de J(E).
La d´emonstration repose sur le r´esultat suivant d’alg`ebre lin´eaire.
Lemme : Soient Vun espace vectoriel sur Fet f0,f1,... ,fndes formes lin´eaires
sur V. Alors f0∈Ff1+... +Ffn⇐⇒ ker f0⊃ker f1∩... ∩ker fn.
Corollaire : Eest r´eflexif ⇐⇒ σ(E∗, E) = σ(E∗, E∗∗) .

Th´eor`eme de Banach–Alaoglu–Bourbaki : Toute boule
B′(f0, r) = {f∈E∗| kf−f0k ≤ r}
dans E∗est compacte pour la topologie σ(E∗, E) .
Th´eor`eme de Kakutani : Eest r´eflexif ⇐⇒ la boule–unit´e BE={x∈E| kxk≤1}
est compacte pour la topologie σ(E, E∗).
La d´emonstration de l’implication ⇐= repose sur le r´esultat suivant, qui est un cas
particulier du th´eor`eme des bipolaires (voir TD).
Proposition : J(BE) est dense dans J(BE∗∗ ) pour la topologie σ(E∗∗, E∗).
Corollaire : Tout sous–espace ferm´e d’un espace r´eflexif est r´eflexif.
Corollaire : Soit Eun espace de Banach. Alors Eest r´eflexif ⇐⇒ E∗est r´eflexif .
Exemple : c0non r´eflexif =⇒ℓ1≡(c0)∗non r´eflexif =⇒ℓ∞≡(ℓ1)∗non r´eflexif .