LES DROITES ET LES PENTES

LESDROITESETLESPENTES
Sommaire
1.Composantesdel'équationd'unedroite................................................................................1
2.Commentobtenirl'équationd'unedroite..............................................................................2
3.Applicationàlamicroéconomie..............................................................................................3
3.1.Courbedelademande....................................................................................................3
3.2.Problèmesd'élasticité.....................................................................................................7
4.Exercices..................................................................................................................................9
Notionsrequisesauxcours:Analysemicro‐économique,Économie
managériale.
Unedroiteestunefonctionquipeutêtreécritesouslaforme
Particularité:Graphiquement,unedroiteestunefonctiondontl'inclinaisonest
constanteentoutpoint.
1. Composantesdel'équationd'unedroite
Lapente,quiestreprésentéeparlalettrem,mesurel'inclinaisondeladroite.
Ellecorrespondàlavariationdelavaleurdeylorsquexaugmented'uneunité.
Graphiquement,elleexprimelavariationverticaledeladroitepourun
déplacementhorizontald'uneunitépositive.
Siladroitepasseparlespoints,
et, ),lapenteestobtenueparla
relation
∆
∆ 
L'ordonnéeàl'origine,quiestreprésentéeparlalettreb,estlavaleurdey
lorsquexestzéro.Ils'agitdoncdelapositiondeladroitelorsquecelle‐cicroise
l'axedesy.

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Exemple
L'équation    représenteunedroitedontlapenteest3  3et
dontl'ordonnéeàl'origineest‐4   4.
Notezbienquelesvariablesetsonttoutàfaitarbitraires.Ellespourraient
toutaussibienêtrenomméeset,commec'estlecasdanslescourbesd'offre
etdedemande.Ilestseulementimportantdedéterminerlaquelledesvariables
constituelavariableindépendante(quel'onplacesurl'axehorizontal)etlaquelle
constituelavariabledépendante(quel'onplacesurl'axeverticale).
2. Commentobtenirl'équationd'unedroite
Enplusieursoccasions,ilnousfaudratrouverl'équationd'unedroiteàpartirde
certainesinformations.Parexemple,quelleestl'équationdeladroitequipasse
lespoints1,4et2,8?Afinderépondreàcettequestion,ilfauttrouverles
valeursdeetdequicaractérisentladroite.
1.Déterminerlapente
Pardéfinition,lapenteestmesuréeparlarelation
∆
∆ 
Lapentedeladroitepassantparlespoints(1,4)et(2,8)serait
∆
∆ 
84
214
cequiindiquequepourdéplacementd'uneunitéversladroite,ilyaun
déplacementde4unitésverslehaut.Notezégalementquelechoixdu
"premier"etdu"deuxième"pointn'affecterapaslecalculdelapente:
∆
∆ 
48
124
2.Trouverl'ordonnéeàl'origine
Afindetrouverlavaleurde,ils'agitd'utiliserunpointconnudeladroiteetla
pentequivientd'êtredéterminée:

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Nousvenonsdetrouverque  4.L'équationdenotredroiteactuelleest
.Noussavonsdeplusquelepoint1,4setrouvesur
cettedroiteetdoitdoncsatisfairesonéquation:
4  41   → 4  4  →0
Encoreunefois,lechoixdupointquel'onutilisen'affecteenrienlerésultat
obtenu.Aurions‐nouschoisilepoint(2,8),lecalculauraitrévélé:
84
2→88→0
Lapenteetl'ordonnéeàl'origineétantmaintenantconnues,l'équationdela
droiteestou.
3. Applicationàlamicroéconomie
3.1. Courbedelademande:
Exemple1
Faisonsl'hypothèsequelacourbededemandeestdécriteparunedroitede
forme.Trouvezsonéquationétantdonnéeslesinformations
suivantes:unpromoteurdécouvrequelademandeenbilletsdethéâtreestde
1200lorsqueleprixestde60$maischuteà900lorsqueleprixesthausséà75$.
Solution:
Laformedel'équation    indiqueque,leprix,estlavariable
indépendante(comme),et,laquantité,estlavariabledépendante(comme
y).L'énoncéduproblèmenouspermetdedéduiredeuxpointscontenussurla
droitededemande:lespoints(60$,1200)et(75$,900).Ils'agitdoncànouveau
d'identifierlapenteetl'ordonnéeàl'originedeladroite.
Pente:
∆
∆ 
900  1200
75  60 300 15 20
Ainsil'équationdeladroitedoitprendrelaforme     .Ilnereste
qu'àtrouverl'ordonnéeàl'origineàl'aided'undesdeuxpoints.

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Ordonnéeàl'origine:
Puisque60$, 1200estunpointdeladroitededemande,ildoitfaireensorte
quel'équation   20  soitsatisfaite.Ensubstituant,nousobtenons
1200   2060  
1200   1200  
  2400
Parconséquent,puisque20et  2400,l'équationdeladroitede
demandeest
   20  2400
Ilestintéressantdenoterqu'unefoiscettedroitetrouvée,nouspouvonsévaluer
quelleseraitlaquantitédemandéequelquesoitleprix.Parexemple,laquantité
demandéelorsqueleprixestde40$seraitobtenueencalculantlavariable:
   2040  2400
   800  2400
  1600
Nouspourrionségalementobtenirleprixqu'ilfaudraitfixerpourquelaquantité
demandéesoitde1000billets.
1000   20  2400
20  2400  1000
20  1400
  70$

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Exemple2
Laquantitéetleprixd’équilibred’unbiensontdéterminésparl’intersectiondes
courbesdel’offreetdelademande.Pourunproduitdonné,l’offreest
déterminéeparladroite
   30– 45
etlademande,pourcemêmeproduit,parladroite
   15  855.
Déterminerleprixetlaquantitéd’équilibreettracer,surunmêmegraphique,les
courbesdel'offreetdelademande.
Solution:
Ilfauticidéterminerlescoordonnéesdupoint(q,p)quisesitueàl'intersection
desdeuxdroites.Cepointdoitdoncsatisfaireàlafoisl'équationdel'offreet
celledelademande.Lasolutionduproblèmeconsisteàrésoudre:
  30– 45
   15  855
Ainsi,
30  45   15  855
45  900
  20
et
  3020 45  555
Leprixetlaquantitéd'équilibresontdonc20$et555.