dynamique en référentiel non galiléen - mpsi1-fenelon-sainte

dynamique en référentiel non galiléen
Table des matières
1 Principe de relativité galiléenne 2
1.1 Référentiels galiléens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Relativitégaliléenne ............................... 2
2 Lois de la dynamique en référentiel non galiléen 3
2.1 PFD........................................ 3
2.1.1 Forcesd’inertie ............................. 3
2.1.2 Translation et rotation uniforme autour d’un axe fixe . . . . . . . . . 4
2.2 Théorème du moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 Théorème de la puissance cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Caractère galiléen approché de quelques référentiels d’utilisation cou-
rante 5
3.1 Référentiel de Copernic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2 Référentiel héliocentrique ou de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.3 Référentiel géocentrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.4 Référentiel terrestre - Poids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
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Un aspect du problème du changement de référentiel est de pouvoir étudier un mouvement
dans un référentiel non galiléen : l’étude du mouvement d’un point dans un référentiel
galiléen repose sur la relation fondamentale de la dynamique, mais qu’en est-il dans un
référentiel non galiléen ? Nous allons répondre à cette question en utilisant les lois de com-
position des mouvements que nous avons étudiées dans le chapitre précédent.
« Enfermez-vous avec un ami dans la cabine principale à l’intérieur d’un grand bateau
et prenez avec vous des mouches, des papillons, et d’autres petits animaux volants. Prenez
une grande cuve d’eau avec un poisson dedans, suspendez une bouteille qui se vide goutte
à goutte dans un grand récipient en dessous d’elle. Avec le bateau à l’arrêt, observez soi-
gneusement comment les petits animaux volent à des vitesses égales vers tous les côtés de
la cabine. Le poisson nage indifféremment dans toutes les directions, les gouttes tombent
dans le récipient en dessous, et si vous lancez quelque chose à votre ami, vous n’avez pas
besoin de le lancer plus fort dans une direction que dans une autre, les distances étant
égales, et si vous sautez à pieds joints, vous franchissez des distances égales dans toutes
les directions. Lorsque vous aurez observé toutes ces choses soigneusement (bien qu’il n’y
ait aucun doute que lorsque le bateau est à l’arrêt, les choses doivent se passer ainsi),
faites avancer le bateau à l’allure qui vous plaira, pour autant que la vitesse soit uniforme
[c’est-à-dire constante] et ne fluctue pas de part et d’autre. Vous ne verrez pas le moindre
changement dans aucun des effets mentionnés et même aucun d’eux ne vous permettra de
dire si le bateau est en mouvement ou à l’arrêt. . . » Galilée – Dialogue concernant les deux
plus grands systèmes du monde (1632)
1 Principe de relativité galiléenne
1.1 Référentiels galiléens
Rappel : un référentiel est galiléen si, dans ce référentiel, un point matériel
isolé a un mouvement rectiligne uniforme
Soit Mun point matériel isolé (ou pseudo-isolé) dans Rgaliléen : −→ a(M)R=−→ 0
Soit R0un autre référentiel ; la composition des accélérations donne
−→
aM/R=−→ aM/R0+−→ ae+−→ ac
R0est galiléen si −→ aM/R0=−→ 0c’est-à-dire si
−→
ae=−→ ac=−→ 0
(−→ ae+−→ ac=−→ 0ne pouvant être qu’exceptionnel)
−→
ac=−→ 0⇒ω=−→ 0et −→ ae=−→ aO0/R=−→ 0
R0est donc en translation rectiligne uniforme par rapport à R.
L’ensemble des référentiels galiléens est constitué par tous les référentiels en
translation rectiligne uniforme par rapport à l’un d’entre eux
Remarque : Si un référentiel galiléen est connu, tous les autres s’en déduisent par trans-
lations rectilignes uniformes.
1.2 Relativité galiléenne
Soit R0, de repère (O’x’y’z’), en translation rectiligne uniforme par rapport à Rgaliléen
2

De même que pour le temps, la mécanique newtonienne postule également (implicitement)
l’invariance de la masse et de la force
t0=t m0=m−→ F0=−→ F
Soit un point matériel M, de masse m est soumis dans le référentiel Ra une résultante
des forces extérieures −→ FEn notant −→ u=−→ vO0/R=−→ cte la vitesse de R0par rapport R, la
composition des vitesses donne
−→
vM/R0=−→ vM/R−−→ vO0/R
Soit −→ p0la quantité de mouvement dans R0
−→
p0=m0−→ vM/R0=m(−→ vM/R−−→ vO0/R)
Rétant galiléen et R0en translation uniforme par rapport à R,
d−→
p0
dt0/R0
=d−→
p0
dt /R
+−→ 0 = d−→
p
dt /R
−md−→
vO0/R
dt /R
=−→ F=−→ F0
Le PFD a donc meme formulation dans tous les référentiels galiléens ; plus généralement :
Dans des référentiels en translation rectiligne uniforme les uns par rapport aux
autres, appelés référentiels galiléens, les lois de la mécanique sont invariantes.
Les forces issues des interactions fondamentales sont les mêmes dans tous les
référentiels galiléens.
Remarques :
1. La conséquence de ce principe est qu’il n’est pas possible de mettre en évidence le
mouvement d’un référentiel galiléen par rapport à un autre à partir d’une expérience de
mécanique. Par conséquent il est illusoire de chercher un référentiel galiléen "absolu" qui
se distinguerait des autres.
2. Einstein a étendu ce principe à l’ensemble des lois de la physique dans sa théorie de la
relativité restreinte. Les conséquences en sont que, la vitesse de la lumière (qui découle des
équations de Maxwell, programme de deuxième année) étant alors la même par rapport à
tous les référentiels galiléens, la loi de composition des vitesses et le principe d’universalité
des temps sont remis en cause.
2 Lois de la dynamique en référentiel non galiléen
Soient R0en mouvement quelconque par rapport Rgaliléen et −→ Fla résultante des forces
s’exerçant sur un point matériel Mde masse m.
2.1 PFD
2.1.1 Forces d’inertie
Dans Rgaliléen
m−→ aM/R=−→ F
En utilisant la composition des accélérations
m(−→ aM/R0+−→ ae+−→ ac) = −→ F
ou encore
m−→ aM/R0=−→ F−m−→ ae−m−→ ac
3

Dans R0non galiléen, on peut appliquer le PFD en introduisant des pseudo-forces ou forces
d’inertie, homogènes à des forces vraies :
−→
Fie =−m−→ ae
−→
Fic =−m−→ ac
Ces forces n’étant pas liées la présence d’un autre corps interagissant avec le système, mais
seulement au caractère non galiléen du référentiel, elles sont appelées pseudo-forces.
On peut donc énoncer le P.F.D dans un référentiel non galiléen :
Dans un référentiel non galiléen R0, pour un point matériel M de masse m, on
a
m−→ aM/R0=−→ F+−→ Fie +−→ Fic
avec 
−→
F=résultante des forces vraies
−→
Fie =−m−→ ae(M)
−→
Fic =−2m−→ ΩR0/R∧−→ vM/R0
2.1.2 Translation et rotation uniforme autour d’un axe fixe
- Si R0est en translation par rapport à R,
−→
ae=−→ aO0/R
−→
ac= 0
donc −→
Fie =−m−→ ae=−m−→ aO0/R
−→
Fic =−m−→ ac= 0
−→
Fie est par exemple la force qui semble nous plaquer contre le siège d’une voiture qui
accélère, dans le référentiel lié à la voiture.
- Si R0est en rotation uniforme autour d’un axe fixe de R,
en coordonnées cylindro-polaires,
−→
ae=−rΩ2−→ er
−→
ac= 2−→ Ω∧˙r−→ er
donc −→
Fie =−m−→ ae= +mrΩ2−→ er
−→
Fic =−m−→ ac=−2mΩ ˙r−→ eθ
−→
Fie est par exemple la force centrifuge qui tend à nous expulser d’un manège. La force
−→
Fic doit être compensée si le point M doit aller en ligne droite vers l’axe de rotation dans
R0.
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2.2 Théorème du moment cinétique
Soit O0un point fixe de R0en mouvement quelconque par rapport à Rgaliléen et −→ Fla
résultante des forces s’exerçant sur un point matériel Mde masse m.
Dérivons le moment cinétique en O0du point Mdans R0
−→
LO0(M/R0) =
−−−→
O0M∧m−→ vM/R0
d−→
LO0(M/R0)
dt !R0
=−→ vM/R0∧m−→ vM/R0+
−−−→
O0M∧m−→ aM/R0
Le PFD dans R0donne
d−→
LO0(M/R0)
dt !R0
=
−−−→
O0M∧(−→ F+−→ Fie +−→ Fic)
Dans R0non galiléen, on peut donc appliquer le théorème du moment cinétique en tenant
compte des moments des forces d’inertie d’entraînement et de Coriolis.
2.3 Théorème de la puissance cinétique
Soit R0en mouvement quelconque par rapport Rgaliléen et −→ Fla résultante des forces
s’exerçant sur un point matériel M
Multiplions scalairement par −→ vM/R0le PFD dans R0
md−→
vM/R0
dt R0
.−→ vM/R0= (−→ F+−→ Fie +−→ Fic).−→ vMR0
on obtient dEc(M)R0
dt R0
=−→ F .−→ vM/R0+−→ Fie.−→ vM/R0+−→ Fic.−→ vM/R0
comme −→ Fic =−m−→ ac=−2m−→ Ω∧−→ vM/R0
−→
Fic.−→ vM/R0=−→ 0
Dans R0non galiléen, on peut appliquer le théorème de la puissance cinétique en rajoutant
seulement la puissance de la force d’inertie d’entraînement, la puissance de la force d’inertie
de Coriolis étant toujours nulle.
3 Caractère galiléen approché de quelques référentiels d’uti-
lisation courante
3.1 Référentiel de Copernic
Le référentiel de Copernic a pour origine le centre de masse du système solaire (presque
confondu avec le centre du Soleil) et ses axes sont dirigés vers trois étoiles suffisamment
éloignées pour pouvoir être considérées comme fixes
Il est galiléen avec une excellente approximation.
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