TS-spe Contrôle : PGCD, Bézout, Gauss E . Bézout, Gauss Contrôle : PGCD, 2 . correction 1. Montrer que deux entiers naturels consécutifs non nuls sont premiers entre eux. E 1 . correction 2. Soit n un entier naturel non nul. Montrer que si on prend n +1 entiers compris 1. On se propose, dans cette question, de déterminer tous les entiers relatifs N tels que entre 1 et 2n il y en a toujours deux qui sont premiers entre eux. N ≡ 5 (13) N ≡ 1 (17) (a) Vérifier que 239 est solution de ce système. (b) Soit N un entier relatif solution de ce système. Démontrer que N peut s'écrire sous la forme N = 1 + 17x = 5 + 13y où x et y sont deux entiers relatifs vérifiant la relation 17x − 13y = 4 . (c) Résoudre l'équation 17x − 13y = 4 où x et y sont des entiers relatifs. (d) En déduire qu'il existe un entier relatif k tel que N = 18 + 221k . (e) Démontrer l'équivalence entre N ≡ 18 N ≡ 5 (13) (221) et . N ≡ 1 (17) 2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. Existe-t-il un entier naturel l tel que 10l ≡ 18 (221) ? Page 1 TS-spe Contrôle : PGCD, Bézout, Gauss Réciproquement, déterminons pour quelles valeurs de k et k ′ x et y sont solu- . Correction E 1 tions. . énoncé 1. (a) 239 = 13 × 18 + 5 donc 239 ≡ 5 239 = 17 × 14 + 1 donc 239 ≡ 1 Z ( (17) 221k + 17 + 1 = 221k + 18 , k ∈ Réciproquement : Si N ≡ 18 (221) alors il existe k ∈ 13y + 5 ou 17x + 1 et 13y + 5 = 17x + 1 . Or 13y + 5 = 17x + 1 équivaut à 17x − 13y = 4 , avec (x ; y) ∈ Z2 . Z tel que N = 221k + 18 . Or 221k + 18 ≡ 5 (13) donc N ≡ 5 (13) . De la même manière, si N ≡ 18 (221) alors N ≡ 1 (17) . 10ℓ ≡ 5 (13) 2. On a vu que 10ℓ ≡ 18 (221) =⇒ 10ℓ ≡ 1 (17) (c) Le couple (1 ; 1) est une solution évidente : 17 × 1 − 13 × 1 = 4 . ⇐⇒ 17x − 13y − (17 × 1 − 13 × 1) = 4 − 4 ⇐⇒ 17(x − 1) − 13(y − 1) = 0 Or ⇐⇒ 17(x − 1) = 13(y − 1) On en déduit alors : • 100 ≡ 1 (13) 17 étant premier avec 13 , il divise, d'après le théorème de Gauss, (y − 1) ; Z tel que y − 1 = 17k , c'est à dire tel que y = 17k + 1 ; de la même manière, il existe k ′ ∈ Z. N ≡ 5 (13) (e) On a déjà démontré ci-dessus que ⇒ N ≡ 18 (221). N ≡ 1 (17) Toute solution N du système peut donc s'écrire de deux façons : □ Z tel que N = 17y + 1 = 13y + 5 , c'est à dire tel que N = 17(13k + 1) + 1 = Z tel que N = 13y + 5 ; De même N ≡ 1 (17) signifie : il existe x ∈ Z tel que N = 17x + 1 . il existe donc k ∈ ) (d) Si N est solution du système alors il existe x ; y = (13k +1 ; 17k +1), k ∈ , (b) N ≡ 5 (13) signifie : il existe y ∈ □ ⇐⇒ k = k ′ Les couples solutions s'écrivent sous la forme (13k + 1 ; 17k + 1), k ∈ . (13) Donc 239 est solution du système. 17x − 13y = 4 ( ) 17 13k ′ + 1 − 13 (17k + 1) = 0 • 101 ≡ −3 (13) • 102 ≡ 9 (13) Z tel que x = 13k ′ + 1 . • 103 ≡ −1 (13) Page 2 TS-spe Contrôle : PGCD, Bézout, Gauss • 104 ≡ 3 (13) • 105 ≡ 4 (13) • 106 ≡ 1 (13) Pour tout ℓ ∈ N , il existe un couple d'entiers naturels ( ℓ = 6q + r . On a alors 10ℓ = 10 ) 6 q q et 0 ⩽ r < 6 tel que × 10r ≡ 10r (13) . On en déduit que dans la division par 13, tous les nombres 10ℓ ont donc comme reste : −3 ; −1 ; 1 ; 3 ; 4 ; 9 , mais jamais 5 . Conclusion : il n'existe pas d'entier ℓ tel que 10ℓ ≡ 18 (221) . E 2 . énoncé 1. 1 × (n + 1) + (−1) × n = 1 , donc d'après le théorème de Bézout n et n + 1 sont premiers entre eux. 2. Si on prend n + 1 entiers compris entre 1 et 2n alors il y en a au moins deux qui sont consécutifs et qui sont donc premiers entre eux. Page 3