Contrôle : PGCD, Bézout, Gauss E 1 E 2

TS-spe Contrôle : PGCD, Bézout, Gauss
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Contrôle : PGCD, Bézout, Gauss
E 1 .. correction
1. On se propose, dans cette question, de déterminer tous les entiers relatifs N
tels que
N≡5 (13)
N≡1 (17)
(a) Vérifier que 239 est solution de ce système.
(b) Soit Nun entier relatif solution de ce système.
Démontrer que Npeut s'écrire sous la forme N=1+17x=5+13yoù xet y
sont deux entiers relatifs vérifiant la relation 17x−13y=4.
(c) Résoudre l'équation 17x−13y=4où xet ysont des entiers relatifs.
(d) En déduire qu'il existe un entier relatif ktel que N=18 +221k.
(e) Démontrer l'équivalence entre N≡18 (221) et 
N≡5 (13)
N≡1 (17)
.
2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative,
même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Existe-t-il un entier naturel ltel que 10l≡18 (221) ?
E 2 .. correction
1. Montrer que deux entiers naturels consécutifs non nuls sont premiers entre eux.
2. Soit nun entier naturel non nul. Montrer que si on prend n+1entiers compris
entre 1et 2nil y en a toujours deux qui sont premiers entre eux.
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Correction
E 1 .. énoncé
1. (a) 239 =13 ×18 +5donc 239 ≡5 (13)
239 =17 ×14 +1donc 239 ≡1 (17)
Donc 239 est solution du système.
(b) N≡5 (13) signifie : il existe y∈tel que N=13y+5;
De même N≡1 (17) signifie : il existe x∈tel que N=17x+1.
Toute solution Ndu système peut donc s'écrire de deux façons :
13y+5ou 17x+1et 13y+5=17x+1.
Or 13y+5=17x+1équivaut à 17x−13y=4, avec (x;y)∈2.
(c) Le couple (1 ; 1) est une solution évidente : 17 ×1−13 ×1=4.
17x−13y=4⇐⇒ 17x−13y−(17 ×1−13 ×1)=4−4
⇐⇒ 17(x−1) −13(y−1) =0
⇐⇒ 17(x−1) =13(y−1)
On en déduit alors :
□
□
□17 étant premier avec 13 , il divise, d'après le théorème de Gauss, (y−1) ;
il existe donc k∈tel que y−1=17k, c'est à dire tel que y=17k+1;
□
□
□de la même manière, il existe k′∈tel que x=13k′+1.
Réciproquement, déterminons pour quelles valeurs de ket k′xet ysont solu-
tions.
17 (13k′+1)−13 (17k+1)=0⇐⇒ k=k′
Les couples solutions s'écrivent sous la forme (13k+1 ; 17k+1), k∈.
(d) Si Nest solution du système alors il existe (x;y)=(13k+1 ; 17k+1), k∈,
tel que N=17y+1=13y+5, c'est à dire tel que N=17(13k+1) +1=
221k+17 +1=221k+18 ,k∈.
(e) On a déjà démontré ci-dessus que 
N≡5 (13)
N≡1 (17)
⇒N≡18 (221).
Réciproquement :
Si N≡18 (221) alors il existe k∈tel que N=221k+18 .
Or 221k+18 ≡5 (13) donc N≡5(13).
De la même manière, si N≡18 (221) alors N≡1(17).
2. On a vu que 10ℓ≡18 (221) =⇒ 
10ℓ≡5 (13)
10ℓ≡1 (17)
Or
•100≡1 (13)
•101≡ −3 (13)
•102≡9 (13)
•103≡ −1 (13)
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•104≡3 (13)
•105≡4 (13)
•106≡1 (13)
Pour tout ℓ∈, il existe un couple d'entiers naturels qet 0⩽r<6tel que
ℓ=6q+r. On a alors 10ℓ=(106)q×10r≡10r(13).
On en déduit que dans la division par 13, tous les nombres 10ℓont donc comme
reste : −3 ; −1 ; 1 ; 3 ; 4 ; 9 , mais jamais 5.
Conclusion : il n'existe pas d'entier ℓtel que 10ℓ≡18 (221) .
E 2 .. énoncé
1. 1×(n+1)+(−1)×n=1, donc d'après le théorème de Bézout net n+1sont
premiers entre eux.
2. Si on prend n+1entiers compris entre 1et 2nalors il y en a au moins deux
qui sont consécutifs et qui sont donc premiers entre eux.
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