Théorie de l`intégration — Jean Jacod

Th´ eorie de l’int´ egration
Jean JACOD
2002-2003

Table des mati` eres
1 Introduction - La notion de mesure 3
1.1 Rappels sur les ensembles .......................................... 3
1.2 Th´ eorie de la mesure et th´ eorie de l’int´ egration ............................... 4
1.3 La classe des ensembles mesurables ..................................... 5
1.4 Les mesures .................................................. 10
1.5 La mesure de Lebesgue ............................................ 13
2 L’int´ egration par rapport ` a une mesure 15
2.1 Les fonctions mesurables ........................................... 15
2.2 L’int´ egrale des fonctions mesurables ..................................... 19
2.3 L’int´ egrale des fonctions ` a valeurs complexes ................................ 25
2.4 L’int´ egrale par rapport ` a la mesure de Lebesgue ............................... 26
3 Int´ egration : quelques compl´ ements 29
3.1 Ensembles n´ egligeables et compl´ etion de tribus ............................... 29
3.2 Th´ eor` eme de convergence domin´ ee : la version d´ efinitive .......................... 34
3.3 Les mesures avec densit´ e........................................... 35
3.4 Les fonctions int´ egrables au sens de Riemann ................................ 36
4 Produits de mesures 38
4.1 Quelques r´ esultats d’unicit´ e.......................................... 38
4.2 Produit d’espaces mesurables ......................................... 42
4.3 Produit de mesures .............................................. 44
4.4 La formule de changement de variable .................................... 48
4.5 Le produit de convolution ........................................... 51
5 Les espaces Lp54
5.1 Les d´ efinitions ................................................. 54
5.2 Les espaces Lppour 1≤p≤ ∞ ....................................... 56
5.3 L’espace L2et les espaces de Hilbert ..................................... 60
5.4 Le th´ eor` eme de Radon-Nikodym ....................................... 65
5.5 La dualit´ e des espaces Lp........................................... 67
6 La transform´ ee de Fourier 69
6.1 D´ efinition et propri´ et´ es ´ el´ ementaires ..................................... 69
6.2 Injectivit´ e et formule d’inversion ....................................... 70
6.3 Quelques r´ esultats de densit´ e......................................... 73
6.4 La transform´ ee de Fourier dans L2...................................... 75
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Chapitre 1
Introduction - La notion de mesure
1.1 Rappels sur les ensembles
Consid´ erons un ensemble E, c’est-` a-dire une collection d’objets appel´ es les “´ el´ ements”, ou les “points”, de E. L’ap-
partenance d’un point x` a l’ensemble Eest not´ ee x∈E, et x∈/ E signifie que le point xn’appartient pas ` aE.
Une partie de Eest aussi un ensemble, appel´ e sous-ensemble de E: on ´ ecrit F⊂E(on dit aussi que Fest “inclus”
dans E) lorsque Fest un sous-ensemble de E.
Rappelons les op´ erations ´ el´ ementaires sur les parties d’un ensemble :
Intersection : A∩Best l’intersection des ensembles Aet B, i.e. l’ensemble des points appartenant ` a la fois ` aAet ` aB.
R´ eunion : A∪Best la r´ eunion des ensembles Aet B, i.e. l’ensemble des points appartenant ` a au moins l’un de ces deux
ensembles.
Compl´ ementaire : Si A⊂E, son compl´ ementaire (dans E) est l’ensemble des points de En’appartenant pas ` aA; on
le note Ac, ou parfois E\A.
Diff´ erence sym´ etrique : A∆Best l’ensemble des points appartenant ` a l’un des deux ensembles Aou B, mais pas aux
deux; on a donc A∆B= (A\(A∩B)) ∪(B\(A∩B)).
Ensemble vide : C’est l’ensemble ne contenant aucun point; on le note ∅.
Ensembles disjoints : Les ensembles Aet Bsont dits disjoints si A∩B=∅.
La r´ eunion et l’intersection sont des op´ erations commutatives et associatives : on a A∪B=B∪Aet A∩B=B∩A,
et aussi A∪(B∪C) = (A∪B)∪Cet A∩(B∩C) = (A∩B)∩C, ensembles qu’on note naturellement A∪B∪Cet
A∩B∩C. Plus g´ en´ eralement si on a une famille (Ai)i∈Id’ensembles, index´ ee par un ensemble quelconque I, on note
∪i∈IAi(resp. ∩i∈IAi) la r´ eunion (resp. l’intersection) de cette famille, i.e. l’ensemble des points appartenant ` a au moins
l’un des Ai(resp. appartenant ` a tous les Ai) : l’ordre d’indexation des Ain’a pas d’importance.
Les ensembles suivants seront utilis´ es sans cesse :
IN = ensemble des entiers naturels : 0,1,2, ...
IN∗= ensemble des entiers naturels non nuls : 1,2, ...
ZZ = ensemble des entiers relatifs : ..., −2,−1,0,1,2, ...
QQ = ensemble des rationnels
IR = ensemble des r´ eels = ]− ∞,∞[
IRd= espace euclidien r´ eel de dimension d(donc IR1=IR)
¯
I¯ R= [−∞,∞]
IR+= [0,∞[
¯
I¯ R+= [0,∞]
CC = ensemble des nombres complexes.
L’ensemble des points aiindex´ es par un ensemble Iest not´ e{ai:i∈I}. Si on a un nombre fini de points a1, ..., an, on
´
ecrit aussi {a1, a2, ..., an}.
On sera amen´ e tr` es souvent ` a faire des op´ erations faisant intervenir +∞(qu’on ´ ecrit souvent, de mani` ere plus simple,
∞) ou −∞. Pour que ces op´ erations aient un sens pr´ ecis, on fera toujours les conventions suivantes :
+∞+∞= +∞,−∞ − ∞ =−∞, a +∞= +∞, a − ∞ =−∞ si a∈IR, (1)
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0× ∞ = 0, a ∈]0,∞]⇒a× ∞ = +∞, a ∈[−∞,0[ ⇒a× ∞ =−∞.(2)
Les ensembles d´ enombrables : on dit qu’un ensemble Eest d´ enombrable s’il est en bijection avec IN, c’est-` a-
dire si on peut ´ enum´ erer ses points en une suite (xn)n∈IN (ce qui implique notamment que xn6=xmsi n6=m) : c’est le
cas de IN lui-mˆ eme, ou de IN∗, de ZZ, de QQ, ou encore des entiers pairs, ou de toute suite strictement croissante d’entiers.
Ce n’est pas le cas ni de IR, ni des intervalles [a, b]lorsque a < b.
Voici quelques propri´ et´ es des ensembles d´ enombrables : d’abord, toute partie d’un ensemble d´ enombrable est elle-
mˆ eme finie ou d´ enombrable. La r´ eunion d’une famille finie ou d´ enombrable d’ensembles eux-mˆ emes finis ou d´ enom-
brables est un ensemble fini ou d´ enombrable. En revanche si Aest n’est pas fini ou d´ enombrable, il en est de mˆ eme de
A\Bpour tout B⊂Aqui est fini ou d´ enombrable.
Quelques r´ esultats utiles sur les s´ eries : Rappelons enfin quelques d´ efinitions et r´ esultats sur les s´ eries, notam-
ment sur celles ` a termes positifs. Soit (un)n≥1une suite num´ erique, et Sn=u1+... +unla “somme partielle” ` a l’ordre
n.
(S1) La s´ erie Pnunest dite convergente si Snconverge vers une limite finie S, not´ ee aussi S=Pnun(c’est la
“somme” de la s´ erie).
(S2) Si la s´ erie Pnunconverge, la suite (un)n≥1tend vers 0. La r´ eciproque est fausse : on peut avoir un→0sans
que la s´ erie Pnunconverge.
(S3) La s´ erie Pnunest dite absolument convergente si la s´ erie Pn|un|converge.
(S4) Si on a un≥0pour tout n, la suite Snest croissante, donc elle tend toujours vers une limite S∈¯ I¯ R+. On ´ ecrit
encore S=Pnun, bien que la s´ erie converge au sens de (S1) si et seulement si S < ∞. Avec les conventions (1) ceci
s’applique mˆ eme si les unsont ` a valeurs dans ¯ I¯ R+.
En g´ en´ eral l’ordre dans lequel on consid` ere les termes d’une s´ erie est important. Il existe en effet de nombreux
exemples de suites (un)n≥1et de bijections vde IN∗dans lui-mˆ eme pour lesquels Pnunconverge et Pnuv(n)di-
verge, ou converge vers une somme diff´ erente. Cela ´ etant, il existe deux cas importants o` u l’ordre des termes n’a pas
d’importance :
(S5) Lorsque les unsont des r´ eels de signe quelconque et lorsque la s´ erie est absolument convergente, on peut modifier
de mani` ere arbitraire l’ordre des termes sans changer la propri´ et´ e d’ˆ etre absolument convergente, ni la somme de la s´ erie.
(S6) Si un∈¯ I¯ R+pour tout n, la somme Pnun(finie ou infinie : cf. (S4) ci-dessus) ne change pas si on change l’ordre
de sommation. Rappelons rapidement la d´ emonstration de cette propri´ et´ e, qui est fondamentale pour les probabilit´ es :
soit vune bijection de IN∗dans lui-mˆ eme, Sn=u1+. . . +unet S0
n=uv(1) +. . . +uv(n); les suites (Sn)et (S0 n)sont
croissantes, et on note Set S0leur limites respectives (dans ¯ I¯ R+). Pour tout nil existe un entier m(n)tel que v(i)≤m(n)
d` es que i≤n; comme ui≥0, on a donc clairement S0
n≤Sm(n)≤S, donc en passant `
a la limite on obtient S0≤S.
On montre de mˆ eme que S≤S0, donc S=S0.
1.2 Th´ eorie de la mesure et th´ eorie de l’int´ egration
La notion de mesure va ´ etendre la notion usuelle de longueur pour les ensembles de IR, ou de volume pour ceux
de IRd, et ceci de deux mani` eres : premi` erement on veut pouvoir consid´ erer des espaces de base plus g´ en´ eraux, ou
plus “abstraits” (espaces de dimension infinie, espaces sur lesquels on d´ efinit les probabilit´ es, etc...). Deuxi` emement
et surtout, on veut englober dans le mˆ eme cadre math´ ematique d’une part les notions de longueurs, surface, volume, et
d’autre part la notion de “masses” ou “charges ponctuelles” que l’on rencontre en m´ ecanique ou en ´ electricit´ e, etc...
Prenons l’exemple de IR3, suppos´ e repr´ esenter un corps mat´ eriel ayant une densit´ eρ(x)et une densit´ e de charge
´
electrique ε(x)en chaque point x. Pour une partie raisonnable (on verra ce que veut dire “raisonnable” plus loin :
pour le moment, on peut penser ` a une sph` ere, ou ` a un poly` edre) Ade IR3on peut d´ efinir son volume V(A), sa masse
M(A) = RAρ(x)dx (int´ egrale de Riemann dans IR3), sa charge ´ electrique E(A) = RAε(x)dx. Ces trois quantit´ es ont
a priori des propri´ et´ es “physiques” tr` es diff´ erentes, mais elles partagent de mani` ere ´ evidente la propri´ et´ e math´ ematique
suivante (o` uµ(A)d´ esigne V(A), ou M(A), ou E(A)) :
(A) Additivit´ e : On a µ(A∪B) = µ(A) + µ(B)d` es que Aet Bsont disjoints. 
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Ainsi, chaque partie raisonnable Ade IR3a sa “mesure” (de volume, de masse, de charge) µ(A)et la propri´ et´ e (A)
ci-dessus est satisfaite : quitte ` a remplacer IR3par une ensemble Equelconque, on a l` a le contenu intuitif essentiel de la
notion de mesure.
Malheureusement, la notion math´ ematique de mesure est un peu plus compliqu´ ee, pour deux raisons : d’abord, il faut
d´ efinir ce qu’on entend par partie “raisonnable” de IR3(ou plus g´ en´ eralement de l’espace de base Esur lequel on se
place); par exemple les poly` edres, et bien d’autres parties plus compliqu´ ees, ont des volumes, mais on peut construire
des parties dont la “fronti` ere” est si complexe que la notion de volume n’existe pas pour elles. Ensuite, la propri´ et´ e (A)
se r´ ev` ele insuffisante pour avoir de bonnes propri´ et´ es pour les mesures.
Passons maintenant ` a l’int´ egration. Supposons que l’espace de base soit E= [0,1].
Si fest une fonction r´ eelle “convenable” sur E, on sait qu’on peut d´ efinir son int´ egrale R1
0f(x)dx au sens de
Riemann. Rappelons en deux mots cette construction : pour chaque subdivision τ={0 = t0< t1< . . . < tk= 1}de
[0,1] on pose
I+(f, τ ) =
k
X
i=1
(ti−ti−1) sup(f(x) : x∈[ti−1, ti]),
I−(f, τ ) =
k
X
i=1
(ti−ti−1) inf(f(x) : x∈[ti−1, ti]).
On a bien sˆ ur I−(f, τ )≤I+(f, τ ), et la quantit´ e|τ|= sup(ti−ti−1: 1 ≤i≤k)s’appelle le pas de la subdivision τ.
On dit que fest Riemann-int´ egrable si, pour toute suite τnde subdivisions dont les pas |τn|tendent vers 0, la diff´ erence
I+(f, τn)−I−(f, τn)tend vers 0. Dans ce cas I+(f, τn)et I−(f, τn)convergent vers une limite commune et ind´ ependante
de la suite τn, et cette limite est l’int´ egrale de Riemann R1
0f(x)dx de f.
Cette notion d’int´ egrale semble ` a premi` ere vue assez naturelle, mais elle souffre de plusieurs inconv´ enients majeurs :
d’abord, il est assez compliqu´ e de d´ ecrire les fonctions Riemann-int´ egrables, et cette classe est plutˆ ot petite comme on le
verra ci-dessous; ensuite, elle s’´ etend assez facilement ` aIRd, mais pas aux espaces de dimension infinie; mais surtout,
elle est li´ ee de mani` ere intrins` eque ` aune mesure particuli` ere sur [0,1],` a savoir la mesure de longueur, ou de Lebesgue
comme elle sera appel´ ee par la suite : en effet, si fest la fonction indicatrice du sous-intervalle A= [a, b]de [0,1] (i.e.
f(x) = 1 quand x∈Aet f(x) = 0 quand x∈/ A), alors R1
0f(x)dx =b−aest la longueur λ(A) = b−ade A.
La th´ eorie de l’int´ egration (au sens de Lebesgue) a pour but de pallier ces inconv´ enients : on pourra int´ egrer une
classe de fonctions faciles ` a d´ ecrire, qu’on appellera les fonctions mesurables, sur un espace a-priori quelconque E, et
par rapport ` a une mesure quelconque µ. Cette construction est en principe tr` es simple : si fest l’indicatrice d’une partie
Ade E(donc f(x)=1si x∈Aet f(x)=0si x∈/ A), l’int´ egrale de f“par rapport ` aµ” est Rfdµ =µ(A). Puis, on
“prolonge” cette int´ egrale ` a des fonctions plus g´ en´ erales par lin´ earit´ e et continuit´ e.
La construction de l’int´ egrale sera faite au chapitre 2, tandis que le reste de ce chapitre est consacr´ e` a la d´ efinition
math´ ematique des mesures.
1.3 La classe des ensembles mesurables
Dans ce paragraphe, l’espace de base est un ensemble Equelconque. Comme on l’a mentionn´ e ci-dessus dans le cas
de la mesure “volume” sur E=IR3, on ne peut pas en g´ en´ eral, pour des raisons math´ ematiques, d´ efinir la mesure de
n’importe quelle partie de E. Notre objectif ici est donc de d´ efinir la classe des parties de Edont on pourra d´ efinir la
mesure.
1) Alg` ebres : Commenc¸ons par la notion la plus simple (mais math´ ematiquement insuffisante pour notre objectif) :
D´ efinition 1 Une classe Ede parties de Eest appel´ ee alg` ebre (ou alg` ebre de Boole) si elle v´ erifie les trois
axiomes suivants :
(T1) E∈ E,
(T2) A∈ E ⇒ Ac∈ E (“stabilit´ e par passage au compl´ ementaire”),
(T3) A, B ∈ E ⇒ A∪B∈ E (“stabilit´ e par r´ eunion”).
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