Produit scalaire Table des mati`eres - maths

J-F Lecarpentier -Premi`ere S –Cours produit scalaire
J-F Lecarpentier -Premi`ere S –Cours produit scalaire
1S-cours Produit scalaire
Table des mati`eres
1 Vecteurs 2
1.1 Norme................................................. 2
1.2 Angle orient´e de deux vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Produit scalaire de deux vecteurs 4
2.1 D´efinition ............................................... 4
2.2 Propri´et´es............................................... 5
2.3 Autres expressions du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Calculs avec le produit scalaire 7
3.1 Propri´et´es............................................... 7
3.2 Carr´escalaire............................................. 7
4 Applications du produit scalaire 7
4.1 droites perpendiculaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.2 Equation d’un cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.3 Th´eor`eme de la m´ediane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.4 Application aux formules de trigonom´etrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
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J-F Lecarpentier -Premi`ere S –Cours produit scalaire
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1S-cours Produit scalaire
1 Vecteurs
1.1 Norme
D´efinition : Norme d’un vecteur
Soit un vecteur −→ uet deux ponts A et B tels que −−→ AB =−→ u, la norme de −→ unot´ee || −→ u|| est la distance
AB.
|| −→ u||=|| −−→ AB ||=AB
Dans un rep`ere orthonorm´e, si on a A(xA;etyA) et B(xB;yB) :
AB =p(xB−xA)2+ (yB−yA)2et −−→ AB(xB−xA;yB−yA)
Si on pose −→ u=−−→ AB on a alors x−→
u=xB−xAet y−→ u=yB−yA
et donc || −→ u||=AB =qx2
−→
u+y2
−→
u
rExemple 1 : Vecteurs orthogonaux
Dans un rep`ere orthonorm´e, on donne −→ u(2; 4) et −→ v(2; −1)
Calculer || −→ u||
Calculer || −→ v||
Les vecteurs −→ uet −→ vsont-ils orthogonaux ?
*Solution:
|| −→ u||=OB =p(2)2+ (4)2=√20 = 2√5 unit´es.
|| −→ v||=OC =p(2)2+ (−1)2=√5 unit´es.
•Calcul des coordonn´ees de −→ u+−→ v
(x−→
u+−→ v=x−→ u+x−→ v= 2 + 2 = 4
y−→
u+−→ v=y−→ u+y−→ v= 4 −1 = 3
•Calcul de || −→ u+−→ v||
|| −→ u+−→ v||=BC =√42+ 32=√25 = 5 unit´es
•Utilisation du th´eor`eme de Pythagore
|| −→ u||2+|| −→ v||2= 20 + 5 = 25
et || −→ u+−→ v||2= 25
donc le triangle OBC est rectangle en O et donc −→ uet −→ v
sont orthogonaux.
1.2 Angle orient´e de deux vecteurs
D´efinition : Angle orient´e de deux vecteurs
On note Cle cercle trigonom´etrique mini du rep`ere orthonorm´e direct (O;I;J) (voir figure)
Soient −→ uet −→ vdeux vecteurs non nuls.
A0et B0sont tels que −−→ OA0=−→ uet −−→ OB0=−→ v
Aet Bsont les points d’intersection du cercle Cet des demi-droites (OA0) et (OB0).
La mesure en radians de l’angle orient´e (\
−→
u , −→ v) est la mesure en radians de l’angle orient´e ( \
−→
OA, −−→ OB)
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rExemple 2 : Angles orient´es dans un triangle
Dans le triangle ´equilat´eral ci-dessous, donner la mesure des angles orient´es suivants :
(\
−−→
AB, −→ AC), ( \
−−→
CB, −→ CA), ( \
−−→
AB, −→ CA)
*Solution:
(\
−−→
AB, −→ AC) = −π
3
(\
−−→
CB, −→ CA) = π
3
(\
−−→
AB, −→ CA) = 2π
3
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1.3 Projection orthogonale
D´efinition : Projection orthogonale d’un point sur une droite
Soit Mun point et (d) une droite du plan, la projection
orthogonale de Msur (d) est le point M0de (d) tel que
M0∈(d) et (MM0)⊥(d)
D´efinition : Projection orthogonale d’un vecteur sur une droite
Soit −→ uun vecteur non nul et (d) une droite du plan.
Si Aet Bsont deux points tels que −→ u=−−→ AB , la projection
orthogonale de −→ usur (d) est le vecteur −−→ A0B0avec A0et B0
projet´es orthogonaux de Aet Bsur (d).
2 Produit scalaire de deux vecteurs
2.1 D´efinition
D´efinition : produit scalaire
Le produit scalaire de deux vecteurs est not´e −→ u .−→ v, est le nombre r´eel d´efini par :
–−→ u .−→ v=|| −→ u|| × || −→ v|| ×cos(\
−→
u , −→ v) si −→ u6=−→ 0 et −→ v6=−→ 0
–−→ u .−→ v= 0 si −→ u=−→ 0 ou −→ v=−→ 0
Remarque
La mesure principale de (\
−→
u , −→ v)∈−π
2;π 2⇐⇒ −→
u .−→ v > 0
La mesure principale de (\
−→
u , −→ v)∈−π;−π
2∪iπ 2;πi⇐⇒ −→
u .−→ v < 0
Cas d’un angle aigu :
Dans le triangle ACC’ rectangle en C’, on a :
||−→ v||cos(\
−→
u , −→ v) = AC ×cos(\ C0AC) = AC0
donc −→ u .−→ v=AB ×AC0
Cas d’un angle obtus :
Dans le triangle ACC’ rectangle en C’, on a :
||−→ v||cos(\
−→
u , −→ v) = −AC ×cos(\ C0AC) = −AC0
donc −→ u .−→ v=−AB ×AC0
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1S-cours Produit scalaire
rExemple 3
Soit ABC un triangle ´equilat´eral de cˆot´e 5 unit´es(dans le sens indirect :voir figure), calculer −−→ AB.−→ AC
puis −−→ AB.−→ CA
*Solution:
−−→
AB.−→ AC =||−−→ AB|| × ||−→ AC|| × cos(\
−−→
AB, −→ AC)
= 5 ×5×cos(−π
3)rappel :cos(−π
3) = cos(π 3) = 1 2
=25
2
−−→
AB.−→ CA =||−−→ AB|| × ||−→ CA|| × cos(\
−−→
AB, −→ CA)
= 5 ×5×cos(2π
3)
=−25
2
2.2 Propri´et´es
Pour tous vecteurs −→ uet −→ vnon nuls, cos(\
−→
u , −→ v) = cos(\
−→
v , −→ u) (voir chap. trigonom´etrie)
Propri´et´es : produit scalaire
Pour tous vecteurs −→ uet −→ v,ona:
–−→ u .−→ v=−→ v .−→ u(le produit scalaire est commutatif)
–−→ u .−→ v= 0 ⇐⇒ −→ u=−→ 0 ou −→ v=−→ 0 ou −→ uet −→ vsont orthogonaux.
åD´emonstration : ´el´ements de d´emonstration
•cos(\
−→
u , −→ v) = cos(\
−→
v , −→ u)((
\
−→
v , −→ u) = −(
\
−→
u , −→ v)et cos(α) = cos(−α))
•−→ uet −→ vsont orthogonaux ⇐⇒ (\
−→
u , −→ v) = π
2+kπ avec k∈Z
et cos(π
2) = 0
2.3 Autres expressions du produit scalaire
Propri´et´es : autres expressions du produit scalaire
Pour tous vecteurs −→ uet −→ v:
–−→ u .−→ v=|| −→
u||2+|| −→ v||2− || −→ u−−→ v||2
2
– Dans une rep`ere orthonorm´e, si −→ u(x;y) et −→ v(x0;y0)
−→
u .−→ v=xx0+yy0
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