Propriétés facilement testables

Propri´et´es facilement testables
R´emi de Verclos, Louis Esperet
4 novembre 2015
R´emi de Verclos Propri´et´es facilement testables

Property testing
But : tester une propri´et´e de graphe Pen ne regardant qu’un petit
nombre d’arˆetes de G.
Cela se ram`ene `a l’algorithme suivant.
Algorithme
Entr´ee : un Graphe G
On tire un ensemble al´eatoire Xde sommet et on accepte ssi
G[X]∈ P.
Le nombre de requˆetes d’un tel algorithme est `a peu pr`es |X|2.
Si G∈ P et Pest h´er´editaire, l’algorithme accepte toujours
(pas de faux n´egatif).
Si Gressemble beaucoup `a un graphe de P, l’algorithme a de
bonnes chances de se tromper.
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Une distance entre graphes
La distance d(G,H) entre deux graphes Get H(de mˆeme taille)
est le plus petit tel qu’on peut passer de G`a Hen changeant n2
arˆetes.
Gest dit -loin de Psi
∀H∈ P,d(G,H)> .
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Propri´et´es testables (avec algorithme one-sided)
Definition
Une propri´et´e (h´er´editaire) Pest testable si pour tout  > 0 il
existe m() tel que pour tout graphe G-loin de P,
P(G[X]/∈ P)<1
2.
o`u |X|=m()
Remarques :
On ne suppose rien sur le comportement de l’algorithme si G
n’est ni dans Pni -loin de P.
m() est ind´ependant de la taille de G.
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Les propri´et´es h´er´editaires sont testables
Theorem (Alon, Shapira 2008)
Une propri´et´e est testable (avec un testeur one-sided) ssi elle est
presque h´er´editaire.
Probl`eme : le nombre m() de sommets `a examiner vient d’une
version renforc´ee du lemme de r´egularit´e. C’est une tour
d’exponentielles de hauteur 1
.
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