Chapitre 8 : Les vecteurs

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Chapitre 8 : Les vecteurs (1)
I- Translation et notion de vecteur :
1) Vocabulaire
- Lorsque deux droites sont parallèles, on dit qu’elles ont la même direction (on peut nommer
indifféremment (AB) ou (BA) une droite passant par les points A et B)
- Il y a deux sens de parcours sur une droite : de A vers ….. ou bien de ….. vers …..
Activité :
Sur le dessin ci-dessous, on peut observer un téléphérique en pleine ascension. Il va ainsi passer de
la position à la position , en se déplaçant dans la direction du câble qui le soutient, dans le sens qui le
fera monter et de la distance qui sépare les deux positions.
On peut donc considérer que la position constitue une image de la position après un certain temps.
En fait, c’est comme si nous avions fait « glisser » la cabine.
Le glissement a été effectué :
- dans la direction de la droite ….
- dans le sens …………...., que l’on indique par la flèche
- d’une longueur égale à …………
On dit que le dessin en position est l’image du dessin en position par la translation qui
transforme A en B ou, autrement dit, par la translation de vecteur .
Cette translation transforme le point C en le point……
Quelle conjecture pouvez-vous émettre quant à la nature du quadrilatère ABDC ?
……………………………………………………………………………………………………..

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2) Translation :
Définitions : A et B sont deux points du plan.
- A tout point M du plan, on associe par la translation qui transforme A en
B, un unique point M’ tel que [AM’] et [BM] ont le même milieu.
On dit que M’ est l’image de M par la translation qui transforme A en B.
- La translation qui transforme A en B est alors appelée translation de
vecteur . On dit alors que M’ est l’image du point M par la translation de
vecteur .
3) Vecteur :
Définition :
Si D est l’image de C par la translation de vecteur alors on dit que
les vecteurs et sont égaux.
On note = .
Propriété (admise) : = équivaut à ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati.
Vocabulaire :
Si la translation de vecteur transforme C en D et aussi E en F,
alors on a : = = EF
On dit que les vecteurs , et EF sont des représentants d’un
même vecteur que l’on peut également nommer u par exemple
(on n’est pas obligé de donner un nom aux points extrêmes du
vecteur).
Un vecteur u a donc une infinité de représentants dans le plan.
Exemple 1 :
La figure est constituée de parallélogrammes.
1) Donner trois vecteurs égaux à :
…………………………………………………………………………….
2) Compléter : DE = H… = …D.
3) Donner le représentant d’origine D du vecteur CG : ………………….
4) Donner le représentant d’extrémité C du vecteur HE : ……………….
Exemple 2 :
1) Construire D’, image de D par la translation de vecteur et E’, image de E par la translation de
vecteur .
2) Construire les points G et F’, images respectives de D et F par la translation de vecteur AC .
Propriété : Le point I est le milieu du segment [AB] si et seulement si
IBAI
2 3 4 5 6
2
3
0 1
1
x
y
A B
DC
AB
CD
2 3 4 5 6 7 8
2
3
4
5
0 1
1
x
y
A B
DC
u
u
E F
u
u
A
B
C
D
E
F

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Exercices :
4) Vecteurs particuliers :
- Le vecteur nul, noté 0 , est le vecteur AA, BB, CC, … (l’origine et l’extrémité du vecteur sont
confondues : « on ne se déplace pas dans le plan. »)
On a : 0 = AA = BB = CC = …
- L’opposé du vecteur est le vecteur associé à la translation qui transforme B en A ; on le note − AB ou
BA.
On a : − =
Exemple :
La figure est constituée de
parallélogrammes.
1) Donner trois vecteurs opposés au vecteur
CA :
……………………………………………
………………………...........
2) Compléter : − DE = ….. = I… = …F
G… = 0 = … = …B.
Exercices :
II- Addition de vecteurs :
1) Définition :
et
v
désignent deux vecteurs et A un point.
Si la translation de vecteur associe à A le point B et si la
translation de vecteur associe à B le point C alors la translation
qui transforme A en C est dite translation de vecteur
vu
.
La somme des deux vecteurs et est donc le vecteur associé à la translation résultant de l’enchaînement
des translations de vecteur et de vecteur . On note ce vecteur
vu
.
2) Construction :
Relation de Chasles : Quelques soient les points A, B et C :
AB
+
BC
=
AC
En pratique :
On dispose bout à bout le représentant de
et le représentant BC de
Propriété :
Si = et = , alors = où ABDC est un parallélogramme.
En pratique : pour construire la somme , on représente et à partir
du même point origine A.
Si = et = AC alors on construit le parallélogramme de côtés [AB]
et [AC]. + = AD où [AD] est la diagonale de ABDC.
2 3 4 50 1
1
x
yA B
DC
AB
u
E F
u
u
v
u
vu 

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Exemple 1 :
1) Construire le représentant d’origine A
du vecteur + .
2) Construire un représentant du vecteur
+ w .
3) Construire le point M tel que
BM = + w .
4) Construire le point N tel que
CN = w+ t .
5) Construire le point P tel que
AP = + AC.
6) Construire le point R tel que
AR = AB + BC.
7) Construire le point S tel que
BS = CA + CB.
8) a) Construire le point T tel que
AT = + CA.
b) Justifier que ATBC est un
parallélogramme.
……………………………………………
………………………………………….
Exemple 2 :
ABCD est un rectangle de centre I.
1) Construire le représentant d’origine C
du vecteur
BCCIABu
.
2) Démontrer que
AIu
……………………………………………
…………………………………………..
……………………………………………
………..
Exemple 3 :
1) Compléter :
..................
....................................
DCABBCCDAB
IJHGFEPMNAACDBIBIJ
2) Simplifier l’écriture des vecteurs suivants :
BABCACABx
CABCABw
DCACABv
CBCAACu
Exemple 4 : A, B, C et O sont quatre points du plan. Les points E et F sont définis par
OBOAOE
et
OCOBOF
.
1) Faire une figure.
2) Démontrer que AEFC est un parallélogramme.
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 1
1
x
y
A
B
C
u
v
w
t

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V- Différence de deux vecteurs :
Définition : Différence de deux vecteurs
La différence des vecteurs et est le vecteur noté − ; c’est la somme du vecteur et de l’opposé du
vecteur v : − = + (− ) où − est l’opposé du vecteur .
Exemple :
Construire le vecteur
u − .
Exercices :
VI- Produit d’un vecteur par un nombre réel :
1) Construction :
Définitions
- Pour tout vecteur , 0. = 0 , et pour tout réel k, k. 0 = 0 .
- Soit un vecteur non nul et k un réel non nul : le produit du vecteur par le réel k est le vecteur noté k .
Exemple 1 : Si k > 0 :
Tracer un représentant des vecteurs 2u, 3u, 1
2 u
Si k < 0 :
Tracer un représentant des vecteurs − , −2u, et −
Exemple 2 :
Construire les points A, B, C, D et E vérifiant :
uIA 2
vJB 2
1
vIC 2
3
uvID 2
vuJE 2
1
0 1
u
A B C
D
v
EF
0 1
u
A B C
D
v
EF
2 3 4
2
0 1
1
x
y
u
A
B
C
D
v