Chapitre 8 : Les vecteurs

Chapitre 8 : Les vecteurs (1)
I- Translation et notion de vecteur :
1) Vocabulaire
- Lorsque deux droites sont parallèles, on dit qu’elles ont la même direction (on peut nommer
indifféremment (AB) ou (BA) une droite passant par les points A et B)
- Il y a deux sens de parcours sur une droite : de A vers ….. ou bien de ….. vers …..
Activité :
Sur le dessin ci-dessous, on peut observer un téléphérique en pleine ascension. Il va ainsi passer de
la position à la position
, en se déplaçant dans la direction du câble qui le soutient, dans le sens qui le
fera monter et de la distance qui sépare les deux positions.
On peut donc considérer que la position
constitue une image de la position
En fait, c’est comme si nous avions fait « glisser » la cabine.
Le glissement a été effectué :
- dans la direction de la droite ….
- dans le sens …………...., que l’on indique par la flèche
- d’une longueur égale à …………
après un certain temps.
On dit que le dessin en position
est l’image du dessin en position
par la translation qui
transforme A en B ou, autrement dit, par la translation de vecteur
.
Cette translation transforme le point C en le point……
Quelle conjecture pouvez-vous émettre quant à la nature du quadrilatère ABDC ?
……………………………………………………………………………………………………..
1
2) Translation :
Définitions : A et B sont deux points du plan.
- A tout point M du plan, on associe par la translation qui transforme A en
B, un unique point M’ tel que [AM’] et [BM] ont le même milieu.
On dit que M’ est l’image de M par la translation qui transforme A en B.
- La translation qui transforme A en B est alors appelée translation de
vecteur
. On dit alors que M’ est l’image du point M par la translation de
vecteur
.
3) Vecteur :
y
3
Définition :
Si D est l’image de C par la translation de vecteur
les vecteurs
et
sont égaux.
On note
=
.
Propriété (admise) :
=

CD
C
alors on dit que
D
2

A
1
B
AB
équivaut à ABDC est un parallélogramme,
aplati.
0
1éventuellement
2
3
4
5
y
Vocabulaire :
Si la translation de vecteur
transforme C en D et aussi E en 5F,
alors on a :
=
= EF
4
On dit que les vecteurs
,
et EF sont des représentants d’un
même vecteur que l’on peut également nommer u par exemple
3
(on n’est pas obligé de donner un nom aux points extrêmes du
2
vecteur).
Un vecteur u a donc une infinité de représentants dans le plan.
1
6
x

u

u
E
F

u
C

A
Exemple 1 :
La figure est constituée de parallélogrammes.
0
1
1) Donner trois vecteurs égaux à :
…………………………………………………………………………….
2) Compléter : DE = H… = …D.
3) Donner le représentant d’origine D du vecteur CG : ………………….
4) Donner le représentant d’extrémité C du vecteur HE : ……………….
B
u
2
3
D
4
5
6
7
8 x
Exemple 2 :
C
E
B
A
D
F
1) Construire D’, image de D par la translation de vecteur
et E’, image de E par la translation de
vecteur
.
2) Construire les points G et F’, images respectives de D et F par la translation de vecteur AC .
Propriété : Le point I est le milieu du segment [AB] si et seulement si AI
IB
2
Exercices :

u
4) Vecteurs particuliers :

- Le vecteur nul, noté 0 , est le vecteur AA, BB, CC, … (l’origine
et l’extrémité du vecteur sont
u
E
F
confondues : « on ne se déplace pas dans le plan. »)
On a : 0 = AA = BB = CC = …

u
C
D
- L’opposé du vecteur
est le vecteur associé à la translation qui transforme B en A ; on le note − AB ou
BA.
y

On a : −
=
A
B
AB
1
Exemple :
La figure est constituée de
0
parallélogrammes.
1) Donner trois vecteurs opposés au vecteur
CA :
……………………………………………
………………………...........
2) Compléter : − DE = ….. = I… = …F
G… = 0 = … = …B.
1
2
3
4
5
x
Exercices :
II- Addition de vecteurs :
1) Définition :
et v désignent deux vecteurs et A un point.
Si la translation de vecteur
associe à A le point B et si la
translation de vecteur associe à B le point C alors la translation
qui transforme A en C est dite translation de vecteur u v .
La somme des deux vecteurs et est donc le vecteur associé à la translation résultant de l’enchaînement
des translations de vecteur et de vecteur . On note ce vecteur u v .
2) Construction :
  
Relation de Chasles : Quelques soient les points A, B et C : AB + BC = AC
En pratique :
On dispose bout à bout le représentant
et le représentant BC de
Propriété :
Si
=
et =
, alors
=
de

u
où ABDC est un parallélogramme.

v
 
u v
En pratique : pour construire la somme
, on représente et à partir
du même point origine A.
Si =
et = AC alors on construit le parallélogramme de côtés [AB]
et [AC]. + = AD où [AD] est la diagonale de ABDC.
3
y
Exemple 1 :
1) Construire le représentant d’origine A
du vecteur
+ .
10
2) Construire un représentant du vecteur
+ w.
9
3) Construire le point M tel que
BM = + w .
8
4) Construire le point N tel que
CN = w + t .
7
5) Construire le point P tel que
AP =
+ AC.
6
6) Construire le point R tel que
AR = AB + BC.
5
7) Construire le point S tel que
BS = CA + CB.
4
8) a) Construire le point T tel que
AT =
+ CA.
3
b) Justifier que ATBC est un
parallélogramme.
2
B
C
A

u

v

t

w
……………………………………………
1
………………………………………….
0
Exemple 2 :
ABCD est un rectangle de centre I.
1) Construire le représentant d’origine C
du vecteur u AB CI BC .
2) Démontrer que u AI
……………………………………………
…………………………………………..
……………………………………………
………..
Exemple 3 :
1) Compléter :
IJ IB B...
CD ...A
A...
MN
1
2
...P ......
3
...E
4
5
F ... G...
6
7
8
9
10
11
12x
H ... ...... IJ
AB CD BC ......
AB ...C ...D ......
2) Simplifier l’écriture des vecteurs suivants :
u AC CA CB
v
AB AC DC
w
AB BC CA
x
AB AC BC BA
Exemple 4 : A, B, C et O sont quatre points du plan. Les points E et F sont définis par OE
OF OB OC .
1) Faire une figure.
2) Démontrer que AEFC est un parallélogramme.
OA OB et
4
V- Différence de deux vecteurs :
Définition : Différence de deux vecteurs
La différence des vecteurs et est le vecteur noté
− ; c’est la somme du vecteur
vecteur v :
− = + (− ) où − est l’opposé du vecteur .
D
et de l’opposé du
y
Exemple :
B
Construire le vecteur
u− .

2

u
v
C
1
Exercices :
VI- Produit d’un vecteur par un
réel
0 nombre
1
2 : 3
4
x
1) Construction :
Définitions
- Pour tout vecteur , 0. = 0 , et pour tout réel k, k. 0 = 0 .
- Soit un vecteur non nul et k un réel non nul : le produit du vecteur
Exemple 1 :
Si k > 0 :
par le réel k est le vecteur noté k .
Si k < 0 :


u
u
D
D


v
A
B
Tracer un représentant
des vecteurs 2u, 3u,
0
1
1
u
2
Exemple 2 :
F
Construire
les points A, B, C, D et E vérifiant :
E
1
3
IA 2u
JB
v
IC
v
2
2
v
C
A
Tracer un représentant des vecteurs
−B , −2u, et −
0
C
1
F
E
ID
2v u
JE
u
1
v
2
5
Exemple 3 : A et B sont deux points distincts du plan. Construire dans chaque cas le point M tel que (faire 3
figures) :
3
a) AM
b) MA 3 AB
c) BM AB
AB
4
2) Règles de calcul :
k et k’ sont des réels, et sont des vecteurs :
k ( + v) = k + k
(on peut "distribuer" k)
(k + k’) = k + k’
(on peut "distribuer" )
k (k’ ) = (k k’)
ku 0
k 0 ou u 0 (règle du produit nul)
Exemple :
Soit u 2 AC 2CD AD . Simplifier l’écriture de .
…………………………………………………………………………………………………………………
………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………
………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………
………………………..
VII- Vecteurs colinéaires :
Définition : On dit que les deux vecteurs et sont colinéaires s’il existe un réel k tel que
(ou = k ). Le réel k s’appelle coefficient de colinéarité.

u
=k

v
Remarques :
- Deux vecteurs non nuls et sont colinéaires si et seulement si ils ont la même direction.
- Par convention, on dit que le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.
Exemples :
1) Si = 2 alors
et sont colinéaires.

1
Si v =
alors
et sont colinéaires.
3
2) Soient et deux vecteurs du plan vérifiant −2 + 3 = 0 . Montrer que et sont colinéaires.
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
3) Parmi les vecteurs suivants, déterminer ceux qui sont colinéaires et donner leur coefficient de colinéarité.
6
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
2
1
1
AC et v
BA
AC . Montrer que et sont colinéaires.
2
6
3
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
4) Soient u
2 BA
7
Exemple 1 :
La figure est constituée de parallélogrammes.
1) Donner trois vecteurs égaux à :
…………………………………………………………………………….
2) Compléter : DE = H… = …D.
3) Donner le représentant d’origine D du vecteur CG : ………………….
4) Donner le représentant d’extrémité C du vecteur HE : ……………….
Exemple 2 :
C
E
B
A
D
F
1) Construire D’, image de D par la translation de vecteur
et E’, image de E par la translation de
vecteur
.
2) Construire les points G et F’, images respectives de D et F par la translation de vecteur AC .
Exemple :
La figure est constituée de parallélogrammes.
1) Donner trois vecteurs opposés au vecteur CA :
……………………………………………………………………...........
2) Compléter : − DE = ….. = I… = …F
G… = 0 = … = …B.
8
y
Exemple 1 :
1) Construire le représentant d’origine
10 A
du vecteur
+ .
2) Construire un représentant du vecteur
9
+ w.
3) Construire le point M tel que
8
BM = + w .
4) Construire le point N tel que
7
CN = w + t .
5) Construire le point P tel que
6
AP =
+ AC.
6) Construire le point R tel que
5
AR = AB + BC.
7) Construire le point S tel que
4
BS = CA + CB.
8) a) Construire le point T tel que
3
AT =
+ CA.
b) Justifier que ATBC est 2 un
parallélogramme.
……………………………………………
1
……………………………………….
0
B
C
A

u

v

t

w
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12x
Exemple 2 :
ABCD est un rectangle de centre I.
1) Construire le représentant d’origine C
du vecteur u AB CI BC .
2) Démontrer que u AI
……………………………………………
………………………………………….
……………………………………………
………..
Exemple 3 :
1) Compléter :
IJ IB B...
CD ...A
A...
MN
...P ......
...E
F ... G...
H ... ...... IJ
AB CD BC ......
AB ...C ...D ......
2) Simplifier l’écriture des vecteurs suivants :
u AC CA CB
v
AB AC DC
w
AB BC CA
x
AB AC BC BA
Exemple 4 : A, B, C et O sont quatre points du plan. Les points E et F sont définis par OE
OF OB OC .
1) Faire une figure.
2) Démontrer que AEFC est un parallélogramme.
OA OB et
9
Exemple 1 :
Si k > 0 :
Si k < 0 :


u
u
D
D


v
A
B
Tracer un représentant
des vecteurs 2u, 3u,
0
1
1
u
2
v
C
A
Tracer un représentant des vecteurs
−B , −2u, et −
0
F
Exemple
2:
E
Construire les points A, B, C, D et E vérifiant :
1
3
IA 2u
JB
v
IC
v
2
2
C
1
F
E
ID
2v u
JE
u
1
v
2
Exemple 3 : A et B sont deux points distincts du plan. Construire dans chaque cas le point M tel que (faire 3
figures) :
3
AB
a) AM
b) MA 3 AB
c) BM AB
4
10
Exemples :
1) Si = 2 alors
et sont colinéaires.

1
Si v =
alors
et sont colinéaires.
3
2) Soient et deux vecteurs du plan vérifiant −2 + 3 = 0 . Montrer que et sont colinéaires.
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
3) Parmi les vecteurs suivants, déterminer ceux qui sont colinéaires et donner leur coefficient de colinéarité.
2
1
1
AC et v
BA
AC . Montrer que et sont colinéaires.
2
6
3
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
4) Soient u
2 BA
11
1) Vocabulaire
- Lorsque deux droites sont parallèles, on dit qu’elles ont la même direction (on peut nommer
indifféremment (AB) ou (BA) une droite passant par les points A et B)
- Il y a deux sens de parcours sur une droite : de A vers ….. ou bien de ….. vers …..
Activité :
Sur le dessin ci-dessous, on peut observer un téléphérique en pleine ascension. Il va ainsi passer de la position à la position
en se déplaçant dans la direction du câble qui le soutient, dans le sens qui le fera monter et de la distance qui sépare les deux
positions.
On peut donc considérer que la position
constitue une image de la position
En fait, c’est comme si nous avions fait « glisser » la cabine.
Le glissement a été effectué :
- dans la direction de la droite ….
- dans le sens …………...., que l’on indique par la flèche
- d’une longueur égale à …………
,
après un certain temps.
On dit que le dessin en position
est l’image du dessin en position
par la translation qui
transforme A en B ou, autrement dit, par la translation de vecteur
.
Cette translation transforme le point C en le point……
Qelle conjecture pouvez-vous émettre quant à la nature du qudrilatère ABDC ?
……………………………………………………………………………………………………..
2) Vocabulaire
- Lorsque deux droites sont parallèles, on dit qu’elles ont la même direction (on peut nommer
indifféremment (AB) ou (BA) une droite passant par les points A et B)
- Il y a deux sens de parcours sur une droite : de A vers ….. ou bien de ….. vers …..
Activité :
Sur le dessin ci-dessous, on peut observer un téléphérique en pleine ascension. Il va ainsi passer de la position à la position
en se déplaçant dans la direction du câble qui le soutient, dans le sens qui le fera monter et de la distance qui sépare les deux
positions.
On peut donc considérer que la position
constitue une image de la position
En fait, c’est comme si nous avions fait « glisser » la cabine.
Le glissement a été effectué :
- dans la direction de la droite ….
- dans le sens …………...., que l’on indique par la flèche
- d’une longueur égale à …………
,
après un certain temps.
On dit que le dessin en position
est l’image du dessin en position
par la translation qui
transforme A en B ou, autrement dit, par la translation de vecteur
.
Cette translation transforme le point C en le point……
Qelle conjecture pouvez-vous émettre quant à la nature du qudrilatère ABDC ?
……………………………………………………………………………………………………..
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