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36
Probabilité conditionnelle et
indépendance. Couples de variables
aléatoires. Exemples
(Ω,B,P)est un espace probabilisé.
36.1 Définition et propriétés des probabilités condition-
nelles
Définition 36.1 Soient A, B deux événements dans Bavec P(B)6= 0.La probabilité de A
sachant Best le réel :
PB(A) = P(A∩B)
P(B).
On note aussi PB(A) = P(A|B).
Théorème 36.1 Pour tout événement B∈ B de probabilité non nulle, l’application :
PB:B → [0,1]
A7→ PB(A) = P(A∩B)
P(B)
est une probabilité sur (Ω,B).
On dit que PBest la probabilité conditionnelle sur (Ω,B)sachant Bet par définition, on a :
P(A∩B) = PB(A)P(B)
Cette relation se généralise comme suit.
Théorème 36.2 Si n≥2et A1,··· , Ansont des événements dans Btels que Pµn−1
T
k=1
Ak¶6= 0,
on a alors :
PÃn
\
k=1
Ak!=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1∩A2)···PÃAn|
n−1
\
k=1
Ak!
625

626 Probabilité conditionnelle et indépendance. Couples de variables aléatoires. Exemples
On rappelle que si (Ai)i∈Iest une partition dénombrable de Ω,on dit alors que (Ai)i∈Iest
un système complet d’événements
Théorème 36.3 (Formule des probabilités totales) Si (A1,··· , An)est un système com-
plet d’événements dans Btel que P(Ak)6= 0 pour tout kcompris entre 1et n, on a alors pour
tout événement A∈ B :
P(A) =
n
X
k=1
P(A|Ak)P(Ak)
Exercice 36.1 Un fumeur essaye de ne plus fumer. S’il ne fume pas un jour donné, alors
la probabilité qu’il ne fume pas le lendemain est p∈]0,1[ .S’il fume un jour donné, alors la
probabilité qu’il ne fume pas le lendemain est q∈]0,1[ .
1. Calculer la probabilité pnque cette personne ne fume pas le n-ème jour.
2. Calculer lim
n→+∞pn.
Théorème 36.4 (Formule de Bayes) Si (A1,··· , An)est un système complet d’événements
dans Btel que P(Ak)6= 0 pour tout kcompris entre 1et n, on a alors pour tout événement
B∈ B de probabilité non nulle et tout entier jcompris entre 1et n:
P(Aj|B) = P(B|Aj)P(Aj)
n
P
k=1
P(B|Ak)P(Ak)
Exercice 36.2 Des études sur une population ont montré que l’on pouvait admettre que la
probabilité pnqu’une famille ait exactement nenfants est définie par :
∀n≥1, pn=αpn
avec 0< p < 1, α > 0et (1 + α)p < 1.
On suppose que les naissances des garçons et des filles sont équiprobables.
1. Calculer la probabilité pour une famille de ne pas avoir d’enfants.
2. Calculer la probabilité pour une famille d’avoir exactement kgarçons.
3. Étant donnée une famille ayant au moins un garçon, quelle est la probabilité qu’elle en
ait deux ou plus ?
36.2 Événements indépendants
Dans le cas où P(A|B) = P(A),on déduit que le fait que soit Bsoit réalisé ne change rien
sur le calcul de P(A).Dans ces conditions, on dit que Aet Bsont des événements indépendants.
Définition 36.2 On dit que deux événements Aet Bdans Bsont indépendants (ou stochasti-
quement indépendants) indépendants si :
P(A∩B) = P(A)P(B).
Remarque 36.1 Si P(B) = 0,on a alors, pour tout A∈ B,0≤P(A∩B)≤P(B) = 0,donc
P(A∩B) = P(A)P(B) = 0 et Aet Bsont indépendants.
Si P(B)6= 0,les événements Aet Bsont indépendants si, et seulement si, P(A|B) = P(A).

Événements indépendants 627
Remarque 36.2 Deux événements peuvent être incompatibles, sans être indépendants. Par
exemple, si P(A) = p∈]0,1[ ,on a alors :
P(A)P(Ω \A) = p(1 −p)6= 0 = P(A∩(Ω \A)) .
Exercice 36.3 Montrer que Aet Bsont indépendants dans Bsi, et seulement si, Aet Ω\B
sont indépendants et que Aet Ω\Bsont indépendants si et seulement si, Ω\Aet Ω\Asont
indépendants.
Plus généralement, on définit l’indépendance mutuelle de plusieurs événements comme suit.
Définition 36.3 On dit que des événements A1,··· , An,où n≥2,sont mutuellement indé-
pendants dans Bsi pour toute partie Jnon vide de {1,2,··· , n},on a :
PÃ\
j∈J
Aj!=Y
j∈J
P(Aj).
Remarque 36.3 Des événements mutuellement indépendants sont deux à deux indépendants,
mais la réciproque est fausse.
En effet, considérons l’expérience aléatoire qui consiste à lancer un dé deux fois et les événe-
ments A, B, C définis respectivement par « le premier chiffre est pair », « le deuxième chiffre
est impair », « la somme des chiffres est paire ». En supposant l’équiprobabilité, on a :
P(A) = P(B) = P(C) = 1
2
P(A∩B) = P(A∩C) = P(B∩C) = 9
36 =1 4
donc les événements A, B, C sont deux à deux indépendants, mais :
P(A∩B∩C) = P(∅) = 0 6=P(A)P(B)P(C)
et A, B, C ne sont pas mutuellement indépendants.
Exercice 36.4 Soient A1,···, An,où n≥2,des événements mutuellement indépendants dans
B.
1. Montrer que Ω\A1, A2,··· , Ansont mutuellement indépendants.
2. En déduire que pour tout entier kcompris entre 1et n, les événements Ω\A1,··· ,Ω\
Ak, Ak+1,···, Ansont mutuellement indépendants.
Exercice 36.5 Soit n≥2un entier naturel supérieur. On choisit de manière équiprobable
un des entiers compris entre 1et n. Soient pun diviseur positif de net Apl’événement :« le
nombre choisi est divisible par p».
1. Calculer P(Ap).
2. Montrer que si p1,···, prsont les diviseurs premiers de n, alors les événements Ap1,··· , Apr
sont mutuellement indépendants.
3. On désigne par ϕla fonction indicatrice d’Euler définie sur N∗par
ϕ(n) = card {k∈ {1,···, n} | k∧n= 1}
Montrer que
ϕ(n) = nY
ppremier
pdivise nµ1−1
p¶.

628 Probabilité conditionnelle et indépendance. Couples de variables aléatoires. Exemples
Exercice 36.6 On se fixe un réel s > 1et on considère l’espace probabilisé (Ω,P(Ω) ,Ps),où
Ω = N∗et :
∀n∈Ω,Ps({n}) = 1
ζ(s)
1
ns
en désignant par ζla fonction de Riemann définie par ζ(s) =
+∞
X
n=1
1
ns(on dit que Psest la loi
dzéta de paramètre s).
Pour tout entier n≥1,on désigne par Anl’événement :
An={multiples de n}={k·n|k∈N∗}
1. Calculer Ps(An)pour tout n≥1.
2. Montrer que, si Pdésigne l’ensemble des nombres premiers, alors la famille (Ap)p∈P
est indépendante, c’est-à-dire que pour toute suite finie (pk)1≤k≤rde nombres premiers
distincts, les événement Ap1,··· , Aprsont mutuellement indépendants.
3. En déduire que :
Ps({1}) = Y
p∈P µ1−1
ps¶
puis l’identité d’Euler :
∀s > 1, ζ (s) = Y
p∈P µ1−1
ps¶−1
.
Une définition équivalente d’événements mutuellement indépendants est donnée par le théo-
rème suivant.
Théorème 36.5 Soient A1,··· , An,où n≥2,des événements dans B.Ces événements sont
mutuellement indépendants si, et seulement si, pour toute partie Jde {1,2,··· , n}telle que
PÃT
j∈J
Aj!6= 0 et tout indice i∈ {1,2,··· , n} \ J, on a :
PÃAi|\
j∈J
Aj!=P(Ai).
36.3 Variables aléatoires réelles indépendantes
Définition 36.4 Soient n≥2et X1, X2,··· , Xndes variables aléatoires réelle sur (Ω,B,P).
On dit que ces variables aléatoires sont mutuellement indépendantes si pour tous boréliens
B1, B2,··· , Bn,on a :
PÃn
\
i=1
(Xi∈Bi)!=
n
Y
i=1
P(Xi∈Bi).
L’événement
n
\
i=1
(Xi∈Bi)sera aussi noté (X1∈B1,··· , Xn∈Bn).

Variables aléatoires réelles indépendantes 629
Théorème 36.6 Soient n≥2et X1, X2,··· , Xndes variables aléatoires réelle discrètes sur
(Ω,B,P).Ces variables aléatoires sont mutuellement indépendantes si, et seulement si, pour
tous boréliens (x1, x2,··· , xn)dans
n
Y
i=1
Xi(Ω) ,on a :
PÃn
\
i=1
(Xi=xi)!=
n
Y
i=1
P(Xi=xi).
Exercice 36.7 Soient n≥3et X1, X2,··· , Xndes variables aléatoires réelle discrètes sur
(Ω,B,P)mutuellement indépendantes.
1. Montrer que les variables aléatoires X1+X2, X3,··· , Xnsont mutuellement indépen-
dantes.
2. En déduire que pour tout entier rcompris entre 2et n−1,les variables aléatoires X1+
··· +Xr, Xr+1,··· , Xnsont mutuellement indépendantes.
Définition 36.5 On dit que deux variables aléatoires Xet Yde carré intégrable sont non
corrélées si Cov (X, Y ) = 0.
Théorème 36.7 Si Xet Ysont deux variables aléatoires sur (Ω,B,P)de carré intégrables et
indépendantes, elles sont alors non corrélées et on a :
E(XY ) = E(X)E(Y)
et :
V(X+Y) = V(X) + V(X)
Théorème 36.8 Soient X1, X2,··· , Xndes variables aléatoires sur (Ω,B,P)de carré inté-
grables et mutuellement indépendantes. On a :
E(X1X2···Xn) =
n
Y
i=1
E(Xi).
V(
n
X
i=1
Xi) =
n
X
i=1
V(Xi).
Théorème 36.9 Soient X1, X2,···Xndes variables aléatoires continues indépendantes sur
(Ω,B,P)et de fonction de densité respectives f1, f2,···fn.Alors :
X=
n
X
k=1
Xk
est une variable aléatoire réelle continue admettant pour fonction de densité la fonction
f1∗f2∗ ··· ∗ fn
où la loi ∗représente le produit de convolution.
Définition 36.6 Soient nun entier strictement positif et pun réel appartenant à [0,1].Une
variable aléatoire réelle Xsuit une loi binomiale de paramètre (n, p)si Xest la somme de n
variables aléatoires indépendantes suivant une loi de Bernoulli de paramètre p.
On note X∼B(n, p).