Probabilités Semestre 2

COURS DE PROBABILITE
2i`eme ann´ee d’´economie et de gestion,
semestre 2
Laurence GRAMMONT
Laurence.Grammon[email protected]
April 2, 2004

2

Contents
1 Lois discr`etes usuelles 5
1.1 Introduction............................ 5
1.2 Sch´ema de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Sch´emaBinomial ......................... 7
1.4 Sch´ema hyperg´eom´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Loi g´eom´etrique et loi de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6 LoidePoisson........................... 15
2 Couple de variables al´eatoires discr`etes 19
2.1 G´en´eralit´es ............................ 19
2.1.1 Loi de probabilit´e conjointe
Lois de probabilit´e marginales . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Fonction de r´epartition d’un couple
Fonctions de r´epartition marginales . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Loi de probabilit´e conditionnelle
Esp´erance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.1 Corr´elation lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 Ind´ependance stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5 Equation d’analyse de la variance . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.6 Fonction de 2 variables al´eatoires discr`etes . . . . . . . . . . . 26
2.6.1 Esp´erance-Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.6.2 Calcul de la covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 Couple de variables al´eatoires
continues 29
3.1 Fonction de r´epartition du couple (X, Y )
Fonction de r´epartition marginale . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3

4CONTENTS
3.2 Fonction densit´e conjointe
Fonctions densit´e marginales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3 Variables conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3.1 Ind´ependance en probabilit´e
covariance-co´efficient de corr´elation . . . . . . . . . . . 36
3.3.2 Fonction de 2 variables al´eatoires . . . . . . . . . . . . 38
4 Loi Normale ou loi de Laplace - Gauss - G´en´eralit´es 39
4.1 D´efinition math´ematique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2 Calculs de probabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2.1 Calculs `a partir de N(0,1) : U.............. 41
4.2.2 Loi Normale qq N(µ, σ) ................. 43
5 Condition d’application de la loi normale 47
5.1 Convergence des variables al´eatoires . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.1.1 Convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.1.2 Convergence en probabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.2 Loi faible des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.3 Th´eor`eme central-limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.4 Approximation d’une loi B(n, p)................. 50
5.5 Approximation d’une loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.6 Exercices.............................. 52

Chapter 1
Lois discr`etes usuelles
1.1 Introduction
On a un ph´enom`ene al´eatoire que l’on veut comprendre. Ce ph´enom`ene
al´eatoire est a priori complexe et on ne peut calculer directement les proba-
bilit´es de ses ´eventualit´es.
ex : comprendre la d´epense annuelle des m´enages fran¸cais pour les loisirs.
Par exemple, calculer la probabilit´e qu’ils d´epensent 5 000 F par an. On
dispose
d’une population pour laquelle le mod`ele est destin´e,
d’un individu et
d’un caract`ere ´etudi´e (repr´esent´e par une variable al´eatoire X).
Que fait-on ?
1 - Pour avoir une premi`ere id´ee du ph´enom`ene repr´esent´e par une vari-
able al´eatoire X, on peut faire plusieurs observations de X.
ex : X= d´epense annuelle pour les loisirs d’un m´enage (variable al´eatoire
attach´ee `a un individu). On demande `a un certain nombre de m´enages ses
d´epenses annuelles en loisirs. On a donc la valeur de Xi.Xi´etant la d´epense
annuelle pour le m´enage i.
Cette suite d’observation d´ebouche sur la d´efinition d’une variable statistique
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