L`initialisation est faite. Si un+1 ≤ un, alors comme la fonction f est

3.3. CONVERGENCE ET POINTS FIXES 27
L’initialisation est faite. Si un+1 ≤un, alors comme la fonction fest croissante,
onaf(un+1)≤f(un), soit un+2 ≤un+1. Ainsi la suite (un)est d´ecroissante.
Pour le deuxi`eme point, observons que la fonction f◦fest croissante (1).
Or les deux suites extraites (u2n)et (u2n+1)v´erifient la r´ecurrence vn+1 =
f◦f(vn). Donc elles sont toutes les deux monotones, et leur sens de variation
d´epend des deux premiers termes. Donc on peut ´ecrire :
(u2n)croissante ⇔u2≥u0⇔(car fd´ecroissante) u3=f(u2)≤u1=f(u0)
⇔(u2n+1)d´ecroissante.
3.3. Convergence et points fixes
On se pose maintenant le probl`eme de la convergence de ces suites. On
ajoute `a partir de maintenant les deux hypoth`eses : fest continue sur Iet
Iest un intervalle ferm´e (2). Les limites possibles sont les points fixes de f,
c’est-`a-dire les points x∈Itels que f(x) = x.
Proposition 3.3.1. — Si fest continue sur Iet un→l, alors lappartient
`a Iet lest point fixe de f:f(l) = l.(QC)
D´emonstration. — Premi`erement, comme un→let que Iest ferm´e, on a
l∈I.
Ensuite, consid´erons la suite (f(un))n∈N. Par continuit´e de f, elle tend vers
f(l). Mais par d´efinition de (un), cette suite est la suite extraite (un+1). Elle
tend donc vers l. Par unicit´e de la limite, on a f(l)=l.
Donc pour ´etudier une ´eventuelle convergence de la suite (un), on commence
par chercher des points fixes de f. Dans le cas o`u Iest born´e, on est assur´e
de leur existence, grˆace au th´eor`eme des valeurs interm´ediaires :
Proposition 3.3.2. — Soit Iun intervalle ferm´e born´e stable par la fonction
fcontinue sur I. Alors fa un point fixe dans I.
D´emonstration. — La fonction x→ f(x)−xest continue sur I, positive en
la borne gauche de Iet n´egative en la borne droite. Donc elle s’annule sur I;
c’est-`a-dire que fa un point fixe.
1. En effet, si x≤y, on a par d´ecroissance f(x)≥f(y)puis par d´ecroissance encore
f◦f(x)≤f◦f(y).
2. C’est-`a-dire du type [a, b],]− ∞, b],[a, +∞[ou [a, b].

28 CHAPITRE 3. SUITES NUM´ ERIQUES R´ ECURRENTES
3.4. Convergence et points fixes, Cas des fonctions d´erivables
On suppose maintenant que fest continˆument d´erivable sur I. En faisant
quelques dessins, il semble que la convergence de (un)vers un point fixe ln’est
possible que si |f�(l)|≤1.´ Etudions ¸ca plus pr´ecis´ement. D’abord le cas o`u
|f�(l)|>1:
Proposition 3.4.1. — Soit lun point fixe de fen lequel |f�(l)|>1. Suppo-
sons que un→l. Alors, il existe N∈Ntel que pour n≥N,un=l.(QC)
Dans ce cas, on dit que la suite est stationnaire.
D´emonstration. — On le montre par contrapos´ee : montrons que si pour tout
Nil existe n≥Ntel que un=l, alors unne tend pas vers l. Cette derni`ere
phrase veut dire
∃ε>0,∀N∈N,∃n≥N, |un−l|>ε.
On cherche donc ce ε.
Soit 1< K < |f�(l)|. Par continuit´e de |f�|, il existe un intervalle Jautour
de ltel que pour tout x∈J,|f�(x)|> K. Soit maintenant ε>0tel que
l’intervalle [l−ε;l+ε]est inclus dans J. Montrons que cet εconvient. Pour
¸ca, on fixe N∈Net on cherche un entier n≥Ntel que |un−l|>ε.
Soit donc p≥Ntel que up=l(c’est possible par hypoth`ese). Si |up−l|>ε,
alors on peut prendre n=p. Sinon, par d´efinition de ε,onaup∈J. Par
l’in´egalit´e des accroissements finis, on a :
|up+1 −l|=|f(up)−f(l)|> K|up−l|.
Et tant qu’on ne sort pas de l’intervalle J,ona|up+r−l|> Kr|up−l|. Comme
K > 1et |up−l|>0, au bout d’un moment, on a |up+r−l|>ε. On peut
alors prendre n=p+r.
Exemple 3.4.2. — C’est le cas pour le point fixe 1de la fonction fd´efinie
par f(x) = x2
En revanche, si |f�(l)|<1, alors pour xsuffisamment proche de l, on a
|f(x)−l|<|x−l|donc la suite unsemble devoir tendre vers l. Pour ¸ca, on
d´efinit la notion de fonction contractante :
D´efinition 3.4.3. — Soit 0<k<1. Une fonction f:I→Iest dite k-
contractante si pour tout x, y ∈I,|f(x)−f(y)|≤k|x−y|.
Une fonction fest dite contractante s’il existe 0<k<1tel que fest
k-contractante.

3.4. CONVERGENCE ET POINTS FIXES, CAS DES FONCTIONS D´ ERIVABLES 29
Remarque 3.4.4. — Une fonction contractante est uniform´ement continue. En effet,
soit fune fonction contractante sur I. Alors on a pour tous xet ydans I:si|x−y|≤ε,
alors |f(x)−f(y)|≤|x−y|≤ε.
Une bonne fa¸con d’ˆetre contractante est d’avoir une d´eriv´ee strictement
major´ee par 1sur un intervalle born´e :
Proposition 3.4.5. — On suppose fcontinue sur Iet supx∈I|f�(x)|<1.
Alors fest contractante.
D´emonstration. — Notons k= supx∈I|f�(x)|. Par l’in´egalit´e des accroisse-
ments finis sur I, on a pour tous xet yde I:|f(y)−f(x)|≤k|y−x|. Comme
k < 1, on obtient bien que la fonction est k-contractante.
Remarque 3.4.6. — Si fest continˆument d´erivable et que Iest born´e, on
sait que |f�|atteint ses bornes sur I. Donc il suffit d’avoir pour tout x∈I,
|f�(x)|<1pour entrer dans le cadre de la proposition pr´ec´edente.
Th´eor`eme 3.4.7. — On suppose que Iest ferm´e et fest continue et k-
contractante sur I. Alors : (QC)
1. fadmet un unique point fixe ldans I(th´eor`eme du point fixe de Banach).
2. Pour tout u0∈I, la suite d´efinie par un+1 =f(un)converge vers l, et
on a :
|un−l|≤kn|u0−l|.
D´emonstration. — On traite ici le cas de Iferm´e born´e (3). On sait alors d´ej`a
que fa un point fixe dans I. Si let l�sont points fixes, on a |l−l�|=
|f(l)−f(l�)|≤k|l−l�|. Comme k < 1, ce n’est possible que si l=l�. Le point
fixe est donc unique.
Par d´efinition, on a |un+1 −l|=|f(un)−f(l)|< k|un−l|. On montre ainsi
par r´ecurrence que |un−l|≤kn|u0−l|.Ainsi, (un)tend vers l.
Exemple 3.4.8. — Consid´erons la fonction f(x) = 1
2x+3 xet choisissons
le premier terme u0= 2.
L’intervalle I= [√3,+∞[est stable. La d´eriv´ee y est comprise entre 0et
1
2. Donc la fonction est 1 2-contractante. √3est le seul point fixe sur I.
Donc la suite converge vers √3,et|un−√3|≤1
2n|2−√3|≤1 2n.
En pratique, en partant de u0= 2 : on calcule u1= 7/4=1,75,u2=
1,7321428...,u3= 1,73205081...,u4= 1,7320508075688... et √3=1,7320508075688...
3. Le cas g´en´eral g´en´eral se traite avec une notion que nous n’avons pas vu cette ann´ee :
celle de suite de Cauchy.

30 CHAPITRE 3. SUITES NUM´ ERIQUES R´ ECURRENTES
(u4coincide avec √3`a 17 chiffres apr`es la virgule). On peut se reporter `a ani-
mation
3.5. M´ethode de Newton
Cette partie n’a ´et´e que bri`evement pr´esent´ee en amphi.
Le but est de g´en´eraliser l’exemple pr´ec´edent pour trouver de bonnes ap-
proximations d’une solution de F(x)=0, o`u Fest une fonction C2d´efinie sur
I.
Commen¸cons par d´ecrire la m´ethode : on part d’un point de d´epart u0∈I.
Si on connaˆıtun, le terme un+1 est l’abscisse de l’intersection de l’axe des
abscisses et de la droite tangente au graphe de Fen (un, F (un)). On peut se
r´ef´erer `a cette animation.
En g´en´eral, l’´equation de la tangente au graphe en (x0, F (x0)) est
y=F(x0)+F�(x0)(x−x0).
Son intersection avec l’axe des abscisses a lieu en x=x0−F(x0)
F�(x0). Notons fla
fonction x→ x−F(x)
F�(x), d´efinie et d´erivable sur {x∈I, F �(x)= 0}. La suite
(un)est donc d´efinie par u0∈Iet un+1 =f(un).
Proposition 3.5.1. — Si la suite (un)est d´efinie pour tout net converge
vers l, alors F(l)=0.
D´emonstration. — Si la suite (un)converge vers l, alors un+1 =un−F(un)
F�(un)
converge aussi vers l.Orunconverge vers l, donc on doit avoir F(un)
F�(un)→0. Or
F(un)tend vers F(l). La seule possibilit´e est donc que F(l)=0(quel que soit
le comportement de F�(un)).
Proposition 3.5.2. — Soit lun z´ero de Ftel que F�(l)= 0. Alors, pour u0
suffisamment proche de l, la suite converge vers l.
D´emonstration. — En effet, fest d´erivable en 0et
f�(l)=1−(F�(l))2−F(l)F��(l)
(F�(l))2= 1 −1 + 0 = 0.
Donc, par continuit´e de f�, sur un certain intervalle Jautour de l,|f�(x)|<1
2.
Donc sur cet intervalle, fest 1
2-contractante, le th´eor`eme pr´ec´edent s’applique.
Ainsi pour tout u0∈J,unconverge vers l.

3.5. M´ ETHODE DE NEWTON 31
L’exemple pr´esent´e `a la fin de la section pr´ec´edente s’obtient comme l’ap-
plication de cette m´ethode `a la fonction Fd´efinie par F(x) = x2−3.
Un commentaire pour conclure : si on ne fait pas une ´etude pr´ealable de la
fonction, il est difficile de pr´evoir vers quoi va tendre la suite (un), et mˆeme
si elle est bien d´efinie. Si une ´etude de la fonction permet de d´eterminer un
intervalle comme dans la derni`ere proposition, alors on peut sans probl`eme
prendre un u0dans J. Sinon, on peut essayer d’utiliser cette m´ethode en
esp´erant converger, ce qui avec la premi`ere proposition assure qu’on converge
vers un 0de F.