Analyse, séance 7 : cours LES PROBLÈMES HYPERBOLIQUES

Mathématiques 2 1
Analyse, séance 7 : cours
LES PROBLÈMES HYPERBOLIQUES
Objectifs
De nombreux problèmes d’évolution (dynamique du solide, propagation d’ondes, transport)
sont conservatifs : au cours de l’évolution certaines grandeurs comme la quantité de mouve-
ment, l’énergie ou la masse sont conservées. La modélisation et l’approximation numérique des
équations aux dérivées partielles régissant des problèmes conservatifs posent des problèmes plus
difficiles que ceux que nous avons déjà étudiés dans le cas dissipatif. La non conservation des
invariants dans l’approximation peut entraîner, outre une perte de stabilité, la modification des
propriétés qualitatives de la solution. Les problèmes hyperboliques, qui sont des problèmes avec
un grand nombre d’invariants locaux, sont très repésentatifs de cette classe. Nous allons étudier
ces problèmes dans un cas simple, en reprenant le modèle financier de la séance 6. On considérera
en détail dans cette séance un cas limite modélisé par une équation hyperbolique.
Un problème de finance
Rappel du problème
Le problème écrit sous forme abstraite est
∂u
∂t +h(x)∂u ∂x =1 2σ2∂2u ∂x2−ru x ∈[xm, xM], t ∈[0, T ]
u(x, 0) = u0(x)
u(xm, t) = 0
u(xM, t) = uM(t)
(1)
avec h(x) = a(x−ν).
Nous allons étudier le cas limite correspondant à une volatilité nulle, ce qui nous fournira un exemple
élémentaire d’équation hyperbolique. Noter que dans ce contexte le modèle perd son sens, l’équa-
tion ayant été établie sous l’hypothèse d’une évolution aléatoire de la valeur de l’actif sous-jacent à
l’option.
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Analyse du cas purement hyperbolique : σ= 0
Exemple simplifié : σ= 0
Dans un premier temps nous supposons σ= 0 et r= 0, l’équation est alors une équation aux
dérivées partielles linéaires du premier ordre qui s’écrit
∂u
∂t +h(x)∂u ∂x = 0 (2)
Voir la théorie des équations du premier ordre, qui sont des cas particuliers d’équations hyperbolique
au paragraphe 5.2 du chapitre 5 du polycopié d’analyse.
En adaptant la situation générale analysée au paragraphe 5.2 à l’équation (2) réécrite sous la forme
∂u
∂t +h(x)∂u ∂x =f(x, t) = 0
on définit le système différentiel caractéristique
t0(θ)=1
x0(θ) = h(x(θ)) (3)
Les courbes intégrales de ce système sont les courbes caractéristiques. Elles forment un réseau de
courbes disjointes.
Le système (3) se simplifie, puisqu’il implique t=θ+Cte, ce qui permet de définir ici plus sim-
plement une courbe caractéristique comme une courbe x=x(t)solution de l’équation différentielle
caractéristique :
x0(t) = h(x(t)) (4)
Le résultat fondamental est que la solution de (2) vérifie une équation différentielle ordinaire sur
les courbes caractéristiques. Comme le second membre f(x, t)est ici nul, cette équation s’intègre
immédiatement :
Proposition 1 Une fonction u(x, t)est solution de (2) si et seulement si elle est constante sur les
courbes caractéristiques.
Ce résultat est une conséquence immédiate de
du(x(t), t)
dt =∂u ∂xx0(t) + ∂u ∂t =∂u ∂xh(x(t)) + ∂u ∂t = 0
Le problème (2) modélise donc un simple phénomène de transport (on dit aussi de convection) le long
des caractéristiques, comme un transport par un fluide dont la vitesse serait h(x).
−Si h(x) = C=Cte, l’ensemble des courbes caractéristiques est formé par les droites de pente
C.
Si h(x) = a(x−ν), les courbes caractéristiques sont des courbes exponentielles x(t) = ν−(ν−
x(0)) exp (at)dont quelques unes sont dessinées sur la figure (1).
−Peut-on fixer des conditions initiales ou aux limites librement pour cette équation ?
Si h(x) = Cet C6= 0, les droites caractéristiques coupent deux fois le bord. Une seule condition
initiale ou aux limites est alors cohérente. On peut par exemple, si C > 0, fixer la condition initiale
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XX
TT
00
LL
νν
FIG. 1 – Réseau des caractéristiques
et une condition en L.
Si h(x) = a(x−ν), il y a alors toujours une caractéristique sortante sur les bords (i.e. quand tcroît
on sort), ce qui implique qu’il ne faut pas poser de conditions en ces points, il suffit de poser une
condition initiale. Noter que la condition finale ne dépend que d’une partie des conditions initiales.
Cas général : r6= 0
On reprend le problème avec r6= 0, l’équation s’écrit
∂u
∂t +h(x)∂u ∂x =−ru (5)
Les courbes caractéristiques sont définies de la même manière que si r= 0. Conformément au
résultat général uest bien déterminée sur les courbes caractéristiques par une équation différentielle
et sa valeur en un seul point. L’équation s’écrit
du(x(t), t)
dt =∂u ∂xx0(t) + ∂u ∂t =∂u ∂xh(x(t)) + ∂u ∂t =−ru(x(t), t)
D’où
u(x(t), t) = u(x(0),0) exp (−rt)
Le problème à valeur initiale pour l’équation (5) est bien défini, le raisonnement est le même que pour
r= 0.
Remarque :
Quand la volatilité est non nulle mais faible (situation ici plus numérique que réelle) la solution
doit satisfaire en outre les deux conditions aux limites en xmin et xmax. La solution du problème
reste proche de la solution du problème hyperbolique sauf au voisinage des bords où la solution varie
brutalement : il apparaît une couche limite. Dans l’approximation numérique cette situation peut créer
des instabilités que certaines méthodes peuvent corriger.
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Les systèmes hyperboliques
Nous allons étudier les systèmes d’équations aux dérivées partielles du premier ordre à coeffi-
cients constants. Nous n’étudions pas en détails quels systèmes d’équations aux dérivées partielles
s’écrivent sous la forme d’un système du premier ordre (voir le paragraphe 3.5 du polycopié d’ana-
lyse). Nous allons voir quelques exemples.
Exemples canoniques
On considère les systèmes d’équations aux dérivées partielles suivants :
∂u
∂t −c∂v ∂x = 0
∂v
∂t −c∂u ∂x = 0
(6)
et : 
∂u
∂t +∂v ∂x = 0
∂v
∂t −∂u ∂x = 0
(7)
La solution udu système (6) vérifie l’équation des ondes tandis que la solution ude (7) vérifie
l’équation de Laplace ∆u= 0 (ce sont les conditions de Cauchy montrant que u+iv est une fonction
analytique de z=x+it).
Systèmes hyperboliques linéaires à coefficients constants
Voir le paragraphe 5.3. La notion de caractéristique ne se généralise pas à tous les systèmes
d’équation aux dérivées partielles linéaires du premier ordre, mais seulement à une classe de sys-
tèmes dits hyperboliques. Dans c paragraphe nous étudions la définition “générale” d’un système
hyperbolique linéaire à coefficients constants.
On considère un système d’équations aux dérivées partielles du premier ordre pour des fonc-
tions de deux variables (x, t)représentées par le vecteur u= (u1(x, t),· · · , un(x, t))t. On notera le
système :
∂u
∂t +A∂u ∂x = 0 (8)
Définition 1 On dit que le système (8) est un système strictement hyperbolique si la matrice Aest à
valeurs propres réelles et distinctes, donc diagonalisable.
On peut interpréter les systèmes hyperboliques comme les systèmes qui admettent des ondes planes,
i.e ; des solutions particulières de la forme u(kx −ωt)et même plus précisément des solutions de la
forme uexp i(kx −ωt).
−Le système (6) associé à l’équation des ondes est hyperbolique mais le système (7) associé
à l’équation de Laplace ∆u= 0, la matrice Aest antisymétrique : elle n’a pas de valeurs propres
réelles, le système n’est pas hyperbolique.
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−On note vk, λkles vecteurs propres et valeurs propres de la matrice At(donc Atvk=λkvk).
Montrer que, en multipliant scalairement les deux membres de l’équation par vk, il vient :
hvk,∂u
∂t +λk
∂u
∂xi= 0 (9)
−On appelle caractéristiques du système les courbes xk(t) = λkt+xk(0) intégrales du système
différentiel dx
dt =λk(10)
Sur ces courbes la fonction u(x(t), t)vérifie l’équation différentielle :
hvk,du
dt i= 0 (11)
On en déduit l’existence des invariants de Riemann :
hvk, ui=Cte (12)
La connaissance des caractéristiques permet calculer les invariants de Riemann le long des caracté-
ristiques, d’où l’on peut déduire la solution u.
En supposant connu l’état initial u(x, 0) en t= 0 il faut :
1. déterminer les invariant en t= 0,
2. construire les caractéristiques passant par un point (x, t),
3. retrouver le point d’intersection de ces caractéristiques avec l’axe t= 0 et calculer les invariants
en ces points ;
4. on connaît alors la valeur des invariants en (x, t)ce qui permet de retrouver la valeur de u.
Noter que la solution en un point ne dépendant que des valeurs antérieures sur les caractéristiques
, une perturbation se propage à vitesse finie, la vitesse de propagation étant donnée par les valeurs
propres de la matrice : les problèmes hyperboliques modélisent les phénomènes ayant une vitesse de
propagation finie (les problèmes elliptiques et paraboliques ont une vitesse de propagation infinie).
Si le problème est posé sur un intervalle borné pour x, la situation se complique car il faut tenir
compte des conditions au bord (nous allons étudier ce cas sur un exemple).
Un exemple
On étudie l’équation des ondes avec position et vitesse initiale connues et conditions aux limites
nulles sur un intervalle (corde vibrante) :
∂2u
∂t2=c2∂2u ∂x2
u(x, 0) = u0(x)
∂u
∂t (x, 0) = 0
u(0, t) = u(L, t)=0
(13)
En considérant le système hyperbolique (6) équivalent, on peut déterminer et utiliser les caracté-
ristiques pour calculer la solution du problème :
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