TD8 – Circuits linéaires du premier ordre

Travaux dirigés : A - Signal VI – Circuits linéaires du premier ordre Sciences Physiques : PCSI 2
Laurent Pietri ~ 1 ~ Lycée Henri Loritz - Nancy
TD8 – Circuits linéaires du premier ordre
A – Application du cours
A-1) Soit un circuit RC dont on veut suivre le régime libre. Le condensateur est initialement chargé à
Q0. Démontrez la loi d’évolution q(t) de la charge du condensateur, celle de s(t) tension aux bornes
du condensateur et de i(t) courant dans le circuit.
Rép : 
A-2) Soit un circuit RC dont on veut déterminer la réponse indicielle :
a) Etablir l’équation différentielle
b) A l’aide du portrait de phase, déterminer l’évolution qualitative de s(t) tension aux bornes
du condensateur
c) Résoudre analytiquement l’équation différentielle.
d) Que se passe-t-il si l’échelon de tension permute à t00 au lieu de t=0
Rép : a) 
 b) partant d'une valeur inférieure à E, s(t) croît jusqu'à E c)     
e)     
A-3) Soit un signal carré de période :    :
a) Pour un circuit RC représentez e(t),   et l’intensité i(t) avec la même échelle
de temps. On rappellera quelles sont les variables continues.
b) Pour un circuit RL représentez e(t), i(t) et   avec la même échelle de temps.
On rappellera quelles sont les variables continues.
c) Que se passe-t-il si Tτ
Rép : a) La charge, la tension s(t) et l’énergie stockée dans le condensateur sont continues. i(t) est discontinue.
b) L’intensité, et l’énergie stockée dans la bobine sont continues.  est discontinue c) Le régime permanent
n’est plus atteint avant chaque transition de l’échelon.
B – Exercices de raisonnement
B-1) Influence de la résistance interne
Un échelon de tension est appliqué à un circuit RC par un générateur comportant une
résistance interne r=50.
a) Quel est le temps caractéristique de la variation de charge de C ? Quelle erreur relative
commet-on sur cette grandeur si l'on omet la présence de r ?
b) Faire l’application numérique pour R = 500, puis R = 10k
c) Conclure sur les conditions permettant de négliger cette erreur.
Rép : a)
 b) Pour R=500 on a 10% d’erreur et pour R=10k on a 0,5% d’erreur.
c) Dès que R»r, l'erreur devient minime.

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Laurent Pietri ~ 2 ~ Lycée Henri Loritz - Nancy
C – Travaux dirigés
C-1) Circuit RL
On considère une source de tension caractéristique E connectée à un dipôle RL par un
interrupteur K. Pour les temps t négatifs, l'interrupteur est ouvert, il se ferme à l'instant t = 0.
1°) Sans résoudre l'équation différentielle, déterminer la valeur finale de la tension de sortie s
mesurée aux bornes de R.
2°) Écrire et résoudre l'équation différentielle régissant l'évolution de l'intensité du courant dans la maille en
précisant quelle grandeur se conserve au temps t = 0. On introduira la constante de temps τ=L/R.
3°) En déduire l'évolution de la tension s, représenter l'allure de s(t).
4°) En travaux pratiques, on cherche à mesurer la constante de temps T à partir de la réponse s(t) relevée à
l'oscilloscope. Déterminer 
, quel lien a cette valeur de dérivée avec la tangente au graphe de
s(t) au temps t = 0 ? Conclure.
5°) On définit le temps de montée à 5 %, correspondant à l'instant auquel la tension de sortie ne diffère que
de 5 % de la valeur finale. Exprimer ce temps tm, en fonction de T.
Rép : 1°) La tension de sortie s vérifie s = E 2°)   
 3°)       
4°) La dérivée (ds/dt)t=0 est la pente de la tangente à l'instant initial… 5°)   
C-2) Circuit à deux condensateurs
Deux condensateurs de capacités respectives C1 et C2 sont reliés par une résistance R.
À l’instant initial, leurs charges respectives sont Q10=Q0 et Q20 = 0. On pose :    
1°) Établir l’expression à la date t de l’intensité i du courant dans la résistance R.
2°) Déterminer les charges Q1(t) et Q2(t) des deux condensateurs à la date t.
3°) Calculer la variation de l’énergie emmagasinée dans les deux condensateurs entre l’instant initial
ti et l’instant final tf.
4°) Calculer l’énergie consommée par effet Joule dans la résistance R entre les instants t=0 et t.
Rép : 1°)   
 2°)   
3°) 
 4°) 

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D – Exercices supplémentaires
D-1 Détecteur de particules
Un dispositif destiné à détecter des particules ioniques se comporte, sous l’effet de l’une de
ces particules ioniques, comme un générateur de courant dont le courant électromoteur est :
i0(t)=I0e-t/.
Ce dispositif est connecté à un circuit (R,C) dont la constante de temps est RC=k où k est
une constante positive réelle. Le condensateur C est déchargé avant l'arrivée de la particule.
1°) Ecrire l'équation différentielle à laquelle obéit la tension vs(t) aux bornes du
condensateur.
2°) Lorsque le condensateur est initialement déchargé, montrer que la tension vs(t) est
donnée par la relation :
)()( //
0
ktt
seeARItv  
lorsque k1. Préciser la valeur de A.
 : Ici le second membre dépend de t, par conséquent on cherchera la solution
particulière sous la forme vs(t)=Be-t/ qui doit vérifiée l’équation différentielle.
Rép : 1°) 
 2°)   
D-2) Etude énergétique d’un circuit RL
Soit un circuit RL alimenté en série par un générateur de tension continue de fem E.
1°) On ferme l’interrupteur à t=0. Exprimer en fonction du temps l’intensité dans ce circuit i(t), les
tensions uR(t) aux bornes de la résistance et uL(t) aux bornes de la bobine idéale.
2°) Exprimer l’énergie dissipée par effet joule dans le circuit sur une durée de 0 à t.
3°) Exprimer l’énergie emmagasinée dans la bobine de 0 à t.
4°) Exprimer l’énergie fournie par le générateur de 0 à t.
5°) Faire un bilan d’énergie. Conclure.
Rép : 1°)   
 2°) 
3°) 
 4°)   
5°) Il y a conservation de l’énergie : EG(t)=ER(t)+EL(t)

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D-3) Etincelle de rupture
Selon les règles de continuité que l’on applique en électricité linéaire, toute variation
discontinue de l'intensité dans un circuit inductif est impossible. Cet exercice met en évidence les
problèmes particuliers qui apparaissent quand on coupe brusquement un circuit inductif dans lequel
un régime permanent est établi…
1°) Une bobine réelle d'inductance propre L et de résistance r est alimentée par un générateur idéal
de tension continue, de force électromotrice E. Un interrupteur K fermé est placé en série. Une
résistance R est disposée en parallèle aux bornes de l'interrupteur.
Quelle est l'intensité i0 dans le circuit, sachant que le courant est établi depuis longtemps?
2°) A l'instant t = 0, on ouvre l'interrupteur. Déterminer la loi de variation de l'intensité i(t) dans le
circuit. Examiner le comportement limite, de ce point de vue, quand la résistance R devient très
grande.
3°) Déterminer la loi de variation de la tension u(t) aux bornes de l'interrupteur. Examiner le
comportement limite, de ce point de vue, quand la résistance R devient très grande. Que peut-on
conclure ?
Rép : 1°) Soit :
  τ 2°) 
, si R très grand alors   
 On passe brusquement de i0 à 0. 3°) Pour t>0, u(t)=Ri(t), d’où   
  u(0+)=RE/r si R
est grand. Cette surtension provoque une étincelle de rupture.