De la sph`ere de Poincaré au chiffrement d`information quantique

De la sph`ere de Poincar´e au chiffrement d’information
quantique
Martin Courchesne
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Ecole d’informatique
Universit´e McGill, Montr´eal
Octobre 2005
A thesis submitted to the Faculty of Graduate Studies and Research in partial
fulfilment of the requirements of the degree of Master
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!Martin Courchesne, MMV

Remerciements
Je d´esire remercier Claude Cr´epeau pour son soutien ind´efectible, Val´erie Poulain et
Thomas Pedersen pour les discussions fructueuses que nous avons eues, Genevi`eve
Arboit pour la r´evision du texte et Patrick Hayden pour ses pr´ecieux conseils. Je
tiens ´egalement `a remercier Simon-Pierre Desrosiers pour l’aide incroyable qu’il m’a
apport´ee.
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R´esum´e
Nous pr´esentons dans ce m´emoire plusieurs caract´eristiques de la sph`ere de Poincar´e,
aussi appel´ee sph`ere de Bloch. Nous d´ecrivons comment calculer la matrice de rota-
tion de R3qui correspond `a une transformation unitaire donn´ee, et inversement, la
matrice unitaire correspondant `a chaque rotation. Nous montrons que tout ensemble
d’´etats quantiques contenu dans un plan `a travers la sph`ere de Poincar´e peut ˆetre
chiffr´e parfaitement `a l’aide d’un bit de cl´e, et que les autres ensembles requi`erent
deux bits. Nous investiguons ´egalement le cas des espaces de dimension sup´erieure
`a deux. Nous ´etudions enfin la g´en´eralit´e de notre mod`ele de chiffre, le canal priv´e
quantique, ou CQP. Nous introduisons la notion de CQP unitaire `a ancille variable,
et nous montrons que tout mod`ele de chiffre parfait se r´eduit `a ce nouveau mod`ele.
Nous montrons aussi que, peu importe le mod`ele utilis´e, il faut 2nbits de cl´e pour
chiffrer nqubits.
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