q i - Université de Genève

Introduction à la Physique des Particules
Fondamentales
Professeur : Allan G. Clark
Assistant :
Andrew Hamilton, Alexander Korzenev
Université de Genève, été 2011
Chapitre 3
Les Symétries et les Lois d’Invariance
Bibliographie:
Griffiths
Perkins
(Halzen & Martin
Chapitre 4
Chapitre 3
Chapitre 2.1-2.6)
Les Lois d’Invariance sont à la base de la construction des théories de la physique des particules. Ils
s’imposent au-dessus le dynamique des interactions de jauge entre les particules. Un opérateur de
symétrie est un opérateur pour lequel l’opération sur un système isolé laisse le système invariant.
Cette notion d’une symétrie existe dans la physique classique aussi bien que quantique. Un exemple
connu est l’invariance d’un système isolé suite à des transformations du groupe de Lorentz. Ceci
concerne les transformations de symétrie continues, par exemple les rotations ou les translations en
espace-temps. Une transformation dite continue est exprimable comme le résultat de plusieurs
transformations infinitésimales. De même, une transformation de symétrie pourra être discrète, par
exemple l’inversion des coordonnées (parité).
La correspondance entre une transformation de symétrie continue et une Loi d’Invariance a été
démontrée par E. Noether en 1917. Elle a montrée que pour chaque transformation de symétrie
continue, il existe une Loi d’Invariance, et vice-versa. Par exemple, au niveau classique et quantique,
les symétries et les lois d’Invariances citées ci-dessous sont valides.
Invariance d’Opérateur
Loi d’Invariance
Translations en espace-temps
Conservation d’impulsion
et énergie
Rotations en espace
Conservation de moment
cinétique
Transformation de jauge
Conservation de charge
Quels sont les buts de ce chapitre :
i)
Dans la mécanique classique, nous montrons que l’invariance de l’action sur un système
des particules pendant les transformations de Lorentz (espace-temps) implique la
conservation de l’énergie et de l’impulsion.
ii)
Dans la mécanique quantique, nous montrons que si l’effet d’une translation en espacetemps sur une fonction d’état sera de conserver l’impulsion et l’énergie, cela implique une
symétrie des opérations du groupe des translations et du temps, vice-versa.
41
iii)
iv)
v)
vi)
Nous montrons que, si le moment angulaire d’une fonction d’état sera conservé pendant
les rotations, cela implique une symétrie des opérations du groupe des rotations SO(3) ;
1
une représentation équivalente pour le cas de spin j = et la conservation du spin total
2
d’un système, est le groupe SU(2).
En utilisant le groupe SU(2) pour les interactions fortes, l’idée d’isospin sera introduit.
Les symétries discrètes seront introduites: conjugaison de charge, la parité, et le
€
renversement du temps.
L’invariance de jauge et la conservation de charge dans un système isolé ; le besoin des
interactions pour assurer la conservation de charge dans le cas quantique.
3.1 Symétrie classique de translation en espace-temps sur un système isolé.
a) Rappelons les cours de Mécanique I et II. Pour un système de n particules ayant pour particule, i,
des coordonnées généralisées (qi, pi), on définit une fonction, L, le Lagrangien, par
L = L(q, p,t)
(3.1)
= L(q, q˙,t)
= T −V
V est un potentiel scalaire, T est l’énergie cinétique. Dans ce cas, la quantité de mouvement
généralisée est définie par
€
∂L
pi =
(3.2)
∂q˙i
t2
Le Principe d’Hamilton constate que l’action classique d’un système, S =
€
∫ L(q,q˙,t)dt ,
restera
t1
invariante pour un système conservé, et sera indépendante du chemin d’intégration :
t2
(3.3)
€
à la condition que la variation des coordonnées généralisées soit zéro au début et à la fin de la
trajectoire :
(3.4)
δqi (t1 ) = δqi (t2 ) = 0 .
€
Dans ce cas,
S=
∫ L(q,q˙,t)dt = const
t1
€
n t 2 ⎛
∂L
∂L ⎞
δS = ∑ ∫ ⎜ δqi +
δq˙ i ⎟dt
∂q˙ i ⎠
i=1 t1 ⎝ ∂qi
n t2
⎛ ∂L d ∂L ⎞
= ∑ ∫ dt⎜
−
⎟δqi
⎝ ∂qi dt ∂q˙ i ⎠
i=1 t1
(3.5)
Les équations du mouvement sont les équations qui laisse δS=0 à les extrêmes t=t1 et t=t2: ils sont
€
appelés les équations d’Euler-Lagrange
:
d ⎛ ∂L ⎞ ∂L
⎜
⎟ −
dt ⎝ ∂q˙ i ⎠ ∂qi
=
dpi ∂L
−
dt ∂qi
(3.6)
=0
€
42
b) On constate de cette équation que l’invariance de S sous la transformation qi → qi + Δqi nécessite
la conservation d’impulsion.
C’est facile de voir cette invariance dans le cas d’une seule particule. Prenons une particule de
masse m dans un potentiel V(x). Dans ce cas, le Lagrangian sera : €
L = T −V
m˙x 2
=
− V (x)
2
(3.7)
Puisque
∂L
∂V
d ⎛ ∂L ⎞
=−
et ⎜ ⎟ = m˙x˙
∂q i
∂x
dt ⎝ ∂q˙ i ⎠
∂V
m˙x˙ = −
= F(x) (donc équation de Newton)
∂x
En général, l’impulsion généralisée pi sera conservée si le système L ne dépend pas explicitement
de la coordonnée canonique, qi. Une translation des coordonnées sur un axe qi → qi + Δqi ne
change pas l’énergie cinétique T.
€
T = T ( q˙ )
i
V = V (qi ) et
L = T ( q˙i ) −V (q i )
€
Donc, les équations d’Euler-Lagrange seront :
€
d ⎛ ∂ (T −V ) ⎞ ∂ (T −V )
=0
⎜
⎟ −
dt ⎝ ∂q˙i ⎠
∂q i
et
d ⎛ ∂T ⎞ d
∂V
⎜
⎟ = ( pi ) = −
dt ⎝ ∂q˙ i ⎠ dt
∂q i
(3.8)
Si V ne dépend pas de qi, donc pi sera conservé parce que
€
d
( pi ) = 0 .
dt
c) Laissons nous considérer maintenant le cas d’un système classique où L ne dépend pas sur le
temps t, donc L n’est pas changé par une transformation temporale t → t + Δt .
€
L = L(qi , q˙i ) et
dL
=
dt
=
i
i
∑
i
=
˙i
∑ ∂∂qL dqdt + ∑ ∂∂qL˙ ddtq
∑
i
i
d ∂L ˙
qi +
dt ∂q˙ i
d ⎛ ˙ ∂L ⎞
⎜ qi
⎟
dt ⎝ ∂q˙i ⎠
€
i
i
∑
i
∂L dq˙i
∂q˙i dt
(3.9)
en utilisant les équations d’Euler. Donc, pour un système classique :
€
d ⎛
∂L ⎞ d
⎜ L − q˙i
⎟ = (T −V − q˙i pi )
dt ⎝
∂q˙i ⎠ dt
=
d
(T −V − 2T )
dt
=-
dH
dt
=0
et H qui est l’énergie totale du système. est conservé.
€
43
(3.10)
⎛
∂L ⎞
H = − ⎜ L − q˙i
⎟
∂q˙i ⎠
⎝
En général :
Donc, la base de la conservation de l’énergie et de l’impulsion est l’invariance par rapport aux
translations dans l’espace-temps pour les transformations classiques.
€
3.2
Les Invariances pour la Mécanique Quantique non relativiste, et l’exemple des
Translations
3.2.1 Les opérateurs d’une symétrie.
Imaginons une série des opérations de symétrie sur un système. Ces opérations peuvent être, par
exemple, des translations successives ou des rotations successives (donc continues). La physique
est indépendante de respectivement le référentiel de translation et de l’orientation du référentiel.
Chaque type d’opérateur de symétrie sera partie d'un «groupe» (ensemble) qui devra satisfaire les
contraintes suivantes :
i)
Une opération de symétrie sur un système observable par un opérateur d’un groupe de
symétrie laissera l’Hamiltonian du système inchangé.
ii)
Closure : si une opération Ri est suivie par une opération Rj, l’opération Rk=(RiRj) sera une
opération du même ensemble, et donc si RiRj laisse le système inchangé, Rk laisse le
système inchangé est sera membre du même groupe de symétrie.
iii)
Identité : il existe un opérateur I pour lequel IRi=RiI (équivalent d’aucune transformation).
iv)
Inverse : Si l’opérateur Ri existe, l’opérateur inverse Ri−1 existe et R1−1R = RR1−1 = I
v)
Associativité : Ri (R j Rk ) = (Ri R j )Rk
vi)
vii)
En plus, si les opérateurs d’un groupe commutent, [ Ri ,R j ] = 0 , le groupe sera Abélien (c’est
le cas, par exemple, pour les translations mais
€ pas pour les
€ rotations en 3 dimensions) ;
On peut
associé
une
représentation
matrice
M(R
)
avec
chaque
opérateur d’un symétrie.
i
€
€
3.2.2 Les Translations
a) Supposons que l’état d’un système quantique se transforme en
ψ → ψ' = U ψ
(3.11)
2
Si la probabilité φψ devra rester inchangée après l’opération U, U sera unitaire (équation
3.12) :
2
2
2
€
(3.12)
φψ = φ ' ψ ' = φ U +U ψ
€
Les opérateurs U(D1), U(D2), … forment un groupe avec la même structure que le groupe D1, D2,
…et le groupe s’appelle « la représentation unitaire du groupe ».
€
b) Pour la conservation d’un nombre quantique associé à une opération de symétrie, l’Hamiltonian
devra rester inchangé, donc :
φ ' H ψ ' = φ U + HU ψ = φ H ψ
donc
€
H = U + HU et
[U,H ] = 0
(3.13)
Donc, un opérateur unitaire U représente une symétrie du système si U commutera avec H.
€
44
c) Si l’opérateur U n’a pas une dépendance explicite sur le temps t, l’équation de mouvement de l’état
quantique devra rester inchangée par l’opération de U, donc U devra être un constant de
mouvement :
i
d
ψ (t) = H ψ (t)
dt
i
d
ψ (t)U ψ (t) = ψ (t)UH − HU ψ (t) = 0
dt
et après différentiation
€
(3.14)
d) Considérons maintenant les translations D, r → r' = r + δr , où U est la représentation unitaire du
groupe des translations
:
€
∂
∂r €
pˆ
∂
= 1− i δr parce que pˆ = −i

∂r
U = 1+ δr
(3.15)
Dans ce cas, U est unitaire, et donc l’opérateur pˆ sera hermitien et une observable de la mécanique
quantique. Si U n’a
€ pas une dépendance explicite de temps t, U et H commutent. Évidemment,
l’opérateur pˆ commute avec H aussi.
€
e) Pour une translation que sera le résultat de n translations successives, Δr = nδr
U = U ......U
€
1
n
⎛
pˆ ⎞ n
(3.16)
= ⎜1− i δr⎟
€
⎝
 ⎠
ipˆ
→ exp(− Δr)

et puisque [U,H ] = 0 , [ pˆ ,H ] = 0 . L’ensemble des translations U fait partie d’un groupe Lie.
L’invariance de l’Hamiltonian sous les translations
€
⇔
€ symétrie
€ du groupe des translations { D1,D2 ,D3 ,.....}
⇔ symétrie de la représentation unitaire du groupe des translations {U1,U 2 ,U 3 ,.....}
⇔ l’invariance sous l’opérateur pˆ , qui est le générateur du groupe des translations).
€
€
3.2.3
Les
Phases
€
€
€
€
a) Traitons le cas du groupe des phases d’une fonction d’onde, U = e iθ ;θ réel,0 ≤ θ ≤ 2 π . Dans ce cas,
le groupe obéit closure et associativité, Il est un groupe unitaire d’une dimension, U(1).
b) Dans ce cas, dU = iUdθ et les opérateurs U sont un exemple d’un groupe Lie.
n
c) En général, U(θ1 ,...,θn ) = exp(∑ iθ j F j ) et le Fj sont les€générateurs du groupe.
j=1
€
Les groupes d’intérêt pour la physique des particules sont des types
€
Groupe
U(n)
SU(n)
O(n)
nxn
nxn
nxn
SO(n)
nxn
Matrices du groupe
Unitaire ( U +U = U˜ *U = 1)
Unitaire avec déterminant 1
˜ O = 1) –
Orthogonal ( O
groupe de rotation est SO(3)
€Orthogonal avec déterminant 1
€
45
3.3 Les Invariances dans la Mécanique Quantique : les Rotations et le mouvement
orbital.
3.3.1 Les Générateurs des Rotations
a) Dans la physique des particules, nous devrons traiter deux types de moment cinétique («angular
momentum» en anglais). Le premier type concerne les mouvements orbitaux (L), par exemple la
motion d’un électron dans un atome. Le deuxième type concerne le « spin », S, une propriété
intrinsèque de la particule.
Le moment cinétique total du système sera J=L+S et J est conservé dans les interactions.
b) L’ensemble des rotations sera un groupe :
- Deux rotations successives R1 et R2 (R3=R2R1) seront équivalentes à la seule rotation
R3 ;
- L’identité sera aucune rotation ;
- Pour chaque rotation R, il y a une rotation inverse R-1 ;
- Les rotations seront associatives, mais pas commutative
- Les rotations peuvent (comme les translations) s’exprimer comme une succession des
petites rotations autour de l’identité (ensemble Lie)
c) Considérons une rotation autour de l’axe z, par un angle infinitésimal δφ,
U =1− i
δφ
J3

(3.17)
i

Pour n transformations, Δφ = n(δφ ) , U → exp(− ΔφJ 3 ) . J3 sera le générateur des rotations. Dans ce
cas,
€
€
€
i
U +U =1+ Δφ (J 3+ − J 3 ) + O(ε 2 )

=I
donc
J 3 est Hermitien et observable,
et
[ J 3 ,H ] = 0
(3.18)
d) Laissons justifier J3. Pour cette transformation, l’effet sur l’état sera
€
ψ '(r) = Uψ ( x, y,z)
= ψ ( R−1 r)
= ψ ( x + δφy, y − δφx,z)
∂ψ
∂ψ
= ψ ( x, y,z) + δφ ( y
−x
)
∂x
∂y
⎛
⎞
δφ
= ⎜1+ i ( ypx − xpy ) ⎟ψ
⎝
⎠

⎛
δφ ⎞
= ⎜1− i
J 3 ⎟ψ
⎝
 ⎠
(3.19)
Nous identifions l’opérateur J3=(xpy-ypx) avec le générateur des rotations φ autour du 3-axis (zaxis). Egalement :
J1=(ypz-zpy) sera le générateur
des rotations autour du 1-axis (x-axis) et
€
J2=(zpx-xpz) sera le générateur des rotations autour du 2-axis (y-axis).
46
Rappelons les règles de commutations pour les opérateurs linéaires A, B et C :
[ A,B] = −[ B, A]
[ A,B + C ] = [ A,B] + [ A,C ]
[ A,BC ] = [ A,B]C + B[ A,C ]
[ A, [B,C ]] + [B, [C, A]] + [C, [ A,B]] = 0
(3.20)
Dans la mécanique quantique, on peut construire les générateurs J1 et J2 des rotations autour du 1axe et du 2-axe- En utilisant
€ les règles de l’équation 3.20 on peut montrer (  = c = 1 ) que
[J j .Jk ] = iε jkl Jl
(3.21)
= +iJ l pour j,k,l cyclique
€
= −iJ l pour j,k,l anti - cyclique
Puisque les différents Ji ne sont pas commutatifs, les états propres des différents Ji ne sont pas
observables simultanément.
€
On peut construire un opérateur
scalaire J2 , appelé l’opérateur Casimir, pour lequel
J 2 = J12 + J 22 + J 32
et
J 2j ,J i = 0 pour i, j = 1,2,3
[
(3.22)
]
Dès l’équation (3.21, à voir Appendix C de Perkins), on peut construire des états propres ( j,m ) et
€ Ji. On choisit J3.. Si m sera la projection de j sur l’axe z, on peut
simultanément de J2 et un des
montrer que
€
J 2 j,m = j( j +1) j,m
J 3 j,m = m j,m
J ± j,m = (J1 ± iJ 2 ) j,m
= ( j(
(3.23)
1
j +1) − m(m ±1)) 2
j,m ±1
où
(−m ≤ j ≤ m)
e) Pour une rotation (α,β,γ) des angles Euler dans l’espace, l’effet sur l’état sera réduit à une rotation
autour de l’axe-2. Nous pouvons
écrire
€
D(α , β ,γ ) = e
−iγJ z1 −iβJ y1 −iαJ x
e
e
la rotation α autour de l’axe x, suivi par la rotation β autour de l’axe y1, suivi par γ autour de z1 est
équivalent à :
€
D(α , β ,γ ) = e
−iαJ z −iβJ y −iγJ z
e
e
et :
D(α , β ,γ ) j,m = e
€
−iαJ z −iβJ y −iγJ z
e
= e−i(α +γ )m e
e
−iβJ y
j,m
(3.24)
j,m
f) Donc, si pour un état ψ = j,m nous faisons une rotation par une angle β autour de l’axe 2, l’état
ψ = j,m sera transformé dans (2j+1) états j,m , j,m −1 ,.... j,−m et
€
€
€
€
€
47
e −iβJ 2 j,m =
∑d
j
m,m'
j,m'
m'
(3.25)
avec
j
d m,m'
Il faut évaluer les quantités
j
d m,m'
= j,m' e
−iβJ 2
j,m
.
3.3.1 La Représentation €
en Matrice des générateurs des rotations
€
a) Les équations (3.22) et (3.23) déterminent les opérateurs de mouvement rotationnel. Pour un état
l,m avec s=0, on peut associer la fonction sphérique harmonique Ylm (θ ,φ ) . En intégrant dans
l’espace, on peut obtenir l’opérateur hermitien Sl' m' lm =
∫ dΩ Y
*
l' m'
(θ ,φ )Ylm (θ ,φ ) , et on peut
l’associer avec une matrice (2l+1)*(2l’+1). Le résultat reste applicable
pour s = 1 2 .
€
€
b) Le cas j=0, Le résultat sera un seul numéro.€
€
c) Le cas j=1.
Une représentation possible en matrice (3x3) des générateurs des rotations sera (à vérifier):
⎛1 0 0 ⎞
⎛0 1 0⎞
⎛0 -1 0 ⎞
⎛1 0 0 ⎞
⎜
⎟
⎟
⎟
⎜
⎟
1 ⎜
i ⎜
J = 2⎜ 0 1 0⎟, J x =
1 0 1 ⎟, J y =
1 0 -1⎟, J z = ⎜ 0 0 0 ⎟
⎜
⎜
2 ⎜
2 ⎜
⎜
⎟
⎟
⎟
⎜
⎟
⎝ 0 0 1⎠
⎝0 1 0⎠
⎝0 1 0 ⎠
⎝ 0 0 -1⎠
2
(3.26)
1
d) Le cas j = .
2
€
Nous
pouvons trouver une représentation en matrice hermitien qui obéit les rélations (3.22) et
1
2
(3.23). En écrivant J = σ avec la formulation
€
σ2
€
où U(θ ) = e
θ
−i σ i
2
σ3
01
10
0−i
i 0
1 0
0 −1
(3.27)
⎛1 ⎞ ⎛0⎞
est unitaire et hermitien, et pour les états propres seront ⎜0⎟ et ⎜1 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
€
€
( ),
= ( ),
= ( ),
σ1 =
σ3
( )=( )
a
b
(3.28)
a
-b
Les matrices {σ i } sont appelés les matrices de Pauli et forment€la représentation
fondamentale
€
pour le spin de SU(2). Les
règles
de
transformation
sont
identiques
aux
règles
pour
le groupe
€
SO(3). Dans ce cas,
(3.29)
U(θ i ) = e −iθ iσ i / 2
€
et en utilisant :
θ2
θ3
e iθσ 2 = 1+ iθσ 2 − σ 22 − i σ 23 + ...
,
2!
3!
€
2
σ2 =1
⎛ θ ⎞
⎛ θ ⎞
(3.30)
U(θ ) = e −iθJ 2 = e −iθσ 2 / 2 = cos⎜ ⎟ − iσ 2 sin⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
1
€ j= ,
Exercice : Montrer que pour
2
d++ = d−− = cos θ 2
(3.31)
€
d+− = −d−+ = sin θ 2 où + = 1 2, - = -1 2
€
€
48
Pour le case d ++ =
1
d 12 1
,
2 2
,
⎛ cosθ
d ++ = (10)⎜⎜ θ2
⎝ sin 2
− sin
θ
2
θ
cos
2
⎞
θ
⎟ 10 = cos
⎟
2
⎠
()
Comme exemple, prenons un faisceau des particules polarisées RH, j,m =
(3.32)
1 1
, , diffusé
2 2
θ . Si l’interaction
par angle
conserve l’hélicité, les particules resteront RH relative à leurs
€
€
directions. Mais, relative à la direction initiale, (z-axis), la conservation de mouvement
1 1
1 1
€ » sera interdit, seulement
, et ,− . Si le « spin-flip
2 2
2 2
€
2
2θ
1 1
l’état , reste, et d ++ = cos 2 .
2 2
€
angulaire nécessite un mélange
Exercice : Montrer que pour j = 1,
€
1
d11 = d−1−1 = (1+ cos θ )
2
1
d−11 = d1−1 = (1− cos θ )
2
1
d01 = −d10 = −d0−1 = d−10 =
sin θ
2
€
€
€ et j ,m
e) Si nous avons 2 états j1,m
1
2
2
(3.33)
le système composite j,m devient :
j= j1 + j 2
j1 ,m1 j2 ,m 2 =
∑C
jj1 j 2
mm1 m 2
j,m ; m = m1 + m 2
j= j1 − j 2
€
€
j= j1 + j 2
∑C
j,m =
jj1 j 2
mm1 m 2
j1 ,m1 j2 ,m 2 ; m = m1 + m 2
j= j1 − j 2
jj1 j 2
Les quantités Cmm
sont les coefficients de Clebsch-Gordon (à voir le PDG).
1m2
€
L’essayons vérifier pour la combinaison de 2 états
€
1 1
1 1
, et ,−
2 2
2 2
1 1 1 1
,
,
2 2 2 2
1 1 1 1
1 1 1 1
1,0 = A , € ,− + B ,−
,
2 2 2 2
2 2 2 2
1 1 1 1
1,−1 = ,−
,−
2 2 2 2
1,1 =
1 1 1 1
1 1 1 1
0,0 = C ,
,− + D ,−
,
2 2 2 2
2 2 2 2
€
49
(3.34)
Pour resoudre A - D :
⎛ 1 1
J - 1,1 = 2 1,0 = J -⎜ ,
⎝ 2 2
Donc
1 ⎛ 1 1 1 1
1,0 =
,− +
⎜ ,
2 ⎝ 2 2 2 2
1 1 ⎞ ⎛ 1 1 1 1
1 1 1 1 ⎞
, ⎟ = ⎜ ,
,− + ,−
, ⎟
2 2 ⎠ ⎝ 2 2 2 2
2 2 2 2 ⎠
(3.35)
1 1 1 1 ⎞
,−
, ⎟et
2 2 2 2 ⎠
1 ⎛ 1 1 1 1
1 1 1 1 ⎞
0,0 =
,− − ,−
, ⎟
⎜ ,
2 2 2 2 ⎠
2 ⎝ 2 2 2 2
€
50
Exemple : Un méson composé d’un quark et un anti-quark est dans un état L=0. Quelles sont les états
possibles du spin total du méson ? Et avec quelle probabilité pour chaque état ? En
utilisant les tables :
jj1 j 2
j1,m1 j 2 ,m2 = ∑ Cmm
j,m
1m2
j,m
11
1 1
,
2 2
1 1
,
2 2
= C 12 12 1,1
1 1
,
2 2
1 1
,−
2 2
=C
1
1
1 1
,−
2 2
1 1
,
2 2
1,0 + C
1
1,0
2
11
22
11
0−
22
1
=C
=
1 1
,−
2 2
11
22
1 1
0 −
2 2
1
=
+
1
1,0
2
1
=C
11
22
1 1
0+ −
2 2
0
−
0,0
1
0,0
2
1,0 + C
11
22
1 1
1− −
2 2
1 1
,−
2 2
= 1,1
22
11
22
11
0−
22
0
0,0
1
0,0
2
1,−1
= 1,−1
€
Donc : 1,1 =
11 1 1
2 2 21 2
1,0 =
1 1 1 1 −1
1 1 1 1 1
,
,
+
,−
,
2
2
2
2
2
2 2 2 2 2
1,−1 =
1 1 1 1
−
−
21 2 21 2
0,0 =
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
,
,− −
,−
,
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
c) Dans toutes les interactions le spin total, J, et sa projection m, seront conservés.
€
3.4 La conservation de saveur : isospin (fort)
En 1932, Heisenberg a proposé que le proton et le neutron étaient 2 états de la même particule. En
effet, cela implique que la force forte sur le neutron et le proton sera identique. Remarquons que
mn=939.57 MeV et que mp=938.28 MeV, la différence de masse attribuée aux effets
électromagnétiques.
a)
La proposition d’Heisenberg était bien avant la découverte des quarks. Donc, on a assigné les 2
états de base d’isospin, vecteurs de la représentation SU(2) comme pour le spin
51
11
⎛ ⎞
p = ⎜1 ⎟ ou p =
⎝ 0 ⎠
22
(3.36)
1 1
⎛ ⎞
n = ⎜ 0 ⎟ ou n = −
⎝1 ⎠
2 2
b)
La suggestion d’Heisenberg était que l’interaction forte sera invariante après les rotations dans
l’espace d’isospin, et que
€ l’isospin sera toujours conservé dans les interactions fortes.
c)
Nous pouvons assigner des multiplets d’isospin pour les bosons et les mésons. Par exemple :
π + = 1,1
I =1 π 0 = 1,0
π − = 1,−1
I = 0 Λ = 0,0
33
22
3
31
+
I=
Δ =
2
22
3 1
0
Δ = −
2 2
3 3
−
Δ = −
2 2
Δ++ =
d)
11
22
1 1
= −
2 2
N+ =
I=
1
2
N−
(3.37)
Ensuite, après la découverte des quarks, l’isospin a pris un rôle plus grand. On assigne un
isospin€I=1/2 aux quarks u et d, et I=0 pour les autres quarks. Donc,
u =
11
22
(3.38)
1 1
d = −
2 2
Nous verrons (chapitre 6) que le proton, neutron et les autres baryons ou mésons prendront une
valeur discrète d’isospin, selon leurs compositions des quarks. Par exemple, on obtient
€
p =
11
22
(3.39)
1 1
n = −
2 2
et également les valeurs pour les autres multiplets de c) ci-dessus.
e)
Comme pour le spin, un système
de 2 nucléons porte l’isospin. L’état 00 est associé au
€
deutéron.
− un triplet symétrique
11 = pp
1
10 =
pn + np
2
1−1 = nn
− un singlet anti - symétrique
1
00 =
pn − np
2
[
]
[
]
€
52
€
(3.40)
Exercice : La conservation d’isospin dans les interactions fortes impose des contraintes sur le
2
taux des interactions σ ∝ ∑ I ' ,I 3' A I ,I 3 . Évaluez les sections efficaces relatives
I
aux interactions suivantes :
a)
c)
e)
g)
i)
π + p → π€+ p
π− p → π− p
π 0n → π 0n
π +n → π 0 p
π 0n → π − p
b)
d)
f)
h)
j)
π0p → π0p
π +n → π +n
π −n → π −n
π 0 p → π −n
π − p → π 0n
(3.41)
f)
L’isospin fort est associé seulement aux interactions fortes.
g)
L’isospin n’est pas conservé dans les interactions faibles et électromagnétiques. Par exemple,
dans la désintégration π 0 → γγ , I3 ne reste pas invariant. Pour les désintégrations faibles,
l’exemple Λ → pπ − ne conserve pas I ou I3.
h)
Imageons la transformation d’un état
€
€
'
€
€
€
( ) par une rotation d’isospin de π autour du 2-axis.
p
n
( )=e
p
n'
(3.42)
( ) = ( )( )
−iπ (τ 2 / 2) p
n
0 −1
1 0
p
n
Les états anti-nucléon sont créés par l’opération de C sur p ou n : Cp = p et Cn = n . Mais, la
transformation n’est pas
€ compatible avec la définition des antiparticules.
⎛ p ' ⎞
⎜ ' ⎟ =
⎝ n ⎠
( )( )
0 −1
1 0
(3.43)
p
n
€
La transformation des états restera identique aux transformations des particules pour les
doublets :
€
€
⎛ −n ' ⎞
⎜ ' ⎟ =
⎝ p ⎠
( )( )
0 −1
1 0
(3.44)
−n
p
pour ce cas : un système nucléon - antinucléon sera :
− un triplet symétrique
€
11 = − pn
1
10 =
p p − nn
2
1−1 = n p
− un singlet anti - symétrique
1
00 =
p p + nn
2
[
]
[
]
(3.45)
Dès l’équation de Dirac, la parité de anti-nucléons seront l’opposé de la parité des nucléons.
Egalement :
€
( ) = ( )( )
−d
u
'
'
0 −1
1
0
−d
€
53
u
− un triplet symétrique
11 = − ud
1
10 =
uu − dd
2
1 − 1 = du
− un singlet anti - symétrique
1
00 =
uu + dd
2
[
]
[
]
€
54
(3.46)
3.5 La Parité
a) L’opération de parité est une transformation discrète des coordonnées : (x, y,z) → (−x,−y,−z) .
Dans ce cas,
Pψ (r ) = ψ (−r )
P 2ψ (r ) = ψ (r )
+
(3.47)
€
+
L’opérateur P est unitaire (P P=I et P =P), et P sera conservé si [ P,H ] = 0 . Dans le cas d’un état
qui prend une parité €+1, Pψ (r ) = ψ (−r ) = ψ (r ) et pour parité P=-1, Pψ (r ) = ψ (−r ) = −ψ (r ) .
Néanmoins, des états (par exemple la fonction ψ = cos θ + sin θ ), n’ont pas une parité définie
( Pψ ≠ ±ψ mais P 2ψ = ψ ).
€
€
b) La parité est un opérateur multiplicatif.
€
€
€
scalaire
psuedo-scalaire
vecteur
vecteur axial
P(α)=α
P(a ⋅ (b × c)) = −a ⋅ (b × c)
P(a) = −a
P(a × b) = a × b
(3.48)
€
d) Selon nos connaissances actuelles,€ la parité est conservée dans les interactions électromagnétiques
€ une parité intrinsèque de P=+1 avec chaque quark élémentaire,
et fortes. On associe arbitrairement
et donc une parité P=-1 avec chaque anti-quark. La parité relative des particules et des antiparticules est définie, par les équations de Dirac.
e) Puisque Pquark=1 par construction,
Pproton=Pneutron=1.
(3.49)
f) Pour les interactions faibles, Lee et Yang ont proposé en 1956 la brisure de parité. Cette
proposition était confirmée (à voir (j) et Appendix 3.1) par Wu et al. dans une expérience classique
des désintégrations
60
(3.50)
Co(J = 5)→60 Ni * (J = 4) + e− + ν e
g) Dans le cas
de l’atome d’hydrogène, la fonction d’onde sera :
€
ψ (r,θ ,φ ) = χ (r)Yl m (θ ,φ )
(2l +1)(l − m)! m
= χ (r)
Pl (θ )e imφ
4 π (l + m)!
(3.51)
Pour r → −r , θ → π − θ et φ → π + φ et
€
€ Donc
€
€
Yl m (θ ,φ ) → (−1) l Yl m (θ ,φ )
(3.52)
P=(-1)l
(3.53)
L’opération de la parité ne change pas L ou S.
55
g) Le spin et la parité du π
i)
(J πp = 0− )
Spin :
€
On a montré
dans le chapitre 2 que la section efficace pour la réaction p + p → π + + d , sera
évaluée dans le référentiel du centre de masse comme
σ pp →π + d =
2 (2sπ +1) (2sd +1) 2
1
M fi
pπ
2
v iv f
€
(3.54)
La quantité (2s+1) reflète la densité des états finals. La quantité vi (vf) est la vélocité initiale
(finale)
dans ce référentiel.
€
Le spin du π est déterminé avec l’analyse des 2 processus
p+ p → π+ + d
π+ + d → p + p
(A)
(B)
(3.55)
Dans l’interaction A, puisque le spin du proton est s=1/2, le moment angulaire total du
système (pp) devra être entier (J=0 ou 1). Le spin du deuteron est sd=1 (les spins du proton
et du neutron
€ sont parallèles).
Pour l’interaction A, le spin du π devra être s =0 ou s =1. Donc,
π
π
σ pp →π + d =∝ (2sπ +1) (2sd +1) = 3(2sπ +1)
(3.56)
Pour l’interaction inverse B, π + d → pp :
+
σ π + d →pp =∝
€
€
1
(2sp +1) (2s p +1) = 2
2
(3.57)
Le facteur 1/2 est le résultat des 2 particules identique dans l’état final. Tenant compte de
cinématique on peut montrer que dans le centre-de-masse :
€
R=
σ pp →π + d
σ π + d →pp
=2
(2sπ +1) (2sd +1)
2s p +1
pπ2
p p2
(3.58)
Le rapport R sera 3 fois plus petit si s =0 que si s =1.
π
π
0
0
Pour
€ le π , la désintégration π → 2γ est utilisée pour la détermination du spin. Puisque
sγ = 1, donc sπ ≠ 1, Le spin du π0 peut prendre des valeurs sπ = 0 ou sπ = 2 puisque chaque
photon a 2 états de spin, parallèle ou anti-parallèle à la direction de mouvement.
Finalement, dans les interactions nucléon-nucléon à hautes énergies, le taux de production
±
des π + , π 0 et π − est les mêmes, donc le π 0 devra avoir le même
€ spin que le π .
€
ii)
€
Parité du π ±
€
La parité intrinsèque du π ± est déterminé être P=–1 (donc psuedo-scalaire) en utilisant
l’interaction
(3.59)
π − d → nn → nn + γ
€
Avec la capture du π (s=0) par le deutéron (s=1), un état atomique est créé dans un état orbital
Lnn=0 avec l’émission
d’un photon.
€
56
Le moment angulaire du système initial sera J = L + S = 1 puisque s =0, sd=1, et Linit=0.
Donc, par conservation de moment angulaire, l’état final est également J = 1. Dans ce cas, les
possibles spin et moment angulaire du système (nn) final peuvent être :
π
L=0
L =1
L =1
L=2
S =1
€
S =0
S =1
S =1
€
(3.60)
Les deux neutrons sont des fermions identiques, et leur fonction d’onde totale devra être antisymétrique dans l’échange
des 2 particules.
€
ψ = φ (espace)α (s,m)
φ symétrique
φ anti - symétrique
(3.61)
α anti - symétrique ou
α symétrique
La symétrie de la partie spin sera (-1)S+1 et la symétrie de la partie orbitale sera (–1)L. La
L +S +1
symétrie
. Donc, (L+S) est un nombre pair.
€ de la fonction d’onde totale sera (−1)
.
⎧α (1,1) =↑↑
⎪⎪
1
symétrique.............⎨α (1,0) =
(↑↓+↓↑)
2
⎪
ψ = φ (espace)α (s,m)
⎪⎩α (1,−1) =↓↓
1
anti − symétrique...{α (0,0) =
(↑↓−↓↑)
2
€
(3.62)
€
Seulement les valeurs L=1 et S=1 sont valables, et Pπ = (−1) L (−1) S +1 = −1 .
Avec la conservation
€ de la parité, on peut déduire que la parité de l’état initial est aussi P= -1.
On plus, la parité du deuteron est P= +1 puisque c’est un état lié d’un proton et un neutron avec
L=0. Donc la parité du π initial devra être€P=–1.
h) Le Parité du photon
µ
Dans ce cas, le photon est représenté par le potentiel vectoriel A , un vecteur. Donc, la parité du
photon sera P= -1 (voir c) ).
i) Un premier mot sur le parité du K 0
€
Pendant les années 1950, les désintégrations faibles de 2 mésons étranges étaient observées. Les
mésons avaient la même masse, mais les désintégrations étaient différentes:
€
θ + → π +π 0
τ + → π +π −π −
π + π 0π 0
(P = +1)
(P = −1)
(3.63)
Lee et Yang ont postulé que le θ + et le τ + étaient la même particule, mais que dans un cas, la
parité ne reste€pas invariante. Ils ont proposé d’autres tests de la violation de parité et ont
démontré que la parité n’est pas conservée dans les interactions faibles.
j) La Brisure de Parité (P) dans les Interactions Faibles - l’expérience de Wu et al.
Les interactions faibles ne conservent pas la parité. Une conséquence et qu’à partir d’états initiaux
non-polarisés, on se produit des états finaux ayant une polarisation longitudinale.
57
Jusqu’à 1956, on a cru que la symétrie de parité était valide pour toutes les interactions.
Sur la base du paradoxe « θ − τ » pour les désintégrations observées K + → 2π et K + → 3π , Lee et
Yang ont conclu que les interactions faibles ne sont pas invariantes sous l’opération de parité,
Pψ (t,r) = ψ (t,−r) . Wu et al. ont confirmé la conjecture de Lee et Yang dans une mesure classique
de la désintégration de 60Co. La publication originale est attachée
dans l’Appendice 3.1.
€
€
L’expérience utilise la désintégration n → p + e− + ν e par une transition dites « Gamow-Teller »
dès le noyau de 60Co :
€
(3.64)
60
Co(J = 5)→ 60Ni * (J = 4) + e− + ν e
€
Dans un cryostat d’une température de l’ordre de 0.01oK, et dans un champ magnétique, la
€direction des spins des noyaux sera complètement alignées dans la direction du champ magnétique.
Les possibilités montrées dans la Figure 3.1 sont possibles.
Figure 3.1. Configurations de spin possibles pour la désintégration
60
Co(J = 5)→ 60Ni * (J = 4) + e− + ν e
Wu et al. ont mesuré que la dépendance d’intensité en angle de l’électron produit est (Figure
3.2)
€
I (θ ) =1+ α
σ⋅p
E
≅1+ α
v
cos θ
c
(3.65)
α = –1
où σ et le vecteur du spin dans la direction de J , et p et E sont l’impulsion et l’énergie de
l’électron.
€
€
€
Figure 3.2 Cinétique de la désintégration de 60Co.
€
Imageons une transformation z → −z dans un plan perpendiculaire de l’axe z. Pour la
conservation de parité, les 2 états de spin seront possibles, avec la même probabilité. Puisque
σ ⋅ p → −σ ⋅ p , il y a 2 composants de parité opposé, et la parité ne sera pas conservée. En
effet, puisque α=-1, la€violation de parité sera maximale, est l’amplitude de Figure 3.1 (a) est
supprimée. La polarisation de l’électron est gauchère (spin opposé au mouvement) jusqu’à
v
, et la polarisation de l’anti-neutrino sera droitière (spin dans la direction de mouvement).
c
€
58
3.6 La Conjugaison de charge
a)
L’opérateur de conjugaison de charge, C, renverse la charge, le moment magnétique et les
autres nombres quantiques internes d’une particule, et laisse les autres quantités, par exemple la
masse, l’énergie et l’impulsion, et le spin inchangés. Cela implique la transformation d’une
particule dans une antiparticule.
Les interactions fortes et EM respectent la conjugaison de charge.
C 2 = +1
C = ±1
Comme pour la parité,
b)
(3.66)
€
Seuls les particules qui sont leurs propres antiparticules sont les états propres de la conjugaison
de charge C. Par exemple :
Cq
= q ≠ q et
C π + = π− ≠ π +
(3.67)
Mais,
C π0 = π0
et l'opération de C sur le π 0 laisse l'état invariant avec Cπ 0 = 1.
c)
€
Dans le cas du
€ photon, rappelons que le champ électromagnétique est créé par les charges en
mouvement. Pour cette raison, CA µ = −A µ et Cγ = −1, et si la conjugaison de charge sera
conservée dans les interactions électromagnétiques pour la désintégration π 0 → γγ ,
Cπ 0 = Cγ Cγ = ±1.
(3.68)
0
Par raison de conservation
€ de la conjugaison de charge, la désintégration π → γγγ est interdite.
Selon les mesures expérimentales :
€
€
d)
⎡σ π 0 →
/ γγγ
R⎢
0
⎢ σ π → γγ
⎣
(
(
) ⎤⎥ < 3.1×10
) ⎥⎦
−8
€
(3.69)
Dans le système des quarks, les invariantes C et P, donc aussi CP sont satisfaits pour les
interactions fortes
€ et électromagnétiques. Au contraire, l’expérience de Christenson et al. (1964)
ont montré que les opérations (CP) ne sont pas conservées dans la désintégration des K0-mesons
(Section 3.7) et depuis 1998, le B0-mesons.
59
3.7 Brisure de CP dans les Interactions Faibles Chargées (à revoir au chapitre 7)
a)
€
Nous avons déjà introduit la brisure de la symétrie de parité. Si nous regardons la désintégration
π + → µ +ν µL le ν µ sera gaucher et puisque le π + est une particule scalaire, le µ + sera gaucher
(cet état d’helicité sera permis parce que la masse m>0). Également, l’opération de la
conjugaison de charge sur la désintégration
€
.
€
(3.70)
C(π + €→ µ +ν µL ) = π − → µ− ν µ L ≠ ±(π − → µ− ν µR )
Néanmoins, CP sera conservé puisque le ν L devient ν R .
€
b)
Dans le cas des désintégrations impliquant une transformation de saveur (famille de saveur), par
exemple le K0 (ds) , le D0 (cu) ou le B0 (db) ce n’est pas le cas. Ils peuvent se convertir dans
€ les processus de deuxième ordre, selon la Figure 3.3.
leurs propres anti-particules, selon
€
€
€
0
0
Figure 3.3. Les diagrammes de Feynman qui contribuent aux oscillations entre K et K puisque l’étrangeté n’est
pas conservé dans les interactions faibles. La transformation de saveur sera discutée dans le chapitre 6.
La violation de CP était observée pour les désintégrations du K0 par l’expérience de
€ 3.2) et dans les désintégrations du B0
Christenson, Cronin, Fitch,et Turlay en 1964 (Appendice
en 2000. Dans cette section, nous traiterons le cas des K0.
Rappelons l’observation expérimentale de 2 états quasi-identique, K S0 et K L0 sauf pour leurs
désintégrations et leur temps de vie :
K S0 → π +π −
0
L
+
−
K →π π π
τ = 0.89 × 10 −10 sec
0
τ = 0.52 × 10
−7
sec
cτ = 2.7 cm
cτ = 15.5 m
€
€
(3.71)
L’expérience de Cronin et Fitch a détecté un petit composant (2 parties par 103) de la
désintégration :
€
(3.72)
K L0 → π +π −
Pour la désintégration (état L=0) du π +π − , le spin-parité du π± sera JP=0- et l’état sera
symétrique (Bose.Einstein), donc CP=+1. Pour les désintégrations π +π −π 0 , C(π0)=+1, P(π0)=-1
et donc CP=-1.
€
c)
€
Le psuedo-scalaire K0 est un état propre de P mais pas de C parce que l’opération changera
€
l’étrangeté :
P K 0 = − K 0 et P K
C K0 = K
0
0
et C K
0
=− K
0
(3.73)
= K0
€
60
d)
En faisant une rotation des états K 0 et K
K10 =
1
0
K0 −K
2
(
)
et
0
CP K10 = + K10
(3.74)
€
K 20 =
e)
€
€
€ f)
1
0
K0 +K
2
(
)
et
CP K 20 = − K 20
K10 et K 20 pourront être associés avec les états expérimentaux K S0 et K L0 – puisque
CP = +1 K10 = K S0
K S0 → π + π −
τ = 0.9 _10−10 s
CP = −1 K 20 = K L0
K L0 → π + π − π 0
τ = 0.5 _10−7 s
(3.75)
€
€
La longueur de vie de K L0 est plus longue que K S0.
Si les K 0 et K
0
seront des états propres des interactions fortes, elles seront produites
0
directement.€Comme nous montrons€dans la Figure 3.4, les états K 0 et K se transforment entre
eux quand ils propagent dans l’espace.
€
€
€
€
0
Figure 3.4 Oscillations d’intensité de K 0 et K avec le temps, pour un faisceau initial de K0.
Une valeur Δm⋅ τ S = 0.5 est utilisée dans la figure.
Imaginons un état K S0 ( K L0 ) €
au repos dans le vide. Sa fonction d’onde se développe dans le
temps selon
€
Γ t
− s
0
0
K S (t) = K S (0) e−im s t e 2
I K 0 (t ) = I K 0 (0)e−Γs t
S
S
€ €
(3.76)
K L0 (t) = K L0 (0) e−im L t e
−
ΓL t
2
I K 0 (t ) = I K 0 (0)e−ΓL t
L
L
€
61
Si on commence avec un faisceau pur de K0, produit dans une interaction forte, l’état initial sera
un mélange de K S0 et K L0
1
K S0 (t) + K L0 (t)
2
€
K S0 (0)€ = K L0 (0) = 1 2
[
K 0 (t) =
] avec
(3.77)
et
€
IK 0 =
I
K
0
1
K S0 (t) + K L0 (t)
4
[
][ K (t) + K (t) ]
0
S
0
L
=
1 −ΓS t −ΓL t
e
+e
+ 2e−(ΓS +ΓL )t 2 cos Δmt
4
=
1 −ΓS t −ΓL t
e
+e
− 2e−(ΓS +ΓL )t 2 cos Δmt
4
[
[
*
]
(3.78)
]
Ces oscillations sont mesurables, par exemple dans les désintégrations K 0 → π −e + ν e
et K 0 → π +e−ν e . La différence de masse, Δm , est mesuré être
€
Δm=3.491±0.009 x 10-6 eV
€
g)
€
0
Dans une série des expériences classiques, les oscillations K 0 − K et aussi la régénération de
K S0 suite à la traversée du matériel par un faisceau pur de K L0 ont été étudiées.
0
L’expérience de Christenson et al. (Figure 3.5) a montré
que le K S et K L0 sont une mélange des
€
états propres de CP, K10 et K 20 .
€
KL =
1
2
(K 2 + εK1 )
1+ ε€
KS =
1
1+ ε
€
€
€(3.79)
2
€
€
€
(3.80)
(K1 − εK 2 )
Les mesures montrent que le rapport
ampli(K L → π +π − )
η+− =
= (2.29 ± 0.02) × 10 −3
ampli(K S → π +π − )
(expérimental)
(3.81)
0
L’état K S est principalement CP=+1 ( K10 ) avec une contribution de K 20 et K L0 est principalement
CP=-1 ( K 20 ) avec une contribution de K10. Donc on peut montrer que :
[
2
−Γ t
−Γ t
−(Γ
€ I 2π (t) = I 2π (0) e + η +− e €€+ 2η +− e
S
L
S
+ΓL )t 2
]
cos(Δmt + φ +− )€
€
€
62
€
(3.82)
Figure 3.5 L’expérience de Christenson, Cronin, Fitch et Turlay qui a mesuré la désintégration K L0 → π + π − (Figure
7.22 de Perkins). Les désintégrations de KL sont dans le sac d’hélium, et les produits chargés sont mesurés
dans les spectromètres. Les désintégrations de 2 pions sont identifiées par la masse m ππ , et par la direction
θ de l’impulsion du pair. La distribution en cos θ est celle d’une distribution
d’une désintégration
€
K L0 → π +π −π 0 , sauf pour 50 évènements avec cos θ =1.
€
€
3.8 CPT invariance
€
€
€ Le théorème de CPT (Lüders, Schwinger, Pauli1) constate que toutes les interactions sont
invariantes sous les transformations successives C, P et T. Le résultat est basé sur des critères
très fondamentaux des théories de jauge. Des conséquences de l’invariance CPT incluent, pour
les particules et leurs antiparticules, l’égalité de la masse, la longueur de vie, charge absolue, et
moment magnétique.
Une particule élémentaire avec spin σ n’a aucun moment dipolaire électrique, puisque
l’interaction avec un champ électromagnétique devra rester invariante si T et P seront
conservés.
€
1
J. Schwinger, Phys. Rev. 82 (1951) 914, G. Lüders, Dansk. Mat. Fys. Medd. 28 (1954) 1
63
Si la symétrie CPT était conservée, la brisure de CP impliquerait la brisure de T. Les
transformations des quantités classiques avec les opérateurs P et T sont montrés ci-dessous
(3.83). Les recherches les plus sensibles jusqu’à aujourd’hui sont les recherches d’un moment
électrique dipolaire pour le neutron et l’électron (Perkins, chapitre 3, d el < 6 × 10 −25 e.cm ), et la
0
différence de masse entre K 0 et K .
Quantité
r
€
p
σ (spin)
E (champ électrique)
€
B (champ magnétique)
€
€
σ ⋅B
€
€
€
€
σ ⋅E
σ⋅p
σ ⋅( p1 × p 2 )
€
€
T
P
−r
−p
σ
€r
−p
−σ
E €
−B€
σ ⋅€
B
€
Vecteur axial ( r × p )
E = −∂V / ∂ r
Comme pour σ
Dipole
€ magnétique
Dipole électrique
€
Polarisation
longitudinale
−E
−σ ⋅€
E
σ⋅p
€
−σ ⋅( p€1 × p 2 )
B
σ ⋅B
−σ ⋅ E€
−σ ⋅ p
σ ⋅( p1 × p 2 ) Polarisation transverse
€
€
€
€
€
€
Exemple : Expérience ATHENA au CERN.
€
€
€
€ 3.9 La conservation€de charge €et l’Invariance de Jauge
(3.83)
a) Nous faisons l’hypothèse que la charge est exactement conservée. Les meilleures limites
expérimentales sont pour la désintégration du neutron.
n → p ν eν e
n → pe− ν e
< 8 ×10−27
(3.84)
τ (n → p ν e ν e ) >10 20 ans
Cette conservation de charge vient de l’invariance de jauge.
b) L’invariance de jauge
et de la symétrie du Lagrangien est aujourd’hui à la base de la théorie des
€
interactions fondamentales. En pratique, si des formes de matière existent et interagissent d’une
façon compatible avec une théorie quantique, on peut déduire la structure des interactions. La
théorie, ou l’interaction, sera déterminée par l’invariance de la théorie aux transformations
(locales), et une telle théorie sera appelée une « théorie de jauge ».
Historiquement, on a observé l’invariance des équations de Maxwell par rapport à des
transformations de A et de φ. Aujourd’hui, à l’inverse, nous cherchons des symétries de la théorie
pour déduire les équations de mouvement.
c) Invariance de jauge pour les équations de Maxwell.
Dans l’électrodynamique classique, les champs sont liés au potentiel vecteur A et le potentiel
scalaire V par les équations :
B=∇× A
E = −∇V −
Pour les transformations
A → A'= A + ∇χ
∂χ
€ V → V '= V −
∂t
∂A
∂t
χ scalaire
(A µ → A'µ = A µ + ∂µ χ ) où Aµ = (V , A)
et les champs B et E restent inchangés.
€
64
(3.85)
(3.86)
d) Invariance de jauge dans le mécanique quantique non relativiste
Avec la mécanique quantique, on peut comprendre la relation entre les symétries et les
2
interactions. Puisque les observables des fonctions d’états dépendent seulement sur ψ , on peut
demander que la structure de la théorie sera invariante par rapport des transformations de phase
(3.87)
ψ (t, x) → ψ (t, x)'= e−iχ (t,x )ψ (t, x); χ constant
€
Cette transformation s’appelle une transformation de jauge globale puisque la transformation reste
valide partout dans
l’espace-temps. En plus, la phase χ = χ (t, x) peut être une fonction de
€
2
l’espace-temps sans changer ψ .
Si on demande maintenant, l’effet de la transformation
(3.64) sur l’équation de Schroedinger, on
€
constate que, en général, si ψ (t, x) satisfait l’équation, ce n’est pas le cas pour ψ '(t, x) .
€
1 2
∂ψ (t, x)
(3.88)
−
∇ ψ (t, x) = i
2m
∂t
€
€
Pour rendre l’équation
de Schroedinger invariant par rapport à ces transformations,
on peut ajouter
les termes suivantes
:
€
⎛ ∂
⎞
2
1
−i∇ + eA) ψ = ⎜ i + eV ⎟ψ
(
⎝ ∂t
⎠
2m
(3.89)
Dans ces cas, on peut vérifier que
€
ψ (t, x) → ψ (t, x)'= e−iχ (t,x )ψ (t, x);
χ constant
1
A → A'= A + ∇χ
e
V → V '= V −
1 ∂χ
e ∂t
(3.90)
donc
1
Aµ → Aµ ' = Aµ - ∂ µ χ
e
L’interprétation de ce résultat sera que l’invariance locale de la phase de la théorie demande
A µ . Dans la théorie quantique du champs électromagnétique, on associe
l’existence d’un potentiel
€
une particule (le photon, un boson vectoriel de spin 1) au potentiel A µ .
e) Le Lagrangien dans
€ la Mécanique Quantique
€
Dans la théorie quantique des champs, les variables discrètes qi (t) seront remplacées par les
champs continus Φ(t, x) . Le champ peut être vu comme une coordonnée généralisée à chaque
valeur de son argument.
La description se base sur la densité de Lagrange, €
€
65
L = L(Φ( x),∂µ Φ( x))
et
t2
S=
∫ dt ∫ d
3
xL(Φ,∂µ Φ)
(3.91)
t1
avec
L = d 3 xL(Φ,∂µ Φ)
∫
Cette formulation a la grande avantage d’être compatible avec la relativité restreinte. Les quantités
d 4 x,S et L seront€invariantes. L’utilisation du Principe de Hamiltonian, mène à
t2
δ
€
∫d
4
xL(Φ,∂µ Φ) = 0 et
t1
∂L
∂L
− ∂µ
=0
∂Φ
∂ (∂µ Φ)
(3.92)
Nous traitons maintenant les transformations de phase (jauge) du champ d’un photon. Les
équations de mouvement
du photon sont invariantes à une transformation
€
(3.93)
A µ → A µ '= A µ + ∂ µ χ avec A µ = (V , A)
Si nous prenons une particule libre, les équations de mouvement ne sont pas affectées par un
changement de phase
ci-dessus. Dans un potentiel scalaire V(t) qui dépend du temps (dans cet
€
exemple),
i
∂ψ
= (H 0 +V (t))ψ
∂t
et ψ = ψ 0e−iS
Donc,
V(t) =
∂S
et
∂t
(3.94)
t2
ΔS =
∫ V (t)dt ou en général
t1
ΔS =
∫A
µ
dx µ
On constate que le chemin d’intégration ΔS n’est pas zéro, et dépend du potentiel vectoriel.
L’effet du potentiel
€ est observable dans les expériences. ΔS , la décalage de phase, et proportionnel
au flux magnétique.
€
Exercice : L’expérience de Aharonov-Bohm.
€
e) La conservation de Charge et les transformations de jauge
Dans la théorie quantique des champs, la conservation de charge est associée avec les
transformations de jauge. Prenons la densité de Lagrange d’un champ scalaire libre de masse m,
L = (∂µφ ) * (∂µφ ) − m 2φ
(3.95)
mène directement à l’équation Klein Gordon :
€
∂µ∂ µφ + m 2φ = 0
Regardons l’effet d’une transformation de jauge :
€
66
(3.96)
(3.97)
φ → φ '= e iαQφ ou α ≠ α ( x)
Pour une transformation infinitesimale, α → 0,
(3.98)
φ '→ (1+ iαQ)φ
€
€
Puis, la variation de la densité de la Lagrangien sera :
δL =
€
∂L
∂L
∂L
∂L
δφ +
δ (∂µφ ) + * δφ * +
δ ∂µφ *
∂φ
∂φ
∂ (∂µφ )
∂ ∂µφ *
(
)
(
)
Si φ → (1+ iαQ)φ ,
(3.99)
∂L
∂L
δL = (iαQφ ) +
(iαQ∂µφ ) + c.c.
∂φ
∂ (∂µφ )
⎡
⎛
⎞⎤
⎛
⎞
∂L
∂L ⎟⎥
∂L
= iαQ⎢ − ∂µ ⎜
φ + iαQ∂µ ⎜
φ ⎟ + c.c.
⎜ ∂ (∂ φ ) ⎟⎥
⎜ ∂ (∂ φ ) ⎟
⎢ ∂φ
µ
µ
⎝
⎠⎦
⎝
⎠
⎣
En utilisant les équations d’Euler-Langrange, le premier terme disparaître, et
€
⎡
∂L
∂L
δL = iQα∂µ ⎢
φ − φ*
*
⎢ ∂ (∂µφ )
∂
∂
µφ
⎣
(
= 0
si
)
⎤
⎥
⎥
⎦
(3.100)
δL = 0
Si on insère le Lagrangien de l’équation de Klein-Gordon dans cette équation, on obtient le
courant:
€
(
jµ = −Q φ *∂µφ − φ ∂µφ *
)
(3.101)
et si δL = 0
€
€
(3.102)
∂µ j µ = 0
Donc, le courant sera conservé.
€
67
a) Appendix 3.1
L’expérience de Wu et al. La violation de parité.
T. D. Lee and C.N. Yang, Question of Parity Conservation in Weak Interactions, Phys. Rev. 104, 254 (1956)
C. S. Wu et al., Experimental Test of Parity Conservation in Beta Decay, Phys. Rev. 105, 1413 /1957)
68
69
Appendix 3.2
Violation de CP (J. H. Christenson et al.)
70
71
72