q i - Université de Genève

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Introduction à la Physique des Particules
Fondamentales
Professeur : Allan G. Clark
Assistant : Andrew Hamilton, Alexander Korzenev
Université de Genève, été 2011
Chapitre 3
Les Symétries et les Lois d’Invariance
Bibliographie: Griffiths Chapitre 4
Perkins Chapitre 3
(Halzen & Martin Chapitre 2.1-2.6)
Les Lois d’Invariance sont à la base de la construction des théories de la physique des particules. Ils
s’imposent au-dessus le dynamique des interactions de jauge entre les particules. Un opérateur de
symétrie est un opérateur pour lequel l’opération sur un système isolé laisse le système invariant.
Cette notion d’une symétrie existe dans la physique classique aussi bien que quantique. Un exemple
connu est l’invariance d’un système isolé suite à des transformations du groupe de Lorentz. Ceci
concerne les transformations de symétrie continues, par exemple les rotations ou les translations en
espace-temps. Une transformation dite continue est exprimable comme le résultat de plusieurs
transformations infinitésimales. De même, une transformation de symétrie pourra être discrète, par
exemple l’inversion des coordonnées (parité).
La correspondance entre une transformation de symétrie continue et une Loi d’Invariance a été
démontrée par E. Noether en 1917. Elle a montrée que pour chaque transformation de symétrie
continue, il existe une Loi d’Invariance, et vice-versa. Par exemple, au niveau classique et quantique,
les symétries et les lois d’Invariances citées ci-dessous sont valides.
Invariance d’Opérateur
Loi d’Invariance
Translations en espace-temps
Conservation d’impulsion
et énergie
Rotations en espace
Conservation de moment
cinétique
Transformation de jauge
Conservation de charge
Quels sont les buts de ce chapitre :
i) Dans la mécanique classique, nous montrons que l’invariance de l’action sur un système
des particules pendant les transformations de Lorentz (espace-temps) implique la
conservation de l’énergie et de l’impulsion.
ii) Dans la mécanique quantique, nous montrons que si l’effet d’une translation en espace-
temps sur une fonction d’état sera de conserver l’impulsion et l’énergie, cela implique une
symétrie des opérations du groupe des translations et du temps, vice-versa.

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iii) Nous montrons que, si le moment angulaire d’une fonction d’état sera conservé pendant
les rotations, cela implique une symétrie des opérations du groupe des rotations SO(3) ;
une représentation équivalente pour le cas de spin
€
j=1
2
et la conservation du spin total
d’un système, est le groupe SU(2).
iv) En utilisant le groupe SU(2) pour les interactions fortes, l’idée d’isospin sera introduit.
v) Les symétries discrètes seront introduites: conjugaison de charge, la parité, et le
renversement du temps.
vi) L’invariance de jauge et la conservation de charge dans un système isolé ; le besoin des
interactions pour assurer la conservation de charge dans le cas quantique.
3.1 Symétrie classique de translation en espace-temps sur un système isolé.
a) Rappelons les cours de Mécanique I et II. Pour un système de n particules ayant pour particule, i,
des coordonnées généralisées (qi, pi), on définit une fonction, L, le Lagrangien, par
€
L=L(q,p,t)
=L(q,˙ q ,t)
=T−V
(3.1)
V est un potentiel scalaire, T est l’énergie cinétique. Dans ce cas, la quantité de mouvement
généralisée est définie par
€
pi=
∂ L
∂
˙
q
i
(3.2)
Le Principe d’Hamilton constate que l’action classique d’un système,
€
S=L(q,˙ q ,t)dt
t1
t2
∫
, restera
invariante pour un système conservé, et sera indépendante du chemin d’intégration :
€
S=L(q,˙ q ,t)dt
t1
t2
∫=const
(3.3)
à la condition que la variation des coordonnées généralisées soit zéro au début et à la fin de la
trajectoire :
€
δ qi(t1)= δ qi(t2)=0
. (3.4)
Dans ce cas,
€
δ S=
∂ L
∂ qi
δ qi+
∂ L
∂
˙
q
i
δ
˙
q
i
$
%
&
'
(
)
t1
t2
∫dt
i=1
n
∑
=dt
∂ L
∂ qi
−d
dt
∂ L
∂
˙
q
i
$
%
&
'
(
)
t1
t2
∫
δ qi
i=1
n
∑
(3.5)
Les équations du mouvement sont les équations qui laisse δS=0 à les extrêmes t=t1 et t=t2: ils sont
appelés les équations d’Euler-Lagrange :
€
d
dt
∂ L
∂
˙
q
i
#
$
%
&
'
(
−
∂ L
∂ qi
=dpi
dt −
∂ L
∂ qi
=0
(3.6)

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b) On constate de cette équation que l’invariance de S sous la transformation
€
qi→qi+Δqi
nécessite
la conservation d’impulsion.
C’est facile de voir cette invariance dans le cas d’une seule particule. Prenons une particule de
masse m dans un potentiel V(x). Dans ce cas, le Lagrangian sera :
€
L=T−V
=m˙
x
2
2−V(x)
Puisque
∂ L
∂ qi
=−
∂ V
∂ x et d dt
∂ L
∂
˙
q
i
$
%
&
'
(
) =m˙ ˙
x
m˙ ˙ x =−
∂ V
∂ x=F(x) (donc équation de Newton)
(3.7)
En général, l’impulsion généralisée pi sera conservée si le système L ne dépend pas explicitement
de la coordonnée canonique, qi. Une translation des coordonnées sur un axe
€
qi→qi+Δqi
ne
change pas l’énergie cinétique T.
€
T=T(˙ q
i)
V=V(qi) et
L=T(˙ q
i)−V(qi)
Donc, les équations d’Euler-Lagrange seront :
€
d
dt
∂ (T−V)
∂
˙
q
i
$
%
&
'
(
)
−
∂ (T−V)
∂ qi
=0
et
d
dt
∂ T
∂
˙
q
i
$
%
&
'
(
)
=d
dt pi
( )
=−
∂ V
∂ qi
(3.8)
Si V ne dépend pas de qi, donc pi sera conservé parce que
€
d
dt (pi)=0
.
c) Laissons nous considérer maintenant le cas d’un système classique où L ne dépend pas sur le
temps t, donc L n’est pas changé par une transformation temporale
€
t→t+Δt
.
€
L=L(qi,˙ q
i) et
dL
dt =
∂ L
∂ qi
i
∑dqi
dt +
∂ L
∂
˙
q
i
i
∑d˙
q
i
dt
=d
dt
i
∑
∂ L
∂
˙
q
i
˙
q
i+
∂ L
∂
˙
q
i
i
∑d˙
q
i
dt
=d
dt
i
∑˙
q
i
∂ L
∂
˙
q
i
$
%
&
'
(
)
(3.9)
en utilisant les équations d’Euler. Donc, pour un système classique :
€
d
dt L−˙
q
i
∂ L
∂
˙
q
i
$
%
&
'
(
)
=d
dt T−V−˙
q
ipi
( )
= d
dt T−V−2T
( )
= - dH
dt
= 0
(3.10)
et H qui est l’énergie totale du système. est conservé.

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En général :
€
H=− L−˙ q
i
∂ L
∂
˙
q
i
$
%
&
'
(
)
Donc, la base de la conservation de l’énergie et de l’impulsion est l’invariance par rapport aux
translations dans l’espace-temps pour les transformations classiques.
3.2 Les Invariances pour la Mécanique Quantique non relativiste, et l’exemple des
Translations
3.2.1 Les opérateurs d’une symétrie.
Imaginons une série des opérations de symétrie sur un système. Ces opérations peuvent être, par
exemple, des translations successives ou des rotations successives (donc continues). La physique
est indépendante de respectivement le référentiel de translation et de l’orientation du référentiel.
Chaque type d’opérateur de symétrie sera partie d'un «groupe» (ensemble) qui devra satisfaire les
contraintes suivantes :
i) Une opération de symétrie sur un système observable par un opérateur d’un groupe de
symétrie laissera l’Hamiltonian du système inchangé.
ii) Closure : si une opération Ri est suivie par une opération Rj, l’opération Rk=(RiRj) sera une
opération du même ensemble, et donc si RiRj laisse le système inchangé, Rk laisse le
système inchangé est sera membre du même groupe de symétrie.
iii) Identité : il existe un opérateur I pour lequel IRi=RiI (équivalent d’aucune transformation).
iv) Inverse : Si l’opérateur Ri existe, l’opérateur inverse
€
Ri
−1
existe et
€
R
1
−1R=RR
1
−1=I
v) Associativité :
€
Ri(RjRk)=(RiRj)Rk
vi) En plus, si les opérateurs d’un groupe commutent,
€
Ri,Rj
[ ]
=0
, le groupe sera Abélien (c’est
le cas, par exemple, pour les translations mais pas pour les rotations en 3 dimensions) ;
vii) On peut associé une représentation matrice M(Ri) avec chaque opérateur d’un symétrie.
3.2.2 Les Translations
a) Supposons que l’état d’un système quantique se transforme en
€
ψ → ψ
'=U
ψ
(3.11)
Si la probabilité
€
φψ
2
devra rester inchangée après l’opération U, U sera unitaire (équation
3.12) :
€
φψ
2
= φ
'
ψ
'
2
= φ U+U ψ
2
(3.12)
Les opérateurs U(D1), U(D2), … forment un groupe avec la même structure que le groupe D1, D2,
…et le groupe s’appelle « la représentation unitaire du groupe ».
b) Pour la conservation d’un nombre quantique associé à une opération de symétrie, l’Hamiltonian
devra rester inchangé, donc :
€
φ 'H ψ '= φ U+HU ψ = φ H ψ
donc
€
H=U+HU et
U,H
[ ]
=0
(3.13)
Donc, un opérateur unitaire U représente une symétrie du système si U commutera avec H.

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c) Si l’opérateur U n’a pas une dépendance explicite sur le temps t, l’équation de mouvement de l’état
quantique devra rester inchangée par l’opération de U, donc U devra être un constant de
mouvement :
€
id
dt
ψ (t)=H ψ (t)
et après différentiation
€
id
dt
ψ (t)U ψ (t)= ψ (t)UH −HU ψ (t)=0
(3.14)
d) Considérons maintenant les translations D,
€
r→r'=r+ δ r
, où U est la représentation unitaire du
groupe des translations :
€
U=1+ δ r
∂
∂ r
=1−iˆ
p
δ r parce que ˆ p =−i
∂
∂ r
(3.15)
Dans ce cas, U est unitaire, et donc l’opérateur
€
ˆ
p
sera hermitien et une observable de la mécanique
quantique. Si U n’a pas une dépendance explicite de temps t, U et H commutent. Évidemment,
l’opérateur
€
ˆ
p
commute avec H aussi.
e) Pour une translation que sera le résultat de n translations successives,
€
Δr=n δ r
€
U=U1......Un
=1−iˆ
p
δ r
$
%
& '
(
)
n
→exp(−iˆ
p
Δr)
(3.16)
et puisque
€
U,H
[ ]
=0
,
€
ˆ
p ,H
[ ]
=0
. L’ensemble des translations U fait partie d’un groupe Lie.
L’invariance de l’Hamiltonian sous les translations
€
⇔
symétrie du groupe des translations
€
D
1,D2,D3,.....
{ }
€
⇔
symétrie de la représentation unitaire du groupe des translations
€
U1,U2,U3,.....
{ }
€
⇔
l’invariance sous l’opérateur
€
ˆ
p
, qui est le générateur du groupe des translations).
3.2.3 Les Phases
a) Traitons le cas du groupe des phases d’une fonction d’onde,
€
U=ei
θ
; θ réel,0 ≤ θ ≤2 π
. Dans ce cas,
le groupe obéit closure et associativité, Il est un groupe unitaire d’une dimension, U(1).
b) Dans ce cas,
€
dU =iUd θ
et les opérateurs U sont un exemple d’un groupe Lie.
c) En général,
€
U( θ
1,...,
θ
n)=exp( i
θ
jFj)
j=1
n
∑
et le Fj sont les générateurs du groupe.
Les groupes d’intérêt pour la physique des particules sont des types
Groupe
Matrices du groupe
U(n)
nxn
Unitaire (
€
U+U=˜ U
*U=1
)
SU(n)
nxn
Unitaire avec déterminant 1
O(n)
nxn
Orthogonal (
€
˜
O O=1
) –
groupe de rotation est SO(3)
SO(n)
nxn
Orthogonal avec déterminant 1