1-VILLAIN-Symetrie Et Theorie Des Groupes En Physique

Symétrie et théorie des groupes en physique
Jacques Villain
Symétrie et propriétés physiques:
L’exemple de l’effet de serre de l’atmosphère
Effet de serre: greenhouse effect
Lumière: light
Infra-rouge: infrared
O2 n’absorbe pas la
lumière infra-rouge
CO2, H2O, CH4 absorbent
la lumière infra-rouge
O2
H2O
CO2
a
b
H4C
C’est souvent plus compliqué, dans ce cas la théorie des groupes peut
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être utile!
Définition d’un groupe
1) ∀ gi, gj
Sophus Lie
2)
∃
⇒
produit gi . gj.
un élément neutre 1, gi . 1= 1 . gi = gi
3) Chaque élément gi a un inverse gi-1 , gi .gi-1 = gi-1.gi =1.
Niels Henrik Abel
1802-1829
Évariste Galois
( 1811 - 1832)
Joseph Liouville
(1809-1882)
Sophus Lie
(1842 -1899)
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Groupes de transformations familiers
1) SO3 ou SO(3), rotations à 3 dimensions autour d’un point donné O.
Application: atome d’hydrogène (non relativiste) De façon analogue: SO(n)
2) O3 ou O(3) , rotations propres et impropres 3-D autour d’un point donné.
3) translations
3-D.
Application: propagation d’une particule libre non relativiste.
4) rotations et translations 3-D
5) translations qui conservent un cristal (sous-groupe de (3))
Application: théorème de Floquet-Bloch
6) Transformations (rotations propres et impropres et translations) qui conservent un cristal.
230 groupes d’espace (infinis).
Space groups
7) Rotations propres et impropres qui conservent un cristal :
32 groupes ponctuels (finis).
Point groups
8) Groupe de Lorentz, groupe de Poincaré.
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Exemple
x − vt
t
−
vx
/
c
x' =
t' =
2
2
1− v / c
1− v2 / c2
y’=y,
z’=z,
3
Euclide
(-300).
Euclide d'Alexandrie
(-320? ; -260?)
cubiqueX3 tétragonalX2
Auguste Bravais,
(1811-1863).
R=ma+nb+pc
triclinique
monoclinique
Orthorhombique
X4
rhomboédrique hexagonal
X2
Source:http://www.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/cristallo/bravais.html
N.B. Le réseau rhomboédrique fait partie du système hexagonal
Schönflies, Fedorov (1890).
32 groupes ponctuels,
230 groupes d’espace
Pour donner une idée de la démonstration:
Impossibilité d’une rotation d’angle inférieur à π/3
C
B
A
Seules sont possibles les rotations d’angle π/3, π/4, 2π/3, π.
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•Why is it useful….
A quoi ça sert de classer les cristaux?
•Le cristal est en principe l’état stable de tout corps pur
à basse température (sauf He)
•Certaines propriétés physiques dépendent du
groupe ponctuel (ou d’espace)
Exemple: pyroélectricité, possible seulement dans
Cn, C nv, et C1h
•La symétrie peut être déterminée par le spectre de
diffraction (absence de certaines raies…)
•Réduction du nombre de paramètres
Raie spectrale = spectral line
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Vecteurs propres d’un opérateur (eigenvectors)
Problème fréquent. Exemple: équation de Schrödinger
La théorie des groupes facilite leur détermination
Exemple: matrice NXN invariante par translation :
M(n,m)=M(n+p,m+p)
Conditions aux limites périodiques
Vecteurs propres |uk >, éléments uk(n)=exp(ikn)
La translation n → n+m transforme |uk> en |uk> exp(ikm)
Les nombres tk(m)=exp(ikm) constituent une représentation
du groupe des translations: tk(mm’)= tk(m) tk(m’)
Mais les matrices
0 
tk (m)
constituent aussi une représentation
 0

t k ' ( m) 

du groupe des translations
Cette représentation est réductible
Représentations irréductibles d’un groupe…
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représentation d’un groupe G associe à tout (any)
élément g ∈ G une matrice T(g), avec T(g)T(g’)=T(gg’)
Cette représentation est irréductible s’il est impossible de mettre
T (g)
0 
(put) les matrices T(g) sous la forme T ( g ) =  1

Définition: Une
 0
T2 ( g )
Soit une matrice M invariante par un groupe G.
La théorie des groupes permet (souvent) de la mettre sous la forme:
M 1
0
M =
0

 ....
0
M2
0
0
0
M3
....
....
....
....
....

....
through a change of basis vectors
grâce à un changement de vecteurs de base.
Méthode: chercher des vecteurs de base qui se transforment comme
une représentation irréductible de G
There are recipes for that
Il y a des recettes pour ça!
Les représentations irréductibles de beaucoup de groupes
sont dans les livres (Ex.: groupes d’espace des cristaux)
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Fonctions d’onde et groupe des rotations.
Fonctions propres d’un hamiltonien invariant par rotation?
(équation de Schrödinger)
Représentations irréductibles de dimension (2l+1) impaire
du groupe des rotations ?
Vecteurs de base: Ylm(θ,φ) = Blm Plm(cos θ ) exp(imφ)
Fonction d’onde
ψ(r, θ,φ)=f(r)Ylm(θ,φ)
Ces fonctions sont fonctions propres du moment angulaire
Représentations irréductibles de dimension paire ?
Exemple pour la dimension 2: opérateurs de rotation élémentaire
0 1 
σx = 

1
0


 0 i
σy = 

−
i
0


1 0 
σz = 

0 − 1
rotation de α autour de Oz: exp(iασz/2)
Mais σx, σy, σz sont aussi les composantes du spin
Représentation “spinorielle” bivaluée
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Fonctions d’onde relativistes d’un électron.
Représentation du groupe de Lorentz
Représentation irréductible spinorielle à 2 dimensions,
utilisant les matrices de Pauli
Mais pour obtenir une fonction d’onde, il faut la combiner avec sa rep.
conjuguée: représentation de Dirac, de dimension 4, réductible!
Dirac equation:
ihγ µ ∂ µψ = mcψ
1 0 
γ 0 = i

0
−
1


0
γi = 
σ i
σi 
0 
(i=1, 2, 3)
σi =matrices de Pauli
Élie Cartan
Dolomieu 1869, Paris 1951
inventa les spineurs en 1913
http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.bams/1183516693
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Deux théorèmes généraux.
Théorème de Noether (1915)
Invariance par 1 groupe continu de symétries
c
quantité conservée
translation
translation dans le temps
rotation
quantité de mouvement
énergie cinétique.
moment angulaire.
Emmy Noether, née le 23 mars 1882 à Erlangen
Professeure sans chaire (et sans salaire)
Privat Dozent
en 1922 à Göttingen
Mise à la retraite en 1933
Morte le 14 avril 1935 en Pennsylvanie 11
Théorème de Goldstone (1961)
symétrie continue brisée
excitation de « gap » nul
Cristal
phonons acoustiques transverses
Ferromagnétique de Heisenberg
magnons
Supraconductivité
(interactions à longue portée: Anderson 1963)
→
Modes de gap nul non-Goldstone:
a) Lors d’une transition thermodynamique continue:
(soft mode)
b) Ondes longitudinales acoustiques d’un fluide
En physique des particules élémentaires:
bosons de Goldstone de masse nulle
?
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Loin de la matière condensée: l’électrodynamique
Une nouvelle symétrie: l’invariance de jauge (gauge invariance)
Electromagnétisme classique: 2 champs E, H, composantes
d’un tenseur antisymétrique 4X4
Fµν = ∂ µ Aν − ∂ν Aµ
r
r
r
Invariance de jauge: A' µ ( r , t ) = Aµ ( r , t ) − ε µ ∂ µ Λ ( r , t )
sans sommation sur µ;
εµ=-1 pour µ=0, εµ=1 pour les coordonnées spatiales
Electrodynamique quantique:
la transformation de jauge agit aussi sur la fonction d’onde électronique:
Ψ’(r,t) = exp[i Λ(r,t)] Ψ(r,t)
Groupe de jauge commutatif (=« abélien »)
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Loin de la matière condensée: particules élémentaires
Énergie de cohésion d’un métal: 1 à 10 eV
Energie de liaison d’un nucléon dans le noyau: environ 10 MeV
Particules élémentaires:
énergie de l’ordre du GeV
Interaction forte = strong interaction
Les symétries habituelles vont-elles résister à ces énergies?
Par exemple:
renversement du temps T
P (x, y, z → -x, -y,-z)
Réponse: oui!... tant que seule l’interaction forte intervient
…et même il y a invariance par …
C: transforme les particules en antiparticules.
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Mais il y a aussi des interactions « faibles » (désintégration β)
Et elles ne conservent pas la parité P
Interaction faible = weak interaction
(Lee & Yang 1956, prix Nobel 1957, expérience de Mme Wu jan. 1957)
Pas de symétrie par rapport à la conjugaison de charge C
…mais ça ne suffit pas à expliquer la dissymétrie observée
« expérimentalement » entre matière et antimatière…
…qui implique aussi la violation de CP
(Sakharov 1967)
Ceci a amené
Kobayashi et Maskawa (1972)
à introduire 6 quarks
au lieu de 4 (prix Nobel 2008)
Multiplication des quarks
pains
Très Riches Heures du duc de Berry
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Si
Dieu
la symétrie
n’existait pas, il faudrait l’inventer (Voltaire)….
Invention de l’isospin
(Heisenberg 1932)
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et c’est encore la faute
des interactions faibles qui comportent une brisure spontanée de
symétrie
donc un mode de Goldstone
(particule de masse nulle)
qui n’est pas observé
Solution du mystère (Higgs 1964, Brout & Englert 1964):
Dans une théorie de jauge, il n’y a pas de mode de Goldstone
de masse nulle…. mais un boson de Higgs massif
Nambu, prix Nobel 2008
Analogie avec la supraconductivité, où le mode de masse nulle n’existe
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pas à cause des interactions à longue distance (Anderson 1963)
Au-delà du modèle standard
Grande unification
Supersymétrie
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Résumé
Les propriétés physiques des objets sont souvent liées
à leur symétrie.
La théorie des groupes constitue une méthode
systématique d’exploitation de la symétrie des objets
…notamment grâce au concept de représentation.
La théorie des groupes est un outil difficile souvent facultatif.
et aussi une belle théorie qui permet de mieux comprendre
Applications importantes :
Diagonalisation d’un opérateur
cristallographie
Fonction d’onde en symétrie sphérique Spin, spineurs de Dirac
Particules élémentaires :
Symétries discrètes (P, CP, CPT) exactes ou approximatives
Symétries de jauge, Symétries brisées
Conclusion