1-VILLAIN-Symetrie Et Theorie Des Groupes En Physique

1
Symétrie et théorie des groupes en physique
Jacques Villain
Effet de serre: greenhouse effect
Lumière: light
Infra-rouge: infrared O
2
H
2
O
CO
2
a
bH
4
C
Symétrie et propriétés physiques:
L’exemple de l’effet de serre de l’atmosphère
O2 n’absorbe pas la
lumière infra-rouge
CO2, H2O, CH4 absorbent
la lumière infra-rouge
C’est souvent plus compliqué, dans ce cas la théorie des groupes peut
être utile!

2
3) Chaque élément g
i
a un inverse g
i-1
, g
i
.g
i-1
=g
i-1
.g
i
=1.
Définition d’un groupe
1) g
i
, g
j
produit g
i
. g
j
.
⇒
∃
∀
2) un élément neutre 1, g
i
. 1= 1 . g
i
= g
i
Évariste Galois
(1811 -1832)
Niels Henrik Abel
1802-1829
Joseph Liouville
(1809-1882)
Sophus Lie
Sophus Lie
(1842 -1899)

3
1) SO3 ou SO(3), rotations à 3 dimensions autour d’un point donné O.
Application: atome d’hydrogène (non relativiste) De façon analogue: SO(n)
2) O3 ou O(3) , rotations propres et impropres 3-D autour d’un point donné.
3) translations 3-D. Application: propagation d’une particule libre non relativiste.
4) rotations et translations 3-D
5) translations qui conservent un cristal (sous-groupe de (3))
Application: théorème de Floquet-Bloch
6) Transformations (rotations propres et impropres et translations) qui conservent un cristal.
230 groupes d’espace (infinis). Space groups
7) Rotations propres et impropres qui conservent un cristal :
32 groupes ponctuels (finis). Point groups
8) Groupe de Lorentz, groupe de Poincaré.
Exemple
y’=y, z’=z,
Groupes de transformations familiers
22 /1
'
cv
vtx
x
−
−
=22
2
/1
/
'
cv
cvxt
t
−
−
=

Euclide
(-300).
Euclide d'Alexandrie
(-320? ; -260?)
triclinique
Source:http://www.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/cristallo/bravais.html
Auguste Bravais,
(1811-1863).
cubiqueX3
monoclinique
X2
tétragonalX2
hexagonal
Orthorhombique
X4
rhomboédrique
R=ma+nb+pc
N.B. Le réseau rhomboédrique fait partie du système hexagonal

5
Schönflies, Fedorov (1890).
32 groupes ponctuels,
230 groupes d’espace
Pour donner une idée de la démonstration:
Impossibilité d’une rotation d’angle inférieur à π /3
A
B
C
Seules sont possibles les rotations d’angle π /3, π /4, 2 π /3, π .