1 Algèbre du spin 2 Mesure du spin. Délocalisation et

Université Joseph Fourier. Master 1 Physique
TD de mécanique quantique, Frédéric Faure.
◦5
TD n
Le spin 1/2
Références : [1] chap. IV. [2] chap. 4.
1
Algèbre du spin
Par dénition, les opérateurs de spin
Sbx , Sby , Sbz
sont les générateurs des rotations du spin,
x, y, z respectivement. (Rappel : cela signie
exemple
par i
angle θ autour de l'axe y est : R̂y (θ) = exp − θ Ŝy ).
~
autour des axes
rotation d'un
que l'opérateur de
1. Montrer que
exp (iα~σ .~u) = (cos α) Iˆ + i (sin α) (~σ .~u)
où
~u ∈ R3 , k~uk = 1, α ∈ R
et
~σ = (σx , σy , σz )
1
sont les matrices de Pauli . Aide :
développer l'exponentielle par sa série de Taylor. Application : écrire la matrice de
R̂y (θ) dans la base |+z i, |−z i
et |−θ i = R̂y (θ) |−z i.
et déduire l'expression des vecteurs
|+θ i = R̂y (θ) |+z i
|+z i, |−z i, donner l'expression de l'opérateur de spin Sbθ = R̂y (θ) Ŝz R̂y (θ)−1 .
A quel axe correspond t-il ? Montrer que les vecteurs |+θ i, |−θ i sont des vecteurs propres
de Ŝθ et donner les valeurs propres.
2. Dans la base
2
Mesure du spin. Délocalisation et recombinaison d'une particule
On considère un dispositif expérimental où un faisceau de particules de spin 1/2 (des
neutrons par exemple) entre selon l'axe
l'état de spin
y.
On suppose que chaque particule est préparée dans
|+z i.
z
θ
A
z
D
|+ z>
y
B
E
x
0 1
0 −i
1
0
, σy =
, σz =
. On vérie que σk2 = 1
1 0
i
0
0 −1
pour tout k = x, y, z , et σx σy = −σx σy = iσz (de même σy σz = −σz σy = iσx ,σz σx = −σx σz = iσy ).
1. Les matrices de Pauli sont σx =
1
1. Ce faisceau polarisé entre dans un appareil de Stern-Gerlach tourné de l'angle
de l'axe
y,
θ
autour
(voir gure), et qui a donc pour eet de décomposer l'état de spin
|+θ i, |−θ i.
par rapport à 2 états notés
détecteur (A et B sur la gure), qui comptent respectivement
Quelle est la probabilité
PA
(respect.
|+z i
Sur chacun des faisceaux sortants, on met un
PB ) de
N+θ
et
N−θ
particules.
détecter une particule en A (respect. B) ?
Après plusieurs mesures, la mécanique quantique prédit quelle valeur pour le rapport
N+θ /N−θ ?
2. On enlève les détecteurs A et B précédents, et les deux faisceaux sont recombinés
en un seul faisceau avant de pénétrer à nouveau dans un appareil de Stern-Gerlach
z (voir
PD , PE
D
gure). A la sortie, on place deux détecteurs
probabilités
de détecter les particules en D et E respectivement.
3. On place un absorbeur en A. Calculer
θ = π/2.
PD
et
PE .
et
E.
orienté selon
Calculer les
Considérer en particulier le cas
Discuter l'aspect paradoxal du résultat. (Voir article Contrafactualité sur
wikipedia).
3
(option) Représentation d'un état de spin sur la sphère de
Riemann
Cette représentation a pour but de montrer la relation entre l'état de spin 1/2 dans l'espace
quantique (C
(x, y, z) ∈
2 de dimension deux complexe), et sa représentation dans l'espace ordinaire
R3 (de dimension 3 réel).
1. Soit un état de spin 1/2 quelconque noté :
|ψi = a|+z i + b|−z i
avec
a, b ∈ C. Pourquoi peut-on dire que l'état physique de |ψi est caractérisé seulement
z = a/b ?
par le nombre complexe
bx |ψ>
<ψ|S
hψ|ψi ,sy
b |ψ>
<ψ|S
<ψ|Sz |ψ>
y
= hψ|ψi
,s z =
hψ|ψi dans cet
3
état, et les exprimer en fonction de z . On note ~
s = (sx , sy , sz ) ∈ R , et on montrera
que k~
sk = ~2 , donc que ~s est sur une sphère
de rayon ~/2, appelée
1
2 espace projectif de C2 ).
(ou sphère de Riemann, ou P = P C
−iϕ , où (s, θ, ϕ) sont les coordonnées sphéInversement montrer que z = cotg (θ/2) e
3
riques du vecteur ~
s = (sx , sy , sz ) ∈ R .
2 du point ~
Montrer que z est la coordonnée stéréographique
s = (sx , sy , sz ) sur la
2. Calculer les valeurs moyennes
sx =
b
sphère de Bloch
3.
4.
sphère.
Références
[1] C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, and F. Laloe. Mécanique quantique.
[2] F. Faure.
Cours de Mécanique quantique pour Master M1 de physique.
http ://www-
fourier.ujf-grenoble.fr/~faure/enseignement.
[3] J. Leys, E. Ghys, and A. Alvarez. Dimension. Videos. http ://www.dimensions-math.org.
2. Si M est un point sur la sphère, On place le plan complexe C, sous la sphère, tangent au pôle sud. On
considère la droite passant par le pôle nord et M . Elle intersecte C au point z . On dit alors que z ∈ C est la
coordonnée stéréographique du point M . Voir lm1 de [3].
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