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CHAPITRE 4 - Les symétries et les Lois de conservation
4.1 Introduction
a) Les lois de symétrie, et donc les lois d’invariance, sont à la base de la
construction des théories de la physique des particules.
b) Certaines loi d’invariance (p.ex. charge) sont universelles, d’autres sont
brisées sous certaines conditions, par exemple, la parité dans les
interactions faibles. Nous traitons dans cette section les interactions EM
et FORTES (les « faibles » seront traitées plus tard)
c) E. Noether (1882-1935)
-l’invariance d’un système continu entraîne la conservation d’une
propriété physique du système (donc, pour QM, conservation d’un
opérateur quantique).
- dans la mécanique quantique, cela correspond à la commutation de
l’opérateur avec l’Hamiltonien.
p.ex. symétrie Loi de conservation Opérateur
Translation t Energie
Translation x Impulsion
Rotation Moment cinétique
d) Les invariances peuvent être :
- continues ou discrètes
- les transformations espace temps
internes
jauges
0]H,J[ 0]H,p
ˆ
[0]H,E
ˆ
[
3

2
4.2 Les transformations espace-temps
4.2.1 Invariance de Translation
a) La physique est inchangée par une opération de symétrie. Donc, si est
l’opérateur des translations de l’espace :
b) La probabilité que soit mesuré en état doit rester inchangée
c) L’Hamiltonien reste inchangé
Maintenant, si
Pour ntranslations
Résultats : invariance de l’Hamiltonien sous les translations
symétrie du groupe des translations
invariance de l’opérateur
D
ˆ
 D
ˆ
Les générateurs
du groupe des
translations
p
ˆ
1DD
ˆ
DD
ˆ
'' 2
22
0H,D
ˆD
ˆ
HD
ˆ
HHD
ˆ
HD
ˆ
'H'
xp
ˆ
xix
xxx
xx'xD
ˆ
'x
 iou ip
ˆ
 p
ˆ
xip
ˆ
xi exe
x:D
ˆ
'
0H,p
ˆ
et 

3
4.2.2 Invariance des translations dans le temps t.
Exercice : Démontrez que l’invariance des translations en temps mène à la
conservation de l’énergie.
4.2.3 Invariance dans les rotations
a) considérons une rotation autour de 3 axes :
Puis :
et nous pouvons également construire J1, J2, J3.
Dans ce cas :
- dès le cours de mécanique quantique
0H,E
ˆ
3
Ji1R
ˆ
,e)(R
xypxpi1
y
x
x
yx
z,xy,yx
R
ˆ
'
quantique mécanique de observableet Hermitien JJ
0JJi1RR
ˆ
1
3
Ji
xy
33
2
33
identification de J3
avec l’opérateur de
moment cinétique
selon l’axe
321
jklkj
JiJ,J
JiJ,J
m,j)1j(jm,jJ
j.....,,jm;m,jmm,jJ
0J,J
2
3
2i
z
ˆ

4
4.2.3 Invariance sous les rotations (cont.)
b) En général spin intrinsèque
moment cinétique orbital
Pour le spin, nous associons les matrice de Pauli :
c) J est conservé dans toutes les interactions
d) si nous avons 2 systèmes
SLJ 
1001
,
0i i0
,
01 10
,,
2
1
s
321
le générateur du
groupe SU (2)
BB
AA
m,j
m,j
2211
mm 21 21
BA
BABA
BA
m,jmj
mmm jjj
CM,J
généralen et
mmM
JJ........,JJJJJJ
BA
coefficient de Clebsch-Gordon
(PDG, Halzen et Marten p40)
(Perkins Appendix C)

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4.2.4 Une invariance discrète
a) Invariante pour les interactions EM et fortes
b) Dans le cas
c) La parité d’un système composite est multiplicatif
d) Les vecteurs et les scalaires ont parité
e) Par convention : Parité des quarks = + 1
antiquarks = - 1 (résultat QFT)
parité de p, n = + 1 = (+ 1)3
: Parité des … pseudoscalaires
vecteurs
: Pour les état excités, facteur
: Photon - - représentation comme vecteur B
PPet 1PAussi
0H,P
ˆ
iancevarIn
2
P est observable, donc
1propre/valeurpavec
pP
ˆ
''
'rr,)r(Rx m
en
x1xP  
tiondésintégra après systèmeun d'état l' p.ex.
....PPP batot 
a)a(pvecteurAxial )(pVecteur p)p(pscaleurPseudo )s(pScaleur
)1(
1P 
des mesons
1)1)(1(
~