EXAMEN – contrôle terminal - Université Nice Sophia Antipolis

Université de Nice - Sophia Antipolis
Année universitaire 2014-2015
EXAMEN – contrôle terminal
Mécanique Quantique L2
13/5 – 2015, 9h00 – 11h00
Amphi Physique II
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Commencer chaque exercice sur une nouvelle page.
Ecrire votre nom sur chaque feuille.
Les réponses doivent être présentées de façon claire et bien lisible.
Tous les raisonnements doivent être expliqués.
Constantes Physiques
c = 299 792 458 m/s
h = 6.626 076 × 10−34 Js
0 = 8.854 188 × 10−12 F/m
R∞ = 10 973 731.534 m−1
me = 9.109 390 × 10−31 kg
~2 /(2me a20 ) = e2 /(8π0 a0 ) = 13.61 eV
kB = 1.380 658 × 10−23 J/K
~ = 1.054 573 × 10−34 Js
e = 1.602 177 × 10−19 C
a0 = 0.529 177 × 10−10 m
NA = 6.022 137 × 1023 mol−1
Questions
1
Le deutéron.
(4 points)
On peut modéliser le potentiel de liaison entre le proton et le neutron formant le noyau
de l’atome de deutérium, un des isotopes de l’atome d’hydrogène, par :

pour x < 0
 ∞
−V0
pour 0 < x < R , (V0 > 0)
V (x) =

0
pour x > R
où x représente la distance entre les deux nucléeons. On s’intéresse aux états liés du
système.
a) Quelle est la condition pour E pour qu’il existe des états liés.
b) Il y deux régions pertinentes pour ce système. Formuler l’équation de Schrödinger
pour ces deux régions (vous me devez pas les résoudre).
c) Quelle sont les conditions de raccordement entre les deux régions pour x = R ?
Mécanique Quantique L2 — Contrôle Terminale; 13/5–2014
2
Le spin d’un électron.
2
(4 points)
Si on laisse une particule avec "spin un demi" passer un région avec un gradient du
champ magnétique, le trajectoire de la particule sera dévié.
a) pour quoi cette déviation est elle une preuve que l’électron a bien un spin ?
b) Une experience comme cela est appelé type Stern-Gerlach. Si cette expérience
est fait avec un jet des particules, quelle sera la différence des observations si les
particules utilisés soient "quantique" (le spin est quantifié) où soient "classiques"
(le spin est une quantité continue) ?
~ est un vecteur. Expliquer pour quoi, dans la mécanique quantique,
c) Le spin, S,
ce n’est pas possible connaitre les trois composantes de spin, Sx , Sy et Sz , au
même temps.
Exercices
3
Espace de Hilbert en trois dimensions.
(6 points)
Considérer un espace de Hilbert de dimension 3. Dans la base orthonormée composée
des vecteurs | 1 i, | 2 i et | 3 i, un vecteur d’état est donné par :
3
| ψ i = a 4i| 1 i − | 2 i − 3i| 3 i ,
2
où a est un nombre réelle est positif.
a) Trouver le bra h ψ | correspondant au | ψ i.
b) Trouver la valeur de a qui rend le vecteur | ψ i normalisé.
c) Trouver un ket | ϕ i qui soit orthogonal à | ψ i.
Considérer une grandeur physique représentée,

2 0
Q = q 0 2
0 −i
dans la même base, par la matrice :

0
i .
0
où q est une constante réelle.
d) Dans une mesure de la grandeur Q, quels sont les résultats possibles ?
e) Si le système est preparé dans l’état | ψ i, quelles sont les probabilités associées
à ces résultats possibles ?
f) Si le résultat de la mesure est la plus grande valeur, dans quel état se trouve
alors le système, immédiatement après la mesure.
Mécanique Quantique L2 — Contrôle Terminale; 13/5–2014
4
Evolution dans le temps.
3
(6 points)
Une particule quantique peut se trouver dans deux états d’énergie donnée. Le premier
état a une fonction d’onde réelle φ0 (x) et est d’énergie nulle. Le second état a pour
fonction d’onde (également réelle) φ1 (x) et une énergie ~ω où ω est une pulsation.
a) A l’instant t = 0, le système est
√ dans un état décrit par la fonction d’onde
ψ(x, t = 0) = (φ0 (x) + φ1 (x))/ 2. Trouver l’expression de la fonction d’onde
décrivant l’état au temps t, ψ(x, t).
b) En déduire l’expression de la densité de probabilité p(x, t) = |ψ(x, t)|2 de trouver
une particule entre x et x + dx à un instant t.
c) Pour quels temps p(x, t) est-elle égale à (φ0 (x) + φ1 (x))2 /2 ? Pour quels temps
est-elle égale à (φ0 (x) − φ1 (x))2 /2 ? Que constatez vous ?
d) On suppose que la fonction φ0 est paire tandis que la fonction φ1 est impaire.
Qu’en déduisez vous quant à la parité de φ20 et φ21 ?
e) On cherche maintenant à calculer la valeur moyenne de la position à un instant
t
Z ∞
hx(t)i =
x p(x, t) dx
−∞
Développer cette expression et, en utilisant les propriétés de parité de φ0 et φ1 ,
en déduire que
hx(t)i = xmax cos(ωt)
où vous exprimerez xmax sous la forme d’une intégrale des fonctions d’ondes.