Nombres Premiers – Division Euclidienne

Arithmétique : Nombres Premiers – Division Euclidienne
« JE ME SOUVIENS » : A FAIRE
Que signifie ARITHMETIQUE ?
C’est la science qui a pour objet l'étude de la formation des nombres, de leurs propriétés et des
rapports qui existent entre eux (théorie des opérations ; les quatre opérations de l'arithmétique :
addition, soustraction, multiplication, division).
I)
DIVISION EUCLIDIENNE
●
DEFINITION : La DIVISION EUCLIDIENNE d’un entier a par un entier 𝑏 ( 𝑏 ≠ 0 ) est
l’opération qui permet de calculer le quotient entier q et le reste r tels que
:
𝒂 = 𝒃𝒒 + 𝒓
●
𝒂 est appelé le
avec
𝟎 ≤ 𝒓 < 𝒃
Vocabulaire :
; 𝒃 est le
; 𝒒 est le
et 𝒓 est le
.
EXEMPLE :
Attention : sur les TI et certaines calculatrices CASIO, la touche
est remplacée par
⇨ Donner le quotient et le reste de la division euclidienne de 1 253 et de 72.
𝑄 = ………
𝑒𝑡
𝑅 = ………
EXERCICE :
Un fermier ramasse 257 œufs qu’il veut répartir dans des boîtes pouvant en contenir 12. Combien de boîtes
pourra-t-il réaliser ? Combien d’œufs lui restera-t-il ?
On peut répondre à ce problème en utilisant la calculatrice ou un tableur.
On saisit en C2 la formule permettant
d’obtenir le quotient de la division
euclidienne de 257 par 12
On saisit en D2 la formule permettant
d’obtenir le reste de la division
euclidienne de 257 par 12
1
Il pourra donc faire 21 boîtes de
et il lui en restera
.
II)
œufs,
MULTIPLES ET DIVISEURS
1) Vocabulaire
•
DEFINITION : On considère deux nombres entiers positifs 𝑎 et 𝑏, avec 𝑏 non nul. Lorsque la division
euclidienne de 𝒂 par 𝒃 donne 𝟎, on dit que 𝑏 est un DIVISEUR de 𝑎.
On dit aussi que 𝑏 DIVISE 𝑎 ou que 𝑎 est un MULTIPLE de 𝑏.
•
EXEMPLE
Pour montrer que 9 657 est un multiple de 37 on doit écrire la division euclidienne de 9 657 par 37.
D’où la division euclidienne de 9 657 par 37 :
9 657 = 37 × 261 + 0
Comme le reste est nul, on peut affirmer que 9 657 est un
multiple de 37 (ou bien 37 est un diviseur de 9 657)
•
PROPRIETES
Soient 𝑎 et 𝑏 deux nombres relatifs, avec 𝑏 non nul.
→
Si 𝑏 est un diviseur de 𝑎, alors il existe un nombre entier 𝑛 non nul tel que 𝑎 = 𝑏 × 𝑛.
→
S’il existe un nombre entier 𝑛 non nul tel que 𝑎 = 𝑏 × 𝑛 alors 𝑏 est un diviseur de 𝑎.
EXEMPLES
⇒ 6 est un diviseur de 72 car 6 × 12 = 72
⇒ 72 = 8 × 9 donc 8 et 9 sont aussi des diviseurs de 72
• CAS PARTICULIERS
→ 1 est un diviseur de tous les nombres.
→ Tout nombre entier non nul est un diviseur de 0.
→ Tout nombre entier non nul est un diviseur de lui-même.
2) Critères de divisibilité
•
DEFINITION : un critère de divisibilité est une propriété qui permet d’éviter de poser la division
euclidienne pour savoir si un nombre est divisible par un autre.
2
•
DIFFERENTS CRITERES
→
Un nombre est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0 ; 2 ; 4 ; 6 ou 8
.
→
Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3 .
→
Un nombre est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5
.
→
Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9 .
→
Un nombre est divisible par 10 si son chiffre des unités est 0
.
→
On considère un nombre comportant deux chiffres ou plus. Ce nombre est divisible
par 4 si le nombre composé de ses deux derniers chiffres est un multiple de 4.
EXEMPLES
⇒
⇒
La somme des chiffres de 13 488 est 24 (1 + 3 + 4 + 8 + 8 = 24). Or 24 est un
multiple de 3 mais pas de 9. Par conséquent, il en est de même pour 13 488.
De plus, 88 est un multiple de 4 (4 × 22 = 88).
21 048 est un multiple de 4 car le nombre 48 l’est.
EXERCICES
Déterminer si 426 est divisible par 2, par 3, par 4, par 5, par 9, par 10.
→
→
.
.
→
.
→
.
III)
NOMBRES PREMIERS
Les nombres premiers ont un rôle fondamental en arithmétique. L’étude des propriétés des nombres entiers
naturels impose souvent la décomposition en facteurs premiers.
Les nombres premiers ont aussi un rôle prépondérant en cryptographie. Autant la multiplication de deux
nombres entiers, même très grands, n’est pas compliquée (avec un ordinateur, le calcul est
immédiat…), autant l’opération inverse, c’est-à-dire l’identification des facteurs dans un produit est
difficile, même avec les calculateurs les plus rapides.
En 1977, Martin Gardner posa la question aux lecteurs de « Pour la Science », dans sa rubrique
« Jeux Mathématiques », de la décomposition en facteurs premiers d’un très grand nombre (129
chiffres). Une réponse ne fut donnée que 16 ans plus tard, grâce au travail collaboratif de
quelques 600 ordinateurs…
•
DEFINITION : Un nombre premier est un nombre entier positif qui admet exactement deux
diviseurs : 1 et lui-même.
3
•
REMARQUES :
⇒
2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 et 19 sont les nombres premiers inférieurs à 20.
⇒
0 n’est un nombre premier car il admet une infinité de diviseurs.
⇒
1 n’est pas un nombre premier car il n’admet qu’un seul diviseur.
•
PROPRIETE
Tout nombre entier supérieur ou égal à 2 se décompose de manière unique en un produit de
facteurs premiers.
EXEMPLES
→
→
•
La décomposition de 24 en produit de facteurs premiers est : 2 × 2 × 2 × 3 = 23 × 3.
Par contre, 2 × 3 × 6 n’est pas une décomposition en produit de facteurs premiers de
36 car 6 n’est pas un nombre premier.
REMARQUE
La décomposition en produit de facteurs premiers permet de simplifier et de rendre irréductible une
fraction.
EXEMPLE
⇒
Les décompositions en facteurs premiers de 180 et 54 sont :
180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 et 54 = 2 × 3 × 3 × 3
Donc
⇒
−180 −2 × 2 × 3 × 3 × 5 −2 × 5 −10
=
=
=
54
2×3×3×3
3
3
(forme irréductible).
Décomposer le nombre 120 en produit de facteurs premiers :
→ Il faut connaitre quelques nombres premiers pour réaliser la décomposition :
2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 …
• 120 est divisible par 2 (car 120 est pair). La division de 120 par 2 donne
un quotient de 60. On recommence alors avec 60, puis 30.
• 15 n’est pas divisible par 2 mais par 3. On obtient alors 5 qui est un
nombre premier.
• 1 n’étant divisible par aucun nombre premier, on a alors terminé.
La décomposition en facteurs premiers de 120 est donc :
120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 23 × 3 × 5
4
𝒑𝟐
EXERCICES DIVERS
1) Effectuer les divisions euclidiennes suivantes : 354 par 16
et
6 384 par 84.
2) 851 = 19 × 43 + 34. Sans effectuer de division, donner le quotient et le reste de la division
euclidienne de 851 par 43, puis ceux de la division euclidienne de 851 par 19.
3) Trouver toutes les possibilités pour le chiffre manquant #, sachant que 3 et 4 divisent le nombre
2 0#4.
4) Etablir la liste des diviseurs des entiers suivants : 60 ; 43 ; 36.
5) Les nombres suivants sont-ils premiers ? 23 ; 79 ; 91.
6) Décomposer 276 et 161 en produit de facteurs premiers.
7) Rendre les fractions
48
60
et
276
161
irréductibles.
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