Algèbres semi-simples et théorème de Wedderburn

CHAPITRE 1. ALGÈBRES SEMI-SIMPLES ET THÉORÈME DE WEDDERBURN1
Chapitre 1
Algèbres semi-simples et
théorème de Wedderburn
1.1 semi-simplicité
Dénition 1.1.1. Soit R un anneau (unitaire) et 0 6=R M R-module.
1. 0 6=R M est simple si les seuls sous-modules de M sont {0} et M .
2. R M est semi simple si tout R-sous module N de M est un sommant
direct, i.e. s'il existe R N 0 tel que N ⊕ N 0 = M .
Exercices 1.1.2. 1. Montrer qu'un sous module d'un module semi simple
est semi simple.
2. Montrer qu'un module quotient d'un module semi simple est semi simple.
3. Trouver tous les Z-modules semi simples.
Lemma 1.1.3. Tout sous module non nul d'un module semi-simple contient
un sous module simple.
Démonstration. Soit 0 6=R N < M et M semi-simple. Soit n ∈ N \ {0} et
Rn ∼
= R/L où L = annR n est un idéal à gauche. Soit I un idéal à gauche
maximal contenant L (lemme de Zorn). Alors I/L est un sous-module maximal
de R/L. L'isomorphisme R/L ∼
= Rn applique I/L sur In qui est donc un
sous module maximal de Rn. Puisque M est semi-simple M = In ⊕ P pour
un certain sous-module P . Tout élément x ∈ Rn s'écrit x = αn + x0 où
α ∈ I, x0 ∈ P et x0 = x − αn ∈ Rn ∩ P . On a donc
Rn = In ⊕ (P ∩ Rn) .
Puisque In est un sous module maximal de Rn, il est clair que P ∩ Rn est un
module simple; c'est donc un sous module simple de N .
CHAPITRE 1. ALGÈBRES SEMI-SIMPLES ET THÉORÈME DE WEDDERBURN2
Lemma 1.1.4. Soit M =
P
i∈I Mi une somme non nécessairement directe de
sous modules simples. Alors il existe un sous ensemble J ⊆ I tel que M =
⊕j∈J Mj .
P
Démonstration. On considère F := {E ⊆ I | i∈E Mi est une somme directe }.
Bien sur pour tout i ∈ I,{i} ∈ F . En particulier, F 6= ∅. On montre que F
est un inductif : Soit (Iλ )λ∈Λ une chaîne dans F . Montrons
que J = ∪λ∈Λ Iλ
P
est aussi un élément de F : si j0 ∈ J et x ∈ Mj0 ∩ i∈J\{j0 } Mi , alors x =
xi1 + xi2 + ... + xil ∈ Mj0 où ij P
∈ J \ {j0 } et xij ∈ Mij . Il existe µ ∈ Λ tel que
{j0 ,i1 , . . . ,il } ⊆ Iµ . Mais alors s∈Iµ Ms est une somme directe donc x = 0.
P
On conclut que la somme j∈J Mj est directe et donc
P que J ∈ F . Le lemme
de Zorn montre qu'il existe K ⊆ I maximal telPque k∈K Mk est directe. Montrons P
maintenant que pour tout i ∈ I, Mi ⊆ k∈K Mk ; Mi étant simple on a
Mi ∩ k∈K Mk est soit le module nul soit égal à Mi . Mais la première
possibiP
lité contredit la maximalité
P de K ... On doit donc
P avoir Mi ∩ k∈K Mk = Mi
ce qui montre que Mi ⊆ j∈J Mj . Ainsi M = j∈J Mj = Mi ⊕j∈J Mj
Theorem 1.1.5. Soit R M un R-module à gauche. Les aramtions suivantes
sont équivalentes :
1. M est semi-simple.
2. M est la somme d'une famille de sous modules simples.
3. M est la somme directe d'une famille de sous modules simples.
Démonstration. 1) ⇒ 2) Soit M1 la somme des sous modules simples de M ,
M = M1 ⊕ M2 . Si M2 6= 0, le lemme 1.1.3 montre M2 contient un sous module
simple ce qui contredit la dénition de M1 .
2) ⇒ 3) c'est une conséquence imméditate du lemme 1.1.4.
3) ⇒ 1) Supposons M = ⊕i∈I Mi , Mi simple et soit N < M (N 6= M ). On
considère F := {J ⊆ I | ⊕j∈J Mj ∩ N = 0}.
On aura besoin du résultat suivant, connu sous le nom de lemme de Schur :
Proposition 1.1.6. Si R M est un R-module simple, EndR (M ) est un corps.
Démonstration. Il sut de noter que tout le noyau d'un endomorphisme non
nul est un sous module propre de M , puisque M est simple on doit donc
avoir un noyau nul. De même puisque l'image d'un endomorphisme non nul
est un sous module non nul, on conclut que tout endomorphisme doit être
surjectif.
1.2 Théorème de Wedderburn
On a besoin de quelques résultats relatifs aux homomorphismes entre somme
directes de modules. Si R est un anneau, n ∈ N et M est un R-module, on
CHAPITRE 1. ALGÈBRES SEMI-SIMPLES ET THÉORÈME DE WEDDERBURN3
note M (n) le module M ⊕ M ⊕ · · · ⊕ M où gure n facteurs M .
Lemma 1.2.1. Soit R un anneau et M,M1 ,M2 , . . . ,Mn des R-modules à droite.
1.
EndR (M (n) ) ∼
= Mn (EndR (M )) .
2. Si pour i 6= j, HomR (Mi ,Mj ) = 0, alors
n
n
M
Y
∼
EndR (
Mi ) =
EndR (Mi ) .
i=1
i=1
Les isomorphismes étant des isomorphismes d'anneaux.
Voici maintenant un résultat fondamental,classique et très facile à démontrer.
Lemma 1.2.2. (Lemme de Schur)
Soient M1 et M2 des R-modules à gauche simples.
1. Si M := M1 = M2 , alors EndR (M ) est un corps.
2. Si M1 M2 , alors HomR (M1 ,M2 ) = 0.
Démonstration. Pour la preuve il sut de se rappeler le fait que le noyau et
l'image d'un morphisme sont des sous-modules et les seuls sous modules d'un
module simple...
φ
Remarque Si M2 ∼
= M1 , alors HomR (M1 ,M2 ) est aussi un corps pour le
produit déni par f.g := f ◦ φ ◦ g ...(exercice).
Theorem 1.2.3. (théorème d'Artin Wedderburn)
Soit R un anneau, les assertions suivantes sont équivalentes :
1. R R est semi-simple.
2. Tout R-module simple à gauche est semi-simple.
3. Tout idéal à gauche de R est une facteur direct de R.
Qs
4. R ∼
= i=1 Mni (Ki ), où les Ki sont des corps (éventuellemnt non commutatifs) et l'isomorphisme est un isomorphise d'anneaux.
Démonstration.
1.3 Théorème de Maschke
Soit k un corps commutatif et G un groupe. On considère les applications
de G à coecients dans k à support ni : kG := {f : Glongrightarrowk | |{x ∈
G|f (x) 6= 0}| < ∞}. L'addition et la multipliaction étant dénie via ces
mêmes
Popérations sur k . Si f ∈ kG
P on écrit généralement f sous la forme
f =
g∈supp(f ) f (g)g , i.e. kG = {
f inie αx x}. l'addition de deux éléments
CHAPITRE 1. ALGÈBRES SEMI-SIMPLES ET THÉORÈME DE WEDDERBURN4
P
P
f =
αx x g =
βy y de kG écrits sous cette forme se fait alors en sommant les coecients correspondant à sup(f )∪sup(g) la multiplication se fait de
la manière suivante (vérier qu'elle correspond bien à la multiplication ponctuelle des fonctions )
X
X X
f.g =
αx βy xy =
(
αx βy )z
x∈supp(f ),y∈supp(g))
z
(x,y)|xy=z
On vérie que kG est une algèbre appelée algèbre du groupe G sur le
corps k . Cette algèbre est intimement liée aux représentations du groupe G.
Le théorème suivant montre qu'elle estt très souvent semisimple, sa structure
sera donc donnée par le théorème d'Artin-Wedderburn.
Theorem 1.3.1. (théorème de Maschke).
Soit G ungroupe ni et k un corps commutatif. kG est semisimple si et
seulement si chark ne divise pas |G|.
CHAPITRE 2. REPRÉSENTATIONS DES GROUPES FINIS
5
Chapitre 2
Représentations des groupes nis
2.1 Dénitions et premiers exemples
Dénitions 2.1.1.
1. Soit V un k -espace vectoriel de dimension nie. Une
représentation linéaire d'un groupe G dans V est la donnée d'un morphisme de groupes :
ρ : G −→ GL(V ) .
2. dimV est appelé le degré de la représentation.
3. Si on xe une base B de l'espace vectoriel V de dimension n, on obtient
une représentation matricielle de G dans GLn (k) plus explicitement : si
ρ : G −→ GL(V ) est une représentation de G, l'application µ : G −→
GLn (k) : g 7→ MB (ρ(g)) est la représentation matricielle associée.
4. Une représentation sur un espace vectoriel est dite dèle si l' application
ρ ci-dessus est injective. On dit aussi que G agit dèlement sur V .
Remarques 2.1.2. La donnée d'une représentation d'un groupe G correspond
à la donnée d'une action du groupe G sur V : il sut de noter g.v = ρ(g)(v).
On dit aussi que V est un G-module (voir plus loin pour une explication de
cette dénomination). On étudiera uniquement les représentations des groupes
nis. On considèrera généralement des représentations sur des C-vectoriels de
dimension nies (i.e. k = C, dans la dénition ci-dessus).
Exemples 2.1.3. 1. La représentaion triviale d'un groupe G sur un vectoriel V est celle qui correspond à l'application triviale :
ρ : G −→ Gl(V ) : g 7→ IdV .
Cette représentation n'est évidemment pas dèle.
2. La représentation régulière reg d'un groupe ni G : on considère le Cvectoriel V = ⊕g∈G Ceg . L'ensemble {eg | g ∈ G} est une bas de V . Si
CHAPITRE 2. REPRÉSENTATIONS DES GROUPES FINIS
6
g ∈ G, la multiplication par g à gauche dénit une permutation sur les
éléments de G et reg(g) ∈ GLC (V ) est déni par reg(g)(eh ) := egh pour
h ∈ G. C'est une représentation dèle de degré |G|.
3. La représentation du groupe S3 via les idométries d'un triangle équilatérale : On dessine un triangle équlatéral et on xe un repère tel que
les coordonnées
des sommets
A,B,C de ce triangle soient respectivement
√
√
(0,1),(− 3/2, − 1/2),( 3/2, − 1/2). On fait correspondre à la permutation (1,2) la symétrie qui xe A, et à la permutation (1,2,3) la rotation
qui applique A sur B . Puisque les permuations (1,2) et (1,2,3) engendrent
S3 on en déduit une représentation ρ de S3 caractérisée par :
√ ¶
µ
¶
µ
−1 0
−1/2
−
3/2
ρ((1,2)) =
ρ((1,2,3)) = √
0 1
3/2 −1/2
Cette représentation est dèle et de degré 2.
2.2 Représentations équivalentes, représentations
irréductibles
Dénition 2.2.1.
a) Deux représentations ρ : G −→ GL(V ) ,µ : G −→
GL(W ) d'un même groupe G sont dites équivalentes s'il existe un isomorphisme φ : V −→ W tel que :
∀g ∈ G µ(g) ◦ φ = φ ◦ ρ(g)
b) Une représentation ρ : G −→ GL(v) est dite irréductible si les seuls
sous-spaces de V qui sont stables pour toutes les actions ρ(g) où g ∈ G
sont les sous espaces {0} et V lui-même.
c) Soient ρ : G −→ GL(V ) ,µ : G −→ GL(W ) deux représentations d'un
même groupe G. On peut alors dénir
1) la somme de ces deux représentations ρ ⊕ µ : G −→ GL(V ⊕ W )
via (ρ ⊕ µ)(g)(v,w) = (ρ(g)(v),µ(g)(w)).
2) Le produit de ces deux représentations ρ ⊗ µ : G −→ GL(V ⊗ W )
via (ρ ⊗ µ)(g)(v ⊗ w) = ρ(g)(v) ⊗ µ(g)(w)).
Exercices 2.2.2. Examiner la signication des dénitions a) et c) ci-dessus
pour les représentations matricielles associées. Préciser les degrés des représentations somme et produit.
Proposition 2.2.3. Soient V un C-vectoriel de dimension nie et G un groupe
ni. On pose R := CG.
a) ρ : G −→ GL(VP
) est une représentation
si et seulement si l'application
P
R × V −→ V : g∈G αg g 7→ g∈G αg ρ(g)(v) muni V d'une structure de
R = CG-module.
CHAPITRE 2. REPRÉSENTATIONS DES GROUPES FINIS
7
b) Deux représentations sont équivalentes si et seulement si les CG-modules
qui leur correspond sont isomorphes.
c) Une représentation ρ : G −→ GL(V ) est irréductible si et seulement si
kG V est simple.
d) Toute représentation est somme directe de représentations irréductibles.
e) Les R-modules simples à gauche sont isomorphes aux idéaux à gauche
minimaux de R.
f ) Le nombre de représentations irréductibles non équivalentes est borné par
|G|.
g) Les représentations irréductibles d'un groupe abélien ni sont toutes de
dimension 1.
h) Soient ρ : G −→ GL(V ) une représentation et g ∈ G alors ρ(g) est
diagonalisable. Plus précisément si g est d'ordre r, il existe une base B
de V telle que [ρ(g)]B = diag(ω1 , . . . ,ωn ) où les ωi sont des racines rime
de 1.
Démonstration. a) Ceci est laissé au lecteur.
b) La relation donnée ci dessus dans la dénition de l'équivalence de deux
représentations est en réalité exactemlent la relation qui permet de conclure
que φ est un morphisme de CG-module.
c) Il sut de constater que les kG-sous modules de V correspondent aux sous
espaces vectoriels de V qui sont stables par toutes les applications ρ(g), g ∈ G.
d) Ceci est du au fait que CG est un anneau semisimple et donc que tout
CG-module est semisimple et et donc tout CG-module est somme directe de
CG modules simples.
e) Soit V un R = CG-module simple à gauche. On a V ∼
= R/M où M est un
idéal à gauche maximal de R. Puisque R est semisimple il existe I un idéal à
gauche de R tel que R = M ⊕ I et on a V ∼
= I . Puisque M est maximal, I est
minimal.
f) Les idéaux minimaux de R se coupent trivialement et sont de dimension au
moins un comme C-vectoriel. Puisque la dimension de R en tant que C est
égale à |G|, on peut conclure.
g) Si G est abélien et ρG −→ GL(V ) une représentation irréductible de G.
Alors V est isomorphe à un idéal à gauche minimal de R = CG. Puisque
G est abélien, R est commutatif et Le théorème d'Artin-Wedderburn montre
que R est une produit de corps commutatif tous isomorphes à C (car C est
algébriquement clos). Les idéaux minimaux de R = CG sont donc de dimension
1...
h) Soit g ∈ G. On doit montrer que ρ(g) est diagonalisable. Soit H le sous
groupe de G engendré par g . H est un groupe cyclique, donc commutatif et
ρ/H est une représentation de H . D'après ce qui précède, CH V est isomorphe
en tant que CH -module à une somme directe de modules de dimension 1. On
CHAPITRE 2. REPRÉSENTATIONS DES GROUPES FINIS
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a donc en tant que CH -module à gauche V = V1 ⊕ · · · ⊕ Vl où les Vi sont de
dimension 1. Si B = {v1 , . . . ,vl } est une base adaptée à cette décomposition,
on constate que les éléments de B sont des vecteurs propres de ρ(g). En outre
si g est d'ordre r et ρ(g)(vi ) = αi vi alors, αir = 1.
2.3 Caractères, caractères irréductibles
Dénition 2.3.1. Si ρ : G −→ GL(V ) est une représentation du groupe G,
on appelle caractère de ρ l'application χρ : G −→ C : g 7→ T r(ρ(g)), où T r
dénote la trace (On rappelle que V est un C-vectoriel de dimension nie).
Voici quelques premières propriétés des caractères :
Proposition 2.3.2. Soit G un groupe ni de cardinal n et ρ : G −→ GL(V )
une représentation de G. (dimension de C V est nie) et χ : G −→ C un
caractère.
1. χ est indépendant de la base de V utilsée pour calculer les traces des ρ(g),
g ∈ G.
2. χ(1) = dimC V .
3. χ(g) est une somme de racines nime de l'unité.
4. χ(g −1 ) = χ(g) pour tout g ∈ G.
5. χ(ghg −1 ) = χ(h).
Démonstration. Cette proposition est maintenant facile. Démontrons simplement le point 4). Soit g ∈ G, On note B une base de V telle que ρ(g) est
diagonal, soit ρ(g) = diag(λ1 , . . . ,λn ) où les λi sont des racines nime de l'unité.
On a alors χρ (g −1 ) = tr(ρ(g −1 )) = tr((ρ(g))−1 ) = tr(diag(λ1 , . . . ,λn )−1 ) =
−1
−1
tr(diag(λ−1
1 , . . . ,λn )). Puisque les λi sont des racines de l'unité on a λi = λi
et on conclut alors facilement.
Exercice
Si pour i = 1,2 , ρi : G −→ GL(Vi ) sont deux représentations d'un même
groupe ni G et f : V1 −→ V2 est un C-linéaire, montrer que f est un morphisme de CG-modules si et seulement si
∀g ∈ G f ◦ ρ1 (g) = ρ2 (g) ◦ f.
Lemma 2.3.3. Soient ρi : G −→ GL(Vi ), i = 1,2 deux représentations ir-
réductibles d'un même groupe ni G et f : V1 −→ V2 un morphisme de CGmodules. Alors
a) Si ρ1 n'est pas équivalente à ρ2 alors f = 0.
b) Si V1 = V2 et ρ1 = ρ2 alors f est une multiplication par un scalaire.
CHAPITRE 2. REPRÉSENTATIONS DES GROUPES FINIS
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Démonstration. a) Ceci est clair si on se souvient que V1 et V2 sont des CGmodules simples.
b) Si λ est une valeur propre de f (C est algébriquement clos), alors f − λid
est un CG-morphisme qui n'est pas injectif. On doit donc avoir f − λid = 0
i.e. f = λid.
Corollary 2.3.4. Soient ρi : G −→ GL(Vi ), i = 1,2 deux représentations
irréductibles d'un même groupe ni G et h : V1 −→ V2 une application Clinéraire. On pose
X
h◦ := |G|−1
ρ2 (t)−1 ◦ h ◦ ρ1 (t)
t∈G
Alors
a) h◦ est un morphisme de CG-modules.
b) ρ1 ρ2 ⇒ h◦ = 0.
c) Si ρ1 = ρ2 et V1 = V2 alors h◦ = n−1 T r(h)id., où n = DimV1 .
Démonstration.
On interprête maintenant le corollaire ci-dessus sous forme matricielle: Supposons ρ1 (t) = ri1 j1 (t) et ρ2 (t) = ri2 j2 (t) l'application h étant elle donnée par
une matrice (xi2 j1 ) et h◦ déni par (x◦ i2 j2 mmm). On a par dénition de h◦ :
X
x0i2 j1 = |G|−1
ri2 j2 (g −1 )xj2 j1 rj2 i1 (g) .
g,j1 ,j2
On distingue alors deux cas comme dans les lemmes qui precedent.
A) Dans le premier cas, le membre de droite s'annule pour toute matrice
(xj2 i1 ). Ses coecients sont donc nuls , on en déduit
X
∀i1 ,i2 ,j1 ,j2
ri2 j2 (g −1 )rj2 i1 (g) = 0 .
g∈G
P
B) Dans le deuxième cas on a h◦ = n−1 T r(h)id. = n−1 δj2 j1 xj2 j1 et on
en déduit
X
X
|G|−1
ri2 j2 (g −1 )xj2 j1 rj1 i1 (g) = n−1
δi2 i1 δj2 j1 xj2 j1 .
g,j1 ,j2
j1 ,j2
En égalant les coecients des xj2 j1 on obtient
|G|−1
X
g
(
ri2 j2 (g −1 )rj1 i1 (g) = n−1 δi2 i1 δj2 j1 =
n−1
0
si i1 = i2 et j1 = j2 ,
sinon.
CHAPITRE 2. REPRÉSENTATIONS DES GROUPES FINIS
10
Dénition 2.3.5. Soit G un groupe ni et φ,ψ deux applications de G dans
C.
a) φ est dite centrale si elle est constante sur chaque classe de conjugaison
de G.
b) on pose
X
X
(φ | ψ) = |G|−1
φ(g)ψ(g)
< φ,ψ) >= |G|−1
φ(g)ψ(g −1 ) .
g∈G
g∈G
Bien sur les caractères sont des applications centrales.
Proposition 2.3.6. Soient φ,ψ des applications de G dans C.
1. (φ | ψ) dénit un produit scalaire sur l'espace E des applications de G
dans C : il est linéaire en φ, semi-linéaire en ψ , et (φ | ψ) > 0 pour tout
φ dans E .
P
2. < φ,ψ >= |G|−1 g∈G φ(g −1 )ψ(g) .
3. Si, comme ci-dessus, on désigne par (ri1 j1 (g)) et (ri2 j2 (g)) les matrices
correspondant à deux représentations ρ1 et ρ2 on a
a) < ri2 j2 ,rj1 i1 >= 0 ∀ i1 ,i2 ,j1 ,j2 si ρ1 et ρ2 ne sont pas isomorphes.
b) < ri2 j2 ,rj1 i1 >= n−1 δi2 i1 δj2 j1 si V1 = V2 et ρ1 = ρ2 .
4. Si χ est un caractère de G , < φ , χ >= (φ | χ).
Démonstration. Elle est laissée au lecteur.
2.4 Relations d'orthogonalités et tables des caractères
Theorem 2.4.1. Soient χ,ψ deux caractères irréductibles distincts.
1. < χ,χ >= 1.
2. < χ,ψ >= 0.
Démonstration. 1) Si rij (g) estPune représentation matricielle (de degré disons
n) associée à χ, i.e. χ(g) =
rii (g). En utilisant 2.3.6 3 b) on a alors
P
P g∈G
−1
< χ,χ >= P
= 1.
ij < rii rjj >=
ij n δijP
2) Si χ(g) = g∈G ri1 i1 (g) et ψ(g) = g∈G ri2 i2 (g). En utilisant 2.3.6 3 a), on
a < χ,ψ >= 0.
CHAPITRE 2. REPRÉSENTATIONS DES GROUPES FINIS
Corollary 2.4.2. Soit V =
11
Ln
i=1 Vi la décomposition d'un CG-module en
somme directe de modules simples. Si W est un CG-module simple alors, en
désignant par χ,ψ sont les caratères associés à V et W respectivement,
| {i | Vi ∼
= W } | =< χ,ψ > .
Ce nombre est indépendant de la décomposition choisie. Deux représentations
ayant même caractère sont isomorphes.
P
P
P
Démonstration. χ =
χi donc (χ,ψ) = ( χi ,ψ) =
δVi ,W .
Soient V1 ,V2 deux CG-modules (dimC V1 < ∞ et dimC V2 < ∞) de caractères respectifs ψ1 et ψ2 . On suppose ψ1 = ψ2 alors pour tout CG-module
irréductible W de caractère χ on a < ψ1 ,χ >=< ψ2 ,χ > et donc le nombre de
fois où W apprait dans la décomposition de V1 en somme directe de modules
simples est le même que le nombre de fois où W apparait dans la décomposition
de V2 . On en déduit V1 ∼
= V2 .
On sait que tout CG-module est somme directe de sous-modules simples.
On en déduit que tout caractère est somme directe de caractère irréductibles.
P
Corollary 2.4.3. Soit χ un caractère et χ = ni χi la décomposition de χ en
caractères irréductibles. Alors
P 2
1. (χ,χ) =
ni .
2. (χ,χ) = 1 si et seulement si χ est irréductible.
Démonstration. C'est clair.
Soit G = C1 ∪ C2 ∪ · · · ∪ Cr la décomposition d'un groupe ni G en classe
de conjugaison. On pose C1 = {1G } et, pour i = 1, . . . ,r, soit ei l'élément de
CG égal à la somme des éléments de la classe Ci . Avec ces notations on a
Lemma 2.4.4. Les éléments e1 , . . . ,er forment une base du centre de CG sur
C.
1, . . . ,r, l' élément ei
Démonstration. Il est facile de constater que, pour i = P
est central dans CG. D'autre part si un élément a =
g∈G αg g appartient
au centre, alors pour tout h ∈ G, hah−1 = a, on en conclut que, pour tout
h ∈ G, αg = αhgh−1 . Autrement dit les coecients de a qui correspondent à
des élément d'une même classe de conjugaison sont tous égaux. On en conclut
aisément que a est une combinaison linéaire des e1 , . . . ,er .
Remarquons que l'espace des fonctions centrales de G dans C, noté C , est
un C-vectoriel de dimension r (r désigne comme ci-dessus le nombre de classes
de conjugaison). En eet si G = C1 ∪ C2 ∪ · · · ∪ Cr est la décomposition de G
CHAPITRE 2. REPRÉSENTATIONS DES GROUPES FINIS
12
en classes de conjugaison, les applications f1 , . . . ,fr dénies par fi (g) = 0 si
g∈
/ Ci et fi (g) = 1 si g ∈ Ci forment une base de C sur C.
Proposition 2.4.5. Le nombre de caractères irréductibles distincts du groupe
G est égal au nombre de classes de conjugaison. Les caractères irréductibles
forment une base othonormale de l'espace C des fonctions centrales, muni du
produit scalaire introduit ci-dessus.
Démonstration. Le théorème d'Artin Wedderburn montre que CG ∼
= Mn1 (C)×
· · ·×Mns (C) et les CG-modules simples à gauche étant isomorphes à des idéaux
minimaux à gauche, on constate que le nombre de modules simples à gauche
est, à isomorphisme près, égale à s. Puisque les classes d'isomorphismes de
modules simples à gauche correspndent aux caractères irréductibles, on conclut
que le nombre de caractères irréductibles
distincts est égal à s. En outre s est
Q
aussi la dimension du centre de si=1 Mni (C). On conclut que s = r, c'est à
dire que le nombre de caractères irréductibles est égal au nombre de classes e
conjugaison de G. Le reste est clair.
Soit G = C1 ∪ . . . Cs la décomposition de G en classe de conjugaison et
gi ∈ Ci des représentants de ces classes. Soit aussi χ1 , . . . ,χs les diérents
caractères irréductibles de G. La table des caractères de G est un tableau
G
χ1
χ2
...
χs
g1 = 1G
1
n2
...
ns
g2
1
χ2 (g2 )
...
χs (g2 )
...
1
...
...
...
gs
1
χ2 (gs )
...
χs (gs )
χ1 est le caractère de la représentation triviale. χi (1) = ni est le degré
du caractère (= degré d'une représentation associée). La proposition suivante
indique des relations entre les lignes et entre les colonnes de ce tableau.
Proposition 2.4.6. Avec les notations introduites ci-dessus on a
a) ∀l,m ∈ {1, . . . ,s}
b) ∀l,m ∈ {1, . . . ,s}
les colonnes).
Ps
i=1
Ps
i=1
χl (gi )χm (gi )
| CG (gi ) |
= δlm (Orthogonalité sur les lignes).
χi (gl )χi (gm ) = δlm | CG (gl ) | (Orthogonalité sur
CHAPITRE 2. REPRÉSENTATIONS DES GROUPES FINIS
13
Démonstration. a)
δlm = < χl ,χm >= |G|−1
X
χl (g)χm (g)
g∈G
= |G|
−1
= |G|−1
s
X
X
(
χl (g)χm (g))
i=1 g∈Ci
s
X
|Ci |χl (gi )χm (gi )
i=1
s
X
=
(|CG (gi )|)−1 χl (gi )χm (gi )
i=1
b) Pour 1 ≤ l ≤ s on note ψl la fonction caractéristique de Cl . On a
donc ψl (gi ) = δil . Puisque ψl est une fonction dePclasse, elle s'écrit comme
combinaison linéaire de χ1 , . . . ,χs . Soit donc ψl = sj=1 λj χj et on a :
λi = < ψl ,χi >= |G|−1
X
ψl (g)χi (g)
g∈G
= |G|−1
X
χi (g)
(or |Cl | =
g∈Cl
|G|
)
|CG (gl )|
= |CG (gl )|−1 χi (gl )
On en déduit δlm = ψl (gm ) =
Ps
i=1
λi χi (gm ) =
Ps
i=1
χi (gm )χi (gl )
.
|CG (gl )|
Dénition 2.4.7. Soit G un groupe ni. La représentation ρreg : G −→
GL(CG) : g 7→ Lg où Lg : CG −→ CG : x 7→ gx est appelée la représentation régulière de G.
Exercice : montrer que ρreg est eectivement une représentation de G.
Proposition 2.4.8.
1. χreg (1G ) = |G| et χreg (g) = 0 si g 6= 1G .
2. La multiplicité d'une représentation irréductible π dans la représentation
régulière ρreg est égale au dehré de π .
3. Les degrés
Psd1 , . .2 . ,ds des diérentes représentations irréductibles de G
vérient i=1 di = |G|.
Démonstration. 1) Ceci est laissé en exercice. P
2) Il sut de calculer < χreg ,χπ >= |G|−1 g∈G χreg (g)χπ (g). En utilisant
le point 1) ci-dessus on on conclut < χreg ,χπ >= degπ
Ps.
3) Le point
i=1 di χi et donc |G| =
Ps 2)2 ci-dessus montre que χreg =
χreg (1G ) = i=1 (di ).
CHAPITRE 2. REPRÉSENTATIONS DES GROUPES FINIS
14
Exercice : Utiliser la proposition ci-dessus pour redémontrer qu'un groupe
G est abélien si et seulement si les représentations irreductibles de G sont
toutes de degré 1.
Dénition 2.4.9. Soit A un sous anneau d'un anneau commutatif R. Un élément x ∈ R est entier sur A s'il est racine d'un polynême unitaire à coecients
dans A. Si x est un nombre réel ou complexe qui est entier sur Z on dira que
est un antier algébrique.
Exemples : Tout entier d ∈ Z est entier algébrique ; toute racine nieme de
l'unité dans C est un entier algébrique.
Proposition 2.4.10. Soit A un sous anneau d'un anneau commutatif R, et
x ∈ R. Les conditions suivantes sont équivalentes :
1. x est entier sur A.
2. Le A-module A[x] est niment engendré.
3. x appartient à un sous anneau B tel que A ⊆ B et B est niment engendré comme A-module.
Démonstration. (i) =⇒ (ii). Si x est une racine d'un polynôme unitaire à
copecients dans A de degré n, alors xn et toutes les puissances supériures de
x peuvent être exprimées omme combinaison linéaire (à coecients dans A)
des éléments 1,x,x2 , . . . ,xn−1 . Donc {1,x,x2 ,,...,xn−1 } engendre A[x] sur A.
(ii) =⇒ (iii). Prendre B = A[x].
(iii) =⇒ (i). Si a1 , . . . ,a
Pn , engendre B sur A, alors xai est une combinaison
linéaire des aj , soit xai = nj=1 cij aj . Donc si a est un vecteur colonne dont les
composantes sont les ai , I est la matrice idenité de taille n × n et C = (cij ) ∈
Mn (A), alors (xI − C)a = 0, et si on premultiplie par la matrice adjointe de
xI − C , on obtient det(xI − C)Ia = 0, donc det(xI − C)b = 0 pour tout b ∈ B .
En particulier pour b = 1 on obtient det(XI − C) = 0 i.e. x est une racine du
polynôme det(XI − C) qui unitaire à coecients dans A.
Corollary 2.4.11. Soient A ⊆ B des anneaux commutatifs. Les éléments de
B qui sont entiers algébriques sur A forment un sous-anneau de B .
Exercices
1) Montrer que les seuls rationnels qui sont entiers algébriques sur Z sont
les éléments de Z eux-mêmes.
2) Soit χ : G −→ C un caractère montrer que, pour tout g ∈ G, χ(g) est
un entier algébrique.
Proposition 2.4.12. Soit u =
P
u(g)g ∈ Z(CG) un élément central de CG.
1. La fonction G −→ C : g 7→ u(g) est centrale
2. Si tous les u(g) sont des entiers algébriques alors l'élment u de l'anneau
commutatif Z(CG) est entier algébrique.
g
CHAPITRE 2. REPRÉSENTATIONS DES GROUPES FINIS
15
Démonstration. 1) est laissé au lecteur.
2) Soit G = C1 ∪ . . . Cs la décomposition de G en classe de conjugaison et ci
des représentant
des diérentes classe de conjugaison. Posons, pour i = 1, . . . ,s,
P
ei = g∈Ci g . Les élémentsPei forment une base du centre de CG sur mathbbC .
On peut donc écrire u = si=1 u(ci )ei . Les entiers de Z(CG) forment un sous
anneau et les u(ci ) étant entiers par hypothèse, il sut de montrer que les ei
sont entiers. En fait R = Ze1 ⊕ · · · ⊕ Zes est un sous-anneau du centre de CG
qui est de type ni, tous ses éléments sont donc entiers sur Z.
P Soit ρ : G −→ GL(V ) une représentation irréductible de degré n. Si u =
Pg u(g)g ∈ Z(ZG) un élément central. On dénit ρu : V −→ V via ρu =
g∈G u(g)χρ (g) ∈ C. La représentation ρ étant irréductible le lemme de Schur
implique que ρu est une homothétie de rapport
X
|G|
1/n
u(g)χρ (g) =
(u,χρ ) .
n
g∈G
Proposition 2.4.13. Soit ρ une représentation irréductible de G de degré n
et χρ le carctère asoocié.
a) L'application
ωρ : Z(CG) −→ C : u 7→
1X
u(g)χρ (g)
n g∈G
est un morphisme d'algèbres.
P
b) Si u = g u(g)g ∈ Z(CG) est tel que pour tout g ∈ g, u(g) est entier
algébrique alors
1X
u(g)χρ (g)
n g∈G
est un entier algébrique.
Démonstration. a) Ceci est laissé en exercice.
b) La proposition
P 2.4.12 montre que u est un entier algébrique du centre
1
de CG. Puisque n g∈G u(g)χρ (g) = ωρ (u) le a) ci-dessus permet de conclure
P
que n1 g∈G u(g)χρ (g) est aussi un entier algébrique.
Theorem 2.4.14. Les degrés des représentations irréductibles de G divisent
l'ordre de G.
Démonstration.PSoit ρ une représentation irréductible de caractère χ et de
−1
degré n. u =
g∈G χ(g )g est un élément central (car χ est une fonction
centrale, on peut donc écrire u comme combinaison des ci ...) En outre les
P
|G|
χ(g −1 ) sont entiers algébriques. Donc 1/n g∈G χ(g −1 )χ(g) = dimV
(χ,χ) =
|G|
(rappel :χ étant irréductible on a (χ,χ) = 1) est entier algébrique. Cet
dimV
|G|
élément étant rationnel, on conclut que dimV
∈ Z et donc n divise |G|.
CHAPITRE 2. REPRÉSENTATIONS DES GROUPES FINIS
16
2.5 Un critère de non simplicité dû à Burnside
et la résolubilité des groupes d'ordre paq b
Voici un petit lemme dont on laisse au lecteur la démonstration.
Lemma 2.5.1. Soit ρ : G −→ GL(V ) une représentation de caractère χ.
Alors :
a) ∀g ∈ G|χ(g)| ≤ χ(1) = dimV
b) ∀g ∈ G (|χ(g)| = χ(1) ⇔ ρ(g) = λidV pour un certain λ ∈ C).
c) Kerρ = {g ∈ G | χ(g) = χ(1)}.
Lemma 2.5.2. Soit χ un caractère irréductible du groupe G et g un élément
de G.
1. |g G | χ(g)
.
χ(1)
2. Si (|g G |,χ(1)) = 1 alors soit χ(g) = 0 soit ρ(g) = ωidV où ω est une
racine de l'unité.
Démonstration. 1) C'est une conséquence directe de la proposition 2.4.13.
2) D'après Bézout il existe l,m ∈ Z telque l|g G | + mχ(1) = 1. On en déduit
que
χ(g)
χ(g)
= l|g G |
+ mχ(1)
χ(1)
χ(1)
est un entier algébrique. Posons n = χ(1). On a χ(g) = ω1 + cdots + ωn où
ωi sont des racines lime de l'unité. omegai ∈ W := Q(e2iπ/l ). Or W est une
extension galoisienne de Q de dimension ϕ(l) On pose H := gal(W/Q) et
pour tout σ ∈ H on a σ(χ(g)) est une somme de n racines lime de 1, donc
)| ≤ 1. D'autre part σ( χ(g)
) est un entier algébrique.
|σ(χ(g))| ≤ n et |σ( χ(g)
χ(1)
χ(1)
Q
Alors NW/Q ( χ(g)
) = σ∈H σ( χ(g)
) est un nombre rationel de norme ≤ 1. C'est
χ(1)
χ(1)
donc un élément de Z il est donc égal soit à 0 soit il est de norme 1. Dans
le premier cas on conclut que χ(g) = 0 dans le second on on obtient que
|χ(g)| = n = χ(1) et le lemme ci dessus montre queρ(g) = ωidV où ω est une
racine de l'unité.
Theorem 2.5.3. Si G est un groupe simple ni alors aucune classe d conju-
gaison de G ne peut avoir un cardinal de la forme pa où p est un nombre
premeir et a > 0.
Démonstration. Supposons que le groupe ni G soit simple et que 1 6= g ∈ G
soit tel que |g G | = pa . On sait que lea représentation régulière ρreg de G se
décompose ρreg = n1 χ1 + · · · + ns χs où χ1 , . . . ,χs sont les diérents caractères
irréductibles de G et n1 , . . . ,ns sont les degrés correspondants (en particulier
CHAPITRE 2. REPRÉSENTATIONS DES GROUPES FINIS
17
P
ni = χi (1)). On a donc o = χreg (g) = si=1 ni χi (g). On peut supposer que ρ1
est le caractère trivial et donc χ1 (g) = 1, ce qui conduit à
1+
s
X
ni χi (g) = 0.
(2.5.I)
i=2
Notons ρi des représentations irréductibles associées aux χi . Comme G est
simple, quel que soit i, ρi (g) ne peut être une matrice scalaire (si ρi (g) = αI
n
alors ρ−1
i ({α I | n ∈ Z}) est un sous groupe normal de G non réduit à {1G },
ce qui contredit le fait que G est simple). Le lemme ci-dessus 2.5.2 montre
que si p ne divise pas ni alors χi (g) = 0. Les seules contributions non nulles
à la somme 2.5.I sont tels que p divise ni . D'autre part, les χi (g) sont des
entiers algébriques et la somme 2.5.I conduit donc à 1 + pb = 0 où b ∈ C est
un entier algébrique. On aurait donc b = − p1 est un entier algébrique ce qui
contredit...
Theorem 2.5.4. Soit p,q deux nombres premiers et a,b ∈ N. Alors tout groupe
d'ordre pa q b est résoluble.
2.6 Représentations induites, théorème de réciprocité de Frobenius
Soit H ⊆ G deux groupes et φune fonction de classe sur H . On étend φ en
une fonction notée φ̇ en posant :
½
φ(g) si g ∈ H
φ̇(g) =
0
si g ∈
/H
On dénit la fonction de classe induite φG sur G via
φG (g) =
1 X
φ̇(xgx−1 ).
H x∈G
D'autre part on note la restriction d'une fonction ψ de G à H par ψH . Ces
deux constructions sont reliées par la relation de réciprocité de Frobenius :
Theorem 2.6.1. Soit φ une fonction de classe dénie sur un sous groupe H
d'un groupe G et soit ψ une fonction de classe sur G. Alors
< ψ,φG >G =< ψH ,φ >H .
Démonstration.
< ψ,φG >=
1 X
1 XX
ψ(g)φ̇(xgx−1 ) =
ψ(x−1 gx)φ̇(g).
|H||G| g,x
|H||G| x g
CHAPITRE 2. REPRÉSENTATIONS DES GROUPES FINIS
18
Puisque ψ est une fonction de classe et que φ̇ s'annule sur G\H , on obtient:
< ψ,φG >=
1 XX
ψ(h)φ(h) =< ψH ,φ > .
|H||G| x h∈H
Remarque 2.6.2. Si VNest un CH -module associé à φ, on peut montrer que
G
G
le CG-module V
=V
CH
CG est associé à φ .
On notera g G la classe de conjugaison de g dans G et fgG la fonction caractéristique de la classe de conjugaison de g .
Corollary 2.6.3. Si χ est un caractère de G, alors
< χ,fgG >G =
Démonstration. < χ,fgG >G =
|G|
. 1 χ(g)
|CG (g)| |G|
=
1
|G|
P
x∈G
χ(g)
.
|CG (g)|
χ(x)fgG (x) =
1
G
P
x∈g G
χ(x) =
|g G |
χ(g)
|G|
1
χ(g).
|CG (g)|
2.7 Théorème de décomposition de Mackey
=
CHAPITRE 3. APPLICATIONS
19
Chapitre 3
APPLICATIONS
3.1 un théorème d'Hurwitz sur la composition
des formes quadratiques
3.2 représentation de la vibration moléculaire
CHAPITRE 4. ANNEXE
20
Chapitre 4
ANNEXE
Rappels
1. Ordre : relation réexive antisymétrique et transitive.
2. Ensembles partiellement ordonnés, ensembles totalement ordonnés.
3. Ensembles bien ordonnés : ensemble ordonné tel que tout sous ensemble
non vide admet un plus petit élément.
4. (E, ≤) un ensemble ordonné. Un sous ensemble S ⊆ E est un segment
inférieur de E si
∀(e,s) ∈ E × S, e ≤ s ⇒ e ∈ S .
5. Borne supérieure
6. Chaîne
On énonce ici le lemme de Zorn (LZ), le principe du bon ordre (PBO) et
l'axiome du choix (AC). On démontre que
LZ → P BO → AC
En fait ces trois enoncés sont équivalents.
AC Etant donné une famille d'ensembles non vides {Ai }i∈I , il existe une
fonction qui associe à chaque ensemble Ai un élément de Ai .
LZ Soit (A, ≤) un ensemble non vide partiellemnt ordonné : Si toute chaîne
de A admet une borne supérieure, alors A possède un élément maximal.
PBO Tout ensemble peut-être bien ordonné.
Theorem 4.0.1.
LZ ⇒ P BO ⇒ AC
CHAPITRE 4. ANNEXE
21
Démonstration. (LZ) ⇒ (P BO). Soit A un ensemble. On doit munir A d'un
bon ordre. On considère B := {B ⊆ A |B est bien ordonne}. On munit B d'un
ordre : pour X,Y ∈ B on pose X ≤ Y si X ⊆ Y et X est un segment inférieur
de Y . On va montrer que (B, ≤) satisfait les hypothèses
S du lemme de Zorn.
Soit {Xλ }λ∈Λ une chaîne dans B . On pose X := λ∈Λ Xλ et on munit X
d'un ordre : pour x,y ∈ X soit λ ∈ Λ tel que x,y ∈ Xλ . On pose alors x ≤ y ssi
x ≤λ y . Cette dénition a un sens : si µ ∈ Λ est aussi tel que x,y ∈ Xµ , alors
puisque {Xλ }λ∈Λ est une chaîne dans X , soit Xλ est un segment inférieur de
Xµ soit Xµ est un segment inférieur de Xλ et on a donc aussi dans les deux
cas x ≤µ y .
Montrons que ≤ ainsi déni sur X , est un bon ordre (ce qui montrera que
X ∈ B ):
Si ∅ 6= Y ⊂ X , soit λ ∈ Λ tel que Y ∩Xλ 6= ∅. Puisque Xλ est bien ordonné,
Y ∩ Xλ a un plus petit élément disons y . Montrons qu'en fait y est un plus
petit élément pour Y . En eet si y 0 ∈ Y ⊆ X , alors il existe µ ∈ Λ tel que
y 0 ∈ Xµ et
-soit Xλ est un segment inférieur de Xµ dans ce cas on aura y ∈ Xλ ⊂ Xµ
et y ≤ y 0 .
-soit Xµ est un segment inférieur de Xλ et alors y 0 ∈ Xµ ∩ Y ⊆ Xλ ∩ Y et
la dénition de y montre que y ≤ y 0 .
On conclut donc que tout sous ensemble de X a un plus petit élément
c'est-à-dire que X est bien ordonné. On a donc X ∈ B et chaque Xλ est
un segment initial de X . Autrement dit pour l'ordre introduit sur B , X est
une borne supérieure des Xλ . Le lemme de Zorn montre qu'il existe donc un
élément maximal disons X 0 dans B . On termine la démonstration en montrant
que X 0 = A. Si a ∈ A \ X 0 , on ordonne X 0 ∪ {a} en posant z ≤ a pour tout
z ∈ X 0 . Ceci fait de X 0 ∪ {a} un ensemble bien ordonné inclus à A et X 0 est
alors un segment inférieur de X 0 ∪ {a}. On a donc, dans B , X 0 ≤ X 0 ∪ {a}. Ce
qui contredit la maximalité de X 0 .
P BO ⇒ AC Soit {Ai }i∈I une famille d'ensembles non vides. Puisque les
Ai peuvent être bien ordonnés, il sut de " choisir " dans chaque ensemble Ai
le plus élément.
Exercice Utiliser le lemme de Zorn pour montrer que
1. Tout vectoriel sur un corps admet une base
2. Tout sous module d'un module niment engendré est inclus dans un
module maximal.