Weitere Files findest du auf www.semestra.ch/files DIE FILES DÜRFEN NUR FÜR DEN EIGENEN GEBRAUCH BENUTZT WERDEN. DAS COPYRIGHT LIEGT BEIM JEWEILIGEN AUTOR. Électricité 3. Le théorème de Gauss 3.1 Le flux électrique fluide lignes de courant / traversent une section Définition : Le flux électrique lignes de champ qui traverse une surface est : qui est perpendiculaire au θ : l’angle entre L’orientation de la surface peut être défini par un vecteur : - de module égale a - de direction perpendiculaire au plan de la surface - le sens reste ambigu choisissons pour l’instant tel que positif. uniforme : et soit le flux associé à un champ électrique uniforme Situation quelconque : des petits éléments de surfaces : à la limite la somme discrète devient une intégrale continue et de valeur exacte : Le flux électrique : La direction et le sens de vecteur en un point donné sont par définition la direction et le sens de la normale sortant de la surface. sort d’une surface > 0 entrant d’une surface < 0 3-1 Électricité 3.2 Le théorème de Gauss Supposons : Charge partielle Q : Partout sur la surface de la sphère de Gauss, il y a le vecteur . Il a toujours la même norme ( ) ; seulement la direction change. Que vaut le flux électrique à travers cette surface de Gauss ? E : cst. sur la surface de Gauss comme E (charge ponctuelle) Règles : • • • • il suit Le flux électrique est égal à la charge divisé par une constante. Le résultat ne dépend pas du rayon r . (indépendant de notre choix de la surface de Gauss) Si est négatif, il n’y a que le sens de qui change est par conséquence le flux serait négatif. La surface de Gauss doit être fermée. Pour la surface de Gauss jaune on trouverait le même résultat (sans démonstration). Le nombre de lignes de charges : Le flux net est nul dans ce cas la, car toutes les lignes du champ qui entre dans la surface la quitte aussi. 3-2 Électricité Le théorème : Le flux net à travers une surface fermée est égal à nette à l’intérieur de la surface : que multiplie la charge note : le cercle sur l’intégrale signifie que la surface de Gauss doit être fermée. (Le flux électrique à travers une surface de Gauss est proportionnel au nombre de lignes de champs passant cette surface.) Exemple : soit Le flux positif à travers la surface Le flux négatif à travers la surface Le flux à travers la surface 3-3 Électricité 3.3 L’utilisation des théorèmes de Gauss Exemple A: Une sphère creuse de rayon R porte une charge Q uniformément répartie sur sa surface. Trouver le champ en un point : a) à l’extérieur et b) à l’intérieur de la sphère la direction du vecteur part du centre de la sphère et se disperse d’une manière radiale vers l’extérieur de la sphère (symétrie) distribution symétrique de la charge uniforme sur la surface de Gauss a) sans la loi de Gauss : avec la loi de Gauss : A l’extérieur de la sphère creuse, le champ est le même que si la charge était ponctuelle et situé au centre de la sphère. b) surface de Gauss sphérique comme il y a pas de charges à l’intérieur de la surface de Gauss Comme peut prendre toutes les valeurs plus petites que , suit partout à l’intérieur de la sphère. 3-4 Électricité Exemple B: Une sphère pleine non conductrice uniformément chargée, de rayon , de charge totale (positive) répartie uniformément dans le volume de la sphère. Trouver le champ : a) à l’extérieur et b) à l’intérieur de la sphère a) b) (argumentation identique au problème A) On choisit une coquille sphérique de rayon • La densité de charge vaut : • La charge à l’intérieur de la surface de Gauss est donnée par le produit de la densité de charge par le volume : Le champ électrique est proportionnel à la distance au centre r. Si Seulement les charges à l’intérieur d’un certain point dans une sphère influence une attraction sur celle-ci ; c-à-d les charges dans la sphère mais à l’extérieur de ce point s’annulent. 3-5 Électricité Exemple C : Un champ électrique non uniforme traverse un cube de la manière suivante : Déterminer le flux électrique à travers : a) la face gauche b) la face droite c) la face supérieure 3-6