Axiome du choix et conséquences. Tout espace vectoriel admet une

Axiome du choix et cons´equences.
Tout espace vectoriel admet une base.
1 Axiome du choix
Definition 1.1. Etant donn´ee une famille (Ai)i∈Ide parties d’un ensemble E(c’est `a dire
une application de Idans P(E)), on d´efinit l’ensemble produit Πi∈IAicomme l’ensemble des
applications de f:I→Etelles que pour tout i∈Ion a f(i)∈Ai
Πi∈IAi={f∈ F(I, E),∀i∈I, f(i)∈Ai}.
Cas particuliers :
a) Si pour tout i∈I, le sous-ensemble Aiest Etout entier, l’ensemble produit est l’ensemble
de toutes les applications de Idans E:
Πi∈IE=F(I, E),
d’o`u la notation EIpour d´esigner l’ensemble des applications de Idans E. On sait que
EIest non vide, il suffit de prendre une application constante f(i) = x0,∀i∈I.
b) Si Iest un ensemble fini, I={1,2,...,n}on retrouve la notion “usuelle”, `a savoir que
Πn
i=1Aiest l’ensemble des n-uplets (x1,...,xn) avec xi∈Aipour i= 1,...,n(l’application
associ´ee au n-uplet est celle qui associe `a chaque position ila valeur xi).
Axiome du choix. Etant donn´e une famille (Ai)i∈Ide parties non vides d’un ensemble E,
(∀i∈I, Ai∈ P(E)\ {∅}), l’ensemble Πi∈Aiest non vide.
Cet axiome indique qu’il existe une application f∈EItelle que
∀i∈I, f (i)∈Ai.
Autrement dit ´etant donn´e une famille quelconque de sous-ensembles de E, on sait choisir
“simultan´ement” un ´el´ement dans chaque sous-ensemble. Cet axiome semble tout `a fait naturel
`a premi`ere vue. En effet il ne pose pas de probl`eme quand l’ensemble d’indices Iest fini. Dans
ces cas l`a en pratique on sait construire la suite des ´el´ements f(i)∈Ai,i∈I. En fait c’est dans
le cas infini qu’il pose probl`eme. Plus pr´ecis´ement cet axiome pose l’existence d’une fonction
choix sans pr´eciser de fa¸con de la construire. Et comme nous le verrons plus loin, les r´esultats
qui reposent sur l’axiome du choix donnent l’existence d’objets math´ematiques sans donner de
moyen pratique de les construire. De ce fait ces objets contrarient souvent l’intuition, notamment
dans le cas o`u In’est pas d´enombrable 1.
1On notera que l’on peut travailler avec des th´eories qui n’admettent l’axiome du choix que dans le cas
d´enombrable.
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2 Axiome du choix et ordre
On rappelle ici les notions associ´ees aux relations d’ordre avant de donner les deux cons´equences
de l’axiome du choix que sont le th´eor`eme de Zermelo et le th´eor`eme de Zorn.
2.1 Relations d’ordre
On rappelle qu’une relation sur un ensembleEest la donn´ee d’un sous-ensemble Γ de E×E
appel´e graphe de la relation. Par d´efinition la relation Rest donn´ee par
(xRy)⇔((x, y)∈Γ) .
Definition 2.1. On appelle relation d’ordre sur un ensemble E, toute relation Rqui est
a) r´eflexive :
∀x∈E, xRx,
b) anti-sym´etrique :
∀x, y ∈E, ((xRyet yRx)) ⇒(y=x)) ,
c) transitive :
∀x, y, z ∈E, ((xRy)et (yRz)) ⇒(xRz).
On remarque que si Xest un sous-ensemble de E, la restriction de R`a Xdont le graphe
est donn´e par Γ ∩X×Xest une relation d’ordre sur X.
Definition 2.2. On dit que la relation d’ordre Rsur Eest totale si deux ´el´ements quelconques
sont toujours comparables :
∀x, y ∈E, xRyou yRx.
Dans le cas contraire on dit que la relation d’ordre est partielle.
Exemples :
a) Dans Rla relation ≤donn´ee par
(x≤y)⇔(y−x∈R+)
est une relation d’ordre total.
b) Si Eest un ensemble P(E) est un ensemble (axiome de s´election) et la relation d’inclusion ⊂
est une relation d’ordre partiel dans P(E) d`es que Ea deux ´el´ements distincts : Si a, b ∈E
et a6=b, on a {a} 6=⊂ {b}et {b} 6=⊂ {a}.
Nous rappelons ci-dessous les notions ´el´ementaires associ´ees `a une relation d’ordre. Soit une
relation d’ordre sur un ensemble E, not´ee et soit Xun sous-ensemble de E.
Definition 2.3. a) Minorant : On dit que a∈Eest un minorant de X(minore X) si
∀x∈X, a x.
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b) Majorant : On dit que a∈Eest un majorant de X(majore X) si
∀x∈X, x a.
Proposition 2.4. Il y a au plus un ´el´ement ade Xqui minore X(resp. majore X). Si il existe
on l’appelle minimum de Xou plus petit ´el´ement de X(resp. maximum de Xou plus grand
´el´ement de X) et on note
a= min Xou a= min
x∈Xx(resp.a = max Xou a= min x∈Xx).
Preuve. Si a1et a2minorent Xavec a1∈Xet a2∈X, alors on a a1a2et a2a1.
L’anti-sym´etrie donne alors a1=a2.
Definition 2.5. Si l’ensemble des majorants (resp. minorants) de Xa un plus petit ´el´ement on
l’appelle borne sup´erieure de X(resp. borne inf´erieure). On note
sup Xou sup
x∈X
x= min {a∈E, ∀x∈X, x a}
resp. inf Xou inf
x∈Xx= max {a∈E, ∀x∈X, a x}.
Exemples :
a) Dans Rmuni de la relation d’ordre usuelle ≤, tout ensemble admet une borne sup´erieure.
Dans Qce n’est plus vrai.
b) Dans P(E) muni de l’inclusion tout sous-ensemble admet une borne sup´erieure (r´eunion) et
inf´erieure (intersection) :
sup X=∪A∈XAet inf X=∩A∈XA.
Les th´eor`emes de Zermelo et de Zorn concernent des relations d’ordre particuli`eres dont les
d´efinitions sont donn´ees ci-dessous.
Definition 2.6. On dit que l’ensemble ordonn´e (E, )est bien ordonn´e ( ou que la relation 
est une relation de bon ordre) si tout sous-ensemble non vide Xde Eadmet un minimum.
On remarque que toute relation de bon ordre est une relation d’ordre total. En effet la paire
{a, b}admet un minimum et donc aet bsont comparables. Une autre propri´et´e qui nous sera
utile et qui vient directement des d´efinitions est que tout partie major´ee d’un ensemble bien
ordonn´ee admet une borne sup´erieure. L’exemple typique d’une relation de bon ordre est la
relation ≤sur Nou Z. En revanche sur R, la relation ≤n’est par une relation de bon ordre
(R∗
+a une borne inf´erieure 0 qui n’appartient pas `a R∗
+) et d’ailleurs on ne voit pas tr`es bien
comment mettre une relation de bon ordre sur R.
Definition 2.7. On dit qu’un ensemble ordonn´e (E, )est dit inductif si tout sous-ensemble
totalement ordonn´e (ou chaˆıne) de Eadmet une borne sup´erieure.
Nous terminons ce paragraphe avec les notions de segment, d’´el´ement minimal et maximal
associ´ees aux relations d’ordre.
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Definition 2.8. Si xet ysont deux ´el´ements d’un ensemble ordonn´e (E, ), on appelle segment
d’extrˆemit´es xet yl’ensemble
[x, y]={z∈E, x zy}.
On d´efinit ´egalement les segments `a droite ([x, .]) et `a gauche ([., x]) de xpar
[x, .]={z∈E, x z}
et [., x]={z∈E, z x}.
Notons qu’un segment peut ˆetre vide.
La notion d’´el´ement minimal (resp. maximal) est comme nous allons le voir plus g´en´erale que
la notion de minimum (resp. maximum).
Definition 2.9. On dit qu’un ´el´ement ad’un ensemble ordonn´e (E, )est minimal (resp.
maximal) si [., a] = {a}(resp. [a, .] = {a}).
Proposition 2.10. Si la relation d’ordre sur Eest totale, il y a au plus un ´el´ement minimal
(resp. maximal). S’il existe c’est le minimum (resp. maximum) de E.
Preuve. Supposons que a1∈Eet a2∈Esoit minimaux. Comme la relation d’ordre est totale
on doit avoir a1a2et donc a1=a2puisque a2est minimal, ou bien a2a1et donc a1=a2
puisque a1est minimal.
Exemple : La notion d’´el´ement minimal ou maximal est int´eressante quand on a un ordre
partiel. Si Eest un ensemble non vide P(E)\{∅} muni de la relation d’inclusion a pour ´el´ements
minimaux tous les singletons de E.
2.2 Th´eor`emes de Zermelo et de Zorn
Les propri´et´es de Zermelo et de Zorn sont donn´ees ici comme des th´eor`emes d´ecoulant de
l’axiome du choix. En fait on peut montrer l’equivalence entre la propri´et´e du choix, la propri´et´e
de Zermelo et la propri´et´e de Zorn. Il suffit de prendre l’une d’entre elles comme axiome pour
en d´eduire les deux autres comme th´eor`emes.
Th´eor`eme de Zermelo. Tout ensemble Epeut-ˆetre muni d’une relation de bon ordre.
Ce th´eor`eme pose l’existence d’une partie Γ de E×Equi a la propri´et´e d’ˆetre le graphe
d’une relation de bon ordre. Comme nous allons le voir il repose sur l’axiome du choix. Il dit en
particulier que l’on peut mettre un bon ordre sur Rsans dire comment le construire en pratique.
Le th´eor`eme de Zorn sera d´emontr´e ici comme cons´equence du th´eor`eme de Zermelo. C’est
ce th´eor`eme de Zorn qui donne l’existence d’une base dans tout espace vectoriel.
Th´eor`eme de Zorn. Tout ensemble inductif admet un ´el´ement maximal.
L`a encore le th´eor`eme de Zorn donne l’existence d’un ´el´ement maximal sans donner de moyen
pratique de le construire en toute g´en´eralit´e.
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Preuve du th´eor`eme de Zermelo. L’id´ee est de construire un bon ordre `a partir d’une fonction
choix (dont l’existence est donn´ee par l’axiome du choix), f∈ΠX∈P(E)\{∅}Xv´erifiant par
d´efinition f(X) = x∈Xpour tout X⊂E,X6=∅. En particulier on note e=f(E). On
consid`ere l’ensemble Gdes couples (X, ΓX)∈ P(E)3v´erifiant
a) ΓX∈ P(X)2est le graphe d’un bon ordre sur X.
b) eappartient `a Xet c’est le plus petit ´el´ement de Xpour le bon ordre ΓX(ici il est commode
d’utiliser la mˆeme notation pour le graphe et la relation).
c) Pour tout x∈X\ {e}, on a x=f(E\[., x)ΓX) o`u [., x)ΓX⊂Xest le segment `a gauche de
xpriv´e de x,
[., x)ΓX= [., x]ΓX\ {x}=x′∈X, x′xetx′6=x.
L’ensemble Gest non vide. En effet X={e}muni la relation d’´egalit´e Γ{e}={(e, e)}v´erifie les
propri´et´es a)b) et c).
Soit (X, ΓX) et (Y, ΓY) deux ´el´ements de Get soit Il’ensemble des ´el´ements ide X∩Ytels
que
i) [e, i]ΓX= [e, i]ΓY.
ii) Les restrictions des ordres ΓXet ΓYau segment [e, i]ΓX= [e, i]ΓYco¨ıncident.
L’ensemble In’est pas vide puisque eappartient `a I. De plus si x∈Xv´erifie xiavec i∈I
pour l’ordre ΓXalors on a
[e, x]ΓX⊂[e, i]ΓX= [e, i]ΓY
et comme les ordres ΓXet ΓYco¨ıncident sur [e, i]ΓX= [e, i]ΓY, on en d´eduit x∈I. En
cons´equence si X\Iest non vide alors tout ´el´ement xde X\Iv´erifie pour l’ordre ΓX
∀i∈I, i ≺x( I.E ixet x6=i).
De plus comme l’ensemble (X, ΓX) est bien ordonn´e, le sous-ensemble X\Isuppos´e non vide
a un plus petit ´el´ement x0. On a alors pour l’ordre ΓX
∀i∈I, ∀x∈X\I, i ≺x0x.
En cons´equence I= [., x0) avec x0∈Xet la propri´et´e c) requise pour les ´el´ements de Gdonne
x0=f(E\I).
Supposons maintenant que l’on a ´egalement Y\I6=∅alors en notant y0le plus petit ´el´ement
de Y\Ialors on a
y0=f(E\I) = x0
et cela entraˆıne tout de suite [e, x0]ΓX= [e, x0]ΓYavec co¨ıncidence des ordres ΓXet ΓY. Autre-
ment dit x0∈Ice qui contredit x0∈X\I. On ne peut avoir X\I6=∅et Y\I6=∅, c’est `a
dire que X⊂Yavec ΓX⊂ΓYou bien Y⊂Xavec ΓY⊂ΓX.
On prend maintenant
R=∪(X,ΓX)∈G X
et Γ = ∪(X,ΓX)∈G ΓX.
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