Correction du test de mathématique

Corrigé du test de mathématique
Statistiques des notes obtenues
Moyenne = 12,244
Médiane = 12,500
Ecart type = 3,976
Faculté de Médecine Vétérinaire
1BMV Année 2007-2008
Corrigé du questionnaire
1. Pour lutter contre une faiblesse cardiaque, un chien doit recevoir tous les jours une dose
d’un stimulant cardiaque. La dose est calculée sur la base de 5 mg/kg. Le chien pèse 30 kilos.
La concentration du stimulant dans la solution commercialisée du stimulant est de 300 mg
par 10 ml. Quelle quantité quotidienne de la solution faut-il administrer au chien ?
a. 10 ml
b. 300 ml
c. 50 ml
d. 30 ml
e. Plus que toutes les quantités proposées.
f. Moins que toutes les quantités proposées.
Réponse
La dose à injecter à ce chien est de : (5 mg/kg) * (30 kg) = 150 mg
Le stimulant étant commercialisé à une concentration de 300 mg/10 ml, on a besoin
quotidiennement de 5 ml de solution (correspondant à 150 mg de stimulant). La
bonne réponse est donc la réponse (f).
Faculté de Médecine Vétérinaire
1BMV Année 2007-2008
2. Combien vaut la dérivée de f(x) = sin(x²) ?
a. f’(x) = cos(x²)
b. f’(x) = sin(2*x)
c. f’(x) = 2*x*sin(x²)
d. f’(x) = cos(2*x)
e. f’(x) = 2*x*cos(x²)
f. Aucune des réponses proposées.
Réponse
Il s’agit d’un exemple de situation où on dérive par rapport à x f(g(x)). Ici, f(g) = sin(g)
et g(x) = x². Comme indiqué dans le formulaire, f(g(x))’ = df/dg*dg/dx. Ici, on a :
df/dg = cos(g) = cos(x²)
dg/dx = 2*x
ce qui conduit au résultat : f’(x) = 2*x*cos(x²), soit le résultat (e)
Faculté de Médecine Vétérinaire
1BMV Année 2007-2008
3. Combien vaut la dérivée de f(x) = 2*sin(x)*cos(x) ?
a. f’(x) = 2*cos(2*x)
b. f’(x) = 2*sin²(x)
c. f’(x) = 2*cos²(x)
d. f’(x) = 2
e. f’(x) = cos(2*x)
f. Aucune des réponses proposées
Réponse
Ce problème peut se résoudre de deux manières :
• soit on voit f(x) comme le produit de 2 fonction, et on utilise la formule du
produit (f*g)’ = f’*g + f*g’, ce qui donne ici :
f’(x) = 2*sin’(x)*cos(x) + 2*sin(x)*cos’(x) = 2*(cos²(x) – sin²(x)) = 2*cos(2*x)
• soit on remarque que f(x) = 2*sin(x)*cos(x) = sin(2*x), ce qui permet d’utiliser
la formule f(g(x))’ = df/dg * dg/dx, où f(g) = sin(g) et g(x) = 2*x. On obtient :
f’(x) = cos(g)*2 = 2*cos(2*x)
Faculté de Médecine Vétérinaire
1BMV Année 2007-2008
4. A une constante près, combien vaut la primitive de f(x) = sin(x)* ex ?
Réponse :
Il faut procéder par partie. On pose :
u = sin(x)
=>
du = cos(x)*dx
x
dv = e dx
=>
v = ex
La primitive, que nous noterons P, devient alors (à une constante près) :
P = sin(x)*ex - ∫ ex * cos(x) dx
Pour calculer le deuxième terme de ce résultat, on procède à nouveau par partie :
u = cos(x)
=>
du = -sin(x)*dx
x
dv = e dx
=>
v = ex
On obtient alors :
P = sin(x)*ex – [cos(x)*ex + ∫ ex * sin(x) dx] = ex * (sin(x) – cos(x)) – P
=>
2*P = ex * (sin(x) – cos(x))
=>
P = 0.5* ex * (sin(x) – cos(x))
Faculté de Médecine Vétérinaire
1BMV Année 2007-2008
5. Combien vaut l’intégrale I de sin(x/2) pour x compris entre 0 et 2π ?
a. I = 2π
b. I = 0
c. I = 4
d. I = + ∞
e. I = -2
f. Aucune des réponses proposées
Réponse
Pour cette primitive, il faut procéder par changement de variable. On pose : y = x/2.
On en déduit que dy = dx/2, soit, dx = 2*dy. Les limites d’intégration doivent être
adaptées en fonction de y : quand x = 0, y = x/2 = 0, et quand x = 2π, y = x/2 = π.
L’intégrale I devient donc l’intégrale de 2*sin(y) entre 0 et π. La primitive du sin(y)
étant -cos(y), on doit calculer I par :
I = (-2*cos(π)) – (-2*cos(0)) = 2 – (-2) = 4, soit la réponse (c).
Faculté de Médecine Vétérinaire
1BMV Année 2007-2008
6. Combien vaut l’équation de la droite passant par le point P (1,2) et parallèle à la droite
d’équation : y = 2*x + 5 ?
a. y = 2*x
b. y = 2
c. y = 2*x + 2
d. y = 5*x – 3
e. x = 1
f. Aucune des réponses proposées
Réponse
Si la droite est parallèle à la droite d’équation y = 2*x + 5, cela signifie qu’elle a la
même pente que cette dernière, soit m =2. Il s’agit donc d’écrire l’équation d’une
droite dont on connait la pente m = 2 et un point (a,b) = (1,2). Le formulaire nous dit
que cette droite a pour équation : y = (b – a*m) + m*x, soit ici :
y = (2 – 1*2) + 2*x = 2*x, ce qui correspond à la réponse (a).
Faculté de Médecine Vétérinaire
1BMV Année 2007-2008
7. Problème de la flèche : la trajectoire d’une flèche, lancée du sol avec une vitesse initiale v0 en
faisant un angle θ avec l’horizontale est donnée par les équations paramétriques (équation
de ses coordonnées) suivantes :
x = v0 * cos(θ) * t
(g est l’accélération due à la pesanteur)
y = v0 * sin(θ) *t – g*t²/2
L’équation cartésienne de la trajectoire, y = f(x), est :
(Truc : éliminer le temps entre les deux équations)
a. x² + y² = v0²*t² + g²*t4/4
b. y = x*tg(θ) –(g*x²)/[2*v0²*cos²(θ)]
c. y = x*tg(θ)
d. y = tg(θ)/x
e. x² + y² = v0²
f. Aucune des équations proposées
Réponse
La réponse était suggérée dans l’énoncé : on utilise la première équation pour
trouver la valeur de t en fonction de x :
t = x / (v0 * cos(θ))
puis on utilise cette valeur du temps dans la seconde équation :
y = v0 * sin(θ) * x / (v0 * cos(θ)) – g * (x / (v0 * cos(θ))² / 2, qui donne :
y = x*tg(θ) –(g*x²)/[2*v0²*cos²(θ)], correspondant à la réponse (b).
Faculté de Médecine Vétérinaire
1BMV Année 2007-2008
8. Problème de la flèche : la trajectoire de la flèche sera :
a. linéaire
b. elliptique
c. hyperbolique
d. parabolique
e. circulaire
f. Aucune des réponses proposées
Réponse
L’équation précédente est une équation du second degré en x et y. La forme
générale (voir le formulaire) est : a * x² + b * y² + c*x*y + …, les coefficients a, b et c
permettant de préciser la forme de la courbe via le signe de c² - 4*a*b. Dans
l’équation donnée plus haut, on voit que b = c = 0, et donc c² - 4*a*b = 0. La forme de
la courbe est donc parabolique, la réponse est donc (d).
Faculté de Médecine Vétérinaire
1BMV Année 2007-2008
9. Problème de la flèche : pour une vitesse v0 donnée, la flèche atteindra sa portée maximale
xmax (distance parcourue au niveau du sol) quand l’angle θ choisi vaudra :
(Truc : y = 0 permet de calculer tmax = [2*v0*sin(θ)]/g, qui permet de calculer xmax.Il s’agit
ensuite de choisir la valeur de θ qui maximise xmax)
a. 0
b. π/6
c. π/4
d. π/3
e. π/2
f. Aucune des valeurs proposées
Réponse
L’altitude (y) de la flèche vaut 0 au départ de la flèche (x = 0) et à sa retombée (x =
xmax). Une suggestion est donnée dans l’énoncé. Une autre est d’utiliser l’équation de
la trajectoire, et d’y imposer y = 0 pour obtenir les valeurs de x correspondantes. On
obtient :
x*tg(θ) –(g*x²)/[2*v0²*cos²(θ)] = 0,
équation du second degré en x, qui a pour solutions x = 0 (comme prévu) et comme
deuxième solution :
x = tg(θ) * 2 * v0²*cos²(θ) /g = v0²/g*sin(2*θ)
La distance parcourue par la flèche dépend donc évidemment de θ, et on peut
obtenir la valeur maximale de x en annulant la dérivée de x par rapport à θ :
dx/dq = 2* v0²/g*cos(2*θ) = 0 =>
2*θ = π/2
=>
θ = π/4
La bonne réponse est donc la réponse (c).
Faculté de Médecine Vétérinaire
1BMV Année 2007-2008
10. Les deux droites y = x – 1 et y = 3 – x se coupent :
a. en P = (0,0)
b. à l’infini (sont donc parallèles)
c. en P = (1,3)
d. en P = (3,1)
e. en P = (2,1)
f. Aucune des réponses proposées
Réponse
Le point à l’intersection des deux droites a des coordonnées qui doivent vérifier
simultanément les deux équations de droites. Il suffit donc de résoudre le système
de deux équations a deux inconnues :
y=x–1
y=3–x
Substituant la valeur de y tirée de la première équation dans la seconde, on obtient
l’équation suivante :
x–1=3–x
qui admet x = 2 comme solution. Substituant cette valeur de x dans n’importe
laquelle des deux équations, on obtient la valeur de y = 1. Le point à l’intersection
des deux droites a donc pour coordonnée (2,1)., qui est la réponse (e).
Faculté de Médecine Vétérinaire
1BMV Année 2007-2008
11. Le polynôme P(x) = 3x³ - 18x² + 33x – 18 admet un maximum (local) en :
a. x = - ∞
b. x = +∞
c. x = 18
d. x = 0
e. x = 2 - √3/3
f. x = 2 + √3/3
g. Aucune des réponses proposées
Réponse
Les valeurs de x qui annulent la dérivée de P(x) sont des extrema (minima ou
maxima) de P(x). Ce sont des minima si, en plus, elles rendent la dérivée seconde P(x)
négative. Calculons la dérivée de P(x) :
P’(x) = 9x² - 36x + 33
Les valeurs de x annulant P’(x) s’obtiennent donc par l’équation du second degré :
9x² - 36x + 33 = 0
qui admet pour racines x1 = 2 - √3/3 et x2 = 2 + √3/3.
La dérivée seconde de P(x) vaut :
P’’(x) = 18x – 36
Cette fonction est négative pour x < 2, et positive pour x > 2. La première racine
correspond donc à un maximum, et la seconde à un minimum. La réponse correcte
est donc (e).
Faculté de Médecine Vétérinaire
1BMV Année 2007-2008
12. Montrer que : sin(x) + sin(3*x) = 4*[sin(x) – sin³(x)]
(Truc : 3x = 2x + x et x = 2x – x)
Réponse
sin(x) + sin(3*x)
= sin(2*x – x) + sin(2*x + x)
=sin(2*x)*cos(x) – sin(x)*cos(2*x) + sin(2*x) *cos(x) + sin(x)*cos(2*x)
=2*sin(2*x)*cos(x)
=2*[2*sin(x)*cos(x)]*cos(x)
=4*sin(x)*cos²(x)
=4*sin(x)*(1 – sin²(x))
= 4*[sin(x) – sin³(x)]
Faculté de Médecine Vétérinaire
1BMV Année 2007-2008
13. Trouvez la valeur de k pour que f(x|λ) = k*λ*e-λx soit bien une densité de probabilité pour la
variable aléatoire x (λ est un paramètre de la distribution), qui varie entre 0 et 5.(Truc : si
f(x|λ) est une densité de probabilité sur [0 ;5], son intégrale entre 0 et 5 vaut 1).
a. k = 5
b. k = (1 – e-5λ)
c. k = (1 + e-5λ)/(1 – e-5λ)
d. k = 1/(1 – e-5λ)
e. Aucune des réponses proposées.
Réponse
Il faut donc choisir k pour que l’intégrale de f(x|λ) entre 0 et 5 vaille 1. Commençons
par calculer la primitive de f(x|λ) :
P = ∫ k*λ*e-λx dx = k*λ* ∫e-λx dx = -k* e-λx
L’intégrale entre 0 et 5, qui doit valoir 1, vaut donc :
[-k* e-λ5] - [-k* e-λ0] = 1, qui devient :
k*(1 - e-5λ) = 1
La valeur de k à utiliser est donc : k = 1/(1 - e-5λ), qui est la solution (d)
Faculté de Médecine Vétérinaire
1BMV Année 2007-2008
14. Combien vaut le développement en série de f(x) = ex autour de x = 0 (arrêter à la seconde
puissance) ?
a. f(x) ≈ 1 – x – x²
b. f(x) ≈ 1+ x + x²
c. f(x) ≈ 1 – x – x²/2
d. f(x) ≈ 1 + x + x²/2
e. f(x) ≈ 1 + x²/2
f. Aucune des réponses proposées
Réponse
Il faut utiliser la formule du développement en série donnée dans le formulaire.
Cette formule nécessite de calculer les valeurs de la fonction et de ses dérivées en x
= 0. Comme, ici, f(x) = f’(x) = f’’(x) = … = ex, f(0) = f’(0) = f’’(0) = … = 1.
Le développement s’écrit donc, pour cette fonction :
f(x) | x=0 = 1 + x + x²/2 + …, développement qui correspond à la réponse (d)
Faculté de Médecine Vétérinaire
1BMV Année 2007-2008
15. Quel graphique correspond à la dérivée (en pointillés) de la fonction f(x) (en continu) ?
a)
b)
c)
d)
Réponse
La dérivée doit s’annuler à l’endroit où la fonction atteint un extremum, ce qui exclut les
situations (a) et (c). Comme la fonction est décroissante à gauche du premier extremum, la
dérivée doit y être négative, ce qui exclut la situation (d). La bonne solution est donc la
solution (b).
Faculté de Médecine Vétérinaire
1BMV Année 2007-2008