Chapitre 4 − Variations d`une fonction

Chapitre 4 −Variations d’une fonction
Seconde −Contenu du cours
Objectifs. Il s’agit ici d’obtenir des informations supplémentaires sur les fonctions
que tu as l’occasion d’étudier durant ton apprentissage des mathématiques.
1) Connaître le signe de la sortie. En utilisant tes méthodes de résolution d’équa-
tions et d’inéquations, tu sais déjà déterminer quand une fonction ...
... s’annule ... est positive ... est négative
Connaître les entrées
dont la sortie vaut 0
Connaître les entrées
dont la sortie est positive
Connaître les entrées
dont la sortie est négative
Le point est sur l’axe
des abscisses.
Le point est au-dessus de
l’axe des abscisses.
Le point est en-dessous
de l’axe des abscisses.
2) Connaître les variations d’une fonction. On arrive à la nouveauté de ce chapitre
et pour cela, il faut que je vous présente les fonctions d’une manière légèrement
différente que je l’ai faite jusqu’à maintenant.
●Nous avons vu ensemble que les fonctions permettent
de représenter le fonctionnement d’une machine qui,
à partir d’une entrée, produit une sortie.
●Mais les fonctions permettent aussi de représenter
l’évolution d’une valeur en fonction d’un paramètre.
« L’évolution d’une
valeur en fonction
d’un paramètre »
●Par exemple, dans la météo, on s’intéresse à l’évolution de la température d’une
ville comme Arras en fonction du temps qui passe. Dans ce cas, la valeur « tem-
pérature » sera à mettre en ordonnée (en sortie) et le paramètre « temps » sera
à mettre en abscisse (en entrée).
●On aura ainsi l’équation : « Température » =f« Temps » 
●Pour étudier les variations d’une fonction, tu vas devoir observer les entrées du
passé vers le futur, c’est-à-dire des plus petites valeurs vers les plus grandes.
Graphiquement, tu te déplaceras alors de la gauche vers la droite.
●
Si les sorties augmentent, on dira que la fonction est croissante.
Si les sorties diminuent, on dira que la fonction est décroissante.
Si les sorties stagnent, on dira que la fonction est constante.
1 Sens de variation et exemples
1.1 Définitions
●Beaucoup de mes professeurs m’ont toujours dit qu’un beau dessin valait mieux
qu’un long discours. Je vais donc arrêter de parler et te proposer des dessins
pour illustrer les définitions suivantes. Il est donc important que tu fasses le lien
entre chaque dessin et sa définition formelle.
Définition 1. Soient Iun intervalle de Ret fune fonction définie sur I.
●On dit que fest (strictement) croissante sur Isi
pour tous éléments aet bde I,
Si a<balors f(a)<f(b)
●
Si « on va de la gauche de la droite »,
alors « la courbe monte »
ab
f(a)
f(b)
<
<
Définition 2. Soient Iun intervalle de Ret fune fonction définie sur I.
●On dit que fest (strictement) décroissante sur I
si pour tous éléments aet bde I,
Si a<balors f(a)>f(b)
●
Si « on va de la gauche de la droite »,
alors « la courbe descend »
ab
f(a)
f(b)
<
<
Définition 3. Soient Iun intervalle de Ret fune fonction définie sur I.
●On dit que fest constante sur Isi pour tous élé-
ments aet bde I,
Si a<balors f(a)=f(b)
●
Si « on va de la gauche de la droite »,
alors « la courbe est horizontale »
ab
f(a)
f(b)
<
=
●Dans la littérature mathématiques, on ajoute l’adjectif « strictement » dans les
deux premières définitions mais le programme officiel ne te le demande pas.
●Cela me pose un petit problème car, dans la littérature, on parle aussi de fonc-
tions croissantes et décroissantes (sans l’adjectif « strictement ») dans lesquelles
toutes les inégalatés sont larges (on remplace les <et >par des ⩽et ⩾).
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1.2 Méthode de démonstration
●Nous arrivons à la première difficulté de ce chapitre :
Comment démontrer qu’une fonction est croissante, décroissante ou constante ?
●À la première lecture, tous mes élèves me disent que c’est incompréhensible. Mon
objectif est donc qu’à la deuxième lecture, tu es l’impression que la méthode est
toujours la même et que finalement ce n’est pas si insurmontable que cela. Il te
faudra par contre maîtriser correctement la factorisation et les inégalités.
Méthode 4. Soient Iun intervalle de Ret fune fonction définie sur I.
1) On considère deux réels aet bde l’intervalle I.
2) On suppose que b−a>0
3) On factorise l’expression f(b)−f(a)dans l’objectif d’étudier son signe.
4) On conclut : 
Si f(b)−f(a)>0alors fest croissante sur I
Si f(b)−f(a)<0alors fest décroissante sur I
Si f(b)−f(a)=0alors fest constante sur I
●Dans l’introduction, j’ai rappelé que l’étude du signe d’une expression était une
capacité très importante dans l’étude des fonctions. Tu remarques ainsi dans
cette méthode que je suppose la connaissance d’un signe b−a>0et que je
cherche à étudier celui de f(b)−f(a).
●Comme tu l’as vu en quatrième, il est très facile d’étudier le signe d’un produit
car tu peux utiliser la règle des signes. Il est donc important de factoriser une
expression si tu souhaites étudier son signe.
1.3 Les fonctions affines
Définition 5. Une fonction affine est une fonction fdéfinie sur Rpar :
f(x)=m x +poù met psont deux réels
Si p=0, on dit que aussi fest une fonction linéaire.
Propriété 6 ( Admis). La représentation graphique d’une fonction affine est une droite
non verticale. mest son coefficient directeur et pson ordonnée à l’origine.
Théorème 7. Soit fdéfinie sur Rpar f(x)=mx +pavec met pdeux réels.
Si m>0alors fest croissante sur R
Si m<0alors fest décroissante sur R
Si m=0alors fest constante sur R
Démonstration. Suivons simplement la méthode précédente.
1) On considère deux réels aet bde l’intervalle R(I=R).
2) On suppose que b−a>0
3) On factorise l’expression f(b)−f(a)dans l’objectif d’étudier son signe.
f(b)−f(a)=m b +p−m a +p
=mb+ p−ma− p
f(b)−f(a)=mb−a
4) Or b−a>0donc le signe de f(b)−f(a)est le signe de mdonc :
Si m>0alors f(b)−f(a)>0et donc fest croissante sur R
Si m<0alors f(b)−f(a)<0et donc fest décroissante sur R
Si m=0alors f(b)−f(a)=0et donc fest constante sur R
1.4 La fonctions carrée
Théorème 8. Soit fla fonction définie sur Rpar f(x)=x2.
fest décroissante sur ]−∞; 0]et est croissante sur [0; +∞[
Démonstration que fest décroissante sur ]−∞; 0]:
1) On considère deux réels aet bde l’intervalle ]−∞; 0]I=]−∞; 0].
2) On suppose que b−a>0
3) On factorise l’expression f(b)−f(a)dans l’objectif d’étudier son signe.
f(b)−f(a)=b2−a2=b+a b−a
4) Or b−a>0donc le signe de f(b)−f(a)est le signe de a+b.
●Étudions le signe de a+b:Naturellement, on se dit que la somme de deux
nombres négatifs donne un nombre négatif mais on ne souhaite pas simplement
que a+bsoit négatif, on souhaite que a+bsoit strictement négatif. Et je reconnais
que ça va nous demander un peu plus de travail mais rien d’insurmontable.
On sait que : a<bDonc : a+b<b+b
Or : 2×b⩽2×0car best un élément de ]−∞; 0]
●Conclusion : a+b<2b⩽0
Donc a+b<0par transitivité (voir section 1.6)
Donc f(b)−f(a)<0
Donc fest décroissante sur −∞; 0
●Je vous laisse adapter la preuve pour démontrer que fest croissante sur 0; +∞
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1.5 Autres exemples (hors programme)
●Si j’ai pris le temps d’indiquer hors programme dans le titre de cette section, c’est
qu’il n’est pas nécessaire de connaître ce qui suit. Néanmoins, il ne me paraît pas
impensable que tu puisses essayer de vérifier avec ta calculatrice que tu trouves
les mêmes résultats que moi.
●Dans un second temps, tu peux aussi envisager de démontrer ces résultats en uti-
lisant la méthode précédente. La démonstration est l’exercice le plus important
des mathématiques donc ne perds pas de temps et entraines-toi.
Les fonctions de base :
1) Les fonctions constantes : soit fdéfinie sur Rpar f(x)=koù k∈R
fest constante sur R
2) La fonction cube : soit fdéfinie sur Rpar f(x)=x3
fest croissante sur R
3) La fonction bicarrée : soit fdéfinie sur Rpar f(x)=x4
fest décroissante sur ]−∞; 0]et est croissante sur [0; +∞[
4) La fonction racine carrée : soit fdéfinie sur [0; +∞[par f(x)=√x
fest croissante sur [0; +∞[
5) La fonction inverse : soit fdéfinie sur R∗par f(x)=1
x
fest décroissante sur ]−∞; 0[et sur ]0; +∞[
6) Les fonctions carrées : soit fdéfinie sur Rpar f(x)=ax2+bx +c
où a, b, c sont trois réels avec a≠0.On pose : x0=−b
2a
Si a>0alors fest décroissante sur −∞;x0et croissante sur x0;+∞
Si a<0alors fest croissante sur −∞;x0et décroissante sur x0;+∞
Les opérations de base :
1) La somme de deux fonctions :
fcroissante sur I g croissante sur If+gest aussi croissante sur I
fdécroissante sur I g décroissante sur If+gest aussi décroissante sur I
fcroissante sur I g décroissante sur If+gn’est pas forcément
croissante ou décroissante sur I
2) L’opposée d’une fonction :
fcroissante sur Ig∶xz→ −f(x)est décroissante sur I
fdécroissante sur Ig∶xz→ −f(x)est croissante sur I
3) Le produit de deux fonctions :
fcroissante sur I g croissante sur If×gn’est pas forcément
croissante sur I(*)
fdécroissante sur I g décroissante sur If×gn’est pas forcément
décroissante sur I(*)
fcroissante sur I g décroissante sur If×gn’est pas forcément
croissante ou décroissante sur I
4) L’inverse d’une fonction :
fcroissante sur Ig∶xz→ 1
f(x)est décroissante sur I
fdécroissante sur Ig∶xz→ 1
f(x)est croissante sur I
(*) Ces résultats deviennent corrects si fet gsont des fonctions strictement
positives sur I. Le problème est que l’ordre s’inverse chez les négatifs.
1.6 Quelques précisions sur l’utilisation des symboles ⩽;⩾;<;>
●Je ne vais pas te faire un cours complet sur ce qu’on appelle les relations d’ordre.
Si tu veux en savoir plus, je te conseille vivement Wikipedia pour les maths.
●Commençons par faire les choses que tu dois normalement déjà connaître :
Si a<b, alors 
a+c<b+c;a×p<b×p;Ba×n>b×nB
a−c<b−c;a
p<a p;Ba n>a nB
où c, p, n sont des réels avec pstrictement positif et nstrictement négatif.
●Enchainons de suite avec les quelques nouveautés :
La transitivité est un mot barbare pour exprimer quelque chose de finalement
assez simple. Quelque soit le symbole que tu utilises ⩽;⩾;>ou <,
Si a<bet b<calors a<c
●Il faut savoir que les inégalités strictes <et >gagnent toujours sur les larges ⩽et ⩾:
Si a⩽bet b<calors a<cSi a>bet b⩾calors a>c
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2 Tableaux de variations et applications
●Dans une étude de fonction, tu raconteras toujours deux types de tableaux :
Le tableau de signes Est-ce que la sortie est positive, négative ou nulle ?
Le tableau de variations Est-ce que la sortie augmente, diminue ou stagne ?
●Les mots « signes » et « variations » sont à mettre au pluriel puisqu’une fonction
peut très bien avoir plusieurs signes et plusieurs variations sur un même intervalle.
2.1 Définition
●Pour rendre les choses plus simples, je vais baser ma définition sur un exemple.
On pourrait presque dire qu’un bon exemple vaut mieux qu’un long discours.
x
Variations de f
−5−2028
55
−2−2
33 33
−∞
Définition 9 ( Tableau de variations). Un tableau de variations est constitué de deux
colonnes et il est à double entrée.
●Sur la première ligne, tu indiques ce qu’il se passe en entrée de la fonction f.
●Sur la deuxième ligne, tu indiques comment varie les sorties de la fonction f.
Les flèches vont de la gauche vers la droite (des petites entrées vers les grandes).
La double barre verticale indique que 8est une valeur interdite : D(f)=[−5; 8[
●Dans ce tableau de variations, que nous in-
forme la flèche située la plus à gauche ?
●Elle commence au point de coordonnées (−5; 5).
●Elle se termine au point de coordonnées (− 2; − 2 ).
●Notre flèche est dirigée vers le bas donc la fonc-
tion est décroissance sur l’intervalle [−5; −2].
●Entre les deux points, tu sais que la courbe des-
cend mais tu ne sais pas comment.
Cf
2.2 Construire un tableau de variations à partir d’une courbe
●Premier savoir-faire associé aux tableaux de variations :
Savoir les construire à partir de la représentation graphique de la fonction.
Exemple 10.
●Construire le ta-
bleau de variations
de la fonction fdont
la représentation
graphique Cfse
situe à droite.
Cf
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
●On commence par placer les flèches :
ça monte, ça descend puis ça remonte.
●Ensuite on complète avec les coordon-
nées des points où il y a un change-
ment de variations : −
1 , 5 ; 6 , 5
et 1,5 ; −0,5.
x
Variaθ
de f
− ∞ −1,5 1,53
−∞−∞
6,56,5
−0,5−0,5
66
●À droite, la courbe s’arrête au point  3 ; 6
.À gauche, la courbe ne s’arrête
pas donc −∞ en abscisse et elle plonge vers le bas donc −∞ en ordonnée.
2.3 Construire une courbe à partir d’un tableau de variations
●Il faut bien comprendre que le tableau de variations est une représentation incom-
plète d’une fonction. Il nous permet de savoir si la courbe monte ou descend et de
connaître les coordonnées des virages. Maintenant entre deux virages, on ne sait
pas trop comment la courbe monte ou descend.
●Conclusion : À partir d’un même tableau de variations, tu pourras donc construire
plusieurs représentations graphiques et donc obtenir des fonctions différentes.
Exemple 11.
●Construire une
représentation gra-
phique à partir du
tableau de varia-
tions de droite.
x
Variations
de f
−41 3 5
22
−1−1
33
11
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●On commence par placer les virages :
−
4 ; 2
;
1 ; − 1
;
3 ; 3
et 
5 ; 1
●Ensuite on relie les points avec des
morceaux de courbes qui ne font que
descendre ou que monter. -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-1
1
2
3
2.4 Encadrements
●L’encadrement, espère apparue au début de la seconde année de notre ère avec
l’introduction des intervalles, est actuellement en voie de disparition dans la tête
de mes élèves. Tu viens d’assister à la première et dernière blague de ce cours.
Intervalles 2 ; 4   −2 ; 1   −4 ; −1  2 ; +∞ 
Encadrements 2⩽x⩽4−2<x⩽1− 4 <x<− 1 2⩽x<+∞
●Je te rappelle que le « +∞ » n’est pas un nombre donc on ne devrait pas pouvoir
l’écrire dans des encadrements. Pour l’instant, je me permets de l’écrire pour une
bonne compréhension mais par la suite, il va falloir l’oublier.
Méthode 12. Soit fune fonction définie sur un intervalle Ide R.
Pour encadrer la sortie f(x), il va falloir simplement utiliser ce principe :
Si fest croissante sur I,alors fconserve l’ordre des éléments.
Si fest décroissante sur I,alors finverse l’ordre des éléments.
fest croissante sur I f est décroissante sur I
I=2 ; 3 Si 2⩽x⩽3
Alors f(2)⩽f(x)⩽f(3)Si 2⩽x⩽3 Alors f(2)⩾f(x)⩾f(3)
I=− 3 ; 2
Si −3⩽x<2
Alors f(−3)⩽f(x)<f(2)Si −3⩽x<2 Alors f(−3)⩾f(x)>f(2)
I=1; +∞Si 1⩽x
Alors f(1)⩽f(x)Si 1⩽x Alors f(1)⩾f(x)
I=−∞; 2Si x<2
Alors f(x)<f(2)Si x<2 Alors f(x)>f(2)
Exemple 13.
●À l’aide de ce ta-
bleau de variations,
encadre les nombres
f( 0 );f( 2 , 5 );f(− 1 , 2 )
et f(4).
x
Variations
de f
−2−11 3 +∞
−6−6
44
−5−5
33
●On commence par encadrer l’entrée xdans le bon intervalle et ensuite on encadre
la sortie f(x)en faisant attention à l’inversion de l’ordre si fest décroissante.
On a : −1<0<1
Donc : 4>f(0)>−5
On a : 1<2,5<3
Donc : −5<f(2,5)<−3
On a : −2<−1,2<−1
Donc : −6<f(−1,2)<4
On a : 3<4
Donc : 3>f(4)
Quand tu souhaites encadrer f(x):
●Si xest présent dans la première ligne, alors tu peux dans la seconde ligne, lire
la valeur exacte de f(x). Dans notre exemple, on a f(−2)=−6et f(1)=−5.
●Si xn’est pas présent dans la première ligne, tu vas d’abord encadrer xavec
des inégalités strictes et donc encadrer aussi f(x)avec des inégalités strictes. Il
est donc normal que je n’ai pas utilisé dans cet exemple les symboles ⩽et ⩾.
2.5 Comparaisons
●Dans cette nouvelle section, je vais te donner deux entrées aet bet je vais te
demander de comparer f(a)et f(b),c’est-à-dire de me dire qui est le plus grand.
Méthode 14. Soit fune fonction définie sur un intervalle Ide R.
Je te donne deux éléments aet bde I, ordonnés de la manière suivante : a<b
Si fest croissante sur I,alors f(a)<f(b)
Si fest décroissante sur I,alors f(a)>f(b)
Exemple 15.
●À l’aide de ce ta-
bleau de variations,
compare les images
par fsuivantes.
x
Variations
de f
−2−11 3 +∞
−6−6
44
−5−5
33
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