Chapitre 4 − Variations d`une fonction

1
1.1
Contenu du cours
Objectifs. Il s’agit ici d’obtenir des informations supplémentaires sur les fonctions
que tu as l’occasion d’étudier durant ton apprentissage des mathématiques.
1) Connaître le signe de la sortie. En utilisant tes méthodes de résolution d’équations et d’inéquations, tu sais déjà déterminer quand une fonction ...
... s’annule
... est positive
... est négative
Connaître les entrées
dont la sortie vaut 0
Connaître les entrées
dont la sortie est positive
Connaître les entrées
dont la sortie est négative
Le point est sur l’axe
des abscisses.
Le point est au-dessus de
l’axe des abscisses.
Le point est en-dessous
de l’axe des abscisses.
● Mais les fonctions permettent aussi de représenter
l’évolution d’une valeur en fonction d’un paramètre.
« Température »
=
⎧
⎪
⎪
● ⎨
⎪
⎪
⎩
●
« L’évolution d’une
valeur en fonction
d’un paramètre »
a < b
alors
on dira que la fonction est croissante.
Si les sorties diminuent,
on dira que la fonction est décroissante.
Si les sorties stagnent,
on dira que la fonction est constante.
f (b)
f (a) < f (b)
« on va de la gauche de la droite »,
« la courbe monte »
f (a)
a
<
b
Définition 2. Soient I un intervalle de R et f une fonction définie sur I.
● On dit que f est (strictement) décroissante sur I
si pour tous éléments a et b de I,
⎧
⎪
⎪
● ⎨
⎪
⎪
⎩
Si
alors
a < b
alors
f (a) > f (b)
« on va de la gauche de la droite »,
« la courbe descend »
f (a)
f (b)
a
<
b
Définition 3. Soient I un intervalle de R et f une fonction définie sur I.
● On dit que f est constante sur I si pour tous éléments a et b de I,
Si
a < b
alors
f (a) = f (b)
f ( « Temps » )
Si les sorties augmentent,
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Si
alors
Si
● Pour étudier les variations d’une fonction, tu vas devoir observer les entrées du
passé vers le futur, c’est-à-dire des plus petites valeurs vers les plus grandes.
Graphiquement, tu te déplaceras alors de la gauche vers la droite.
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
Définition 1. Soient I un intervalle de R et f une fonction définie sur I.
Si
● Par exemple, dans la météo, on s’intéresse à l’évolution de la température d’une
ville comme Arras en fonction du temps qui passe. Dans ce cas, la valeur « température » sera à mettre en ordonnée (en sortie) et le paramètre « temps » sera
à mettre en abscisse (en entrée).
● On aura ainsi l’équation :
● Beaucoup de mes professeurs m’ont toujours dit qu’un beau dessin valait mieux
qu’un long discours. Je vais donc arrêter de parler et te proposer des dessins
pour illustrer les définitions suivantes. Il est donc important que tu fasses le lien
entre chaque dessin et sa définition formelle.
● On dit que f est (strictement) croissante sur I si
pour tous éléments a et b de I,
2) Connaître les variations d’une fonction. On arrive à la nouveauté de ce chapitre
et pour cela, il faut que je vous présente les fonctions d’une manière légèrement
différente que je l’ai faite jusqu’à maintenant.
● Nous avons vu ensemble que les fonctions permettent
de représenter le fonctionnement d’une machine qui,
à partir d’une entrée, produit une sortie.
Définitions
<
−
Seconde
Sens de variation et exemples
<
Variations d’une fonction
−
⎧
⎪
⎪
● ⎨
⎪
⎪
⎩
Si
alors
f (b)
=
Chapitre 4
f (a)
« on va de la gauche de la droite »,
« la courbe est horizontale »
a
<
b
● Dans la littérature mathématiques, on ajoute l’adjectif « strictement » dans les
deux premières définitions mais le programme officiel ne te le demande pas.
● Cela me pose un petit problème car, dans la littérature, on parle aussi de fonctions croissantes et décroissantes (sans l’adjectif « strictement ») dans lesquelles
toutes les inégalatés sont larges (on remplace les < et > par des ⩽ et ⩾).
Page 1/7
Seconde
-
Chapitre 4
-
Variations d’une fonction
1.2
Démonstration. Suivons simplement la méthode précédente.
Méthode de démonstration
1) On considère deux réels a et b de l’intervalle R
● Nous arrivons à la première difficulté de ce chapitre :
2) On suppose que
(I = R).
b − a > 0
Comment démontrer qu’une fonction est croissante, décroissante ou constante ?
f (b) − f (a)
3) On factorise l’expression
● À la première lecture, tous mes élèves me disent que c’est incompréhensible. Mon
objectif est donc qu’à la deuxième lecture, tu es l’impression que la méthode est
toujours la même et que finalement ce n’est pas si insurmontable que cela. Il te
faudra par contre maîtriser correctement la factorisation et les inégalités.
1) On considère deux réels a et b de l’intervalle I.
b − a > 0
3) On factorise l’expression
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
4) On conclut : ⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
f (b) − f (a)
f (b) − f (a) > 0
f (b) − f (a) < 0
f (b) − f (a) = 0
Si
Si
Si
dans l’objectif d’étudier son signe.
alors
alors
alors
f (b) − f (a)
1.4
f est croissante sur I
f est décroissante sur I
f est constante sur I
(m b + p)
=
=
b − a > 0 donc le signe de f (b) − f (a) est le signe de m donc :
Si
m>0
alors
f (b) − f (a) > 0
et donc
f est croissante sur R
Si
m<0
alors
f (b) − f (a) < 0
et donc
f est décroissante sur R
Si
m=0
alors
f (b) − f (a) = 0
et donc
f est constante sur R
La fonctions carrée
Théorème 8. Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x2 .
f est décroissante sur ] − ∞; 0]
● Dans l’introduction, j’ai rappelé que l’étude du signe d’une expression était une
capacité très importante dans l’étude des fonctions. Tu remarques ainsi dans
cette méthode que je suppose la connaissance d’un signe
b − a > 0 et que je
cherche à étudier celui de
(m a + p)
−
m b + p − m a − p
m (b − a)
=
4) Or
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
Méthode 4. Soient I un intervalle de R et f une fonction définie sur I.
2) On suppose que
f (b) − f (a)
dans l’objectif d’étudier son signe.
● Comme tu l’as vu en quatrième, il est très facile d’étudier le signe d’un produit
car tu peux utiliser la règle des signes. Il est donc important de factoriser une
expression si tu souhaites étudier son signe.
est croissante sur [0; +∞[
Démonstration que f est décroissante sur ] − ∞; 0] :
1) On considère deux réels a et b de l’intervalle ] − ∞; 0]
2) On suppose que
f (b) − f (a) .
et
( I = ] − ∞; 0] ).
b − a > 0
f (b) − f (a)
3) On factorise l’expression
f (b) − f (a)
dans l’objectif d’étudier son signe.
b2 − a2
=
(b + a) (b − a)
=
4) Or b − a > 0 donc le signe de f (b) − f (a) est le signe de a + b.
1.3
Les fonctions affines
● Étudions le signe de a + b : Naturellement, on se dit que la somme de deux
nombres négatifs donne un nombre négatif mais on ne souhaite pas simplement
que a + b soit négatif, on souhaite que a + b soit strictement négatif. Et je reconnais
que ça va nous demander un peu plus de travail mais rien d’insurmontable.
Définition 5. Une fonction affine est une fonction f définie sur R par :
f (x)
=
mx + p
où
m et p sont deux réels
Si p = 0, on dit que aussi f est une fonction linéaire.
On sait que :
Propriété 6 (Admis). La représentation graphique d’une fonction affine est une droite
non verticale. m est son coefficient directeur et p son ordonnée à l’origine.
Théorème 7. Soit f définie sur R par f (x) = mx + p avec m et p deux réels.
⎧
Si m > 0 alors f est croissante sur R
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ Si m < 0 alors f est décroissante sur R
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩ Si m = 0 alors f est constante sur R
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Or :
● Conclusion :
a
<
b
2×b
⩽
2×0
a + b
<
2b
⩽
<
0
Donc
a + b
Donc
f (b) − f (a)
Donc
<
Donc :
<
b+b
car b est un élément de ] − ∞; 0]
0
par transitivité (voir section 1.6)
0
f est décroissante sur ] − ∞; 0]
f est croissante sur [0; +∞[
● Je vous laisse adapter la preuve pour démontrer que
Page 2/7
a+b
Seconde
-
Chapitre 4
-
Variations d’une fonction
1.5
Autres exemples (hors programme)
2) L’opposée d’une fonction :
● Si j’ai pris le temps d’indiquer hors programme dans le titre de cette section, c’est
qu’il n’est pas nécessaire de connaître ce qui suit. Néanmoins, il ne me paraît pas
impensable que tu puisses essayer de vérifier avec ta calculatrice que tu trouves
les mêmes résultats que moi.
● Dans un second temps, tu peux aussi envisager de démontrer ces résultats en utilisant la méthode précédente. La démonstration est l’exercice le plus important
des mathématiques donc ne perds pas de temps et entraines-toi.
f croissante sur I
g ∶ x z→ − f (x) est décroissante sur I
f décroissante sur I
g ∶ x z→ − f (x) est croissante sur I
3) Le produit de deux fonctions :
f croissante sur I
g croissante sur I
f × g n’est pas forcément
croissante sur I (*)
f décroissante sur I
g décroissante sur I
f × g n’est pas forcément
décroissante sur I (*)
f croissante sur I
g décroissante sur I
f × g n’est pas forcément
croissante ou décroissante sur I
Les fonctions de base :
1) Les fonctions constantes : soit f définie sur R par f (x) = k où k ∈ R
f est constante sur R
2) La fonction cube : soit f définie sur R par f (x) = x3
f est croissante sur R
4) L’inverse d’une fonction :
4
3) La fonction bicarrée : soit f définie sur R par f (x) = x
g ∶ x z→
f croissante sur I
f est décroissante sur ] − ∞; 0] et est croissante sur [0; +∞[
√
4) La fonction racine carrée : soit f définie sur [0; +∞[ par f (x) =
x
1
est décroissante sur I
f (x)
g ∶ x z→
f décroissante sur I
f est croissante sur [0; +∞[
1
x
f est décroissante sur ] − ∞; 0[ et sur ]0; +∞[
(*) Ces résultats deviennent corrects si f et g sont des fonctions strictement
positives sur I. Le problème est que l’ordre s’inverse chez les négatifs.
5) La fonction inverse : soit f définie sur R∗ par f (x) =
6) Les fonctions carrées : soit f définie sur R par f (x) = ax2 + bx + c
b
où a, b, c sont trois réels avec a ≠ 0. On pose :
x0 = −
2a
⎧
⎪
⎪
⎪ Si a > 0 alors f est décroissante sur ] − ∞; x0 ] et croissante sur [x0 ; +∞[
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩ Si a < 0 alors f est croissante sur ] − ∞; x0 ] et décroissante sur [x0 ; +∞[
1
est croissante sur I
f (x)
1.6
Quelques précisions sur l’utilisation des symboles ⩽ ; ⩾ ; < ; >
● Je ne vais pas te faire un cours complet sur ce qu’on appelle les relations d’ordre.
Si tu veux en savoir plus, je te conseille vivement Wikipedia pour les maths.
● Commençons par faire les choses que tu dois normalement déjà connaître :
⎧
⎪
a+c < b+c
⎪
⎪
⎪
Si a < b, alors ⎨
⎪
⎪
a−c < b−c
⎪
⎪
⎩
Les opérations de base :
;
a×p < b×p
;
;
a
a
<
p
p
;
B a×n
B na
> b×n
>
a
n
B
B
où c, p, n sont des réels avec p strictement positif et n strictement négatif.
1) La somme de deux fonctions :
● Enchainons de suite avec les quelques nouveautés :
f croissante sur I
g croissante sur I
f + g est aussi croissante sur I
f décroissante sur I
g décroissante sur I
f + g est aussi décroissante sur I
La transitivité est un mot barbare pour exprimer quelque chose de finalement
assez simple. Quelque soit le symbole que tu utilises ⩽ ; ⩾ ; > ou <,
Si
f croissante sur I
g décroissante sur I
f + g n’est pas forcément
croissante ou décroissante sur I
et
b < c
a < c
alors
● Il faut savoir que les inégalités strictes < et > gagnent toujours sur les larges ⩽ et ⩾
Si
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a < b
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a ⩽ b
et
b < c
alors
a < c
Seconde
-
Si
a > b
Chapitre 4
-
et
b ⩾ c
alors
a > c
Variations d’une fonction
2
Tableaux de variations et applications
Exemple 10.
● Dans une étude de fonction, tu raconteras toujours deux types de tableaux :
le tableau de variations
de la fonction f dont
la
représentation
graphique
Cf
se
-6
-5
situe à droite.
⎧
⎪
Est-ce que la sortie est positive, négative ou nulle ?
⎪
⎪ Le tableau de signes
⎨
⎪
Le tableau de variations Est-ce que la sortie augmente, diminue ou stagne ?
⎪
⎪
⎩
● Les mots « signes » et « variations » sont à mettre au pluriel puisqu’une fonction
peut très bien avoir plusieurs signes et plusieurs variations sur un même intervalle.
2.1
7
6
5
4
3
2
1
● Construire
Cf
-4
-3
-2
● On commence par placer les flèches :
ça monte, ça descend puis ça remonte.
x
-1
Définition
● Pour rendre les choses plus simples, je vais baser ma définition sur un exemple.
On pourrait presque dire qu’un bon exemple vaut mieux qu’un long discours.
x
−5
−2
5
0
2
3
3
8
Variations de f
−2
−∞
Définition 9 (Tableau de variations). Un tableau de variations est constitué de deux
colonnes et il est à double entrée.
● Ensuite on complète avec les coordonnées des points où il y a un changement de variations : ( − 1, 5 ; 6, 5 )
et ( 1, 5 ; − 0, 5 ).
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
−∞
2
− 1, 5
3
1, 5
4
3
6, 5
6
Variaθ
de f
− 0, 5
−∞
● À droite, la courbe s’arrête au point ( 3 ; 6 ). À gauche, la courbe ne s’arrête
pas donc −∞ en abscisse et elle plonge vers le bas donc −∞ en ordonnée.
● Sur la première ligne, tu indiques ce qu’il se passe en entrée de la fonction f .
● Sur la deuxième ligne, tu indiques comment varie les sorties de la fonction f .
Les flèches vont de la gauche vers la droite (des petites entrées vers les grandes).
La double barre verticale indique que 8 est une valeur interdite : D(f ) = [−5; 8[
● Dans ce tableau de variations, que nous in-
forme la flèche située la plus à gauche ?
Cf
● Elle commence au point de coordonnées (−5; 5).
● Elle se termine au point de coordonnées (−2; −2).
● Notre flèche est dirigée vers le bas donc la fonction est décroissance sur l’intervalle [−5; −2].
● Entre les deux points, tu sais que la courbe descend mais tu ne sais pas comment.
2.2
2.3
Construire une courbe à partir d’un tableau de variations
● Il faut bien comprendre que le tableau de variations est une représentation incomplète d’une fonction. Il nous permet de savoir si la courbe monte ou descend et de
connaître les coordonnées des virages. Maintenant entre deux virages, on ne sait
pas trop comment la courbe monte ou descend.
● Conclusion : À partir d’un même tableau de variations, tu pourras donc construire
plusieurs représentations graphiques et donc obtenir des fonctions différentes.
Exemple 11.
● Construire
une
représentation graphique à partir du
tableau de variations de droite.
Construire un tableau de variations à partir d’une courbe
● Premier savoir-faire associé aux tableaux de variations :
x
−4
1
2
3
5
3
Variations
de f
−1
1
Savoir les construire à partir de la représentation graphique de la fonction.
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Seconde
-
Chapitre 4
-
Variations d’une fonction
Exemple 13.
3
● On commence par placer les virages :
( − 4 ; 2) ; (1 ; − 1) ; (3 ; 3) et (5 ; 1)
● Ensuite on relie les points avec des
morceaux de courbes qui ne font que
descendre ou que monter.
l’aide de ce tableau de variations,
encadre les nombres
f (0) ; f (2, 5) ; f (−1, 2)
et f (4).
2
1
-4
-3
-2
-1
x
● À
1
2
3
4
−2
−1
1
3
4
+∞
3
Variations
de f
−6
−5
5
-1
● On commence par encadrer l’entrée x dans le bon intervalle et ensuite on encadre
la sortie f (x) en faisant attention à l’inversion de l’ordre si f est décroissante.
2.4
Encadrements
● L’encadrement, espère apparue au début de la seconde année de notre ère avec
l’introduction des intervalles, est actuellement en voie de disparition dans la tête
de mes élèves. Tu viens d’assister à la première et dernière blague de ce cours.
Intervalles
[2; 4]
] − 2; 1]
] − 4; −1[
[ 2 ; +∞ [
Encadrements
2 ⩽ x ⩽ 4
−2 < x ⩽ 1
−4 < x < −1
2 ⩽ x < +∞
On a :
−1 < 0 < 1
On a :
1 < 2, 5 < 3
Donc :
4 > f (0) > − 5
Donc :
−5 < f (2, 5) < − 3
On a :
− 2 < − 1, 2 < − 1
On a :
3 < 4
Donc :
− 6 < f (− 1, 2) < 4
Donc :
3 > f (4)
Quand tu souhaites encadrer f (x) :
● Je te rappelle que le « +∞ » n’est pas un nombre donc on ne devrait pas pouvoir
l’écrire dans des encadrements. Pour l’instant, je me permets de l’écrire pour une
bonne compréhension mais par la suite, il va falloir l’oublier.
● Si x est présent dans la première ligne, alors tu peux dans la seconde ligne, lire
la valeur exacte de f (x). Dans notre exemple, on a f (− 2) = − 6 et f (1) = − 5.
Méthode 12. Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R.
● Si x n’est pas présent dans la première ligne, tu vas d’abord encadrer x avec
des inégalités strictes et donc encadrer aussi f (x) avec des inégalités strictes. Il
est donc normal que je n’ai pas utilisé dans cet exemple les symboles ⩽ et ⩾.
Pour encadrer la sortie f (x), il va falloir simplement utiliser ce principe :
Si
f est croissante sur I,
alors
f conserve l’ordre des éléments.
Si
f est décroissante sur I,
alors
f inverse l’ordre des éléments.
f est croissante sur I
I =[ 2 ; 3 ]
I = [−3 ; 2 [
I = [1; +∞[
I = ] − ∞; 2[
f est décroissante sur I
Si
2 ⩽ x ⩽ 3
Si
2 ⩽ x ⩽ 3
Alors
f (2) ⩽ f (x) ⩽ f (3)
Alors
f (2) ⩾ f (x) ⩾ f (3)
Si
−3 ⩽ x < 2
Si
−3 ⩽ x < 2
Alors
f (− 3) ⩽ f (x) < f (2)
Alors
f (− 3) ⩾ f (x) > f (2)
Si
1 ⩽ x
Si
1 ⩽ x
Alors
f (1) ⩽ f (x)
Alors
f (1) ⩾ f (x)
Si
x < 2
Si
x < 2
Alors
f (x) < f (2)
Alors
f (x) > f (2)
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2.5
Comparaisons
● Dans cette nouvelle section, je vais te donner deux entrées a et b et je vais te
demander de comparer f (a) et f (b), c’est-à-dire de me dire qui est le plus grand.
Méthode 14. Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R.
Je te donne deux éléments a et b de I, ordonnés de la manière suivante :
Si
f est croissante sur I,
alors
f (a) < f (b)
Si
f est décroissante sur I,
alors
f (a) > f (b)
a < b
Exemple 15.
x
l’aide de ce tableau de variations,
compare les images
par f suivantes.
−2
−1
1
3
+∞
● À
Page 5/7
4
3
Variations
de f
−6
Seconde
-
Chapitre 4
−5
-
Variations d’une fonction
f (1, 2) < f (2, 5)
On a
Exemple 17.
f (− 0, 5) > f (0, 8)
On a
x
car
1 ⩽ 1, 2 < 2, 5 ⩽ 3
car
− 1 ⩽ − 0, 5 < 0, 8 ⩽ 1
et
f est croissante sur [1; 3]
et
f est décroissante sur [−1; 1]
f (− 1) > f (3, 5)
On a
l’aide de ce tableau de variations,
compare les images
par f suivantes.
f (− 2) < f (2)
On a
car
f (− 1) = 4 > 3 = f (3) > f (3, 5)
car
f (− 2) = − 6 < − 5 = f (1) < f (2)
et
f est décroissante sur [3; +∞[
et
f est croissante sur [−1; 3]
B
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
Il est parfaitement possible que le tableau de
variations ne te permet pas de comparer deux images.
⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎭
−2
−1
1
3
+∞
● À
4
3
Variations
de f
−6
−5
B
● Imagine, par exemple, un sentier de randonnée en
montagne qui descend le long d’une montagne et qui
la remonte ensuite sur un autre de ses flancs.
B
● Simplement en connaissant les variations de ce sentier, tu ne peux savoir qui est le haut entre le groupe
A et le groupe B.
f (− 1, 5) ?? f (0)
On a
On a
A
f (2, 5) ?? f (− 1, 5)
car
− 6 < f (− 1, 5) < 4
car
− 5 < f (2, 5) < 3
et
− 5 < f (0) < 4
et
− 6 < f (− 1, 5) < 4
2.6
2.7
Théorème de l’alpiniste
Minimum et maximum
● Il me faudrait au moins une ou deux pages entières, si je devais te dire toute
la vérité et rien que la vérité, sur le monde des minorants, des majorants, des
minimums, des maximums, des bornes inférieurs et des bornes supérieurs.
3
Équations et inéquations : résolution graphique
● Pour éviter d’ennuyer et de perdre la grand majorité de mes élèves, je vais faire
simple et ne pas trop rentrer dans les détails.
Méthode 16. Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R.
Avec I en entrée, tu vas devoir analyser comment se comporte les sorties :
{
3.1
(In-)équations de la forme f (x) = k ou f (x) ⩽ k
3.2
(In-)équations de la forme f (x) = g(x) ou f (x) ⩽ g(x)
La plus grande des sorties s’appellera le maximum de f sur I
La plus petite des sorties s’appellera le minimum de f sur I
Si la plus grande des sorties semble être Si la plus grande des entrées semble être
+ ∞, on dira que f n’admet pas de maxi- − ∞, on dira que f n’admet pas de minimum sur I et que f y est non majorée.
mum sur I et que f y est non minorée.
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Seconde
-
Chapitre 4
-
Variations d’une fonction
da
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Seconde
-
Chapitre 4
-
Variations d’une fonction