Correction du DM 1 , Modèle d`une molécule diatomique

Correction du DM 1 , Modèle d’une molécule
diatomique
Pour rendre compte des propriétés d’une molécule polaire on assimile celle-ci a un système de deux points matériels A
et B porteurs respectivement des charges
+q=+ e et -q= - e, avec = 0.6 et e = + 1,6 . 10-19 C
La distance AB = r a la valeur d’équilibre r0 = 3.10-10m en l’absence de champs extérieurs.
La masse m de A est 10-26kg; celle de B étant très supérieure, on admettra que B reste fixe et confondu avec l’origine
des coordonnées O. L’énergie potentielle de A en présence de B (énergie potentielle de la molécule) est donnée par :
0
1²
() 4
nq
Ur r
r
avec n de l’ordre de 10, désignant une constante positive. Le second terme
représente l’énergie potentielle électrostatique, le premier rend compte de l’existence d’une force d’origine quantique
répulsive (impénétrabilité des nuages électroniques des atomes en raison du principe de Pauli)
9
0
19 10
4
On aura F = - dU/dr comme vu dans le cours
1) Vérifier graphiquement que l’allure de U(r) correspond à un puits de potentiel et exprimer en fonction des données
r0 , n, q, 0. En déduire U(r) en fonction de r0 , n, q, 0 et r.
On devra montrer :
1
10
0
00
² 1 1
( ) ²( )
44
n
n
n
r
q
n r alors U r q r
nr
Réponse : Les termes en 1/rn et 1/r tendent tous les deux vers l’infini en 0 et vers 0 en l’infini.
Le terme en 1/rn en rouge pointillé domine en r=0 son infini est plus grand , le terme en -1/r en bleu plein domine en
l’infini il est moins petit en valeur absolue.
Ainsi la courbe a les deux comportements asymptotiques signalés sur la figure suivante :
1/r
1/rn
r
1/r
1/rn
r
r0

Elle développe nécessairement un puits de potentiel entre ses deux asymptotes
1 1 2
0 0 0
1
1 2 2 1 1 0
0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0
00
1 ² 1 1
( ) ² ( 1) ²
4 4 4
1 1 1 1
0 en r=r position d'équilibre ( 1) ² 0 ² ² ² ²
4 4 4 4
4
()
nn
n
n
n n n
n
q dU
U r r q r n r q r
r dr
r
r
dU n r q r q r n r q n r q q
dr n
nr
alors U r 11
00
0 0 0 0
1 1 1 1
1
12
0 0 0 0 1
0 0 0 0
1
0
000
1 ² 1 1 ² ² 1
² ( )
4 4 4 4
² 1 ² ² ² 1
( ) ( ) ( ( 1) ) ( )
4 4 4 4 ²
²
on a bien ( ) (
4
nn
n n n
n n n n
nn
nn
n
n
rr
q q q
q
r n r r
r r nr
r r r r r r
dU q d q d q q
r n r
dr dr r dr n n r
nr r
r
dU q
r
dr r10 0 0 0
1 ² 1 1
) ( ) 0
² 4 ² ²
q
r r r
2) Calculer l’énergie de dissociation
0
( ) ( )
d
E U U r
de la molécule en fonction de n,q, 0 et r0; exprimer Ed en eV
par molécule et en kilojoules par mole de molécules; commenter l’ordre de grandeur obtenu. 130kJ/mol
Remarque : pour les molécules dont les distances inter-atomiques sont courtes on monte à 500kJ/mol.
l'énergie de dissociation c'est l'énergie nécessaire pour casser la molécule soit pour amener sans vitesse les atomes à l'infini l'un de l'autre (r = )
depuis leur position naturelle la position d'é 0 d 0
1
0
00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0
quilibre r=r celà coute l'énergie E ( ) ( ) or ( ) 0
1 1 1 1 1 1 ² 1 1 ² 1 1 ² 1
( ) ²( ) ²( ) ( 1) ( 1)
4 4 4 4 4
r
n
dn
U r état final U r r état initial U r état final
rq q q n
et donc E U r q q
r nr r r n r n r n
nr
-10 -19 -19 -19
0
2 2 2
19 19 19 2
9 9 9 18 19
10 10 9
18 38 20 19
= 3.10 m et n=10 q= e= 0.6*1.6 10 C= 0.96 10 C 10 C d'après l'énoncé
10 10 10
10 1 9 81
on a donc 9 10 9 10 81 10 10 10
10 10 3
310 310 310
27 10 10 27 10 2.7 10 1.6*1.
d
E
JJ 19
19 19 23 19 4
6*10 1.6
2.7 10 ' .2.7 10 6.02 10 2.7 10 15 10 / 150 /
c'est moins que les liaisons fortes de la chimie qui sont à 500kJ/mol
A
J eV
J par molécule c est N J J J mole de molécules kJ mol
3) Développer U(r) au voisinage de r0 selon la formule que vous verrez en maths plus tard dans l’année :
22
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
( ) 1 ² ( ) ( ) 1 ² ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2! ² 2 ²
dU r d U r dU r d U r
U r U r r r r r r r U r r r r r r r
dr dr dr dr
et montrer que cette position d’équilibre r0 est stable, ce que l’on justifiera en examinant le signe de la force de rappel
pour une situation physique arbitrairement sélectionnée. On s’appuiera sur les calculs suivants :
22
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
00
( ) ( ) 1 ² ( ) ( ) 1 ² ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 ² 2 ²
( ) 1 ² ( )
0 ( ) 1 ( )
2²
dU r d dU r d U r d dU r d d U r d
F r U r r r r r r r U r r r r r r r
dr dr dr dr dr dr dr dr dr
dU r d U r
rr
dr dr 0 0 0 0
0 0 0 0 0
( ) ² ( )
2( ) ( ) ( ) ( )
²
( ) ² ( )
compte tenu de ce que r est une position d'équilibre ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( )
²
dU r d U r
r r r r r r
dr dr
dU r d U r
F r donc r et F r r r r
dr dr
On montrera qu’il est nécessaire que
00
3
00
² ( ) ² ( ) ² 1
( ) ce qui est le cas puisque ( ) 0
² ² 4
d U r d U r q n
r soit positif r
dr dr r
11
11
1 2 2 3
00
00
1 2 3
0 0 0 0
1
0
02 3 3
00
0 0 0
( 1)
² ² 1 ² ² ² 2
( ) ( ) ( ( 1) 2 ) ( )
² 4 ² 4 4 4
( 1)
² ² 2 ² 1
( ) ( ) 0
² 4 4
nn
nn
nn
nn
n
n
r r n
d U q d q d q q
r r r r n r r
dr dr r dr
r r r
rn
d U q q n
r
dr r r r
On a bien une force de rappel vers la position r0 si on pose k=
0
²()
²
dU r
dr
>0 on a F = - k (r-r0)

Devoir Maison n°2, Effet Doppler.
A rendre pour le lundi 22 septembre svp
Un lanceur envoie régulièrement des balles à la fréquence fL et à la vitesse u = u uz constante
Ces balles sont récupérées par un receveur qui regarde le lanceur en marchant à reculons donc avec une vitesse dans le
même sens que celle de la balle. Le receveur possède donc une vitesse v = v uz
La distance entre lanceur et receveur lorsque la première balle est lancée, origine des temps t=0, est D0
1) Calculer la date de la réception t1 de la première balle.
2) On prend comme nouvelle origine des temps t’=0 la date du lancer de la seconde balle, calculer par analogie avec la
question précédente la date de réception t’ de cette seconde balle. Exprimer cette date t2 avec l’origine des temps placée
à nouveau à l’instant du lancer de la première balle et en déduire la période de réception TR ainsi que sa fréquence fR.
3) Dans une transformation de Galilée : z=z’+v.t , x’=x , y’=y , t’=t entre deux référentiels en translation rectiligne
uniforme s’éloignant à la vitesse v l’un par rapport à l’autre. Exprimer l’invariance de la phase d’une onde propagative
' ' ' 't kz t k z
. Retrouver la formule de l’effet Doppler de la question 2.
3) Si le récepteur renvoie maintenant les balles instantanément à leur réception, quelle est la fréquence f’ à laquelle le
lanceur les voit revenir. On raisonnera par analogie avec la question 2 pour connaitre le lien entre la fréquence du
récepteur et celle de l’émetteur initial devenu receveur. On supposera v <<u. On utilisera les développements suivants
qui fonctionnent pour les petites valeurs de x :
11 (1 )(1 ) 1 2 ² 1 2
1x et x x x x x x
5) Une OPPH Onde plane Progressive harmonique de célérité c se réfléchit normalement sur une surface en recul selon
cette même normale à vitesse constante v. Quelle est la fréquence de l’onde réfléchie par rapport à celle de l’onde
incidente ? On rappelle qu’une onde plane est une onde dont l’état de polarisation est uniforme dans tout plan
perpendiculaire à la direction de propagation et harmonique est synonyme de sinusoïdale.
La réponse ne demande aucun calcul et est une conséquence des questions précédentes.
6) Si v<<c montrer que l’on peut détecter des battements
0
1 0 1 1
00
0 0 2 2 2 1
1)
2) ' (1 )
3) ' ' ' ' ' '( ) ' ' ' ' ' ' ' ' (1 )
4) ' (1 )(1 ) (1 2 )
5)
LL
L L R L R L
LL
D
ut D vt t uv
D vT D vT uv
D D vT t t T T t t T f f
u v u v u v u v
t kz t k z t k z vt k k et t t k vt soit k v kv v
cc
v v v
f f f
u u u
si r 2 (1 )
''
6)cos( ) cos( ' ) 2cos ( ) cos ( ) si les deux fréquences 'sont vosines on a des battements
22
refléchi v
éflexion on a vu c
t t t t et

DM3 recopier la correction du DS n°1

DM4 : ondes sur la corde de Melde
détermination de l’amplitude
On considère une corde de Melde de longueur L. On interprète la vibration de la corde de la manière suivante : le vibreur
émet une onde qui se propage en direction de la poulie où elle est réfléchie ; cette onde réfléchie de propage en direction
du vibreur où elle est elle même réfléchie ; l’onde réfléchie se propage en direction de la poulie où elle se réfléchit et ainsi
de suite.
L’axe (Ox) est parallèle à la corde au repos ; le vibreur est en x=0 et la poulie en x=L .
Le vibreur émet une onde s0(x,t) telle que s0(0,t)=a0cos( t). La célérité des ondes sur la corde est c et on note k= /c
On fait les hypothèses simplificatrices suivantes :
Lorsqu’une onde incidente si arrive sur la poulie en x=L, l’ode réfléchie sr vérifie : sr(L,t)=-r si(L,t) où r est un coefficient de
réflexion compris entre et 1
Lorsqu’une onde incidente s’i arrive sur le vibreur en x=0 l’onde réfléchie s’r vérifie s’r(0,t)=-r’s’i(0,t) où r’ est un coefficient
de réflexion compris entre 0 et 1
1) Exprimer l’onde s0(x,t)
2) Exprimer l’onde s1(tx,t) qui apparait par réflexion de l’onde s0 sur la poulie, puis l’onde s2(x,t) qui apparait par réflexion
de s1 sur le vibreur , puis l’onde s3(x,t) qui apparait par réflexion de s2 sur la poulie
3) A quelle condition les ondes s0 et s2 sont-elles en phase en tout point ? Que constate-t-on alors pour les ondes s1 et s2 ?
La condition précédente est supposée réalisée pour la suite
4) Justifier l’expression suivante de l’onde totale sur la corde :
2
0
( , ) (1 ' ' ... ' ...) 1 cos( )
n
s x t rr rr rr a r t kx
5) En quels points de la corde l’amplitude de la vibration est-elle maximale ? Exprimer l’amplitude maximale Amax en
fonction de a0,r et r’
On donne la formule
0
1
( ') 1'
n
nrr rr
6) En quels points l’amplitude est-elle minimale ? Exprimer l’amplitude minimale Amin
7) Expérimentalement on trouve Amin/a0 de l’ordre de 1 et Amax /a0 de l’ordre de 10. Déterminer r et r’
Ondes le long d’une corde de Melde constitue le DM4 a rendre mardi 7 octobre SVP