THÉORIE DES PROBABILITÉS Problématique Théorie - GIPSA-Lab

18/01/2011
1
UMR 5216
THÉORIE DES PROBABILITÉSTHÉORIE DES PROBABILITÉS
Michèle ROMBAUT
Département Images et Signal
Problématique
Estimer X ∈ Ω à partir d'informations
données par les sources S1, S2,…
Informations
−imprécises
−incertaines
Modélisation imperfection
Méthodes de fusion
2Fusion par la théorie des probabilités
Janvier 2011
Janvier 2011 3
Théorie des probabilités
Modèle probabiliste le plus ancien et le plus
utilisé
Modélise l'incertitude aléatoire
Pas de notion directe d'imprécision
Deux approches différentes :
−approche objectiviste (fréquentiste) : distribution de
probabilité d'une variable aléatoire
−approche subjective : répartition de probabilités
image de l'état des connaissances
Fusion par la théorie des probabilités Janvier 2011 4
Approche fréquentiste
(objective)
étude statistique du phénomène
évaluation de la fréquence d'occurrence d'un
événement
exemple : jet de dé
Ratio de fréquence d'apparition d'une face : 1/6
Fusion par la théorie des probabilités
Janvier 2011 5
Approche subjective
codage de l'état des connaissances
confiance dans l'apparition d'un événement
exemple :
Paul apprend à rouler à vélo, il a beaucoup de
"chances" de tomber.
Fusion par la théorie des probabilités Janvier 2011 6
Représentation des imperfections
Représentation de l'incertitude
Probabilité déterminée pour chacune des
valeurs de l'espace
Obtenue :
−de façon statistique (fréquentiste)
−par apprentissage (fréquentiste) : adaptation
−par expertise (subjective)
Fusion par la théorie des probabilités

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Distribution de probabilités sur l'espace de
discernement Ω
Propriétés :
−∀A ∈2 Ω, 0 ≤P(A) ≤1
−P(Ω ) =1
−∀A, B ∈2Ω, P(A∪B) = P(A) + P(B) si A∩B=∅
−∀A, B ∈2Ω, P(A) = P(A ∩B) + P(A ∩B)
Distribution catégorique
−P(Hi) = 1
Distribution ignorante (vide)
Représentation de l'incertitude
Fusion par la théorie des probabilités
)(
]1,0[:
HPH
P
a
→
Ω
Ω
=1 )(
i
HP
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Fusion d'information
Basée sur l'utilisation du théorème de Bayes
Pas de notion de concordance ou de
discordance
Sources redondantes : même espace de
discernement Ω
Fusion par la théorie des probabilités
Janvier 2011 9
Fusion d'information
d : mesure fournie par la source
Fusion : probabilité a posteriori
Fusion par la théorie des probabilités
∑
Ω∈
=
j
Hjjd
iid
i
HPHv HPHv
dHP )()( )()( )/(
Modèle Source S
probabilité a priori P(Hi) distribution de vraisemblance
P(d/Hi)=vd(Hi)
Janvier 2011 10
Fusion d'information
Fusion : probabilité a posteriori
Fusion par la théorie des probabilités
Source S1Source S2
distribution de vraisemblance
P(d1/Hi)=vd1(Hi)distribution de vraisemblance P(d2/Hi)=vd2(Hi)
∑
Ω∈
=
j
Hjdjd
idid
i
HvHv HvHv
dHP )().( )().( )/(
21
21
2,1
Propriétés
Fusion d'information conjonctive
Normalisation
Pas de notion de conflit (mesure impossible)
Modélisation similaire pour le doute et le
conflit : équirépartition des vraisemblances
Janvier 2011 Fusion par la théorie des probabilités 11
0)()(
21
=
∑
Ω∈
j
Hjdjd
HvHv
Doute et conflit
Janvier 2011 Fusion par la théorie des probabilités 12
1 1
1 2 12 1
12 2
2 1
2 2
( ) 0,5
( ) 0,5
( ) 0,5
( ) 0,5
( ) 0,5
( ) 0,5
v H
v H v H
v H
v H
v H
=
==
=
=
=
1 1
1 2 12 1
12 2
2 1
2 2
( ) 0,1
( ) 1
( ) 0,5
( ) 0,5
( ) 1
( ) 0,1
v H
v H v H
v H
v H
v H
=
==
=
=
=

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Sources complémentaires
Espaces de discernement différents et
indépendants
−source S1: espace Ω1
−source S2: espace Ω2
Nouvel espace de discernement Ω12 = Ω1×Ω2
−discret : couples
Fusion par la théorie des probabilités 13
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Exemple : jet de dé
ensemble de définition Ω ={F1, F2, F3, F4, F5, F6}
probabilités a priori P(F1)= P(F2)= P(F3)= P(F4)=
P(F5)= P(F6) = 1/6
Source 1 : indique le nombre de point au
milieu
Source 2 : indique le nombre de points sur un
coté
Fusion par la théorie des probabilités
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Sources
Fusion par la théorie des probabilités
Source S
1
0pt : {F2, F4, F6}
1
p
t :
{
F
1
, F
3
, F
5
}
Source S
2
0pt : {F
1
}
1pt : {F
2
, F
3
}
2pt : {F
4
, F
5
, F
6
}
3pt : {F
6
}
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Processus de raffinement
Source 1 : Ω1 ={0 p1, 1 p1}
Source 2 : Ω2 ={0 p2, 1 p2, 2 p2, 3 p2}
Espace de discernement Ω = {F1, F2, F3, F4, F5, F6} avec
−F1= (1 p1 , 0 p2)
−F2= (0 p1 , 1 p2)
−F3= (1 p1 , 1 p2)
−…
Sans signification : (0 p1 ,0 p2); (1 p1,3 p2)
Fusion par la théorie des probabilités
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Processus de raffinement
0 p
1
1 p
1
0 p
2
∅ F
1
1 p
2
F
2
F
3
2 p
2
F
4
F
5
3 p
2
F
6
∅
Fusion par la théorie des probabilités
Fusion modèle – mesure
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0 point 1 point
F
1
p(0 p
1
/F
1
) = 0 p(1 p
1
/F
1
) = 1
F
2
p(0 p
1
/F
2
) = 1 p(1 p
1
/F
2
) = 0
F
3
p(0 p
1
/F
3
) = 0 p(1 p
1
/F
3
) = 1
F
4
p(0 p
1
/F
4
) = 1 p(1 p
1
/F
4
) = 0
F
5
p(0 p
1
/F
5
) = 0 p(1 p
1
/F
5
) = 1
F
6
p(0 p
1
/F
6
) = 1 p(1 p
1
/F
6
) = 0
p(point/face) = vpoint(face)
p(F1)= 1/6
p(F2)= 1/6
p(F3)= 1/6
p(F4)= 1/6
p(F5)= 1/6
p(F6)= 1/6
p(face)
Probabilité a priori
Probabilité conditionnelle

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Fusion modèle-mesure
1 point
F
1
p(F
1
/1 p
1
) = p(1 p
1
/F
1
). p(F
1
) . 2 = 1/3
F
3
p(F
3
/1 p
1
) = p(1 p
1
/F
3
). p(F
3
) . 2 = 1/3
F
5
p(F
5
/1 p
1
) = p(1 p
1
/F
5
). p(F
5
) . 2 = 1/3
6/3)()./1(
=
∑
i
Fii
FpFpointp
Source 1 : 1 point
Fusion par la théorie des probabilités Janvier 2011 20
Fusion mesure-mesure
p((1point,1point)/F3) = v(1point,1point)(F3) = 1
1 point
F
1
p(1 p
1
/F
1
) = 1
F
2
p(1 p
1
/F
2
) = 0
F
3
p(1 p
1
/F
3
) = 1
F
4
p(1 p
1
/F
4
) = 0
F
5
p(1 p
1
/F
5
) = 1
F
6
p(1 p
1
/F
6
) = 0
Source 1 : 1 point
1 point
F
1
p(1 p
2
/F
1
) = 0
F
2
p(1 p
2
/F
2
) = 1
F
3
p(1 p
2
/F
3
) = 1
F
4
p(1 p
2
/F
4
) = 0
F
5
p(1 p
2
/F
5
) = 0
F
6
p(1 p
2
/F
6
) = 0
Source 2 : 1 point
Fusion par la théorie des probabilités
Vraisemblance conditionnelle
Mesure x dans l'espace continu
Hypothèse Hi∈Ω
Modèle de représentation
−statistique : apprentissage supervisé
−subjective : modélisation d'une connaissance
experte
Janvier 2011 Fusion par la théorie des probabilités 21 Janvier 2011 22
Vraisemblance conditionnelle
p(x/H
i
)
σ
?
µ
ι
Densité de probabilité p(x/Hi)
Distribution Gaussienne : moyenne µi,variance σi2
Fusion par la théorie des probabilités
Janvier 2011 23
Fusion modèles –mesure
H
i
p(d/H
i
)
Ω
H
i-1
d
Mesure d
Distribution de vraisemblance :
∀ Hi ∈ Ω , vd(Hi) = p (d /Hi)
Fusion par la théorie des probabilités Janvier 2011 24
Fusion d'information
Fusion : densité de probabilité a posteriori
Fusion par la théorie des probabilités
Modèle Source S
densités de probabilité a
priori p(Hi)
densités de vraisemblance
p(d/Hi)=vd(Hi)
∑
Ω∈
=
j
Hjjd
iid
i
HPHv HPHv
dHP )()( )()( )/(

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Extension au cas continu
Espace de définition : espace de
discernement Ω
Hypothèse : connaissance statistique sur la
mesure d
Représentation de l'imprécision : définition
d'une densité de probabilité
−Distribution de probabilité gaussienne
−Moyenne d,
−Précision de la source σ
Janvier 2011 Fusion par la théorie des probabilités 25 Janvier 2011 26
Vraisemblance conditionnelle
p(x/d)
σ
Probabilité que X ∈ [a,b], si la mesure est d.
Densité de probabilité p(x/d)
Distribution Gaussienne : moyenne d, variance σ
2
∫
=
b
a
dxdxpdbaP )/()/],([
Fusion par la théorie des probabilités
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Fusion d'information
Fusion : densité de probabilité a posteriori
Fusion par la théorie des probabilités
Source S1Source S2
distribution de vraisemblance
P(d1/x)=vd1(x) distribution de vraisemblance P(d2/x)=vd2(x)
∫Ω∈
=
ydd
dd
yvyv
xvxv
dxp )()(
)().(
)/(
21
21
2,1
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Résultat en 1D
σ1
σ2
σ<σ1
σ<σ2
Fusion par la théorie des probabilités
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Exemple en 1D
Estimation de x (état réel)
Mesures d1, d2
Précisions σ
1,
σ
2
Gaussienne résultante :
−Moyenne
−Précision
21
2
2
1
1
11
σσ
σσ
+
+
=
dd
X
Fusion par la théorie des probabilités
21
111
σσσ
+=
Conclusion
Incertitude modélisée par une probabilité
Pas de notion directe d'imprécision : chaque
élément de Ωest possible.
Confusion entre doute et conflit de sources
Janvier 2011 Fusion par la théorie des probabilités 30