THÉORIE DES PROBABILITÉS Problématique Théorie - GIPSA-Lab

18/01/2011
Problématique
Estimer X ∈ Ω à partir d'informations
données par les sources S1, S2,…
THÉORIE DES PROBABILITÉS
Informations
Michèle ROMBAUT
Département Images et Signal
−
imprécises
−
incertaines
Modélisation imperfection
Méthodes de fusion
Janvier 2011
Fusion par la théorie des probabilités
UMR 5216
Approche fréquentiste
Théorie des probabilités
(objective)
Modèle probabiliste le plus ancien et le plus
utilisé
Modélise l'incertitude aléatoire
Pas de notion directe d'imprécision
Deux approches différentes :
−
−
2
approche objectiviste (fréquentiste) : distribution de
probabilité d'une variable aléatoire
approche subjective : répartition de probabilités
image de l'état des connaissances
étude statistique du phénomène
évaluation de la fréquence d'occurrence d'un
événement
exemple : jet de dé
Ratio de fréquence d'apparition d'une face : 1/6
Janvier 2011
Janvier 2011
Fusion par la théorie des probabilités
3
Approche subjective
Fusion par la théorie des probabilités
Représentation des imperfections
codage de l'état des connaissances
confiance dans l'apparition d'un événement
exemple :
4
Paul apprend à rouler à vélo, il a beaucoup de
"chances" de tomber.
Janvier 2011
Représentation de l'incertitude
Probabilité déterminée pour chacune des
valeurs de l'espace
Obtenue :
−
de façon statistique (fréquentiste)
−
par apprentissage (fréquentiste) : adaptation
−
par expertise (subjective)
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Fusion par la théorie des probabilités
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Fusion par la théorie des probabilités
6
1
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Fusion d'information
Représentation de l'incertitude
Distribution de probabilités sur l'espace de
discernement Ω
P : Ω → [0,1]
Propriétés :
−
∀ A ∈ 2 Ω, 0 ≤ P(A) ≤ 1
−
P(Ω ) =1
−
∀ A, B ∈ 2Ω, P(A∪ B) = P(A) + P(B) si A∩ B=∅
−
∀ A, B ∈ 2Ω, P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩B)
Distribution catégorique
Distribution ignorante (vide)
−
H a P(H)
P(Hi) = 1
P(H i ) =
Basée sur l'utilisation du théorème de Bayes
Pas de notion de concordance ou de
discordance
Sources redondantes : même espace de
discernement Ω
1
Ω
Janvier 2011
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Fusion par la théorie des probabilités
Fusion par la théorie des probabilités
Fusion d'information
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Fusion d'information
Modèle
Source S
Source S1
Source S2
probabilité a priori P(Hi)
distribution de vraisemblance
P(d/Hi)=vd(Hi)
distribution de vraisemblance
P(d1/Hi)=vd1(Hi)
distribution de vraisemblance
P(d2/Hi)=vd2(Hi)
d : mesure fournie par la source
Fusion : probabilité a posteriori
Fusion : probabilité a posteriori
P ( H i / d1, 2 ) =
P( H i / d ) =
vd ( H i ) P ( H i )
d
j ) P( H j )
vd 1 ( H i ).vd 2 ( H i )
∑ vd1 ( H j ).vd 2 ( H j )
H j ∈Ω
∑v (H
H j ∈Ω
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Janvier 2011
Fusion par la théorie des probabilités
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Fusion par la théorie des probabilités
Propriétés
Fusion d'information conjonctive
Normalisation
Doute et conflit
v1 ( H1 ) = 0,5 

v1 ( H 2 ) = 0,5  v12 ( H1 ) = 0,5

v2 ( H1 ) = 0,5  v12 ( H 2 ) = 0,5
v2 ( H 2 ) = 0,5 
v1 ( H1 ) = 0,1 

v1 ( H 2 ) = 1  v12 ( H1 ) = 0,5

v2 ( H1 ) = 1  v12 ( H 2 ) = 0,5
v2 ( H 2 ) = 0,1 
Pas de notion de conflit (mesure impossible)
∑ v d 1 ( H j )vd 2 ( H j ) = 0
H j ∈Ω
Modélisation similaire pour le doute et le
conflit : équirépartition des vraisemblances
Janvier 2011
Janvier 2011
Fusion par la théorie des probabilités
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Fusion par la théorie des probabilités
12
11
2
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Sources complémentaires
Exemple : jet de dé
Espaces de discernement différents et
indépendants
−
source S1 : espace Ω1
−
source S2 : espace Ω2
ensemble de définition Ω={F1, F2, F3, F4, F5, F6}
probabilités a priori P(F1)= P(F2)= P(F3)= P(F4)=
P(F5)= P(F6) = 1/6
Nouvel espace de discernement Ω12 = Ω1×Ω2
−
Source 1 : indique le nombre de point au
milieu
discret : couples
Source 2 : indique le nombre de points sur un
coté
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Fusion par la théorie des probabilités
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Sources
Processus de raffinement
Source 1 : Ω1={0 p1, 1 p1}
Source 2 : Ω2={0 p2, 1 p2, 2 p2, 3 p2}
Source S2
0pt : {F1}
1pt : {F2, F3 }
2pt : {F4, F5 , F6}
3pt : {F6}
Source S1
0pt : {F 2, F4, F6 }
1pt : {F 1, F3, F5 }
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Fusion par la théorie des probabilités
Espace de discernement Ω = {F1, F2, F3, F4, F5, F6} avec
−
F1= (1 p1 , 0 p2)
−
F2= (0 p1 , 1 p2)
−
F3= (1 p1 , 1 p2)
− …
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Sans signification : (0 p1 ,0 p2) ; (1 p1, 3 p2)
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Fusion par la théorie des probabilités
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Processus de raffinement
Fusion par la théorie des probabilités
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Fusion modèle – mesure
Probabilité conditionnelle
0 p2
0 p1
∅
1 p1
p(point/face) = vpoint(face)
Probabilité a priori
F1
1 p2
F2
F3
2 p2
F4
3 p2
F6
F5
∅
0 point
1 point
F1
p(0 p 1/F 1) = 0
p(1 p 1 /F 1 ) = 1
F2
p(0 p 1/F 2) = 1
p(1 p 1 /F 2 ) = 0
F3
p(0 p 1/F 3) = 0
p(1 p 1 /F 3 ) = 1
p(F3)= 1/6
F4
p(0 p 1/F 4) = 1
p(1 p 1 /F 4 ) = 0
p(F4)= 1/6
F5
p(0 p 1/F 5) = 0
p(1 p 1 /F 5 ) = 1
F6
p(0 p 1/F 6) = 1
p(1 p 1 /F 6 ) = 0
p(face)
p(F1)= 1/6
p(F2)= 1/6
p(F5)= 1/6
p(F6)= 1/6
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Janvier 2011
Fusion par la théorie des probabilités
Fusion par la théorie des probabilités
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17
3
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Fusion modèle-mesure
Fusion mesure-mesure
Source 1 : 1 point
Source 1 : 1 point
F3
F5
1 point
∑ p(1 point / Fi ). p( Fi ) = 3 / 6
F1
p(1 p1/F1) = 1
F1
p(1 p2/F1) = 0
Fi
F2
p(1 p1/F2) = 0
F2
p(1 p2/F2) = 1
F3
p(1 p1/F3) = 1
F3
p(1 p2/F3) = 1
p(F 1 /1 p 1 ) = p(1 p 1 /F 1 ). p(F 1 ) . 2 = 1/3
F4
p(1 p1/F4) = 0
F4
p(1 p2/F4) = 0
p(F 3 /1 p 1 ) = p(1 p 1 /F 3 ). p(F 3 ) . 2 = 1/3
F5
p(1 p1/F5) = 1
F5
p(1 p2/F5) = 0
p(F 5 /1 p 1 ) = p(1 p 1 /F 5 ). p(F 5 ) . 2 = 1/3
F6
p(1 p1/F6) = 0
F6
p(1 p2/F6) = 0
1 point
F1
Source 2 : 1 point
1 point
p((1point,1point)/F3) = v(1point,1point)(F3) = 1
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Janvier 2011
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Fusion par la théorie des probabilités
Vraisemblance conditionnelle
Mesure x dans l'espace continu
Hypothèse Hi ∈ Ω
20
Fusion par la théorie des probabilités
Vraisemblance conditionnelle
Densité de probabilité p(x/Hi)
Distribution Gaussienne : moyenne µi, variance σi2
Modèle de représentation
−
statistique : apprentissage supervisé
−
subjective : modélisation d'une connaissance
experte
p(x/Hi)
σ?
µι
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Janvier 2011
Fusion par la théorie des probabilités
Fusion par la théorie des probabilités
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Fusion modèles –mesure
Fusion d'information
Mesure d
Distribution de vraisemblance :
Modèle
Source S
densités de probabilité a
priori p(Hi)
densités de vraisemblance
p(d/Hi)=vd(Hi)
∀ Hi ∈ Ω , vd (Hi ) = p (d /Hi)
Fusion : densité de probabilité a posteriori
p(d/Hi)
Hi-1
Hi
d
P( H i / d ) =
vd ( H i ) P ( H i )
∑ vd ( H j ) P( H j )
H j ∈Ω
Ω
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Fusion par la théorie des probabilités
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Fusion par la théorie des probabilités
24
4
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Extension au cas continu
Vraisemblance conditionnelle
b
P([ a, b] / d ) = ∫ p( x / d ) dx
Espace de définition : espace de
discernement Ω
a
Probabilité que X ∈ [a,b], si la mesure est d.
Hypothèse : connaissance statistique sur la
mesure d
Densité de probabilité p(x/d)
Distribution Gaussienne : moyenne d, variance σ2
Représentation de l'imprécision : définition
d'une densité de probabilité
−
Distribution de probabilité gaussienne
−
Moyenne d,
−
Précision de la source σ
p(x/d)
σ
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Janvier 2011
Fusion par la théorie des probabilités
Fusion par la théorie des probabilités
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Fusion d'information
Résultat en 1D
Source S1
Source S2
distribution de vraisemblance
P(d1/x)=vd1(x)
distribution de vraisemblance
P(d2/x)=vd2(x)
σ < σ1
σ < σ2
σ1
Fusion : densité de probabilité a posteriori
σ2
vd 1 ( x).vd 2 ( x)
p ( x / d1, 2 ) =
∫v
d1
( y ) vd 2 ( y )
y∈Ω
Janvier 2011
Janvier 2011
Fusion par la théorie des probabilités
Exemple en 1D
Estimation de x (état réel)
Mesures d1 , d2
Précisions σ1 , σ2
Gaussienne résultante :
d1
σ1 +
Moyenne
X=
−
Précision
1 = 1
σ
d2
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Conclusion
−
Fusion par la théorie des probabilités
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Incertitude modélisée par une probabilité
Pas de notion directe d'imprécision : chaque
élément de Ω est possible.
Confusion entre doute et conflit de sources
σ2
σ1 + σ 2
1
1
σ1 + σ 2
1
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Fusion par la théorie des probabilités
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Fusion par la théorie des probabilités
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5