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Lois à densité
I. Variable aléatoire à densité
1) Variable aléatoire
Définition :
Une variable aléatoire est une fonction définie sur l’univers et à valeurs dans Ë. On la
note X.
Exemple :
Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher, l'une d'entre elles porte le numéro
10, deux portent le numéro 5, trois portent le numéro 2 et les autres portent le numéro 1.
On peut définir une variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le numéro obtenu.
Dans toutes les situations étudiées précédemment, la variable aléatoire X prend un nombre
fini de valeurs. On dit alors que X est une variable discrète.
Cependant, il existe des variables aléatoires non discrètes, qui prennent toutes les valeurs
d’un intervalle I de ℝ ( borné ou non ). On dit que X est une variable continue.
Exemples
1) On tire une flèche sur une cible de rayon 1 mètre et on suppose qu’il est impossible de
manquer la cible. La variable aléatoire égale à la distance entre le point d’impact et le
centre de la cible est une variable continue qui peut prendre toutes les valeurs de
l’intervalle [0 ; 1].
2) Le livreur de pizza doit passer entre 19 et 20 heures. Soit X l’heure exacte de son
arrivée. X peut être considérée comme une variable continue sur l’intervalle [19 ; 20].
2) Fonction densité
Une fois une variable aléatoire définie, on s’intéresse à sa loi de probabilité.
Dans le cas d’une variable aléatoire discrète, on représente généralement cette loi sous la
forme d’un tableau.
Valeurs possibles de l'expérience
Numéro sorti n
10
5
2
1
Probabilité correspondante
P(X=n)
10
1
10
2
10
3
10
4
Comme les événements correspondants aux différentes valeurs possibles forment une
partition de , on a p1 + p2 + … + pn = 1 ; ceci constitue une bonne vérification, dans la mesure
où si cette somme n'est pas égale à 1, c'est qu'il y a une erreur quelque part!

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Dans le cas d’une variable aléatoire continue, on utilise une fonction définie sur Ë appelée
fonction densité.
Définition :
Soit X une variable aléatoire continue prenant ses valeurs dans un intervalle I.
On lui associe une fonction f continue(sauf éventuellement en un nombre fini de points) et
positive sur I telle que :
 l'aire sous la courbe sur I soit égale à 1.
 si J I, la probabilité de l'événement ( X J ) est égale à l'aire située sous la courbe
sur l'intervalle J.
La fonction f est appelée densité de probabilité de la variable aléatoire X.
Si I = [a ; b], on a donc
b
adt)t(f
= 1
3) Probabilité
Définition :
Soit X la variable aléatoire à valeurs dans I, muni d’une fonction densité f.
Si I = [a ; b] et J = [ ; ] un intervalle de I,
P( X  J) =
dt)t(f
La probabilité est définie comme l’aire du domaine suivant : {M(x, y), x ☻ J et 0 ≤ y ≤ f(x)}
Remarque :
d’après cette définition, P(X = ) =
dt)t(f
= 0.
Conséquence : P( X ≤  ) = P( X <  )
Exemples
1) Démontrer que la fonction g définie par :
1xsi
x
1
)x(g
1xsi0)x(g
2
est une densité de
probabilité.
2) Démontrer que la fonction h définie par : h(t) = 3t² est une densité de probabilité sur
[0 ; 1].

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4) Espérance mathématique
Rque :
Dans le cas d’une variable aléatoire discrète, l’espérance mathématique de X est définie par
E(X) =
n
1i iiii )xX(pxpx
Avec le jeu présenté au-dessus, on obtient E = = 3
Définition :
Soit X une variable aléatoire continue de fonction de densité f sur l’intervalle [a ; b], alors
l’espérance mathématique de cette loi X, notée E(X) est égale à
dt)t(ft
b
a
Ex 7 à 11 p.413
II. Loi uniforme
1) Définition :
Une variable aléatoire suit une loi uniforme lorsque sa fonction de densité est constante sur
I = [ a ; b ].
Propriété :
Si X suit une loi uniforme sur [a ; b] alors, x I , f(x) =
ab
1
et P( X J ) =
ab 
=
Idelongueur
Jdelongueur
démonstration :
Dans ce cas, la partie sous la courbe est un rectangle et comme son aire doit être égale à 1,
donc f(x) (b-a) = 1 …
P( X J ) =
dt)t(f
= … =
ab 
Exercice : Toutes les 15 mn, un bus passe à un arrêt donné (le premier bus passe à 8 h).
Un usager se présente à cet arrêt entre 8 h et 8h 30.
X est la variable aléatoire qui donne le temps écoulé en mn, entre 8 h et l'heure (exacte)
d'arrivée de l'usager.
On suppose que cette variable aléatoire suit une loi uniforme (on dit encore qu'elle est
uniformément répartie) sur [0 ; 30]
On appelle Y la variable aléatoire qui donne le temps d’attente de l’usager.
1) Quelle est la fonction de densité de X ?
2) Quelle est la probabilité que l'usager attende le bus :

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a) moins de 5 mn ? b) plus de 10 mn ? c) exactement 2 mn ?
f(x) =
30
1
…
a) P(Y<5) = P(X  [10 ; 15]) + P(X  [25 ; 30]) = … =
3
1
b) P(Y>10) = P(X  ] 0 ; 5]) + P(X  ]15 ; 20]) = … =
3
1
c) P(Y = 2) = P(X = 13) + P(X = 28) = 0
2) Espérance
Propriété :
L’espérance d’une variable aléatoire X suivant une loi uniforme sur [a ; b] est donnée par
2
ba
)X(E 
Dem :
E(X) =
dt)t(ft
b
a
=
dt
ab
t
b
a
= … =
2
ba 
Ex 16 à 20 p.414
III. Loi exponentielle
1) Définition :
Une variable aléatoire suit une loi exponentielle de paramètre  (où  > 0) lorsque sa fonction
de densité est du type : f(x) =  e –  x où x [0 ; + [ et f(x) = 0 sinon.
Démontrons que cette fonction est bien une densité de probabilité :
Pour x ≥ 0, on a :
x
0dt)t(f
=
x
0
tdte
=
x
0
t
e
= -
1e x
donc l’aire sous la courbe est
 dt)t(f
=
0dt)t(f
=
x
0
xdt)t(flim
= … = 1
donc f est bien une densité de probabilité.

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Propriété :
Si X une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre  alors pour tout réel
a positif ,
p(X a) = 1 – e–a
p(X a) = e–a
p(a X b) = e–a – e–b
dem :
p(X a) =
a
0
tdte
= …
p(X a) = 1 - p(X < a) = 1 - p(X a) = …
p(a X b) = p(X[a ; b]) =
b
a
tdte
= …
Ex :
Une variable aléatoire X suit une loi exponentielle de paramètre
5
1
.
Déterminer p(X 15) et p(X 5) et p( 5 X 15 ).
p(X 15) = … =
3
e1 
p(X 5) =
1
e
p( 5 X 15 ) =
31 ee  
Ex 22-23 p.414
2) Variable aléatoire sans mémoire
Définition :
Soit X une variable aléatoire à valeurs dans [ 0 ; + [ qui suit une loi à densité continue.
On dit que X suit une loi de durée de vie sans vieillissement ou sans mémoire lorsque :
pour tous réels t et h strictement positifs tels que p( X > t ) 0 ,
)htX(P tX 
= P(X > h).
C'est-à-dire que la probabilité que l’objet vive encore une durée h ne dépend pas de son âge
actuel.
Propriété :
Soit X une variable aléatoire à valeurs dans [ 0 ; + [ qui suit une loi à densité continue.
X suit une loi de durée de vie sans vieillissement si et seulement si X suit une loi
exponentielle de paramètre  .