Correction - TD n˚5 - Dynamique des fluides en écoulement

Physique Coorection - TD no 5 : Dynamique des fluides en écoulement visqueux incompressible
Correction - TD n˚5 - Dynamique des fluides
en écoulement visqueux incompressible
1 Parachutiste
1. Supposons le nombre de Reynolds suffisamment grand pour que la traînée soit donnée
−
→
→
pas la formule F = −0.5µCSv −
v . On néglige la poussée d’Archimède devant le poids du
parachutiste. Celui-ci n’est alors soumis qu’à son poids et à la force de traînée. Quand il a
atteint sa vitesse limite, les deux forces se compensent et :
s
vlim =
mg
= 7.3m.s−1
0.5µCS
en prenant la valeur de la masse volumique de l’air égale à 1.3kg.m−3 . Cette valeur est
raisonnable mais n’est pas si faible. Elle correspond à la vitesse que l’homme atteindrait
après une chute libre de 2.7 m, ce qui est déjà conséquent.
On voit qu’un parachute doit être conçu à la fois pour ne pas rester trop longtemps en
l’air (pour ne pas que le parachutiste soit abattu en l’air), mais également pour arriver
suffisamment lentement pour ne pas blesser le parachutiste à l’atterrissage.
Il reste à valider l’hypothèse en calculant le nombre de Reynolds (la viscosité dynamique
de l’air est égale à 1.8.10−5 P l.) :
Re =
µDvlim
= 3.106 1
η
L’hypothèse de départ est donc valable.
2. En altitude, la masse volumique de l’air est plus faible. Si le parachutiste garde le même
équipement, sa vitesse limite augmente. Si on adopte un modèle d’atmosphère isotherme, la
h
−
masse volumique de l’air à une altitude h est donnée par µ(h) = µ(0)e H avec H ' 8km.
Ce qui conduit, avec h = 4200m à : µ(h) ' 0.6µ(0) (même si le modèle est simpliste, l’ordre
1
de grandeur est bon). La vitesse limite serait donc multipliée d’un facteur √
= 1.3, ce
0.6
qui est trop important (cela correspond à une chute libre de presque 4m...). Le parachutiste
a donc intérêt à utiliser un parachute de surface plus grande pour arriver au sol avec une
vitesse raisonnable.
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2 Nombre de Reynolds et force de traînée
3 Ecoulement d’un fluide visqueux le long d’un plan incliné
−
→
1. La vitesse est un vecteur vrai, tout comme le champ électrique E ; la vitesse appartient
−
→
donc nécessairement aux plans de symétrie. En particulier, tout plan (M , →
u x, −
u y ) est plan
→
−
de symétrie, et donc la vitesse est perpendiculaire à u z . De plus, le fluide doit s’écouler le
long de la pente sous l’effet de la gravité, et sa vitesse est nécessairement perpendiculaire
→
à−
u y.
−
→
Finalement, le problème est invariant par translation suivant →
u z et −
u x (si l’on néglige
l’influence du bas et du haut du plan incliné), et la vitesse ne dépend donc ni de z, ni de
x. On obtient donc :
−
→
→
v = v(y)−
ux
2. Etant donnée l’expression de la vitesse, l’accélération convective est nulle. Le régime est
permanent, donc l’accélération locale est nulle également. L’équation de Navier-Stokes se
simplifie donc en :
d2 v →
−−→
−
→
→
0 = µ−
g − grad(P ) + η 2 −
ux
dy
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En projection sur Oy :
∂P
= −µgcosα
∂y
En intégrant cette équation entre y et h où la pression vaut P0 , on obtient :
P (M ) = P0 + µg(h − y)cosα
L’équation de Navier-Stokes projetée sur Ox donne alors :
η
d2 v
= −µgsinα
dy 2
Par intégration, on obtient donc :
v(y) = −
1 µgsinα 2
y + Ay + B
2 η
où A et B sont des constantes à déterminer.
Sur le plan, la vitesse du fluide visqueux est nécessairement nulle, donc : v(0) = 0, soit
B = 0.
Au niveau de la surface libre, la contrainte tangentielle est nulle. En effet, appliquons
le principe fondamental de la dynamique à une petite particule de fluide à cheval sur
l’interface et faisons tendre son épaisseur vers 0. Comme son éccélération reste finie, il
vient, en projection sur Ox :
0 = −ηf luide
dv −
dv
(h ) + ηair (h+ )
dy
dy
Sachant que ηair ηf luide , nous en déduisons :
ment :
v(y) =
dv −
(h ) = 0, donc A = µghsinα. Finaledy
1 µgsinα
(2h − y)y
2 η
3. Le débit volumique à travers une section de largeur ` est :
DV =
Z h
0
v(y)`dy =
µg
sinα`h3
3η
et la vitesse moyenne est :
vm =
DV
µg
=
sinαh2
`h
3η
4. La distance caractéristique de l’écoulement étant h, et la vitesse caractéristique étant vm ,
on en déduit :
µhvm
Re =
η
Le calcul n’est valable que pour un écoulement laminaire, c’est à dire pour un nombre
de Reynolds faible. C’est le cas de l’huile, mais pas de l’eau. En effet, avec de l’eau, des
turbulences apparaissent, qui se traduit par l’apparition de petits tourbillons, de petits
remous et de petites bulles.
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4 Ecoulement de Couette
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5 Ecoulement dans une cellule de Hele-Shaw
8
8
2
2
a2
4
8
a2
4
a2
4
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.5 La valeur de la vitesse moyenne fait apparaître que l'écoulement est globalement potentiel, puisqu'il
prend la forme v=grad ϕ , avec ϕ = - a 2P .
12η
L'écoulement est donc globalement irrotationnel, puisqu'on rappelle que les deux termes sont synonymes.
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