Modélisation des actions mécaniques
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Modélisation des Actions Mécaniques 15/09/2013 Modélisation d’actions mécaniques 1 NOTION D’ACTION MECANIQUE MODÉLISATION MODÉLISATION A.M.E. A.M.E. NOTION DIFFÉRENTS TYPES On appelle action mécanique toute cause susceptible de : • Créer ou modifier un mouvement ; Le déplacement d’un voilier est dû à l’action mécanique exercée par le vent sur la voile. MODÈLE FORCE • CONTACT • PRESSION • PESANTEUR • RESSORT MOMENT • / AXE • / POINT • DÉTERMINATION TORSEUR RESULTANTES • Maintenir un corps au repos ; L’action mécanique exercée sur la manivelle d’un étau permet de fixer une pièce entre les 2 mors de l’étau. • FEXPRESSION concourantes • FNOTATION quelconques • PARTICULIERS TORSEUR • DANS LIAISONS EXPRESSION • NOTATION • PARTICULIERS • Déformer un corps ; La charge excessive soulevée par un haltérophile déforme la barre des haltères. • DANS LIAISONS 15/09/2013 Modélisation d’actions mécaniques 2 MODÉLISATION A.M.E. NOTION DIFFÉRENTS TYPES MODÈLE FORCE • CONTACT • PRESSION • PESANTEUR • RESSORT MOMENT DIFFERENTS TYPES D’ACTIONS MECANIQUES • LES ACTIONS MECANIQUES A DISTANCE En construction mécanique, elles sont essentiellement de type magnétique ou de pesanteur. • LES ACTIONS MECANIQUES DE CONTACT Elles résultent : - Soit du contact d’un fluide (gaz ou liquide) sur un solide; • / AXE • / POINT • DÉTERMINATION - Soit du contact d’un solide avec un autre solide. RESULTANTES • F concourantes • F quelconques TORSEUR • EXPRESSION Dans le cas de contact entre deux solides, les deux solides sont obligatoirement en liaison mécanique et l’action mécanique exercée dépend de la nature du contact entre les deux solides. ( ponctuel, linéique, surfacique plan, etc.…) • NOTATION • PARTICULIERS • DANS LIAISONS 15/09/2013 13/04/2012 Par exemple, une liaison pivot glissant ne peut transmettre les mêmes efforts qu’une liaison encastrement à cause de ses deux degrés de liberté. Modélisation d’actions mécaniques 3 LE MODELE DE LA FORCE MODÉLISATION A.M.E. NOTION DIFFÉRENTS TYPES MODÈLE FORCE • CONTACT • PRESSION • PESANTEUR • RESSORT MOMENT Par exemple, l'action mécanique qui s'exerce entre deux solides en contact ponctuel sera modélisée par une force, dont les caractéristiques sont celles d’un vecteur; - Origine : point de contact - Direction : Direction de l’effort - Sens : vers pièce sur laquelle s’exerce l’effort, - Norme : dépend de la « grandeur » de l’effort. • / AXE • / POINT • DÉTERMINATION RESULTANTES • F concourantes Intensité • F quelconques TORSEUR Direction • EXPRESSION • NOTATION Sens • PARTICULIERS • DANS LIAISONS Point d’application 15/09/2013 13/04/2012 Modélisation d’actions mécaniques 4 LE MODELE DE LA FORCE MODÉLISATION A.M.E. NOTION Nous avons vu en étudiant les liaisons que le contact entre deux pièces pouvait être soit ponctuel, linéique ou surfacique. Dans un premier temps, nous allons étudier l'action mécanique transmissible par un contact ponctuel parfait ( liaison parfaite ). DIFFÉRENTS TYPES CAS DU CONTACT PONCTUEL PARFAIT (Sans Frottements) MODÈLE FORCE L'action mécanique qui s'exerce entre deux solides en contact ponctuel sera modélisée par une force, dont les caractéristiques sont celles d’un vecteur : • CONTACT • PRESSION - Origine : point de contact E, • PESANTEUR - Direction : normale au plan tangent de contact (0,Y ,Z ) donc suivant X. • RESSORT MOMENT - Sens : vers pièce sur laquelle s’exerce l’effort, ici: suivant les X négatifs, • / AXE - Norme : dépend, de la « grandeur » de l’effort. • / POINT • DÉTERMINATION RESULTANTES • F concourantes • F quelconques On a l'habitude de désigner une action mécanique modélisable par une force de la façon qui suit : E 4/2 E 4/2 TORSEUR • EXPRESSION • NOTATION • PARTICULIERS • DANS LIAISONS 15/09/2013 13/04/2012 solide sollicité solide qui exerce la force Y point d’application de la force X Modélisation d’actions mécaniques 5 LE MODELE DE LA FORCE MODÉLISATION A.M.E. NOTION CAS DES CONTACTS NON PONCTUELS Cas de la Pression d’un Fluide sur une Paroi Plane f DIFFÉRENTS TYPES MODÈLE FORCE f • CONTACT • PRESSION f C F f • PESANTEUR • RESSORT MOMENT La pression sera supposée uniforme (constante sur toute la paroi). • / AXE Elle s’applique en chaque élément de surface de la paroi. • / POINT • DÉTERMINATION RESULTANTES • F concourantes Nous avons donc une infinité de forces élémentaires f . Leur somme nous donne une force appelée force de pression caractéristiques suivantes : • F quelconques - Point d’application : TORSEUR - Direction : • EXPRESSION - Sens : dirigé vers la paroi • NOTATION - Norme : • PARTICULIERS • DANS LIAISONS 15/09/2013 13/04/2012 F, ayant les le centre de la surface, C perpendiculaire à la surface de contact entre le fluide et la paroi F p.S - F : effort développé (N) - p : pression uniforme du fluide (Pa) - S : surface de la paroi plane, en (m2) Modélisation d’actions mécaniques Anciennement: daN Bar cm² 6 LE MODELE DE LA FORCE MODÉLISATION A.M.E. NOTION DIFFÉRENTS TYPES MODÈLE FORCE • CONTACT • PRESSION • PESANTEUR CAS DES CONTACTS NON PONCTUELS Cas de la Pesanteur p p p p p G p P MOMENT On considère un solide indéformable. La pesanteur s’applique en chaque élément de matière de ce solide. • / AXE Nous avons donc une infinité de forces élémentairesΔp . • / POINT Leur somme nous donne une force appelée force de pesanteur P, ayant les caractéristiques suivantes : • RESSORT • DÉTERMINATION RESULTANTES • F concourantes • F quelconques TORSEUR - Point d’application : G, le centre de gravité du solide ou du système - Direction : • EXPRESSION - Sens : • NOTATION - Norme : • PARTICULIERS • DANS LIAISONS 15/09/2013 13/04/2012 verticale passant par G P vers le bas m.g - P : poids (N) - m : masse (Kg) - g : accélération de la pesanteur (9.81 m.s-2) Modélisation d’actions mécaniques 7 LE MODELE DE LA FORCE MODÉLISATION A.M.E. NOTION DIFFÉRENTS TYPES MODÈLE FORCE CAS DES CONTACTS NON PONCTUELS Cas de l’Action d’un Ressort de Compression Y Ex. : effort d’un ressort sur un piston. X • CONTACT D 8/6 • PRESSION • PESANTEUR D • RESSORT MOMENT • / AXE • / POINT L’action mécanique qu’exerce un ressort sur une pièce peut être modélisée par une force, dont les caractéristiques sont : • DÉTERMINATION - Point d’application : RESULTANTES - Direction : • F concourantes • F quelconques TORSEUR • EXPRESSION • NOTATION • PARTICULIERS • DANS LIAISONS 15/09/2013 13/04/2012 centre du cercle de contact, selon l’axe du ressort, - Sens : du ressort vers la pièce, - Norme : proportionnelle à la variation de longueur du ressort (à sa déformation) : F = k (lo-l) , avec - k : raideur du ressort (constante – N/mm) - lo : longueur à vide du ressort (mm) - l : longueur comprimée du ressort (mm) Modélisation d’actions mécaniques 8 LE MOMENT D’UNE FORCE MODÉLISATION A.M.E. NOTION DIFFÉRENTS TYPES MODÈLE FORCE • CONTACT • PRESSION • PESANTEUR • RESSORT MOMENT • / AXE DEFINITION : y représente l'aptitude d'une force à faire tourner un système mécanique autour d'un point donné, qu'on nommera pivot. Le moment d’une force par rapport à un axe est nul si le support de la force et l’axe du moment considéré appartiennent à un même plan. • / POINT • DÉTERMINATION RESULTANTES • F concourantes • F quelconques TORSEUR • EXPRESSION • NOTATION • PARTICULIERS • DANS LIAISONS 15/09/2013 13/04/2012 Le moment est affecté d’un signe : - si la force tend à provoquer une + si la force tend à provoquer une rotation autour dans le sens de l'axe positif (x y, y z ou z x ) . rotation autour de l'axe dans le sens négatif. y + + z x + Modélisation d’actions mécaniques 9 LE MOMENT D’UNE FORCE MODÉLISATION A.M.E. NOTION DIFFÉRENTS TYPES MODÈLE FORCE • CONTACT • PRESSION • PESANTEUR • RESSORT MOMENT • / AXE MOMENT D‘UNE FORCE PAR RAPPORT A UN AXE Droite d’action de la force FA ( ,FA) Cas où la Force est Orthogonale à l’Axe Norme du moment: La norme du moment d’une force A par rapport à un axe (O, x ), est donné par le produit de la norme de la force A et de la distance entre la droite d'action de la force et l'axe considéré. A A Distance Distance : Bras de levier • / POINT • DÉTERMINATION RESULTANTES • F concourantes • F quelconques M Ox (A) ( A OH ) ou (OH A ) ou (d A ) TORSEUR L'unité du moment est le Newton-mètre (N.m) • EXPRESSION d : distance la plus courte à la droite d’action (m) appelée aussi Bras de levier • NOTATION • PARTICULIERS A : norme de la force (N) • DANS LIAISONS 15/09/2013 13/04/2012 Modélisation d’actions mécaniques 10 LE MOMENT D’UNE FORCE MODÉLISATION A.M.E. NOTION DIFFÉRENTS TYPES MODÈLE FORCE • CONTACT MOMENT D‘UNE FORCE PAR RAPPORT A UN AXE Cas où la Force est Parallèle à l’Axe Que pensez-vous du moment de A par rapport à l’axe (O, z ) ? • PRESSION A • PESANTEUR • RESSORT MOMENT • / AXE • / POINT • DÉTERMINATION RESULTANTES • F concourantes • F quelconques TORSEUR la force en A ne tend pas à «faire tourner» le bras du robot autour de l’axe (O, z ). Le moment est donc nul par rapport à cet axe. Le moment d'une force par rapport à un axe qui lui est parallèle est nul. • EXPRESSION • NOTATION • PARTICULIERS MOz (A) 0 car A est parallèle à (O,z ) • DANS LIAISONS 15/09/2013 13/04/2012 Modélisation d’actions mécaniques 11 LE MOMENT D’UNE FORCE MODÉLISATION A.M.E. NOTION DIFFÉRENTS TYPES MODÈLE FORCE • CONTACT • PRESSION • PESANTEUR • RESSORT MOMENT D‘UNE FORCE PAR RAPPORT A UN POINT, Notion de vecteur Moment DEFINITION : On appelle vecteur moment de A au point O, le vecteur M O (A) dont les coordonnées ou composantes sont les moments par rapport aux trois axes : MOMENT • / AXE M O (A) • / POINT M Ox (A) • DÉTERMINATION M Oy (A) RESULTANTES M Oz (A) • F concourantes • F quelconques TORSEUR • EXPRESSION • NOTATION • PARTICULIERS Remarque : A et M O (A) sont perpendiculaires • DANS LIAISONS 15/09/2013 13/04/2012 Modélisation d’actions mécaniques 12 LE MOMENT D’UNE FORCE MODÉLISATION A.M.E. NOTION DIFFÉRENTS TYPES MODÈLE FORCE Détermination Analytique, Produit Vectoriel DEFINITION : Le produit d'un vecteur U par un vecteur V que l'on vectoriel notera U V est le vecteur W dont un représentant d'origine M est tel que : W V • CONTACT • PRESSION MOMENT • / AXE • / POINT - Son sens est tel que le trièdre ( U , V , W ) soit direct U • PESANTEUR • RESSORT - Sa norme a pour valeur: PROPRIETES : - W 0 • si U • si V • F concourantes • si • F quelconques • NOTATION • PARTICULIERS U V . sin(U,V) z dans les cas suivants : RESULTANTES • EXPRESSION W S • DÉTERMINATION TORSEUR - Son support est perpendiculaire au plan (S, U, V ) 0 0 U et V k x sont colinéaires i j y - Dans un repère orthonormé direct ayant pour vecteur pour vecteurs de base i , j ,k, on a : i j k j k i k i j • DANS LIAISONS 15/09/2013 13/04/2012 Modélisation d’actions mécaniques 13 LE MOMENT D’UNE FORCE MODÉLISATION A.M.E. NOTION DIFFÉRENTS TYPES MODÈLE FORCE • CONTACT • PRESSION • PESANTEUR • RESSORT MOMENT Détermination Analytique, Produit Vectoriel Expression analytique du moment M S (FA ) dans un repère orthonormé direct R0 : Soient a, b et c les coordonnées du vecteur SA dans R0. Soient X, Y et Z les coordonnées du vecteur FA dans R0. Pour obtenir le produit vectoriel SA FA (qui est le moment en S de FA ) on effectue les produits en croix comme ci-dessous : • / AXE • / POINT • DÉTERMINATION MS (FA ) = RESULTANTES TORSEUR • EXPRESSION • NOTATION FA a X b Y R0 c a R0 Z X • F concourantes • F quelconques SA = = b Z – c Y c X – a Z R0 a Y – b X • PARTICULIERS • DANS LIAISONS 15/09/2013 13/04/2012 Modélisation d’actions mécaniques 14 RÉSULTANTES MODÉLISATION A.M.E. NOTION DIFFÉRENTS TYPES MODÈLE FORCE • CONTACT • PRESSION • PESANTEUR Une résultante n’est ni une action de contact ni une action à distance mais une action calculée à partir d’autres actions connues. Elle permet de remplacer ces dernières et y est statiquement équivalente (mêmes effets statiques) Résultantes de deux forces concourantes Une résultante de deux forces passe par l’intersection de celles-ci Sa norme et sa direction sont données par la somme vectorielle de celles-ci • RESSORT MOMENT • / AXE • / POINT • DÉTERMINATION RESULTANTES • F concourantes • F quelconques TORSEUR • EXPRESSION • NOTATION • PARTICULIERS • DANS LIAISONS 15/09/2013 13/09/2013 Modélisation d’actions mécaniques 15 RÉSULTANTES MODÉLISATION A.M.E. NOTION DIFFÉRENTS TYPES Résultantes de forces quelconques Une résultante de forces doit être équivalentes non seulement à la somme vectorielles de celles-ci mais aussi à la somme de leurs moments. Donc: MODÈLE FORCE • CONTACT • PRESSION I: Pt quelconque • PESANTEUR • RESSORT MOMENT • / AXE Exemple : y y • / POINT • DÉTERMINATION RESULTANTES • F concourantes • F quelconques TORSEUR • EXPRESSION • NOTATION • PARTICULIERS x O a x O c b Avec: A x a+Bxb=Rxc • DANS LIAISONS 15/09/2013 13/09/2013 Modélisation d’actions mécaniques 16 LA FORCE ET LE MOMENT ……… MODÉLISATION A.M.E. NOTION DIFFÉRENTS TYPES MODÈLE FORCE • CONTACT • PRESSION • PESANTEUR Dans la vie courante, est-ce que les actions mécaniques sont uniquement des forces ou des moments ? Non, car une action mécanique ne déplace (ou déforme) pas uniquement un solide : - en translation (cas de la force) - en rotation (cas du moment) • RESSORT MOMENT • / AXE • / POINT • DÉTERMINATION Plus généralement une Action Mécanique peut engendrer des translations en même temps que des rotations : Une AM est donc une composition de forces et de moments. RESULTANTES • F concourantes • F quelconques TORSEUR • EXPRESSION Cette association s’appelle …………… le TORSEUR • NOTATION • PARTICULIERS • DANS LIAISONS 15/09/2013 13/04/2012 Modélisation d’actions mécaniques 17 LE TORSEUR ……… MODÉLISATION A.M.E. NOTION DIFFÉRENTS TYPES EXPRESSION DU TORSEUR C'est la modélisation la plus générale pour une action mécanique. Elle permet, entre autres, de modéliser l’action mécanique transmissible par une liaison mais aussi les actions mécaniques de pesanteur, de pression et d’un ressort vues précédemment. MODÈLE FORCE • CONTACT • PRESSION • PESANTEUR • RESSORT MOMENT DEFINITION : Soient deux sous-ensembles 1 et 2 d'un mécanisme en liaison de centre A. L'action mécanique de 1 sur 2 est modélisée par l’association des vecteurs : FA 1/2 et M A(1/2). • / AXE • / POINT • DÉTERMINATION RESULTANTES • F concourantes • F quelconques TORSEUR • EXPRESSION • NOTATION • PARTICULIERS L'ensemble FA s'appelle Torseur associé à l'action mécanique de 1 sur 2. M A(1/2) FA 1/2 est appelée résultante du torseur. M A(1/2) est appelé moment résultant en A du torseur associé. FA 1/2 et M A(1/2) sont les éléments de réduction du torseur au point A. • DANS LIAISONS 15/09/2013 13/04/2012 Modélisation d’actions mécaniques 18 LE TORSEUR ……… MODÉLISATION A.M.E. NOTATION : NOTION DIFFÉRENTS TYPES τ FA 1/ 2 MODÈLE FORCE A • CONTACT • PESANTEUR où A (x, y, z) • RESSORT • / AXE RESULTANTES • F concourantes X1 / 2 L A1/ 2 Y1/ 2 M A1/ 2 Z1/ 2 N A1/ 2 (x, y, z) Base de réduction (calcul) du torseur représente le repère local associé à la liaison. TRANSPORT D’UN TORSEUR : • / POINT • DÉTERMINATION M A(1/ 2) A Point de réduction (calcul) du torseur • PRESSION MOMENT Coordonnées du moment résultant Coordonnées de la résultante On a : τ FA 1/ 2 A M A(1/ 2) au point de réduction A, et on veut le "transporter" (le déplacer) au point B. On montre que le torseur, déplacé au point B, s'écrit : • F quelconques TORSEUR • EXPRESSION • NOTATION τ FB 1/ 2 B FA M B(1/ 2) B M A(1/ 2) BA FA • PARTICULIERS • DANS LIAISONS 15/09/2013 13/04/2012 on a donc FB FA et M B(1/2) M A(1/2) Modélisation d’actions mécaniques BA FA 19 LE TORSEUR ……… MODÉLISATION A.M.E. NOTION DIFFÉRENTS TYPES TORSEURS DE QUELQUES ACTIONS MECANIQUES DEJA VUES Torseur de l’Action Mécanique de Pression MODÈLE FORCE z C • CONTACT τ F y x • PRESSION fluide/paroi C • PESANTEUR • RESSORT MOMENT 0 0 -F 0 0 0 F M C(f/p) C (x, y, z) Torseur de l’Action Mécanique de Pesanteur • / AXE • / POINT z G • DÉTERMINATION y RESULTANTES P x τ P pesanteur G • F concourantes • F quelconques MG G 0 0 0 0 -P 0 (x, y, z) Torseur de l’Action Mécanique d’un Ressort TORSEUR • EXPRESSION Y • NOTATION • PARTICULIERS • DANS LIAISONS 15/09/2013 13/04/2012 X FD 8/6 τ FD 8 / 6 8/ 6 D M D(8/ 6) D Modélisation d’actions mécaniques X D8/6 0 0 0 0 0 (x, y, z) 20 TORSEURS DANS LES LIAISONS Nature de la liaison et repère associé : R Schéma spatial Cas d'un problème plan de normale z Mvts possibles Torseur transmissible Schéma plan Torseur transmissible 1/ 2 Encastrement R quelconque z 2 1 x y A y Pivot d'axe (A, z ) 1 2 A x z z Rotule de centre A 1 2 A x z Glissière d'axe (A,x ) 2 A 1 x y z Pivot glissant d'axe (A, x ) 2 1 x 13/04/2012 y A y 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Tx 0 0 Tx 0 0 0 0 0 0 0 Rz Rx Ry Rz 0 0 0 Rx 0 0 A A A L A1/2 Y1/2 M A1/2 Z1/2 A N A1/2 X1/2 L A1/2 Y1/2 M A1/2 Z1/2 0 X1/2 0 Y1/2 0 Z1/2 0 0 A y X1/2 x A ( x, y,z ) M A1/2 Z1/2 N A1/2 0 0 Y1/2 M A1/2 Z1/2 N A1/2 - Y1/2 - - N A1/2 A y x ( x, y,z ) A y x A ( x, y,z ) y A A y x ( x, y,z ) Modélisation d’actions mécaniques - Y1/2 - - 0 X1/2 - Y1/2 - - 0 A x ( x, y,z ) X1/2 A L A1/2 Y1/2 X1/2 A A 0 - Y1/2 - - N A1/2 0 - Y1/2 - - N A1/2 ( x, y,z ) ( x, y,z ) ( x, y,z ) (x, y, z) ( x, y,z ) 21 Cas d'un problème plan de normale z TORSEURS DANS LES LIAISONS - SUITE Nature de la liaison et repère associé : R Schéma spatial Mvts possibles Torseur transmissible Schéma plan Torseur transmissible 1/ 2 2 A z 1 x x Ponctuelle de normale (A,x ) 0 Rx Ty Ry Tz Rz 2 1 A y z x Linéaire rectiligne de normale (A, z ) et d’axe (A, x ) X 2 y z A 2 1 y 0 Rx Ty 0 Tz Rz 1 x Linéaire annulaire d'axe (A, y ) 13/04/2012 Tx 0 0 Ry Tz 0 y Appui plan de normale (A, y ) A z 0 Rx Ty Ry 0 Rz A A A A 0 L A1/2 Y1/2 0 0 N A1/2 X1/2 0 0 0 0 0 X1/2 0 x Z1/2 0 - - N A1/2 A x 0 0 Y1/2 A A ( x, y,z ) 0 0 - y M A1/2 0 A ( x, y,z ) 0 x 0 X1/2 y y ( x, y,z ) A x y ( x, y,z ) Modélisation d’actions mécaniques A A X1/2 - 0 - - 0 X1/2 - 0 - - 0 X1/2 - 0 - - 0 ( x, y,z ) ( x, y,z ) ( x, y,z ) ( x, y,z ) 22 la Modélisation des Actions Mécaniques FIN 15/09/2013 Modélisation d’actions mécaniques 23
