Champ de forces centrales II
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Chapitre III : Mouvement dans un champ de forces centrales conservatives I – Champ de forces centrales I-1) Forces centrales I-2) Forces centrales newtoniennes I-3) Energie potentielle II – Lois générales de conservation II-1) Le moment cinétique II-1-1) Conservation du moment cinétique II-1-2 Loi des Aires II-1-3 Lois de Binet II-2) Energie mécanique II-2-1 Energie potentielle effective II-2-2 Discussion qualitative du mouvement II-2-3 Cas de l’interaction newtonienne III – Mouvement dans un champ de forces newtoniens III-1) Equation de la trajectoire III-1-1 Conservation de l’Em III-1-2 Formules de Binet III-2) Le vecteur de Runge-Lenz III-2-1 Définition III-2-2 Propriétés du vecteur de Runge-Lenz III-2-3 Equation de la trajectoire III-3) Etude quantitative des trajectoires III-3-1 Nature de la trajectoire III-3-2 Mouvement parabolique III-3-3 Mouvement hyperbolique III-3-4 Mouvement elliptique IV – Mouvement des planêtes et des satellites IV-1) Généralités IV-2) Satellite en orbite circulaire IV-3) Satellite en orbite elliptique IV-4) Vitesse de libération ou seconde vitesse cosmique L .PIETRI – Cours de Mécanique – Première année - Page 20 Chapitre III : Mouvement dans un champ de forces centrales conservatives Introduction L .PIETRI – Cours de Mécanique – Première année - Page 21 I – Champ de forces centrales I-1) Forces centrales Soit un point M, repéré par son vecteur position OM=rur, soumis à l’action d’une force centrale f=f(r).ur qui passe constamment par le point fixe O. I-2) Forces centrales newtoniennes Nous allons nous intéresser plus particulièrement aux interactions newtoniennes qui sont du type : f(r)=k/r² où k est une constante. a) Interaction de gravitation r Gm1m2 r -2 F =− .ur où G=6,67 N.m².kg r² b) Interaction électrostatique r qq r -12 -1 F = 1 2 .ur où ε0=8,85.10 F.m , l’interaction est répulsive si les charges sont de même 4πε 0 r ² signe et elle est attractive dans le cas inverse. I-3) Energie potentielle r r r r r r uuuur dE p = − F .dOM = − f (r ).u r .d (r.u r ) = − f (r ).u r .[dr.u r + rd u r )] Soit r r = − f (r ).dr − r. f (r ).u r .du r = − f (r ).dr Car ur est un vecteur unitaire. Pour notre champ newtonien on a donc Soit dE p = − f (r ).dr = k / r ².dr ⇒ E p = −k / r + cste Par convention Ep(∞)=0 d’où Ep(r)=-k/r II – Lois générales de conservation II-1) Le moment cinétique II-1-1) Conservation du moment cinétique Appliquons au point M, ayant un mouvement à force centrale le TMC(O) : uuur ur uuuur ur dL0 ( M ) = M 0 ( F ) = OM ^ F = 0 dt R uuuuuuur uuuur uur ainsi L0 ( M ) = cste = L0 .uz Le moment cinétique du point M se conserve au cours du mouvement de M. Donc les vecteurs OM et v restent dans le même plan xOy orthogonal à l’axe Oz. Donc le mouvement est plan dans xOy L .PIETRI – Cours de Mécanique – Première année - Page 22 II-1-2 Loi des Aires L .PIETRI – Cours de Mécanique – Première année - Page 23 II-1-3 Lois de Binet L .PIETRI – Cours de Mécanique – Première année - Page 24 II-2) Energie mécanique II-2-1 Energie potentielle effective Soit Em=Ek+Ep où la seule force présente est conservative, par conséquent l’énergie mécanique se conserve. 1 1 1 1 mv ² + E p (r ) = m(r& ² + r ²θ&²) + E p (r ) = mr&² + mr ²θ&² + E p (r ) 2 2 2 2 1 1 1 1 = mr&² + mC ² / r ² + E p (r ) = mr& ² + E p eff (r ) où E p eff (r ) = mC ² / r ² + E p (r ) 2 2 2 2 Em = II-2-2 Discussion qualitative du mouvement a) Limites du mouvement radial L .PIETRI – Cours de Mécanique – Première année - Page 25 b) Etats de diffusion c) Etats liés L .PIETRI – Cours de Mécanique – Première année - Page 26 II-2-3 Cas de l’interaction newtonienne a) Expression de Epeff(r) On a E p eff (r ) = 1 mC ² / r ² + k / r 2 L .PIETRI – Cours de Mécanique – Première année - Page 27 b) Interaction répulsive (k>0) L .PIETRI – Cours de Mécanique – Première année - Page 28 c) Interaction attractive (k<0) 1 On a Epeff(r0)=0 ⇔ mC ² / r0 ² − k / r0 = 0 ⇔ mC ² / 2k =r0 2 L .PIETRI – Cours de Mécanique – Première année - Page 29 III – Mouvement dans un champ de forces newtoniens III-1) Equation de la trajectoire III-1-1 Conservation de l’Em L .PIETRI – Cours de Mécanique – Première année - Page 30 III-1-2 Formules de Binet L .PIETRI – Cours de Mécanique – Première année - Page 31 III-2) Le vecteur de Runge-Lenz III-2-1 Définition L .PIETRI – Cours de Mécanique – Première année - Page 32 III-2-2 Propriétés du vecteur de Runge-Lenz III-2-3 Equation de la trajectoire L .PIETRI – Cours de Mécanique – Première année - Page 33 III-3) Etude quantitative des trajectoires III-3-1 Nature de la trajectoire III-3-2 Mouvement parabolique III-3-3 Mouvement hyperbolique L .PIETRI – Cours de Mécanique – Première année - Page 34 III-3-4 Mouvement elliptique L .PIETRI – Cours de Mécanique – Première année - Page 35 L .PIETRI – Cours de Mécanique – Première année - Page 36 L .PIETRI – Cours de Mécanique – Première année - Page 37 IV – Mouvement des planêtes et des satellites IV-1) Généralités • En toute rigueur le mouvement des planêtes doit être fait dans le référentiel de Copernic. Mais on peut utiliser en première approximation le référentiel héliocentrique. • Le mouvement des satellites artificiels est étudié dans le référentiel géocentrique • La terre est assimilé à un astre sphérique. Chaque point M est soumis au champ de ur GmT uur .ur où r=R+z gravitation : G = − r² IV-2) Satellite en orbite circulaire IV-3) Satellite en orbite elliptique - Ils satisfont aux lois de Képler et sont principalement caractérisés par : une trajectoire elliptique de demi grand axe a, de période T dont le centre de la terre est un des foyers Un rapport T3/a²=4π²/GMT Une énergie mécanique Em=-k/2a L .PIETRI – Cours de Mécanique – Première année - Page 38 IV-4) Vitesse de libération ou seconde vitesse cosmique L .PIETRI – Cours de Mécanique – Première année - Page 39
