Champ de forces centrales II

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Chapitre III : Mouvement dans un champ de forces centrales conservatives
I – Champ de forces centrales
I-1) Forces centrales
I-2) Forces centrales newtoniennes
I-3) Energie potentielle
II – Lois générales de conservation
II-1) Le moment cinétique
II-1-1) Conservation du moment cinétique
II-1-2 Loi des Aires
II-1-3 Lois de Binet
II-2) Energie mécanique
II-2-1 Energie potentielle effective
II-2-2 Discussion qualitative du mouvement
II-2-3 Cas de l’interaction newtonienne
III – Mouvement dans un champ de forces newtoniens
III-1) Equation de la trajectoire
III-1-1 Conservation de l’Em
III-1-2 Formules de Binet
III-2) Le vecteur de Runge-Lenz
III-2-1 Définition
III-2-2 Propriétés du vecteur de Runge-Lenz
III-2-3 Equation de la trajectoire
III-3) Etude quantitative des trajectoires
III-3-1 Nature de la trajectoire
III-3-2 Mouvement parabolique
III-3-3 Mouvement hyperbolique
III-3-4 Mouvement elliptique
IV – Mouvement des planêtes et des satellites
IV-1) Généralités
IV-2) Satellite en orbite circulaire
IV-3) Satellite en orbite elliptique
IV-4) Vitesse de libération ou seconde vitesse cosmique

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Chapitre III : Mouvement dans un champ de forces centrales conservatives
Introduction

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I – Champ de forces centrales
I-1) Forces centrales
Soit un point M, repéré par son vecteur position OM=ru
r
, soumis à l’action d’une force centrale
f=f(r).u
r
qui passe constamment par le point fixe O.
I-2) Forces centrales newtoniennes
Nous allons nous intéresser plus particulièrement aux interactions newtoniennes qui sont du
type : f(r)=k/r² où k est une constante.
a) Interaction de gravitation
1 2
.
²
r
Gm m
F u
r
= −
r
r
où G=6,67 N.m².kg
-2
b) Interaction électrostatique
1 2
0
.
4 ²
r
q q
F u
r πε
=
r
r
où ε
0
=8,85.10
-12
F.m
-1
, l’interaction est répulsive si les charges sont de même
signe et elle est attractive dans le cas inverse.
I-3) Energie potentielle
Soit
. ( ). . ( . ) ( ). .[ . )]
( ). . ( ). . ( ).
r r r r r
p
r r
dE F dOM f r u d r u f r u dr u rdu
f r dr r f r u du f r dr
= − = − = − +
= − − = −
uuuur r r r r r
r
r r
Car u
r
est un vecteur unitaire.
Pour notre champ newtonien on a donc
Soit ( ). / ². /
p p
dE f r dr k r dr E k r cste
= − = ⇒= − +
Par convention E
p
(∞)=0 d’où Ep(r)=-k/r
II – Lois générales de conservation
II-1) Le moment cinétique
II-1-1) Conservation du moment cinétique
Appliquons au point M, ayant un mouvement à force centrale le TMC(O) :
0
0
0 0
( )
( ) ^ 0
L ( ) .
R
z
dL M M F OM F
dt
ainsi M cste L u
= = =
= =
uuur ur uuuur ur
uuuuuuur uuuur uur
Le moment cinétique du point M se conserve au cours du mouvement de M.
Donc les vecteurs OM et v restent dans le même plan xOy orthogonal à l’axe Oz.
Donc le mouvement est plan dans xOy

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II-1-2 Loi des Aires

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II-1-3 Lois de Binet