Analyse

Table des mati`eres
1 G´en´eralit´es 3
1.1 Un peu de logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Op´erations logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Modes de raisonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.4 Quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Th´eorie ´el´ementaire des ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Ensembles, appartenance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2 Inclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.3 Op´erations sur les parties d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.4 Produit cart´esien de deux ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.5 Relations. Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.6 Image d’une partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.7 Applications injectives, surjectives, bijectives . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.8 Composition d’applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.9 Application r´eciproque d’une bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Le corps des nombres r´eels 17
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Ensembles ordonn´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.1 Relation d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.2 Majorant, maximum, borne sup´erieure . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.3 Applications born´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.4 Applications monotones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.5 L’ensemble ordonn´e Ndes entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 La structure de corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.1 Lois de composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.2 La structure de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.3 Le corps des nombres rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4 Le corps ordonn´e des r´eels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4.1 La fonction partie enti`ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.2 Approximations d´ecimales d’un r´eel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.3 Valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4.4 Intervalles de R.............................. 28
3 Suites de nombres r´eels 29
3.1 G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Limites....................................... 30
1

3.3 R`egles de calcul sur les limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4 Suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.5 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.6 Suites de r´ef´erence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.6.1 Suites arithm´etiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.6.2 Suites g´eom´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4 Limites des fonctions d’une variable r´eelle 43
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2 Limite d’une fonction en un point de R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2.1 Limite finie en un point de R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2.2 Limite infinie en un point de R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.3 Limite d’une fonction en +∞ou −∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.4 L’ensemble R................................... 47
4.5 Caract´erisation s´equentielle de la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.6 Limites et relation d’ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.7 Quelques limites classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.8 Limite d’une somme, d’un produit, d’un quotient. . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.9 Limite d’une fonction compos´ee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.10 Formes ind´etermin´ees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.11 Limite `a gauche ou `a droite en un point a∈R. . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.12 Limite d’une fonction monotone. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5 Continuit´e des fonctions 61
5.1 Continuit´e en un point. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.1.1 Op´erations sur les fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.1.2 Fonctions continues classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.1.3 Caract´erisation s´equentielle de la continuit´e . . . . . . . . . . . . . . 62
5.1.4 Prolongement par continuit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.1.5 Continuit´e `a gauche et `a droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.2 Continuit´e sur un intervalle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.3 Suites d´efinies par r´ecurrence, un+1 =f(un) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.3.1 G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.3.2 Utilisation de la monotonie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.3.3 Cas des fonctions contractantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6 D´erivation 75
6.1 D´eriv´ee en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.1.1 D´eriv´ee `a droite, `a gauche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.2 Op´erations alg´ebriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.3 D´eriv´ees successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.4 Extremums d’une fonction d´erivable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.5 Th´eor`eme des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.6 D´eriv´ee et sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.7 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.8 Plan d’´etude d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2

Chapitre 1
G´en´eralit´es
Les math´ematiques ont ceci de particulier qu’elles s’int´eressent `a des objets id´eaux qui
n’existent que par les relations qui les lient les uns aux autres. Bien entendu certains de
ces objets sont inspir´es par le monde qui nous entoure. Mais le math´ematicien s’astreint
`a oublier, dans une certaine mesure l’origine concr`ete des concepts qu’il a construits, `a
utiliser un langage conventionnel pr´ecis, dont les termes auront ´et´e soigneusement d´efinis
et `a conduire dans ce langage des raisonnements rigoureux. La mˆeme exigence de rigueur
s’av`ere indispensable en informatique.
1.1 Un peu de logique
1.1.1 Vocabulaire
Tout texte math´ematique est constitu´e d’une suite d’´enonc´es qui sont soit des d´efinitions
soit des propositions.
Une “ d´efinition ” est un ´enonc´e qui introduit un nouvel objet en le caract´erisant par
les relations qui le lient aux objets d´efinis auparavant. Par exemple l’´enonc´e
Un triangle ´equilat´eral est un triangle dont les trois cˆot´es ont la mˆeme longueur.
donne le sens du mot ´equilat´eral ´etant entendu que les termes triangle,cˆot´e,longueur ont ´et´e
d´efinis auparavant. Une d´efinition est une convention qui doit donc ˆetre apprise par cœur,
au mˆeme titre que le vocabulaire d’une langue ´etrang`ere.
Une “ proposition ” est un ´enonc´e portant sur les objets d´efinis pr´ec´edemment ; elle est
“vraie ” si elle peut ˆetre logiquement d´eduite des propositions vraies ´etablies auparavant
et des d´efinitions introduites (on dit qu’elle a ´et´e “ d´emontr´ee ”) ; elle est “ fausse ” s’il
est d´emontr´e que contraire est vrai.1
Par exemple l’´enonc´e :
“ Si un triangle est ´equilat´eral alors ses trois angles ont des mesures ´egales”.
est une proposition. Elle sera accept´ee comme vraie si on peut la d´emontrer `a l’aide d’un
raisonnement logique qui consiste `a d´eduire la conclusion `a partir de l’hypoth`ese. La
1Souvent une proposition importante est appel´ee th´eor`eme, une proposition qui se d´eduit imm´ediatement
d’une autre est appel´ee corollaire et une proposition qui sert comme r´esultat auxiliaire dans la d´emonstration
d’une autre proposition est appel´ee lemme.
3

d´emonstration commencera par exemple par les phrases : Soit Tun triangle ´equilat´eral. Par
d´efinition ses trois cˆot´es ont la mˆeme longueur. Montrons que ses trois angles ont la mˆeme
mesure. ....
Un autre ´enonc´e pourrait ˆetre
“ Un triangle est ´equilat´eral si et seulement si ses trois angles ont des mesures
´egales ”
ce qui pourrait aussi s’´ecrire : “ Une condition n´ecessaire et suffisante pour qu’un triangle
soit ´equilat´eral est que ses angles aient des mesures ´egales ”, ou encore, “ Pour qu’un triangle
soit ´equilat´eral, il faut et il suffit que ses angles aient des mesures ´egales ”.
Il y aura dans ce cas deux raisonnements `a faire en prenant successivement pour hypoth`ese
le fait que le triangle soit ´equilat´eral, puis que ses angles ont la mˆeme mesure.
Dans une th´eorie math´ematique compl`ete, on pose au d´epart des d´efinitions et des
propositions accept´ees a priori comme vraies appel´ees “ axiomes ”. Les autres propositions
vraies en sont ensuite d´eduites par des d´emonstrations.
Mais, dans un cours introductif comme celui-ci, on sera n´ecessairement amen´e `a admettre
certaines notions et certaines propositions dont la d´emonstration, trop longue ou trop difficile,
ne pourra pas ˆetre donn´ee.
1.1.2 Op´erations logiques
La logique math´ematique est une formalisation de la logique “naturelle” exprim´ee dans
la langue commune par des conjonctions de coordination : “et”, “ou”, “donc” et par la
n´egation “ne pas” ou “non”. Une ´etude plus approfondie de cette formalisation, importante
en particulier pour ses applications `a l’informatique, fera l’objet d’un autre cours. On se
contentera ici d’une initiation.
Supposons qu’on note par des lettres A, B, . . . des propositions, c’est-`a-dire des assertions
pouvant ˆetre vraies ou fausses.
D´efinition 1.1.1 Soit Aune proposition. On d´esigne par “ non A” la proposition qui est
vraie si Aest fausse et qui est fausse si Aest vraie.
Elle est appel´ee n´egation de A. On la note aussi ¬A(lu “ non A ”).
Exemple 1.1 La n´egation de la proposition “ Le nombre 22
7est strictement plus grand que 355 113 ”est tout
simplement “ Le nombre 22
7est inf´erieur ou ´egal `a 355 113 ”.
D´efinition 1.1.2 Soient Aet Bdeux propositions.
– On d´esigne par “ Aet B” la proposition qui est vraie si Aet Bsont toutes les deux
vraies et qui est fausse si l’une au moins des deux propositions Aet Best fausse. On
la note aussi A∧B(lu “ Aet B”).
– On d´esigne par “ Aou B” la proposition qui est vraie si l’une au moins des deux
propositions Aet Best vraie et qui est fausse si Aet Bsont fausses toutes les deux.
On la note aussi A∨B(lu “ Aou B”).2
2En math´ematique si Aou Best vraie cela n’exclut pas que Aet Bsoient tous deux vraies. On dit que
le “ ou ”, en math´ematique n’est pas exclusif.
4

– On d´esigne par “ Aimplique B” la proposition qui est fausse si Aest vraie et Best
fausse et qui est vraie dans les autres cas. 3On la note A⇒B(ou B⇐A).
Deux propositions Aet Bsont dites ´equivalentes si et seulement si les deux assertions
A⇐Bet A⇒Bsont vraies. Dans ce cas, on note A⇔B.
Exemple 1.2 Si xest un certain nombre entier donn´e, si Aest la proposition “xest divisible par 2”et si
Best la proposition “xest divisible par 3”, la proposition Aet Bsera “xest divisible par 2et par 3”ce
qui, comme on le voit en arithm´etique, revient `a “xest divisible par 6”.
Exemple 1.3 Si xest un nombre r´eel donn´e, si Aest la proposition “xest sup´erieur ou ´egal `a 1”et si
Best la proposition “xest inf´erieur ou ´egal `a −1”, la proposition Aou Bpourra se r´esumer en “|x|est
sup´erieur ou ´egal `a 1”.
Exemple 1.4 Si Test un triangle, les propositions A: “ Test un triangle ´equilat´eral ” et B: “ les angles
de Tont la mˆeme mesure ” sont ´equivalentes. L’´enonc´e A⇔Best celui que nous avons donn´e comme
exemple plus haut.
On peut r´esumer les d´efinitions pr´ec´edentes dans un tableau, appel´e table de v´erit´e.
Ce tableau indique, pour chaque valeur possible Vraie ou Fausse des propositions Aet Bla
valeur de (non A), ( Aet B) , ( Aou B) (A⇒B) et (A⇔B) :
A B non A(Aet B) (Aou B) (A⇒B) (A⇔B)
V V F V V V V
V F F F V F F
F V V F V V F
F F V F F V V
Proposition 1.1.3 Soient Aet Bdes propositions. Les ´equivalences suivantes sont vraies :
(i)non(Aou B)⇔(non(A)et non(B) ) .
(ii)non(Aet B)⇔(non(A)ou non(B) ) .
(iii) (A⇒B)⇔(non(A)ou (B) ) ⇔non( (A)et non(B) ).
Exercice 1.5 En compl´etant la table de v´erit´e pr´ec´edente, d´emontrer ces ´equivalences. (On lit sur une table
de v´erit´e que deux propositions sont ´equivalentes en v´erifiant qu’elles prennent dans tous les cas la mˆeme
valeur vrai ou faux).
Proposition 1.1.4 Soit A,B,Cdes propositions. On a la propri´et´e de transitivit´e :
((A⇒B)et (B⇒C)) ⇒(A⇒C).
Exercice 1.6 En dressant une table de v´erit´e, d´emontrer cette implication.
Remarque. On voit que le “ non ”, le “ et ” et le “ ou ” agissent comme des op´erations sur
les propositions. On dit que ce sont des connecteurs logiques.
3En particulier, si Aest fausse, alors la proposition “ Aimplique B” est toujours vraie !
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