Analyse

Table des matières
1 Généralités
1.1 Un peu de logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Opérations logiques . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Modes de raisonnement . . . . . . . . . . . .
1.1.4 Quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Théorie élémentaire des ensembles . . . . . . . . . .
1.2.1 Ensembles, appartenance. . . . . . . . . . .
1.2.2 Inclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Opérations sur les parties d’un ensemble . .
1.2.4 Produit cartésien de deux ensembles . . . .
1.2.5 Relations. Applications . . . . . . . . . . . .
1.2.6 Image d’une partie . . . . . . . . . . . . . .
1.2.7 Applications injectives, surjectives, bijectives
1.2.8 Composition d’applications. . . . . . . . . .
1.2.9 Application réciproque d’une bijection . . .
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3 Suites de nombres réels
3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
29
30
2 Le corps des nombres réels
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Ensembles ordonnés . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Relation d’ordre . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Majorant, maximum, borne supérieure . .
2.2.3 Applications bornées . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Applications monotones. . . . . . . . . . .
2.2.5 L’ensemble ordonné N des entiers naturels
2.3 La structure de corps . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Lois de composition . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 La structure de groupe . . . . . . . . . . .
2.3.3 Le corps des nombres rationnels . . . . . .
2.4 Le corps ordonné des réels . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 La fonction partie entière . . . . . . . . . .
2.4.2 Approximations décimales d’un réel . . . .
2.4.3 Valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.4 Intervalles de R . . . . . . . . . . . . . . .
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3.3
3.4
3.5
3.6
Règles de calcul sur les limites.
Suites monotones . . . . . . . .
Suites adjacentes . . . . . . . .
Suites de référence . . . . . . .
3.6.1 Suites arithmétiques . .
3.6.2 Suites géométriques . . .
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4 Limites des fonctions d’une variable réelle
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Limite d’une fonction en un point de R . . . . . .
4.2.1 Limite finie en un point de R . . . . . . .
4.2.2 Limite infinie en un point de R . . . . . .
4.3 Limite d’une fonction en +∞ ou −∞ . . . . . . .
4.4 L’ensemble R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Caractérisation séquentielle de la limite . . . . . .
4.6 Limites et relation d’ordre. . . . . . . . . . . . . .
4.7 Quelques limites classiques . . . . . . . . . . . . .
4.8 Limite d’une somme, d’un produit, d’un quotient.
4.9 Limite d’une fonction composée. . . . . . . . . . .
4.10 Formes indéterminées. . . . . . . . . . . . . . . .
4.11 Limite à gauche ou à droite en un point a ∈ R. . .
4.12 Limite d’une fonction monotone. . . . . . . . . . .
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5 Continuité des fonctions
5.1 Continuité en un point. . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Opérations sur les fonctions continues . . . .
5.1.2 Fonctions continues classiques . . . . . . . .
5.1.3 Caractérisation séquentielle de la continuité
5.1.4 Prolongement par continuité . . . . . . . . .
5.1.5 Continuité à gauche et à droite . . . . . . .
5.2 Continuité sur un intervalle. . . . . . . . . . . . . .
5.3 Suites définies par récurrence, un+1 = f (un ) . . . .
5.3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 Utilisation de la monotonie. . . . . . . . . .
5.3.3 Cas des fonctions contractantes . . . . . . .
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6 Dérivation
6.1 Dérivée en un point . . . . . . . . .
6.1.1 Dérivée à droite, à gauche .
6.2 Opérations algébriques . . . . . . .
6.3 Dérivées successives . . . . . . . . .
6.4 Extremums d’une fonction dérivable
6.5 Théorème des accroissements finis .
6.6 Dérivée et sens de variation . . . .
6.7 Fonctions convexes . . . . . . . . .
6.8 Plan d’étude d’une fonction . . . .
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Chapitre 1
Généralités
Les mathématiques ont ceci de particulier qu’elles s’intéressent à des objets idéaux qui
n’existent que par les relations qui les lient les uns aux autres. Bien entendu certains de
ces objets sont inspirés par le monde qui nous entoure. Mais le mathématicien s’astreint
à oublier, dans une certaine mesure l’origine concrète des concepts qu’il a construits, à
utiliser un langage conventionnel précis, dont les termes auront été soigneusement définis
et à conduire dans ce langage des raisonnements rigoureux. La même exigence de rigueur
s’avère indispensable en informatique.
1.1
Un peu de logique
1.1.1
Vocabulaire
Tout texte mathématique est constitué d’une suite d’énoncés qui sont soit des définitions
soit des propositions.
Une “ définition ” est un énoncé qui introduit un nouvel objet en le caractérisant par
les relations qui le lient aux objets définis auparavant. Par exemple l’énoncé
Un triangle équilatéral est un triangle dont les trois côtés ont la même longueur.
donne le sens du mot équilatéral étant entendu que les termes triangle, côté, longueur ont été
définis auparavant. Une définition est une convention qui doit donc être apprise par cœur,
au même titre que le vocabulaire d’une langue étrangère.
Une “ proposition ” est un énoncé portant sur les objets définis précédemment ; elle est
“ vraie ” si elle peut être logiquement déduite des propositions vraies établies auparavant
et des définitions introduites (on dit qu’elle a été “ démontrée ”) ; elle est “ fausse ” s’il
est démontré que contraire est vrai.1
Par exemple l’énoncé :
“ Si un triangle est équilatéral alors ses trois angles ont des mesures égales”.
est une proposition. Elle sera acceptée comme vraie si on peut la démontrer à l’aide d’un
raisonnement logique qui consiste à déduire la conclusion à partir de l’hypothèse. La
1
Souvent une proposition importante est appelée théorème, une proposition qui se déduit immédiatement
d’une autre est appelée corollaire et une proposition qui sert comme résultat auxiliaire dans la démonstration
d’une autre proposition est appelée lemme.
3
démonstration commencera par exemple par les phrases : Soit T un triangle équilatéral. Par
définition ses trois côtés ont la même longueur. Montrons que ses trois angles ont la même
mesure. . . . .
Un autre énoncé pourrait être
“ Un triangle est équilatéral si et seulement si ses trois angles ont des mesures
égales ”
ce qui pourrait aussi s’écrire : “ Une condition nécessaire et suffisante pour qu’un triangle
soit équilatéral est que ses angles aient des mesures égales ”, ou encore, “ Pour qu’un triangle
soit équilatéral, il faut et il suffit que ses angles aient des mesures égales ”.
Il y aura dans ce cas deux raisonnements à faire en prenant successivement pour hypothèse
le fait que le triangle soit équilatéral, puis que ses angles ont la même mesure.
Dans une théorie mathématique complète, on pose au départ des définitions et des
propositions acceptées a priori comme vraies appelées “ axiomes ”. Les autres propositions
vraies en sont ensuite déduites par des démonstrations.
Mais, dans un cours introductif comme celui-ci, on sera nécessairement amené à admettre
certaines notions et certaines propositions dont la démonstration, trop longue ou trop difficile,
ne pourra pas être donnée.
1.1.2
Opérations logiques
La logique mathématique est une formalisation de la logique “naturelle” exprimée dans
la langue commune par des conjonctions de coordination : “et”, “ou”, “donc” et par la
négation “ne pas” ou “non”. Une étude plus approfondie de cette formalisation, importante
en particulier pour ses applications à l’informatique, fera l’objet d’un autre cours. On se
contentera ici d’une initiation.
Supposons qu’on note par des lettres A, B, . . . des propositions, c’est-à-dire des assertions
pouvant être vraies ou fausses.
Définition 1.1.1 Soit A une proposition. On désigne par “ non A ” la proposition qui est
vraie si A est fausse et qui est fausse si A est vraie.
Elle est appelée négation de A. On la note aussi ¬A (lu “ non A ”).
Exemple 1.1 La négation de la proposition “ Le nombre
355
simplement “ Le nombre 22
7 est inférieur ou égal à 113 ”.
22
7
est strictement plus grand que
355
113
” est tout
Définition 1.1.2 Soient A et B deux propositions.
– On désigne par “ A et B ” la proposition qui est vraie si A et B sont toutes les deux
vraies et qui est fausse si l’une au moins des deux propositions A et B est fausse. On
la note aussi A ∧ B (lu “ A et B ”).
– On désigne par “ A ou B ” la proposition qui est vraie si l’une au moins des deux
propositions A et B est vraie et qui est fausse si A et B sont fausses toutes les deux.
On la note aussi A ∨ B (lu “ A ou B ”).2
2
En mathématique si A ou B est vraie cela n’exclut pas que A et B soient tous deux vraies. On dit que
le “ ou ”, en mathématique n’est pas exclusif.
4
– On désigne par “ A implique B ” la proposition qui est fausse si A est vraie et B est
fausse et qui est vraie dans les autres cas. 3 On la note A ⇒ B (ou B ⇐ A).
Deux propositions A et B sont dites équivalentes si et seulement si les deux assertions
A ⇐ B et A ⇒ B sont vraies. Dans ce cas, on note A ⇔ B.
Exemple 1.2 Si x est un certain nombre entier donné, si A est la proposition “ x est divisible par 2 ” et si
B est la proposition “ x est divisible par 3 ”, la proposition A et B sera “ x est divisible par 2 et par 3 ” ce
qui, comme on le voit en arithmétique, revient à “ x est divisible par 6 ”.
Exemple 1.3 Si x est un nombre réel donné, si A est la proposition “ x est supérieur ou égal à 1 ” et si
B est la proposition “ x est inférieur ou égal à −1 ”, la proposition A ou B pourra se résumer en “ |x| est
supérieur ou égal à 1 ”.
Exemple 1.4 Si T est un triangle, les propositions A : “ T est un triangle équilatéral ” et B : “ les angles
de T ont la même mesure ” sont équivalentes. L’énoncé A ⇔ B est celui que nous avons donné comme
exemple plus haut.
On peut résumer les définitions précédentes dans un tableau, appelé table de vérité.
Ce tableau indique, pour chaque valeur possible Vraie ou Fausse des propositions A et B la
valeur de (non A), ( A et B) , ( A ou B) (A ⇒ B) et (A ⇔ B) :
A
V
V
F
F
B
V
F
V
F
non A
F
F
V
V
(A et B) (A ou B)
V
V
F
V
F
V
F
F
(A ⇒ B)
V
F
V
V
(A ⇔ B)
V
F
F
V
Proposition 1.1.3 Soient A et B des propositions. Les équivalences suivantes sont vraies :
(i)
non(A ou B) ⇔ ( non(A) et non(B) ) .
(ii)
non(A et B) ⇔ ( non(A) ou non(B) ) .
(iii)
(A ⇒ B) ⇔ ( non(A) ou (B) ) ⇔ non( (A) et non(B) ).
Exercice 1.5 En complétant la table de vérité précédente, démontrer ces équivalences. (On lit sur une table
de vérité que deux propositions sont équivalentes en vérifiant qu’elles prennent dans tous les cas la même
valeur vrai ou faux).
Proposition 1.1.4 Soit A, B, C des propositions. On a la propriété de transitivité :
((A ⇒ B) et (B ⇒ C)) ⇒ (A ⇒ C) .
Exercice 1.6 En dressant une table de vérité, démontrer cette implication.
Remarque. On voit que le “ non ”, le “ et ” et le “ ou ” agissent comme des opérations sur
les propositions. On dit que ce sont des connecteurs logiques.
3
En particulier, si A est fausse, alors la proposition “ A implique B ” est toujours vraie !
5
1.1.3
Modes de raisonnement
Le plus souvent l’énoncé d’un théorème se présente sous la forme “ A ⇒ B ” où A est
une proposition (ou un ensemble de propositions) (appelée hypothèse) et B une proposition
(appelée conclusion).
Raisonnement direct
En général la démonstration consiste à établir une chaı̂ne d’implications aboutissant à
B.
A ⇒ A 1 ⇒ A2 ⇒ · · · ⇒ B
Dans une rédaction de la démonstration, cette chaı̂ne doit être clairement explicitée. On le
fait en reliant les phrases (en langue courante) du raisonnement à l’aide d’expressions comme
donc, d’où, par conséquent, ce qui implique etc. Le plus grand soin doit être apporté à ce
texte.
Raisonnement par contraposée
On voit sur une table de vérité que les propositions (A ⇒ B) et (non(B) ⇒ non(A)) sont
équivalentes. Il en résulte que, pour démontrer la proposition (A ⇒ B) on peut, si c’est plus
commode, démontrer (non(B) ⇒ non(A)) c’est-à-dire prendre comme hypothèse que B est
fausse et en déduire qu’alors A serait fausse. On dit qu’on raisonne par contraposée.
Raisonnement par l’absurde
Certaines proposition portent en elles-mêmes une contradiction et sont toujours fausses ;
on dit qu’elles sont absurdes. Par exemple, si x est un nombre réel, la proposition suivante :
(x > 0 et x ≤ 0) est absurde.4
Supposons qu’on ait à démontrer la proposition (A ⇒ B). Si on prend provisoirement
((A) et (non B)) pour hyphothèse et si on parvient à en déduire une proposition absurde, on
aura montré que ((A) et (non B)) est faux donc que (A ⇒ B) est vraie (cf. la proposition
1.1.3). On dit qu’ainsi on raisonne par l’absurde5 .
Remarque. Au cours d’une démonstration par l’absurde, on est donc amené à écrire des
énoncés qui en fait sont faux. Il est bon, par conséquent, d’en avertir le lecteur par une
formule du genre “ Raisonnons par l’absurde et supposons que . . . ”.
1.1.4
Quantificateurs
Certaines propositions sont exprimées à l’aide d’une ou plusieurs variables qui peuvent
prendre différentes valeurs6 . Par exemple l’énoncé “ x est un nombre réel supérieur à 1 ” est
une proposition A(x) qui dépend de la variable x. Qu’elle soit vraie ou fausse dépend de la
valeur de x.
On définit deux opérateurs, appelés quantificateurs, qui associent à la famille A(x) une
nouvelle proposition :
4
Inversement, certaines proposition sont toujours vraies ; on dit que ce sont des tautologies. Par exemple,
si x est un nombre réel, la proposition (x > 0 ou x ≤ 0) est une tautologie.
5
On disait en latin ad absurdum, qui exprime mieux qu’on conduit le raisonnement jusqu’à l’absurde.
6
On parle alors de fonction propositionnelle ou de prédicat. En informatique, les variables s’appellent
selon les cas paramètres ou arguments.
6
• Le quantificateur pour tout, noté ∀ , qui s’emploie de la façon suivante : la proposition
(∀x, A(x)) est la proposition qui est vraie si la proposition A(x) est vraie pour tous les
objets x. On lit “ pour tout x, A(x) ” ou “ quel que soit x, A(x) ”.
• Le quantificateur il existe, noté ∃ , qui s’emploie de la façon suivante : la proposition
(∃x, A(x)) est la proposition qui est vraie s’il existe au moins un objet x tel que la proposition
A(x) soit vraie. On lit “ il existe x, A(x) ” ou, si on préfère, “ il existe x, tel que A(x) ” .
Ces quantificateurs satisfont l’axiome (bien naturel) suivant :
• La négation de la proposition (∀x, A(x)) est (∃x, non A(x)) .
• La négation de la proposition (∃x, A(x)) est (∀x, non A(x)) .
Exemple 1.7 La proposition
∃x, (x est un nombre réel ) et (x2 + 3x − 5 = 0)
exprime la propriété que l’équation x2 + 3x − 5 = 0 admet une racine réelle. (On peut montrer qu’elle est
vraie). On emploiera le plus souvent l’écriture plus concise
∃x ∈ R, x2 + 3x − 5 = 0
dans laquelle R désigne l’ensemble des nombres réels. La proposition
∃x ∈ R, x2 + 3x + 5 = 0
est fausse, comme le lecteur pourra le montrer. Sa négation qui s’écrit
∀x ∈ R, x2 + 3x + 5 6= 0
est donc vraie.
Remarque. Une proposition de la forme (∃x, A(x)) ou (∀x, A(x)) ne dépend en fait plus
de la variable x. On dit que x est une variable interne ou muette. Les propositions (∃x, A(x))
et (∃z, A(z)) sont donc absolument identiques.
Les choses se compliquent un peu quand on a à faire à des propositions qui sont écrites
avec plusieurs quantificateurs.
Exemple 1.8 La proposition
∀m ∈ N, ∃n ∈ N, (m + n est un nombre pair)
exprime que, quel que soit l’entier naturel m, il existe un entier n tel que m + n soit un nombre pair. On
démontre facilement qu’elle est vraie. Par contre la proposition
∃n ∈ N, ∀m ∈ N, (m + n est un nombre pair ”)
qui exprime qu’il existe un entier naturel n tel que, quel que soit l’entier m, m + n soit un nombre pair est
fausse, comme on le montre facilement. On voit que l’ordre dans lequel sont écrits les quantificateurs
∃ et ∀ est très important.
Attention :
Les symboles pour les connecteurs et pour les quantificateurs ne doivent pas être employés
comme des abréviations d’écriture. Ils ne s’emploient que dans des formules. Une phrase
comme “ Montrons que si ∃x ∈ E ⇒ x 6∈ F ; en effet . . . ” est à proscrire absolument. Il faut
faire des phrases complètes en français (ou en espagnol...) comme, par exemple, “ Montrons
que s’il existe un élément x de E tel que x n’appartient pas à F , alors ..... ”
Exercice 1.9 Soit f une fonction de R dans R. Écrire la négation des deux énoncés
∀x0 ∈ R, ∀ε > 0, ∃η > 0, ∀x ∈ R,
∀ε > 0, ∃η > 0, ∀x0 ∈ R, ∀x ∈ R,
| x − x0 | < η ⇒ | f (x) − f (x0 ) | < ε,
| x − x0 | < η ⇒ | f (x) − f (x0 ) | < ε.
(La notation ε > 0 est un peu abusive car elle sous-entend, sans l’expliciter, que ε est un nombre réel ; cet
abus de notation est très fréquent et évite une notation trop lourde.)
7
1.2
1.2.1
Théorie élémentaire des ensembles
Ensembles, appartenance.
La notion d’ensemble est à la base de l’édifice des mathématiques contemporaines. Nous
ne donnerons que quelques éléments de ce qu’on appelle la “ théorie naı̈ve des ensembles ”
qui néglige les fondements logiques (et les sérieuses difficultés qui leur sont attachées).
Nous prendrons donc le mot “ ensemble ” dans le sens intuitif de collection (d’objets
qui peuvent être des nombres, des fonctions, des ensembles etc.). Cette collection peut
éventuellement être vide : l’ensemble considéré est “ l’ensemble vide ” noté ∅.
Un ensemble non vide est constitué d’“éléments ”. Si E est un ensemble et x est un
élément de E, on note x ∈ E qu’on lit x “ appartient à ” E (ou E contient l’élément x).
Si x n’est pas élément de E on note x ∈
/ E qu’on lit x n’appartient pas à E.
Si éléments x, y désignent un même élément de E, on écrit x = y et on lit x est égal à
y ; s’ils ne sont pas égaux on écrit x 6= y et on lit x n’est pas égal à y ou x est différent de y.
Pour alléger la notation, on écrira parfois ∀x, y ∈ E pour ∀x ∈ E, ∀y ∈ E.
Il existe principalement deux façons de définir un ensemble :
• En donnant la liste de ses éléments : On note ainsi, par exemple, {a, b, c} l’ensemble
ayant pour éléments a, b et c. Plus généralement, si le nombre d’éléments est n, on écrira
{a1 , a2 . . . , an }.
• À l’aide d’une proposition A(x) dépendant d’une variable x appartenant à un ensemble
E donné. On notera alors {x ; x ∈ E et A(x)} ou {x ∈ E ; A(x)} l’ensemble dont les
éléments sont les éléments x de E pour lesquels A(x) est vraie.
Exercice 1.10 Quels sont les éléments de l’ensemble {x ∈ R ; x2 = 25} ? Est-ce le même ensemble que
l’ensemble {x ∈ N ; x2 = 25} ?
Définition 1.2.1 Un ensemble E s’appelle singleton s’il contient exactement un élément
c’est-à-dire si on a
∃x ∈ E, ∀z ∈ E, z = x.
Un ensemble F s’appelle paire s’il contient exactement deux éléments c’est-à-dire si on a
∃x, y ∈ F, (x 6= y et ∀z ∈ F, (x = z ou y = z) )
Exemple : les ensembles de nombres.
Nous aurons à considérer les ensembles suivants :
N:
Z:
D:
Q:
R:
C:
ensemble des entiers naturels ;
ensemble des entiers relatifs ;
ensemble des nombres décimaux ;
ensemble des nombres rationnels ;
ensemble des nombres réels ;
ensemble des nombres complexes.
Pour chacun de ces ensembles E nous poserons E ∗ = E \ {0}.
Il n’est pas question ici de donner une définition rigoureuse de ces ensembles : nous
en resterons à l’approche intuitive adoptée dans l’enseignement secondaire et nous nous
contenterons le moment venu de préciser celles des propriétés sur lesquelles nous appuierons
certains développements. (En particulier pour R au chapitre 2 .)
8
1.2.2
Inclusion.
Définition 1.2.2 Soient E et F deux ensembles .
1. On dit que E est inclus dans F si tout élément de E appartient à F :
∀x, (x ∈ E =⇒ x ∈ F ).
Dans ce cas on note E ⊆ F . On dit aussi alors que E est une partie ou un sousensemble de F .
2. Les ensembles E et F sont dits égaux si on a E ⊆ F et F ⊆ E. Dans ce cas on note
E = F . Si deux ensembles ne sont pas égaux on dit qu’ils sont distincts. Si E est
inclus dans F et en est distinct on note7 E ⊂ F .
Remarque. Une démonstration de l’inclusion E ⊆ F commencera le plus souvent par la
phrase. “ Soit a un élément (sous-entendu quelconque) de E. Montrons que a appartient à
F. . . . ” Pour montrer l’égalité de deux ensembles on vérifiera que chacun des deux est inclus
dans l’autre.
Proposition 1.2.3 L’inclusion est transitive c’est-à-dire que pour trois ensembles E, F , G
on a
(E ⊆ F et F ⊆ G) ⇒ E ⊆ G.
Démonstration : Soit x un élément de E. Comme E ⊆ F , on a x ∈ F . Mais, comme F ⊆ G,
cela implique que x ∈ G. Par conséquent, tout élément de E appartient à G et donc E ⊆ G.
Définition 1.2.4 Un ensemble E étant donné, on note P(E) l’ensemble de toutes les parties
de E. (Cet ensemble contient toujours ∅ et E).
Exemple 1.11 Soit E l’ensemble des trois éléments distincts a, b et c : E = {a, b, c}. Alors :
P(E) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {b, c}, {c, a}, {a, b, c}}.
Si F = {a, b} on aura donc F ⊂ E et F ∈ P(E)
Exercice 1.12 A-t-on {a, b} = {b, a} ? {a, b} = {a, a, b} ?
Exercice 1.13 A-t-on ∅ ∈ ∅ ? ∅ ⊆ ∅ ? ∅ ⊂ ∅ ?
Exercice 1.14 Soit E = {a, b}. Déterminer P(E) puis P(P(E)).
Exercice 1.15 Si E = ∅ on a P(E) = {∅}. On notera bien que E ne contient aucun élément alors que P(E)
en contient un ! En poursuivant, on obtient P(P(E)) = {∅, {∅}}. Pourriez-vous déterminer P(P(P(E))) ?
Exercice 1.16 Soient A et B deux parties de l’ensemble E telles que A ⊆ B. Prouver, en raisonnant par
contraposée, que, pour tout élément x de E, si on a x ∈
/ B alors on a x ∈
/ A.
7
Dans la litterature on trouve souvent le symbole ⊂ dans le sens de ⊆ et
9
⊂
6=
à la place de ⊂.
1.2.3
Opérations sur les parties d’un ensemble
Soit un ensemble E et soit P(E) l’ensemble de ses parties.
Définition 1.2.5 Soient A et B deux parties d’un ensemble E.
– On appelle intersection de A et B l’ensemble noté A ∩ B des éléments de E qui
appartiennent à A et à B :
A ∩ B = {x ∈ E ; (x ∈ A) et (x ∈ B)}.
– On appelle réunion de A et B l’ensemble noté A∪B des éléments de E qui appartiennent
à A ou à B :
A ∪ B = {x ∈ E ; (x ∈ A) ou (x ∈ B)}.
– On appelle complémentaire de A dans E l’ensemble noté CE A ou E\A ou simplement
A (parfois Ac ) si l’ensemble E est fixé sans ambiguı̈té, des éléments de E qui n’appartiennent
pas à A :
A = {x ∈ E ; x 6∈ A}.
Remarque. Comme on le voit, ces définitions sont directement liées aux opérations logiques
ou, et et non définies en 1.1.2. Les propriétés énoncées dans les exercices suivants se
démontrent à l’aide des propriétés de ces opérations logiques ou à l’aide de tables d’appartenance analogues aux tables de vérité.
Exercice 1.17 Montrer les égalités suivantes (propriété d’associativité) :
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
Ces propriétés permettent de supprimer les parenthèse et d’écrire simplement pour la réunionS
de trois parties
n
A ∪ B ∪ C ou, plus généralement pour la réunion de plusieurs parties A1 ∪ A2 ∪ . . . An ou i=1 Ai . Même
remarque pour l’intersection.
Exercice 1.18 Montrer les égalités suivantes (propriété de distributivité) :
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Exercice 1.19 Soient A et B des parties d’un ensemble E. Montrer les égalités suivantes (lois de Morgan) :
A∪B =A∩B
A∩B =A∪B
Les opérations décrites dans la définition 1.2.5 confèrent à l’esemble P(E) une structure
appelée structure d’algèbre de Boole dont l’étude sera approfondie dans le cours de “ mathématiques
pour l’informatique ”.
On utilise aussi d’autres opérations.
• La différence d’ensembles : on note A \ B l’ensemble des éléments de A n’appartenant
pas à B. Autrement dit,
A \ B = A ∩ B.
• La différence symétrique : on note A4B l’ensemble des éléments appartenant à l’un
des ensembles A ou B mais pas aux deux. Autrement dit,
A4B = (A ∪ B) \ (A ∩ B) = (A \ B) ∪ (B \ A).
10
1.2.4
Produit cartésien de deux ensembles
Définition 1.2.6 Étant donnés deux ensembles E et F on appelle produit cartésien de
E et F l’ensemble noté E × F constitué de tous les couples (a, b) avec a ∈ E et b ∈ F . Plus
généralement, étant donnés des ensembles E1 , E2 , . . . , En le produit cartésien E1 × E2 ×
· · · × En est l’ensemble des n-uplets (a1 , a2 , . . . , an ) où a1 ∈ E1 , . . . , an ∈ En .
Plus simplement, on note E n le produit de n ensembles égaux à un même ensemble E.
Remarque. Un couple (plus généralement un n-uplet) est une suite ordonnée de termes non
nécessairement distincts : si a 6= b, le couple (a, b) est différent du couple (b, a) et le triplet
(a, a, b) différent du couple (a, b). On prendra bien garde de ne pas confondre la notion de
couple (a, b) et la notion de paire {a, b} qui désigne l’ensemble ayant pour éléments a et b ;
on a toujours {a, b} = {b, a} (ce dernier ensemble se réduisant à {a} si a = b). 8
Exemple 1.20 Si E = {a, b} et F = {c, d} on a :
E × F = {(a, c), (a, d), (b, c), (b, d)}.
Par ailleurs :
E × E = E 2 = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b)}.
Définition 1.2.7 Lorsque E = F , le sous-ensemble D = {(x, x); x ∈ E} est appelé diagonale
de E × E.
1.2.5
Relations. Applications
Définition 1.2.8 Soient E et F deux ensembles.
Soit G un sous-ensemble de l’ensemble E × F .
On dit qu’un élément x de E et un élément y de F satisfont la relation R de E vers
F dont le graphe est G si le couple (x, y) appartient à G. On notera cette propriété x R y.
En résumé
x R y ⇔ (x, y) ∈ G .
Dans le cas où E = F , on parle simplement de relation définie sur E.
Exemple 1.21 Si D est la diagonale de l’ensemble produit E × E, la relation définie sur E dont le graphe
est D est tout simplement la relation “ égalité ”.
Exemple 1.22 Prenons pour ensemble E l’intervalle [0, 1]. Le produit cartésien [0, 1] × [0, 1] peut être
représenté dans un plan par le carré K dont les points ont des coordonnées x et y comprises entre 0 et 1.
La relation x ≥ y définie sur [0, 1] a pour graphe le triangle formé par les points situés sur la diagonale de
K ou en dessous. (Faire un dessin). Cette relation est un exemple de ce qu’on appelle relation d’ordre. Nous
reviendrons un peu plus loin sur cette notion.
Exemple 1.23 Si m est un entier relatif, la relation R définie sur l’ensemble Z des nombres entiers relatifs
par
xRy ⇐⇒ ∃k ∈ Z, x − y = km
est une relation appelée congruence modulo m.9 On la note x ≡ y (mod m).
8
La même distinction existe en informatique, avec des notations parfois différentes. Cf. en langage Maple
les types list et set.
9
Cette relation est un exemple de ce qu’on appelle relation d’équivalence. Cette notion sera étudiée
en détail dans un cours ultérieur.
11
Définition 1.2.9 Soient E et F deux ensembles.
Une application de E dans F est une relation R de E vers F dont le graphe G a la
propriété suivante :
Pour tout élément x de E il existe un et un seul élément y de F tel que la relation
x R y soit vraie.
On voit donc qu’une application (on dit aussi fonction) de E dans F associe à chaque
élément x ∈ E un unique élément y ∈ F . Cet élément est appelé l’image de x par
l’application. On utilise en général pour les applications les notations suivantes :
Si on note f une application de E dans F , on note f (x) l’image de l’élément x de E et
souvent, pour mieux mettre en évidence que x ∈ E et que f (x) ∈ F on écrit
f: E → F
x 7→ f (x).
On dit aussi que f (x) est la valeur prise par f en x. Si y = f (x), on dit que x est un
antécédent de y. Un élément de F peut très bien avoir plusieurs antécédents ou n’en avoir
aucun.
On dit que E est l’ensemble de départ ou le domaine de définition de f , et que
F en est l’ensemble d’arrivée. On dit encore que f est une fonction (ou une application)
définie sur E à valeurs dans F .
Le graphe de f est le sous-ensemble de E × F :
Gf = {(x, f (x)) ; x ∈ E}.
Exemple 1.24 Soit R : l’ensemble des nombres réels et f l’application de R dans R définie par ∀x ∈
R, f (x) = x2 . L’image de 2 est 4. Le réel 4 a deux antécédents : 2 et −2. Le réel −4 n’a pas d’antécédent.
Exemple 1.25 Considérons l’application x 7→ sin x de R dans R. Le nombre 2 n’a pas d’antécédent. Le
nombre 1 a pour antécédents tous les nombres appartenant à l’ensemble {π/2 + 2kπ ; k ∈ Z}.
Il est parfois utile de restreindre l’ensemble de départ d’une application :
Définition 1.2.10 Soit f est une application d’un ensemble E dans un ensemble F . Soit A
un sous-ensemble de E.
On appelle restriction de f à A l’application notée f|A , de A (pris comme nouvel
ensemble de départ) dans F qui prend en tout x de A la même valeur que f : pour tout
x : inA, on a f|A (x) = f (x).
Remarque. Si A 6= E, les applications f et f|A . sont différentes. En effet, pour que deux
applications soient égales, elles doivent avoir même ensemble de départ, même ensemble
d’arrivée et même graphe.
Autrement dit, si f : E → F et g : G → H sont deux applications, on a f = g si et
seulement si E = G, F = H et f (x) = g(x) pour tout x ∈ E.
12
1.2.6
Image d’une partie
Définition 1.2.11 Soit f est une application d’un ensemble E dans un ensemble F . Soit A
un sous-ensemble de E.
On appelle image de la partie A par f l’ensemble des valeurs prises par f en les éléments
de A. C’est un sous-ensemble de F qu’on note f (A). On a donc
f (A) = {y ∈ F ; ∃x ∈ A, f (x) = y} .
L’image f (E) de l’ensemble de départ E tout entier s’appelle simplement l’image de l’application f . (C’est une partie de F qui n’est pas nécessairement F tout entier.)
Exercice 1.26 Soit f l’application de N dans N telle que f (n) = n + 1. Déterminer l’image de f .
Exercice 1.27 Soit f l’application de R dans R telle que f (x) = x + 3. Déterminer l’image de f .
Exercice-type 1.28 Soient f : E → F une application, A et B deux parties de E. Montrer que si A ⊆ B
alors f (A) ⊆ f (B).
Solution. Il faut montrer que pour tout élément y ∈ f (A) on a y ∈ f (B). Or, si y ∈ f (A), il existe a ∈ A
tel que y = f (a). Mais alors, par hypothèse, a ∈ B d’où y = f (a) ∈ f (B).
Exercice 1.29 Sous les mêmes hypothèses que précédemment, établir les résultats suivants :
f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B);
f (A ∩ B) ⊆ f (A) ∩ f (B).
On vérifiera que la seconde inclusion n’est en général pas une égalité en considérant f : R → R telle que
f (x) = x2 , A = {0, −1}, B = {0, 1}.
1.2.7
Applications injectives, surjectives, bijectives
Si on relit attentivement la définition du mot application, on voit qu’un élément x de
l’ensemble de départ a toujours une seule image mais que rien n’interdit en général à deux
éléments x et x0 distincts d’avoir la même image. On voit aussi que tout élément de l’ensemble
de départ à une image mais que rien n’oblige en général tous les éléments de l’espace d’arrivée
à être l’image d’un élément de l’ensemble de départ.
Les définitions très importantes suivantes précisent ces points.
Définition 1.2.12 Soit f une application d’un ensemble E dans un ensemble F .
– On dit que f est une application injective (ou que f est une injection) de E dans F
si deux éléments distincts quelconques de E ont des images distinctes :
∀x, x0 ∈ E,
(x 6= x0 ⇒ f (x) 6= f (x0 )).
De façon équivalente, par contraposition : L’application f : E → F est injective si on
a “ quels que soient x et x0 de E, si f (x) = f (x0 ) alors x = x0 ”
– On dit que f est une application surjective (ou que f est une surjection) de E sur
F si tout élément de F est image par f d’au moins un élément de E :
∀y ∈ F, ∃x ∈ E, y = f (x).
De façon équivalente, f est surjective de E sur F si f (E) = F .
13
– On dit que f est une application bijective (ou que c’est une bijection) de E sur F si
elle est à la fois injective et surjective. En d’autres termes : “ quel que soit y ∈ F , il
existe un unique x ∈ E tel que y = f (x) ”.
Exemple 1.30 L’application f : x 7→ x2 de R dans R n’est ni injective ni surjective. Sa restriction à
l’ensemble R+ des nombres réeels positifs est injective puisque deux réels positifs qui ont même carré sont
égaux. Il en est de même de sa restriction à R− .
On peut aussi considérer l’application g : x 7→ x2 de R dans R+ . Cette application est différente de f
car elle n’a pas le même ensemble d’arrivée. Elle est, quant à elle, surjective car tout nombre positif est le
carré d’au moins un réel.10 La restriction de g à R+ est une bijection de R+ sur lui-même.
Remarque de méthode. Soit f une application d’un ensemble E dans un ensemble F .
• Étudier la surjectivité de f revient à se poser la question : l’équation f (x) = y
dont l’inconnue est x a-t-elle au moins une solution pour tout second membre y de F ?
Le raisonnement commencera le plus souvent ainsi : “ Soit y un élément (sous-entendu
quelconque) de F . Montrons qu’il existe un élément x de E tel que f (x) = y. . . . ”
• Étudier l’injectivité de f revient à se poser la question : si l’équation f (x) = y admet
une solution pour le second membre y de F , cette solution est-elle unique ? La solution
commencera souvent par : “ Soient x1 et x2 deux élément de E tels que f (x1 ) = f (x2 ).
Montrons que x1 = x2 . . . . ” ou bien par “ Soient x1 et x2 deux élément de E tels que
x1 6= x2 . Montrons que f (x1 ) 6= f (x2 ). . . . ”
• Pour montrer qu’une application f est bijective de E sur F , on doit montrer deux
choses : qu’elle est surjective et qu’elle est injective. Cela revient à prouver que l’équation
f (x) = y admet, pour tout second membre y de F une solution x unique dans E.
1.2.8
Composition d’applications.
Définition 1.2.13 Soient E, F, G trois ensembles non vides et f : E → F , g : F → G deux
applications. La composée de f et g, notée g ◦ f , est l’application
g◦f : E → G
x 7→ g(f (x)).
Exemple 1.31 Soient f et g les applications de R dans lui-même telles que , pour tout réel x, f (x) = x 4 et
g(x) = x + 1. Alors on peut définir les applications g ◦ f : x 7→ x4 + 1 et f ◦ g : x 7→ (x + 1)4 . On notera que
g ◦ f 6= f ◦ g.
Exercice 1.32 Donner un exemple de deux applications f et g telles que l’expression f ◦ g ait un sens mais
pas g ◦ f .
Exercice 1.33 Soient des ensembles E, F , G et H et trois applications f : E → F , g : F → G, h : G → H.
Montrer l’égalité (associativité)
h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f .
Cette égalité permet de se passer de parenthèses et d’écrire cette application h ◦ g ◦ f .
Les propriétés d’injectivité, surjectivité et bijectivité sont conservées par composition,
comme le montre la proposition suivante.
10
Plus généralement, à toute application f d’un ensemble E dans un ensemble F on peut associer une
surjection de E sur l’image f (E) de f .
14
Proposition 1.2.14 Soient E, F, G trois ensembles non vides et f : E → F , g : F → G
deux applications.
1. Si f et g sont injectives alors g ◦ f est injective ;
2. Si f et g sont surjectives alors g ◦ f est surjective ;
3. Si f et g sont bijectives alors g ◦ f est bijective.
Démonstration :
1. Soient x et x0 deux éléments de E qui vérifient (g ◦ f )(x) = (g ◦ f )(x0 ). Montrons qu’on
a alors x = x0 . Comme g est supposée injective, l’égalité g(f (x)) = g(f (x0 )) implique l’égalité
f (x) = f (x0 ). Comme f est supposée injective, l’égalité f (x) = f (x0 ) implique l’égalité x = x0
que l’on voulait démontrer.
2. Soit z un élément de G. Puisque g est supposée surjective, il existe au moins un élément
y de F tel que z = g(y). Par surjectivité de f , il existe alors un élément x de E tel que y =
f (x). On a finalement bien trouvé un élément x de E tel qu’on ait z = g(f (x)) = (g ◦ f )(x).
3. Puisque f et g sont à la fois injectives et surjectives, leur composée est à la fois injective
et surjective donc bijective.
Exercice-type 1.34 On reprend les notations E, F, G, f, g ci-dessus. En supposant (g◦f ) injective (respectivement, surjective), montrer que f est injective (respectivement, que g est surjective).
Solution. On peut, par exemple, raisonner par contraposition dans les deux cas. En supposant que f
n’est pas injective, montrons que (g ◦ f ) n’est pas injective. Par hypothèse, il existe x et x 0 de E, tels que
x 6= x0 et f (x) = f (x0 ). Mais alors, (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(f (x0 )) = (g ◦ f )(x0 ) avec x 6= x0 , donc (g ◦ f )
n’est pas injective.
Si g n’est pas surjective alors g(F ) 6= G. Mais puisque f (E) ⊆ F on a (g ◦ f )(E) = g(f (E)) ⊆ g(F ).
Donc l’image de g ◦ f n’est pas G tout entier et g ◦ f n’est pas surjective.
Exercice 1.35 Soient f : E → F , g : F → G, et h : G → H trois applications telles que (g ◦ f ) et (h ◦ g)
soient bijectives. En utilisant l’exercice-type 1.34, montrer que g est bijective puis en déduire que f, g, et h
sont bijectives.
Définition 1.2.15 Soit un ensemble E. On appelle application identique (ou identité)
de E l’application de E dans E notée IdE définie par
∀x ∈ E, IdE (x) = x.
On déduit immédiatement de cette définition la
Proposition 1.2.16 Pour toute application f d’un ensemble E dans un ensemble F , on a
f ◦ IdE = f
1.2.9
et
IdF ◦ f = f .
Application réciproque d’une bijection
Soit f une application bijective d’un ensemble E sur un ensemble F . À tout élément y
de F on peut associer l’élément unique de E tel que f (x) = y. On pose f −1 (y) = x et on
définit ainsi une bijection f −1 de F dans E appelée application réciproque de f . On a
donc par définition
∀x ∈ E, ∀y ∈ F, y = f (x) ⇐⇒ x = f −1 (y).
15
Plus précisément, si Gf (Gf ⊆ E × F ) est le graphe de f , l’application réciproque est définie
par le graphe “ symétrique ” :
Gf −1 = {(y, x) ∈ F × E ; (x, y) ∈ Gf } .
Exemple 1.36 Un exemple étudié dans les classes antérieures est donné par la fonction exponentielle :
c’est une application bijective de R sur l’ensemble R∗+ des nombres réels strictement positifs. Elle admet pour
fonction réciproque la fonction logarithme népérien qui est une bijection de R ∗+ sur R.
Exercice 1.37 Soit E un ensemble et P(E) l’ensemble de ses parties. On considère l’application h de P(E)
dans P(E) définie par h(A) = A (complémentaire de A) pour tout A ∈ P(E) . Montrer que h est une
bijection et déterminer son application réciproque.
Exercice 1.38 Soit f une application bijective f d’un ensemble E dans un ensemble F et f −1 l’application
réciproque. Montrer qu’on a
f −1 ◦ f = IdE et f ◦ f −1 = IdF .
Proposition 1.2.17 Soit une application f : E → F . Pour que f soit bijective, il faut et il
suffit qu’il existe une application g : F → E telle que
g ◦ f = IdE
et
f ◦ g = IdF .
(Dans ce cas g est aussi bijective ; c’est l’application réciproque de f .)
Exercice 1.39 Démontrer cette proposition.
Proposition 1.2.18 Si f : E → F et g : F → G sont des applications bijectives, l’application
g ◦ f est bijective et on a (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1 .
Exercice 1.40 Démontrer cette proposition. On notera l’inversion de l’ordre de la composition.
16
Chapitre 2
Le corps des nombres réels
2.1
Introduction
Les nombres réels sont au cœur de l’Analyse mathématique. Ils ont été introduits et
utilisés dans l’enseignement secondaire sans qu’une définition précise en ait été donnée. Dans
ce chapitre nous allons expliciter dans un axiome les propriétés admises des nombres réels
à partir desquels seront déduits tous les théorèmes d’Analyse que nous étudierons dans la
suite. Nous partirons de l’énoncé suivant :
Axiome. L’ensemble R des nombres réels est un corps totalement ordonné dans lequel toute
partie non vide et majorée admet une borne supérieure.
Notre première tâche consistera à expliquer tous les termes de cet énoncé. Les expressions
corps, totalement ordonné, borne supérieure dont nous allons donner les définitions précises
sont importantes pour tous les domaines des mathématiques et nous seront très utiles dans
la suite.
2.2
2.2.1
Ensembles ordonnés
Relation d’ordre
Sur les ensembles de nombres N, Z, R, tels qu’ils sont introduits dans l’enseignement
élémentaire, on définit la relation notée ≤, qui se lit “ inférieur ou égal à ”. De manière
générale :
Définition 2.2.1 Soit un ensemble E et une relation R définie sur E. On dit que R est
une relation d’ordre si elle possède les trois propriétés suivantes :
1. Elle est réflexive, c’est-à-dire qu’on a
∀a ∈ E, aRa.
2. Elle est transitive, c’est-à-dire qu’on a
∀a ∈ E, ∀b ∈ E, ∀c ∈ E, ((aRb et bRc) =⇒ aRc).
3. Elle est antisymétrique, c’est-à-dire qu’on a
∀a ∈ E, ∀b ∈ E, ((aRb et bRa) =⇒ a = b).
17
Si on a de plus, pour tout couple (x, y) d’éléments de E, xRy ou yRx on dit que la
relation d’ordre R est totale.
Si un ensemble est muni d’une relation d’ordre (resp. d’ordre total), on dit que c’est un
ensemble ordonné (resp. totalement ordonné).
Exemple 2.1 L’ensemble des nombres réels R muni de la relation ≤ est un ensemble totalement ordonné.
Exemple 2.2 Soit Ω un ensemble quelconque. Sur l’ensemble P(Ω) des parties de Ω la relation “inclusion”,
notée ⊆ , est une relation d’ordre. Cette relation est non totale (sauf si Ω est vide ou n’admet qu’un seul
élément !).
Exemple 2.3 Sur l’ensemble N des entiers naturels la relation “ divise ”, notée par le signe | et définie par
m|n s’il existe un entier k tel que n = km
est une relation d’ordre non totale. (Exercice).
Soulignons le fait que, dans la définition adoptée, la notion d’ordre est prise au sens large.
Si, sur un ensemble E, on a une relation d’ordre notée par exemple par le signe , on peut
lui associer une autre relation qui sera notée ≺ en posant
a ≺ b ⇐⇒ (a b et a 6= b).
La relation ≺ ainsi définie n’est pas une relation d’ordre au sens de la définition précédente
puisqu’elle n’est pas réflexive. On dit que c’est une relation d’ordre-strict (en un seul mot).
2.2.2
Majorant, maximum, borne supérieure
Définition 2.2.2 Soit un ensemble E muni d’une relation d’ordre notée . Soit A une
partie de E et m un élément de E. On dit que m est un majorant de A si
∀a ∈ A,
a m.
On dit que m est un plus grand élément ou un maximum de A si m est un majorant
de A et si de plus m ∈ A.
Autrement dit un majorant de la partie A est un élément du grand ensemble E qui est
supérieur ou égal à tous les éléments de la partie A. Un majorant de A est un maximum si
de plus il appartient lui-même à A. Bien entendu, une partie A de E n’admet pas toujours
de maximum.
Exemple 2.4 Si on se place dans l’ensemble R des nombres réels muni de la relation d’ordre habituelle ≤ ,
la partie A = [0, 1[ admet le nombre 36 ou même le nombre 1 comme majorants mais n’admet pas de plus
grand élément. (Le démontrer en exercice)
On définit de manière analogue les termes minorant et plus petit élément ou minimum.
Une partie A d’un ensemble ordonné E qui admet au moins un majorant et au moins un
minorant dans E est dite bornée.
Proposition 2.2.3 Si une partie A de E admet un maximum (respectivement un minimum)
celui-ci est unique. On le note max(A) (respectivement min(A)). On pourra donc dire (s’il
existe) “ le ” maximum de A ou “ le ” minimum de A.
18
Exercice 2.5 Démontrer la proposition précédente.
En analyse on a très souvent, pour un ensemble donné de nombres réels, à chercher à
le majorer et à le minorer ou, comme on dit, à en trouver un encadrement. Il est naturel
de rechercher le meilleur encadrement possible et pour cela on est amené à introduire les
définitions suivantes :
Définition 2.2.4 Soit un ensemble E muni d’une relation d’ordre notée et soit A une
partie de E.
On dit qu’un élément S de E est la borne supérieure de A si S est le minimum de
l’ensemble des majorants de A. On note S = sup A.
De même, on dit que s est la borne inférieure de A, notée inf A, si s est le maximum de
l’ensemble des minorants de A.
Pour que S soit la borne supérieure de A il faut et il suffit, par conséquent, que deux
conditions soient remplies :
• S est un majorant de A
• aucun élément de E strictement inférieur à S n’est un majorant de A.
Dans le cas où l’ensemble E est l’ensemble R qui est totalement ordonné pour la relation
d’ordre ≤, on a S = sup A si on a :
(i) ∀a ∈ A, a ≤ S,
(ii) ∀b < S, ∃a ∈ A, b < a.
Mise en garde ! Il existe des ensembles ordonnés E et des parties A de E telles que A
admet des majorants sans avoir de borne supérieure. Par contre, comme l’affirme l’axiome
de la borne supérieure (voir 2.4 plus bas), ceci ne peut se produire dans l’ensemble des
nombres réels.
Une partie A peut admettre une borne supérieure sans avoir de maximum. Par contre on
pourra vérifier en exercice que :
Proposition 2.2.5 Si une partie A d’un ensemble ordonné E admet un maximum, celui-ci
est nécessairement sa borne supérieure.
Exemple 2.6 Dans l’ensemble des réels, l’ensemble ]0, 1[ admet la borne supérieure 1 mais n’admet pas de
maximum. L’ensemble [0, 1] admet le maximum 1. L’ensemble N n’admet pas de majorant (et, a fortiori, pas
de borne supérieure).
Exercice 2.7 Dans l’ensemble P(Ω) des parties d’un ensemble Ω, muni de la relation d’ordre “ inclusion
” symbolisée par ⊆, on considère une partie finie {A1 , A2 , . . . , Am }. Démontrer que cet ensemble admet
comme borne supérieure l’élément A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ Am .
2.2.3
Applications bornées
Soit E un ensemble quelconque et F un ensemble muni d’une relation d’ordre . Soit f
une application de E dans F . On dit que f est une application majorée (resp. minorée) sur
E par l’élément m de F si m est un majorant (resp. minorant) de l’ensemble image f (E).
Autrement dit si, pour tout x ∈ E, on a f (x) m (resp. m f (x)).
Si f est à la fois majorée et minorée, on dit que c’est une application bornée.
19
2
Exercice 2.8 Montrer que l’application de R dans R définie par x 7→ e−x est une application bornée.
Notation. Soit D une partie de l’ensemble de départ E. Si l’ensemble f (D), image de D
par f , admet dans F une borne supérieure S, on pourra écrire
S = sup f (D) ou S = sup {f (x) ; x ∈ D} ou S = sup
x∈D f (x) .
De même pour la borne inférieure.
2.2.4
Applications monotones.
Définition 2.2.6 Soit E un ensemble muni d’une relation d’ordre et F un ensemble
muni d’une relation d’ordre v. Soit f une application de E dans F . On dit que f est une
application croissante si, pour tout couple (x, y) d’éléments de E, on a
x y =⇒ f (x) v f (y) .
On dit que f de E dans F est strictement croissante si, pour tout couple (x, y) d’éléments
de E, on a
x ≺ y =⇒ f (x) < f (y) .
Définition analogue pour décroissante et strictement décroissante. Une application qui
est soit croissante soit décroissante est dite monotone. Elle est dite strictement monotone
si elle est soit strictement croissante soit strictement décroissante .
Le cas le plus important que nous allons considérer dans ce module est celui où E = F = R
muni de la relation d’ordre usuelle ≤.
Exercice 2.9 On suppose E totalement ordonné. Montrer qu’une application strictement monotone de
(E, ) dans (F, v) est une application injective de E dans F .
Exercice 2.10 Soit E un ensemble muni d’une relation d’ordre notée . Soient f et g deux applications
monotones de E dans lui-même. Montrer que l’application composée f ◦ g est monotone. Montrer que si f et
g sont strictement monotone, alors f ◦ g est strictement monotone. Montrer par un exemple que f ◦ g peut
être strictement monotone sans que ni f ni g ne le soit.
Exercice 2.11 L’ensemble N∗ est muni de la relation d’ordre “ divise ” notée | et l’ensemble P(N∗ ) de ses
parties est muni de la relation d’ordre “ inclusion ” ⊆. À tout entier k on associe l’ensemble D(k) des entiers
qui divisent k et l’ensemble M (k) des multiples de k. Montrer que les applications k 7→ D(k) et k 7→ M (k)
sont des applications monotones de (N, | ) dans (P(N ∗ ), ⊆ ).
2.2.5
L’ensemble ordonné N des entiers naturels
En tant qu’ensemble ordonné, l’ensemble N joue un rôle particulier. En effet, les entiers
naturels ne servent pas seulement à dénombrer, c’est-à-dire à mesurer une quantité d’objets,
mais aussi à numéroter c’est-à-dire à donner aux éléments d’un ensemble un numéro d’ordre.
Cela repose sur les propriétés fondamentales que possède la relation d’ordre sur N et qui
peuvent servir d’axiomes pour définir cet ensemble :
Axiome. L’ensemble N est un ensemble non vide, muni d’une relation d’ordre totale pour
laquelle
a) N n’admet pas de plus grand élément.
20
b) Toute partie non vide de N admet un plus petit élément.
Les propriétés a) et b) ont pour conséquences immédiates que :
(i) N admet un plus petit élément. On convient de le noter 0.
(ii) Pour tout n ∈ N l’ensemble des éléments de N strictement supérieurs à n
admet un plus petit élément qu’on appelle le successeur de n et qu’on convient
de noter n + 1.
c) Tout élément de N distinct de 0 est le successeur d’au moins un élément de N.
Autrement dit l’application n 7→ n + 1 est une application surjective de N sur l’ensemble
N \ {0} (qui est aussi noté N∗ ).
Exercice 2.12 Montrer que cette application est en fait bijective.
À l’aide d’un système de numération, comme le système décimal, on représente par des
symboles les successeurs successifs de 0 : par exemple le successeur de 0 par 1, celui de 1 par
2 etc. À partir des propriétés précédentes prises pour axiome de définition de l’ensemble N
on peut bâtir toute l’arithmétique.
On commence par établir la validité du raisonnement par récurrence tel qu’il est énoncé
dans la proposition suivante :
Proposition 2.2.7 Raisonnement par récurrence.
Soit A une partie de N vérifiant :
(1) 0 ∈ A.
(2) Quelque soit n ∈ N, on a (n ∈ A =⇒ n + 1 ∈ A).
Alors A = N.
Démonstration : Montrons cette proposition en raisonnant par l’absurde : supposons que
A 6= N. Le complémentaire N \ A de A dans N admet (propriété b)) un plus petit élément
que nous noterons m et qui ne peut être 0 puisque 0 ∈ A par hypothèse (1). Mais alors
(propriété c)) m est le successeur d’un entier n et cet entier appartient nécessairement à A
(sinon m ne serait pas le plus petit élément de N \ A). L’hypothèse (2) entraı̂ne alors que le
successeur de n, qui est m, appartient à A ce qui contredit la définition de m.
Remarque. Plus généralement, pour tout entier n0 , on montre que si une partie B de N
vérifie n0 ∈ B et ∀n ∈ N (n ∈ B =⇒ (n+1) ∈ B), alors B contient tous les entiers supérieurs
ou égaux à n0 .
On montre ensuite qu’on peut définir des applications par récurrence. Pour cela on
démontre (nous l’admettrons) le corollaire suivant de la proposition 2.2.7.
Proposition 2.2.8 Soit un ensemble E et une application f : E → E. Pour tout élément a
de E, il existe une application unique u : N → E vérifiant
(i) u(0) = a
(ii) ∀n ∈ N, u(n + 1) = f (u(n)).
Remarque. Une application de N dans un ensemble E s’appelle une suite (voir chapitre
3) et on écrit le plus souvent un pour u(n). Avec cette notation les conditions (i) et (ii)
prennent la forme u0 = a et un+1 = f (un ). Nous étudierons plus loin en détail les suites de
nombres réels définies par récurrence.
C’est à l’aide de cette proposition qu’on peut définir précisément l’addition et la multiplication
des nombres entiers.
21
Exercice 2.13 Montrer par récurrence les formules suivantes : pour tout entier n,
1+2+···+n =
n(n + 1)
.
2
n(n + 1)(2n + 1)
.
6
2
n(n + 1)
.
13 + 2 3 + · · · n 3 =
2
12 + 2 2 + · · · n 2 =
P
La notation
. La notation des sommes du type de celles de l’exercice précédent à l’aide
de petits points ne convient pas pour des expressions plus compliquées. On écrit alors, par
exemple
n
X
a1 + a 2 + · · · + a n =
ak .
k=1
Dans cette notation, l’indice de sommation k a un usage purement interne ; comme on dit
en informatique, c’est une variable locale. On peut changer la lettre k en toute autre lettre
sans rien changer à la formule.
Comme autre exemple d’application du raisonnement par récurrence démontrons la proposition
suivante :
Proposition 2.2.9 Soit n un entier non nul et E un ensemble ayant n éléments. On suppose
que E est totalement ordonné pour une relation d’ordre notée . Alors E admet un élément
maximum et un élément minimum.
Démonstration : Nous allons raisonner par récurrence sur le nombre n d’éléments. Soit P(n)
la proposition : “ Tout ensemble totalement ordonné ayant n éléments admet un maximum ”.
Soit B l’ensemble des entiers n strictement positifs tels que P(n) est vraie.
La proposition P(1) est vraie puisque si E a un seul élément celui-ci est un maximum.
Donc 1 ∈ B.
Supposons que que n soit un entier supérieur où égal à 1 tel que P(n) soit vraie. Montrons
qu’alors P(n + 1) est vraie. Pour cela, soit E un ensemble totalement ordonné ayant n + 1
éléments. Soit a un élément quelconque de E. L’ensemble E \{a} est un ensemble totalement
ordonné ayant n éléments. Puisque P(n) est supposée vraie, il admet un maximum. Notons
m ce maximum. Alors, puisque E est totalement ordonné, on a ou bien a m et m est un
maximum de E, ou bien m a et, par transitivité de l’ordre, c’est a qui est un maximum de
E. Par conséquent P(n + 1) est vraie. On a prouvé que, pour n ≥ 1, n ∈ B =⇒ (n + 1) ∈ B
et donc que B contient tous les entiers supérieurs ou égaux à 1.
L’existence d’un minimum est montrée de manière analogue
À partir de l’ensemble N des entiers naturels dans lequel la soustraction n’est pas toujours
possible on construit l’ensemble Z des entiers relatifs. Nous prendrons pour acquis les propriétés
des opérations +, × et de la relation d’ordre dans Z. Montrons simplement, à titre d’exemple,
le résultat suivant :
Proposition 2.2.10 Toute partie non vide minorée (resp. majorée) de Z admet un minimum
(resp. un maximum).
Démonstration : Soit A une partie non vide de Z admettant pour minorant m. L’ensemble
B = {x − m ; x ∈ A} est un ensemble non vide d’entiers appartenant à N. Il admet donc
22
un plus petit élément qui est de la forme x0 − m. Le nombre x0 ainsi défini est, comme on
le voit sans peine, le plus petit élément de A.
Supposons maintenant que A admet pour majorant M . On se ramène à la situation
précédente en considèrant l’ensemble symétrique −A = {−x ; x ∈ A} qui admet −M
comme minorant et qui admet donc un plus petit élément y. Alors −y est le plus grand
élément de l’ensemble A.
2.3
La structure de corps
Sur chacun des ensembles de nombres N, R, C sont définies les opérations algébriques
addition et multiplication. La notion d’opération est fondamentale en mathématiques car,
en fait, les objets mathématiques n’ont de sens que par les opérations que l’on peut effectuer
dessus. Il est donc justifié de se donner dès maintenant des définitions très générales qui
pourront s’appliquer dans des situations variées. On pourra ainsi reconnaı̂tre, sur des ensembles
très différents, des structures algébriques communes et donc des propriétés communes.
2.3.1
Lois de composition
Définition 2.3.1 Une loi de composition interne (on dit aussi opération interne ou simplement
opération quand il n’y a pas danger de confusion) sur un ensemble E est une application de
E × E dans E.
Si on convient par exemple de noter ? cette opération, l’application s’écrira
?: E×E → E
.
(a, b) 7→ a ? b
Nous allons donner une liste de propriétés pouvant être vérifiées par une loi interne.
Définition 2.3.2 Soit E un ensemble muni d’une opération notée ?.
a) L’opération est associative si, quels que soient x, y, z de E, on a
(x ? y) ? z = x ? (y ? z)
On peut alors noter le composé sous la forme x ? y ? z puisque la place des parenthèses
n’importe pas. (Attention toutefois à conserver l’ordre des termes.)
b) Un élément e ∈ E est dit neutre pour ? si, quel que soit x ∈ E, on a
x ? e = e ? x = x.
c) S’il existe un élément neutre e, on dit qu’un élément x de E admet l’élément x 0 de E
pour inverse (on dit parfois opposé ou symétrique) si on a
x ? x0 = x0 ? x = e.
d) L’opération est commutative si, quels que soient x et x0 de E, on a
x ? x0 = x0 ? x.
23
Exercice 2.14 Soit une opération notée ? sur un ensemble E. Montrer que s’il existe un élément neutre il
est nécessairement unique. (Indic. Supposer que e et e0 sont éléments neutres et montrer que e = e0 .)
Sur l’ensemble N l’addition est associative, commutative et admet zéro pour élément
neutre. Par contre les éléments non nuls de N n’ont pas de symétrique (i.e. si a 6= 0, l’équation
x + a = 0 n’a pas de solution dans N). Par contre, dans Z, tout élément admet un symétrique
pour l’addition. On dit que Z muni de l’addition est un groupe commutatif en vertu de la
définition suivante :
2.3.2
La structure de groupe
La structure de groupe est définie, en toute généralité, de la façon suivante ;
Définition 2.3.3 Si un ensemble E est muni d’une opération ? qui est associative, qui
admet un élément neutre et pour laquelle tout élément de E admet un inverse, on dit qu’il
est muni d’une structure de groupe (ou que (E, ?) est un groupe). Si l’opération ? est de
plus commutative, on dit que (E, ?) est un groupe commutatif ou abélien.
Pour l’addition + les ensembles R et C sont des groupes commutatifs. On rencontrera
de nombreux autres exemples tant en algèbre qu’en analyse ou en géométrie. La structure
de groupe joue aussi un grand rôle en physique et en chimie (cristallographie, mécanique
quantique, etc.).
Exercice 2.15 Sur l’ensemble Z des entiers relatifs on considère l’opération “ soustraction ” : (a, b) 7→ a−b.
Cette opération est-elle associative , commutative ? Admet-elle un élément neutre ?
Exercice 2.16 Sur N∗ on considère l’application “ puissance ” : (a, b) 7→ ab . Est-elle associative ?
Notation. Cas particulier de la somme de deux fonctions. Soit A une partie de R et soient
f : A → R et g : A → R deux fonctions. Alors on définit une nouvelle fonction, la somme de
f et g, notée f + g, par
f +g : A → R
x 7→ f (x) + g(x).
Ainsi, si l’on dénote par Appl(A, R) l’ensemble de toutes les fonctions de A dans R, on peut
munir cet ensemble de l’opération + ; on vérifie facilement que (Appl(A, R), +) est un groupe.
Remarquons en passant qu’on peut, à partir d’une fonction f : A → R et d’un réel λ
définir la nouvelle fonction λf par λf : A → R, x 7→ λ · f (x).
2.3.3
Le corps des nombres rationnels
Si on considère maintenant l’opération multiplication sur Z, on voit qu’elle est associative,
commutative, qu’elle admet le nombre 1 comme élément neutre mais que seuls les éléments
1 et −1 admettent des inverses. Donc Z n’est pas un groupe pour la multiplication.
Par ailleurs, si x, y, z sont des éléments de Z, on a les égalités
x(y + z) = xy + xz
et
(y + z)x = yx + zx .
On dit que la multiplication est distributive par rapport à l’addition (on peut “ distribuer ”
la multiplication par x à y et z). Cette situation se rencontre souvent, d’où la définition :
24
Définition 2.3.4 Soit un ensemble E muni de deux opérations notées par exemple + et ×.
On dit que l’opération × est distributive par rapport à l’opération + si, pour tout triplet
(x, y, z) d’éléments de E, on a
x × (y + z) = (x × y) + (x × z)
et (y + z) × x = (y × x) + (z × x) .
Si on rassemble les propriétés de l’ensemble Z muni des opérations addition et multiplication,
on dira que Z possède une structure d’anneau commutatif.
Le fait que, pour la multiplication, les éléments de Z n’ont en général pas d’inverse conduit
à introduire un ensemble de nombres plus grand, l’ensemble Q des nombres rationnels. Pour
cela on considère l’ensemble des fractions ab , où a ∈ Z et b ∈ N∗ sur lequel on définit une
0
addition et une multiplication et on dit que deux fractions ab et ab0 représentent le même
nombre rationnel si ab0 = ba0 . Nous ne détaillerons pas cette construction qui sera étudiée
plus précisément dans un cours d’algèbre ultérieur. Bien entendu, les règles de calcul sur
les fractions sont supposées bien connues. Nous les résumerons en disant que l’ensemble Q
obtenu admet pour l’addition et la multiplication la structure de corps dont nous donnons
la définition générale suivante :
Définition 2.3.5 Soit un ensemble E muni de deux opérations notées + et ×. On dit que
E est muni d’une structure de corps pour ces opérations si :
a) Pour +, E est un groupe commutatif. Notons 0 l’élément neutre de ce groupe.
b) L’opération × est associative, commutative, et admet un élément neutre noté 1. Tous les
éléments de E différents de 0 admettent un inverse pour ×.
c) L’opération × est distributive par rapport à +.
Par ailleurs l’ensemble Q est muni d’une relation d’ordre total, définie par la condition
(si a et c sont dans Z, b et d dans N∗ )
a
c
≤
⇐⇒ ad ≤ bc.
b
d
Vis à vis de l’addition et de la multiplication, cette relation d’ordre vérifie
d) Pour tous x, y et z éléments de Q,
x ≤ y =⇒ x + z ≤ y + z .
e) Pour tous x, y et z éléments de Q
x ≤ y et 0 ≤ z =⇒ x × z ≤ y × z .
De manière générale, un ensemble E muni de deux opérations + et × et d’une relation
d’ordre ≤ vérifiant les propriétés a), b), c), d) et e) de la définition 2.3.5 est dit muni d’une
structure de corps ordonné.
Exercice 2.17 L’ensemble Q des nombres rationnels est-il un groupe pour l’opération multiplication ? L’ensemble Q∗ en est-il un ?
25
2.4
Le corps ordonné des réels
Mis à part les nombres négatifs dont l’introduction a été relativement tardive, les nombres
entiers et les nombres rationnels (plus exactement les fractions) sont connus depuis des temps
très anciens. Mais, dès l’antiquité il est apparu qu’ils étaient insuffisants pour l’étude des
grandeurs dont on dit couramment qu’elles sont “ continues ”, comme les longueurs, les
durées, etc. Si on cherche à mesurer la longueur des segments d’une droite en les rapportant
à un segment unité on s’aperçoit que certains segments ne peuvent être mesurés avec un
nombre rationnel : c’est le cas pour la diagonale d’un carré de côté unité. Le carré de sa
longueur devrait être égal à 2 d’après le théorème de Pythagore ; or les mathématiciens
grecs ont montré qu’il n’existe pas de nombre rationnel dont le carré vaut 2. Ce fait a
beaucoup surpris car on pouvait penser que l’ensemble des nombres rationnels était assez
riche puisqu’entre deux rationnels il en existe une infinité. Malgré cela, les rationnels ne
peuvent suffire à graduer complètement une droite.
On a ainsi été amené à construire un ensemble de nombres plus grand que l’ensemble Q,
possédant lui aussi la structure de corps ordonné (pour les opérations +, × et la relation ≤)
mais constituant un ensemble pouvant être mis en bijection avec les points d’une droite. Nous
ne pouvons donner ici le détail de cette construction. Il nous suffira de retenir que l’ensemble
des nombres réels ainsi obtenu R est un corps totalement ordonné contenant le corps
Q des nombres rationnels et satisfaisant en plus la propriété suivante que nous prendrons
comme axiome :
Axiome de la borne supérieure. Toute partie de R non vide et majorée admet une borne
supérieure.
Exercice 2.18 En déduire que toute partie non vide et minorée de R admet une borne inférieure.
Exercice 2.19 Soit E une partie de R admettant une borne supérieure s. Montrer que si s > 0 alors il
existe un élément de E qui est strictement positif.
Exercice 2.20 Soit E une partie de R admettant une borne supérieure s. Montrer que si s 6∈ E, alors E
possède une infinité d’éléments.
L’axiome de la borne supérieure permet de montrer que, dans R, il existe un nombre dont
le carré vaut 2. Nous n’en donnerons pas ici la démonstration.
Si r est un nombre rationnel strictement positif, on peut montrer à l’aide de la proposition
2.2.10 qu’en ajoutant r à lui-même un nombre suffisant de fois on peut dépasser tout nombre
rationnel donné à l’avance : on dit que Q a la propriété d’Archimède ou que c’est un corps
archimédien.
Les axiomes définissant R permettent de montrer qu’il possède aussi cette propriété qui
joue un rôle important dans l’étude des limites.
Proposition 2.4.1 (Propriété d’Archimède.) Pour tout réel u strictement positif et tout
réel a, il existe un entier naturel n tel que nu > a.
Démonstration : Raisonnons par l’absurde : supposons que u soit un réel strictement positif,
que a soit un réel et que, pour tout entier n ∈ N, on ait nu ≤ a. Dans ces conditions
l’ensemble U = {nu ; n ∈ N} est une partie non vide de R admettant a comme majorant.
Donc U admet une borne supérieure. Notons la S. Le nombre S − u est strictement inférieur
à S. Par définition de la borne supérieure ce n’est donc pas un majorant de U . Cela veut
26
dire qu’il existe au moins un élément de U , disons n0 u, qui n’est pas majoré par S − u. On
a donc n0 u > S − u et par conséquent (n0 + 1)u > S. Cela est contradictoire avec le fait que
S est un majorant de U .
2.4.1
La fonction partie entière
Proposition 2.4.2 Soit x un réel. Il existe un élément de Z unique, appelé partie entière
de x et noté [x] (ou parfois E(x)) tel que
[x] ≤ x < [x] + 1.
(2.4.1)
Autrement dit [x] est le plus grand entier inférieur ou égal à x.
Remarque. Il est facile de voir que (2.4.1) équivaut à x − 1 < [x] ≤ x.
Démonstration : En prenant u = 1 dans l’énoncé de la propriété d’Archimède 2.4.1 on voit
que tout nombre réel positif est majoré par un nombre entier et comme il est minoré par 0,
on peut dire qu’il est encadré par deux entiers. Par symétrie tout réel négatif est lui aussi
encadré par deux entiers relatifs. Soit alors un réel x : l’ensemble des entiers relatifs inférieurs
ou égaux à x est non vide et majoré. Il admet donc un plus grand élément, qu’on note [x],
qui remplit la condition de l’énoncé.
Pour l’unicité notons m un entier relatif satisfaisant m ≤ x < m + 1 ou encore −m − 1 <
−x ≤ −m. Avec (2.4.1) on obtient [x] − m − 1 < [x] − x ≤ x − x < [x] + 1 − x ≤ [x] + 1 − m
donc [x] − m − 1 < 0 < [x] + 1 − m ou encore −1 < m − [x] < 1. Puisque m − [x] est un
entier relatif on en déduit que m − [x] = 0 donc m = [x] ce qui montre l’unicité.
Exercice 2.21 Montrer que, pour tout réel x et tout entier relatif k on a [x + k] = [x] + k.
Exercice 2.22 Donner la représentation graphique de la fonction définie sur R par x 7→ 2x − [2x].
2.4.2
Approximations décimales d’un réel
Chacun sait que le nombre π, rapport du périmètre d’un cercle à son diamètre, vérifie
315
314
≤ π <
. On dit que π admet 3, 14
l’encadrement 3, 14 ≤ π < 3, 15, ou encore
2
10
102
comme approximation décimale à 10−2 près par défaut. Voyons comment les propriétés
fondamentales de R et en particulier la propriété de la borne supérieure permettent de
justifier l’approximation des nombres réels par des nombres décimaux (i.e. par des rationnels
de la forme 10km , k ∈ Z, m ∈ N).
Proposition 2.4.3 Pour tout nombre réel x et tout entier m il existe un entier k ∈ Z,
unique, tel que
k
k
1
≤x< m+ m.
m
10
10
10
k
1
k
≤ x <
+ m sont équivalentes aux inégalités
Démonstration : Les inégalités
m
m
10
10
10
k ≤ 10m x < k + 1. Elles sont donc vérifiées si et seulement si k est la partie entière du réel
10m x. Cela détermine bien k de manière unique.
Exercice 2.23 Soit x et y deux réels, h et k deux entiers tels que h10−2 (resp. k10−2 ) soit une approximation
à 10−2 près par défaut de x (resp. de y). Peut-on affirmer que (h + k)10−2 est une approximation à 10−2
près par défaut de x + y ?
Exercice 2.24 L’ensemble des nombres décimaux muni des opérations addition et multiplication a-t-il une
structure de corps ?
27
2.4.3
Valeur absolue
Soit un réel a . Puisque R est totalement ordonné l’ensemble {−a, a} admet un plus
grand élément. On appelle valeur absolue de a ce plus grand élément :
|a| = max{−a, a} .
Exercice 2.25 Donner la démonstration des inégalités triangulaires, pour deux réels a et b,
|a + b| ≤ |a| + |b|
| |a| − |b| | ≤ |a − b| .
et
Exercice 2.26 Montrer l’équivalence :
∀(a, b) ∈ R × R,
|a + b| = |a| + |b| ⇐⇒ ab ≥ 0.
Exercice 2.27 Montrer que, pour tout réel x, on a
2.4.4
√
x2 = |x|.
Intervalles de R
Définition 2.4.4 Une partie A de R est un intervalle si, quelque soient les éléments a et b
de A, avec a ≤ b, tout élément c de R vérifiant a ≤ c ≤ b appartient aussi à A.
Exercice 2.28 Montrer que l’intersection d’une famille quelconque d’intervalles de
R est un intervalle.
Proposition 2.4.5 Tout intervalle de R appartient à l’une des espèces suivantes :
a) L’ensemble vide ∅.
b) Les singletons {a}, a ∈ R.
c) Les intervalles d’extrémités réelles a et b avec a < b qui peuvent être ouverts (]a, b[),
fermés ([a, b], qu’on appelle aussi segments) ou semi-ouverts ([a, b[ ou ]a, b]).
d) Les demi-droites d’extrémité a, ouvertes notées ]a, +∞[, ] − ∞, a[ ou fermées notées
[a, +∞[, ] − ∞, a].
e) La droite R.
Exercice 2.29 Vérifier que chacun des ensembles décrits dans la liste précédente est bien un intervalle au
sens de la définition 2.4.4. Montrer ensuite que tout intervalle est du type de l’un d’entre eux.
Proposition 2.4.6 Tout intervalle de R non vide et non réduit à un point contient une
infinité de rationnels.
Démonstration : C’est une conséquence du résultat de l’exercice suivant.
Exercice 2.30 Soient a et b deux réels vérifiant a < b.
k
1
Montrer que si n est un entier vérifiant n > b−a
il existe un entier k ∈ Z tel qu’on ait
∈]a, b[.
n
28
Chapitre 3
Suites de nombres réels
3.1
Généralités
Définition 3.1.1 Une suite de nombres réels (ou suite réelle) u est une application u de N
dans R.
Notation. Il est d’usage de poser u(n) = un pour tout n ∈ N et de noter la suite u = (un )n∈N
ou plus simplement u = (un ). On dit que un est le terme général de la suite u.
Remarque. Plus généralement, on appellera suite réelle toute application définie sur un
intervalle [n0 , +∞[ de N et à valeurs dans R. Dans ce cas, on utilisera la notation u =
(un )n≥n0 . Ainsi la suite de terme général (1/n) est définie pour tout n ≥ 1. On notera
toutefois qu’un changement de variable ramène l’étude de la suite précédente à celle de la
suite (1/(n + 1)) définie sur N. Il en est ainsi dans le cas général, c’est la raison pour laquelle
nous supposerons les suites définies sur N.
Une suite peut être définie de plusieurs façons :
- terme à terme : ainsi la formule un = 5 + 3n pour tout n ∈ N définit une suite dont
les quatre premiers termes sont
u0 = 5, u1 = 8, u2 = 11, u3 = 14, . . . ;
- à l’aide de plusieurs formules : par exemple
u2n = 2n2 ,
u2n+1 = 1
pour tout n ∈ N définit la suite dont les premiers termes sont
0, 1, 2, 1, 8, 1, 18, 1, 32, 1, . . . ;
- par récurrence : ainsi
u0 = u1 = 1,
un+2 = un+1 + un
pour tout n ∈ N
définit la suite, dite de Fibonacci1 , dont les premiers termes sont
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 . . .
1
Fibonacci, aussi connu sous le nom de Léonard de Pise (∼1170-1250) a rencontré cette suite dans l’étude
de l’évolution démographique de familles de lapins
29
La notion fondamentale dans l’étude des suites est la notion de limite. On va en donner
ici une introduction heuristique avant le développement de la prochaine section. On souhaite
répondre à la question suivante : comment se comporte un lorsque n tend vers l’infini, c’està-dire quand n est “ de plus en plus grand ” ?
1 + (1/n)
n+1
. En écrivant un =
on peut penser
• Étudions d’abord le cas où un =
n+2
1 + (2/n)
que plus n augmente, plus les termes de la suite se rapprochent de ` = 1 donc que “ un est
arbitrairement voisin de 1 quand n est assez voisin de +∞ ”. Plus précisément, si n > N
alors on a :
1
1
1
|un − 1| =
<
≤
.
n+2
n
N
On peut donc rendre un arbitrairement voisin de 1 en “ jouant ” sur N : étant donné un réel
1
> 0 on aura |un − 1| < pour tout entier n tel que n >N à condition d’avoir choisi N > ,
ce qui est possible d’après la propriété d’Archimède (Proposition 2.4.1). Par exemple, pour
que |un − 1| < 10−5 , il suffit que n √
≥ N où N ≥ 105 ; pour que |un − 1| < 10−12 , il suffit ...
• Étudions ensuite le cas vn = n2 + 1. Il semble que vn devient arbitrairement grand
quand n augmente donc que “ vn est arbitrairement voisin de +∞ quand n est assez voisin
de +∞ ” . Plus précisément, si n ≥ N alors :
√
vn > N 2 ≥ N.
On peut donc rendre un arbitrairement grand en “ jouant ” sur N : étant donné un réel A
on aura vn > A dès que n ≥ N à condition d’avoir choisi N > A. Par exemple, pour que
vn > 104 , il suffit que n ≥ N , où N ≥ 104 ; pour que un > 1020 , il suffit ...
3.2
Limites
L’étude faite en introduction nous amène à dire que “ un tend vers ` ∈ R quand n tend
vers +∞ ” lorsque “ un est arbitrairement voisin de ` si n est assez voisin de +∞ ” et à
poser la définition précise suivante.
Définition 3.2.1 Soit ` ∈ R. On dit que la suite (un ) tend vers ` (ou admet ` pour
limite) si la condition suivante est vérifiée :
pour tout > 0, il existe N ∈ N tel que si n ≥ N alors un ∈]` − , ` + [ (i.e. |un − `| < ).
On peut écrire ceci à l’aide de quantificateurs :
∀ > 0, ∃N ∈ N, ∀n ∈ N, (n ≥ N ⇒ |un − `| < ).
Remarque. Il résulte immédiatement de cette définition que les conditions “ (un ) tend vers
` ” et “ (un − `) tend vers 0 ” sont équivalentes. La condition “ (un ) tend vers ` ” est aussi
équivalente à la condition “ (|un − `|) tend vers 0 ”.
On peut de même donner un sens précis aux phrases “ un tend vers +∞ quand n tend
vers +∞ ” et “ un tend vers −∞ quand n tend vers +∞ ”.
Définition 3.2.2 On dit que la suite (un ) tend vers +∞ si :
pour tout A ∈ R, il existe N ∈ N tel que si n ≥ N alors un ∈]A, +∞[ (i.e. un > A).
30
On peut écrire ceci à l’aide de quantificateurs :
∀A ∈ R, ∃N ∈ N, ∀n ∈ N, (n ≥ N ⇒ un > A).
Définition 3.2.3 On dit que la suite (un ) tend vers −∞ si :
pour tout A ∈ R, il existe N ∈ N tel que si n ≥ N alors un ∈] − ∞, A[ (i.e. un < A).
On peut écrire ceci à l’aide de quantificateurs :
∀A ∈ R, ∃N ∈ N, ∀n ∈ N, (n ≥ N ⇒ un < A).
Remarque. Bien sûr il existe des suites qui ne vérifient aucune de ces définitions, c’est-àdire qu’elles ne tendent ni vers un réel ` ni vers +∞, ni vers −∞. Par exemple, si un =
(−1)n , on peut se convaincre en séparant les indices pairs et les indices impairs que la suite
prend alternativement les valeurs −1 et 1. On ne peut donc pas trouver ` tel que un soit
arbitrairement voisin de ` pourvu que n soit assez grand (pour une étude plus rigoureuse,
voir l’exercice-type 3.6).
Définition 3.2.4 Une suite (un ) est dite convergente s’il existe un réel ` tel que (un ) tende
vers `. Une suite est dite divergente si elle n’est pas convergente.
Remarque. Les suites divergentes sont les suites tendant vers une limite infinie et les suites
qui n’admettent pas de limite.
Exercice-type 3.1 Montrer que les suites
1
1
et √
tendent vers 0.
n
n
1
Solution. Soit > 0. On cherche N ∈ N tel que pour tout n ∈ N, (n ≥ N ⇒ |un − 0| < ). Or < si
n
1
1
1
et seulement si n > : il suffit donc de prendre N ∈ N tel que N > , par exemple N = E
+ 1.
1
1
On raisonne de façon analogue avec la seconde suite : on a √ < si et seulement si n > 2 : il suffit
n
1
1
+ 1) pour que la condition n ≥ N entraı̂ne
de prendre N ∈ N tel que N > 2 (par exemple N = E
2
√
0 < (1/ n) < .
Exercice 3.2 Montrer que si (un ) est constante elle converge.
Exercice 3.3 Montrer qu’une suite bornée (c’est-à-dire dont l’image est une partie bornée de R) ne tend
pas vers −∞, ni vers +∞.
Exercice 3.4 Étant donné un entier p ∈ N∗ et une suite (un ), on définit une nouvelle suite (vn ) en posant
vn = un+p , pour tout n ∈ N. Montrer que si (un ) tend vers ` il en est de même de (vn ).
Exercice 3.5 En utilisant l’inégalité |a| − |b| ≤ |a − b|, montrer que si la suite (vn ) converge vers ` ∈ R
alors lim(|vn |) = |`|. Étudier la réciproque.
Exercice-type 3.6 Montrer que la suite (un ) = (−1)n n’a pas de limite.
Solution. Notons d’abord que la suite étant bornée, elle ne tend ni vers +∞ ni vers −∞ (exercice 3.3
ci-dessus). Il reste à montrer qu’elle ne tend pas non plus vers un réel donc que : pour tout ` ∈ R, il existe
> 0 tel que, pour tout entier N , il existe n ≥ N vérifiant |un − `| > . Sachant que la suite ne prend que
les valeurs −1 et 1, on voit immédiatement qu’il suffit de choisir = 1/2, et ceci quel que soit `. En effet, on
ne peut pas avoir simultanément |un − `| < 1/2 et |un+1 − `| < 1/2.
31
Proposition 3.2.5 (Unicité de la limite) Si la suite (un ) est convergente, sa limite est
unique.
Remarque. L’énoncé précédent signifie qu’une suite ne peut pas converger à la fois vers
deux réels distincts ` et `0 .
Démonstration : Raisonnons par l’absurde et supposons que la suite possède deux limites
différentes ` et `0 . On a |` − `0 | > 0. Choisissons ε > 0 tel que 2ε < |` − `0 |, par exemple
ε = |` − `0 |/3. Puisque (un ) converge vers ` et `0 , il existe des entiers N1 et N2 ayant la
propriété suivante : si n ≥ N1 alors |un − `| < ε et si n ≥ N2 alors |un − `0 | < ε. Soit N le
plus grand des entiers N1 et N2 . On a les inégalités |uN − `| < ε et |uN − `0 | < ε. Grâce à
l’inégalité triangulaire, on voit que
|` − `0 | ≤ |` − uN | + |uN − `0 | < ε + ε = 2ε < |` − `0 |,
d’où |` − `0 | < |` − `0 |, ce qui est impossible.
Puisqu’une suite est une application, la définition suivante est un cas particulier des définitions
vues en 2.2.3
Définition 3.2.6 Une suite réelle (un ) est dite majorée (resp. minorée) si l’ensemble de ses
termes U = {u0 , u1 , u2 , . . .} = {un ; n ∈ N} est majoré (resp. minoré) c’est-à-dire s’il existe
M ∈ R tel que pour tout n ∈ N, un ≤ M (resp. il existe m ∈ R tel que pour tout n ∈ N,
un ≥ m).
Une suite est dite bornée si elle est majorée et minorée.
Proposition 3.2.7 Toute suite convergente est bornée.
Démonstration : Soit (un ) une suite de limite l ∈ R. Il faut prouver qu’il existe M ∈ R tel
que, pour tout n ∈ N, |un |6 M . Appliquons la définition de la convergence avec = 1 :
∃N ∈ N, ∀n ∈ N, (n ≥ N ⇒ |un − `| < 1 ).
Puisque |un | < |l| + 1 pour n ≥ N , l’ensemble {un ; n ≥ N } est borné. On peut alors
conclure en remarquant que l’ensemble fini {u0 , u1 , . . . , uN −1 } est borné et que la réunion
{u0 , u1 , . . . , uN −1 } ∪ {un ; n ≥ N } de deux ensembles bornés est un ensemble borné.
Exercice 3.7 Montrer à l’aide d’un exemple que la réciproque de la proposition précédente est fausse.
Exercice 3.8 Montrer qu’une suite qui tend vers +∞ est minorée et n’est pas majorée.
Exercice 3.9 Montrer qu’une suite qui tend vers −∞ est majorée et n’est pas minorée.
Notations. La proposition 3.2.7 et les exercices précédents montrent qu’une suite (un ) ne
peut pas tendre à la fois vers une limite finie et vers +∞ (ou −∞). Elle ne peut tendre à la
fois vers +∞ et −∞. Lorsque la suite (un ) tend vers la limite ` (finie ou infinie), on adoptera
la notation lim(un ) = ` ou encore lim un = `. Le lecteur pourra rencontrer ailleurs d’autres
notations comme un −−−→ ` ou bien lim un = `. Dans le cas où ` ∈ R, si on a de plus un ≤ `
n→∞
(resp. un ≥ `) pour n assez grand
n→∞
2
on notera alors lim(un ) = `− (resp. lim(un ) = `+ ).
2
On dit “ un ≤ ` pour n assez grand ” ou aussi “ un ≤ ` pour presque tous les n ” s’il existe un n0 ∈ N
tel qu’on ait un ≤ ` pour tout n ≥ n0 .
32
Théorème 3.2.8 (Passage à la limite dans les inégalités) Soit (un ) une suite qui converge
vers le réel `. Soit a ∈ R. Si pour tout n ∈ N, on a un ≥ a, alors ` ≥ a.
Démonstration : On raisonne par l’absurde. Supposons ` < a et appliquons la définition de
la convergence avec = a − ` > 0 :
∃N ∈ N, ∀n ∈ N, (n ≥ N ⇒ ` − (a − `) < un < ` + (a − `) = a).
Or ceci contredit le fait que un ≥ a pour tout n. On a donc donc ` ≥ a.
Attention ! ! Si pour tout n ∈
un contre-exemple.
N
on a un > a, on ne peut pas conclure que ` > a. Trouver
Exercice 3.10 (Généralisation du théorème) À l’aide de l’exercice 3.4 ci-dessus, observer que le résultat du
théorème reste vrai si on suppose seulement que les termes de la suite sont supérieurs ou égaux à a à partir
d’un certain rang (i.e. il existe n0 ∈ N tel que un ≥ a pour n ≥ n0 ).
Proposition 3.2.9 (Théorème “ d’encadrement ”)
1. Soient (un ), (vn ) et (wn ) trois suites telles que, pour tout n ∈ N, un ≤ vn ≤ wn . Si les
suites (un ) et (wn ) convergent vers la même limite réelle ` alors (vn ) converge vers `.
2. Soit (un ) et (vn ) deux suites telles que pour tout n ∈ N, un ≤ vn . Si (un ) tend vers
+∞ alors (vn ) tend vers = +∞ ; si (vn ) tend vers −∞ alors (un ) tend vers −∞.
Démonstration : Démontrons la première assertion, les autres se démontrant de façon analogue.
Soit > 0. On veut démontrer que :
∃N ∈ N, ∀n ∈ N, (n ≥ N ⇒ ` − < vn < ` + ).
Mais lim(un ) = ` et lim(wn ) = ` donc :
et :
∃N1 ∈ N, ∀n ∈ N, n ≥ N1 ⇒ ` − < un < ` + ,
∃N2 ∈ N, ∀n ∈ N, n ≥ N2 ⇒ ` − < wn < ` + .
On a alors, en posant N = max(N1 , N2 ) :
∀n ∈ N, (n ≥ N ⇒ ` − < un ≤ vn ≤ wn < ` + )
d’où la conclusion.
Exercice 3.11 Démontrer les deux assertions du point 2 de la proposition 3.2.9.
Corollaire 3.2.10 Soient (un ) et (vn ) deux suites de nombres réels telles que |un | ≤ |vn |
pour tout n ∈ N (ou à partir d’un certain rang). Si lim(vn ) = 0, on a alors lim(un ) = 0.
Démonstration : On applique la remarque après la définition 3.2.1 et le théorème d’encadrement
à 0 ≤ |un | ≤ |vn |.
33
3.3
Règles de calcul sur les limites.
Théorème 3.3.1 Soient (un ) et (vn ) deux suites convergentes de nombres réels. Posons
lim un = ` ∈ R et lim vn = `0 ∈ R. On a alors :
1. lim (un + vn ) = ` + `0 ;
2. Si λ ∈ R, on a lim(λ · un ) = λ · ` ;
3. lim (un · vn ) = ` · `0 ;
4. Si `0 6= 0, il existe un entier N1 tel que pour tout n ≥ N1 on ait vn 6= 0. Par conséquent
un /vn est bien défini pour n ≥ N1 . La suite (un /vn )n≥N1 tend vers `/`0 .
Démonstration :
1. Soit > 0. On cherche N ∈ N tel que
∀n ∈ N (n ≥ N ⇒ |(un + vn ) − (` + `0 )| < ).
On peut écrire grâce à la première inégalité triangulaire :
|(un + vn ) − (` + `0 )| = |(un − `) + (vn − `0 )| ≤ |un − `| + |vn − `0 | .
Puisque lim (un ) = `, il existe N1 ∈ N tel que pour tout n ≥ N1 on ait |un − `| < (/2). De
même, puisque lim (vn ) = `0 , il existe N2 ∈ N tel que pour tout n ≥ N2 on ait |vn − `0 | <
(/2). En posant N = max(N1 , N2 ), on obtient ainsi que si n ≥ N alors
|(un + vn ) − (` + `0 )| < (/2) + (/2) = .
2. Si λ = 0, tous les termes de la suite (λ · un ) sont nuls, et par conséquent lim(λ · un ) = 0.
Supposons λ 6= 0 et donnons nous > 0. En utilisant la définition de la convergence de
la suite (un ) avec 0 = /|λ|, on voit qu’il existe N ∈ N tel que pour tout n ≥ N on ait
|un − `| ≤ 0 = /|λ|. Si n ≥ N , on a donc |λ · un − λ · `| = |λ| · |un − `| ≤ (|λ| · )/|λ| = .
3. On a un · vn − ` · `0 = (un − `) · vn + ` · (vn − `0 ), d’où
|un · vn − ` · `0 | ≤ |un − `| · |vn | + |`| · |vn − `0 |
en utilisant l’inégalité triangulaire. D’après la proposition 3.2.7, la suite (vn ) est bornée : il
existe M > 0 tel que pour tout n ∈ N on ait |vn | ≤ M . Il en résulte que pour tout n ∈ N,
on a
|un · vn − ` · `0 | ≤ |un − `|M + |`| · |vn − `0 |.
Comme le deuxième membre de cette expression tend vers 0 (utiliser 1. et 2.), il en est de
même du premier membre (utiliser le corollaire 3.2.10).
4. En prenant 0 = |`0 |/2 > 0 dans la définition de la convergence de (vn ) vers `0 , on aura
que :
∃N2 ∈ N, ∀n ∈ N (n ≥ N2 ⇒ |vn − `0 | ≤ |`0 |/2).
L’inégalité triangulaire inverse |`0 | − |vn | ≤ |`0 − vn | entraı̂ne que |vn | ≥ |`0 | − |`0 − vn | ≥ |`0 |/2.
En particulier, si n ≥ N = max(N1 , N2 ) on a vn 6= 0 et 1/vn a un sens. On peut alors écrire
pour n ≥ N :
0
0
1
− 1 = ` − vn ≤ 2 |vn − ` | .
v n `0 v n · `0 (`0 )2
34
Mais la suite (|vn − `0 |) tend vers 0, donc lim(1/vn ) = 1/`0 .
La suite (un /vn ) se traite en utilisant ce qui précède ainsi que 3. et en remarquant que
un /vn = (un ) · (1/vn ).
Corollaire 3.3.2 Soient (un ) et (vn ) deux suites convergentes telles que :
1. pour tout n ∈ N, un ≤ vn ;
2. lim(un ) = ` et lim(vn ) = `0 .
On a alors ` ≤ `0 .
Démonstration : Il suffit de considérer la suite (vn − un ) : elle est positive et elle converge
vers `0 − ` d’après le théorème 3.3.1. On lui applique alors le théorème de passage à la limite
dans les inégalités.
Attention ! ! Si lim vn = 0, les réels vn ne sont pas nécessairement différents de zéro à partir
d’un certain rang (et donc 1/vn n’a pas nécessairement de sens), et même si c’est le cas, on
ne peut pas dire que lim 1/vn = ∞ (d’ailleurs serait-ce +∞ ou −∞ ?). Donner un exemple
où la suite (1/vn ) n’a pas de limite.
Retenir toutefois le résultat suivant :
Théorème 3.3.3 Soit (un ) une suite à termes non nuls :
Si lim un = 0+ , alors lim 1/un = +∞. Si lim un = 0− , alors lim 1/un = −∞.
Démonstration : Laissée en exercice.
Théorème 3.3.4 (Produit d’une suite de limite nulle et d’une suite bornée) Si (u n )
est une suite de limite nulle et si (vn ) est une suite bornée, alors lim (un · vn ) = 0 .
Démonstration : La suite (vn ) étant bornée, il existe M > 0 tel que pour tout n ∈ N on ait
|vn | ≤ M . Il en résulte que pour tout n ∈ N on a
|un · vn | = |un | · |vn | ≤ M · |un |.
Comme lim |un | = 0, on en déduit, d’après le théorème d’encadrement (Corollaire 3.2.10),
que lim |un · vn | = 0, c’est-à-dire que lim(un · vn ) = 0.
Théorème 3.3.5 Soient (un ) et (vn ) deux suites de réels. On suppose que lim(vn ) = +∞.
1. Si (un ) est minorée (par exemple si (un ) converge ou si lim(un ) = +∞), on a
lim(un + vn ) = +∞.
2. Si lim(un ) = ` > 0 ou si lim(un ) = +∞, on a lim(un · vn ) = +∞.
3. Si lim(un ) = ` < 0 ou si lim(un ) = −∞, on a lim(un · vn ) = −∞.
4. Il existe N1 ∈ N tel que pour tout n ≥ N1 on ait vn 6= 0. Si lim(un ) = ` ∈ R, on a
lim(un /vn )n≥N1 = 0.
35
Démonstration : Démontrons par exemple 1. Puisque la suite (un ) est minorée, il existe
M ∈ R tel que pour tout n ∈ N on ait un ≥ M .
Soit A ∈ R. On cherche N ∈ N tel que pour tout n ≥ N on ait un + vn > A. Puisque
lim(vn ) = +∞, il existe N ∈ N tel que pour tout n ≥ N on ait vn > A − M , d’où
un + v n ≥ u n + M > A − M + M = A
si n ≥ N .
La démonstration des autres assertions est laissée en exercice.
Exercice 3.12 Énoncer le théorème correspondant lorsqu’on suppose que lim(vn ) = −∞.
Remarque. Il est pratique d’adopter les conventions suivantes :
– ∀` ∈ R, ` + (+∞) = +∞ et ` + (−∞) = −∞ ;
– (+∞) + (+∞) = +∞, (−∞) + (−∞) = −∞ ;
– ∀` > 0, ` · (+∞) = +∞ et ` · (−∞) = −∞ ;
– ∀` < 0, ` · (+∞) = −∞ et ` · (−∞) = +∞ ;
– ∀` ∈ R, `/(+∞) = 0 et `/(−∞) = 0 ;
– (+∞) · (+∞) = +∞ ;
– (+∞) · (−∞) = (−∞) · (+∞) = −∞ ;
– (−∞) · (−∞) = +∞ ;
Avec ces conventions, on a les énoncés suivants (voir les théorèmes 3.3.1 et 3.3.5) :
• lim(un +vn ) = lim(un )+lim(vn ) dans le cas où lim(un ) et lim(vn ) appartiennent à R∪{+∞} ;
• lim(un +vn ) = lim(un )+lim(vn ) dans le cas où lim(un ) et lim(vn ) appartiennent à R∪{−∞} ;
• lim(un · vn ) = lim(un ) · lim(vn ) dans chacun des trois cas suivants :
1. les limites de (un ) et de (vn ) appartiennent à R ;
2. lim(un ) ∈ R \ {0} et lim(vn ) ∈ {−∞, +∞} ;
3. les limites de (un ) et de (vn ) appartiennent à {−∞, +∞}.
Formes indéterminées : Il s’agit des études de limite qui n’entrent pas dans le cadre
général des règles données dans les propositions précédentes, et qu’il faut traiter au cas par
cas :
– ∞ − ∞ : il s’agit du cas où on étudie la limite de (un + vn ) sachant que lim un = +∞
et lim vn = −∞.
– 0 · ∞ : il s’agit du cas où on étudie la limite de (un · vn ) sachant que lim un = 0 et
lim vn = +∞ (ou lim vn = −∞).
36
– 0/0 : il s’agit du cas où on étudie la limite de (un /vn ) sachant que lim un = 0 et
lim vn = 0.
– ∞/∞ : il s’agit du cas où on étudie la limite de (un /vn ) sachant que les limites des
suites (un ) et (vn ) sont infinies.
√
√
Exercice-type 3.13 Déterminer lim ( n + 1 − n).
√
Solution.
On a lim ( n) = +∞ (vérification immédiate en utilisant la définition de la limite) d’où
√
lim ( n + 1) = +∞, donc on est face à l’indétermination ∞ − ∞. Une technique classique permet dans ce
cas de lever l’indétermination : la méthode de l’expression conjuguée. On écrit simplement que :
0 6 un
√
√ √
√
√
√
( n + 1 − n)( n + 1 + n)
1
√
= n+1− n =
= √
√
√
n+1+ n
n+1+ n
1
n
6√
√
et on conclut que lim un = 0 grâce au théorème d’encadrement sachant que lim(1/ n) = 0.
Exercice-type 3.14 Soit P : x 7→ a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + ap xp une fonction polynôme de degré p>1
(ap ∈ R∗ ). Calculer la limite de (un = P (n)).
Solution. En utilisant le théorème sur la limite d’un produit, on voit que pour tout k ≥ 1, lim (n k ) = +∞
puis lim (ak .nk ) = sgn(ak ).(+∞) 3 si ak 6= 0. Ne connaissant pas la répartition des signes des ak , on ne
peut pas appliquer brutalement le théorème de limite d’une somme car on peut tomber sur l’indétermination
∞ − ∞. Dans cette situation, on peut lever l’indétermination par la méthode de mise en facteur du terme
dominant qui montre que la limite se lit simplement sur le terme de plus haut degré ap xp . Plus précisément,
on écrit :
ap−2
a1
a0
ap−1
+
+
.
.
.
+
+
a 0 + a 1 n + a 2 n2 + · · · + a p np = a p np 1 +
.
ap .n
ap .n2
ap .np−1
ap .np
1
ap−i
ap−i 1
. ....
Chacune des suites
=
, où i = 1, 2, . . . , p, tend vers 0, donc il suffit d’appliquer
ap .ni
ap n
n
les théorèmes sur la limite d’une somme et d’un produit pour voir que lim (un ) = lim (ap np ) = sgn(ap ).∞
Exercice-type 3.15 Soient P : x → a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + ap xp et Q : x → b0 + b1 x + b2 x2 + · · · + bq xq
deux fonctions polynômes de degré p ≥ 1 et q ≥ 1 respectivement (on a donc a p ∈ R∗ et bq ∈ R∗ ). Calculer
P (n)
= R(n), où R est la fonction rationnelle P/Q.
la limite de un =
Q(n)
Solution. D’après l’exercice-type 3.14 on a une forme indéterminée du type (∞/∞). On reprend alors la
méthode de la mise en facteur du terme dominant vue dans cet exercice-type. On peut ainsi écrire u n sous la
(ap np )vn
forme un =
, où (vn ) et (wn ) sont deux suites de limite 1. On trouve finalement, grâce au théorème
(bq nq )wn
sur la limite d’un quotient, que trois cas peuvent se présenter :
– si p > q, alors lim (un ) = sgn (
– si p = q, alors lim (un ) =
ap
).(+∞) = sgn (ap .bq ).(+∞) ;
bq
ap
;
bq
– si p < q, alors lim (un ) = 0 (on peut même préciser 0+ ou 0− en fonction de sgn (ap .bq )).
∗
3
Notation. On note sgn la fonction signe, définie sur R par sgn (x) = 1 si x > 0 et sgn (x) = −1 si
x < 0. Ainsi, on a sgn (x).(+∞) = +∞ si x > 0 et sgn (x).(+∞) = −∞ si x < 0.
37
3.4
Suites monotones
Une suite réelle (un ) étant une application u : N → R, les définitions relatives à la
croissance ou à la décroissance d’une fonction s’appliquent à u. Mais dans le cas d’une suite,
au contraire d’une application quelconque (voir l’exercice 3.16 ci-après), le sens de variation
peut être étudié sur les termes consécutifs.
Proposition 3.4.1 Une suite réelle u = (un ) est croissante si et seulement si pour tout
n ∈ N, un ≤ un+1 . Elle est décroissante si et seulement si pour tout n ∈ N, un ≥ un+1 .
Démonstration : Supposons u croissante. Pour tout n ∈ N la condition n < n + 1 entraı̂ne
alors un ≤ un+1 . Inversement, soit u une suite vérifiant cette condition. Il nous faut alors
démontrer que, pour tout (m, n) ∈ N2 , si m ≤ n alors um ≤ un . Pour cela, fixons m et, pour
tout k ∈ N, notons P (k) la condition um ≤ um+k . Il suffit de montrer par récurrence que
P (k) est vraie pour tout k ∈ N.
P (0) est bien sûr vraie. Supposons alors P (k) vraie pour un entier k ∈ N c’est-à-dire
um ≤ um+k . D’après l’hypothèse on a um+k ≤ um+k+1 d’où, par transitivité, um ≤ um+k+1 ce
qui établit P (k + 1).
Exercice 3.16 Soit f : R → R l’application x 7→ x − E(x) où E est la fonction partie entière.
1. Montrer que pour tout x ∈ R, E(x + 1) = E(x) + 1.
2. En déduire que pour tout x ∈ R, f (x) = f (x + 1).
3. L’application f est elle constante ? monotone ?
Théorème 3.4.2 (Théorème fondamental des suites monotones) Soit (un ) une suite
croissante et U = {u0 , u1 , u2 , . . .}..
1. Si la suite (un ) est majorée, elle converge vers la limite réelle ` = sup U .
2. Si la suite (un ) n’est pas majorée, elle tend vers +∞.
Démonstration :
1. L’ensemble U est non vide et majoré donc, d’après l’axiome de la borne supérieure, il
admet une borne supérieure que nous noterons `. On veut montrer que pour tout > 0, il
existe N ∈ N tel que pour tout n ≥ N on ait ` − < un < ` + . Soit > 0. D’après la
caractérisation de la borne supérieure, il existe N ∈ N tel que `− < uN donc, par croissance
de la suite, pour tout n ≥ N on a ` − < uN ≤ un ≤ ` < ` + .
2. On veut montrer que pour tout A ∈ R, il existe N ∈ N tel que pour tout n ≥ N on
ait un > A. Soit A ∈ R. Puisque la suite n’est pas majorée, il existe N ∈ N tel que uN > A
donc, par croissance de la suite, pour tout n ≥ N on a un ≥ uN > A.
Exercice 3.17 De façon symétrique, montrer que toute suite décroissante minorée converge vers ` = inf U.
Montrer que toute suite décroissante non minorée diverge vers −∞. (On pourra utiliser le fait que si la suite
(un ) est décroissante, alors la suite (−un ) est croissante).
Remarque. Les résultats ci-dessus montrent que les suites monotones ont toujours une
limite, finie ou infinie. On prendra garde toutefois que la détermination de la limite sup U
n’est pas toujours simple. En particulier, si (un ) est une suite croissante majorée par un réel
M il ne faut pas en déduire a priori que la suite tend vers M (elle est aussi majorée par tout
nombre supérieur à M ).
38
1
1
1
+
+···+
n+1 n+2
n+n
(somme de n termes) est monotone et convergente. Que peut-on dire de sa limite ?
1
Solution. On a, pour tout n ∈ N∗ , un+1 − un =
≥ 0 donc la suite (un ) est croissante.
(2n + 1)(2n + 2)
Pour prouver qu’elle est convergente il suffit, d’après le théorème fondamental, de montrer qu’elle est majorée.
1
1
1
≤ d’où, par sommation, un ≤ n ≤ 1 pour tout n ∈ N∗ .
Or, pour tout k ∈ N,
n+k
n
n
Soit alors ` ∈ R la limite de la suite. En passant à la limite dans les inégalités 0 ≤ u n ≤ 1, on obtient
0 ≤ ` ≤ 1. (On montrera dans un cours ultérieur, par le calcul intégral, que ` = ln 2.)
Attention au raisonnement faux qui consisterait à dire que la suite (un ) tend vers 0 puisque c’est une
somme de suites qui tendent vers 0 : le théorème sur la limite d’une somme ne s’applique pas ici car le
nombre de termes de la somme varie avec n. De même on ne peut pas affirmer que la suite étant majorée
par 1 elle converge vers 1 !
Exercice-type 3.18 Démontrer que la suite (un ) définie pour n > 0 par un =
Exercice 3.19 Soit (un ) une suite monotone à valeurs strictement positives. Démontrer que la suite (v n ) =
(1/un ) est monotone. Exprimer la limite de (vn ) en fonction de celle de (un ).
Exercice 3.20 Soit (un ) une suite décroissante qui tend vers 0. Démontrer que un ≥ 0 pour tout n ∈ N.
3.5
Suites adjacentes
Définition 3.5.1 Deux suites (un ) et (vn ) sont adjacentes si :
1. (un ) est croissante ;
2. (vn ) est décroissante ;
3. lim (vn − un ) = 0.
Remarque. Puisque la suite (vn − un ) est décroissante et tend vers 0 elle est minorée par
0 (voir exercice 3.20). Il résulte donc de la définition que pour tout n ∈ N, un ≤ vn .
Théorème 3.5.2 (Théorème des suites adjacentes) Deux suites adjacentes sont convergentes et leurs limites sont égales.
Démonstration : Soient (un ) et (vn ) deux suites adjacentes : (un ) est croissante, (vn ) décroissante
et d’après la remarque précédente pour tout n ∈ N, u0 ≤ un ≤ vn ≤ v0 . Par suite, (un ) est
majorée par v0 et (vn ) est minorée par u0 . D’après le théorème fondamental des suites
monotones les suites (un ) et (vn ) convergent. Si ` et m sont leurs limites respectives il résulte
du théorème 3.3.1 que ` − m = lim un − lim vn = lim(un − vn ) = 0. Les suites convergent
donc vers une même limite.
Exercice-type 3.21 Montrer que les suites (un ) et (vn ) de termes généraux respectifs :
un = 1 +
1
1
1
1
1
+ + +···+
et vn = un +
1! 2! 3!
n!
n · n!
sont adjacentes. En déduire que la suite (un ) est convergente.
Solution. Il nous faut établir la croissance de (un ), la décroissance de (vn ) et l’égalité lim(vn − un ) = 0.
1
≥ 0, donc (un ) est croissante. D’autre part :
Pour tout n ∈ N, on a un+1 − un =
(n + 1)!
vn+1 − vn = un+1 − un +
1
n(n + 1) + n − (n + 1)2
−1
1
−
=
=
<0
(n + 1) · (n + 1)! n · n!
n · (n + 1) · (n + 1)!
n · (n + 1) · (n + 1)!
39
1
1
donc (vn ) est décroissante. Enfin, 0 ≤ vn − un =
≤ , donc lim(vn − un ) = 0 d’après le théorème des
n
n.n!
1
= 0.
suites encadrées. puisque l’on sait que lim
n
D’après le théorème des suites adjacentes, (un ) et (vn ) convergent vers la même limite (cette valeur
commune n’est autre que e, la base de l’exponentielle).
Exercice 3.22 (Théorème des segments emboités). On considère une suite décroissante d’intervalles
fermés In = [an , bn ] (i.e.\In+1 ⊂ In pour tout n). Démontrer
que les suites (an ) et (bn ) ont des limites a et b
\
telles que a ≤ b et que
In = [a, b]. En particulier
In est non vide. En supposant que lim(bn − an ) = 0,
n
n
montrer que l’intersection des segments In est un singleton.
3.6
Suites de référence
3.6.1
Suites arithmétiques
Définition 3.6.1 Une suite (un ) est arithmétique s’il existe a ∈ R (appelé raison de la
suite) tel que, pour tout n ∈ N, un+1 = un + a.
Exercice 3.23 Montrer par récurrence que le terme général d’une suite arithmétique (u n ) de raison a est
un = u0 + n · a.
Proposition 3.6.2 Soit (un ) une suite arithmétique de raison a.
1. La suite (un ) est croissante (resp. décroissante) si et seulement si a>0 (resp. a ≤ 0) ;
elle est constante si et seulement si a = 0.
2. Si a > 0, alors lim(un ) = +∞. Si a < 0, alors lim(un ) = −∞. Si a = 0, la suite est
constante égale à u0 , donc elle converge vers u0 .
Exercice 3.24 Démontrer la proposition précédente.
Exercice 3.25 Soit (un ) une suite arithmétique de raison a. On considère la nouvelle suite (sn ) dont le
n
X
terme général est donné par sn = u0 + u1 + · · · + un =
uk . Démontrer que pour tout n ∈ N on a
k=0
n(n + 1)
sn = (n + 1) · u0 + a ·
.
2
3.6.2
Suites géométriques
Définition 3.6.3 Une suite (un ) est géométrique s’il existe a ∈ R∗ (appelé raison de la
suite) tel que, pour tout n ∈ N, un+1 = a · un .
Exercice 3.26 Montrer par récurrence que le terme général d’une suite géométrique (u n ) de raison a est
un = u 0 · a n .
Proposition 3.6.4 Soit (un ) la suite géométrique de raison a telle que u0 = 1, c’est-à-dire
que un = an pour tout n ∈ N.
1. La suite (un ) est strictement croissante si a > 1, strictement décroissante si 0 < a < 1.
Elle est constante si a = 1. Elle n’est pas monotone si a < 0.
40
2. Si a > 1, alors lim(un ) = +∞.
3. Si a = 1 alors lim(un ) = 1.
4. Si |a| < 1, alors lim(un ) = 0.
5. Si a ≤ −1, la suite n’a pas de limite.
Démonstration : Si a = 1 la suite est clairement constante, égale à (1). Si a < 0 la suite n’est
pas monotone car, pour tout k ∈ N, a2k > 0 et a2k+1 < 0. Si a > 0 est distinct de 1, de
an+1 = a.an on déduit que la suite est croissante (c’est-à-dire que an+1 ≥ an ) si et seulement
si a > 1 et décroissante si et seulement si a < 1.
Si a > 1, posons a = 1 + h. On a an = (1 + h)n > nh. Or lim nh = +∞ car h > 0,
d’où (théorème des suites encadrées), lim an = +∞. Si |a| < 1 alors b = (1/|a|) > 1 donc
lim bn = +∞ et , en passant à l’inverse, lim |a|n = 0 soit lim an = 0.
Le cas a = −1 a été examiné dans l’exercice 3.6.
Supposons a < −1. La suite (|an |) tend vers +∞ et donc la suite (an ) ne peut avoir de
limite finie (cf. Exercice 3.5). Elle ne peut tendre vers +∞ car, pour tout entier N on peut
trouver un entier n ≥ N (par exemple n = 2N + 1) tel que un < 0. De façon analogue, elle
ne peut tendre vers −∞. Elle n’a donc pas de limite finie ou infinie.
Exercice 3.27 Soit (un ) une suite géométrique de raison a et de premier terme u0 6= 0. On considère la
n
X
nouvelle suite (sn ) de terme général sn = u0 + u1 + · · · + un =
uk .
k=0
1. Montrer par récurrence que si a = 1, alors pour tout n ∈ N, sn = (n + 1) · u0 . Qu’en déduit-on pour
la suite (sn ) ?
2. En supposant a 6= 1, montrer que sn = u0 ·
1 − an+1
. En déduire la limite de (sn ) quand |a| < 1.
1−a
Exercice-type 3.28 Soit (un ) une suite à termes strictements positifs telle que lim
un+1
un
= ` ∈ R.
Étudier la limite de (un ) selon que ` < 1 ou ` > 1.
Solution. Nous allons résoudre ce problème en comparant le terme un à celui d’une suite géométrique.
En supposant ` < 1, soit a tel que 0 ≤ ` < a < 1 (par exemple, a = (`+1)/2). En appliquant la définition
de la convergence, on trouve N ∈ N tel que
∀n ∈ N, (n>N ⇒ un+1 < a.un ).
On vérifie facilement par récurrence que, pour tout n ∈ N, 0 < uN +n ≤ an .uN . En appliquant la proposition
3.6.4 ci-dessus sur la convergence des suites géométriques et le théorème d’encadrement, on conclut que
lim un = 0 si ` < 1.
Si ` > 1, il suffit de considérer la suite de terme général vn = (1/un ) à laquelle le résultat précédent
s’applique. On a donc lim vn = 0+ , d’où lim un = +∞.
Il n’existe pas de résultat général si ` = 1. Par exemple, les suites (n) et (1/n) sont telles que le rapport
de deux termes consécutifs tend vers 1 mais la première tend vers +∞ et la seconde vers 0.
41
42
Chapitre 4
Limites des fonctions d’une variable
réelle
4.1
Introduction
Une fonction à valeurs réelles d’une variable réelle est une application f : D → R dont le
domaine de définition D est une partie de R. Les notions de limite : lim f (x) et lim f (x) ont
x→a
x→+∞
déjà été rencontrées et utilisées dans l’enseignement secondaire. Dans ce chapitre, nous allons
en donner des définitions précises et démontrer leurs principales propriétés, de manière à
préparer le terrain pour les généralisations futures (fonctions de plusieurs variables, fonctions
vectorielles) indispensables à toutes les applications de l’analyse (physique, économie, etc).
4.2
Limite d’une fonction en un point de
R
Étudier la limite d’une fonction f en un point a de R, c’est étudier le comportement de
f (x) quand x est “ très voisin ” de a, c’est-à-dire appartient à un intervalle ]a − α, a + α[ où
α est “ très petit ” mais non nul. Il sera commode d’adopter la terminologie suivante :
Définition 4.2.1 On appelle voisinage d’un point a de R tout intervalle ouvert, de la forme
Va (α) =]a − α, a + α[,
avec α > 0
qui peut aussi s’écrire Va (α) = {x ∈ R ; |x − a| < α}.
Remarques.
1) On notera que, bien que le terme “ voisinage ” laisse entendre que α est petit, cela
n’est pas inclus a priori dans la définition.
2) Le singleton {a} n’est pas un voisinage de a.
3) Il est clair, d’après la définition, que si V et V 0 sont des voisinages de a, alors V ∩ V 0
est encore un voisinage de a.
Afin de nous familiariser avec cette terminologie, démontrons la proposition utile suivante.
Proposition 4.2.2 Si a et b sont des éléments distincts de R, il existe un voisinage V a de
a et un voisinage Vb de b qui n’ont pas de point commun.
43
. Alors Va (α) et
Démonstration : Supposons, pour fixer les idées, que a < b. Prenons α = b−a
2
Vb (α) n’ont pas de point commun car si on avait x ∈ Va (α) ∩ Vb (α), on aurait |x − a| < α et
|x − b| < α et donc
|b − a| = |b − x + x − a| ≤ |a − x| + |x − b| < 2
|b − a|
2
ce qui est impossible.
Exercice 4.1 Soit I =]u, v[ un intervalle ouvert de R. Montrer que, pour tout a ∈ I, il existe un voisinage
Va de a qui est contenu dans I.
Remarque. Avec la notion de voisinage la définition 3.2.1 se résume de la façon suivante :
Une suite réelle admet un nombre réel pour limite si tout voisinage de ce nombre
contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang dépendant du
voisinage.
4.2.1
Limite finie en un point de R
Notations. Dans cette section, on considère une fonction f : D → R et un réel a. On
suppose que tout voisinage de a contient un point de D. De façon générale, on aura deux
possibilités : ou bien f est définie au point a (i.e. a ∈ D) ou bien f n’est pas définie au point
a lui-même (i.e. a 6∈ D) mais seulement “ au voisinage de a ”. Par exemple, si D est un
intervalle et si a n’appartient pas à D, cela signifie que a est une extrémité de D.
Définition 4.2.3 Étant donné un réel `, on dit que f (x) tend vers ` quand x tend vers
a ou encore que f admet ` pour limite en a si, pour tout voisinage V ` (ε) de `, il existe un
voisinage Va (α) de a tel que, pour tout x, on ait
x ∈ Va (α) ∩ D =⇒ f (x) ∈ V` (ε).
(4.2.1)
Ce qui peut s’écrire, avec des quantificateurs,
∀ε > 0, ∃α > 0, ∀x ∈ D, (| x − a | < α =⇒ | f (x) − ` | < ε).
(4.2.2)
Dans ce cas on dit que f admet une limite finie en a.
Proposition 4.2.4 Si la fonction f admet une limite finie en a, celle-ci est unique.
Démonstration : Raisonnons par l’absurde : supposons que ` et `0 soient deux réels distincts
et que f tende à la fois vers ` et vers `0 quand x tend vers a. Comme on l’a vu dans la
proposition 4.2.2, on peut trouver un voisinage V` et un voisinage V`0 qui n’ont aucun point
commun (i.e. dont l’intersection est vide). Puisque f tend vers ` quand x tend vers a, il existe
α > 0 tel que, pour x ∈ D, si |x − a| < α alors f (x) ∈ V` . Et puisque f tend aussi vers `0 , il
existe α0 > 0 tel que pour x ∈ D, si |x − a| < α0 alors f (x) ∈ V`0 . Si x est un point de D tel
que |x − a| est inférieur au plus petit des nombres α et α0 , le nombre f (x) doit appartenir à
la fois à V` et à V`0 , ce qui est impossible puisque V` ∩ V`0 = ∅.
Notations. Si f admet une limite en a, celle-ci est donc bien définie. On la notera lima f
ou limx→a f (x). Si lima f = `, on pourra aussi écrire : “f (x) → ` quand x → a ”.
Dans le cas où le point a appartient au domaine D de f , on a :
44
Proposition 4.2.5 Si la fonction f est définie au point a et admet une limite finie en ce
point, cette limite est nécessairement f (a).
Démonstration : On raisonne par l’absurde. Supposons que f admette ` pour limite en a et
qu’on ait ` 6= f (a). Posons ε = | f (a) − ` |/4. Alors ε > 0 et f (a) ∈]`
/ − ε, ` + ε[. Or, d’après
la définition de la limite il existe un réel α > 0 tel que pour tout x ∈ D, si | x − a | < α alors
| f (x) − ` | < ε. Puisque f est définie en a cela s’applique en particulier à x = a ce qui donne
que f (a) ∈]` − ε, ` + ε[. On obtient une contradiction.
Exercice-type 4.2 Soit D = R et f l’application identique de R dans R c’est-à-dire l’application vérifiant
pour tout x, f (x) = x. Montrer que f admet ` = a pour limite en tout point a de R (autrement dit montrer
que f est continue en tout point de R, voir Définition (4.2.7) ci-dessous).
Solution. Soit ε > 0. On cherche α > 0 tel que, pour tout x vérifiant |x − a| < α, on ait |f (x) − f (a)| =
|x − a| < . Il suffit de choisir α = .
Exercice 4.3 Montrer que si f est une fonction constante sur R, elle est continue en tout point de R.
√
Exercice 4.4 Soit D = R+ et f la fonction définie sur D par f (x) = x.
1. Montrer que f admet 0 pour limite en 0.
2. Montrer que f admet une limite en tout point a > 0 et déterminer
√
√ cette limite. √
a
−
x| ≤ (|a − x|/ a) en utilisant la
(Indication
:
Pour
a
>
0
et
x
≥
0
démontrer
l’inégalité
|
√
√
√
√
relation | a − x | · | a + x | = | a − x |.)
sin x
Exemple 4.5 Considérons la fonction f : x 7→
qui est bien définie pour x réel différent de 0, mais
x
n’est pas définie en 0. Son domaine de définition naturel est donc R∗ . Comme tout voisinage de 0 rencontre
R∗ , on peut chercher si f admet une limite en 0. La réponse est que cette limite existe et que
sin x
= 1.
x→0 x
La démonstration de ce résultat nécessite que la fonction sinus ait été définie de manière rigoureuse. Elle
sera donnée dans un cours ultérieur. Dans la présente unité ce résultat sera admis.
lim
4.2.2
Limite infinie en un point de R
Définition 4.2.6 On dit que f (x) tend vers +∞ quand x tend vers a ou encore que f
admet +∞ pour limite en a si pour tout nombre A ∈ R il existe un voisinage V a (α) de a tel
que, pour tout x, on ait
x ∈ Va (α) ∩ D =⇒ f (x) ∈]A, +∞[.
(4.2.3)
∀A ∈ R, ∃α > 0, ∀x ∈ D, (| x − a | < α =⇒ f (x) > A).
(4.2.4)
Ce qui peut aussi s’écrire
On emploiera alors la notation limx→a f (x) = +∞ ou “ f (x) → +∞ quand x → a ”.
On dit que f (x) tend vers −∞ quand x tend vers a ou encore que f admet −∞ pour
limite en a si pour tout nombre A ∈ R il existe un voisinage Va (α) de a tel que, pour tout x,
on ait
x ∈ Va (α) ∩ D =⇒ f (x) ∈] − ∞, A[.
(4.2.5)
Ce qui peut aussi s’écrire
∀A ∈ R, ∃α > 0, ∀x ∈ D, (| x − a | < α =⇒ f (x) < A).
(4.2.6)
On emploiera alors la notation limx→a f (x) = −∞ ou “ f (x) → −∞ quand x → a ”.
45
Remarque. Pour obtenir une formulation analogue à celle de la définition 4.2.3 on conviendra
dans la suite d’appeller “ voisinage de +∞ ” tout intervalle de la forme ]A, +∞[ avec
A ∈ R. Noter que ]A, +∞[= {x ∈ R ; x > A}. On appellera de même “ voisinage de −∞
” tout intervalle de la forme ] − ∞, A[ (i.e. {x ∈ R ; x < A}) avec A ∈ R. On pourra ainsi
par exemple énoncer :
La fonction f admet +∞ pour limite en a si, pour tout voisinage W de +∞, il
existe un voisinage V de a tel que, pour tout x, on ait
x ∈ V ∩ D =⇒ f (x) ∈ W.
(4.2.7)
Exercice 4.6 Montrer que, pour tout réel a, on peut trouver un voisinage de a et un voisinage de +∞ qui
n’ont pas de point commun. En reprenant la démonstration de la proposition 4.2.4 montrer qu’une fonction
f ne peut avoir une limite finie en a et tendre en même temps vers +∞ ou vers −∞ en a.
Montrer aussi que f ne peut tendre à la fois vers +∞ et −∞.
Exercice 4.7 Montrer que si la fonction f est définie en a (i.e. si a ∈ D), alors f (x) ne peut tendre vers
+∞ ou −∞ quand x tend vers a.
Exercice 4.8 Montrer que la fonction f : R∗ → R, x 7→ (1/x2 ), admet +∞ pour limite en 0.
√
Solution. Soit A ∈ R. Posons α = 1/ A si A > 1 et α = 1 si A ≤ 1. Alors pour tout x ∈ D tel que
| x − 0 | < α on a f (x) = 1/x2 > A.
Définition 4.2.7 Si la fonction f est définie au point a et admet une limite en ce point on
dit que la fonction f est continue au point a.
Remarque. D’après l’exercice 4.7 cette limite en a est finie et vaut nécessairement f (a),
d’après la Proposition 4.2.5.
4.3
Limite d’une fonction en +∞ ou −∞
Notations. On considère une fonction f : D → R et on suppose maintenant que tout
voisinage de +∞ contient un point de D. Cette condition est réalisée par exemple si D
contient un intervalle de la forme ]b, +∞[, ce qui est le cas le plus fréquent.
Définition 4.3.1
1. Soit ` ∈ R. On dit que f (x) tend vers ` quand x tend vers +∞ ou encore que f
admet ` pour limite en +∞ si, pour tout voisinage V` (ε) de `, il existe un voisinage ]B, +∞[
de +∞ tel que pour tout x ∈ D on ait que si x ∈]B, +∞[ alors f (x) ∈ V` (ε).
Ou encore, de manière détaillée
∀ε > 0, ∃B ∈ R, ∀x ∈ D, (x > B =⇒ | f (x) − ` | < ε).
(4.3.8)
Cela est noté limx→+∞ f (x) = ` .
2. On dit que f (x) tend vers +∞ quand x tend vers +∞ ou encore que f admet +∞
pour limite en +∞ si, pour tout voisinage ]A, +∞[ de +∞, il existe un voisinage ]B, +∞[
de +∞ tel que pour tout x ∈ D on ait que si x ∈]B, +∞[ alors f (x) ∈]A, +∞[.
Ou encore,
∀A ∈ R, ∃B ∈ R, ∀x ∈ D, (x > B =⇒ f (x) > A).
46
(4.3.9)
Cela est noté limx→+∞ f (x) = +∞ .
3. On dit que f (x) tend vers −∞ quand x tend vers +∞ ou encore que f admet −∞
pour limite en +∞ si, pour tout voisinage ] − ∞, A[ de −∞, il existe un voisinage ]B, +∞[
de +∞ tel que pour tout x ∈ D on ait que si x ∈]B, +∞[ alors f (x) ∈] − ∞, A[.
Ou encore,
∀A ∈ R, ∃B ∈ R, ∀x ∈ D, (x > B =⇒ f (x) < A).
(4.3.10)
Cela est noté limx→+∞ f (x) = −∞ .
4. Pour une fonction g : D 0 → R telle que tout voisinage de −∞ contient un point de D 0
(par exemple si D 0 contient un intervalle de la forme ] − ∞, b[) les limites de g en −∞
sont définies de façon analogue.
Proposition 4.3.2 Une fonction f ne peut admettre en +∞ (resp. en −∞) deux limites
distinctes, qu’elles soient finies ou infinies.
Démonstration : Exercice : cf. la proposition 4.2.4 et l’exercice 4.6.
Exercice 4.9 Ecrire en détail, à l’aide de quantificateurs, la définition des expressions lim x→−∞ f (x) = `,
limx→−∞ f (x) = +∞, limx→−∞ f (x) = −∞.
4.4
L’ensemble
R
Les symboles +∞ et −∞ ont été jusqu’ici employés dans ce chapitre comme simples
conventions d’écriture dans des expressions comme “ tend vers +∞ ” ou dans des notations
comme ]A, +∞[. Dans le chapitre sur les suites de réels on avait, par convention, introduit
quelques opérations sur ces symboles (cf. Remarque de la section 3.3).
De façon à unifier les définitions des limites finies ou infinies d’une fonction en un point
de R ou en ±∞, il est commode de définir un nouvel ensemble constitué de l’ensemble des
nombres réels auquel on adjoint deux éléments supplémentaires représentés par ces symboles.
Définition 4.4.1 On appelle droite numérique achevée l’ensemble
R = {−∞} ∪ R ∪ {+∞} .
On munit R d’une relation d’ordre qui prolonge la relation d’ordre de R en posant :
∀c ∈ R, −∞ < c < +∞.
Les différentes notions de limite introduites dans les sections précédentes pourront alors
toutes s’écrire sous la forme limx→u f (x) = v avec u et v éléments de R, finis ou infinis. Les
définitions adoptées pour la notion de voisinage d’un réel ou de voisinage de +∞ et −∞
permettent d’énoncer de manière synthétique la définition de la limite :
Soient a et ` des éléments (finis ou infinis) de R et f : D → R une fonction telle que tout
voisinage de a rencontre D. Alors la fonction f a pour limite ` en a si, pour tout voisinage
W` de `, il existe un voisinage Va de a tel que
x ∈ Va ∩ D =⇒ f (x) ∈ W` .
47
Mais attention : les éléments +∞ et −∞ ne sont pas des nombres. Ils ne devront
être utilisés que pour écrire des limites.
Résumons aussi les énoncés sur l’unicité de la limite (cf. les propositions 4.2.4 et 4.3.2,
l’exercice 4.6) et sur la limite en un point du domaine de définition (cf. la proposition 4.2.5) :
Proposition 4.4.2 Soient a et f comme ci-dessus. Si f admet une limite (finie ou infinie)
en a, celle-ci est unique.
Si la fonction f est définie au point a ∈ R, et admet une limite en ce point, cette limite est
nécessairement f (a).
Démonstration : Propositions 4.2.4, 4.3.2, exercice 4.6 ; proposition 4.2.5, exercice 4.7.
4.5
Caractérisation séquentielle de la limite
Théorème 4.5.1 Soit une fonction f : D → R et soit ` ∈ R.
1. Soit un point a ∈ R tel que tout voisinage de a rencontre D. Les conditions suivantes
sont équivalentes.
(a) La fonction f admet ` pour limite en a.
(b) Quelle que soit la suite (xn ) de D, de limite a, la suite f (xn ) tend vers `.
2. On suppose que tout voisinage de +∞ (respectivement −∞) rencontre D. Les conditions
suivantes sont équivalentes.
(a) La fonction f admet ` pour limite en +∞ (respectivement en −∞).
(b) Quelle que soit la suite (xn ) de D tendant vers +∞ (respectivement vers −∞),
la suite f (xn ) tend vers `.
Démonstration :
• Implication (1.a ⇒ 1.b) : Soit (xn ) une suite convergente de limite a.
Traitons d’abord le cas où ` est fini. Soit ε > 0. Posons W =]` − ε, ` + ε[.
D’après l’hypothèse, f admet ` pour limite en a. Donc il existe α > 0 tel qu’on ait
si x ∈ D et x ∈ V alors f (x) ∈ W
où on a posé V =]a − α, a + α[. Comme (xn ) converge vers a, il existe N ∈ N tel que xn ∈ V
si n ≥ N . On a ainsi montré que, quel que soit ε > 0, il existe N ∈ N tel que pour tout
n ≥ N on a que f (xn ) ∈ W. Cela veut dire que la suite (f (xn )) tend vers `.
Si ` = +∞ (respectivement −∞) on raisonne de façon analogue en considérant un nombre
A ∈ R quelconque au lieu d’un nombre ε > 0 et en posant W =]A, +∞[ (respectivement
W =] − ∞, A[).
• Implication (1.b ⇒ 1.a) : Raisonnons par contraposé, c’est-à-dire montrons l’implication
((non 1.a) ⇒ (non 1.b)). Traitons d’abord le cas où ` est fini.
Supposons que f n’admette pas ` pour limite en a : cela veut dire qu’il existe ε > 0 tel que,
si l’on pose W =]` − ε, ` + ε[,
pour tout α > 0 il existe x ∈ D tel que x ∈]a − α, a + α[ et f (x) ∈
/ W.
48
Pour tout n ∈ N∗ nous appliquons ce fait à α = 1/n et obtenons un élément xn ∈ D tel que
a − (1/n) < xn < a + (1/n)
et f (xn ) ∈
/ W.
(4.5.11)
(4.5.12)
On peut encore poser x0 = x1 ; ainsi on construit une suite (xn )n∈N de D telle que (f (xn )) ne
tend pas vers ` (à cause de (4.5.12)) et telle que (xn ) tend vers a (à cause de (4.5.11) et du
théorème d’encadrement appliqué aux deux suites convergentes (a − (1/n)) et (a + (1/n))).
Donc la suite (xn ) ne satisfait pas à (1.b).
Si ` = +∞ (respectivement −∞) on raisonne de façon analogue en posant W =]A, +∞[
(respectivement W =] − ∞, A[) où A ∈ R est un nombre donné par la négation de (1.a).
• Implication (2.a ⇒ 2.b) : Soit (xn ) une suite qui tend vers +∞ (respectivement vers −∞).
Traitons d’abord le cas où ` est fini. Soit ε > 0. Posons W =]` − ε, ` + ε[.
D’après l’hypothèse, f admet ` pour limite en +∞ ; donc il existe r ∈ R tel qu’on ait
si x ∈ D et x ∈ V alors f (x) ∈ W
où on a posé V =]r, +∞[ (respectivement V =] − ∞, r[). Comme (xn ) converge vers +∞ il
existe N ∈ N tel que xn ∈ V si n ≥ N . On a ainsi montré que quel que soit ε > 0 il existe
N ∈ N tel que pour tout n ≥ N on a que f (xn ) ∈ W, ce qui veut dire que la suite (f (xn )) a
pour limite `.
Si ` = +∞ (respectivement −∞) on raisonne de façon analogue en considérant un nombre
A ∈ R quelconque au lieu d’un nombre ε > 0 et en posant W =]A, +∞[ (respectivement
W =] − ∞, A[).
• Implication (2.b ⇒ 2.a) : Raisonnons par contraposé c’est-à-dire montrons l’implication
((non 2.a) ⇒ (non 2.b)). Traitons d’abord le cas où ` est fini.
Si f n’admet pas ` pour limite en +∞ alors (cf. la négation de (4.3.8)) il existe ε > 0 tel
que, si l’on pose W =]` − ε, ` + ε[,
pour tout r ∈ R il existe x ∈ D tel que x ∈]r, +∞[ et f (x) ∈
/ W.
Pour tout n ∈ N∗ nous appliquons ce fait à r = n et obtenons un élément xn ∈ D tel que
xn > n
et f (xn ) ∈
/ W.
(4.5.13)
(4.5.14)
Ainsi on construit une suite (xn ) de D qui tend vers +∞ (à cause de (4.5.13) et du théorème
d’encadrement 3.2.9) et est telle que f (xn ) ne tend pas vers ` (à cause de (4.5.14)). Donc la
suite (xn ) ne satisfait pas à (2.b).
Si ` = +∞ (respectivement −∞) on raisonne de façon analogue en posant W =]A, +∞[
(respectivement W =] − ∞, A[) où A ∈ R est un nombre donné par la négation de (2.a).
Remarques. 1. La caractérisation séquentielle 4.5.1 est très utile pour démontrer des propriétés des limites à partir des propriétés analogues des suites. Par exemple, étant donné la
caractérisation séquentielle, l’unicité de la limite d’une fonction (cf. proposition 4.4.2) est
immédiate de l’unicité de la limite d’une suite (cf. propositions 3.2.5, 3.2.7 et “ Notations ”
avant le théorème 3.2.8). D’autres exemples seront vus aux $ 4.6 et $ 4.8.
2. La caractérisation séquentielle 4.5.1 est aussi particulièrement utile pour montrer que f
n’admet pas ` pour limite en a : il suffit de déterminer une suite (xn ) de limite a telle
que (f (xn )) ne tende pas vers `. Elle sert aussi à montrer que f n’admet pas de limite
en a : il suffit de mettre en évidence deux suites (xn ) et (x0n ) ayant pour limite a et telles
que (f (xn )) et (f (x0n )) aient des limites distinctes.
49
Exercice-type 4.10 Soit f la fonction définie sur R par f (x) = sin x. Montrer que la fonction f n’a pas
de limite en +∞.
Solution. On utilise la caractérisation séquentielle. La suite (xn ) = ((π/2) + 2nπ) tend vers +∞ et
(f (xn )) = (1) tend vers 1. La suite (x0n ) = (−(π/2) + 2nπ) tend vers +∞ et (f (xn )) = −1 tend vers −1. Si
f avait une limite ` en +∞ on devrait avoir lim+∞ f (xn ) = lim+∞ f (x0n ) = `, ce qui n’est évidemment pas
le cas. Par suite f n’a pas de limite en +∞.
Exemple 4.11 Soit f la fonction définie sur R par f (x) = |x sin x|. Alors f n’admet pas pour limite +∞
en +∞. En effet, la suite (xn ) = (2nπ) tend vers +∞ tandis que la suite (f (xn )) est identiquement nulle et
tend donc vers 0.
On pourra montrer, en s’inspirant de l’exercice-type 4.10, que f n’a pas de limite en +∞.
Exercice 4.12 Soit E la fonction partie entière définie sur R. Démontrer qu’en tout point n ∈ Z la fonction
E n’a pas de limite.
4.6
Limites et relation d’ordre.
Dans cette section f , g et h sont des fonctions définies sur un domaine D et a est un
élément (fini ou infini) de R dont tout voisinage rencontre D.
Proposition 4.6.1 (Passage à la limite dans une inégalité)
Si f admet ` ∈ R pour limite en a et s’il existe un réel r tel que, pour tout x ∈ D, on ait
r ≤ f (x) (resp. f (x) ≤ r) alors r ≤ ` (resp. ` ≤ r).
Démonstration : Considérons dans D une suite (xn ) de limite a. Par hypothèse, la suite
(f (xn )) tend alors vers `. Mais puisque r ≤ f (xn ) pour tout n, on obtient r ≤ ` par passage
à la limite.
Attention : On prendra garde que le passage à la limite dans une égalité stricte ne donne
qu’une inégalité large. Par exemple, si D = R+ et f (x) = (x/(x + 1)), on a f (x) < 1 pour
tout x > 0 mais lim+∞ f = 1.
Rappelons que “ f ≤ g sur D ” signifie que l’application f est inférieure ou égale à g en
tout point de son domaine de définition c’est-à-dire “ f (x) ≤ g(x) pour tout x ∈ D ”.
Proposition 4.6.2 (Théorème “ d’encadrement ”)
1. Si f ≤ g ≤ h sur D et si f et h admettent le réel ` pour limite en a alors g admet `
pour limite en a.
2. Si f ≤ g sur D et lima f = +∞ alors lima g = +∞.
3. Si g ≤ h sur D et lima h = −∞ alors lima g = −∞.
Démonstration : Pour montrer le 1. , il suffit d’utiliser la caractérisation séquentielle et le
théorème des suites encadrées : pour toute suite dans D de limite a, les suites f (xn ) et h(xn )
admettent pour limite `, donc la suite g(xn ) admet pour limite `.
On démontre de même facilement 2. et 3. à l’aide de la caractérisation séquentielle.
sin x
1
Exemple 4.13 Soit D = R∗+ et f (x) =
. Sachant que pour tout x ∈ D on a 0 ≤ |f (x)| ≤ , le
x
x
théorème d’encadrement montre que lim+∞ |f | = 0, d’où lim+∞ f = 0.
50
4.7
Quelques limites classiques
Les fonctions circulaires (sinus, cosinus, tangente), logarithme, exponentielle ont été
introduites dans l’enseignement secondaire. Une définition rigoureuse de ces fonctions sera
donnée dans un cours ultérieur et permettera de démontrer les résultats suivants. Dans ce
cours, nous les admettrons afin de pouvoir effectuer des calculs effectifs de limites.
limx→0 sin(x) = 0
limx→0
limx→0 cos(x) = 1
sin(x)
=1
x
limx→0
1 − cos(x)
1
=
x2
2
limx→0 ln(x) = −∞
limx→+∞ ln(x) = +∞
limx→−∞ ex = 0
limx→+∞ ex = +∞
Pour tout réel α > 0 on a par ailleurs (croissances comparées) :
limx→0 xα ln(x) = 0
limx→+∞
ln(x)
=0
xα
ex
= +∞
xα
Nous admettrons aussi que les fonctions circulaires, logarithme, exponentielle, puissance sont
continues en chaque point a de leur domaine de définition (leur limite en a est alors leur
valeur en a d’après la définition 4.2.7).
limx→−∞ |x|α ex = 0
4.8
limx→+∞
Limite d’une somme, d’un produit, d’un quotient.
Soient f et g des fonctions définies sur un domaine D et soit a un élément (fini ou infini)
de R dont tout voisinage rencontre D. On suppose que f et g admettent des limites (finies
ou infinies) en a et on pose
lima f = `,
lima g = m
avec ` et m dans R.
Pour énoncer de façon condensée les théorèmes sur les limites de f + g, f g, . . . , nous
allons étendre les opérations addition et multiplication des réels avec les conventions qui ont
été adoptées pour les limites de suites (cf. Remarque de la section 3.3) et que nous rappelons
ci-dessous. On prendra bien garde à ce que ces opérations ne sont pas toujours définies
entre deux éléments de R (ce qui fait, d’ailleurs, que R n’est nullement un corps).
– Addition. On pose, pour tout réel c,
c + (+∞) = (+∞) + c = c − (−∞) = (+∞) ,
(+∞) + (+∞) = (+∞) ,
c + (−∞) = (−∞) + c = c − (+∞) = (−∞) ,
(−∞) + (−∞) = (−∞) .
Par contre, les opérations
(+∞) + (−∞),
(−∞) + (+∞),
sont non définies.
51
(+∞) − (+∞),
(−∞) − (−∞)
– Multiplication. On pose
(+∞) · (+∞) = (+∞) ,
(−∞) · (−∞) = (+∞) ,
(+∞) · (−∞) = (−∞) · (+∞) = (−∞) .
Pour tout réel c > 0, on pose
c · (+∞) = (+∞) · c = (+∞) ,
c · (−∞) = (−∞) · c = (−∞) .
Pour tout réel c < 0, on pose
c · (+∞) = (+∞) · c = (−∞) ,
c · (−∞) = (−∞) · c = (+∞) .
Les opérations
(+∞) · 0,
sont non définies.
0 · (+∞),
(−∞) · 0,
0 · (−∞)
En adoptant ces conventions, on peut énoncer le résultat suivant.
Théorème 4.8.1 Si les fonctions f et g ont des limites (finies ou infinies) en a ∈ R et si
on pose lima f = ` et lima g = m avec ` et m dans R, alors
• Si ` + m est défini, alors
lima (f + g) = ` + m .
Si ` + m n’est pas défini (par exemple si ` = +∞ et m = −∞) on dit qu’on a une forme
indéterminée.
• Si ` · m est défini, alors
lima (f · g) = ` · m .
Si ` · m n’est pas défini (par exemple si ` = +∞ et m = 0), on dit qu’on a une forme
indéterminée.
• En particulier, en prenant pour g une fonction constante, on obtient que si λ est un
réel non nul,
lima (λf ) = λ` .
Démonstration : Soit (xn ) une suite convergente de D, de limite a. D’après la caractérisation
séquentielle (Théorème 4.5.1), on sait que les suites (f (xn )) et (g(xn )) admettent pour limites
respectives ` et m.
On conclut à l’aide des résultats obtenus dans le chapitre précédent 3 sur la limite d’une
somme ou d’un produit de deux suites.
Remarque. Le théorème précédent s’étend immédiatement par récurrence à la limite d’une
somme ou d’un produit finis de plus de deux fonctions.
Théorème 4.8.2 Les notations précédentes sont conservées mais on suppose de plus que
g(x) 6= 0 pour tout x ∈ D.
1. Si m est un réel non nul et ` ∈ R, alors lima
52
1
f
=`· .
g
m
f
= 0.
g
2. Si m = +∞ ou m = −∞ et si ` ∈ R, alors lima
3. Supposons que m = 0 et que g(x) > 0 pour tout x appartenant à un voisinage de a :
on dit dans ce cas que g tend vers 0 par valeurs supérieures et on écrit lim a g = 0+ .
f
Alors, si ` est un réel > 0 ou si ` = +∞, on a lima = +∞. Si ` est un réel < 0
g
f
ou si ` = −∞, on a lima = −∞. Résultats analogues (mutatis mutandis) quand
g
lima g = 0−
4. Lorsque le rapport
`
est de l’une des formes
m
0
,
0
+∞
,
+∞
+∞
,
−∞
−∞
,
+∞
−∞
,
−∞
il n’y a pas de résultat général (on dit qu’on a une forme indéterminée).
Démonstration : Comme dans le théorème précédent, on utilise la caractérisation séquentielle
de la limite et les résultats sur la limite du quotient de deux suites.
Exemple 4.14 Il résulte des propositions précédentes que toute fonction polynôme, c’est-à-dire de la
forme P : x 7→ c0 + · · · + cn xn où c0 , . . . , cn sont des réels fixés, admet pour limite P (a) en tout point
a ∈ R. On sait en effet que limx→a x = a . Par produit on a, pour tout k ∈ N∗ limx→a xk = ak , puis
limx→a ck xk = ck ak par produit par un scalaire et enfin limx→a P (x) = P (a) par somme. Sachant que
limx→+∞ x = +∞ on a limx→+∞ xk = +∞ pour tout k ∈ N∗ par produit de limites, ce qui permet de
calculer la limite de P en +∞ après avoir factorisé le terme de plus haut degré (voir l’exercice-type 4.23.).
Que peut-on dire de limx→−∞ xk ?
Exemple 4.15 Puisque toute fonction polynôme admet une limite en tout point de R, il résulte des
propositions précédentes que toute fonction rationnelle (on nomme ainsi tout quotient f = (P/Q) de
deux fonctions polynômes) admet une limite en tout point de son domaine de définition {x ∈ R ; Q(x) 6= 0}.
Si a ∈ D on a alors lima f = (P (a)/Q(a)).
Exercice-type 4.16 On considère les fonctions f et g définies sur R par f (x) = x 2 et g(x) = sin x. Étudier
les limites de f , g, et f g en tout point de R et en +∞.
Solution. La fonction polynôme f : x 7→ x2 et la fonction g : x 7→ sin x admettent en tout point a ∈ R
des limites qui sont égales à leur valeur en a. On obtient donc : lima f = a2 , lima g = sin a pour tout a ∈ R.
Par ailleurs, lim+∞ f = +∞ et g n’a pas de limite en +∞ (voir l’exercice-type 4.10).
Par application du théorème sur le produit de fonctions ayant des limites finies, lim a f g = f (a)g(a) en
tout point a ∈ R. Montrons enfin que f g n’a pas de limite en +∞ à l’aide de la caractérisation séquentielle.
Considérons les suites (xn ) = (nπ) et (x0n ) = ((π/2) + 2nπ) : ces deux suites tendent vers +∞. Par ailleurs,
(f g)(xn ) = 0 pour tout n et la suite (f g)(x0n ) = (x0n )2 tend vers +∞. Les suites ((f g)(xn )) et ((f g)(x0n ))
ayant des limites distinctes, la fonction f g n’a pas de limite en +∞.
Théorème 4.8.3 Cas d’une fonction bornée
1. Si on a lima f = 0 et s’il existe un réel M et un voisinage de a tels que |g(x)| ≤ M
pour tout x appartenant à ce voisinage (autrement dit si g est bornée sur un voisinage
de a), alors
lima (f g) = 0.
53
2. Si on a lima f = +∞ et s’il existe un réel A > 0 tel que g(x) ≥ A pour tout x
appartenant à un voisinage de a, alors
lima (f g) = +∞.
3. Si on a lima f = +∞ et s’il existe un réel M tel que g(x) ≥ M pour tout x appartenant
à un voisinage de a (autrement dit si g est minorée sur un voisinage de a), alors
lima (f + g) = +∞.
4. Si on a lima f = −∞ et s’il existe un réel M tel que g(x) ≤ M pour tout x appartenant
à un voisinage de a (autrement dit si g est majorée sur un voisinage de a), alors
lima (f + g) = −∞.
Démonstration : Laissée en exercice.
Exercice 4.17 Déterminer les limites :
4.9
lim
x→+∞
1 + sin x
;
x(2 + cos2 x)
lim
x→+∞
1
sin x.
1 + |x|
Limite d’une fonction composée.
Notations. On considère une fonction f : D → R admettant b ∈ R pour limite en a ∈ R.
On considère d’autre part une partie non vide E de R et une fonction g : E → R admettant
` ∈ R pour limite en b (cela suppose que tout voisinage de b rencontre E).
On suppose de plus que f (D) ⊆ E : la fonction composée g ◦ f est alors bien définie sur
D. On a alors
Proposition 4.9.1 (Composition des limites) Avec les notations introduites ci-dessus,
supposons que lima f = b et que limb g = `. Alors (g ◦ f ) admet ` pour limite en a.
Démonstration : On utilisera, à plusieurs reprises, la caractérisation séquentielle. Soit, dans
D, une suite (xn ) de limite a. Puisque lima f = b, la suite (f (xn )) tend vers b. Or, d’une
part la suite est à valeurs dans E (car f (D) ⊆ E) et, d’autre part, limb g = `. La suite
((g ◦ f )(xn )) = (g(f (xn ))) tend donc vers `, ce qui établit la proposition.
1
.
x
∗
Solution. Soit f : D = R → R l’application telle que f (x) = (1/x) et g : E = R → R telle que
g(y) = sin y. On a f (D) = D ⊆ E, lim+∞ f = 0 et lim0 g = 0 donc, par composition, lim+∞ (g ◦ f ) = 0.
Exercice-type 4.18 Déterminer limx→+∞ sin
Dans l’ exercice suivant, on précisera soigneusement les domaines de définition des fonctions
considérées.
Exercice 4.19 Déterminer les limites
1
1
limx→+∞ cos
;
limx→+∞ cos sin
;
x
x
54
limx→+∞
r
sin
1
.
x
4.10
Formes indéterminées.
On a vu que, dans certains cas, les résultats concernant les opérations sur les limites ne
permettent pas de conclure. Comme pour les règles de calcul sur les limites de suites vues
au paragraphe 3.3, il faut donc faire attention aux formes indéterminées du type ∞ − ∞,
0 · ∞, 0/0, ∞/∞. D’ailleurs, il y a d’autres formes indéterminées comme 00 , ∞0 , 1∞ .
Exemple 4.20 (Forme indéterminée du type ∞ − ∞.) Soit D = R. Si f (x) = −g(x) = x on a lim +∞ f =
+∞, lim+∞ g = −∞ puis lim+∞ (f + g) = 0 car (f + g) est la fonction nulle. Mais si h(x) = −(x/2), les
limites en +∞ de f et h sont celles de f et g, tandis que lim+∞ (f + h) = +∞. En effet, pour tout x on a
(f + h)(x) = (x/2) et la caractérisation séquentielle permet de conclure.
Exemple 4.21 En reprenant les données f et g de l’exercice-type 4.16, déterminons la limite en 0 du
sin x
x
quotient (f /g). On sait que limx→0
= 1 donc, en passant au quotient, limx→0
= 1. Mais alors
x
sin x
x
f (x)
f (x)
=
· x donne limx→0
= 1 · 0 = 0.
l’application du théorème sur le produit des limites à
g(x)
sin x
g(x)
Exercice 4.22 Déterminer les limites suivantes :
r
r
√
x+3−2
1
1
lim √
; lim (
+1−
);
x→1
x
x
2x + 7 − 3 x→0
lim
x→+∞
√
p
x
x+
√ .
x
Exercice-type 4.23 Soient P : x 7→ a0 + · · · + ap xp et Q : x 7→ b0 + · · · + bq xq deux fonctions polynômes.
En supposant que p ≥ 1, q ≥ 1 et que ap et bq sont non nuls, étudier le comportement de R = (P/Q) en
+∞.
Solution. Remarquons que pour x 6= 0 on peut écrire P (x) = (ap xp )P1 (x) et Q(x) = (bq xq )Q1 (x) où P1
et Q1 sont des fonctions de limite 1 en +∞. En effet on a par exemple :
Q1 (x) =
bq−1
b0
+···+
+ 1,
b q xq
bq x
chaque fraction ayant pour limite 0 en +∞ d’après la règle sur le quotient et Q 1 ayant pour limite 1 d’après
la règle sur la somme. Il existe donc A > 0 tel que Q(x) 6= 0 si x > A ce qui permet de chercher une éventuelle
limite de R en +∞.
On a l’égalité :
ap xp P1 (x)
ap P1 (x)
P (x)
=
·
= xp−q ·
·
.
R(x) =
q
Q(x)
bq x Q1 (x)
bq Q1 (x)
Si p > q, sachant que xp−q tend vers +∞, la fonction rationnelle R admet, d’après la règle sur le produit,
une limite infinie du signe du produit ap bq .
Si p = q la fonction R tend vers le quotient ap /bq .
Le cas p < q se déduit du cas p > q par passage à la fonction (1/R) : la fonction R admet pour limite 0
(par valeurs positives si ap bq > 0, par valeurs négatives sinon).
Exercice 4.24 Calculer les limites éventuelles en 0, 1, +∞ de
Exercice 4.25 Calculer les limites de
1 + ex
en +∞ et −∞.
1 + e2x
55
x2 + x + 1
.
x2 − 3x + 2
4.11
Limite à gauche ou à droite en un point a ∈ R.
Soit une fonction f : D → R et un réel a. Pour étudier le comportement de f (x) quand x
tend vers a en restant strictement plus petit que a, introduisons la restriction (cf. définition
1.2.10) de f à l’ensemble D 0 = D∩ ] − ∞, a[. Pour simplifier, notons g cette restriction qui,
on le remarquera, n’est pas définie au point a lui-même. Si la fonction g admet en a une
limite ` ∈ R, on dira que f admet ` pour limite à gauche en a. Remarquons que pour que
g puisse admettre une limite en a, il faut en premier lieu que tout intervalle ]a − η, a + η[
contienne un point de son domaine D 0 . On posera donc
Définition 4.11.1 Soit une fonction f : D → R et un réel a tel que, pour tout réel η > 0,
on ait ]a − η, a[∩D 6= ∅. Soit ` un élément de R, fini ou infini. On dit que f admet ` pour
limite à gauche en a si, pour tout voisinage W de `, il existe un réel α > 0 tel que, pour
tout x,
x ∈]a − α, a[∩D =⇒ f (x) ∈ W.
De manière analogue,
Définition 4.11.2 Soit une fonction f : D → R et un réel a tel qu’on ait : ]a, a + η[∩D 6= ∅
pour tout réel η > 0. Soit ` un élément de R, fini ou infini. On dit que f admet ` pour
limite à droite en a si, pour tout voisinage W de `, il existe un réel α > 0 tel que, pour
tout x,
x ∈]a, a + α[∩D =⇒ f (x) ∈ W.
Exemple 4.26 Supposons a et ` dans R. Le fait que f (x) tende vers ` quand x tend vers a à gauche s’écrit :
“ pour tout réel > 0, il existe α > 0 tel que, pour tout x, ((x ∈ D et 0 < a − x < α) =⇒ |f (x) − l| < ). ”
Puisqu’étudier la limite à gauche (ou à droite) de f en a revient à étudier la limite en a
d’une restriction à la partie “ gauche ” (ou “ droite ”) de D \ {a}, les théorèmes vus sur les
limites s’appliquent, mutatis mutandis, aux limites à gauche ou à droite.
Ainsi, si une limite à gauche (respectivement à droite) en a existe, elle est unique.
Il existe aussi une caractérisation séquentielle de la limite à gauche ou à droite. Par
exemple, si la fonction f : D → R vérifie la condition ∀η > 0, ]a − η, a[∩D 6= ∅, elle admet
pour limite ` à gauche en a si, et seulement si, pour toute suite (xn ) de D tendant vers a en
restant strictement inférieure à a, la suite f (xn ) tend vers `.
Notation. Supposons que f admet ` (fini ou infini) pour limite à gauche en a. On note alors
lima− f = ` ou bien encore limx→a− f (x) = `. Si f admet ` pour limite à droite en a on note
lima+ f = ` ou bien encore limx→a+ f (x) = `.
Remarque. Si une fonction f est définie en a et admet une limite à gauche (respectivement
à droite) alors cette limite ne coı̈ncide pas nécessairement avec f (a) (en contraste avec le
résultat de la proposition 4.2.5).
Exemple 4.27 Soit H la fonction de Heaviside définie par : H(x) = 0 si x < 0 et H(x) = 1 si x ≥ 0. La
restriction de H à ] − ∞, 0[ est constante et vaut 0. Par suite, lim0− H = 0. Cette valeur est différente de
H(0). La restriction de H à ]0, +∞[ est constante et égale à 1. Par suite, lim 0+ H = 1.
56
Exercice-type 4.28 Démontrer que la fonction partie entière E admet une limite en tout point de R \ Z
ainsi qu’ une limite à droite et une limite à gauche en tout point de Z.
Solution. Soit a ∈ R \ Z et k sa partie entière. On a alors k < a < k + 1. Sachant que E est constante
et égale à k sur ]k, k + 1[ on a clairement lim a f = k, par exemple en utilisant la caractérisation séquentielle
(pour toute suite (xn ) de limite a la suite (f (xn )) tend vers k).
Soit a = n ∈ Z. La restriction de E à ] − ∞, n[ prend la valeur n − 1 sur [n − 1, n[ donc, en utilisant la
caractérisation séquentielle, limn− E = n − 1. Par un raisonnement analogue (le faire !) on obtient limn+ E =
n.
1
où E est la fonction partie entière. Déterminer
Exercice-type 4.29 Soit D = R∗+ et f (x) = xE
x
lim0+ f .
Solution. Pour x > 0 et n ∈ N on a :
1
1
= n ⇐⇒ n ≤ < n + 1.
E
x
x
La partie entière de (1/x) est donc nulle pour x > 1. Si x ≤ 1 on a :
1
1
1
= n ⇐⇒
<x≤ ,
E
x
n+1
n
d’où :
n
1
1
= 1 − nx < 1 −
=⇒ 0 ≤ 1 − xE
<
.
x
n+1
n+1
1
< , on aura :
Il en résulte que lim0+ f = 1 car, étant donné > 0, si N est un entier tel que
N +1
1
1
<x≤
n+1
n
( 0 < x ≤ (1/N ) ) =⇒ ( 0 ≤ 1 − f (x) < ).
Rappelons pour le 1. de la proposition suivante que, si une fonction admet une limite en
un point réel a, cette limite est nécessairement finie (exercice 4.7).
Proposition 4.11.3 Soit un intervalle I =]u, v[ fini ou infini de R et a un point de I.
1. Soit f : I → R une fonction définie sur I. Alors, la fonction f admet une limite en
a si et seulement si elle admet une limite à gauche et une limite à droite en a et ces
limites sont égales à f (a).
2. Supposons maintenant que le domaine de définition de f est I \ {a} (i.e. ]u, a[∪]a, v[)
Alors f admet une limite en a si et seulement si elle admet une limite à gauche et une
limite à droite en a et si ces limites sont égales.
Démonstration : Nous démontrerons seulement 1. La démonstration de 2. est analogue et est
laissée en exercice.
Supposons que f admette f (a) comme limite à gauche et comme limite à droite. Soit ε > 0.
Comme f admet f (a) pour limite à gauche il existe α0 > 0 tel que pour tout x ∈]u, a[
si | x − a | < α0 alors | f (x) − f (a) | < ε.
(4.11.15)
si | x − a | < α00 alors | f (x) − f (a) | < ε.
(4.11.16)
Comme f admet f (a) pour limite à droite, il existe α00 > 0 tel que pour tout x ∈]a, v[
Posons α = min{α0 , α00 }. Soit x ∈]u, v[. Alors x ∈]u, a[ ou x ∈]a, v[ ou x = a. D’après
(4.11.15) et (4.11.16), dans les trois cas on a que si | x − a | < α alors | f (x) − f (a) | < ε.
Ceci montre l’implication “ si ” de 1.
L’implication réciproque résulte immédiatement des définitions : le détail de la démonstration est laissé en exercice
57
Exemple 4.30 La fonction partie entière E étudiée dans l’exercice-type 4.28 n’a pas de limite aux points
de Z puisqu’en ces points les limites à droite et à gauche existent mais sont distinctes.
1
.
x2
1. Déterminer les limites de f à gauche et à droite en 0. En déduire que f admet une limite en 0.
Exercice 4.31 Soit f : D = R∗ → R la fonction définie par f (x) =
2. Soit maintenant g : R → R l’application telle que g(x) = f (x) si x =
6 0 et g(0) = 1. Montrer que g
admet des limites à gauche et à droite en 0. Montrer que g n’admet pas de limite en 0.
3. Montrer que quelle que soit la valeur affectée à g(0) l’application g n’admet pas de limite en 0.
sin x
Exemple 4.32 Soit f : R → R l’application telle que f (x) =
si x 6= 0 et f (0) = α ∈ R. Alors f admet
x
une limite en 0 si et seulement si α = 1. En effet on a (limites classiques) lim0− f = lim0+ f = 1 donc, d’après
la proposition précédente, f admet une limite en 0 si et seulement si α = 1.
sin x
. Montrer que f admet une limite à droite et une limite à
|x|
gauche en 0 mais que f n’admet pas de limite en 0.
Exercice 4.33 Soit D = R∗ et f (x) =
4.12
Limite d’une fonction monotone.
Dans cette partie, on suppose que D est un intervalle ouvert ]a, b[ avec a < b où a ∈
R ∪ {−∞} et b ∈ R ∪ {+∞}. On énoncera les résultats pour f croissante sur D, le cas d’une
fonction décroissante se traitant de façon analogue.
Proposition 4.12.1 Si f est une fonction croissante de D =]a, b[ dans R elle admet des
limites (finies ou infinies) en a et en b. Plus précisément, on a les résultats suivants.
1. Si f est majorée sur D alors limb f = sup {f (x) ; x ∈ D} ∈ R.
2. Si f n’est pas majorée sur D alors limb f = +∞.
3. Si f est minorée sur D alors lima f = inf {f (x) ; x ∈ D} ∈ R.
4. Si f n’est pas minorée sur D alors lima f = −∞.
Démonstration : Il suffit de prouver 1. et 2. : les démonstrations de 3. et 4. sont analogues.
Si f est majorée sur D, l’ensemble f (D) est une partie non vide et majorée de R. Posons
` = sup {f (x) ; x ∈ D} et considérons un nombre ε > 0 quelconque.
D’après la caractérisation de la borne supérieure `, il existe un élément x0 de D tel qu’on
ait l − < f (x0 ) ≤ `. Mais la fonction f étant croissante, on a ` − < f (x0 ) ≤ f (x) ≤ `
pour tout x > x0 . Considérons le cas où b ∈ R : on pose α = b − x0 , on a donc α > 0 et pour
tout x ∈ D tel que | x − b | < α on voit que x > x0 et donc | f (x) − ` | < ε. Considérons
maintenant le cas où b = +∞ : on pose r = x0 et on voit que pour tout x ∈ D tel que x > r
on a aussi | f (x) − ` | < ε. Dans les deux cas on a montré que f admet ` pour limite en b.
Si f n’est pas majorée sur D on suit la démarche précédente, mutatis mutandis. Soit
A > 0. Par hypothèse, il existe x0 ∈ D tel que f (x0 ) > A. Comme précédemment, on voit
que f (x) > A pour tout x ∈ D tel que | x − b | < α = b − x0 si b ∈ R ou tel que x > r si
b = +∞ ce qui, dans les deux cas, établit que f admet +∞ pour limite en b.
58
Exemple 4.34 La fonction partie entière E est croissante sur R. Elle n’est ni majorée ni minorée puisque
E(n) = n pour tout entier n. Par suite, lim+∞ E = +∞ et lim−∞ E = −∞.
Exercice 4.35 Soit f la fonction définie sur I =] − 1, 1[ par f (x) =
1
.
1 − x2
1. Étudier la monotonie de f sur I ∩ R− et sur I ∩ R+ .
2. Déterminer les limites de f aux bornes de I.
Exercice 4.36 Soit f la fonction définie sur R par f (x) =
de son domaine de définition.
x
. Déterminer les limites de f aux bornes
|x| + 1
Exercice 4.37 Soit D = R∗+ et f la fonction définie sur D par f (x) =
sur D puis démontrer que lim+∞ f = 1 et lim0 f = −∞.
x−1
. Démontrer que f est croissante
x
Corollaire 4.12.2 Soit I un intervalle, a un point intérieur à I et f une fonction croissante
sur I. Alors f admet en a une limite à gauche et une limite à droite et celles-ci vérifient les
inégalités :
lima− f ≤ f (a) ≤ lima+ f.
Démonstration : La restriction de f à I− = I∩ ] − ∞, a[ est croissante donc admet une limite
en a (qui est la limite à gauche de f en a). Par croissance de f on a f (x) ≤ f (a) pour tout
x ∈ I− , donc lima− f = sup {f (x) ; x ∈ I− } ≤ f (a). On raisonne de façon analogue pour la
limite à droite en posant I+ = I∩ ]a, +∞[.
Exemple 4.38 Soit f = E la fonction partie entière. Pour tout n ∈ Z, E est croissante sur I =](n −
1), (n + 1)[. On vérifie sur cet exemple les inégalités du corollaire en a = n puisque lim n− E = (n − 1) et
f (n) = n = limn+ E.
Remarque. Le corollaire précédent montre que si une fonction f croissante sur un intervalle
I n’a pas de limite en un point a intérieur à I, elle présente en ce point un “ saut ” entre sa
limite à gauche et sa limite à droite : lima+ f − lima− f > 0. On a évidemment un résultat
analogue pour les fonctions décroissantes, mais si f n’est pas monotone il ne faut pas croire
que la non existence d’une limite en un point se traduit toujours par un saut (voir l’exercice
4.39 suivant).
Exercice 4.39 Soit f la fonction de R dans R définie par f (0) = 0 et f (x) = sin(1/x) pour x 6= 0. Montrer
en utilisant la caractérisation séquentielle que f n’a pas de limite en 0 et qu’elle n’a pas non plus de limite
à droite ni de limite à gauche en ce point.
59
60
Chapitre 5
Continuité des fonctions
et application aux suites récurrentes
5.1
Continuité en un point.
Notations. Dans tout ce paragraphe, I désigne un intervalle de R non réduit à un point
et a désigne un point appartenant à I. Sauf mention du contraire, f, g, . . . désignent des
fonctions définies sur I, à valeurs dans R. En particulier ces fonctions sont définies en a.
Rappelons la définition 4.2.7
Définition 5.1.1 La fonction f définie sur I est continue en a ∈ I si f admet une limite
en a (forcément égale à f (a)).
La continuité au point a peut s’écrire : pour tout > 0, il existe α > 0 tel que, pour tout
x ∈ I, si | x − a | < α alors | f (x) − f (a) | < ε. Ou encore, à l’aide de quantificateurs,
∀ε > 0, ∃α > 0, ∀x ∈ I, (| x − a | < α =⇒ | f (x) − f (a) | < ε).
(5.1.1)
Si f n’est pas continue en a, on dit qu’elle est discontinue. Si elle est continue en tout
point de I, on dit qu’elle est continue sur I.
5.1.1
Opérations sur les fonctions continues
Proposition 5.1.2 Sommes, produits, quotients. Si f et g sont continues au point a
on a les résultats suivants.
1. La somme f + g et le produit f g sont continus en a.
2. Pour tout λ ∈ R le produit λf est continu en a.
3. Si f ne s’annule pas sur I, le quotient (1/f ) est continu en a.
Démonstration : C’est une conséquence immédiate des théorèmes sur les limites 4.8.1 et 4.8.2.
Proposition 5.1.3 (Composées de fonctions.) Soient I et J deux intervalles de R et
deux fonctions f : I → R et g : J → R. On suppose que f (I) ⊆ J, que f est continue en a
et que g est continue en b = f (a). Alors g ◦ f est continue en a.
Démonstration : C’est la traduction, dans un cas particulier, de la proposition 4.9.1 de
composition des limites. En effet, d’après les hypothèses, g ◦ f a une limite réelle en a qui
est égale à g(f (a)).
61
5.1.2
Fonctions continues classiques
On a vu (exercice 4.2) que la fonction x 7→ x est continue sur R, ainsi que les fonctions
constantes. Il en résulte, par application des théorèmes précédents, que les fonctions polynômes,
de la forme x 7→ c0 + c1 x + · · · + cn−1 xn−1 + cn xn sont continues sur R (cf. exercice 4.14).
(x)
où P et Q sont des polynômes, définies
Les fractions rationnelles, de la forme x 7→ PQ(x)
sur l’ensemble {x ∈ R ; Q(x) 6= 0}, sont continues sur leur domaine de définition (cf. exercice
4.15).
Les fonctions usuelles (circulaires, logarithme, exponentielle) sont continues en tout point
de leur domaine de définition comme on l’a admis en section 4.7.
Exercice 5.1 Étant donné un réel k ≥ 0, on dit qu’une fonction définie sur un intervalle I de R est klipschitzienne si, pour tout x et tout y de I, on a
|f (x) − f (y)| ≤ k|x − y|.
Montrer que si la fonction f est k-lipschitzienne sur l’intervalle I elle est continue en tout point de I.
Exercice 5.2 Montrer que la fonction x 7→ |x| est 1-lipschitzienne sur R. En déduire qu’elle est continue en
chaque point de R.
Exercice 5.3 Soit f et g deux fonctions à valeurs réelles définies sur l’intervalle I. On définit les fonctions
min(f, g) et max(f, g) sur I par :
min(f, g) :
I → R
x 7→ min(f (x), g(x));
max(f, g) :
I → R
x 7→ max(f (x), g(x)).
1. En comparant les valeurs des deux membres en chaque point, établir les égalités :
min(f, g) =
f + g − |f − g|
f + g + |f − g|
; max(f, g) =
.
2
2
2. En déduire que si f et g sont continues en un point a, alors les fonctions min(f, g) et max(f, g) sont
continues en a.
5.1.3
Caractérisation séquentielle de la continuité
Proposition 5.1.4 Pour que la fonction f soit continue en a il faut et suffit que pour toute
suite (xn ) de I convergente vers a la suite (f (xn )) converge vers f (a).
Démonstration : C’est une conséquence immédiate du théorème 4.5.1 et de la définition de
la continuité.
1
Exercice 5.4 Soit f la fonction définie sur R par f (x) = sin
si x 6= 0 et f (0) = 0. Montrer que f n’est
x
pas continue en 0 (introduire une suite (xn ) de limite 0 telle que f (xn ) = 1 pour tout n).
Exercice 5.5 Etant donné a ∈ R, on note fa la fonction définie sur R par f (x) =
1
si x 6= 0 et f (0) = a.
x2
Étudier la continuité de fa .
Exercice 5.6 Une fonction qui n’est continue en aucun point de son intervalle de définition.
Soit f la fonction définie sur R comme suit : f (x) = 1 si x ∈ Q et f (x) = 0 si x ∈ R \ Q. La fonction
f est donc nulle, sauf sur les rationnels où elle vaut 1 (peut-on essayer de la représenter ?). En utilisant la
caractérisation séquentielle, montrer que f n’est continue en aucun point de R.
Indication. On étudie la continuité en a. Si a ∈ R \ Q on a f (a) = 0. Écrire alors a comme limite d’une
suite (xn ) de rationnels (par densité de Q dans R). Quelle est la limite de la suite (f (xn )) ? Raisonner de
façon analogue si a ∈ Q en utilisant la densité de R \ Q dans R et conclure.
62
5.1.4
Prolongement par continuité
Définition 5.1.5 (Prolongement continu en un point)
Soient a ∈ I et deux fonctions f : I \ {a} → R et g : I → R. On dit que g prolonge
continûment f en a si elle vérifie les deux conditions :
1. la restriction de g à I \ {a} coı̈ncide avec f ;
2. g est continue en a.
sin x
. On sait que f admet 1 pour limite en 0.
Exemple 5.7 Soit la fonction f : R∗ → R telle que f (x) =
x
Par suite, la fonction g définie sur R par g(x) = f (x) si x 6= 0 et g(0) = lim 0 f = 1 prolonge continûment f
en 0.
Proposition 5.1.6 Pour que la fonction f : I \ {a} → R admette un prolongement g
continu en a il faut et suffit que f admette en a une limite ` ∈ R. Sous cette condition, le
prolongement continu en a est unique et tel que g(a) = `.
Démonstration : Si g est un prolongement continu de f en a alors nécessairement g(a) =
lima g = lima f ce qui prouve que f admet g(a) ∈ R pour limite en a.
Inversement, supposons que f admet ` ∈ R pour limite en a et définissons une application
g sur I par g(x) = f (x) si x ∈ I \ {a} et g(a) = `. Alors g prolonge f . De plus, g est continue
en a d’après (5.1.1).
Un tel prolongement est unique car la continuité en a impose la valeur du prolongement
en ce point.
Exemple 5.8 La fonction de l’exemple 5.7 admettant 1 pour limite en 0, on ne peut la prolonger continûment en ce point qu’en posant g(0) = 1, ce qui a été fait.
sin x
sin x2
Exercice 5.9 Soit f et g les fonctions définies sur R \ {0} par f (x) =
et g(x) =
. Étudier
2
x
x
l’existence d’un prolongement continu de ces fonctions en 0. Plus généralement, étudier l’existence d’un
sin xk
, où k et l désignent deux entiers naturels non nuls.
prolongement continu en 0 des fonctions x 7→
xl
Exercice 5.10 Montrer que la fonction f définie sur R\{0} par f (x) =
continu en 0.
| cos( π2 − x)|
p
admet un prolongement
|x|
Exercice-type 5.11 Soit I = [−1, 1] et I ∗ = I \ {0}. On définit f sur I ∗ par :
f (x) = √
x
√
.
1+x− 1−x
Montrer que f admet un prolongement continu en 0.
Solution. Vérifions
d’abord
que f est bien définie sur I ∗ . On a 1 + x ≥ √
0 pour x ≥√−1 et 1 − x ≥ 0 pour
√
√
x ≤ 1 donc x 7→ 1 + x − 1 − x est bien définie pour x ∈ I. D’autre part, 1 + x = 1 − x si et seulement
si x = 0 (élever au carré ces quantités positives) de sorte que f est définie sur I ∗ .
Quand x → 0, f (x) prend la forme indéterminée 0/0. On lève l’indétermination en multipliant la fraction
haut et bas par la quantité conjuguée :
√
√
√
√
1+x+ 1−x
1+x+ 1−x
f (x) = x
=
.
2x
2
Sachant que la fonction racine carrée a une limite en tout point de son domaine de définition (exercice 4.4)
on obtient, par somme de limites, lim0 f = 1.
Le prolongement continu de f en 0 existe donc, il est défini par g(x) = f (x) si x ∈ I ∗ et g(0) = 1.
63
x2 − 2x + 1
. La fonction f est continue
x−1
sur son domaine de définition D car c’est une fonction rationnelle. Pour x 6= 1 on a f (x) = x − 1 donc f
n’est rien d’autre que la restriction à D de la fonction g : R → R telle que g(x) = x − 1, qui est continue car
polynomiale. Autrement dit, “ g prolonge f continûment en 1 ”.
Exemple 5.12 Soit f la fonction définie sur D = R \{1} par f (x) =
5.1.5
Continuité à gauche et à droite
Exemple 5.13 La fonction partie entière E, définie sur R, est continue aux points de R \ Z. Elle n’est pas
continue aux points de Z car en ces points elle n’admet pas de limite (exercice 4.12). Nous savons en revanche
que E admet une limite à droite et une limite à gauche en tout point n ∈ Z (exercice-type 4.28). On a de
plus E(n) = limn+ E, ce qui nous conduit à poser la définition suivante.
Définition 5.1.7 On dit que f est continue à gauche (resp. à droite) en a si elle admet en
a une limite à gauche (resp. à droite) qui est égale à f (a).
Remarques. La limite à gauche ou à droite de f en a étant calculée en excluant a du
domaine de définition de f (cf. définition 4.11.1), nous avons été obligés de préciser dans
la définition ci-dessus la valeur de la limite à gauche ou à droite. Dire que f est continue à
gauche (resp. à droite) en a signifie donc que f (a) = lima− f (resp. f (a) = lima+ f ). Si a est
l’extrémité (resp. l’origine) de I, il est équivalent de dire que f est continue en a ou qu’elle
est continue à gauche (resp. à droite). Si a est point intérieur de I, il est équivalent de dire
que f est continue en a ou que f est continue à droite et à gauche en a (proposition 4.11.3).
Exemple 5.14 La fonction partie entière E est continue à droite en tout point de Z.
Exemple 5.15 La fonction de Heaviside H (voir exemple 4.27) est continue à droite en 0 mais n’est pas
continue à gauche.
Exercice-type 5.16 Soit f la fonction définie sur R par f (x) = (x/|x|) si x 6= 0 et f (0) = 0. Étudier la
continuité de f .
Solution. On a f (x) = −1 si x < 0 et f (x) = 1 si x > 0. La fonction f étant constante sur R ∗− et sur
∗
R+ , elle est continue sur chacun de ces intervalles. Sachant que lim0− f = −1 et lim0+ f = 1, la fonction f
n’a pas de limite en 0 (sinon les limites à gauche et à droite seraient égales) et n’est donc pas continue en ce
point.
On voit sur cet exemple que la valeur prise par f en 0 ne joue aucun rôle puisque les limites à gauche et
à droite de f en 0 sont distinctes. En posant f (0) = −1, on obtient une fonction continue à gauche en 0, en
posant f (0) = 1 on obtient une fonction continue à droite et on ne peut pas mieux faire.
5.2
Continuité sur un intervalle.
Soit I un intervalle de R. L’ensemble des fonctions définies et continues sur I est stable
pour les opérations algébriques : il résulte de la proposition 5.1.2 que la somme et le produit
de fonctions continues sur I sont continus sur I et que l’inverse d’une fonction continue sur
I qui ne s’annule en aucun point de I est aussi une fonction continue sur I. Si f est une
fonction continue sur I et g une fonction continue sur un intervalle J tel que f (I) ⊆ J alors
la fonction g ◦ f est continue sur I.
Proposition 5.2.1 (Théorème des valeurs intermédiaires) Soit I un intervalle de R
et soit f une fonction continue sur I. Pour tout couple (a, b) ∈ I 2 , avec a ≤ b, et tout réel
γ compris entre f (a) et f (b) il existe un réel c ∈ [a, b] tel que γ = f (c).
64
Commentaire. Ce théorème signifie que tout point de l’intervalle délimité par f (a) et f (b),
où a et b sont deux points quelconques de I, appartient à f (I). En d’autres termes, étant
donné deux points quelconques a0 et b0 de f (I) le segment d’extrémités de ces points est
contenu dans f (I). D’après la caractérisation des intervalles (définition2.4.4), ceci signifie
que f (I) est un intervalle et permet d’énoncer le théorème des valeurs intermédiaires sous la
forme condensée :
L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
Démonstration du théorème 5.2.1. Puisque R est totalement ordonné, on a soit f (a) ≤ f (b)
soit f (b) ≤ f (a). Il suffit d’examiner le premier cas, l’autre se traitant de façon analogue.
Par hypothèse on a f (a) ≤ γ ≤ f (b). Si γ est égal à f (a) ou f (b) le problème est résolu,
donc on peut supposer que a < b et f (a) < γ < f (b).
Soit alors J = [a, b] et soit E = {x ∈ J ; f (x) ≤ γ}. Cet ensemble est une partie non
vide de R (car contenant a) et majorée (par b). En notant c sa borne supérieure, nous allons
montrer que f (c) = γ.
D’après la caractérisation de la borne supérieure, pour tout réel n ∈ N∗ il existe xn ∈ E
tel que c − (1/n) < xn ≤ c, ce qui permet de construire une suite (xn ) de limite c. Par
continuité de f en c on a alors lim f (xn ) = f (c). Mais comme f (xn ) ≤ γ pour tout n, le
passage à la limite dans cette inégalité donne f (c) ≤ γ.
Il reste à montrer que γ ≤ f (c) pour conclure. Des inégalités a ≤ c ≤ b et f (c) ≤ γ < f (b)
on déduit que c < b. Soit alors (yn ) une suite de ]c, b[ qui converge vers c : par continuité de
f en c on obtient lim f (yn ) = f (c). Mais, pour tout n, on a sup E = c < yn . Donc yn ∈
/E
c’est-à-dire γ < f (yn ), quel que soit n. Un passage à la limite dans cette inégalité donne
alors γ ≤ f (c).
Exercice 5.17 Montrer à l’aide d’exemples simples que la conclusion du théorème ne tient plus si f n’est
pas continue sur I.
Exemple 5.18 Soit I = R et f (x) = x2 + 3x + 1. L’application f est polynomiale donc continue sur I, telle
que f (−1) = −1 et f (0) = 1. D’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe c ∈ [−1, 0] tel que
f (c) = 0. Sachant que f (−1) et f (0) ne sont pas nuls, on peut même affirmer que c ∈] − 1, 0[.
Exercice 5.19 Montrer que l’application f définie sur R par f (x) = x2 sin x prend les valeurs 1 et −1
en considérant les valeurs de f en −(π/2) et (π/2). Plus généralement, montrer que f prend toute valeur
entière.
Exercice-type 5.20 Montrer que toute fonction polynôme P : x 7→ a0 + a1 x + · · · + an xn de degré n impair
admet au moins une racine réelle, c’est-à-dire qu’il existe un réel c tel que P (c) = 0.
Solution. Quitte a changer P en (−P ), on peut supposer an > 0. On pose alors P (x) = an xn P1 (x) où
lim−∞ P1 = lim+∞ P1 = 1 (exercice-type 4.23). Puisque n est impair on a alors limx→−∞ an xn = −∞ et
limx→+∞ an xn = +∞. Donc lim−∞ P = −∞ et lim+∞ P = +∞. D’après la définition de la limite, il existe
donc a < 0 tel que P (a) < −1 et b > 0 tel que P (b) > 1. La fonction P étant continue sur R donc sur
I = [a, b], le théorème des valeurs intermédiaires assure qu’il existe c ∈ I tel que P (c) = 0.
Exercice 5.21 Montrer pour tout réel y tel que y ≥ 3/4, il existe x ∈ R tel que x 2 + x + 1 = y.
65
Exercice 5.22 Soit I = [a, b] où a < b et f une application continue de I dans I. Montrer que f a un point
fixe sur I, c’est-à-dire qu’il existe c ∈ I tel que f (c) = c.
Indication. Considérer la fonction g de I dans R telle que g(x) = f (x) − x et déterminer les signes de
f (a) et f (b).
Exercice 5.23 Soit I = [0, 1] et, pour tout n ∈ N, soit fn la fonction définie sur I par fn (x) = xn + 3x2 +
2x − 1.
1. Montrer que fn est strictement croissante.
2. Montrer qu’il existe un unique réel xn ∈]0, 1] tel que fn (xn ) = 0.
3. Montrer que fn+1 ≤ fn .
4. Déduire de la question précédente que la suite (xn ) est croissante, puis montrer qu’elle converge.
5. Déterminer la limite de la suite (xn ) (on montrera que si la limite ` vérifie 0 < ` < 1 alors 3`2 +2`+1 =
0).
Exercice 5.24 Reprendre l’exercice précédent 5.23 à partir de la fonction g n définie sur I par gn (x) =
xn + x2 − 1 et montrer que la suite (xn ) converge alors vers 1.
Exercice-type 5.25 Soit f l’application de R dans lui-même telle que f (x) =
x
. Montrer que f est
|x| + 1
strictement croissante et en déduire f (R).
Solution. On remarque que f est impaire, négative sur R− et positive sur R+ . Il suffit donc de vérifier
qu’elle est strictement croissante sur R+ pour en déduire qu’elle est strictement croissante sur R. Or, pour
x et y positifs, on vérifie facilement que f (x) < f (y) si et seulement si x < y : l’application f est donc
strictement croissante.
D’après le théorème relatif aux limites des fonctions monotones, on a alors lim +∞ f = sup {f (x) ; x ∈ R}.
Or f est clairement majorée par 1 et, pour x ≥ 0,
0 < (1 − f (x)) = 1 −
1
x
=
= g(x).
x+1
x+1
Puisque lim+∞ g = 0 (exercice-type 4.23) le théorème d’encadrement donne lim+∞ f = 1− . Par suite :
sup f (R) = sup {f (x) ; x ∈ R} = sup {f (x) ; x ∈ R+ } = 1.
L’application f étant continue, l’image de l’intervalle R+ est un intervalle. L’application étant croissante,
telle que f (0) = 0, f (x) < 1 pour tout x et sup f = 1 on a f (R+ ) = [0, 1[.
Sachant que f est impaire on a donc f (R) =] − 1, 1[.
Proposition 5.2.2 (Thèorème “ du maximum ”) Soit I = [a, b], où a < b, un segment
de R et f une application continue de I dans R. Alors f est bornée et atteint ses bornes
inférieure et supérieure.
Commentaire. Ce théorème énonce d’abord que f est bornée sur I : il existe M > 0 tel que
−M ≤ f ≤ M . Il énonce ensuite que les bornes inférieure et supérieure des valeurs prises par
f , notées inf f et sup f , sont atteintes c’est-à-dire que ce sont un minimum et un maximum.
En d’autres termes, f (I) est non seulement un intervalle, comme l’énonce le théorème des
valeurs intermédiaires, c’est un segment. Une formulation équivalente du théorème est donc
la suivante :
L’image d’un segment par une application continue est un segment.
66
N.B. La démonstration suivante peut être omise en première lecture.
Démonstration : Montrons d’abord, en raisonnant par l’absurde, que f est majorée sur I.
Dans le cas contraire, pour tout n ∈ N∗ , l’ensemble An = {x ∈ I ; f (x) ≥ n} est non vide.
Cet ensemble étant minoré par a, admet une borne inférieure qu’on note an . On peut écrire
an comme limite d’une suite (xk ) de points de An grâce à la caractérisation séquentielle de
la borne inférieure : pour tout k ∈ N∗ il existe xk ∈ An tel que an ≤ xk < an + (1/k).
Par continuité de f on obtient alors lim f (xk ) = f (an ) puis, par passage à la limite dans
l’inégalité f (xk ) ≥ n, on a f (an ) ≥ n.
On remarque ensuite que pour tout n, An+1 ⊆ An , puisque f (x) ≥ n + 1 implique
f (x) ≥ n, de sorte que an+1 ≥ an . La suite croissante (an ) étant majorée par b, elle converge
vers une limite c ∈ [a, b]. On a alors lim f (an ) = f (c) ∈ R par continuité de f et f (an ) ≥ n
pour tout entier n : on aboutit à une contradiction. Par conséquent f est majorée sur I. Un
raisonnement analogue permet de montrer que f est minorée.
Notons M la borne supérieure de f (I) et posons, pour tout n ∈ N∗ :
1
< f (x) ≤ M }.
n
On va répéter, avec les ensembles Bn , le raisonnement appliqué aux ensembles An pour
conclure que M ∈ f (I). On remarque que, pour tout n, Bn est non vide d’après la caractérisation
de la borne supérieure. De plus l’ensemble Bn , étant majoré par b, admet une borne supérieure
qu’on note bn . On montre alors comme précédemment, en utilisant une suite de limite bn ,
que :
1
M − ≤ f (bn ) ≤ M,
n
puis que (bn ) est décroissante. Si c désigne sa limite dans I on a lim f (bn ) = f (c) par
continuité de f . En faisant tendre n vers l’infini, on obtient M = f (c). Un raisonnement
analogue permet de montrer que inf f ∈ f (I).
Bn = {x ∈ I ; M −
Exercice 5.26 Montrer à l’aide d’exemples simples que les conclusions du théorème sont fausses si I est un
intervalle sans être un segment.
Exercice-type 5.27 Soit I un segment de R et f, g des applications continues de I dans R. Montrer que si
f < g il existe λ > 0 tel que f + λ < g sur I (c’est-à-dire tel que f (x) + λ < g(x) pour tout x ∈ I).
Solution. Par hypothèse, on a f (x) < g(x) pour tout x ∈ I. Posons h = g − f . C’est une application
continue de I dans R, à valeurs > 0. D’après le “ théorème du maximum ” l’image h(I) est le segment
d’origine min h et d’extrémité max h. Sachant que h(x) > 0 pour tout x ∈ I, on a min h > 0, donc il existe
λ > 0 tel que min h > λ, d’où h > λ ou encore g > f + λ.
Exercice 5.28 Soit f une application continue sur R et telle que lim −∞ f = lim+∞ f = 0.
1. Montrer qu’il existe A > 0 tel que (|x| ≥ A ⇒ |f (x)| < 1).
2. Montrer qu’il existe M > 0 tel que (|x| ≤ A ⇒ |f (x)| ≤ M ).
3. En déduire que f est bornée sur R.
4. Généraliser le résultat précédent : si f est une application continue sur R, admettant des limites finies
(non nécéssairement égales) en −∞ et +∞, alors f est bornée sur R.
Corollaire 5.2.3 (Image d’un segment par une application continue monotone)
Soit I = [a, b], où a < b, un segment de R et f une application continue et croissante de I
dans R. L’image de I par f est alors :
f (I) = [f (a), f (b)].
67
Démonstration : Puisque f est croissante, le minimum et le maximum de f sur I sont
respectivement f (a) et f (b). D’après le théorème précédent (voir le commentaire), f (I) est
donc le segment [f (a), f (b)].
Exercice 5.29 Soit I = [a, b], avec a < b, et f une application strictement croissante de I dans R telle que
f (a) = 0 et f (b) = 2. Pour chacune des deux conditions suivantes, peut-on ajouter une hypothèse sur f pour
que la condition soit réalisée ?
1. Il existe c ∈ I tel que f (c) = 3.
2. Il existe c ∈ I tel que f (c) = 1.
5.3
Suites définies par récurrence, un+1 = f (un )
Notation. Dans toute cette section I désigne un intervalle de R non réduit à un point.
5.3.1
Généralités
La définition suivante est justifiée par l’application du raisonnement par récurrence
énoncée dans la proposition 2.2.8 :
Définition 5.3.1 Soit f une application de I dans lui-même. On appelle suite récurrente
associée à f et de condition initiale z ∈ I, la suite (un ) définie comme suit :

 u0 = z

∀n ∈ N ,
un+1 = f (un ) (∗) .
Le principe de définition de la suite est simple : si un ∈ I est déjà défini, la relation (∗)
permet de calculer un+1 . Connaissant u0 = z ∈ I, on calcule donc u1 . Puisque u1 ∈ I, on
peut calculer u2 et, de proche en proche, on pourra ainsi déterminer tous les termes de la
suite (un ).
Remarques. Il convient de noter l’importance de l’hypothèse “ f est une application de I
dans I ”. Cela peut aussi s’écrire f (I) ⊆ I et on dit que I est stable par f .
Il peut arriver qu’une suite récurrente soit donnée dans un cadre légèrement différent de
celui adopté ci-dessus, auquel on pourra en général se ramener simplement. Ainsi pour f
donnée comme fonction définie sur un domaine D, il suffira de chercher un sous-intervalle I
de D stable par f et de considérer la restriction de f à I. Par ailleurs, si f est une fonction
définie sur une partie D de R contenant l’intervalle stable I et si u0 ∈
/ I, il peut arriver que
u1 = f (u0 ), u2 = f (u1 ), . . . , up = f (up−1 ), soient quand même bien définis et que up ∈ I. En
considérant la suite à partir du rang p (c’est-à-dire la suite (un )n≥p ), on se ramène alors aux
hypothèses de la définition.
Exemple 5.30 Si f : [1/2, 5] → R+ est telle que f (x) = 1/x et u0 = 1 alors f (J) ⊆ J pour J = [1/2, 2].
Exemple 5.31 Si f est la fonction définie sur R par f (x) = x2 alors, pour tout x on a f (x) ≥ 0. Pour
tout u0 ∈ R on a u1 = f (u0 ) ∈ R+ . On peut donc limiter l’étude aux suites de valeur initiale appartenant à
l’intervalle stable R+ .
68
Définition 5.3.2 Soit g : I → R une fonction. Un point x ∈ I est appelé point fixe (ou
point invariant) de g s’il vérifie g(x) = x.
Géométriquement, dire que x est point fixe de g signifie que le point M de coordonnées
(x, g(x)) est un point d’intersection de la courbe représentative de g et de la droite d’équation
y = x.
Proposition 5.3.3 Si la suite (un ) possède une limite l ∈ I et si f est continue en l, alors
l est un point fixe de f i.e. f (l) = l. Si de plus l’équation f (x) = x n’a qu’une seule solution
λ ∈ I alors nécessairement l = λ.
Démonstration : On va passer à la limite quand n tend vers l’infini dans la relation (∗). Tout
d’abord, puisque lim un = l, on a déjà vu (exercice 3.4) que lim un+1 = l. D’autre part,
grâce à la caractérisation séquentielle de la continuité, (un ) étant une suite de I qui tend vers
l et f étant continue en l on a lim f (un ) = f (l). On peut maintenant conclure en passant
à la limite dans (∗) grâce à ce qui précède et à l’unicité de la limite.
Exercice-type 5.32 On considère la suite récurrente (un ) définie par u0 ≥ 0 et pour tout n ∈ N, un+1 =
u2n + 8
. Montrer que si cette suite converge, alors sa limite est nécessairement 2 ou 4.
6
x2 + 8
Solution. La fonction f : R+ → R+ définie par f (x) =
est continue sur son domaine de définition
6
car polynomiale et un rapide calcul (recherche des racines d’un polynôme du second degré) montre que ses
points fixes sont 2 et 4. Si la suite positive (un ) admet une limite finie l, celle-ci est positive d’après les
résultats du chapitre 3 et un point fixe de f d’après la proposition 5.3.3 ci-dessus, d’où l = 2 ou l = 4.
Exercice 5.33 Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer un intervalle stable I et les limites éventuelles d’une suite (un ) définie à partir de u0 ∈ I par un+1 = f (un ) où f est définie par
x 7→ x2 ; ou x 7→ x3 ; ou x 7→
5.3.2
2
; ou x 7→ 1 + sin x.
x+1
Utilisation de la monotonie.
En général il n’existe pas de formule donnant pour tout n la valeur du terme général un
d’une suite définie par récurrence. Pour établir la convergence d’une telle suite et appliquer
le critère précédent afin d’identifier sa limite, on peut utiliser une condition suffisante de
convergence (pour une suite qui n’est pas explicite). Le théorème fondamental des suites
monotones est un outil bien adapté à ce genre de situation : si l’on peut affirmer qu’une suite
est croissante majorée ou décroissante minorée on en déduira qu’elle est convergente.
Théorème 5.3.4 (Monotonie des suites récurrentes) Soit f une application de I dans
lui-même et soit (un ) la suite récurrente associée à f et de condition initiale u0 ∈ I.
1. Si f est croissante sur I, alors la suite (un ) est monotone. Il suffit donc de comparer
u0 et u1 pour savoir si elle est croissante ou décroissante.
2. Si f est décroissante sur I, alors les deux suites (vn ) et (wn ) où vn = u2n et wn =
u2n+1 sont monotones de sens de variation opposés (l’une est croissante et l’autre est
décroissante). Il suffit donc de comparer u0 et u2 pour déterminer leur sens de variation.
69
Démonstration :
1. Supposons par exemple que u0 6u1 (le cas “ u0 ≥ u1 ” se traitant de façon analogue) et
prouvons par récurrence que la suite est croissante. Pour tout n ∈ N, on note Pn la propriété
“ un ≤ un+1 ”. La propriété P0 est vraie par hypothèse. Supposons Pn vraie pour un certain
entier fixé n, c’est-à-dire un ≤ un+1 , et établissons Pn+1 autrement dit un+1 ≤ un+2 . Il suffit
pour cela d’utiliser la croissance de f car un ≤ un+1 entraine un+1 = f (un ) ≤ f (un+1 ) = un+2 ,
d’où le résultat.
2. Pour n ∈ N, on a vn+1 = u2(n+1) = u2n+2 = f (u2n+1 ) = f (f (u2n )) = (f ◦ f )(vn ) et de
même wn+1 = u2(n+1)+1 = u2n+3 = f (u2n+2 ) = f (f (u2n+1 )) = (f ◦ f )(wn ), autrement dit les
suites (vn ) et (wn ) (correspondant aux indices pairs et impairs de la suite (un )) sont elles
aussi des suites récurrentes mais associées à la fonction g = f ◦ f . Comme f est décroissante,
la composée g est croissante donc d’après 1., les suites (vn ) et (wn ) sont monotones. Il reste à
voir qu’elles ont des sens de variation opposés. Supposons par exemple que v0 = u0 ≤ u2 = v1
i.e. (vn ) est croissante. La décroissance de f donne alors w0 = u1 = f (u0 ) ≥ f (u2 ) = u3 = w1
donc (wn ) est décroissante. Les autres cas se montrent de façon analogue.
Commentaire. Le théorème donne uniquement des résultats de monotonie de (un ). Dans
le cas ou f est croissante il reste à vérifier, selon le sens de variation de la suite, qu’elle est
majorée ou minorée (c’est le cas, par exemple, si I est majoré ou minoré) pour conclure
à sa convergence d’après le théorème fondamental des suites monotones. Ceci montre en
particulier le
Corollaire 5.3.5 Soit un intervalle borné I et une fonction f croissante de I dans I. Pour
toute valeur initiale dans I, la suite récurrente définie par f et par cette valeur initiale est
convergente.
Dans le cas où f est décroissante, la situation n’est pas aussi simple. Nous examinerons
simplement un cas très classique, souvent repris dans les exercices, en supposant que u0 ≤ u2
et u0 ≤ u1 . Alors, par décroissance de f , on obtient facilement u0 ≤ u2 ≤ u4 ≤ · · · ≤ u5 ≤
u3 ≤ u1 . Les suites monotones bornées (vn ) = (u2n ) et (wn ) = (u2n+1 ) convergent alors vers
des limites respectives l0 et l1 telles que l0 ≤ l1 . Il reste alors à prouver que l0 = l1 pour
établir la convergence de (un ) (pour plus de détails voir exemple 5.34).
La continuité de f et celle de g = f ◦ f permettent, selon les cas, de trouver les limites
éventuelles de un , vn ou wn . On notera à ce propos que tout point fixe de f est point fixe de
g. Mais la réciproque est fausse : considérer par exemple I = [1, 2] et f : x 7→ (1/x).
Exemple 5.34 Détaillons davantage ce qui vient d’être dit. Soit f une fonction décroissante telle que
u0 ≤ u2 et u0 ≤ u1 . Par décroissance de f et puisque u0 ≤ u2 on sait que la suite (u2n ) est croissante et que
la suite (u2n+1 ) est décroissante. Montrons la proporiété
Pn = “ u0 ≤ u2 ≤ · · · ≤ u2n+2 ≤ u2n+1 ≤ · · · ≤ u3 ≤ u1 ”
par récurrence pour tout n ∈ N.
P0 est vraie car u0 ≤ u2 par hypothèse et, par décroissance de f , u1 = f (u0 ) ≥ f (u1 ) = u2 .
Soit n ∈ N et supposons Pn vraie. Montrons
Pn+1 = “ u0 ≤ u2 ≤ · · · ≤ u2n+2 ≤ u2n+4 ≤ u2n+3 ≤ u2n+1 · · · ≤ u3 ≤ u1 ”.
Il suffit de montrer que u2n+2 ≤ u2n+4 ≤ u2n+3 ≤ u2n+1 . Si l’on applique f deux fois à l’inégalité u2n+2 ≤
u2n+1 (qu’on connaı̂t par hypothèse de récurrence) on obtient
u2n+3 = f (u2n+2 ) ≥ f (u2n+1 ) = u2n+2 et u2n+4 = f (u2n+3 ) ≤ f (u2n+2 ) = u2n+3 .
Par croissance de (u2n ) et décroissance de (u2n+1 ) on a u2n+2 ≤ u2n+4 et u2n+3 ≤ u2n+1 ce qui donne Pn+1 .
70
En particulier, (vn ) est croissante et majorée par, par exemple, u1 , (wn ) est décroissante et minorée par,
par exemple, u0 d’où la convergence des deux suites vers des limites respectives l0 et l1 .
Montrons encore que (un ) converge vers un réel l si et seulement si (vn ) et (wn ) convergent vers une
même limite l (c’est-à-dire l = l0 = l1 ).
Si (un ) converge vers l alors, en revenant à la définition, on voit que (vn ) et (wn ) convergent aussi vers l.
Pour établir la réciproque il suffit encore de revenir à la définition. Etant donné > 0, il existe des entiers
N1 et N2 tels que pour tout n ∈ N :
(n ≥ N1 ⇒ |vn − l| < ) et (n ≥ N2 ⇒ |wn − l| < ).
Par suite :
(n ≥ max(2N1 , 2N2 + 1) ⇒ |un − l| < ).
Exemple 5.35 Soit I = R+ , f : I → I telle que f (x) = x2 et (un ) définie par récurrence à partir de u0 ∈ I
par un+1 = f (un ). Les points fixes de f sur I sont 0 et 1. De plus, f est croissante et continue sur I : la
suite (un ) est alors monotone et si elle converge, c’est vers un point fixe de f .
Si u0 ∈ {0, 1} la suite est constante.
Si 0 < u0 < 1 alors 0 < u1 = f (u0 ) = u20 < u0 < 1 donc la suite est décroissante. La suite est minorée
par 0. Alors, d’après le théorème fondamental des suites monotones, elle converge vers le point fixe 0.
Si 1 < u0 , on a 1 < u0 < u20 = f (u0 ) = u1 donc la suite est croissante et ne peut pas converger vers un
point fixe de f : elle tend donc vers +∞.
Exercice-type 5.36 Soit I = [−(π/2), (π/2)] et f : I → I telle que f (x) = sin x. Étudier la suite récurrente
définie par u0 ∈ I et pour tout n ∈ N, un+1 = sin un .
Solution. On vérifie facilement que la fonction f est bien définie c’est-à-dire que f (I) ⊆ I. Le seul point
fixe de f sur I est 0 (étudier par exemple x 7→ −x + sin x). De plus f est croissante et continue sur I : la
suite (un ) est monotone et si elle converge, c’est vers un point fixe de f . Mais (un ) étant borné car I l’est, la
suite est toujours convergente d’après le théorème des suites monotones et sa limite est 0, quel que soit u 0 .
On peut préciser la monotonie de la suite, bien que ce ne soit pas nécessaire pour conclure. Par exemple,
si 0 < u0 on a u1 = sin u0 < u0 (étudier x 7→ −x + sin x) donc la suite est décroissante, minorée par 0 : elle
converge vers le point fixe 0.
Exercice-type 5.37 Étudier la suite récurrente définie par u0 = 1 et un+1 =
u2n + 8
.
6
x2 + 8
Solution. L’application f : R+ → R+ telle que f (x) =
est continue car polynomiale, croissante et
6
admet pour points fixes 2 et 4. L’intervalle [0, 2] est stable par l’application f car on a, d’après le corollaire
5.2.3, que f ([0, 2]) = [f (0), f (2)] = [4/3, 2] ⊆ [0, 2]. (Aussi les intervalles R + , [2, 4], [4, +∞[ sont stables par
f mais ici on n’a pas besoin de ce fait.) La suite (un ) est monotone car l’application f est croissante et elle
est bornée car elle est inclue dans l’intervalle borné [0, 2]. Donc la suite (un ) converge et comme 2 est le seul
point fixe de f dans l’intervalle [0, 2] elle converge vers 2. (On peut préciser la monotonie de la suite, bien
que ce ne soit pas nécessaire pour conclure. Avec u0 = 1 on a u1 = f (u0 ) = (3/2) > u0 donc la suite est
croissante.)
Exercice 5.38 Reprendre l’exercice précédent en supposant u0 = 3 puis 4 et enfin 5.
Exercice 5.39 Étudier la suite définie à partir de u0 ∈ R+ par un+1 = ln(1 + un ).
Exercice 5.40 Étudier la suite définie à partir de u0 ≥ 0 par un+1 =
√
2 + un .
Exercice 5.41 Étudier la suite définie à partir de u0 ≥ 1 par un+1 = 1 + ln un .
Exercice 5.42 Étudier la suite définie à partir de u0 ∈ R par un+1 = u2n + 1.
71
Exercice 5.43 Que pouvez-vous dire de la suite définie à partir de u0 > −1 par un+1 =
Exercice-type 5.44 Étudier la suite récurrente définie par u0 = 0 et un+1 =
un − 9
?
un + 1
2
pour tout n ∈ N.
1 + u2n
2
admet pour unique point
1 + x2
fixe l = 1. Cette application étant décroissante, les suites (u2n ) et (u2n+1 ) sont monotones. Mais u1 = 2
et u2 = (2/5) donc u0 ≤ u2 ≤ u1 : d’après le commentaire (ou l’exemple 5.34) ci-dessus, la suite (u2n ) est
croissante (majorée par u1 ), la suite (u2n+1 ) est décroissante (minorée par u0 ). Puisque f est continue, ces
suites convergent vers des points fixes de g = f ◦ f . Un calcul facile montrant que 1 est le seul point fixe de
g, il résulte (cf. le commentaire ou l’exemple 5.34) que (un ) converge vers l = 1.
Solution. Soit I = R+ . L’application f : I → I définie par f (x) =
Exercice 5.45 Étudier la suite définie par récurrence à partir de u0 > −1 par un+1 =
Exercice 5.46 Étudier la suite définie à partir de u0 ≥ 0 par un+1 =
5.3.3
1
.
1 + un
un + 4
.
un + 1
Cas des fonctions contractantes
En dehors des propriétés de monotonie, une situation particulièrement intéressante correspond au cas où f est contractante. Dans ce cas on peut décrire exactement le comportement
de la suite (un ).
Notation. Dans ce qui suit, a et b sont des réels tels que a < b.
Définition 5.3.6 Une application f : I → R est dite contractante s’il existe une constante
K ∈ [0, 1[ telle que, pour tout (x, y) ∈ I, |f (x) − f (y)| ≤ K|x − y|.
Remarques. La condition K strictement inférieur à 1 est cruciale : les fonctions contractantes
sont les fonctions lipschitziennes (exercice 5.1 de constante de Lipschitz K < 1). On remarquera
que la restriction de l’identité à un intervalle I n’est pas contractante. De même la fonction
sinus, de R dans lui-même, n’est pas contractante (il suffit de considérer la limite en y = 0
de (sin x/x)). Remarquons aussi que si l’on suppose K = 0 dans la définition alors f est
constante.
Exercice 5.47 Montrer que la fonction f : R → R, x 7→ ax + b où a, b ∈ R, est contractante si et seulement
si | a | < 1.
Exercice 5.48 Montrer que la fonction f : [1, 2] → R définie par f (x) =
√
x est contractante.
Exemple 5.49 Nous verrons plus loins, en utilisant la notion de dérivée et le théorème des accroissements
finis, qu’une classe importante de fonctions contractantes est donnée par les fonctions dérivables f : I → I
telles que |f 0 | soit majorée sur I par une constante K strictement inférieure à 1.
Théorème 5.3.7 Soit f : [a, b] → [a, b] une application contractante de constante K (i.e.
0 ≤ K < 1). Soit (un ) la suite récurrente associée à f et de condition initiale u0 ∈ [a, b]. On
a alors les résultats suivants.
1. L’application f admet un unique point fixe ` dans [a, b].
2. Pour tout n ∈ N, |un − `| ≤ K n |u0 − `| ≤ K n (b − a).
72
3. Pour toute condition initiale u0 ∈ [a, b], la suite récurrente (un ) associée à f converge
vers `.
Attention. Il est important que f prenne ses valeurs dans [a, b], on ne peut pas remplacer
“ Soit f : [a, b] → [a, b] . . . ” par “ Soit f : [a, b] → R . . . ” dans l’énoncé du théorème.
Démonstration : 1. Puisque f est contractante, f est continue (exercice 5.1). Montrons
d’abord que f admet au moins un point fixe. Si f (a) = a ou f (b) = b alors a ou b est
un point fixe de f . Sinon on a f (a) > a et f (b) < b car f (a) et f (b) appartiennent à [a, b].
Donc la fonction g : [a, b] → R définie par g(x) = x − f (x) est continue et change de signe
sur [a, b]. D’après le théorème des valeurs intermédiaires, g s’annule en un point de [a, b] qui
est point fixe de f .
Si ` et `0 sont des points fixes de f alors |` − `0 | = |f (`) − f (`0 )| ≤ K|` − `0 | d’où
(1 − K)|` − `0 | ≤ 0, ce qui entraine ` = `0 puisque 1 − K > 0.
2. Démontrons par récurrence la propriété Pn : “ |un − `| ≤ K n |u0 − `| ” pour tout n ∈ N.
La propriété P0 est clairement vraie si K 6= 0 et, si K = 0, f est constante et rien ne reste
à démontrer). Supposons Pn vraie pour un certain entier n fixé. On a :
|un+1 − `| = |f (un ) − f (`)| ≤ K |un − `| ≤ K K n |u0 − `| ≤ K n+1 |u0 − `|
d’où le résultat. Pour conclure, remarquons que |u0 − `| ≤ (b − a) puisque u0 et ` sont dans
[a, b].
3. D’après 2. on a 0 ≤ |un − `| ≤ K n (b − a). Mais la suite (K n ) est identiquement nulle
ou c’est une suite géométrique de limite nulle puisque 0 ≤ K < 1. Par suite lim un = `
d’après le théorème des suites encadrées.
Remarque. Le théorème précédent donne un moyen de calculer des valeurs approchées des
racines d’une équation. Si on peut mettre l’équation d’inconnue x sous la forme f (x) = x
où f est une application contractante d’un intervalle I dans lui-même, la suite récurrente
construite à partir d’un point quelconque u0 de I fournira une suite d’approximations
successives de l’unique racine de l’équation appartenant à I. L’inégalité |un −`| ≤ K n (b−a)
permet de contrôler la qualité de l’approximation.
Exercice-type 5.50 Étudier la suite récurrente définie à partir de u0 ∈ [0, 1] par un+1 =
1
pour tout
2 + un
n ∈ N.
1
Solution. Soit I = [0, 1]. L’application x 7→ f (x) = 2+x
est continue et décroissante sur ] − 2, +∞[ (le
vérifier !), on a f (I) = [f (1),√f (0)] ⊆ I (d’après l’analogue du corollaire 5.2.3) donc f : I → I est bien définie.
L’application f admet l = 2 − 1 comme seul point fixe. Pour tous x, y ∈ I on obtient
| f (x) − f (y) | = |
1
1
|x −y|
1
−
|=
≤ | x − y |.
2+x 2+y
|2+x||2+y|
4
Par suite f est (1/4)-lipschitzienne donc contractante. La suite (un ) converge donc vers l et, pour tout n ∈ N :
n
1
.
|un − l| ≤
4
√
Exercice 5.51 En reprennant l’exercice-type 5.50 calculer 2 à 10−3 près.
√
Exercice 5.52 Soit I = [1, 3] et f (x) = x + 2 pour tout x ∈ I.
1. Montrer que I est stable par f .
2. Montrer que f admet un unique point fixe l sur I.
3. Prouver que la suite définie à partir de u0 = 1 par un+1 =
4. A partir de quel rang n a-t-on |un − l| ≤ 10−3 ?
73
√
un + 2 pour tout n ∈ N converge vers l.
74
Chapitre 6
Dérivation
et application à l’étude de la variation des fonctions
Notations. Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non réduit à un point. Sauf
mention du contraire, a désigne un point de I et f, g, . . . désignent des fonctions définies sur
I à valeurs dans R. En particulier, sauf mention du contraire, ces fonctions sont définies en
a.
6.1
Dérivée en un point
Définition 6.1.1 On appelle taux d’accroissement de f en a la fonction τ f,a définie sur
I \ {a} par :
f (x) − f (a)
τf,a (x) =
.
x−a
Définition 6.1.2 On dit que f est dérivable en a si la fonction τf,a admet une limite finie
en a. Si cette limite existe, on la note f 0 (a) : c’est le nombre dérivé de f en a (on dit aussi
la dérivée de f en a). On dit que f est dérivable sur I si elle est dérivable en chaque point
de I. On note alors f 0 : x 7→ f 0 (x) la fonction de I dans R qui associe à chaque x ∈ I la
dérivée en x. C’est la dérivée de f sur I.
Si f est dérivable en a on écrira
f 0 (a) = lim
x→a
f (x) − f (a)
.
x−a
En faisant le changement de variable x = a + h, on peut aussi écrire cette limite
f (a + h) − f (a)
.
h→0
h
f 0 (a) = lim
Exemple 6.1 Si f est constante sur I on a τf,a = 0 quel que soit a. Donc τf,a admet 0 pour limite en a et
f 0 (a) = 0. Ceci étant vrai quel que soit a, on en déduit que f est dérivable sur I et que f 0 = 0.
Exemple 6.2 Si f est l’application identique de I sur I on a τf,a = 1 en tout point a. Donc f 0 (a) = 1 quel
que soit a, c’est-à-dire f est dérivable sur I et f 0 = 1 sur I.
75
Exemple 6.3 Si f (x) = x2 sur I on a :
τf,a (x) =
x2 − a 2
= x + a.
x−a
Il en résulte que f 0 (a) = 2a en tout point de I, donc f est dérivable sur I et f 0 (x) = 2x pour tout x de I.
Exemple 6.4 Plus généralement, prenons f (x) = xn où n ∈ N∗ . De l’identité :
xn − an = (x − a)(
on déduit :
τf,a (x) =
n−1
X
n−1
X
xi an−1−i )
i=0
xi an−1−i .
i=0
Ce polynôme admet une limite en a égale à sa valeur en a. Par suite, pour tout a :
f 0 (a) =
n
X
ai an−1−i = nan−1 .
i=0
Interprétation géométrique
∆
Supposons que la fonction f admette
en a la dérivée m. Soit Cf la
courbe représentative de f dans un
repère orthonormé, A le point de
coordonnées (a, f (a)) et M (x) le
point de coordonnées (x, f (x)). La
droite AM a pour pente τf,a (x).
Quand x tend vers a cette droite tend
(en un sens qu’on peut préciser) vers
la droite ∆ passant par A et de pente
m qui est la tangente en A à la courbe
Cf .
Cette tangente est la courbe
représentative de la fonction affine
M
A
0
a
x
x 7→ f 0 (a)(x − a) + f (a).
√
Exemple 6.5 Soit I = R+ et f (x) = x. Montrons que f est dérivable en tout point a > 0 mais ne l’est
pas en 0. Pour a > 0 et x ≥ 0, x 6= a, on a :
√
√
x− a
1
√ ,
τf,a (x) =
=√
x−a
x+ a
1
1
donc lima τf,a = √ , c’est-à-dire f 0 (a) = √ pour tout a > 0.
2 a
2 a
En a = 0 on a :
√
√
√
1
x− 0
x
=
=√
τf,0 (x) =
x−0
x
x
qui tend vers +∞ quand x tend vers 0 par valeurs supérieures. Donc f n’est pas dérivable en 0. Notons
toutefois que les sécantes issues de 0 à sa courbe représentative ont pour position limite une parallèle à l’axe
des ordonnées : la courbe Cf admet en 0 une “ demi-tangente verticale ”.
76
Exercice 6.6 Montrer que la fonction x 7→ |x| de R dans R+ est dérivable en tout point a 6= 0 mais n’est
pas dérivable en 0 (calculer τf,0 (x) en distinguant les cas x < 0 et x > 0).
Afin de pouvoir effectuer des calculs sur les fonctions classiques nous admettrons les
expressions familières de leurs dérivées :
sin0 (x) = cos(x),
cos0 (x) = − sin(x),
1
ln0 (x) = ,
x
exp0 (x) = exp(x),
pour tout x ∈ R ;
pour tout x ∈ R ;
pour tout x > 0 ;
pour tout x ∈ R.
Nous avons noté exp la fonction exponentielle x 7→ ex de façon à bien faire apparaı̂tre
la dérivée de la fonction en chaque point. La notation (ex )0 = ex est certes usuelle mais
constitue un abus de langage dont il faut être conscient. Par contre, il est clair qu’on peut
écrire sin0 = cos, cos0 = sin, exp0 = exp et ainsi de suite.
Notation. Nous poserons Ia = {x − a ; x ∈ I}. C’est un intervalle contenant 0, image de I
par la translation x 7→ x − a.
Proposition 6.1.3 (Dérivabilité et différentiabilité) Pour que f soit dérivable en a il
faut et suffit qu’il existe l ∈ R et une fonction : Ia → R admettant 0 pour limite en 0, tels
que pour tout h ∈ Ia :
f (a + h) = f (a) + lh + h(h)
(on dit alors que f est différentiable en a).
Démonstration : Supposons f dérivable en a. Alors :
f (a + h) − f (a)
= f 0 (a).
h→0
h
lim
On peut donc écrire :
f (a + h) − f (a)
= f 0 (a) + (h)
h
où est définie en tout point h 6= 0 tel que a + h ∈ I, soit sur Ia \ {0}, et limh →
− 0 (h) = 0.
Par suite, en prolongeant continûment par 0 en 0, on a :
f (a + h) = f (a) + f 0 (a)h + h(h)
qui est de la forme voulue avec l = f 0 (a).
Inversement, si pour h ∈ Ia on a f (a+h) = f (a)+lh+h(h) où l ∈ R et limh −
→ 0 (h) = 0,
il vient pour h 6= 0 :
f (a + h) − f (a)
= l + (h),
h
quantité qui tend vers l quand h tend vers 0. Donc f est dérivable en a et f 0 (a) = l.
Définition 6.1.4 Si f est dérivable en a, l’application linéaire h 7→ f 0 (a)h est appelée
différentielle de f au point a. On la note df (a). L’application affine h 7→ f (a) + f 0 (a)h
est l’application tangente à f en a.
77
Le terme d’application tangente est justifié par le fait que lorsque f est une fonction
dérivable en a, l’équation de la tangente en a à sa courbe représentative s’écrit justement
y = f (a) + f 0 (a)(x − a).
La notion de différentiabilité évoquée dans la proposition précédente permet de généraliser
la notion de dérivabilité à des espaces où la notion de quotient n’existe pas (on pourra par
exemple calculer la différentielle de fonctions définies sur R2 ).
Exercice 6.7 Ecrire l’équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction cosinus aux points
π π π
d’abscisses 0, , , , π.
6 3 2
Exercice 6.8 Ecrire l’équation de la tangente à la courbe représentative de f : x 7→ e x en un point A
d’abscisse a. Quelle est la distance entre le point d’intersection de la tangente avec l’axe des abscisses et le
point A0 (a, 0) ?
Notation. Lorsque f est une fonction dérivable sur un interavalle I, sa dérivée est en général
notée f 0 . Cette notation remonte à Newton.
df
Une autre notation utilisée pour la dérivée d’une fonction f : x 7→ f (x) est
. Cette
dx
notation, qui remonte à Leibniz (contemporain et rival de Newton), rappelle que la dérivée
est la limite du rapport entre l’accroissement de la fonction et l’accroissement correspondant
de la variable. Mais attention cette notation ne signifie pas que la dérivée de f soit le
quotient de la différentielle de f par celle de x. Il faut la prendre comme un symbole et
non comme une fraction.
6.1.1
Dérivée à droite, à gauche
La dérivée en a est définie à l’aide de la limite en a de τf,a . À la notion de limite à gauche
(resp. à droite) de τf,a correspond la notion de dérivée à gauche (resp. à droite) de f en a.
Définition 6.1.5 Si I 0 = I∩] − ∞, a[ est non vide, on dit que f est dérivable à gauche en
a si τf,a admet une limite à gauche finie en a.
Si I 00 = I∩]a, +∞[ est non vide, on dit que f est dérivable à droite en a si τ f,a admet
une limite à droite finie en a.
Notation. On note fg0 (a) (resp. fd0 (a)) la dérivée de f à gauche (resp. à droite) en a lorsqu’elle
existe.
De la proposition 4.11.3 on déduit alors immédiatement la suivante.
Proposition 6.1.6 Soit a un point intérieur à I. Pour que f soit dérivable en a il faut et
il suffit qu’elle soit dérivable à gauche et à droite en a et que f g0 (a) = fd0 (a). Lorsque ces
conditions sont réalisées on a alors f 0 (a) = fg0 (a) = fd0 (a).
Exemple 6.9 Soit f la fonction valeur absolue sur R. Alors f est dérivable à gauche et à droite en 0 et
fg0 (0) = −1, fd0 (0) = 1. D’après la proposition précédente, f n’est pas dérivable en 0.
Exercice-type 6.10 Soit I = R et f (x) = | sin x|. Étudier la dérivabilité de f aux points de R.
Solution. Pour tout k ∈ Z posons Ik =]kπ, (k + 1)π[. Etant donné x ∈ Ik on a f (x) = sin x si k est pair et
f (x) = − sin x si k est impair. Par suite, f 0 (x) = cos x dans le premier cas et f 0 (x) = − cos x dans le second.
Étudions maintenant la dérivabilité en a = kπ. Supposons d’abord k pair. A droite de kπ, sur I k , f est la
restriction de sin qui est dérivable sur R et dont la dérivée est cos. Par suite, f est dérivable à droite en kπ et
78
fd0 (kπ) = cos(kπ) = (−1)k = 1 car k est pair. A gauche de kπ, sur Ik−1 , f est la restriction de (-sin) qui est
dérivable sur R et de dérivée (-cos). Par suite, f est dérivable à gauche en kπ et f g0 (kπ) = − cos(kπ) = −1.
Les dérivées à gauche et à droite étant distinctes, f n’est pas dérivable aux points de la forme kπ avec k
pair. On montre de façon analogue que f n’est pas dérivable aux points kπ avec k impair.
Exercice 6.11 Étudier la dérivabilité ainsi que la dérivabilité à gauche ou à droite de la fonction x 7→
|x2 − 1|.
Définition 6.1.7 Si f admet en a des dérivées à gauche et à droite distinctes, le point
A(a, f (a)) de Cf est dit point anguleux.
Exemple 6.12 L’origine est un point anguleux de la courbe représentative de x 7→ |x|. Les points d’abscisse
kπ, k ∈ Z, sont des points anguleux de la courbe représentative de x 7→ | sin x|.
Proposition 6.1.8 ( Dérivabilité et continuité) Si f est dérivable en a, elle est continue
en a.
Démonstration : On utilise la différentiabilité de f . On a pour tout h ∈ Ia :
f (a + h) = f (a) + f 0 (a)h + h(h)
avec limh −
→ 0 (h) = 0. Par suite :
|f (a + h) − f (a)| ≤ |f 0 (a)||h| + |h||(h)| = g(h).
La fonction g est la somme de fonctions qui tendent vers 0 ; elle tend aussi vers 0 et on a
limh→0 f (a + h) − f (a) = 0 par encadrement soit limh→0 f (a + h) = f (a). Cela prouve que f
est continue au point a.
Mise en garde. Contrairement à une erreur fréquente, une fonction continue n’est pas
nécessairement dérivable. Par exemple, la fonction x 7→ |x| n’est pas dérivable en 0. Il existe
même des fonctions continues sur R qui, en tout point de R, n’admettent ni dérivée à droite
ni dérivée à gauche.
Par restriction de f à I∩] − ∞, a] ou à I ∩ [a, +∞[, lorsque ces deux intervalles ne sont
pas réduits au seul point a, on a immédiatement la proposition suivante.
Proposition 6.1.9 Si f est dérivable à gauche (resp. à droite) en a, elle est continue à
gauche (resp. à droite) en a.
Exemple 6.13 Soit I = R. Pour tout n ∈ Z, la fonction partie entière E est égale à n sur I n = [n, n + 1[.
Elle est donc dérivable à droite (et continue à droite) en n et fd0 (n) = 0.
En revanche elle n’est pas dérivable à gauche en n car le taux d’accroissement τ E,n de E en n a une
limite à gauche égale à +∞. On peut également justifier la non-dérivabilité à gauche par le fait que E n’est
pas continue à gauche.
79
6.2
Opérations algébriques
Proposition 6.2.1 Soit f et g deux fonctions dérivables en a. Alors :
1. (f + g) est dérivable en a et (f + g)0 (a) = f 0 (a) + g 0 (a).
2. (f g) est dérivable en a et (f g)0 (a) = f 0 (a)g(a) + f (a)g 0 (a).
3. Pour tout λ ∈ R, (λf ) est dérivable en a et (λf )0 (a) = λf 0 (a).
4. Si f ne s’annule pas sur I, la fonction
1 0
f
1
est dérivable en a et :
f
(a) = −
f 0 (a)
.
f 2 (a)
Démonstration :
1. Il suffit d’appliquer la proposition relative à la somme des limites à :
τf +g,a (x) =
(f + g)(x) − (f + g)(a)
f (x) − f (a) g(x) − g(a)
=
+
.
x−a
x−a
x−a
2. On écrit :
τf g,a (x) =
(f g)(x) − (f g)(a)
f (x) − f (a)
g(x) − g(a)
=
g(x) + f (a)
x−a
x−a
x−a
et on applique les résultats relatifs aux produit et somme de limites sachant que lim x −
→ a (x) =
g(a).
3. Immédiat en appliquant à τλf,a le résultat sur la limite du produit par un scalaire.
4. On a :
1
1
1 f (x) − f (a)
1
τ 1 ,a (x) =
×
−
=−
×
.
f
f (x) f (a)
x−a
x−a
f (x)f (a)
Il ne reste plus alors qu’à faire un produit de limites sachant que f est dérivable en a et que
lima f = f (a).
Exemple 6.14 En tout point de R∗ la fonction f : x 7→ (1/x) est dérivable et f 0 (x) = −(1/x2 ) d’après la
dernière partie de la proposition.
Exercice 6.15 Plus généralement, pour tout n ∈ N, calculer la dérivée de x 7→ (1/x n ) à l’aide de la
proposition précédente et de la dérivée de x 7→ xn .
Corollaire 6.2.2 Supposons d’une part que f et g sont dérivables en a et d’autre part que
g ne s’annule pas sur I. Alors (f /g) est dérivable en a et :
f 0
g
(a) =
f 0 (a)g(a) − f (a)g 0 (a)
.
g 2 (a)
Démonstration : On écrit (f /g) = f × (1/g) et on applique le résultat sur le produit de deux
fonctions dérivables en a.
80
Exemple 6.16 La fonction tangente est définie sur tout intervalle Ik =] − (π/2) + kπ, (π/2) + kπ[, k ∈ Z,
par tan = (sin / cos). Elle est donc dérivable en tout point a ∈ Ik et d’après le corollaire :
tan0 a =
cos2 a + sin2 a
1
=
= 1 + tan2 a.
cos2 a
cos2 a
Passage de la dérivation en un point à la dérivation sur un intervalle.
En supposant f et g dérivables sur I c’est-à-dire en chaque point a ∈ I, les propositions
précédentes montrent immédiatement que (f + g), (f g), (λf ) où λ ∈ R, (f /g) lorsque g ne
s’annule pas sur I, sont dérivables sur I et que l’on a :
f 0 f 0 g − f g 0
=
(f + g)0 = f 0 + g 0 ; (f g)0 = f 0 g + f g 0 ; (λf )0 = λf 0 ;
.
g
g2
Proposition 6.2.3 (Dérivation d’une fonction composée)
Soit I et J deux intervalles de R et deux fonctions f : I → R et g : J → R. On suppose
que f (I) ⊆ J, que f est dérivable en a ∈ I et que g est dérivable en b = f (a) ∈ J. Alors
g ◦ f est dérivable en a et :
(g ◦ f )0 (a) = (g 0 ◦ f )(a)f 0 (a) = g 0 (f (a))f 0 (a).
Démonstration : Nous utiliserons la différentiabilité de f en a et de g en b = f (a). Nous
poserons Ia = {x − a ; x ∈ I} et Jb = {y − b ; y ∈ J} : ce sont deux intervalles contenant
0. Par hypothèse, il existe des fonctions : Ia → R et η : Jb → R, de limite nulle en 0, telles
que :
f (a + h) = f (a) + f 0 (a)h + h(h) pour tout h ∈ Ia ,
g(b + k) = g(b) + g 0 (b)k + kη(k) pour tout k ∈ Jb .
Puisque f (I) ⊆ J, on a f (a + h) ∈ J pour tout h ∈ Ia (en effet, si h ∈ Ia , alors a + h ∈ I).
Donc, d’après la première égalité on a f 0 (a)h + h(h) = f (a + h) − b ∈ Jb et on peut prendre
k = (f 0 (a) + (h))h dans la seconde égalité. Il vient :
g ◦ f (a + h) = g(b + k) = g(f (a)) + g 0 (b)(f 0 (a) + (h))h + (f 0 (a) + (h))hη((f 0 (a) + (h))h).
Posons
ρ(h) = g 0 (b)(h) + (f 0 (a) + (h))η((f 0 (a) + (h))h).
On peut donc écrire
g ◦ f (a + h)) = g(f (a)) + g 0 (b)f 0 (a)h + hρ(h).
Il suffit alors de vérifier, à l’aide des théorèmes sur les opérations sur les limites, qu’on a bien
limh→0 ρ(h) = 0 pour obtenir que g ◦ f est dérivable en a, de dérivée g 0 (f (a))f 0 (a).
Remarque. Il résulte aussitôt de la proposition précédente que si f est dérivable sur I, g
dérivable sur J et f (I) ⊆ J alors g ◦ f est dérivable sur I et (g ◦ f )0 = (g 0 ◦ f )f 0 .
Application. Soit un réel α, et fα la fonction ”puissance α définie sur R∗+ par
∀x > 0
fα (x) = xα = eα ln x .
C’est donc une fonction composée et la règle de dérivation donne
fα0 (x) = eα ln x × α ×
81
1
x
soit
fα0 (x) = αxα−1 .
Exercice-type 6.17 Soit I = R∗+ et f (x) = x2 sin
1
.
x
1. Etudier la dérivabilité de f sur I.
2. Etudier l’existence d’un prolongement continu de f en 0.
3. Etudier la dérivabilité de ce prolongement.
Solution.
1. La fonction u : x 7→ (1/x) est dérivable sur I et u0 (x) = −(1/x2 ) (exemple précédent). La fonction
v : y 7→ sin(y) est dérivable sur J = R et v 0 (y) = cos(y). On a de plus, u(I) = I ⊆ J donc, par dérivation de
la composée g = v ◦ u, il vient pour tout x ∈ I :
1
1
0
0
× − 2 .
g (x) = (v ◦ u) (x) = cos
x
x
1
1
− cos
pour tout x ∈ I.
x
x
2. La fonction f est continue sur I et limx →
− 0 f (x) = 0 (f est produit d’une fonction bornée et d’une
fonction de limite 0). On peut donc prolonger continûment f en 0 en posant f (0) = 0.
3. Pour étudier la dérivabilité de ce prolongement, on revient à la définition car le théorème de composition
ne s’applique pas. On a :
f (x) − f (0)
1
τf,0 (x) =
= x sin
x
x
Enfin, par produit de fonctions dérivables, f 0 (x) = 2x sin
0
donc limx →
− 0 τf,0 = 0, c’est-à-dire le prolongement continu de f est dérivable en 0 et tel que f (0) = 0.
Exercice 6.18 Calculer la dérivée de x 7→ ln(−x) en tout point de R ∗− . Quelle est la dérivée de x 7→ ln |x|
en tout point de R∗ ?
Exercice 6.19 Calculer la dérivée de x 7→ f (x) pour f (x) égal à :
2
p
6.3
1 + sin2 x ;
p
x2 + sin2 x2 ;
ln | sin x| ;
ex − 1
;
ex + 1
1
.
ln(x2 + x + 1)
Dérivées successives
Supposons f dérivable sur I. On peut alors définir sa fonction dérivée f 0 : I → R qui
associe à tout a ∈ I le nombre dérivé f 0 (a). Rien n’empêche alors de se demander si, à son
tour, f 0 n’est pas dérivable sur I. Si tel est le cas, on posera f 00 = (f 0 )0 : c’est la dérivée
seconde de f (étant sous-entendu que f 0 est la dérivée première). Supposons alors définie
f (n) pour un certain entier n ∈ N (avec la convention f (0) = f ) ; si f (n) est dérivable sur I,
on pose f (n+1) = (f (n) )0 : c’est la dérivée (n + 1)-ième de f sur I.
Remarque. En notation de Leibniz la dérivée n-ième de la fonction f : x 7→ f (x) se note
dn f
.
dxn
82
Définition 6.3.1 Soit n ∈ N. On dit que f est n fois dérivable sur I si f (n) existe sur I.
On dit que f est de classe C n sur I si f (n) existe et est continue sur I. Si f est de classe C n
pour tout n ∈ N on dit que f est de classe C ∞ .
On note C n (I) (resp. C ∞ (I)) l’ensemble des fonctions de classe C n sur I (resp. de classe
C ∞ sur I).
Remarque. Si f est n fois dérivable sur I, avec n ≥ 1, on a par définition f n = (f n−1 )0 , ce
qui implique que f n−1 est continue sur I (car dérivable) ainsi que toutes les dérivées d’ordre
≤ (n − 1). Par suite, si f est de classe C n , elle est de classe C k pour tout k ≤ n. Dire que
f est de classe C ∞ signifie qu’elle a des dérivées à tout ordre (on dit que f est indéfiniment
dérivable), ces dérivées étant alors continues.
Exercice 6.20 Calculer la dérivée n−ième de f lorsque f (x) est égal à
1
, sin x, ln |x|.
1+x
Supposons que f et g sont n fois dérivables sur I. Un raisonnement par récurrence simple
montre que f + g est n fois dérivable sur I et que (f + g)(n) = f (n) + g (n) . De façon analogue,
pour tout λ ∈ R, (λf ) est n fois dérivable sur I et (λf )(n) = λf (n) . Le calcul de la dérivée
n-ième du produit est un peu moins simple.
Proposition 6.3.2 (Formule de Leibniz)) Si f et g sont n fois dérivables sur I alors f g
est n fois dérivable sur I et :
(f g)
(n)
n X
n
f (k) g (n−k) .
=
k
k=0
Démonstration : On établit cette formule par récurrence. Elle est vraie pour n = 0 et n = 1.
En supposant la formule établie à un rang n ≥ 1, soit f et g deux fonctions (n + 1) fois
dérivables sur I. Les étapes de la démonstration sont les suivantes :
- On écrit la formule à l’ordre n (hypothèse de récurrence).
- On applique à chacun des (n + 1) termes de la somme la formule de dérivation d’un
produit.
- On effectue un changement d’indice permettant ensuite d’appliquer les formules
n
0
=
n+1
0
=
n
n
=
n+1
n+1
= 1 et
n+1
k
=
n
k−1
.
Par hypothèse, on a : (f g)
(n)
=
Pn
k=0
n
k
83
f (k) g (n−k) . On en déduit :
+
n
k
((f g)
(n) 0
)
n n X
X
n
n
(k+1) (n−k)
=
f
g
+
f (k) g (n−k+1)
k
k
k=0
k=0
n+1
n X
X
n
n
(l) (n−l+1)
=
f g
+
f (k) g (n−k+1)
l−1
k
l=1
k=0
n n+1
X
X
n
n
(k) (n+1−k)
f (k) g (n+1−k)
f g
+
=
k
k−1
k=1
# " n k=0 X
n
n
n
n
f (n+1) g (0)
f (k) g (n+1−k) +
+
f (0) g (n+1) +
=
n
k
k−1
0
k=1
# " n X
n+1
n+1
n+1
(k) (n+1−k)
(0) (n+1)
f (n+1) g (0)
+
f g
f g
+
=
n+1
k
0
k=1
n+1
X n+1
f (k) g (n+1−k)
=
k
k=0
ce qui établit la formule à l’ordre (n + 1).
Si g est n fois dérivable et ne s’annule pas sur I, un raisonnement par récurrence (le faire !)
permet de montrer que (1/g) est n fois dérivable sur I. Si de plus f est n fois dérivable sur I,
la formule précédente appliquée à (f /g) = f × (1/g) permet d’affirmer que (f /g) est n fois
dérivable sur I. Il convient toutefois de noter qu’il n’existe pas de formule simple donnant la
valeur de cette dérivée n-ième.
Exercice-type 6.21 Calculer, pour tout n ∈ N, la dérivée n-ième de la fonction φ définie sur R ∗+ par
φ(x) = x2 ln(x).
Solution. On pose f (x) = x2 et g(x) = ln x. On va calculer la dérivée n-ième de φ = f g à l’aide de la
formule de Leibniz. On remarque d’abord que les dérivées de f d’ordre ≥ 3 sont nulles. On calcule ensuite
par récurrence la dérivée k-ième de g.
On a g 0 (x) = (1/x), g 00 (x) = (−1/x2 ) et on établit par récurrence la formule suivante, pour tout entier
k>0:
(k − 1)!
g (k) (x) = ln(k) x = (−1)k+1
.
xk
Par application de la formule de Leibniz il vient alors, pour tout x > 0 et tout n ∈ N :
(φ)(n) (x) = x2 ln(n) x + 2nx ln(n−1) x + n(n − 1) ln(n−2) x.
Exercice 6.22 Calculer, pour tout n ∈ N, la dérivée n-ième de la fonction f définie sur R par f (x) =
(x2 + x + 1)e−x .
Exercice 6.23
1. Déterminer les réels a et b tels que :
f (x) =
1
a
b
=
+
.
(x + 1)(x + 2)
x+1 x+2
2. En déduire la dérivée n−ième de f sur son domaine de définition.
3. Retrouver ce résultat à l’aide de la formule de Leibniz.
Exercice 6.24 Soit f : R → R une fonction polynomiale de degré k et g une fonction de R dans R. Etant
donné un entier n > k, exprimer la dérivée n−ième de f g à partir de la formule de Leibniz.
Notations. Rappelons que dans ce chapitre I désigne toujours un intervalle de R non réduit
à un point. D’autre part, dans les quatre sections suivantes 6.4 - 6.7, a et b désignent deux
réels vérifiant a < b ; a et b ne sont pas nécessairement des points de I.
84
6.4
Extremums d’une fonction dérivable
Définition 6.4.1 Soit f une application de I dans R. Etant donné c ∈ I et α > 0 on pose
Vα =]c − α, c + α[ ∩ I.
On dit que f admet un maximum local au point c s’il existe α > 0 tel que, pour tout
x ∈ Vα , on ait f (x) ≤ f (c).
On dit que f admet un minimum local au point c s’il existe α > 0 tel que, pour tout
x ∈ Vα , on ait f (c) ≤ f (x).
On définit de façon analogue les notions de maximum local strict et de mimimun local
strict, les inégalités larges étant remplacées par des inégalités strictes.
On appelle extremum local (strict) un maximum local ou un minimum local (strict).
Proposition 6.4.2 Si f est dérivable sur I =]a, b[ et admet en un point c de I un extremum
local alors f 0 (c) = 0.
c
Démonstration Supposons par exemple que
f admet un maximum local en c. Pour
c < x < c + α on a f (x) − f (c) ≤ 0 et
(c)
donc τf,c (x) = f (x)−f
≤ 0. La limite à
x−c
droite en c de τf,c (x) est donc négative
ou nulle. Pour c − α < x < c on a encore
f (x)−f (c) ≤ 0 et donc cette fois τf,c (x) =
f (x)−f (c)
≥ 0. La limite à gauche en c de
x−c
τf,c (x) est donc positive ou nulle. Mais
puisque f est supposée dérivable en c, ces
deux limites doivent être égales : elle sont
donc nulles et f 0 (c) = 0.
x
Remarques.
a) Le fait que c soit un point de l’intervalle ouvert ]a, b[ est capital. Ainsi, l’identité f : x 7→ x
sur I = [0, 1] est strictement croissante. Elle admet un minimum local en 0 et un maximum
local en 1 (qui sont le minimum et le maximum de f sur I). Et cependant f 0 (0) et f 0 (1) ne
sont pas nuls !
b) La dérivée d’une fonction peut être nulle en un point sans que la fonction admette un
extremum en ce point. Par exemple, la fonction x 7→ x3 a une dérivée nulle en 0 et ne présente
ni maximum ni minimum en ce point.
c) Il peut exister des extremums locaux pour une fonction non dérivable ! Ainsi, la valeur
absolue x 7→ |x| admet un minimum en 0, point où elle n’est pas dérivable.
Exercice 6.25 Discuter, selon les valeurs des réels p et q, le nombre d’extremums locaux de la fonction
x 7→ x3 + px + q.
6.5
Théorème des accroissements finis
L’utilisation de la dérivée d’une fonction pour l’étude de ses variations repose sur le
théorème suivant, dont la démonstration sera étudiée au second semestre
Théorème 6.5.1 (des accroissements finis) Soit f une fonction continue sur le segment
[a, b] et dérivable dans l’intervalle ouvert ]a, b[. Il existe un élément c ∈]a, b[ tel que
f (b) − f (a) = (b − a)f 0 (c).
85
Interprétation
géométrique.
Le
segment de droite joignant le point
A(a, f (a)) au point B(b, f (b)) a pour
pente
B
f (b) − f (a)
= f 0 (c).
b−a
A
0
a
Le théorème des accroissements finis
affirme que, sous les hypothèses faites
sur f , il existe un point C(c, f (c)) où
la tangente à la courbe représentative
de f est parallèle à ce segment.
c b
Dans le cas particulier où f (a) = f (b) on obtient l’énoncé suivant :
Théorème 6.5.2 (de Rolle) Soit f : [a, b] → R une application continue. Supposons de
plus que f est dérivable dans ]a, b[ et telle que f (a) = f (b). Alors il existe c ∈]a, b[ tel que
f 0 (c) = 0.
Corollaire 6.5.3 (Inégalité des accroissements finis) Soit f une application vérifiant
les hypothèses du théorème des accroissements finis sur [a, b]. On suppose de plus qu’il existe
M ≥ 0 tel que, pour tout x ∈]a, b[, on a |f 0 (x)| ≤ M . Alors :
|f (b) − f (a)| ≤ M |b − a|.
Démonstration : Il suffit d’écrire l’égalité des accroissements finis et d’utiliser la majoration
|f 0 (c)| ≤ M .
Application aux fonctions contractantes : Si, dans l’inégalité des accroissements finis
précédente, la constante M est strictement inférieure à 1, alors la fonction f est contractante.
Cela est une propriété importante dans l’étude des suites récurrentes (cf. le chapitre 3).
6.6
Dérivée et sens de variation
Le théorème des accroissements finis, que nous avons admis, fournit un moyen d’étudier
le sens de variation des fonctions dérivables :
Proposition 6.6.1 (CNS de monotonie) Soit f une application dérivable de I dans R.
Alors :
1. f est croissante sur I si et seulement si f 0 (x) ≥ 0 pour tout x de I ;
2. f est décroissante sur I si et seulement si f 0 (x) ≤ 0 pour tout x de I ;
3. f est constante sur I si et seulement si f 0 est identiquement nulle sur I.
86
Démonstration :
1. Soit x ∈ I. Pour tout h 6= 0 tel que x + h ∈ I on a, puisque f est croissante :
f (x + h) − f (x)
≥ 0.
h
En faisant tendre h vers 0 il vient, sachant que f est dérivable, f 0 (x) ≥ 0. Inversement,
supposons f 0 (x) ≥ 0 pour tout x ∈ I. Etant donné x et x0 dans I avec x < x0 , le théorème des
accroissements finis appliqué à f sur [x, x0 ] assure qu’il existe c ∈]x, x0 [ tel que f (x0 ) − f (x) =
(x0 − x)f 0 (c). On en déduit aussitùt f (x0 ) − f (x) ≥ 0.
2. se démontre comme 1., mutatis mutandis.
3. est une conséquence immédiate de 1. et 2., une application constante étant à la fois
croissante et décroissante.
Exercice 6.26 Donner l’exemple d’une application définie et dérivable sur D = [0, 1]∪[2, 3], à dérivée nulle,
et non constante.
Proposition 6.6.2 (Condition suffisante de stricte monotonie) Soit f une application
dérivable de I dans R. Alors :
1. si f 0 > 0 sur I, f est strictement croissante ;
2. si f 0 < 0 sur I, f est strictement décroissante.
Démonstration :
1. Il suffit de reprendre la démonstration de la partie réciproque de la partie 1., dans la
proposition précédente : de f 0 (x) − f (x) = (x0 − x)f 0 (c) avec (x0 − x) > 0 et f 0 (c) > 0 on
déduit f (x0 ) > f (x).
2. Analogue à 1.
On prendra garde que la condition “ f 0 > 0 sur I ” n’est pas une condition nécessaire
pour que f soit strictement croissante sur I. Ainsi l’application f : x 7→ x3 est strictement
croissante sur R bien que f 0 (0) = 0.
Exercice 6.27 Soit f une fonction dérivable et croissante sur l’intervalle I =]a, b[. Montrer que pour que
f soit strictement croissante il faut et il suffit qu’il n’existe pas d’intervalle contenu dans I et non réduit à
un point sur lequel f 0 soit identiquement nulle.
Exemple 6.28 La fonction f définie sur R par f (x) = x + sin(x) est strictement croissante sur R. En effet,
f est dérivable et f 0 (x) = 1 + cos x ≥ 0 pour tout x ∈ R. De plus f 0 ne s’annule qu’aux points de la forme
π + 2kπ, k ∈ Z, donc f 0 ne s’annule sur aucun intervalle non réduit à un point.
6.7
Fonctions convexes
Exercice 6.29 Montrer que la fonction valeur absolue est convexe sur R.
Proposition 6.7.2 Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I de R. Si la dérivée f 0
de f est une fonction croissante (resp. décroissante), alors f est une fonction convexe (resp.
concave).
87
Définition 6.7.1 Soit une fonction
f définie sur un intervalle I de R et
Cf sa courbe représentative dans un
plan rapporté à un repère.
On dit que f est convexe (resp.
concave) sur I si, pour tout couple
de points distincts M = (u, f (u)) et
N = (v, f (v)) de Cf , le segment de
droite qui joint ces points est situé
au-dessus (resp. en dessous) de la
courbe Cf .
N
M
0
u
c
v
Démonstration :
Supposons que la dérivée f 0 est croissante. Soient u et v (u < v) deux points de I,
M et N les points de la courbe Cf d’abscisses u et v. La droite M N a pour équation
f (v) − f (u)
y = f (u) + m(x − u) où m =
.
v−u
Il faut montrer que la fonction g : x 7→ f (x) − [f (u) + m(x − u)] est négative sur
l’intervalle [u, v].
Par définition, on a g(u) = g(v) = 0
Donc, d’après le théorème de Rolle 6.5.2 il existe un point c ∈]u, v[ tel que g 0 (c) = 0.
Mais g 0 = f 0 − m est une fonction croissante sur I : elle est donc négative sur [u, c] et positive
sur [c, v]. La fonction g est donc décroissante sur [u, c] et croissante sur [c, v]. Comme elle est
nulle en u et v, elle est négative sur [u, v].
Corollaire 6.7.3 Supposons f deux fois dérivable sur I. Alors, si f 00 (x) ≥ 0 (resp. f 00 (x) ≤
0) pour tout x ∈ I, la fonction f est convexe (resp. concave).
Démonstration : Si f 00 est positive, alors f 0 est une fonction croissante d’après la proposition
6.6.1.
Remarque. En un point où la dérivée seconde f 00 s’annule et change de signe, la concavité
de la courbe Cf s’inverse : on dit que Cf présente un point d’inflexion.
Exemple 6.30 Soit n ∈ N et f (x) = xn , pour tout x ∈ R. La fonction f est indéfiniment dérivable et on
a f 00 (x) = n(n − 1)xn−2 . D’après le corollaire précédent la fonction f est convexe sur R si n est pair. Si n
est impair, la fonction f est convexe sur R+ et concave sur R− ; pour n ≥ 3 impair, elle admet en 0 un point
d’inflexion.
Exemple 6.31 Soit f (x) = sin x, pour tout x ∈ R. C’est une fonction de classe C ∞ sur R, telle que
f 00 (x) = −f (x). La fonction f est donc convexe sur les intervalles où elle est négative c’est-à-dire sur les
intervalles [(2k + 1)π, (2k + 2)π], k ∈ Z. Elle est concave sur les intervalles où elle est positive soit sur les
intervalles [2kπ, (2k + 1)π].
Exercice 6.32 Etudier la convexité des fonctions suivantes sur leur domaine de définition :
x 7→ ex ; x 7→ ln(1 + x2 ) ; x 7→ ln(ln x).
88
6.8
Plan d’étude d’une fonction
L’étude d’une fonction passe souvent par l’étude de ses variations et sa représentation graphique. Les logiciels de calcul actuels apportent pour cela une aide utile. Mais ils ne peuvent
toujours remplacer une étude théorique. Le plan d’une telle étude peut être celui-ci :
• Commencer par déterminer le domaine de définition D de f , les intervalles sur lesquels
f est continue, ceux sur lesquels elle est dérivable. Déterminer éventuellement le domaine
d’étude (utilisation de la parité, de la périodicité).
• Etudier (avec ou sans la dérivée) les variations de f . Déterminer les limites de f
aux bornes de son domaine de définition. Etudier les branches infinies, en particulier les
asymptotes (voir le cours du second semestre).
• Pour affiner le tracé de la courbe, déterminer les intervalles sur lesquels f est convexe,
les points d’inflexion, les points anguleux.
Exercice 6.33 Etudier la fonction f définie par f (x) =
x
.
ln x
Exercice 6.34 Etudier la fonction f définie par f (x) =
x−1
.
x ln x
Exercice 6.35 Etudier la fonction f définie par f (x) = 2x + 1 +
89
√
4x2 + 4x.

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