Polycopié

Optique ondulatoire : diffraction et interférence
CL
13 janvier 2017
Table des matières
I
Propagation et diffraction
5
1 Propagation des fréquences spatiales, le principe de Fresnel retrouvé
1.1 Position du problème, objectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Développement en ondes planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Principe de Fresnel retrouvé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Réponse impulsionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Formules historiques : Kirchhof puis Rayleigh-Sommerfeld . . . . .
2 Diffraction de Fresnel
2.1 Approximation de Fresnel (paraxiale) . . . . . . . . . . . .
2.2 Approximation de Fraunhofer et nombre de Fresnel . . . .
2.2.1 Nombre de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Les Lentille de Fresnel , exemple du réseau zoné de
2.3.2 Effet Talbot, exercice . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Faisceaux Gaussiens, exercice . . . . . . . . . . . .
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Soret (exercice) .
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13
13
14
16
16
16
16
16
3 Diffraction de Fraunhofer
3.1 Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Conditions d’obtentions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Exemples typiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Trou rectangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 2 fentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 N fentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4 Trou circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Fraunhofer au foyer d’une lentille . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Lentille parfaite comme objet de phase . . . . . . . . . .
3.4.2 Lentille parfaite pour se placer en régime de Fraunhofer
3.5 Filtrage spatial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Expérience d’Abbe (Démonstration expérimentale) . . .
3.5.2 Microscopie à contraste de phase . . . . . . . . . . . . .
3.5.3 Épurateur de faisceau . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.4 Speckle (tavelures) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3.6
3.7
II
Formation des images en éclairage cohérent, limite de diffraction
3.6.1 Fonction de transfert en éclairage incohérent spatialement
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.1 Réseau Blazé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.2 Réseau épais (Bragg) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.3 Méthode de Labeyrie, interférométrie des tavelures . . . .
3.7.4 Sonde hétérodyne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.5 Holographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Cohérence spatiale et temporelle
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19
19
20
20
20
21
1 Source incohérente
21
2 Cohérence spatiale
2.1 Contraste dans une expérience d’interférences avec les fentes d’Young et une source
étendue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Théorème de Van Cittert-Zernike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Cas simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 2 sources ponctuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Une source étendue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Largeur de cohérence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Application à l’interférométrie stellaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Il n’y a pas que les trous d’Young : Utilisation d’une source étendue pour une
expérience d’interférences à deux ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
3 Cohérence temporelle
3.1 Interférences à deux ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Expérience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Théorème de Wigner-Kinchine . . . . . . . . . . . .
3.2 Application à la spectro par TF . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Profil carré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Profil gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Profil Lorentzien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.4 2 Raies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.5 Franges en lumière blanche . . . . . . . . . . . . . .
3.2.6 raie d’absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.7 Résolution spectrale expérimentale . . . . . . . . . .
3.3 Corrélations d’intensité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Modèles de sources classiques . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Autocorrélations g1 et g2 . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Modèles d’élargissement par sauts de phase . . . . .
3.4.3 Longueur de cohérence temporelle et trains d’ondes
3.5 Effet de la cohérence spatiale, Expérience HBT historique .
3.6 Optique quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.1 Tomographie à cohérence optique . . . . . . . . . . .
3.7.2 Battements à 2 lasers . . . . . . . . . . . . . . . . .
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29
29
29
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2
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24
24
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26
26
28
III
LASERS
39
1 Cavité optique, Modes Lasers, Exemple
1.1 Résonances . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Exemple de la cavité Fabry-Perot . . . .
1.2.1 Fonction de transfert . . . . . . .
1.2.2 Grande finesse . . . . . . . . . .
1.2.3 Proche d’une résonance . . . . .
1.3 relaxation de la cavité . . . . . . . . . .
de
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la cavité Fabry-Perot
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39
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42
42
2 Milieu amplificateur
2.1 Coefficient d’Einstein . . . . . . . . . .
2.2 Amplification . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Exemple du pompage optique . . . . .
2.3.1 Milieu à deux niveaux . . . . .
2.3.2 Milieu à trois niveaux . . . . .
2.3.3 Milieu à quatre niveaux . . . .
2.3.4 Autres techniques de pompage
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47
3 Modèle de fonctionnement et de démarrage
3.1 Évolution du nombre de photons . . . . . . . . .
3.2 Évolution de l’inversion de population . . . . . .
3.3 Solutions stationnaires des équations couplées . .
3.4 Stabilité des solutions stationnaires et démarrage
3.5 Puissance de sortie . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4 Lasers impulsionnels à modes verrouillés
51
IV
53
Optique anisotrope
1 Propagation dans un milieu anisotrope
1.1 Tenseur permittivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Structure d’une onde plane . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Équation de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Construction géométriques pour résoudre le problème .
1.4.1 Ellipsoïde des indices . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Surface des indices, construction de Descartes . .
1.4.3 Surfaces d’ondes et construction de Huygens . .
1.4.4 Exemple d’un dispositif polarisant par diffraction
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: le
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prisme de
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Wollaston
2 Lames minces biréfringentes
2.1 Incidence normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Axes propres et lignes neutres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Milieu uniaxe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Champ à la sortie de la lame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.5 Application à l’analyse de polarisations linéaires, avec l’analyseur à pénombre
2.2 Interférences en lumière polarisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Conditions d’observation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
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53
53
53
54
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55
57
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60
60
60
60
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62
62
2.3
2.4
2.5
2.2.2 Lames minces en incidence normale. . . . . . . . . . . . . . . .
Mesure de la biréfringence de lames minces . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Mesure absolue mais grossière avec le compensateur de Babinet
2.3.2 Méthode de la lame quart d’onde (précise mais modulo λ) . . .
Éclairage convergent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Biréfringence induite par un champ électrique . . . . . . . . . . . . . .
3 Biréfringence circulaire
3.1 Origine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Action sur une polarisation linéaire . . . . . . . . . . . . .
3.3 Interférences en lumière polarisée circulairement . . . . .
3.4 caractérisation de lames . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Mesure du sens d’une lame . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 mesure de δnc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Exemple d’un dispositif utilisant la biréfringence circulaire
3.6 Biréfringence circulaire induite, effet Faraday . . . . . . .
3.6.1 Application importante : l’isolation optique . . . .
Résumé
4
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: le Bi-quartz
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63
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65
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de Soleil
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66
66
67
67
68
68
68
68
68
68
Première partie
Propagation et diffraction
1
Propagation des fréquences spatiales, le principe de Fresnel retrouvé
1.1
Position du problème, objectif
~
On connait E(x,
y, z = 0, t) sans s’intéresser à comment il est arrivé là. Par exemple un
objet semi-transparent éclairé par une onde plane qui pourrait être complètement décrit par une
~
transmission t(x, y) ∈ [0, 1]. Alors E(x,
y, z = 0, t) = E0 ~ux e−iωt × t(x, y)
~
On veut connaître E(z > 0)
On part des éq. de Maxwell :
~ ∧E
~ = − ∂B
∇
∂t
~ B
~ =0
∇.
~ E
~ =ρ = 0
∇.
(2)
~ ∧B
~ =µ0 (~j + ∂E ) = µ0 ∂E
∇
∂t
∂t
(4)
(1)
(3)
avec = 0 n2 et c2 0 µ0 = 1
∂2E
∂B
=∇ ∧
2
∂t
∂t
~ ∧ (∇
~ ∧ E)
~ = ∆E
~ − ∇.(
~ ∇.
~ E)
~
(1) ⇒ = − ∇
~
(3) ⇒ =∆E
(4) ⇒ µ0 ~ =
∆E
2
(5)
(6)
(7)
2~
n ∂ E
c2 ∂t2
(8)
~ B,
~ A
~ le potentiel vecteur
C’est l’équation d’onde qui marche pour toutes les composantes de E,
~
et le potentiel V . Si on considère des champs monochromatiques de la forme E(x,
y, z)e−iωt et
avec k = nω/c, on obtient l’équation de Helmoholtz qui est à la base de la théorie de la diffraction.
~ = −k 2 E
~
∆E
1.2
(9)
Développement en ondes planes
On effectue la TF bidimensionnelle de E(x, y, z) (une composante pour simplifier).
Z Z
E(x, y, z) =
Ẽ(kx , ky , z)ei(kx x+ky y) dkx dky
En injectant dans l’équation (9) on obtient
5
(10)
∂ 2 Ẽ
+ (k 2 − kx2 − ky2 )Ẽ = 0
∂z 2
(11)
et on voit deux cas apparaitre :
Si k 2 > kx2 + ky2 alors
√
√ 2 2 2
+ Be−iz k −kx −ky
√ 2 2 2
=Ẽ(kx , ky , z = 0)eiz k −kx −ky
Ẽ =Aeiz
2 −k 2
k2 −kx
y
car on regarde les termes propagatifs. Soit
Z Z
√ 2 2 2
E(x, y, z) =
Ẽ(kx , ky , z = 0)ei(kx x+ky y+iz k −kx −ky ) dkx dky
(12)
(13)
(14)
C’est à q
dire qu’on a décomposé le champ en une distibution d’ondes planes de vecteurs d’ondes
(kx , ky , k 2 − kx2 − ky2 ) qui ont tous pour module k. Il s’agit donc de les faire propager sur une
distance z et d’en faire la somme pour retrouver le champ propagé.
Mais si k 2 < kx2 + ky2 alors
Ẽ =E(kx , ky , z = 0)e−z
√
2 +k 2 −k 2
kx
y
(15)
et il n’y a pas de propagation. C’est un filtrage des fréquences spatiales (du motif t(x, y)).
1
Exemple d’un réseau sinusoïdal Prenons t = 12 (1 + cos( 2πx
d )). Calculer le champ en z > 0
On trouve une limite de propagation pour d = λ.
1.3
1.3.1
Principe de Fresnel retrouvé
Réponse impulsionnelle
Prenons Eδ (x, y, 0) = δ(x)δ(y)p
c’est à dire un point. Alors Ẽδ (kx , ky , z = 0) = 1/4π 2 et après
propagation on obtient, avec r = x2 + y 2 + z 2
1 iz√k2 −kx2 −ky2
e
4π 2 Z
√ 2 2 2
1
dkx dky eiz k −kx −ky ei(kx x+ky y)
et Eδ (x, y, z) = 2
4π
n √ 2 2 2o
1
= 2 TF eiz k −kx −ky
4π
1
kz −ikr
e
1+
=
2iπr2
ikr
Ẽδ (kx , ky , z) =
(16)
(17)
(18)
(19)
Ce dernier = est un peu complexe à montrer. C’est pourquoi on a eu historiquement des
formulations un peu alambiquées mathématiquement (voir plus loin). Voici des éléments de déikr
monstration : Considérons la fonction G(x, y, z) = e4πr . On sait que cette fonction est une fonction
R ∞ ik(x−α)
1
1. Il faut utiliser l’égalité δ(x − α) =
2π
−∞
e
dk
6
de green possible de l’équation de Helmholtz soit ∆G + k 2 G = δ(x)δ(y)δ(z) Soit en prenant la
TF triple
G̃(kx , ky , kz ) =
1/8π 3
k 2 − kx2 − ky2 − kz2
(20)
donc 2
eikr
1
= lim
4πr →0 8π 3
Z
dkx dky dkz
k2
ei(kx x+ky y+kz z)
− kx2 − ky2 − kz2 + i
(21)
On a rajouté un petit i ( > 0) à cause du problème des pôles qui étaient sur l’axe réel et qui
sont maintenant un un peu en dessus et un peu en dessous.
On veut réaliser l’intégration sur la variable kz et on utilise le théorème des résidus. avec le
contours composé de l’axe
q réel et d’un arc de cercle dans le demi plan des imaginaires positifs.
On entoure ainsi le pôle k 2 − kx2 − ky2 + i (toujours dans le cas où k 2 > kx2 + ky2 ) et on obtient :
√
2 −k 2 +i
iz k2 −kx
y
e
i(kx x+ky y)
dkx dky de
2iπ q
2 k 2 − kx2 − ky2 + i
√
Z
2 −k 2
iz k2 −kx
y
i
i(kx x+ky y) e
q
= 2
dkx dky de
8π
k 2 − kx2 − ky2
1
eikr
= lim
4πr →0 8π 3
Z
Et enfin en dérivant par rapport à z :
Z
√ 2 2 2
1 ik ∂r
1 ∂r
−1
dkx dky dei(kx x+ky y) eiz k −kx −ky
eikr = 2
− 2
4π r ∂z
r ∂z
8π
1
1
1
izk ikr
e = − Eδ (x, y, z)
1−
4π
ikr r2
2
kz ikr
1
e
−1
+
=Eδ (x, y, z)
2iπr2
ikr
(22)
(23)
(24)
(25)
(26)
C’est là que je ne trouve pas le même résultat que dans le Ersoy, Diffraction, Fourier Optics And
Imaging page 53. À un signe près mais c’est embêtant.
1.3.2
Cas général
Das le cas général,
E(x, y, z) =TF Ẽ(kx , ky , z)
n
√ 2 2 2o
=TF Ẽ(kx , ky , z = 0) × eiz k −kx −ky
n √ 2 2 2o
=TF Ẽ(kx , ky , z = 0) ⊗ TF eiz k −kx −ky
=E(x, y, 0) ⊗ Eδ (x, y, z)
Z
kz −ikR
1
0
0
0 0
= dx dy E(x , y , 0)
e
1+
2iπR2
ikR
(27)
(28)
(29)
(30)
(31)
2. pour montrer ceci, il faut effectuer la TF triple en coordonnées sphériques et utiliser également le théorème
des résidus
7
p
où R = (x − x0 )2 + (y − y 0 )2 + z 2 .
L’approximation de la zone de radiation , c’est à dire z λ permet de négliger le deuxième
terme dans la parenthèse et on obtient
Z
eikR
kz
dx0 dy 0 E(x0 , y 0 , 0) 2
(32)
E(x, y, z) =
2iπ
R
1.3.3
Formules historiques : Kirchhof puis Rayleigh-Sommerfeld
Ca commence avec le théorème de Green-Ostrogradski (ou flux-divergence)
I
Z
~ S
~=
~ dV
A.d
divA
S
(33)
V
~ = E ∇G
~ − G∇E
~ où G est une fonction de green et E le champ recherché,
et on prend pour A
qu’on connait en z = 0.
La surface considérée pour intégrer est constituée du plan S0 en z = 0, et d’une demi sphère
Sf ar très grande dans les z positifs. L’hypothèse de Sommerfeld est que l’intégrale sur Sf ar est
nulle puisque tous les champs décroissent comme 1/r2 . Il reste donc à gauche l’intégrale sur S0 .
Formule de Kirchhoff A droite on choisit pour G une origine en O le point d’observation qui
eik OP
2
est dans le volume intégré, soit G(P ) = 4π
OP . On a donc ∆G + k G = δ(P − O) et E qui vérifie
~ = Eδ(P − O) soit en intégrant, une partie de
Helmholtz (∆E + k 2 E = 0). Ce qui donne divA
droite égale à E(O). Mais on est toujours un peu embêté à gauche :
Z
∂G
∂E
E(O) =
E
−G
(34)
∂n
∂n
S0
Z
1
eik OP ikz
∂E
=
E−
(35)
4π S0 OP
OP
∂n
On peut aller plus loin en faisant un cas doublement simplifié :
– Le plan z = 0 est un écran opaque percé d’un trou. Il faut considérer que U et sa dérivée
sont nuls partout sauf dans le trou (ce qui mathématiquement est impossible, sinon U doit
être nul partout)
– ma source est ponctuelle dans le demi espace z < 0
Mais ça n’a pas beaucoup d’intérêt.
formule de Rayleigh-Sommerfeld
astucieuse :
Puisqu’on a le droit, on choisit une fonction de green
G(P ) =
eik OP
eik ÕP
−
4π OP
4π ÕP
(36)
où Õ est le symétrique de O par rapport au plan z = 0. O est toujours le seul pôle dans le volume
d’intégration donc la partie droite vaut toujours E(O). Par contre on a G(P ) = 0 sur tout le
8
plan z = 0 ce qui permet de simplifier la partie de gauche et on obtient :
Z
∂G
E(O) =
E(P )(
)
∂n
S0
Z
~
=
E(P )(∇G.(−~
uz ))
S0
#
"
Z
z
1 eik OP
z
1 eik ÕP
1
)
.(
)
E(P ) (ik −
)
.(−
) − (ik −
=
4π S0
OP OP
OP
ÕP ÕP
ÕP
Z
1
1 eik OP
z
=
E(P ) (ik −
)
.(
)
2π S0
OP OP
OP
et donc dans l’approximation de la zone de rayonnement OP λ :
Z
1
eik OP
E(O) =
E(P )
cos θ
iλ S0
OP
Z
z
eik OP
=
E(P )
iλ S0
OP 2
(37)
(38)
(39)
(40)
(41)
(42)
Donc on retrouve exactement la bonne formule dans l’approximation de la zone de rayonnement.
2
Diffraction de Fresnel
2.1
Approximation de Fresnel (paraxiale)
L’approximation de Fresnel concerne la distance à laquelle on voit l’objet par rapport à sa
taille. Elle est aussi appelée approximation paraxiale.
z xmax , ymax
(43)
C’est à dire aussi cos θ ' 1 et 1r h z1 on ne va considérer la variation du champ que dans la
phase car la phase varie en kr avec k ∼ 106 .
p
(44)
r = (x − x0 )2 + (y − y 0 )2 + z 2
r
(x − x0 )2
(y − y 0 )2
=z 1 +
+
(45)
2
z
z2
(x − x0 )2
(y − y 0 )2
'z 1 +
+
(46)
2z 2
2z 2
(x − x0 )2
(y − y 0 )2
'z +
+
(47)
2z
2z
Dans cette approximation l’équation (32) devient
Z
k(x−x0 )2
k(y−y 0 )2
eikz
E(x, y, z) =
dx0 dy 0 E(x0 , y 0 , 0)ei 2z ei 2z
iλz
ky 2 Z
kx2
ky 02
kyy 0
kx02
kxx0
eikz ei 2z ei 2z
=
dx0 dy 0 E(x0 , y 0 , 0)ei 2z ei 2z e−i 2z e−i 2z
iλz
(48)
(49)
Cette dernière intégrale se simplifie jusqu’à une simple transformée de Fourier dans le cadre
de l’approximation de Fraunhofer.
9
2.2
Approximation de Fraunhofer et nombre de Fresnel
Approximation de Fraunhofer, avec a la taille maximale de l’objet diffractant (dans le plan
z = 0) :
ka2
1
z
(50)
Ce qui simplifie la formule de la diffraction :
kx2
eikz ei 2z ei
E(x, y, z) =
iλz
ky 2
2z
Z
dx0 dy 0 E(x0 , y 0 , 0)e−i
kxx0
2z
e−i
kyy 0
2z
(51)
a²/2z
a
z
2.2.1
Nombre de Fresnel
Dont l’interprétation physique est à prendre avec des pincettes. Le nombre de Fresnel nous
dit si on est en régime de Fraunhofer ou pas. Vue du point d’observation, une zone de Fresnel est,
au niveau de l’objet diffractant (z = 0), une zone dont tous les points contribuent en phase à la
construction du champ. Par exemple sur la figure ci-dessus , l’objet contient 5 zones de Fresnels.
On est en régime de fraunhofer ssi l’objet rentre dans une seule zone de Fresnel. C’est à dire si
a2
le nombre zλ
est inférieur 1.
NF =
2.3
2.3.1
a2
zλ
(52)
Applications
Les Lentille de Fresnel , exemple du réseau zoné de Soret (exercice)
références : Richard Taillet Optique physique p. 172, Bruhat Optique p. 179.
√
Le réseau On trace N + 1 cercles de rayons ρn = R n. (N pair) On laisse le cercle central
transparent et on opacifie deux à deux les anneaux suivant et tout le reste du plan après le
N + 1ème cercle.
La diffraction On s’intéresse au champ sur l’axe optique (x = y = 0) et on se place dans
l’approximation paraxiale.
– Exprimer l’amplitude sur l’axe en fonction de t(ρ) et en coordonnées cylindriques.
– Décomposer l’intégrale en une somme d’intégrales portant sur chacune des zones transparentes. Montrer que l’intensité totale s’écrit alors comme une série géométrique que l’on
sait calculer.
– Exprimer l’intensité sur l’axe en fonction de z.
10
– Montrer qu’il y a un ensemble de points lumineux distribués sur l’axe optique qui sont
comme des foyers optiques du réseau zoné. Donner leurs positions zf,p .
– Pour zf,1 et zf,2 , interpréter la focalisation en terme de contribution des zones de Fresnel.
Autres lentilles de Fresnel Au lieu d’un objet transparent-opaque, on peut faire varier la
transmission continûment, et encore mieux on peut faire varier le déphasage entre 0 et 2π,
discrètement ou continûment aussi. C’est le principe des lentilles de Fresnel qui sont légères,
que l’on peut embarquer dans des satellites. Noter que dans ce cas là, il s’agit exactement de
l’hologramme d’un point.
2.3.2
Effet Talbot, exercice
2.3.3
Faisceaux Gaussiens, exercice
2 +y 2
w2
0
−x
on part de E(x, y, 0) = E0 e
et on applique la formule (32).
Z
02
02
− x +y
−ik
02
02
0
0
ik
E0 ikz ik x2 +y2
0
0
w2
2z
0
e 2z (x +y ) e z (xx +yy )
E(x, y, z) =
e e
dx dy e
iλz
Z
Z
02
− x 2 ik 02 −ik 0
E0 ikz ik x2 +y2
0
0
x
xx
w
2z
2z
z
0
e e
dx e
dy ...
e
e
=
iλz


k2 x2
1
s
1 − ik
4z 2
E0 ikz ik x2 +y2 
π
2
2z
w
 [...]
2z
0
=
e
e e
1
ik
iλz
−
2
2z
w
(53)
(54)
(55)
0
E0 ikz ik r2
=
e e 2z
iλz
=E0 eikz
1
w02
π
−
k2 r 2
4z 2
ik
2z
e
1
1 − ik
2z
w2
0
r2
ikr 2
w0 iξ(z) − w(z)
e
e
e 2R(z)
w(z)
(56)
(57)
avec
r
z
zR
2
πw
kw02
zR = 0 =
λ
2
Z
ξ(z) = arctan( )
r
zR 2
R(z) =z(1 + ( ) )
z
w(z) =w0
11
1+
(58)
(59)
(60)
(61)
3
Diffraction de Fraunhofer
3.1
Approximation
Approximation de Fraunhofer, avec a la taille maximale de l’objet diffractant (dans le plan
z = 0) :
z
a2
λ
E(x, y, z) =
(62)
eikz e
k
i 2z
(x2 +y 2 )
iλz
k
=
eikz ei 2z (x
iλz
2
+y 2 )
Z
k
0
0
dx0 dy 0 E(x0 , y 0 , 0)e−i 2z (xx +yy )
TF {E(x0 , y 0 , 0)} (kx =
ky
kx
, ky =
)
z
z
(63)
(64)
on remarque que l’intégrale est formellement une TF. Comme les préfacteurs sont des termes
de phase uniquement l’intensité au point d’observation est directement I = |TF{E(z = 0)}|2 .
Par la suite, on écrira indifféremment pour l’amplitude diffractée E(x, y, z) ou E(kx , ky ) ou
même E(α, β) puisque regarder un point de coordonnées (x, y) dans le plan z est équivalent à
ky
regarder l’amplitude diffractée dans la direction (kx , ky ) = ( kx
z , z ) = (k tan α, k tan β)
3.2
Conditions d’obtentions
– À l’infini, c’est à dire assez loin
– Au foyer d’une lentille ; on y reviendra bientôt
3.3
3.3.1
Exemples typiques
Trou rectangulaire
L’amplitude diffractée, en régime de Fraunhofer par une ouverture rectangulaire de dimension
a suivant x et b suivant y se calcule ainsi :
E0
iλz
3.3.2
Z
a/2
Z
b/2
dye−ikx x e−ikyy ∝
dx
−a/2
−b/2
a
kx a b
kx b
sinc(
) sinc(
)
2
2 2
2
(65)
2 fentes
Remarquons tout d’abord que appliquer un décalage à un objet diffractant, t(x, y) devenant
t(x − l, y) par exemple a pour effet de multiplier l’amplitude diffractée par un facteur de phase
eikx l .
Ainsi pour un motif composé de deux fentes de largeurs a et espacées d’une distance d (disons
que l’une est centrée en x = −d/2 et l’autre en x = d/2)
Avec 2 fentes :
kx d
kx a i kx d
a
)(e 2 + e−i 2 )
∝ sinc(
2
2
kx a
kx d
a
)2 cos(
)
∝ sinc(
2
2
2
12
(66)
(67)
3.3.3
N fentes
On a une série géométrique
figure piquée tous les xi =
3.3.4
2π
d i
N
a
kx a X ikx dn
∝ sinc(
)
e
2
2 n=0
(68)
a
kx a ikx d (1+N ) sin kx2dN
∝ sinc(
)e 2
2
2
sin kx2d
(69)
avec un pic de hauteur N 2 et de largeur 4π/dN .
Trou circulaire
1
iλz
Z
R
Z
rdr
0
2π
e−ikr cos ϕ ∝
0
premier zéro à kr R = 3.83 ce qui donne sin θ =
3.4
3.4.1
kr
k
R
J1 (kr R)
iλzkr
(70)
= 1.22 λd
Fraunhofer au foyer d’une lentille
Lentille parfaite comme objet de phase
x,y
R
Δ(x,y)
z
C
O
objet de phase Considérons un bout de verre placé parallèlement au plan z = 0 dont l’épaisseur est donnée par ∆(x, y) et dont l’indice optique est n. Dans le cas d’une lentille sphérique
plan-convexe de courbure R, l’équation de la face courbée est (z + R − ∆0 )2 + x2 +py 2 = R2 où ∆0
est l’épaisseur maximale, en (x,y)=(0,0). L’épaisseur est donc ∆(x, y) = ∆0 −R+ R2 − x2 − y 2 .
Le déphasage que la lumière subit à la traversée de cette lentille est φ(x, y) = k∆0 + k(n −
1)∆(x, y). Après un petit développement limité on aboutit à
ik
tl (x, y) ∝ e− 2f (x
2
+y 2 )
(71)
où f1 = (n − 1) R11 . C’est à dire que une onde plane est transformée en une onde sphérique
convergente vers un point (x, y, z) = (0, 0, f ). On s’en convainc par exemple en propageant ce
13
nouveau front d’onde sur une distance z = f ou en écrivant l’expression d’une onde sphérique
convergente.
Image par la lentille d’un point source sur l’axe
– On considère un point source en (xS , yS , −dS ).
– On progage jusqu’à z = 0. C’est ce qu’on avait appelé Eδ (x, y, dS ) qui vaut dans l’approximation paraxiale
E∝
1 2dik ((x−xS )2 +(y−yS )2 )
e S
iλdS
– On multiplie par tl (x, y)
– On re-propage jusqu’à z quelconque
Z
Z
ik
ik 02 ik 02 ik 0
1 ik (x2 +y2 )
(x0 −xS )2 − 2f
x
E∝
e 2z
dx0 e 2dS
e
e 2z x e 2z x x dy 0 [...]
iλz
Z
Z
x
1
1
1 ik (x2 +y2 ) 2dik (x2S +yS2 )
+ 2z
) ikx0 ( dS − x
ikx02 ( 2d1 − 2f
z)
S
S
e
dy 0 [...]
e 2z
e S
dx0 e
∝
iλz
– On remarque que pour z = di tel que
1
di
=
1
f
−
1
dS ,
(72)
(73)
(74)
on retrouve un point
yS
x
y
1 ik (x2 +y2 ) 2dik (x2S +yS2 ) xS
e 2z
e S
− )δ(
− )
δ(
iλz
dS
z
dS
z
xS z
yS z
∝ δ(x −
)δ(y −
)
dS
dS
E∝
(75)
(76)
Ce point a pour coordonnées ( ddi xSS , ddi ySS , di ) C’est le résultat des lois de Descartes de
l’optique géométrique et on retrouve au passage le grandissement di /dS .
3.4.2
Lentille parfaite pour se placer en régime de Fraunhofer
On revient un moment en diffraction de Fresnel et on regarde la figure de diffraction par
un objet de transmission t(x, y) à la distance z = f de la lentille, dans trois configuration
géométriques :
1 - objet accolé à la lentille
2
2
ik
– On progage jusqu’à z = f le champ E0 t(x, y)e− 2f (x +y )
ky
– On trouve, à un facteur de phase près la TF de t(x, y) prise en (kx , ky ) = ( kx
f , f )
2 - objet à une distance d devant la lentille
2
2
ik
– On progage jusqu’à z = d puis on multiplie par e− 2f (x +y )
14
x
x'
1
z
f
u
x
x'
2
z
d
f
x'
x
u
3
z
f-d
d
– Et on repropage sur z = f
E(x, y, f ) =
2
2
ik
eikf 2f
e (x +y )
iλf
Z
ik
dx0 dy 0 E(x0 , y 0 , 0+)e 2f (x
02
0
0
+y 02 ) − ik
f (x x+y y)
e
(77)
avec
ik
E(x0 , y 0 , 0) = e− 2f (x
02
+y 02 )
×
eikd ik (x02 +y02 )
e 2d
iλd
Z
ik
dudvE0 t(u, v)e 2d (u
2
0
0
+v 2 ) − ik
d (x u+y v)
e
(78)
ik(f +d)
E(x, y, f ) = −
E0 e
λ2 df
ik
e 2f (x
2
+y 2 )
Z
ik
dudvt(u, v)e 2d (u
2
+v 2 )
Z
ik
02
0 u
x
dx0 e 2f x e−ikx ( d + f )
Z
dy 0 [...]
(79)
– On a alors besoin de l’intégrale de Fresnel
2
2
ik
E0 eik(f +d) 2f
e (x +y )
E(x, y, f ) = −
2
λ df
R +∞
−∞
Z
2
2
ik
d
E0 eik(f +d) 2f
=
e (x +y )(1− f )
iλd
2
eiαx dx =
dudvt(u, v)e
pπ
αe
2
2
ik
2d (u +v )
Z
dudvt(u, v)e
ikux
f
e
r
ikvy
f
iπ/4
u
x 2
2πd iπ/4 ikd
e
e 2 (d+f )
k
r
y 2
v
2πd iπ/4 ikd
e
e 2 (d+f )
k
(80)
(81)
– On trouve, à un facteur de phase différent d’avant près la TF de t(x, y) prise en (kx , ky ) =
ky
( kx
f , f ). On remarque que pour d = f , les facteurs de phase s’annulent.
3 - objet à une distance f − d derrière la lentille
– Comme l’onde sortant de la lentille est une onde sphérique convergent en (0, 0, f ), le champ
2
2
ik
dans le plan de l’objet est E0 e− 2d (x +y )
2
2
ik
– On propage donc sur une distance z = d le champ E0 t(x, y)e− 2d (x +y )
15
ky
– On trouve, à un facteur de phase près, la TF de E0 (x, y) prise en (kx , ky ) = ( kx
d , d ), ce
qui donne un facteur d’ajustement de l’échelle de la TF, via la distance d.
Conclusion, et interprétation en rayons On obtient la TF de l’objet dans le plan focal de
la lentille, quelque soit la méthode. C’est lié au tracé des rayons pour la lentille, qui converti un
angle de rayon θ en un point dans le plan focal x = f tan θ = f kkx
3.5
Filtrage spatial
L’optique de Fourier est le support de plusieurs expériences importantes d’optiques
3.5.1
Expérience d’Abbe (Démonstration expérimentale)
épurateur
150
200
Ueye
cam
laser
3.5.2
Microscopie à contraste de phase
Considérons un objet de faible phase t(x, y) = eiφ(x,y) avec φ 1. Faisons sa transformée de
Fourier au foyer d’une lentille.
E0 t(x, y) 'E0 (1 + iφ(x, y))
TF →E0 [δ(kx )δ(ky ) + iTF {φ}]
(82)
(83)
On a toute la lumière non diffractée concentrée au centre de la figure de diffraction et en quadrature de phase avec la lumière diffractée. Si on déphase artificiellement cette composante de
π/4, par exemple en plaçant une pastille de verre au centre de la figure de diffraction (au foyer
de la lentille), on obtient la nouvelle figure
E0 [iδ(kx )δ(ky ) + iTF {φ}]
(84)
dont on peut effectuer la TF à l’aide d’une deuxième lentille. Et on obtient une image modifiée
de notre objet de départ
∝ E0 (1 + φ(x, y)) .
(85)
La variation de phase, invisible à l’oeil, a été transformée en une variation d’intensité !
3.5.3
Épurateur de faisceau
C’est un filtre passe bas.
3.5.4
Speckle (tavelures)
Une figure de speckle (tavelures en français), est créée par des diffuseurs désordonnés, observés
en champ lointain, soit dans la condition de Fraunhofer. C’est aussi une TF.
La taille de la figure dépend donc de la nature des diffuseurs, par contre la taille des grains
ne dépend que de la taille de la zone des diffuseurs éclairés (inversement proportionnellement).
16
3.6
Formation des images en éclairage cohérent, limite de diffraction
Fonction réponse impulsionnelle Pour un système imageur, la fonction réponse h est définie
comme reliant par une convolution le champ dans le plan image Ei (xi , yi ) au champ dans le plan
objet Eo (xo , yo ).
Z
Ei (xi , yi ) = dxo dyo Eo (xo , yo )h(xo , yo , xi , yi )
(86)
Si l’objet est un point source δ(xo − xS )δ(yo − yS ) alors l’image est exactement h(xS , yS , xi , yi )
d’où son nom de réponse impulsionnelle.
Cas d’une lentille avec pupille Pour la trouver dans le cas d’une lentille parfaite de focale
f accolée à un diaphragme de rayon R, il faut propager le champ issu d’une point source. On
considère donc un point source en (xS , yS , −dS ) soit E(x, y, z = −dS ) = E0 δ(x − xS )δ(y − yS ),
une lentille parfaite de focale f accolée à une ouverture P (xl , yl ) et on observe dans le plan
conjugué du point source, c’est à dire en z = di tel que d1i = d1S − f1 .
ik
2
2
ik
eikzS 2zik ((xl −xS )2 +(yl −yS )2 )
(x2 +y 2 ) − ik (x x +y y )
e S
P (xl , yl )e 2f (xl +yl ) e 2zi l l e zi i l i l
iλzS
(87)
Z
ik(zi +zS ) ik
z
x
z
y
2
2
2
2
ik
ik
ik
e
(x +y )
(x + i S )x −
(y + i S )y
−
(x +y )
=−
e 2zi i i e 2zS S S
dxl dyl e 2zi i zS l 2zi i zS l P (xl , yl )
λ2 zi zS
(88)
yi
xi
xs
ys
(89)
∝ P̃ kx = k( + ), ky = k( + )
zi
zs
zi
zs
h(xS , yS , xi , yi ) =
ik
eikzi 2z
(x2 +y 2 )
e i i i
iλzi
Z
dxl dyl
=h(xi − M xs , yi − M ys )
(90)
où M est le grandissement = − zdSi . Donc on a bien une convolution.
Z
Ei (xi , yi ) =
dxo dyo Eo (xo , yo )h(xi − M xo , yi − M yo )
(91)
Si la pupille est un diaphragme de rayon R , et que la source est sur l’axe en (0, 0, −d − S),
kR
i
on trouve E(x, y, di ) ∝ Rd
kr J1 ( di r)
Pouvoir de résolution Si on a deux points sources dans le même plan écartées de δx , leurs
figures de diffraction sont décalées dans le plan image de M δx et s’ajoutent en amplitude. On
ne peut les différencier, selon le critère de Rayleigh, que si le maximum d’une des taches de
diffraction est plus loin que le premier minimum (ici c’est un zéro) de l’autre. soit si
δx
di
di
>3.83
dS
kR
ds λ
δx >3.83
2πR
λ
λ
λ
δx >0.61 R = 0.61
= 0.61
sin
α
O.N.
d
(92)
(93)
(94)
s
C’est la limite de résolution qui est fixée par la longueur d’onde et l’ouverture numérique de la
lentille, ou plus généralement de l’instrument imageur.
17
Fonction de transfert en Amplitude (ou cohérente)
Ei =Eo ⊗ h
(95)
Ẽi =Ẽo × h̃
(96)
On définit H = h̃ come la fonction transfert en amplitude.
Ẽi =Ẽo × H
Z
1
H(kx , ky ) = 2
h(x, y)e−i(kx x+ky y) dxdy
4π
Z
kx ky
∝ P̃ ( , )e−i(kx x+ky y) dxdy
zi zi
Z
ky yzi )
kx xzi
∝ P̃ (u, v)e−i( k + k dxdy
∝P (−
zi kx
zi ky
,−
)
k
k
(97)
(98)
(99)
(100)
(101)
En pratique, un objet sinusoïdal de fréquence spatiale kx voit son contraste multiplié par
H(kx ) au travers de l’instrument.
Exemple avec un réseau sinusoïdal de transmission t = 12 (1 + cos( 2πx
d )). La lumière diffractée
kx
a deux ordres 1 et -1 dont l’angle est donnée par sin θ = k . On ne peut imager ce réseau que
si cet angle "rentre" dans la pupille, c’est à dire si sin θ < O.N.. Soit kx < 2π
λ O.N. c’est dire en
λ
>
.
terme de pas du réseau p = 2π
kx
O.N.
Illumination structurée En éclairant le même réseau non plus par une onde plane mais par
une illumination structurée de la forme E0 cos 2πx
dr on fait du mélange de fréquence spatiale.
Ainsi on se retrouve avec des fréquences spatiales de kx + 2πx
dr qui sortent de la pupille mais aussi
λ
kx − 2πx
qui
rentrent
dans
la
lentille.
En
choisissant
d
=
r
dr
O.N. on gagne ainsi un facteur 2 sur
la résolution.
3.6.1
Fonction de transfert en éclairage incohérent spatialement
Dans le cas d’un éclairage complètement incohérent, chaque point de l’objet est une source
incohérente de sa voisine. C’est donc les intensités qu’il faut sommer au niveau du plan image.
Z
Ii (xi , yi ) = Io (xo , yo )f (xi , yi , xo , yo )dxo dyo
(102)
En choisissant une impulsion Io = δ(xo − xs )δ(yo − ys ) on obtient dans le plan image la fonction
réponse associée Ii = f (xi , yi , xs , ys ) dont on sait, par la propagation de la lumière issue du point
source faite précédemment, qu’elle vaut
f (xi , yi , xs , ys ) =|h(xi , yi , xs , ys )|2
(103)
2
=|h(xi − M xs , yi − M ys )|
(104)
Io (xo , yo )|h(xi − M xo , yi − M yo )|2 dxo dyo
(105)
Donc dans le cas général :
Z
Ii (xi , yi ) =
18
On peut définir la fonction de transfert comme
I˜i (kx , ky ) =I˜o ⊗ F
(106)
2
F (kx , ky ) =TF{|h(u, v)| }
(107)
=H ⊗ H
∝[P ⊗ P ](−
(108)
zi kx
zi ky
,−
)
k
k
(109)
Donc le contraste n’est plus 0 ou 1 mais est entre les deux.
pupille carré
F
H
kx
kx
k tan α
pupille circulaire
2 k tan α
H
F
kr
kr
k tan α
2 k tan α
Éclairage partiellement cohérent (de Köhler DÉMO)
3.7
3.7.1
Exercices
Réseau Blazé
Un réseau est constitué d’une lame de verre sur laquelle sont gravés les motifs représentés
ci-dessus. Commençons par considérer un seul motif, de largeur a. L’angle de ce petit prisme est
noté α
– Déterminer l’expression de la transmittance t(x) du réseau.
– Ce motif est éclairé en incidence normale. Calculer l’intensité diffractée (à l’infini) par ce
motif dans une direction faisant un angle θ avec l’axe z. Que remarque-t-on ?
– Tracer l’allure de l’intensité diffractée par le réseau complet, en fonction de sin(θ). Comment
choisir l’angle de blaze α pour concentrer toute la lumière dans l’ordre 1 (le réseau étant
ici éclairé en incidence normale) ?
3.7.2
Réseau épais (Bragg)
– Dans le cas d’un réseau mince. Quelle est la relation entre θ et θ0 satisfaisant l’accord de
phase pour le faisceau transmis ?
19
0
– Montrer que l’amplitude diffractée par un "petit miroir" est de la forme sinc πL
λ (cos θ − cos θ )
– Pour quels angles cette amplitude est-elle maximale ? Interpréter simplement cette condition.
– Donner finalement les conditions sur θ et θ0 (dites conditions de Bragg) pour lesquelles
l’amplitude diffractée est non nulle.
– À partir de quelle valeur Lc de L passe-t-on d’un régime de diffraction de type réseau mince
à un régime de type réseau épais ?
3.7.3
Méthode de Labeyrie, interférométrie des tavelures
3.7.4
Sonde hétérodyne
3.7.5
Holographie
TD3 phytem
20
Deuxième partie
Cohérence spatiale et temporelle
1
Source incohérente
Une "source lumineuse" est généralement composée de plusieurs émetteurs, nombreux, séparés spatialement, qui n’émettent pas des ondes planes monochromatiques ! Il peut s’agir des
atomes d’un gaz se désexcitant à des temps aléatoires ou des électrons en mouvements chaotiques
émettant par radiation thermique... C’est donc éventuellement très aléatoire.
P
S
Pour un émetteur individuel l, un modèle d’émission est le suivant :
al (t)e−iωl t eiϕl (t)
(110)
ωl
avec 2π
= λc ∼ 6.1014 Hz
−15
soit une période de 2π
s = 1 fs qui est un temps très court comparativement au
ωl = 10
temps de réponse des photo-détecteurs les plus rapides (Tdet ∼ 0.1 ns)
Pour accéder à ce genre de temps courts expérimentalement, des techniques d’interférences
et de corrélations croisées sont nécessaires.
Nécessité d’une description statistique Vu le caractère très aléatoire des al (t), ωl et ϕl (t),
une théorie correcte requiert une description statistique des sources.
En effet, au point P , le signal temporel est complètement aléatoire et le spectre S(ω)
2
S(ω) = |E(ω)|
2
Z +∞
iωt E(t)e dt
=
(111)
(112)
−∞
présente une certaine largeur, qui est dû à la physique microscopique des émetteurs (on y reviendra).
E(t)
S(ω)
Δω
t
ω0
ω
Cependant, une difficulté est déjà présente : E(t) n’est pas généralement de carré sommable,
donc en prendre la TF pose un problème. Une meilleure définition pour la densité spectrale
de puissance (meilleure appellation que "spectre"), tenant compte de la nature statistique des
observations, est la suivante
2 +
*Z T
1 2
S(ω) = lim
E(t)eiωt dt
(113)
T →∞ T
−T
2
stat
21
Il est clair que la densité spectrale de puissance n’est pas la TF du champ. Si ça l’était, on aurait
Z p
S(ω)e−iωt dω
E(t) =
(114)
avec
S(ω) =
I0 − (ω−ω20 )2
e ∆ω
∆ω
(115)
2
− t2
√
=I0 πeiω0 t e τp
avec
τp2
= 2/∆ω
(116)
2
(117)
C’est à dire, une impulsion lumineuse, dont la longueur temporelle, pour un spectre couvrant
le domaine visible (400 à 800 nm), de 1 fs ! Ce qui ne correspond pas évidemment à l’observation
de la lumière émise par une lampe blanche classique, bien que ces deux signaux lumineux aient
le même spectre.
Intensité détectée Expérimentalement, c’est la moyenne temporelle, sur le temps caractéristique du détecteur, de l’intensité qui est détectée :
I(t) = hE(t)E ∗ (t)iTdet
*
+
XX
=
e−i(ωl −ωm )t al (t)am (t)ei(ϕl (t)−ϕm (t))
m
l
(118)
(119)
Tdet
L’hypothèse d’ergodicité, nous permet de changer la moyenne temporelle h iTdet en une moyenne
statistique h istat effectuée sur les valeurs possibles des variables aléatoires, comme dans notre
modèle les amplitudes al les phases ϕl . Un modèle est celui des phases totalement non-corrélées :
I(t) =
XX
l
=
X
m
D
E
e−i(ωl −ωm )t al (t)am (t) ei(ϕl (t)−ϕm (t))
stat
{z
}
|
1 si l = m
=δnm =
0 sinon
(120)
al (t)2
(121)
Il
(122)
l
=
X
l
Dans la prochaine partie, nous regarderons, pour une source quasi-monochromatique (c’està-dire lorsque tous les ωl sont égaux) l’influence d’une distribution spatiale étendue de la source.
Puis dans la partie sur la cohérence temporelle, nous regarderons les interférences en lumière
polychromatique, mais pour des sources ponctuelle. Dans la réalité, les sources classiques sont
toujours polychromatiques et étendues ...
2
2.1
Cohérence spatiale
Contraste dans une expérience d’interférences avec les fentes d’Young
et une source étendue
Chaque point d’une source étendue S crée sa figure d’interférence sur un écran. Au point
d’observation P , l’amplitude peut s’écrire comme la somme des amplitudes sur les deux trous T1
et T2 .
22
u
xs
x
T1
P
S
ds
T2
de
E(P ) = κ1 E(T1 )eik T1 P + κ2 E(T2 )eik T2 P
(123)
Le coefficient κ1,2 contient la figure de diffraction d’une fente ainsi que le facteur 1/T1 P . Mais
en première approximation on peut considérer κ1 = κ2 = κ.
Z
e−iωt
dSE(S)eiϕ(S) eik ST1
iλds S
D
E
2
I(T1 ) = |E(T1 )|
ZZ
D
E
0
0
=
dSdS 0 E(S)E ∗ (S 0 ) ei(ϕ(S)−ϕ(S )) eik(ST1 −S T1 )
Z S
= I(S)dS
E(T1 ) =
(124)
(125)
(126)
(127)
S
en toute rigueur il faudrait écrire I(T1 ) ∝ ...
D
E
2
I(P ) = |E(P )|
D
E
D
E
2
2
=κ21 |E(T1 )| + κ22 |E(T2 )| + κ1 κ2 hE(T1 )E ∗ (T2 )i eik(T1 P −T2 P ) + c.c.
p
=I1 + I2 + 2 I1 I2 < γ12 eikδ
(128)
(129)
(130)
avec δ = T1 P − T2 P et le degré de cohérence mutuelle :
Γ12
hE(T1 )E ∗ (T2 )i
√
=√
Γ11 Γ22
Γ11 Γ22
Γij = hE(Ti )E ∗ (Tj )i
γ12 =γ(T1 , T2 ) =
où
(131)
(132)
Dans le cas où I1 = I2 = I, |γ12 | donne directement la visbilité des franges d’interférences
I(P ) =2I (1 + |γ12 | cos(kδ + φ12 ))
(133)
En général
γ12 = √
1
ZZ
D
E
0
0
dSdS 0 E(S)E ∗ (S 0 ) ei(ϕ(S)−ϕ(S )) eik(ST1 −S T2 )
Γ11 Γ22
Z S
1
=√
I(S)eik(ST1 −ST2 ) dS
Γ11 Γ22 S
23
(134)
(135)
2.2
Théorème de Van Cittert-Zernike
Approximation paraxiale en nottant (u1,2 , v1,2 ) les coordonnées des trous T1 et T2 ,
p
ST1 = d2s + (xs − u1 )2 + (ys − v1 )2
(136)
x2s + ys2
u2 + u22
x s u 1 + y s v1
+ 1
−
2ds
2ds
2ds
δ =ST1 − ST2
=ds +
(137)
(138)
u2 + u22 − u22 − v22
xs (u1 − u2 ) + ys (v1 − v2 )
= 1
−
2ds
2ds
Z
xs (u1 −u2 )+ys (v1 −v2 )
eiψ
2ds
dS
γ12 = √
I(S)e−ik
Γ11 Γ22 S
eiψ
k −−→
γ12 = √
TF[IS ]
T1 T2
ds
Γ11 Γ22
(139)
(140)
(141)
C’est le théorème de Van Cittert-Zernike : la cohérence mutuelle entre deux points est la transformée de Fourier de la distribution d’intensité la source incohérente.
En pratique on peut se débarrasser des termes de phase quadratiques eiψ en utilisant une
source lointaine ou le schéma expérimental suivant :
u
xs
x
P
T1
S
2.3
2.3.1
f
T2
f
Cas simples
2 sources ponctuelles
xs
B
A
u
T1
x
P
T2
Penons pour simplifier T1 et T2 sur l’axe x en x = ±a/2 Les deux points sources donnent un
profil de source
I(S) = I0 δ(x − xA )δ(y − yA ) + I0 δ(x − xB )δ(y − yB ))
(142)
En applicant le théorème VCZ, le degré de cohérence mutuelle est donné par la TF de I(S)
24
ikax
ikax
1
− d B
− d A
S
S
γ12 =
+e
I0 e
2I0
ika(xA +xB
ka
−
2dS
=e
cos(
(xA − xB ))
2dS
ka
|γ12 | = cos(
(xA − xB ))
2dS
(143)
(144)
(145)
Autre méthode C’est ce qu’on aurait trouvé en additionnant les intensités des deux figures
de diffraction, issues des deux points sources.
I(P ) =IA (P ) + IB (P )
(146)
2
IA (P ) =|EA,T1 (P ) + EA,T2 (P )|
=I0 |e
ik(AT1 +T1 P )
+e
Dans l’approximation paraxiale AT1,2 + T1,2 P = ds +
IA (P ) =I0 |e
− ik
2 (
xA a
xa
dS + de )
ik
+e2
(
xA a
xa
dS + de )
(147)
ik(AT2 +T2 P ) 2
|
x2A +a2 /4
2ds
∓
xA a
2ds
(148)
+ de +
x2 +a2 /4
2de
|2
∓
xa
2de
donc
(149)
ka
xA de
=4I0 cos2
(x +
)
2de
dS
xA de
ka
(x +
)
=2I0 1 + cos
de
dS
xA de
ka
xB de
ka
I(P ) =2I0 2 + cos
(x +
) + cos
(x +
)
de
dS
de
dS

(150)
(151)
(152)



ka
kax
ka


=4I0 1 + cos
(xA − xB ) cos
+
(xA + xB ) 
2dS
de
2dS


{z
}|
{z
}
|
contraste
(153)
terme d’interférence
Application En faisant varier la distance entre les fentes (ou les trous) a, on remarque que le
contraste connait une première annuation (brouillage des franges d’Young) pour
ka1
π
(xA − xB ) =
2dS
2
(154)
soit pour un angle apparent entre les sources
θ=
xA − xB
π
λ
=
=
ds
ka1
2a1
(155)
Ainsi on peut remonter à θ ce qui fut utile pour mesurer la distance angulaire entre les deux
astres d’une étoile double.
λ
Avec un télescope, a0max = D ce qui donne une résolution θmin = 2D
.
25
2.3.2
Une source étendue
Considérons une source étendue sur une zone carrée de dimensions Lx × Ly et uniformément
intense :
I(S) =
I0
Lx
Lx
Ly
Ly
Θ[−
< xS <
].Θ[−
< yS <
]
Lx Ly
2
2
2
2
La position des tus T1 et T2 reste inchangée et on a d’après le théorème VCZ
Z
1
− ika x
γ12 =
I(xS , yS )e dS S
I0
kaLx
=sinc
2dS
(156)
(157)
(158)
On aurait trouvé la même chose en additionnant les intensités des figures d’interférences issues
de tous les points de la source :


γ12

kaLx

=2I0 1 + sinc
2dS

|
{z
}
contraste
kax
cos
de
|
{z
}




terme d’interférence
utilisation pour déterminer le diamètre apparent d’une source
λ
x
x
premier brouillage on a ka2d1 L
= π soit θ = L
dS = a1
S
2.4
(159)
On augmente a et au
Largeur de cohérence
Pour une source incohérente de taille L regardée à une distance dS , une expérience de type
trous d’Young donne un contraste non nul à condition que la distance a entre les deux trous soit
inférieure à θλS . C’est la largeur de cohérence :
LC =
λ
λdS
=
θS
L
(160)
L’expérience des trous d’Young est une mesure directe de la cohérence mutuelle entre deux
points.
2.5
Application à l’interférométrie stellaire
Dans leur expérience de 1920, Michelson et Pease ont utilisé un télescope de 2.5m de diamètre
et un jeu de 4 petits miroirs de 15.2cm de diamètre, montés sur un rail de 6.1m, pour déterminer
le diamètre angulaire de l’étoile bételgeuse (aussi appelée Alpha Orionis). Il s’agit en fait d’un
télescope de type cassegrain (système de miroirs de distance focale équivalente à 40.8m)
La résolution est limitée par la taille des petits miroirs M1 et M4, qui va fixer la taille de la
tache de diffraction au foyer du télescope. La distance a entre les miroirs M2 et M3 est fixée à
114 cm. La figure d’interférence va s’inclure dans cette tache.
26
M1
β
P
M2
a
b
M3
M4
Pour une onde plane venant de la direction β l’amplitude est
ika
E(P ) =E(M2 )e− 2f
x
ika
+ E(M3 )e 2f
− ika
2f x
x
(161)
ika
2f x
+ E0 eikb sin β e
ikb sin β
k ax
=2E0 e 2 cos
(
+ b sin β)
2 f
k
ax
I(P ) =4I0 cos2
(
+ b sin β)
2 f
ax
=2I0 1 + cos k(
+ b sin β)
f
=E0 e
(162)
(163)
(164)
(165)
Pour une étoile de diamètre angulaire Θ,
1
I(P ) =
θ
Z
Θ/2
dIβ (P )dβ
(166)
−Θ/2
=2I0 +
2I0
Θ
Z
Θ/2
h ikax
i
< e f +ikbβ dβ
(167)
−Θ/2
=2I0 + 2I0 sinc
kbΘ
2
cos
kax
f
(168)
En faisant varier b sur le rail de 7m,on obtient un premier brouillage à kb21 Θ = π soit une
λ
∼ 0.01” d’arc.
résolution minimale , pour λ =575nm, de Θmin = bmax
Le bon calcul est évidemment circulaire autour de l’axe du télescope, on obtient donc une
fonction de bessel au lieu du sinus cardinal. Michelson mesure un brouillage pour b=3.06m ce
qui donne un diamètre apparent de l’étoile égal à ΘαOr = 1.22 λb = 0.047” d’arc.
27
Synthèse d’ouverture Plus tard , cette méthode a été reproduite avec des expériences similaires dans les fréquences radios, avec deux antennes. C’est dans un certain sens plus facile car
le récepteur capte l’amplitude du champ électromagnétique directement et non pas l’intensité.
Puis on peut utiliser plusieurs (>2) antennes et c’est la naissance de la synthèse d’ouverture. Au
final on peut résoudre la forme de l’objet avec une résolution qui serait celle d’un télescope ayant
la taille du dispositif total ce qui atteint régulièrement 5km et même 1000 km.
Puis ça a été fait dans l’infrarouge avec deux télescopes. Puis Labeyrie a fait ça dans le visible.
2.6
Il n’y a pas que les trous d’Young : Utilisation d’une source étendue
pour une expérience d’interférences à deux ondes
Dans la plupart des expériences d’interférences à deux ondes, une source large est utilisée.
Dans certains cas, comme dans celui des trous d’Young, ceci nuit au contraste de la figure
d’interférence. Prenons par exemple un point S de la source. Il crée au point P d’observation
une intensité proportionnelle à cos2 (kδ) où δ est la différence de marche entre le chemin "1" et
le chemin "2" de l’interféromètre.
u1
S
1
P
u2
u 1'
1
u 2'
2
r'
P
S'
2
δ = (SP )1 − (SP )2
(169)
Pour un point S 0 de la source, séparé de S par le vecteur r~0 , une intensité cos(kδ 0 ) s’ajoute à la
première avec
δ 0 = (S 0 P )1 − (S 0 P )2
(170)
Les deux figures s’ajoute sans se brouiller si |δ − δ 0 | ≤ λ4 .
δ − δ 0 = [(SP )1 − (SP )2 ] − [(S 0 P )1 − (S 0 P )2 ]
0
0
= [(SP )1 − (S P )1 ] − [(SP )2 − (S P )2 ]
(171)
(172)
(173)
Or faisant le dessin du chemin optique "déplié", on peut expliciter :
S
r'
P
1
1'
S'
28
(S 0 P1 ) = SP ~u1 − r~0 q
= SP 2 + r02 − 2SP ~u1 .r~0
1−
=SP
~u1 .r~0
r02 − (~u1 .r~0 )2
+
SP
2 SP 2
(174)
(175)
!
r02 − (~u1 .r~0 )2
2 SP
(~u1 .r~0 )2 − (~u2 .r~0 )2
δ − δ 0 =(~u1 − ~u2 ).r~0 −
2 SP
[(SP )1 − (S 0 P )1 ] =~u1 .r~0 +
(176)
(177)
(178)
Les deux figures ne sont pas brouillées l’une par l’autre ssi |δ − δ 0 | < λ4 .
Pour une source étendue, une condition favorable est donc (~u1 − ~u2 ) ⊥ r~0 . C’est à dire que
la source doit être étendue dans la bonne direction. Dans l’exemple avec des trous d’Young
précédent, étendre la source dans la direction y n’est pas un problème. Par contre , pour la
λ
. Pour utiliser une source 3D, il faut ~u1 − ~u2 = ~0 c’est à
direction x on est limité à Lx < 4theta
dire une interféromètre à division d’amplitude.
3
3.1
3.1.1
Cohérence temporelle
Interférences à deux ondes
Expérience
Les ondes sont maintenant polychromatiques.
Dans un interféromètre à deux ondes comme un Michelson ou les fentes d’Young, on additionne les amplitudes lumineuses issues de 2 bras, dont l’une est retardée par rapport à l’autre,
avec un délai τ
D
E
2
I(τ ) = |E(t) + E(t + τ )|
(179)
D
E D
E
2
2
= |E(t)| + |E(t + τ )| + hE(t)E ∗ (t + τ )i + c.c.
(180)
D
E
D
E
2
2
En faisant l’hypothèse que la source est stationnaire, |E(t)|
= |E(t + τ )|
= I0 . Et en
appelant G1 (τ ) = hE(t)E ∗ (t + τ )i la fonction d’autocorrélation d’ordre 1, on a
I(τ ) =2I0 + <[G1 (τ )]
(181)
=2I0 (1 + <[g1 (τ )])
avec g1 (τ ) =
3.1.2
G1 (τ )
G1 (τ )
=
G1 (0)
I0
(182)
(183)
Théorème de Wigner-Kinchine
Z
G1 (τ ) =
S(ω)e−iωτ dω
G1 (τ ) =TF[S(ω)]
29
(184)
(185)
La fonction d’auto-corrélation est la transformée de Fourier de la densité spectrale de puissance.
Ceci se montre en partant facilement en partant de la "mauvaise" définition S(ω)
Z
Z
T F −1 [G1 (τ )] = dτ dtE(t)E ∗ (t + τ )eiωτ
(186)
Z
Z
= dtE(t) duE ∗ (u)eiω(u−t)
(187)
=E(ω)E ∗ (ω)
(188)
=S(ω)
(189)
... et un peu moins facilement en partant de la bonne définition (eq. (113)) de S(ω). Avec un
temps caractéristique T de détecteur fini.
2 +
*Z T
1 2
iωt (190)
E(t)e dt
ST (ω) =
T − T2
stat
*Z
2 +
1 ∞
T
T iωt =
E(t)Θ[− < t < ]e dt
(191)
T −∞
2
2
stat
Z
Z
0
1
T
T
T
T
=
(192)
E(t)Θ[− < t < ]eiωt dt E ∗ (t0 )Θ[− < t0 < ]e−iωt dt0
T
2
2
2
2
stat
Z Z
Z
1
T
T
T
T
0
∗ 0 iω(t−t0 )
0
=
dtdt E(t)E (t )e
Θ[− < t < ] Θ[− < t < ]
(193)
T
2
2
2
2 stat
ZZ
Z
1
T
T
T
T
=
dtdτ hE(t)E ∗ (t − τ )istat eiωτ Θ[− < t < ] Θ[− < t0 < ]
(194)
T
2
2
2
2
Z
Z
Θ[− T2 < t < T2 ]Θ[− T2 < t − τ < T2 ]
iωτ
= dτ G1 τ e
dt
(195)
T
(196)
où on a considéré que la statistique est indépendante du temps, c’est à dire hE(t)E ∗ (t − τ )istat =
G1 (τ ), quelque soit t. La deuxième intégrale est la convolution de deux fonctions portes. Elle
donne un triangle qui culmine à 1 en 0 et dont la base est longue de 2T . Cette fonction tend vers
la constante 1 lorsque T tend vers l’infini. Donc
S(ω) = lim ST (ω) = T F −1 [G1 (τ )]
T →∞
3.2
(197)
Application à la spectro par TF
On utilise l’interféromètre de Michelson ou de Max-Zender pour leur grande luminosité. L’interférogramme est mesuré au centre des "anneaux". Exemple de source quasi monochromatiques :
30
3.2.1
Profil carré
I0
∆ω
∆ω
Θ[ω0 −
< ω < ω0 +
]
∆ω
2
2
Z ω0 + ∆ω
2
I0
G1 (τ ) =
e−iωτ dω
∆ω ω0 − ∆ω
2
∆ω
−iω0 τ
=I0 e
sinc
τ
2
S(ω) =
il s’agit donc d’une fonction sinc de largeur (d’un zéro à l’autre)
2π
rapidement variable de période ω
0
3.2.2
(198)
(199)
(200)
4π
∆ω ,
modulé par un terme
Profil gaussien
Il s’agit d’une forme de spectre importante car elle correspond à l’élargissement par effet
Doppler d’une source.
I0 − (ω−ω20 )2
e ∆ω
∆ω Z
(ω−ω0 )2
I0
G1 (τ ) =
e− ∆ω2 e−iωτ dω
∆ω
√
∆ω 2 τ 2
=I0 e−iω0 τ πe− 4
S(ω) =
g1 (τ ) =e−iω0 τ e
(202)
(203)
2 2
− ∆ω4 τ
il s’agit donc d’une gaussienne de demi-largeur à 1/e
2π
variable de période ω
0
3.2.3
(201)
(204)
2
∆ω ,
modulé par un terme rapidement
Profil Lorentzien
Il s’agit aussi d’une forme de spectre importante car elle correspond à l’élargissement par
sauts de phases à tes temps aléatoire (chocs entre atomes par exemples).
S(ω) =
G1 (τ ) =
=
I0
∆ω
I0
∆ω
I0 e
1
1+
Z
2(ω−ω0 )
∆ω
1+
−iω0 τ Z
2
(205)
2
e−iωτ
2(ω−ω0 )
∆ω 2
2 dω
e−iαu
du
1 + u2
avec α = τ
(206)
∆ω
2
(207)
(208)
En supposant α > 0 On calcule l’intégrale I sur u par le théorème des résidus sur un contour
composé de l’axe réel parcouru dans le sens croissant et d’un demi-cercle dans le demi-plan des
−α
imaginaires négatifs. On entoure ainsi le pôle −i qui nous donne un résidu e−2i . On n’oublie pas
−α
un signe -1 dû au parcours horaire du contour et on trouve I = −2iπ e−2i = πe−α . Si α < 0 on
31
choisi un contour dans le demi-plan complexe supérieur et on trouve I = πe+α donc en général
I = πe−|α|
I0 e−iω0 τ −|α|
πe
2
g1 (τ ) =e−iω0 τ e−|α|
G1 (τ ) =
il s’agit donc d’une exponentielle décroissante de largeur à 1/e
2π
.
rapidement variable de période ω
0
3.2.4
(209)
(210)
1
∆ω ,
modulé par un terme
2 Raies
C’est le cas du spectre du sodium qui présente 2 raies dans le jaune à 589,00 et 589,59 nm ,
on note ω1 la pulsation de la première et δω l’écart entre les deux pulsations.
S(ω) =δ(ω − ω1 ) + δ(ω − ω1 − δω)
G1 (τ ) =e
−iω1 τ
=e
−iω1 τ
=2e
g1 (τ ) =e
3.2.5
(212)
−iδωτ
(213)
+e
1+e
−i(ω1 −δω/2)τ
−i(ω1 −δω/2)τ
on observe une modulation de période
2π
ω1
(211)
−i(ω1 +δω)τ
cos(δωτ /2)
(214)
cos(δωτ /2)
avec un brouillage régulier tous les δτ =
(215)
π
δω .
Franges en lumière blanche
En lumière blanche la largeur du spectre est du même ordre de grandeur que la fréquence
centrale. Donc on ne voit que quelques franges (4 ou 5). Ceci ets vrai avec un détecteur qui ne
voit que l’intensité lumineuse. Mais à l’oeil on en voit plus car on est sensible aux couleurs.
3.2.6
raie d’absorption
Lorsqu’on a un spectre large qui passe dans un milieu absorbant (un gaz ou autre) on peut
avoir ce genre de spectre large de δω avec un trou très fin de δω dedans.
(ω−ω )2
(ω−ω )2
I0
− ∆ω20
− δω20
S(ω) =
e
−e
∆ω
√
∆ω 2 τ 2
I0 δω −iω0 τ √ − δω2 τ 2
4
G1 (τ ) =I0 e−iω0 τ πe− 4 −
e
πe
∆ω
√
∆ω 2 τ 2
δω − δω2 τ 2
4
=I0 e−iω0 τ π e− 4 −
e
∆ω
(216)
(217)
(218)
2π
On a donc toujours la modulation rapide de période ω
mais l’enveloppe est une somme
0
2
δω
de deux gaussiennes , l’une d’amplitude 1 et de lageur ∆ω , e l’autre de faible amplitude ∆ω
2
et de grande largeur δω . Il peut sembler bizarre au premier abord qu’on récupère du signal en
enlevant une raie de lumière, mais il faut se rappeler que le G1 n’est que la partie modulée d’un
interférogramme expérimental. Là où G1 (τ ) vaut zéro on observe quand même de la lumière
constante.
32
3.2.7
Résolution spectrale expérimentale
Supposons qu’un spectre comprenne seulement une raie ultra-fine :
S(ω) =δ(ω − ω0 )
G1 (τ ) =e
(219)
−iω0 τ
(220)
Un interférogramme ne peut pas être enregistré de −∞ à +∞. On est limité par exemple
dans un michelson par la longeur du rail. On enregistre donc un interférogramme fini entre τ1 et
τ2 . On trouve donc
Sexp (ω) =T F [G1,exp ]
(221)
=F T [G1 (τ ) × Θ(τ1 < τ < τ2 )]
Z τ2
=
eiωτ e−iω0 τ
τ1
τ +τ
τ1 − τ2
i(ω−ω0 ) 1 2 2
sinc (ω − ω0 )
=e
2
(222)
(223)
(224)
Donc au lieu de trouver un dirac on trouve une fonction sinc dont la demi-largeur entre les
deux zéros est 2π
δτ . C’est ce qui donne la résolution expérimentale d’un spectromètre à TF.
Exemple pour un michelson : si on chariotte 1,5m (ce qui est déjà un peu dur en gardant
cπ
c
l’alignement) on a δτ = 2L
c et donc la résolution est δω = L soit δf = 2L = 100 MHz. Autour
de 800 nm, cela donne δλ = 0.21 pm.
3.3
Corrélations d’intensité
Tdet < 1/Δf
I(t)
τ
filtre Δf
<I(t)I(t+τ)>
I(t+τ)
On définit les corrélations d’intensité et sa renormalisée
G2 (τ ) = hI(t)I(t + τ )i
g2 (τ ) =
3.3.1
G2 (τ )
G2 (τ )
=
hI(t)i hI(t + τ )i
I02
(225)
(226)
propriétés
I(t)I(t + τ ) ≤ I(t)2
(227)
ceci correspond à l’inégalité de Cauchy-Schwartz et se montre en considérant que le polynôme
d’ordre 2 en λ, (I(t) + λI(t + τ ))2 , étant toujours positif ou nul, doit avoir un déterminant
négatif. On a donc la propriété suivante :
G2 (τ ) ≤ G2 (0)
(228)
g2 (τ ) ≤ g2 (0)
(229)
33
2
Et comme toujours I(t)2 ≥ I(t) ,
3.4
G2 (0) ≥ I02
(230)
g2 (0) ≥ 1
(231)
Modèles de sources classiques
On considère que les fonctions al (t) sont maintenant constantes, pour simplifier.
X
E(t) =
al e−iωl t eiϕl (t)
(232)
l
Pour le moment pas d’hypothèse sur l’évolution des ϕl (t) à part qu’elles sont toutes complètement
décorrélées entre elles.
3.4.1
Autocorrélations g1 et g2
G1 (τ ) = hE(t)E(t + τ )i
D
E
XX
al am e−i(ωl −ωm )t eiωm τ ei(ϕl (t)−ϕm (t+τ )
=
l
(233)
(234)
m
pour deux émetteurs différents , comme il n’y a aucune corrélation, ei(ϕl (t)−ϕm (t+τ ) = 0,
donc
D
E
X
G1 (τ ) =
a2l eiωm τ ei(ϕl (t)−ϕl (t+τ )
(235)
l
Si tous les émetteurs sont identiques alors
D
E
G1 (τ ) =N a20 eiω0 τ ei(ϕ(t)−ϕ(t+τ )
=N G1,1@
D
E
g1 (τ ) =eiω0 τ ei(ϕ(t)−ϕ(t+τ )
=g1,1@
(236)
(237)
(238)
(239)
La fonction de corrélation d’ordre 1 normalisée est la même pour un atome ou un ensemble
d’atomes !
En considérant toujours un ensemble de N émetteurs identiques mais décorrélés entre eux :
G2 (τ ) = hE(t)E ∗ (t)E(t + τ )E(t + τ )∗ i
*
+
X
=a40
ei(ϕl (t)−ϕm (t)+ϕn (t+τ )−ϕp (t+τ ))
l,m,n,m
34
(240)
(241)
Dans cette somme on distingue N 2 termes égaux à 1 pour lesquels les indices l = m et n = p.
Et N (N − 1) termes pour lesquels les indices l = p 6= n = m. Ces termes valent
E
ED
E D
D
(242)
ei(ϕl (t)−ϕl (t+τ ))−i(ϕn (t)−ϕn (t+τ )) = ei(ϕl (t)−ϕl (t+τ )) e−i(ϕn (t)−ϕn (t+τ ))
=g1 (τ )g1∗ (τ )
G2 (τ )
=a40
(243)
2
N + N (N −
1)g1 (τ )g1∗ (τ )
(244)
(245)
Soit pour un grand nombre d’émetteurs
G2 (τ ) =N 2 I02 1 + |g1 (τ )|2
g2 (τ ) =1 + |g1 (τ )|
(246)
2
(247)
Propriétés
1
I(t)2 =G2 (0) = N 2 I02 (2 − )
N
' 2 < I(t) >2
(248)
(249)
(250)
La distribution de probabilité de l’intensité est donnée par
P (I) =
1
e−I/<I>
<I>
(251)
Ce résultat se trouve comme une marche aléatoire puisque l’amplitude totale est la somme de N
|E|2
phaseurs complexes de modules a0 . On a donc P (|E|) =
3.4.2
2|E| − N a2
0
e
N a20
Modèles d’élargissement par sauts de phase
Ca y est on va faire un modèle sur les ϕl (t) . Cela correspond au cas physique de collisions
entre atomes dans une lampe à gaz basse température.
1 atome Considérons tout d’abords 1 seul atome et calculons g1 (τ ) = eiω0 τ ei(ϕ(t)−ϕ(t+τ ) . ϕ
est une variable aléatoire uniformément distribuée sur [0, 2π].
Version courte La probabilité pour avoir un choc entre t et t + dt est τdtc et ne dépend pas de
t.
Appelons Π(t, t + t0 ) la probabilité de ne pas avoir de choc entre t et t + t0 . Comme elle ne
dépend pas du temps Π(t, t + t0 ) = Π(0, t0 ) qu’on note Π(t0 ) .
Π(t + dt) =Π(t) × (1 −
dt
)
τc
⇒ Π(t) =e−t/τc
D
E
⇒ ei(ϕ(t)−ϕ(t+τ ) =1 × Π(t, t + τ ) + 0 × (1 − Π(t, t + τ ))
=P i(τ )
=e
(252)
(253)
(254)
(255)
−|τ |/τc
35
(256)
On a mis la valeur absolue à |τ | pour que le raisonnement marche même si τ ets négatif. Au
final
g1 (τ ) = eiω0 τ e−|τ |/τc
(257)
Ce qui correspond à un spectre Lorentzien.
g1 (τ ) = eiω0 τ e−|τ |/τc
(258)
Version correcte Appelons T le temps de la première collision après t =R0. T est une variable
∞
aléatoire dans [0, ∞], décrite par une densité de probabilité f normalisée ( 0 f (u)du = 1).
Π(τ ) =P (T > τ )
Z ∞
Z
=
f (u)du = 1 −
τ
(259)
τ
f (u)du
(260)
0
dΠ
= − f (τ )
dτ
Π(τ1 + τ2 ) =P (T > τ1 ) × P (T ∈
/ [τ1 , τ2 ])
(261)
(262)
On fait alors l’hypothèse que la probabilité de collision ets indépendante du temps ce qui donne
que P (T ∈
/ [τ1 , τ2 ]) = Π(τ2 ).
Π(τ1 + τ2 ) =Π(τ1 )Π(τ2 )
⇒ Π(τ ) =e
Cτ
(263)
avec C ∈ R
(264)
Cτ
(265)
f (τ ) = − Ce ⇒ C < 0
Z ∞
Z ∞
< T >=
τ f (τ )dτ = [−τ eCτ ]∞
−
eCτ dτ
0
0
0 cτ ∞
−1
e
=
qu’on note τc
=
C 0
C
(266)
(267)
Donc
Π(τ ) =e−τ /τc
1
f (τ ) = e−τ /τc
τC
(268)
g1 (τ ) =eiω0 τ e−|τ |/τc
(270)
−2|τ |/τc
(271)
(269)
Pour N 1 atomes
g2 (τ ) =1 + e
Ce qui est une fonction qui culmine à 2 en τ = 0. On appelle ça le bunching.
Remarque : impératif pour le mesurer d’avoir un détecteur plus rapide que τC ou à l’inverse
d’avoir une source plus fine que 1/Tdet
Modèles d’élargissement Gaussien par effet Doppler
g1 (τ ) =e−iω0 τ e−τ
g2 (τ ) =1 + e
qui culmine aussi à 2 en τ = 0
36
2
/τc2
−2τ 2 /τc2
(272)
(273)
3.4.3
Longueur de cohérence temporelle et trains d’ondes
2π
Pour une source large de δω, c’est τC = ∆ω
.
Cela peut être vu comme la longueur des trains d’onde dans le modèle des trains d’ondes...
3.5
Effet de la cohérence spatiale, Expérience HBT historique
En 1956, Mr. Hanbury-Brown et Mr. Twiss utilise le bunching pour mesurer le diamètre
apparent d’une source incohérente large. Tout d’abord dans les ondes radios sur l’étoile Sirius.
Puis en laboratoire en otique.
1
,
Dans le plan des détecteurs, pour une photographie du champ acquise en moins de τc = ∆ω
le speckle crée par les émetteurs incohérents de la source. Tant que les deux détecteurs restent
dans la même tâche de speckle, s < lc , on a une source spatialement cohérente et on peut mesurer
du bunching. Sinon, non !
corrél.
S
3.6
Optique quantique
La théorie de la photodétection nous donne :
g2 (τ ) =
P (τ |0)
P (0)
(274)
où P (τ |0 est la probabilité de détecter un photon en t = τ sachant qu’un photon a été détecté
en t = 0. Et P (0) est la probabilité moyenne de détecter un photon.
horloge
start
stop
N fois,
histogrammes
Exemple d’un système à deux niveaux Notons σe (t) et σf (t) les probabilités d’occupation
des niveaux |ei et |f i.
Le sytème peut passer de l’état fondamental à l’état excité par un sytème de pompage (non
décrit) qui est modéliser par un taux de pompage fixe à W , et le système se désexcite spontané-
37
|e
>
W
|f
Γ
>
ment avec un taux Γ :
dσe
=W σf − Γσe
dt
=W (1 − σe ) − Γσe
= − (Γ + W )σe + W
σe (t) = Ae−(W +Γ)t +
W
W +γ
(275)
(276)
(277)
(278)
(279)
En considérant que la probabilité de détection d’un photon est proportionnelle à la probabilité
d’émission d’un photon, c’est à dire la probabilité de désexcitation Γσe (t), alors l’expression
"quantique" du g2 devient
g2 (τ ) =
Γσe (τ |0)
Γσe (∞)
(280)
σe (τ |0) signifie σe (τ ) avec la condition initiale σe (0) = 0 puisqu’une désexcitation a été observée
en t = 0.Et σe (∞) signifie la valeur stationnaire de σe (t).
W 1 − e−(W +Γ)τ
W +γ
W
σe (∞) =
W +γ
σe (τ |0) =
g2 (τ ) =1 − e−(W +Γ)τ
(281)
(282)
(283)
qui s’annule aux temps courts. On observe donc un dégroupement de photons aux temps courts
(anti-bunching)
3.7
Exercices
3.7.1
Tomographie à cohérence optique
3.7.2
Battements à 2 lasers
38
Troisième partie
LASERS
LASER est un acronyme qui signifie Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation.
Cela désigne à la fois un état particulier de la lumière et l’instrument qui la produit.
Le LASER est un des grands succès de la mécanique quantique (avec la chimie) qui a révolutionné la science (spectroscopy, optique non-linéaire, ...) et l’industrie (fabrication, détection,
télé-communication, information, ... )
Recette Les deux ingrédients principaux sont :
– Une cavité optique
– Une amplification
La cavité optique est associée à une (ou plusieurs) résonance(s) du champ électromagnétique que
l’on peut voir comme une recirculation de la lumière, ou encore un stockage de l’énergie lumineuse.
Cette cavité a forcément des pertes (ne serait ce que celle qui est utile comme faisceau de sortie)
ce qui a tendance a faire perdre des photons à la cavité.
L’amplification est réalisé par un milieu amplificateur aussi appelé milieu à gain, qui exploite
le phénomène d’émission stimulée de la lumière , introduit par Einstein. L’amplification tend à
faire croitre le nombre de photon dans la cavité, mais elle sature nécessairement.
On doit le démarrage du laser à une situation où les gains sont supérieurs aux pertes. En
régime stationnaire, à cause de la saturation de l’amplification, gain et pertes se compensent
exactement.
Prémices et premières réalisations
– 1950 : Alfred Kastler fait l’expérience du pompage optique : réalisation d’un milieu à gain.
– 1953 : Charles Townes réalise un MASER (M pour microwave, 24GHz, λ ∼1cm). Le gain
est donné par des molécules de NH3 .
– 1960 : Théodore Maiman fait fonctionner le premier laser (ions Cr3+ dans du ruby et
pompage optique par une lampe flash).
– 1961 : Ali Javan fait fonctionner le premier laser continu (He-Ne excité par décharges
électriques)
– 1962 : Robert N. Hall fait fonctionner la première diode laser (jonction semi-condutrice
pompée électriquement)
1
1.1
Cavité optique, Modes Lasers, Exemple de la cavité FabryPerot
Résonances
t
Une résonance est une solution de l’équation d’onde de la forme E(x, y, z)e−iωt− τ en l’absence
d’amplification. Il s’agit déjà d’un problème complexe dans presque tous les cas. Il faut considérer
les conditions aux limites et la géométrie 3d de a cavité. De plus, dans le milieu amplificateur
, le gain se traduit par un indice complexe ! k = kr + iki . En effet lors de la propagation d’un
faisceau, E0 eikz = E0 eikr z e−ki z est bien une amplification si ki < 0.
39
Cavité linéaire fabry-pérot on a des modes longitudinaux L ' 2pπλp qu’on traite en détail
ci-dessous. Avec un miroir sphérique et un plan on a aussi des modes transversaux. Un mode est
ainsi défini par trois entiers, un longitudinal et deux transversaux.
Cas courant d’une barrette A cause de l’indice élevé (∼ 3) du semi-conducteur qui constitue
le milieu à gain, la cavité est directement crée par les réflexions à la surface de la barrette qui
est clivée.
Cavités circulaires, éventuellement fibrées Pratique car le verre même des fibres peut
être dopé en ions pour amplifier.
Cas des microcavités en verre semiconducteurs ou polymères pratique car on peut
mettre le gain dedans sous forme de dye ou d’ions. L’indice peut être beaucoup plus faible avec
pour conséquences :
– modes 3D favorisés car les FP ne le sont pas
– utilisent les réflexions totales interne
– exemple classique des WGMs
1.2
Exemple de la cavité Fabry-Perot
Ei
t1
t1
Er
r1
-r1
E+
t2
r2
E-
t2
Et
-r2
L
Une cavité laser est composée de deux miroirs face à face, caractérisés par leurs coefficients
de réflexion et de transmission en amplitude, qu’on a choisis réels.
E+ (0) =t1 Ei − r1 E− (0) sur le premier miroir,
(284)
E− (0) =eikL E− (L) et
(285)
E+ (L) =e
ikL
E+ (0)
à cause de la propagation.
E− (L) =r2 E+ (L) et
(286)
(287)
Et =t2 E+ (L) sur le deuxième miroir
40
(288)
1.2.1
Fonction de transfert
On appelle fonction de transfert en transmission la grandeur qui dépend de la fréquence :
Et
Ei
Et =t2 eikL E+ (0)
Ft =
ikL
(289)
(290)
ikL
t1 Ei − r1 e E− (L)
=t2 e
r2
=t2 eikL t1 Ei − r1 eikL Et
t2
Ft =
t1 t2 eikL
1 + r1 r2 e2ikL
(291)
(292)
(293)
En intensité, il faut prendre le module au carré de la fonction transfert :
2
t21 t22
1 + r12 r22 + r1 r2 (e2ikL + e−2ikL )
T1 T2
=
2
2
1 + r1 r2 + 2r1 r2 cos(2kL)
T1 T2
=
1 + r12 r22 + 2r1 r2 (2 cos2 (kL) − 1)
T1 T2
=
(1 − r1 r2 )2 + 4r1 r2 cos2 (kL)
A0
=
4F 2
1 + π2 cos2 (kL)
|Ft | =
2
|Ft |
2
|Ft |
2
|Ft |
2
|Ft |
(294)
(295)
(296)
(297)
(298)
√
π r r
1 2
T1 T2
où A0 = (1−r
2 et la finesse de la cavité est F = 1−r r . Les résonances de la cavité sont
1 r2 )
1 2
observée pour les vecteurs d’ondes kp tels que cos(kp L) = 0. C’est à dire pour kp L = (p + 21 )π.
c’est à dire aussi 2L = λ(p + 12 ).
p
t1 t2
t1
r1 −r2
Alors on a Et = i(−1)
1−r1 r2 Ei , E+ (0) = 1−r1 r2 Ei et Er = 1−r1 r2 Ei . Si les miroirs sont
identiques Et = i(−1)p Ei , E+ (0) = Et1i et Er = 0
Intervalle spectral libre La fonction de transfert est donc une fonction périodique de la
2π
pulsation lumineuse, de période ωISL = πc
L = τ0 , qu’on apelle l’intervalle spectral libre, où
2L
τ0 = c est le temps de parcours de la cavité pour la lumière.
Conservation de l’énergie On peut remarquer que dans tous les cas, Ir + It = Ii . On a
éventuellement, suivant λ, toute la lumière réfléchie ou toute transmise (même avec des miroirs
très réfléchissants) mais pas d’absorption.
41
1.2.2
Grande finesse
Supposons que les miroirs sont très réfléchissants c’est à dire T1 , T2 1.
p
1
r1,2 = 1 − T12 = 1 − T12
2
2π
F=
T1 + T2
4T1
A0 =
(T1 + T2 )2
1.2.3
(299)
(300)
(301)
Proche d’une résonance
Plaçons nous à une pulsation proche d’une pulsation de résonance : ω = ωp + δω telle que
ω L
cos( pc ) = 0 et δωL
c 1.
ωp L δωL
δωL
+
) ' (−1)p+1
c
c
c
A
0
|Ft |2 =
2 L2
2
1 + 4F
2
π c2 δω
cos(kL) = cos(
(302)
(303)
Proche d’une résonance et pour une cavité de grande finesse, la fonction transfert prend la forme
T1 +T2
cπ
ISL
= ωF
d’une lorentzienne de largeur à mi-hauteur δωcav = 2 2F
L =
τ0
Ainsi la finesse est expérimentalement obtenue par :
F=
1.3
ωISL
∆λ
∆ν
=
=
δωcav
δν
δλ
(304)
relaxation de la cavité
L’énergie volumique d’une onde électromagnétique et le flux d’énergie sont respectivement :
1
u = 0 |E|2
(305)
2
1
(306)
< Π >= 0 c|E|2
2
Supposons que la cavité ait une longueur L et que le faisceau occupe de manière homogène
une section Σ qui est aussi la section d’intérêt des miroirs. L’énergie "stockée" dans le volume
ΣL est
U (t) = u+ ΣL + u− ΣL ' 2u+ ΣL
(307)
à cause de la transmission des miroirs, il sort par unité de temps dt une énergie < Π > Σdt×T1 + <
Π > Σdt × T2 = uc Σdt(T1 + T2 ) soit :
En l’absence de champ incident,
U (t + dt) =U (t) −
U
dt(T1 + T2 )
2L
(308)
dU
c(T1 + T2 )
=−
U
dt
2L
U (t) = U (0)e−
(309)
c(T1 +T2 )
t
2L
On a donc un temps de vie de l’énergie das la cavité τcav =
42
(310)
2L
c(T1 +T2 )
=
τ0
T1 +T2
=
F
ωISL
=
1
∆ωcav
2
Milieu amplificateur
2.1
Coefficient d’Einstein
Considérons N atomes identiques à deux niveaux et leur distribution dans ces deux niveaux
n1 = NN1 et n2 = NN2 .
E2
ħω0
E1
Les phénomènes qui peuvent affecter cette distribution sont les suivants :
Émission spontannée
caractérisée par un taux fixe dans le temps A21
dN2
= −A21 N2 (t)
dt spon
(311)
Émission stimulée sous l’effet de l’éclairement d’une onde par exemple plane, de fréquence ν
et d’énergie volumique u
dN2
= − W21 N2 (t)
(312)
dt stim
W21 =B21 ug(ν − ν0 )
(313)
où B21 est le coefficient d’Einstein de l’émission stimulée et g(ν − ν0 ) un profil spectral sans
dimension. Une grandeur usuelle pour décrire cette interaction onde-matière est la section efficace
d’émission stimulée :
W21 =σ21 φ
où φ =
cu
hν
(314)
est le flux de photons en s−1 m−2 .
Absorption
dN2
dt
=W12 N2 (t)
(315)
W12 =B12 ug(ν − ν0 )
(316)
stim
où B12 est le coefficient d’Einstein de l’absorption.
Lien entre les coefficients
B12 =B21
(317)
3
3
A 8πhν
~ω
=
=
B (c/n)3
π(c/n)3
(318)
Ceci a été postulé
par Einstein à partir de l’observation du spectre du corps noir , à l’équilibre
thermodynamique
N2
N1
=e
hν0
BT
−k
.
43
Puis prouvé par l’optique quantique
(319)
B21
(320)
A21
2.2
2
2π 2 e2 ˆ
u
.
<
2|
~
r
|1
>
~
k
h2
2
2π 2 e2 ˆ|2 >
u
.
<
1|
~
r
=
= B12
~
k
h2
2 3 3 2e n ω0 2
=
< 1|~rˆ|2 >
3
3hc
B12 =
(321)
Amplification
Reprenons l’exemple simplifié du faisceau cylindrique, faisant un passage dans un milieu
amplificateur de longueur LA et appelons φ(z) le flux surfacique de photon.
Σ
dz
0
L
z
<Π>
P
=
(322)
~ω
Σ~ω
Dans le petit cylindre situé entre z et z + dz, un certain nombre de photons sont absorbés et
d’autres sont émis par émission stimulée.
φ(z) =
L’absorption se fait par les atomes situés dans l’état d’énergie E1 . Il y en a en moyenne N1 Σdz
VA
où N1 est le nombre total d’émetteurs dans l’état bas de tout le volume VA = ΣLA du milieu
amplificateur. En z+dz, le flux de photon (nombre de photon par unité de temps) a diminué du
nombre de photon par secondes absorbés :
d(Σφ)abs = W12
N1 Σdz
N1 Σdz
= σφ(z)
VA
VA
(323)
L’émission stimulée se fait par les émetteurs dans l’état haut. Le nombre de photon émis
par unité de temps est
d(Σφ)e.s. = φ(z)
N2 Σdz
σ
VA
(324)
Au total,
Σφ(z + dz) =Σφ(z) + φ(z)
(N2 − N1 )Σdz
σ
VA
dφ ∆N σ
=
φ(z) = gφ(z)
dz
VA
φ(z) = φ(0)egz
44
(325)
(326)
(327)
C’est la loi de Beer-Lambert (généralisée au cas amplificateur si ∆N > 0) avec un gain linéaire
σ
g = ∆N
VA . Dans le cas d’un faible gain, φ(L) = φ(0) + φ(0)gL. On a réellement une amplification
que si ∆N > 0 c’est ce qu’on appelle une inversion de population.
2.3
Exemple du pompage optique
Une façon de réaliser l’inversion de population est d’utiliser le phénomène de l’absorption
et d’utiliser une source de lumière (elle-même laser ou une source classique) pour pomper les
émetteurs dans un état haut. Cela est plus ou moins aisé suivant la structure électronique de ces
émetteurs :
2.3.1
Milieu à deux niveaux
N2
N/2
W
W
Γ
W
ΔN
-N/2
-N
Ṅ2 = W N1 − W N2 − ΓN2
(328)
En régime stationnaire Ṅ2 = 0, et comme N = N1 + N2 est fixe,
W
N
2W + Γ
Γ
N <0
∆N = −
2W + Γ
N2 =
(329)
(330)
Donc le niveau haut reste toujours moins peuplé que N/2 et il n’y a pas d’inversion de population
possible. cela est dû à l’émission stimulée qui est excatement aussi efficace que l’absorption.
2.3.2
Milieu à trois niveaux
|e
>
W
|f
Γe
W
|i
>
>
Γi
L’inversion qui nous intéresse est ∆N = Ni − Nf . On ne pompe pas directement le niveau
intermédiaire mais un état plus haut, qui se désexcite très rapidement vers le niveaux i. La
transition de e vers i est très rapide par rapport à celle de i vers f et aussi par rapport au
pompage : Γe Γi , W
45
Ṅf = − W Nf + W Ne + Γi Ni
(331)
Ṅe =W Nf − W Ne − Γe Ne
(332)
Ṅi =Γe Ne − Γi Ni
(333)
N =Ne + Nf + Ni
(334)
en régime stationnaire la deuxième ligne donne Ne =
Nf . Ceci simplifie considérablement le sytème
W
W +Γe Nf
ce qui permet de dire que Ne W
Nf
Γi
Nf =N − Ni
W
N
Ni =
W + Γi
W − Γi
N
∆N =
W + Γi
Ni =
(335)
(336)
(337)
(338)
L’inversion de population est positive si W > Γi , et elle devient totale (elle tend vers N)
lorsque le pompage est fort (W Γi ). C’est le cas des lsers à Rubi, ou à Erbium (comme les
laser à fibre dopée).
2.3.3
Milieu à quatre niveaux
|e
>
W
|f
>
Γe
W
Γi
Γj
>
|j >
|i
Γe >> W
Γj >> W
Γj > Γ i
On s’intéresse à l’inversion de population entre les états i et j :∆N = Ni − Nj . Il y a deux
transitions rapides , celles de e vers i et celle de j vers f . En régime stationnaire :
Ṅf = 0 = − W Nf + W Ne + Γj Nj
(339)
Ṅe = 0 =W Nf + W Ne − Γe Ne
(340)
Ṅi = 0 =Γe Ne − Γi Ni
(341)
Ṅj = 0 =Γi Ni − Γj Nj
(342)
N =Nf + Ni + Ne + Nj
(343)
à cause des temps de vie des transitions, les populations Ne et Nj sont négligeable devant Nf , e
46
on peut donc éliminer les termes en rouge, ce qui simplifie le système et :
∆N =Ni − Nj
Γi
=Ni 1 −
Γj
W
W
W
Ni = Nf =
(N − Ni ) =
N
Γi
Γ
W + Γi
i
W
Γi
∆N =
1−
N
W + Γi
Γj
(344)
(345)
(346)
(347)
L’inversion de population existe (>0) dès que le pompage existe (>0). Il n’y a pas de seuil comme
dans les système à 3 niveaux. C’est le cas des lasers Titane-Saphir, Néodyme-YAG ou encore les
lasers à colorants ("dye-lasers") mais pas en pompage continu à cause du blanchissement.
2.3.4
Autres techniques de pompage
Pompage électrique de diodes systèmes de type 4 niveaux. On utilise les bandes et gaps
de différents matériaux pour peupler la bande de conduction de l’un et réaliser ainsi l’inversion
de population. Puis en se recombinant, les électrons et les trous émettent de la lumière (électroluminescence). Avec différents alliages, on peut ajuster la longueur d’onde du milieu. On peut
avoir de fortes puissances de sorties, en continu ou en pulsé.
Pompage d’un gaz par décharges électriques Comme le CO2 ou le Helium-Néon.
3
Modèle de fonctionnement et de démarrage
Le milieu amplificateur de longueur LA est maintenant placé dans la cavité Fabry-Perot de
longueur L. On appelle F le nombre de photons dans la cavité. Il est amené à varier par les
causes suivantes :
3.1
Évolution du nombre de photons
Amplification En régime de faible amplification, le flux de photons est homogène dans toute
Fc
En une unité de temps dt,
la cavité et en particulier dans le milieu amplificateur. Il vaut : φ = Σ2L
le nombre de photons fournis par le milieu à gain ((émis)-(absorbés)), sachant qu’il est traversé
deux fois (aller et retour), est
dFém.stim =2σφN2 dt = σ
Fc
N2 dt = κN2 F dt
Σ2L
dFém.stim = − κN1 F dt
dF
=κ∆N F
dt gain
=
où κ =
σc
LΣ
et g =
∆N σ
VA
2gLA F
τ0
(348)
(349)
(350)
(351)
est le gain linéaire déjà défini plus haut.
47
Pertes de la cavité
Σ est Ti φΣ, soit
Sur chacun des miroirs le flux de photons sortant, intégré sur la surface
dF
dt
Fc
dt
2L
= − (T1 + T2 ) ×
pertes
=−
(352)
1
F
τcav
= − ∆ωcav F
(353)
(354)
Au final le nombre de photon dans la cavité évolue comme :
dF
=κ∆N F − ∆ωcav F
dt
(355)
qui se réécrit
dF
=∆ωcav
dt
∆N
−1 F
∆Nseuil
(356)
1
avec ∆Nseuil = ∆ωκcav = τcav
κ ,que l’on a défini pour des raisons qui vont devenir claires très
vite, ne dépendant que des pertes de la cavité et inversement proportionnel au temps de vie des
photons dans la cavité
3.2
Évolution de l’inversion de population
L’inversion de population a tendance à décroître à cause de l’émission stimulée due au laser,
à l’émission spontanée, et a tendance à croître à cause du pompage qu’on met ici sous la forme
d’une constante Γ1 ∆N0 où Γ1 est le taux d’émission spontanée.
d∆N
= −κ∆N F − Γ1 ∆N + Γ1 ∆N0
| {z }
| {z } | {z }
dt
(357)
d∆N
F
=Γ1 ∆N0 − ∆N − ∆N
dt
Fsat
(358)
ém. st.+abs.
ém.spont.
pompage
qui se réécrit
On a défini Fsat =
3.3
κ
Γ1
proportionnel au temps de vie de la transition laser
1
Γ1 .
Solutions stationnaires des équations couplées
Les deux équations sur le nombre de photon et sur l’inversion de la population sont donc
couplées. En régime stationnaire l’évolution est nulle :
∆N
dF
= 0 =∆ωcav
−1 F
(359)
dt
∆Nseuil
d∆N
F
= 0 =Γ1 ∆N0 − ∆N − ∆N
(360)
dt
Fsat
On distingue deux cas :
48
– il n’y a pas de laser F = 0 et ∆N = ∆N0 qui existe mathématiquement quelque soit
la valeur de ∆N0 sauf qu’il faut garder à l’esprit la saturation ∆N < N , et il existe un
mécanisme de saturation qui n’est pas décrit ici.
– Un deuxième cas existe lorsque F 6= 0. Alors ∆N = ∆Nseuil et F = Fsat (r − 1), avec
∆N0
. Cette solution n’est possible que si ∆N0 > ∆Nseuil et une étude de stabilité
r = ∆N
seuil
nous montre que c’est la branche stable. Le laser démarre sur des photons spontanés (le
détail du démarrage est vu juste après).
On a négligé dans l’équation sur le nombre de photons, les photons tombant dans la cavité
par émission spontanée. Cela transforme dans les équations d’évolution le terme κ∆N F en
κ∆N (F + 1) (miracle prouvé par l’optique quantique) et aboutit aux graphes de gauche, donnés
en fonction du taux de pompage ∆N0 . Si on tient compte de l’émission spontanée, cela a pour
effet d’arrondir l’angle au seuil (cf dans l’idée les graphes de droite)
DN
DN
DNseuil
DNseuil
DN0
DN0
F
F
DN0
DN0
DNseuil
DNseuil
Au final, le démarrage du laser pour ∆N0 > ∆Nseuil .
3.4
Stabilité des solutions stationnaires et démarrage
Dans le cas au dessus du seuil, l’étude de la stabilité de la solution nous renseigne sur le
régime de fonctionnement dynamique du laser lors de son démarrage.
∆N =∆Nseuil + δN (t)
F =Fsat (r − 1) + δF (t)
avec r =
∆N0
∆Nseuil .
(361)
(362)
Injecter ces expressions dans les équations couplées 359 mène à
d
δF =κδN (t) (Fsat (r − 1) + δF (t))
dt
d
δF
δN δF
δN = − Γ1 δN (t) + ∆Nseuil
+ δN (r − 1) +
dt
Fsat
Fsat
(363)
(364)
On peut éliminer les termes en δN δF qui sont d’ordre 2 et donc négligeables, pour des
perturbations assez petites. Ce qui nous donne
d
δF =κFsat (r − 1)δN (t)
dt
d
δF
δN = − Γ1 rδN (t) + ∆Nseuil
dt
Fsat
(365)
(366)
On a donc linéarisé le sytème, qu’on peut donc résoudre, soit comme une équadiff vectorielle
d’ordre 1 (en cherchant les vecteurs propres et les valeurs propres associées), soit en passant à la
49
dérivée d’ordre 2 , par exemple sur δN :
∆Nseuil
¨
˙
δN = − Γ1 rδN +
κFsat (r − 1)δN
Fsat
¨ + Γ1 rδN
˙ + Γ1 ∆ωcav (r − 1)δN
0 =δN
(367)
(368)
(369)
On peut mettre cette équation différentielle sous la forme canonique
α̈ + 2ζω0 α̇ + ω02 α = 0
(370)
p
r
Γ1 ∆ωcav (r − 1) et ζ = p ∆ωcav
. Le déterminant de l’éqation caracté2
(r−1)
Γ1
r−1
ristique est ∆ = Γ21 r2 1 − 4 ∆ωΓcav
r2
1
Cela nous amène à distinguer deux types de dynamiques de lasers :
en prenant ω0 =
1.2
1.2
1.0
1.0
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0.0
DeltaN/DeltaNinf
F/Finf
Laser de type A : Γ1 ∆ωcav exemple : l’hélium-néon et des lasers à colorant.
1
> 4 r−1
Si ∆ωΓcav
r 2 , le déterminant est positif donc le régime est apériodique. La solution est
stable. Physiquement, τ1 τcav le temps de vie de l’état du haut est très court devant le temps
de vie de la cavité. Le nombre de photon varie donc lentement et l’inversion de population s’y
∆N0
adapte ∆N = 1+F/F
à tout moment t.
sat
0.0000
0.0005
0.0010
0.0015
0.0020
0.0025
0.0030
0.0035
0.0
Laser de type B : Γ1 ∆ωcav exemple : des lasers à Néodyme-YAG, Rubi, à diodes lasers
et certains lasers à C02.
1
Si ∆ωΓcav
> 4 r−1
r 2 , le déterminant est négatif et le régime est oscillant. Cependant, comme
ζ > 0,qla solution est stable. La relaxation montre un nombre d’oscillations de l’ordre de Q =
1
2ζ
'
3.5
∆ωcav
Γ1
Puissance de sortie
Pour un pompage Γ1 ∆N0 donné, il est intéressant de voir comment varie la puissance de
sortie du laser en fonction de la transmission des miroirs.
On peut par exemple raisonner avec un miroir parfait et un miroir de sortie de transmission
T . On a vu que ∆Nseuil est proportionnel à T . Pour une grande valeur de T , le pompage
∆N0 < ∆Nseuil et le laser s’éteint.
En réalité il existe toujours des pertes autres que la sortie du laser et ∆Nseuil est proportionnel
à T + α où α est éventuellement extrêmement petit et modélise ces pertes. Pour une transmission
50
DN
DNseuil
F
F
β
β
très faible, Le nombre de photon dans la cavité F = Fsat T +α
− 1 sature à Fsat α
− 1 et la
puissance de sortie qui est proportionnelle à T F tend aussi vers 0.
Il existe donc une valeur de la transmission qui, pour un pompage donné, maximise la puissance de sortie.
4
Lasers impulsionnels à modes verrouillés
En général, dans une cavité de longueur L, le bouclage en phase impose que les modes
c
p. Ainsi νp = Lcav
p. (dans le cas
longitudinaux sont discrets et indexé par un entier p : kp = L2π
cav
du FP L correspond à deux fois l’écartement entre les miroirs).
c
Application numérique pour un Ti :Sa de 1.5m : δν = 2L
= 100M Hz . Autour de 800nm cela
représente un écart de 0.2pm.
Hors, le gain est large bande donc plusieurs de ces modes vont pouvoir laser en même temps.
Centre du gain : λ0 = 800nm, largeur du gain ∆λ = 100nm. En terme de fréquence ν0 =
3.75 1014 Hz et ∆ν0 = 4.7 1013 Hz. Ce qui nous donne 470 000 modes ! Bien sur au spectromètre
on voit juste un spectre large comme une source classique. Mais qu’est ce que cela donne en
temporel ?
E(ω) = (S(ω))
1/2
= e−
(ω−ω0 )2
∆ω 2
×
X
δ(ω − ωp )
(371)
p
E(t) =T F [E(ω)]
"
#
X (ω−ω )2
2πc
− ∆ω20
p
=T F e
⊗ TF
δ ω−
Lcav
p
X Lcav
−t2 ∆ω 2 −iω0 t
=e
p
e
⊗
δ t−
c
p
X
2
Lcav
Lcav
2
=
e−(t− c p) ∆ω e−iω0 (t− c p)
(372)
(373)
(374)
(375)
p
comb fréquentiel ⇔ comb temporel
1
Le taux de répétition des impulsions est Lcav
= τ0 La largeur des impulsions est δt = ∆ω
=21
c
τ0
fs = 8 cycles optiques seulement ! ! Leur intensité est de l’ordre de < I > δt
Si on avait 400 000 lasers indépendant , on aurait une toute autre physique : A cause de la
diffusion de la phase (cf TD), on aurait pas de pulse mais un signal très désordonné, même si le
spectre en comb, lui donnerai des corrélations : Wigner-Kinchine est toujours vrai, donc le g1 (τ )
51
serait quoi qu’il en soit de la forme d’un comb. Le mécanisme de stabilisation nécessite toujours
une non linéarité (exemple effet Kerr + diaphragme, le faisceau très intense lorsqu’il est pulsé se
self focalise dans le diaphragme).
52
Quatrième partie
Optique anisotrope
1
Propagation dans un milieu anisotrope
1.1
Tenseur permittivité
Dans un milieu non-magnétique et non conducteur, les équations de Maxwell s’écrivent
~
~ ∧E
~ = − ∂B
∇
∂t
~ B
~ = 0
∇.
~ D
~ = 0
∇.
(376)
(377)
(378)
~ ∧B
~ =µ0 ∂D
∇
∂t
(379)
La relation constitutive du matériau dans lequel se fait la propagation est
~ = 0 ˜r E
~
D
(380)

n21 0
0
où ˜r est une matrice (tenseur de rang 2) qui s’écrit, dans une certaine base  0 n22 0 .
0
0 n23
Les ni sont les indices propes, qui dans un milieu isotropes sont tous égaux. On parle de milieu
biréfrigent uniaxe quand il y a deux indices différents et de milieu biréfringent biaxes lorsque les
3 indices sont différents. Suivant une des directions Di = 0 n2i Ei = µ01v2 Ei .

i
1.2
Structure d’une onde plane
~ 0 ei(~k~r−ωt)
Question : Existe-t-il une onde de la forme E
Les équations de Maxwell pour des ondes planes s’écrivent
~ =iω B
~
i~k ∧ E
~k.B
~ = 0
~k.D
~ = 0
(381)
~ = − iω D
~
i~k ∧ B
(384)
(382)
(383)
~ ∧ H.
~ Dans un milieu
Et le vecteur de Poynting qui définit la direction de l’énergie est ~π = E
~
~
~
isotrope, D k E et ~π k k. Dans un milieu anistrope , a priori ce n’est pas le cas. Il reste que
~ B)
~ et (~π , E,
~ B)
~ sont des trièdres directs
(~k, D,
1.3
Équation de Fresnel
Pour une direction donnée par ~k, on pose le vecteur unitaire directeur ~u =
53
~
k
.
||~
k||
D
E
k
π
B
~ = − 1 ~k ∧ B
~
D
µ0 ω
~
1 ~ ~k ∧ E
=−
k∧
µ0 ω
ω
1 ~
~
(~
u
.
E)~
u
−
E
=−
µ0 vϕ2
(385)
(386)
avec vϕ =
||~k||
ω
(387)
(388)
Composante par composante on a donc , d’après la relation (380)
Di =
1
1 ~ i
Ei =
Ei − (~u.E)u
2
2
µ0 vi
µ0 vϕ
1/v 2
~ i
Ei = 1 2 ϕ1 2 (~u.E)u
/vϕ − /vi
X
1/v 2
ϕ
~ =
~ 2i
(~u.E)
(~u.E)u
1/v 2 − 1/v 2
ϕ
i
X
1/v 2
ϕ
u2
1=
1/v 2 − 1/v 2 i
ϕ
i
X
=
u2i
X u2
i
0=
vi2 − vϕ2
(389)
(390)
(391)
(392)
(393)
(394)
Cette dernière équation est l’équation de Fresnel. Il s’agit d’une équation du second ordre en
2
vϕ2 qui admet donc deux solutions v 0 ϕ et v”2ϕ telles que v1 ≤ vϕ0 ≤ v2 ≤ v”ϕ ≤ v3 . Autrement dit
les vitesses trouvées sont encadrées par les vitesses propres la plus lente et la plus rapide.
1.4
1.4.1
Construction géométriques pour résoudre le problème
Ellipsoïde des indices
Cette construction sert, pour une direction ~u donnée, à trouver les lignes neutres, c’est-à~ qui se propagent comme une onde plane. On
dire les directions de l’excitation électrique D
54
va logiquement en trouver deux, perpendiculaires entre elles, chacune associée à une des deux
2
vitesses propres v 0 ϕ ou v”2ϕ . La construction permet en outre de trouver la valeur de ces vitesses.
L’ellipsoïde des indices est la surface d’équation :
n
o
−−→
(E) = M , OM = nd~
(395)
~
D
où d~ = ||D||
~ . Si on écrit (x, y, z) = (x1 , x2 , x3 ) les coordonnées du point M dans la base qui
diagonalise ˜r , on trouve l’équation d’un ellipsoïde :
X
~ E
~ =
D.
Di Ei = µ0 vi2 Di2
(396)
~ E
~ =µ0 vϕ2 D
~2
et D.
(397)
~
comme xi =ndi = nDi /|D|
3
X
1
x2i
n2i
(398)
=1
(399)
Ce qui est l’équation d’un ellipsoïde de demi-axes n1 , n2 et n3 .
~
Procédure pour trouver les ligne neutres d~0 et d”
– L’éllipsoïde (E) et ~u sont donnés
– Comme d~ ⊥ ~u , les points de l’ellipsoïde qui nous intéressent sont à l’intersection avec le
plan perpendiculaire à ~u. L’intersection est une ellipse.
−−→
~ La normale ~η à (E) en M a pour coordonnées
– soit M un point de cette ellipse (OM = nd).
2di
di
ηi = n2 c’est donc, proportionnel à n2 , donc d’après la relation constitutive (380) à Ei . La
i
i
direction du champ électrique est donc donnée par la normale (E) au point M de l’ellipse.
~ sont dans un plan, ce qui ne peut fonctionner que pour 4 points particuliers
– Or, (~k, ~e, d)
~ sont données par
de l’ellipse : les sommets. On trouve ainsi que les lignes neutres d~0 et d”
c
c
0
les axes de l’ellipse et que les indices n = v0 et n” = v” associés à ces lignes neutres sont
donnés par les demi-axes de l’ellipse.

0
n2o 0
Cas d’un milieu uniaxe On parle d’axe optique orienté suivant z si ˜r =  0 n2o 0 .
0
0 n23
À cause de l’encadrement des vitesses, on a forcément une des vitesses égale à la vitesse v0
appelée ordinaire. C’est ce qu’on retrouve par la construction géométrique. L’ellipsoïde (E) est
un ellipsoïde de révolution d’axe principal suivant z. L’ellipse issu de l’intersection avec le plan
⊥ ~u a toujours un demi-axe égal n0 , l’indice ordinaire, dans une direction perpendiculaire à l’axe
optique. Ainsi la ligne neutre ordinaire d~o est perpendiculaire à ~u et à l’axe optique. On trouve
la ligne neutre extraordinaire comme perpendiculaire à ~u et à d~o et l’indice extraordinaire est
toujours encadré entre no et n3 .

1.4.2
Surface des indices, construction de Descartes
Cette construction sert à calculer les angles de réfraction du vecteur d’onde au passage entre
deux diélectriques anisotropes. C’est la surface, pour un matériau donné, d’équation :
n
o
−−→
(S) = M , OM = n~u
(400)
55
−−→
OM est un vecteur de norme n dont en appelant (x1 , x2 , x3 ) ses coordonnées on a u2i =
2
vϕ2 = nc 2 avec n2 = x21 + x22 + x23 . L’équation de Fresnel devient ainsi :
X
x2i
x21 +x22 +x23
n2i
=0
x2i
n2
et
(401)
−1
qui est une équation du 4e degré en xi . Sa résolution donne une surface à deux nappes. Pour ne
pas compliquer pour rien, on passe directement à un cas simplifié :
Milieu uniaxe Les deux nappes prennent la forme simple d’une sphère (So ) de rayon no ,
associée à la propagation ordinaire, et d’un ellipsoïde de révolution (Se ) de demi-axe principal
no et dont l’autre demi-axe vaut n3 , associé à la propagation extraordinaire. Ces deux formes
sont tangentes et se rejoignent sur l’axe optique.
Uniaxe positif, ne > no . C’est le cas du Quartz. L’ellipsoïde (Se ) a donc une forme applatie,
le long de l’axe optique, et englobe la sphère (So ).
Uniaxe négatif, ne < no . C’est le cas du Spath. L’ellipsoïde (Se ) a donc une forme allongée,
le long de l’axe optique, et est entièrement à l’intérieur de la sphère (So ).
no
ne
no
no
no
ne
négatif
ne<no
positif
ne>no
Construction de Descartes Le principe est la conservation, lors de la réfraction, de la com−−→
posante tangentielle du vecteur d’onde ~k et donc de OM = ωc ~k = n~u. Tout se passe donc dans
le plan d’incidence. Supposons qu’on vienne de l’air dans un cristal biréfringent uniaxe négatif.
Voici la procédure :
– Autour du point de réfraction, on dessine la projection de l’ellipsoïde des indices, dans le
milieu d’origine, en l’occurrence l’air, isotrope d’indice 1. C’est un cercle de rayon 1. La
direction du rayon donne la direction de ~u1 et donc le point M1 sur le cercle. On obtient
−−−→
−−−→
la composante tangentielle de OM1 en projetant OM1 sur la surface de réfraction.
– On dessine les deux surfaces des indices du milieu 2, coupées dans le plan d’incidence. Ce
qui donne en général un cercle de rayon no , pour la surface du rayon ordinaire et une ellipse
pour le rayon extraordinaire.
– on reporte la composante tangentielle sur chacune des deux surfaces. Cela nous donne un
point M2o et un point M2e qui indique la direction de réfraction des deux rayons.
– Pour le rayon ordinaire, la polarisation est perpendiculaire à l’axe optique. Et pour le rayon
extraordinaire, la polarisation est perpendiculaire à la polarisation ordinaire.
La construction de Descartes ne donne pas la direction de propagation des faisceaux lumineux
car l’énergie se propage suivant ~π et non pas ~k
56
So
Se
air
M1
M2e
uniaxe
négatif
M2o
Figure 1 – Dessin dans les cas où l’axe optique est dans le plan d’incidence.
So
Se
air
M1
M2e
uniaxe
négatif
M2o
Figure 2 – Dessin dans les cas où l’axe optique est perpendiculaire au plan d’incidence.
1.4.3
Surfaces d’ondes et construction de Huygens
Cette construction sert précisément à trouver les conditions de réfraction du vecteur de Poynting, qui donne la direction de propagation des faisceaux. L’expression de la surface est
n
(Σ) = M
−−→ vr o
, OM = ~r
c
(402)
−−→
où ~r = ||~~ππ|| et vr = vϕ cos(α). Aussi OM = vcr ~r. Il s’agit aussi d’une équation du 4e degré des
coordonnées xi du point M . Dans le cas d’un milieu uniaxe, les deux nappes sont une sphère Σo
de rayon 1/no associée au rayon ordinaire et un ellipsoïde Σe de révolution de demi-axes 1/no , 1/ne
et 1/ne qui rejoint Σo sur l’axe optique.
57
1/no
1/no
1/ne
1/ne 1/no
1/no
négatif
ne<no
positif
ne>no
Supposons que l’on vienne depuis l’air dans un tel milieu. Comme la distance OM est proportionnelle à la vitesse de propagation, on peut voir l’ellipsoïde ou la sphère comme une petite
ondelette qui se propage dans le milieu 2. En considérant que chaque point de l’interface de
réfraction émet un telle ondelette, cela permet de reconstruire le front d’onde plan. Voici la
procédure :
– On trace au tour du point de réflexion, la surface d’onde du milieu 1, l’air. Il s’agit du
sphère de rayon 1. Le prolongement du rayon de direction ~π donne le point M1 .
– La tangente à la sphère Σ1 en M1 coupe le plan de réfraction selon une droite qu’on appelle
ici D et qui intercepte le plan d’incidence en M0 . Si le milieu 2 était aussi de l’air, les points
M1 et M0 serait en phase, sur le même front d’onde qui continuerait sa course tout droit.
– On trace alors la sphère Σo de rayon 1/no et l’ellipsoïde Σe . Puis on trace les plans contenant
D et tangent de chacune de ces deux surfaces. Les points d’intersections sont respectivement
M2o et M2e . Ils donnent la directions des vecteurs ~ro et ~re .
– Dans le second milieu également , les points M0 , M2o et M2e sont en phase. Le plan
contenant M2o et D définit le front d’onde du faisceau ordinaire et le plan contenant M2e
et D le front d’onde du faisceau extraordinaire. On remarque que ~re n’est pas en général
dans le plan d’incidence.
Construction dans le cas de l’axe optique dans le plan d’incidence.
Σo
Σe
air
uniaxe
positif
1
1/nO
M0
M2e
M2o
M1
58
1.4.4
Exemple d’un dispositif polarisant par diffraction : le prisme de Wollaston
Il s’agit de deux prismes en quartz (milieu positif) accolés tels que les axes optiques sont
perpendiculaires l’un de l’autre :
Commençons par une des polarisation, perpendiculaire au papier. Le faisceau sera un rayon
ordinaire dans le premier prisme et un rayon extraordinaire dans le second. On va utiliser la
construction de Descartes.
ne
1
ne
no
ne
no
no
1
Cette construction nous donne les bonnes directions ~k k et ~k⊥ à la sortie mais pas le bon
écartement entre les points de sortie. Car c’est le vecteur ~π qui définit l’angle de propagation du
centre d’un faisceau lumineux (par exemple laser).
59
2
Lames minces biréfringentes
2.1
2.1.1
Incidence normale
Axes propres et lignes neutres
Les axes propres sont les axes dans lesquels le tenseur permittivité ˜r est diagonal. Ils dépendent de l’orientation de la maille cristalline, et n’ont a priori rien à voir avec les directions
de taille du cristal.
Les lignes neutres de la lame sont les deux axes du plan de la face selon lesquels la polarisation
va rester inchangée.
2.1.2
Milieu uniaxe
On choisit l’axe y tel que le plan (zOy) contient l’axe optique. Les lignes neutres sont ainsi x
et y. La polarisation suivant x, perpendiculaire à l’axe optique est la polarisation ordinaire. La
polarisation suivant y est l’extraordinaire.
e
rayon ordinaire
rayon extraordinaire
y
x
2.1.3
z
Champ à la sortie de la lame
Supposons que e champ à l’entrée de la lame soir de la forme :
~ in = Exin ~ux + Eyin ~uy ei(k0 z−ωt)
E
(403)
Chacune des deux polarisation va voir un indice propre et, à cause du déphasage dû à la propagation, le champ en sortie est :
~ out = Exin eino k0 e ~ux + Eyin eine k0 e ~uy ei(kz−ωt)
E
(404)
i(k0 z+k0 (no −1)e−ωt)
in
in iδnk0 e
= Ex ~ux + Ey e
~uy e
(405)
avec
et on appelle
δn =ne − no
(406)
δϕ =δnk0 e
(407)
60
2.1.4
Cas particuliers
~ in est suivant une ligne neutre.
E
Lame demi-onde : δϕ = π + 2pπ
Rien
Soit δne = λ20 + pλ0
Exin
out
~
E
=
−Eyin
(408)
Le champ sortant est le symétrique du champ entrant par rapport aux lignes neutres. En particu~ in est une polarisation linéaire, E
~ out aussi. Les lames demi-ondes sont largement utilisées
lier si E
en laboratoires pour faire tourner une polarisation. Elles sont montées sur une rotation et faire
tourner la lame demionde d’un degrés fait tourner la polarisation de deux degrés.
Lame quart d’onde δϕ = ± π2 + 2pπ, soit δne = ± λ40 + pλ0 .On appelle cette lame une lame
quart-d’onde car le chemin optique est égal à ±λ0/4 au modulo près. Le champ de sortie est donc
Exin
out
~
(409)
E
=
±iEyin
– Si Exin = Eyin c’est à dire une polarisation en entrée linéaire à 45o des lignes neutres et
si δϕ = π2 [2π] la polarisation
est une circulaire droite. Car le champ réel est de a forme
cos
ωt
Exin
ce qui en convention récepteur donne u vecteur qui tourne de x
± cos(ωt + π/2)
vers -y c’est à dire à droite.
– Inversement si δϕ = − π2 [2π] ou si Exin = −Eyin (polarisation linéiare à -45o ) la polarisation
en sortie est circulaire gauche.
– Dans le cas seulement linéaire mais pas à 45o (Exin 6= Eyin réels), la polarisation de sortie
est une ellipse de demi axes selon x et y.
~ in à 45o des lignes neutres.
E
~ out
E
E0
Exin = Eyin = √
2
E0
= √ ~ux + eiδϕ ~uy ei(k0 z+k0 (no −1)e−ωt)
2
(410)
(411)
(412)
Il s’agit a priori d’une polarisation elliptique. La partie réelle et le module carré du champ sont
respectivement
E0
~ out = √
E
(cos(k0 z 0 − ωt)~ux + cos(k0 z 0 − ωt − δϕ)~uy )
2
avec z 0 = z + (no − 1)e , et
2
~ out ||2 = E0 cos2 (k0 z 0 − ωt) + cos2 (k0 z 0 − ωt − δϕ)
||E
2
61
(413)
(414)
(415)
Au moment où la dérivée du module s’annule, on se trouve sur un des demiaxes de l’ellipse que
parcours la polarisation. Ici
d ~ out 2 E02
||E || =
(−2ω sin(k0 z 0 − ωt) cos(k0 z 0 − ωt) − 2ω sin(k0 z 0 − ωt − δϕ) cos(k0 z 0 − ωt − δϕ)) = 0
dt
2
(416)
sin(2k0 z 0 − 2ωt) = sin(−2k0 z 0 + 2ωt + 2δϕ)
2k0 z 0 − 2ωt = π + 2k0 z 0 − 2ωt − 2δϕ + 2pπ
2k0 z 0 − 2ωt = −2k0 z 0 + 2ωt + 2δϕ + 2pπ
(417)
ou
(418)
La première solution revient au cas particuliers de la lame quart d’onde.
Le second cas est plus général et revient à k0 z 0 − ωt = −k0 z 0 + ωt + δϕ + pπ. On remarque
alors que cos(k0 z 0 − ωt) = (−1)p cos(k0 z 0 − ωt − δϕ) ce qui signifie que Ex (t) = (−1)p Ey (t) au
d ~ out 2
||E || s’annule. On a donc une polarisation elliptique de demi-axes à 45o par
moment où dt
rapport aux lignes neutres.
2.1.5
Application à l’analyse de polarisations linéaires, avec l’analyseur à pénombre
L’idée est d’exploiter la sensibilité de l’oeil à l’intensité lumineuse, qui est meilleure pour
une pénombre très-faible luminosité. En fait, on détecte mieux une faible variation d’intensité δI
dans la pénombre , que autour de I = 0.
Le dispositif se compose d’une lame demi-onde et d’un analyseur, solidaire de la lmae et dont
l’axe est décalé d’un petit angle par rapport à une des lignes neutres de la lame. La lame
n’occupe pas tout l’espace de sorte qu’on voit une moitié du champ qui est passé dans la lame
puis l’analyseur alors que l’autre moitié du champ n’est passé que dans l’analyseur. L’ensemble
est monté sur un axe de rotation de façon à pouvoir s’aligner sur une polarisation incidente
inconnue.
yl
λ/2
Ein
Esym
Ein
xl
xA
k
A
Si le champ d’entrée n’est pas aligné avec l’axe yl de la lame demi-onde ici, alors le champ
à la sortie de la lame est différent du champ d’entrée, et la projection sur l’axe passant xA de
l’analyseur va donner deux intensités différentes pour les deux moitiés de plan.
Lorsque les deux demi-plans sont également éclairés, dans la pénombre, alors on sait que yl
~ in
est parallèle à la polarisation inciente E
2.2
2.2.1
Interférences en lumière polarisée
Conditions d’observation
L’interférence se fait entre un rayon ordinaire et un rayon extraordianire, dont les polarisations
sont croisées, et qui ne sont pas forcément superposés. On va donc utiliser des lames assez minces,
et travailler entre polariseur et analyseur de façon à re-mélanger ces rayons.
62
2.2.2
Lames minces en incidence normale.
En utilisant un polariseur et un analyseur à 45o des lignes neutres d’une lame, on se retrouve
~ in à 45o des lignes neutres" de la page 61 :
dans le cas "E
E0
Exin =Eyin = √
2
E
1
0
out
~
E
=√
eiδϕ
2
E0
1
eiδϕ
√ − √
EA = √
2
2
2
2
E
I A = 0 2 − eiδϕ − e−iδϕ
4
E02
=
(1 − cos δϕ)
2
2
=E0 sin2 (δϕ/2)
(419)
(420)
(421)
(422)
(423)
(424)
où E A et I A désignent respectivement le champ et l’intensité après l’analyseur. On remarque
que le contraste est de 1. Pour d’autres configurations que polariseur-analyseur croisés à 45o , le
contraste est inférieur.
Observation en variant λ
δϕ =
2πδne
λ
Observation en lumière blanche
traversant l’interféromètre est
∝
1
λ2
car δn ∝ λ1 .
Pour un éclairement de spectre large E0 (λ), l’intensité
I A (λ) =I0 (λ) sin2 (δϕ/2)
(425)
Pour une lam de quartz parallèle (AO k à l’axe optique, δn = 9.1 10−3 ) d’épaisseur e = 60µm,
le premier zéro de la transmission tombe en plein sur le jaune, au milieu du spectre visible. On
obtient ainsi très facilement la teinte "sensible" de Newton, composée de rouge et de bleu.
Pour des lames épaisses, on obtient des spectres cannelés, associés à des blancs d’ordres
supérieurs.
2.3
2.3.1
Mesure de la biréfringence de lames minces
Mesure absolue mais grossière avec le compensateur de Babinet
Le compensateur de babinet se compose de deux prismes de quartz taillés parallèlement à
l’axe optique et perpendiculaires entre eux. L’un d’entre eux peut bouger suivant y. Il permet
d’observer simplement des interférences en lumière blanche entre les polarisation x et y, car la
différence de chemin optique varie suivant y selon une loi connue :
δ(y) =(HJ)pol=x − (HJ)pol=y
(426)
=[HIne,B + IJno,B ] − [HIno,B − IJne,B ]
(427)
=[HI − IK]δnB
L
L
= ( − y tan θ) − ( − y tan θ) δnB
2
2
(428)
=2δnB y tan θ
(430)
63
(429)
Le polariseur P produit un champ polarisé linéairement à 45o des axes x et y. En conséquence,
les champs en sortie du compensateur et en sortie de l’analysqeur sont respectivement :
E0
1
~ out = √
(431)
E
eikδ(y)
2
1
eikδ(y)
E0
~A =√
√ − √
E
(432)
2
2
2
I A =I0 sin2 (kδ(y)/2)
(433)
=I0 sin2 (π δ(y)/λ)
2πδnB tan θ
=I0 sin2 (
y)
λ
(434)
(435)
On observe ainsi des franges localisées sur l’interface entre les 2 prismes dont on fait l’image.
En y = 0, l’intensité est nulle quelle que soir λ on observe donc une frange sombre.
Lorsqu’on rajoute une lame de biréfringence inconnue , dont les lignes neutres sont alignées suivant x et y, la différence de marche devient δ(y) = 2δnB y tan θ + δne où δn et e
sont respectivement la différence d’indices optiques et l’épaisseur de la lame inconnue. On
. En bougeant
observe que la frange centrale s’est déplacée d’une distance ∆y = 2δnδne
B tan θ
alors le prisme de droite verticalement d’une distance Y , la nouvelle différence de marche est
δ(y) = 2δnB y tan θ + δne − Y tan θδnB . Lorsque la frange centrale se trouve à nouveau en y = 0,
on sait δne = Y tan θδnB ce qui est la mesure de la biréfrinence de la lame inconnue.
2.3.2
Méthode de la lame quart d’onde (précise mais modulo λ)
Dans ce montage, un polariseur
à 45o puis une lame de biréfringence inconnue mettent le
1
E0
champ dans l’état √
qui est une polarisation elliptique dont les axes sont alignés à
2
eikδne
o
45 , c’est à dire suivant les directions X et Y. La lumière traverse ensuite une lame quart d’onde
P
l/4
dn e
A
dont les lignes neutres sont aussi suivant X et Y (choisissons que Y est l’axe lent). Il est alors
plus aisé de décrire le champ dans le repère (X, Y ). Avant la lame quart d’onde il est
!
1+e√ikδne
E0
cos(kδne/2)
ikδne/2
2
√
= E0 e
(436)
1−e√ikδne
i sin(kδne/2) (X,Y )
2
2
(X,Y )
64
près la lame le champ est simplement multiplié par
~ out = E0 eikδne/2
E
1
i
dans le repère (X, Y ). On a donc
cos(kδne/2)
− sin(kδne/2)
(437)
(X,Y )
sin(
/2)
kδne/2). Il est
qui est une polarisation linéaire d’angle α tel que tan α = − cos(
kδne/2) = − tan(
kδne
ainsi possible d’éteindre cette polarisation en tournant l’analyseur de α = −
/2[π].
kδne
2.4
Éclairage convergent
On considère le cas d’une lame perpendiculaire, c’est à dire dont les faces sont taillés perpendiculairement à l’axe optique, observée entre polariseur et analyseur croisés (orientés suivant x
et y), et en éclairage convergent.
En première approximation, en prenant un profil parabolique pour les surfaces des indices,
la différence de marche entre les rayons ordinaire et extraordinaires pour un angle d’incidence i
2
est δ = n2i n0 δne.
e
On observe des franges d’égale inclinaison. A cela se superpose le motif s’une croix noire. En
effet pour une polarisation alignée suivant x (resp. y), ce qui est possible pour des rayons dans
le plan (yOz) (resp. (xOz), la polarisation n’est pas modifiée et est donc coupée par l’analyseur.
Il n’y a en fait pas de rayon extraordinaire dans ces cas.
P
rayon ordinaire
A
y
x
2.5
rayon extraordinaire
P
x
y
z
A
z
Biréfringence induite par un champ électrique
Phénoménologiquement , la polarisation non-linéaire d’ordre 2 s’écrit
~ E.
~
P~ (2) = χ̂2 E
65
(438)
Si le champ est une superposition d’un champ statique (ou quasiment) E0 et d’un champ optique
E ω cos(ωt), la polarisation non linéaire,
P~ (2) = χ2 E 02 + 2E 0 E ω cos(ωt) + E ω2 cos2 (ωt),
(439)
contient un terme de polarisation statique , un terme avec la SHG et la rectification optique et un
terme qui oscille à ω comme la pompe et qui se traduit par une modification de la permittivité :
P ω =(χ(1) + 2χ(2) E 0 )E ω cos(ωt)
2
r = n =1 + χ
(1)
+ 2χ
(2)
E
(440)
0
(441)
−1
au champ statique appliqué. Traditionnellement c’est le tenseur inverse
proportionnel
P 1 r =
1
n2 ij qui est utilisé du fait de son utilisation dans l’éllipsoïde des indices d’équation
n2 ij xi xj =
∂ [ n12 ]
1. On définit donc les coefficients de proportionnalités rijk = ∂E 0 ij de telle sorte que n12 =
k
1
n20
+ rE 0 où n0 est l’indice en absence de champ statique. Il y a a priori 27 coefficients rijk mais
les symétries cristallines font que beaucoup sont nuls (un cristal à symétrie centrale a tous ses
coefficients χ2ijk et donc rijk nuls).
Par exemple le Niobate de lithium LiNbO3 a 10 coefficients non-nuls dont 4 seulement indépendants. Si on met un champ statique suivant y à l’aide de deux électrodes distantes de d et la
propagation suivant l’axe optique aligné sur z, les indices des polarisations propres x et y passent
de l’indice ordinaire n0 à :
1
n0x =n0 + n30 r222 Ey0
2
1 3
0
ny =n0 − n0 r222 Ey0
2
(442)
(443)
soit une biréfringence linéaire de n30 r222 Vd . A travers un barreau de longueur e, On produit un
déphasage de π avec une tension Vπ = 2enλ30rd222 le barreau est alors l’équivalent d’une lame
0
demi-onde.
La modulation électro-optique est extrèmement utilisée dans les technologies de l’informatinon (communication par fibre optique) pour moduler électriquement l’intensité lumineuse à
haute fréquence. Pour cela la modulation de phase est convertie
en modulation
d’intensité grâce
iδϕ 2
∝ 1 − cos δϕ.
à un dispositif interférentiel de type Mach-Zehnder : I = E + Ee
3
3.1
Biréfringence circulaire
Origine
La biréfringence circulaire , ou encore pouvoir rotatoire, provient de la structure hélicoïdale
de la matière (comprendre des potentiels électroniques) , en particulier dans les molécules chirales
ou cristaux chiraux (ex : carbones asymétriques).
L’effet est de modifier la polarisabilité :
Dj = jl El + 0 γjlm
∂El
∂xm
(444)
∂El
Sur une vibration a priori elliptique, ∂x
6= 0 et ce deuxième terme mélange donc les compom
santes, même lorsqu’on est sur un axe propre de . On montre (cf cours de Francois Treussart)
que le tenseur γ est antisymétrique.
66
Dans des cas géométriquement
, ceci
à considérer une relation consti
simplesiγω
est équivalent
~
~
D
E
c2
tutive du matériau
=
, avec et γ scalaires. En insérant ceci
~
~
− iγω
µ0
B
H
c2
dans les équations de Maxwell, et en cherchant des solutions en ondes planes, on trouve deux
valeurs propres pour l’indice optique. à vérifier ! ! :-)
n± =
√
r ±
γωc
µ0
(445)
associées respectivement à des polarisations circulaires droite et gauche.
3.2
Action sur une polarisation linéaire
Une polarisation en entrée du milieu, polarisée par exemple suivant x peut se décomposer en
deux polarisations circulaires droite et gauche. On peut exprimer cela grâce à ne nouvelle base
~e+ = ~ex + i~ey et ~e− = ~ex − i~ey :
~ in = E0
E
1
0
= E0
x,y
1
1
(446)
+,−
Après propagation avec leurs indices propres les composantes deviennent
ik en 1
e 0 +
~
Eout = E0
∝ E0
eiδϕ +,−
eik0 en− +,−
où δϕ = k0 eδnc . En repassant dans la base (x,y) on obtient
iδϕ
cos(δϕ/2)
~ out = E0 1 + eiδϕ
E
∝ E0
− sin(δϕ/2) x,y
1−e
x,y
(447)
(448)
qui est une polarisation linéaire qui a tourné, par rapport à l’axe x de départ d’un angle ψ =
δϕ
πeδnc
2 =
λ
Comme souvent δnc ∝ 1/λ on a une rotaion des bleux supérieure à la rotation des rouges.
3.3
Interférences en lumière polarisée circulairement
Si on utilise un analyseur parallèle à un polariseur, on récupère seulement la composante
suivant x et on a I = I0 cos2 (δϕ/2). Si l’analyseur est croisé on récupère la composante y :
I = I0 sin2 (δϕ/2).
Cas particulier Si on est en lumière blanche dans un cristal de quartz perpendiculaire (Axe
optique perpendiculaire à la face d’entrée pour s’affranchir des effets de biréfringence linéiare) ,
que l’épaisseur vaut 3.75 mm et qu’on aligne analyseur et polariseur, alors la première extinction
de l’interféromètre se fait pile pour le jaune au milieu du spectre du visible, et on voit une teinte
composée de bleu et rouge : la teinte lie-de-vin.
67
3.4
3.4.1
caractérisation de lames
Mesure du sens d’une lame
Lorsqu’on se place dans le cas de la teinte lie-de-vin. Le jaune est éteint par l’analyseur.
Dans la convnetion récepteur (on regarde le faiceau venir vers nous), si on tourne l’analyseur
vers la droite et que la teinte devient rouge, ’est qu’on coupe le bleu. Donc le pleu à tourné à
droite (comme toutes les couleurs mais le bleu plus !) et on appelle cette lame une la me "Droite".
Inversement ...
3.4.2
mesure de δnc
Il s’agit d’attaquer la lame avec une polarisation linéaire et de regarder de quel angle ψ la
polarisation a tourné. Comme on ne peut mesurer ψ qu’à modulo π. On mesure δϕ = −2ψ
modulo 2π c’est à dire la quantité eδnc modulo lambda0 ...
3.5
Exemple d’un dispositif utilisant la biréfringence circulaire : le Biquartz de Soleil
Sert à POINTER une POLARISATION linéaire ! (seulement. en tous cas pas spécifiquement
à mesurer une biréfringence, même si on peut s’en servir pour la procédure juste avant)
Dispositif composé de deux lames de quartz perpendiculaires d’épaisseur 3.75mm, l’un droite
et l’autre gauche. Un analyseur est utilisé juste après le biquartz. Si une lumière blanche polarisée
linéairement doit être analysée, lorsque l’analyseur est aligné dessus, on observe strictement la
même teinte lie de vin sur les deux quartz. L’oeil étant très sensible aux teintes dans ces palettes,
un très faible angle est facilement repérable.
3.6
Biréfringence circulaire induite, effet Faraday
C’est l’effet Faraday. Typiquement dans un verre lourd (flint) de longuer l. Lorsqu’un champ
B ets appliqué dans la direction de propagation, la lumière polarisée linéairement tourne d’un
angle
ψ = V lB
(449)
lors de la propagation. V est la constante de Verdet.
Il est intéressant que pour le même champ B et une propagation inverse l’angle de rotation
~
est identique. Ceci est du au caractère pseudo-vectoriel du champ B.
3.6.1
Application importante : l’isolation optique
si un barreau et un champ sont choisis de telle manière que la transmission fait tourner la
polarisation de ψ = π4 alors toutes lumière réfléchie plus loin sur le trajet du faisceau aura tourné
de 2ψ = 90o après avoir retraversé le même barreau. Ceci rend possible d’éliminer facilement ce
faisceau réfléchi avec un polariseur ou un cube séparateur. Ainsi la source éventuellement laser
est protégée de la réflexion par des facettes optiques ou miroirs.
68