Polycopié

Optique ondulatoire : diffraction et interférence
CL
13 janvier 2017
Table des matières
I Propagation et diffraction 5
1 Propagation des fréquences spatiales, le principe de Fresnel retrouvé 5
1.1 Position du problème, objectif ............................. 5
1.2 Développement en ondes planes ............................ 5
1.3 Principe de Fresnel retrouvé .............................. 6
1.3.1 Réponse impulsionnelle ............................ 6
1.3.2 Cas général ................................... 7
1.3.3 Formules historiques : Kirchhof puis Rayleigh-Sommerfeld ......... 8
2 Diffraction de Fresnel 9
2.1 Approximation de Fresnel (paraxiale) ......................... 9
2.2 Approximation de Fraunhofer et nombre de Fresnel ................. 10
2.2.1 Nombre de Fresnel ............................... 10
2.3 Applications ....................................... 10
2.3.1 Les Lentille de Fresnel , exemple du réseau zoné de Soret (exercice) . . . . 10
2.3.2 Effet Talbot, exercice ............................. 11
2.3.3 Faisceaux Gaussiens, exercice ......................... 11
3 Diffraction de Fraunhofer 12
3.1 Approximation ..................................... 12
3.2 Conditions d’obtentions ................................ 12
3.3 Exemples typiques ................................... 12
3.3.1 Trou rectangulaire ............................... 12
3.3.2 2 fentes ..................................... 12
3.3.3 N fentes ..................................... 13
3.3.4 Trou circulaire ................................. 13
3.4 Fraunhofer au foyer d’une lentille ........................... 13
3.4.1 Lentille parfaite comme objet de phase .................... 13
3.4.2 Lentille parfaite pour se placer en régime de Fraunhofer .......... 14
3.5 Filtrage spatial ..................................... 16
3.5.1 Expérience d’Abbe (Démonstration expérimentale) ............. 16
3.5.2 Microscopie à contraste de phase ....................... 16
3.5.3 Épurateur de faisceau ............................. 16
3.5.4 Speckle (tavelures) ............................... 16
1

3.6 Formation des images en éclairage cohérent, limite de diffraction ......... 17
3.6.1 Fonction de transfert en éclairage incohérent spatialement ......... 18
3.7 Exercices ........................................ 19
3.7.1 Réseau Blazé .................................. 19
3.7.2 Réseau épais (Bragg) .............................. 19
3.7.3 Méthode de Labeyrie, interférométrie des tavelures ............. 20
3.7.4 Sonde hétérodyne ............................... 20
3.7.5 Holographie ................................... 20
II Cohérence spatiale et temporelle 21
1 Source incohérente 21
2 Cohérence spatiale 22
2.1 Contraste dans une expérience d’interférences avec les fentes d’Young et une source
étendue ......................................... 22
2.2 Théorème de Van Cittert-Zernike ........................... 24
2.3 Cas simples ....................................... 24
2.3.1 2 sources ponctuelles .............................. 24
2.3.2 Une source étendue ............................... 26
2.4 Largeur de cohérence .................................. 26
2.5 Application à l’interférométrie stellaire ........................ 26
2.6 Il n’y a pas que les trous d’Young : Utilisation d’une source étendue pour une
expérience d’interférences à deux ondes ....................... 28
3 Cohérence temporelle 29
3.1 Interférences à deux ondes ............................... 29
3.1.1 Expérience ................................... 29
3.1.2 Théorème de Wigner-Kinchine ........................ 29
3.2 Application à la spectro par TF ............................ 30
3.2.1 Profil carré ................................... 31
3.2.2 Profil gaussien ................................. 31
3.2.3 Profil Lorentzien ................................ 31
3.2.4 2 Raies ..................................... 32
3.2.5 Franges en lumière blanche .......................... 32
3.2.6 raie d’absorption ................................ 32
3.2.7 Résolution spectrale expérimentale ...................... 33
3.3 Corrélations d’intensité ................................ 33
3.3.1 propriétés .................................... 33
3.4 Modèles de sources classiques ............................. 34
3.4.1 Autocorrélations g1et g2........................... 34
3.4.2 Modèles d’élargissement par sauts de phase ................. 35
3.4.3 Longueur de cohérence temporelle et trains d’ondes ............ 37
3.5 Effet de la cohérence spatiale, Expérience HBT historique ............. 37
3.6 Optique quantique ................................... 37
3.7 Exercices ........................................ 38
3.7.1 Tomographie à cohérence optique ....................... 38
3.7.2 Battements à 2 lasers ............................. 38
2

III LASERS 39
1 Cavité optique, Modes Lasers, Exemple de la cavité Fabry-Perot 39
1.1 Résonances ....................................... 39
1.2 Exemple de la cavité Fabry-Perot ........................... 40
1.2.1 Fonction de transfert .............................. 41
1.2.2 Grande finesse ................................. 42
1.2.3 Proche d’une résonance ............................ 42
1.3 relaxation de la cavité ................................. 42
2 Milieu amplificateur 43
2.1 Coefficient d’Einstein .................................. 43
2.2 Amplification ...................................... 44
2.3 Exemple du pompage optique ............................. 45
2.3.1 Milieu à deux niveaux ............................. 45
2.3.2 Milieu à trois niveaux ............................. 45
2.3.3 Milieu à quatre niveaux ............................ 46
2.3.4 Autres techniques de pompage ........................ 47
3 Modèle de fonctionnement et de démarrage 47
3.1 Évolution du nombre de photons ........................... 47
3.2 Évolution de l’inversion de population ........................ 48
3.3 Solutions stationnaires des équations couplées .................... 48
3.4 Stabilité des solutions stationnaires et démarrage .................. 49
3.5 Puissance de sortie ................................... 50
4 Lasers impulsionnels à modes verrouillés 51
IV Optique anisotrope 53
1 Propagation dans un milieu anisotrope 53
1.1 Tenseur permittivité .................................. 53
1.2 Structure d’une onde plane .............................. 53
1.3 Équation de Fresnel .................................. 53
1.4 Construction géométriques pour résoudre le problème ............... 54
1.4.1 Ellipsoïde des indices .............................. 54
1.4.2 Surface des indices, construction de Descartes ................ 55
1.4.3 Surfaces d’ondes et construction de Huygens ................ 57
1.4.4 Exemple d’un dispositif polarisant par diffraction : le prisme de Wollaston 59
2 Lames minces biréfringentes 60
2.1 Incidence normale ................................... 60
2.1.1 Axes propres et lignes neutres ......................... 60
2.1.2 Milieu uniaxe .................................. 60
2.1.3 Champ à la sortie de la lame ......................... 60
2.1.4 Cas particuliers ................................. 61
2.1.5 Application à l’analyse de polarisations linéaires, avec l’analyseur à pénombre 62
2.2 Interférences en lumière polarisée ........................... 62
2.2.1 Conditions d’observation ............................ 62
3

2.2.2 Lames minces en incidence normale. ..................... 63
2.3 Mesure de la biréfringence de lames minces ..................... 63
2.3.1 Mesure absolue mais grossière avec le compensateur de Babinet ...... 63
2.3.2 Méthode de la lame quart d’onde (précise mais modulo λ)......... 64
2.4 Éclairage convergent .................................. 65
2.5 Biréfringence induite par un champ électrique .................... 65
3 Biréfringence circulaire 66
3.1 Origine ......................................... 66
3.2 Action sur une polarisation linéaire .......................... 67
3.3 Interférences en lumière polarisée circulairement .................. 67
3.4 caractérisation de lames ................................ 68
3.4.1 Mesure du sens d’une lame .......................... 68
3.4.2 mesure de δnc.................................. 68
3.5 Exemple d’un dispositif utilisant la biréfringence circulaire : le Bi-quartz de Soleil 68
3.6 Biréfringence circulaire induite, effet Faraday .................... 68
3.6.1 Application importante : l’isolation optique ................. 68
Résumé
4

Première partie
Propagation et diffraction
1 Propagation des fréquences spatiales, le principe de Fres-
nel retrouvé
1.1 Position du problème, objectif
On connait ~ E(x, y, z = 0, t)sans s’intéresser à comment il est arrivé là. Par exemple un
objet semi-transparent éclairé par une onde plane qui pourrait être complètement décrit par une
transmission t(x, y)∈[0,1]. Alors ~ E(x, y, z = 0, t) = E0~uxe−iωt ×t(x, y)
On veut connaître ~ E(z > 0)
On part des éq. de Maxwell :
~
∇ ∧ ~ E=−∂B
∂t (1)
~
∇.~ B=0 (2)
~
∇.~ E=ρ
= 0 (3)
~
∇ ∧ ~ B=µ0(~ j+∂E
∂t ) = µ0∂E ∂t (4)
avec =0n2et c20µ0= 1
(4) ⇒µ0∂2E
∂t2=∇ ∧ ∂B ∂t (5)
(1) ⇒=−~ ∇ ∧ (~ ∇ ∧ ~ E)=∆~ E−~ ∇.(~ ∇.~ E)(6)
(3) ⇒=∆ ~ E(7)
∆~ E=n2
c2
∂2~ E
∂t2(8)
C’est l’équation d’onde qui marche pour toutes les composantes de ~ E,~ B,~ Ale potentiel vecteur
et le potentiel V. Si on considère des champs monochromatiques de la forme ~ E(x, y, z)e−iωt et
avec k=nω/c, on obtient l’équation de Helmoholtz qui est à la base de la théorie de la diffraction.
∆~ E=−k2~ E(9)
1.2 Développement en ondes planes
On effectue la TF bidimensionnelle de E(x, y, z)(une composante pour simplifier).
E(x, y, z) = Z Z ˜ E(kx, ky, z)ei(kxx+kyy)dkxdky(10)
En injectant dans l’équation (9) on obtient
5