Algorithmes de filtrage pour la contrainte WeightedCircuit

Actes JFPC 2016
Algorithmes de filtrage pour la contrainte
WeightedCircuit
Sylvain Ducomman1 2 ∗Hadrien Cambazard1Bernard Penz1
1Univ. Grenoble Alpes, G-SCOP, F-38000 Grenoble, France
CNRS, G-SCOP, F-38000 Grenoble, France
2Geoconcept SA, 92220 Bagneux, France
{pr´enom.nom}@grenoble-inp.fr sylvain.du[email protected]
R´esum´e
La pr´esence de circuit dans un graphe pond´er´e est
une contrainte essentielle de beaucoup de probl`emes, no-
tamment pour les probl`emes de tourn´ees de v´ehicules.
La contrainte WeightedCircuit, permettant de mainte-
nir un circuit hamiltonien dans de tels graphes, est
donc une contrainte clef dans ce type de probl`emes.
Notre ´etude Alternative Filtering for the Weighted Cir-
cuit Constraint : Comparing Lower Bounds for the TSP
and Solving TSPTW pr´esent´ee `a AAAI-16 propose des
algorithmes de filtrage pour la contrainte WeightedCir-
cuit bas´es sur des relaxations du Probl`eme du Voyageur
de Commerce. Nous proposons aussi une ´etude th´eo-
rique des bornes inf´erieures fournies par les relaxations
employ´ees.
1 Introduction
La contrainte WeightedCircuit permet de main-
tenir un circuit hamiltonien dans un graphe pond´er´e
repr´esentant souvent la distance sur chaque arc du
graphe. Dans cette ´etude [3], nous proposons diff´erents
algorithmes de filtrage pour la contrainte Weighted-
Circuit. Cette derni`ere est utilis´ee dans un mod`ele
de Programmation par Contraintes pour le Probl`eme
(PPC) du voyageur de commerce avec fenˆetres de
temps (TSPTW).
On consid`ere un graphe orient´e complet G(N, E)
dans lequel Eest l’ensemble des arcs et N=
{0, . . . , n+1}est l’ensemble des noeuds. di,j (resp. ti,j )
repr´esente la distance (resp. le temps) entre les noeuds
iet j. La mod´elisation en PPC du TSPTW est ba-
s´ee sur trois variables. Les variables nexti∈Nrepr´e-
∗Papier doctorant : Sylvain Ducomman1 2 est auteur princi-
pal.
sentent le successeur direct du noeud idans la tourn´ee.
Les deux autres variables utilis´ees sont des variables de
cumul de quantit´es, la premi`ere pour la distance cu-
mul´ee dist et la seconde pour le temps de trajet par-
couru start (dist0= 0 et start0= 0). Nous am´eliorons
ce mod`ele en explicitant les relations de pr´ec´edences
entre les noeuds du graphe grˆace entre autres aux in-
formations des fenˆetres de temps. Ainsi, des variables
redondantes sont ajout´ees au mod`ele : des variables
bool´eennes b, indiquant si un noeud idoit se trouver
avant un noeud j, et des variables pos, repr´esentant la
position d’un noeud dans la tourn´ee. Les contraintes
redondantes permettent de lier les variables addition-
nelles aux variables existantes. Ci-dessous un mod`ele
simplifi´e de [3] :
Minimize z
z=
n
X
i=0
(di,nexti)
WeightedCircuit(next0, . . . , nextn+1, z)
distnexti=disti+di,nexti∀i∈N\{n+ 1}
startnexti≥starti+ti,nexti∀i∈N\{n+ 1}
bij +bji = 1
posi=X
j∈N
bji ∀i∈N
AllDifferent(pos0, . . . , posn+1)
(bij = 1) ⇒nextj6=i∀(i, j)∈E
posj> posi+ 1 ⇒nexti6=j∀(i, j)∈E
posj> posi⇔bij = 1 ∀(i, j)∈E
(bij = 1) ⇒startj≥starti+tij ∀(i, j)∈E
starti+tij > startj⇒nexti6=j∀(i, j)∈E

2 WeightedCircuit
L’existence d’un circuit hamiltonien dans un graphe
est un probl`eme NP-complet. Pour effectuer le filtrage
de cette contrainte nous utilisons des algorithmes de
filtrage bas´es sur les coˆuts. Ces derniers s’appuient sur
des relaxations connues du Probl`eme du Voyageurs de
Commerce. Ainsi, trois relaxations sont pr´esent´ees. La
premi`ere est bas´ee sur le probl`eme d’arbre couvrant de
poids minimum, pr´esent´ee par [5] et dont l’algorithme
de filtrage est utilis´e dans [1]. La seconde relaxation re-
pose une affectation de poids minimum. Nous ´etendons
l’algorithme de filtrage utilis´e dans [4] en calculant les
coˆuts r´eduits exacts du probl`eme, pr´esent´es dans [6].
Enfin, la derni`ere relaxation pr´esent´ee s’appuie sur un
plus court chemin de narcs [2]. Cette derni`ere a l’avan-
tage de pouvoir prendre en compte les positions des
noeuds dans le programme dynamique utilis´e. Ainsi,
l’algorithme de filtrage permet de filtrer sur les va-
riables next d’un noeud dans le graphe mais aussi sur
les variables pos. Cette relaxation se r´ev`ele efficace
lorsque des contraintes auxiliaires viennent s’ajouter
au probl`eme, comme les contraintes de fenˆetres de
temps par exemple. Les relaxations bas´ees sur l’arbre
couvrant de poids minimum et celles sur le plus court
chemin de narcs peuvent ˆetre am´elior´ees par relaxa-
tion lagrangienne, ce qui permet d’une part de fournir
de meilleures bornes inf´erieures et d’autre part d’ef-
fectuer le filtrage `a diff´erentes ´etapes du processus
de sous-gradient. Chaque algorithme de filtrage pour
une relaxation d´edi´ee est idempotent. Cependant dans
leurs versions lagrangiennes, l’idempotence n’est plus
v´erifi´ee.
3 Bornes inf´erieures
Une partie de ces travaux est consacr´ee `a l’´etude des
bornes inf´erieures fournies par les diff´erentes relaxa-
tions utilis´ees. Ainsi, nous avons prouv´e th´eoriquement
que les relaxations utilis´ees ne sont pas comparables.
C’est-`a-dire qu’aucune d’entre elle est dominante. Ce
r´esultat est montr´e pour le cas g´en´eral des relaxations
mais aussi pour les versions lagrangiennes. Il peut donc
ˆetre int´eressant de combiner les algorithmes de filtrage.
4 R´esultats
Les r´esultats principaux de l’´etude comparent les
diff´erents algorithmes de filtrage pour diff´erents bench-
marks du TSP et du TSPTW. Les r´esultats sur les
benchmarks du TSP montrent que l’algorithme de fil-
trage performant reste celui de la litt´erature utilisant
les arbres couvrants de poids minimum. En revanche,
pour les benchmarks du TSPTW, les nouveaux algo-
rithmes de filtrages profitent davantage des informa-
tions des positions li´ees aux fenˆetres de temps. En ef-
fet, nous montrons que dans la plupart des cas, l’algo-
rithme de filtrage utilisant le probl`eme de plus court
chemin donne de meilleures bornes inf´erieures ainsi
qu’un meilleur filtrage des variables next et pos au
noeud racine. De plus, cet algorithme est aussi per-
formant pour la r´esolution des diff´erents benchmarks
pour le TSPTW. Les nouvelles bornes propos´ees tirent
donc un meilleur parti de l’information suppl´ementaire
disponible sur les positions.
5 Conclusion
L’´etude [3] propose trois filtrages diff´erents pour
la contrainte WeightedCircuit. Cette derni`ere est
utilis´ee dans un mod`ele de Programmation par
Contraintes pour r´esoudre le probl`eme du voyageur
de commerce avec fenˆetres de temps. Les r´esultats
obtenus montrent que pour ce type de probl`emes, le
meilleur algorithme de filtrage utilise une relaxation
permettant de raisonner sur les positions des noeuds.
Dans de futurs travaux, il sera int´eressant d’´evaluer si
les relaxations peuvent se combiner avantageusement
en pratique.
R´ef´erences
[1] Pascal Benchimol, Willem-Jan Van Hoeve, Jean-
Charles R´egin, Louis-Martin Rousseau, and Mi-
chel Rueher. Improved filtering for weighted circuit
constraints. Constraints, 17(3) :205–233, 2012.
[2] Nicos Christofides, Aristide Mingozzi, and Paolo
Toth. State-space relaxation procedures for the
computation of bounds to routing problems. Net-
works, 11(2) :145–164, 1981.
[3] Sylvain Ducomman, Hadrien Cambazard, and Ber-
nard Penz. Alternative filtering for the weighted
circuit constraint : Comparing lower bounds for the
TSP and solving TSPTW. In AAAI-16, Phoenix,
Arizona, 2016.
[4] Filippo Focacci, Andrea Lodi, and Michela Milano.
A hybrid exact algorithm for the TSPTW. IN-
FORMS Journal on Computing, 14(4) :403–417,
2002.
[5] Michael Held and Richard M. Karp. The traveling-
salesman problem and minimum spanning trees.
Operations Research, 18(6) :1138–1162, 1970.
[6] Jean-Charles R´egin. Cost-based arc consistency
for global cardinality constraints. Constraints, 7(3-
4) :387–405, 2002.