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SSI 2ème année
Cours 07 – Cinématique du point
Équations horaires
EQUATIONS: POSITION,VITESSE,ACCELERATION DU POINT G
Y
3,5
p1(bâti-1 / plateau-1) ( m )
v1(bâti-1 / plateau-1) ( m/s )
3
a1(bâti-1 / plateau-1) ( m/s² )
2,5
2
+G
+G
+G
1,5
Fig. 1
Fig. 2
Fig. 3
1
0,5
X
Temps ( s )
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
-0,5
-1
PHASE 1
PHASE 2
PHASE 3
-1,5
Objectif :
Déterminer les équations horaires d’un solide en translation, en rotation.
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Cours 07 – Cinématique du point
SSI 2ème année
Sommaire
1 – Objectif ......................................................... 3
2 – Équations d’un mouvement de translation rect. Unif. .… 3 - 6
3 –Equations d’un mouvement de translation MRUV .......... 6 - 9
4 –Mouvement de rotation …..................... .................. 9
4.1 – MCU ....................................................... 9 - 10
4.2 – MCUV …..................................................
10
4.3 – Relation entre V et .................................
11
5- Accélération normale et tangentielle ........................ 11- 12
5.1 – Représentation .............................................. 12
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Cours 07 – Cinématique du point
1-Objectif :
Lorsqu’on aborde la partie concernant le déplacement d’un organe (l’actionneur étant soit un vérin
soit un moteur), celui-ci muni d’une charge, en translation rectiligne ou en rotation autour d’un axe
va faire intervenir pour son dimensionnement de nombreux critères ; en particulier, citons les
caractéristiques mécaniques telles que couple ou effort, mais aussi la loi de conduite temporelle.
C’est ce dernier point qui nous intéresse aujourd’hui !!
Les lois de conduites temporelles permettent au travers de leurs graphes de visualiser le
comportement en vitesse de l’actionneur, elles sont nombreuses et variés chacune disposant
d’avantages et d’inconvénients, citons en quelques unes :
*Source : revue TECHNOLOGIE 111 _ JANVIER-FÉVRIER 2001
2- Équations d’un mouvement de translation
rectiligne uniforme.
Le plus simple car il se caractérise par une vitesse de déplacement uniforme. Soit le repère ( o,x,
y ), le point G décrit au cours du mouvement de translation rectiligne une droite d’axe x.
Le chronomètre est déclenché lorsque
la bille passe au niveau du point O.

Rail
gradué
Zone
d’accélération
O
Zone où la vitesse
est constante
Bille
Bloc
moteur
0m
Sens du mouvement 1 m

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L’image ci-dessous nous montre qu’à chaque intervalle de temps le déplacement est
‘’quasiment’’ le même (sauf marge d’erreur pouvant s’expliquer par la qualité du pointage vidéo).
La position
Il est donc possible de
traduire cette trajectoire
par une courbe nous
permettant de connaître
la position de la boule en
fonction du temps.
L’équation de cette
courbe est donc une
droite de la forme :
X(t)= d(t) = a.t +b
ou
a = V (vitesse, d=V.t)
b = cte
correspondant à la
position du solide / à la
ligne de départ au
moment du départ ici b
sera égal à « 0 ».
X(t)= d(t) = V0.t
La Vitesse
L’allure de la courbe le
confirme, la vitesse reste
la même, la fonction
mathématique sera donc
de la forme :
ou
V(t)= Cte = V0
V0 (vitesse, V=d/t)
En allant plus loin on
s’aperçoit que l’équation
horaire de la vitesse
correspond à la dérivée
de la fonction X(t) :
X’(t)= V(t) = V0
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L’accélération
L’allure de la courbe le
confirme, l’accélération
reste quasiment nulle, la
fonction mathématique
sera donc de la forme :
a(t)= 0
En allant plus loin on
s’aperçoit que l’équation
horaire de l’accélération
correspond à la dérivée
seconde de la fonction
X(t) ou à la dérivée de la
vitesse :
a(t)=X’’(t)= dX’(t)/dt
soit
a(t)= 0
- Résumé.
Pour définir un mouvement il est nécessaire de définir au préalable deux repères :
- Un repère d’espace
- Un repère de temps
Ce mouvement est appelé Mouvement Rectiligne Uniforme ou M.R.U , il se caractérise par le
fait que la vitesse du solide reste constante . Les équations permettant de donner la position, la
vitesse et l’accélération répondent aux solutions suivantes :
M.R.U
Equation horaire de la position :
X (t) = Vo.t + Xo
Xo : position du point à l’instant t = 0 (moment du
départ)
Equation horaire de la vitesse :
X ‘(t) = Vo
Vo = constante vitesse à l’instant t = 0 (moment du départ)
Accélération du mouvement :
-
X ‘’(t) = 0
Conditions initiales au moment du départ :
Nota : chaque terme pouvant être positif,
négatif ou nul suivant le repère.
Valeur de x0 pour les 3 cas
suivant :
Départ
Après la ligne
X0 =
0
+ X0
Avant la ligne
-X0
Sur la ligne
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Valeur de V0 pour les 2 cas
suivant :
Solide passant la ligne de départ à la vitesse V0.
+ V0
- V0
Solide passant la ligne de départ à la vitesse
V0 .
Sens du mouvement opposé au repère.
Allure des courbes dans tout cela !
Courbes de X(t) et V(t) pour cas
suivant :
V(t)
X(t)
V0 = cte
Xo
Xo = 0
-Xo
-V0 = cte
La vitesse reste la même. La position de la droite est fonction du sens du mouvement par rapport au repère .
3- Équations d’un mouvement de translation
rectiligne uniformément accéléré.
Le chronomètre est déclenché lorsque la bille
est lâchée au niveau du point O.
Rail
gradué


Zone
d’accélération
Bille
1m
Sens du mouvement 0 m
O
La bille est lâché sans vitesse au niveau du 1er trait coté pied.
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L’image ci-dessous nous montre qu’à chaque intervalle de temps le déplacement n’est pas
le même, les distances parcourues par unité de temps augmente. Deux conclusions peuvent être
tirer :
- La vitesse augmente
- La boule accélère.
La position
La courbe nous
permettant de connaître
la position de la boule en
fonction du temps, son
type est une équation de
parabole, de la forme :
X(t)= d(t) = k.t²+ cte
Courbe inversée
La vitesse
L’’équation horaire de la
vitesse correspond à la
dérivée de la fonction
précédente X(t) , on
retrouve une équation de
L’accélération
droite:
X’(t)= V(t) = a.t + b
Courbe inversée
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L’équation horaire de
l’accélération correspond
à la dérivée seconde de
la fonction X(t) ou à la
dérivée de la vitesse :
a(t)=X’’(t)= dX’(t)/dt
soit
a(t)= cte
Courbe inversée
- Résumé.
Ce mouvement est appelé Mouvement Rectiligne Uniforme Varié ou M.R.U.V (Varié est un
terme généraliste pour être plus précis on pourrait soit utiliser A pour Accéléré (MRUA) ou D pour
Décéléré ( MRUD)) , il se caractérise par le fait que la vitesse du solide est en constante évolution.
Les équations permettant de donner la position, la vitesse et l’accélération répondent aux
solutions suivantes :
Equation horaire de la position :
X(t) = 1/2 .a.t² + Vo.t + Xo
Xo position du point à l’instant t = 0
Equation horaire de la vitesse :
M.R.U.V
v (t) = X ‘(t) = a.t + Vo
vo vitesse initiale à l’instant t = 0 ( début du mouvement )
Accélération du mouvement :
a (t) = X‘’(t) = a
Valeur de x0 pour les 3 cas suivant :
Départ
Nota : chaque terme pouvant être
positif, négatif ou nul en fonction du
repère local.
Courbe de X(t) pour les 6 cas suivant :
Après la ligne
La distance
augmente.
X(t)
+ X0
Avant la ligne
+xo
-X0
X0 = 0
Sur la ligne
-xo
X(t)
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Courbe de V(t) pour les 4 cas suivant :
Valeur de V0 pour les 3 cas
suivant :
+ V0
Solide à l’arrêt
V(t)
Solide passant la
ligne de départ à
la vitesse V0.
La vitesse augmente.
La vitesse diminue.
- V0
V(t
)
V0 = 0
Solide passant la ligne de départ à la vitesse V0 .
La vitesse augmente (accélération) Ou chute
(freinage)
Courbe de a pour les 4 cas suivant :
Valeur de a pour les 4 cas suivant :
+a
-a
Solide passant la ligne de départ
avec une accélération ou une
décélération a.
+a
-a
-a
Solide passant la ligne de
départ avec une
accélération ou une
décélération a.
+a
a
-a
Solide passant la ligne de départ avec une accélération
ou une décélération a. Sens du mouvement opposé au
repère.
Solide passant la ligne de départ avec une
accélération ou une décélération a. Sens
du mouvement opposé au repère.
4 -Mouvement de rotation
Nous irons très vite pour cette partie car les équations sont du même type que celle que nous
venons de voir, seule une notation propre au mouvement de rotation les différents.
4.1- Mouvement circulaire uniforme (MCU)
Définition :
On appelle mouvement circulaire d’un point M, un mouvement tel que la trajectoire suivie par
le point soit un cercle orientée.
Un mouvement est uniforme si le vecteur vitesse angulaire est constant et le vecteur
accélération angulaire est égal au vecteur nul.
Platine à
l’instant t
(t)
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Équations :
Soient 0 (rad/s) la vitesse angulaire et 0 (rad) la
position angulaire de la platine à l’instant t0 (s) et
(t) la position angulaire de la came à l’instant t (s).
Les équations caractéristiques du mouvement sont :
 ’’(t) = (t) = 0
 ’(t) = (t) = 0 = Constante
 (t) = 0.t + 0.
Où 0 et 0 sont les
conditions initiales à t0.
Les graphes du mouvement sont :
’(t)
’’(t)
(t)
’ (t) = 0
t
t
t
4.2- Mouvement circulaire uniformément varié (MCUV)
Définition :
On appelle mouvement circulaire d’un point M, un mouvement tel que la trajectoire suivie par
le point soit un cercle orientée.
Un mouvement est uniformément varié si le vecteur accélération angulaire est constant.
Équations :
Les équations caractéristiques du mouvement sont :
 ’’(t) =  = Constante avec positif ou négatif
 ’(t) = .t + 0
1
 (t)= ..t 2 + 0.t + 0
2
Où 0 et 0 sont les
conditions initiales à t0.
 est exprimé en rad/s2.
Les graphes du mouvement sont :
’’(t)
(t)
’(t)
(t) = 1/2 ..t 2 + 0.t + 0.
’’(t) = 
’’(t) = .t + 0
t
t
t
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4.3 - Relation entre V et .
La vitesse angulaire  comme la fréquence de rotation n est propre au mouvement de
rotation, la valeur indique le nombre de radian ou de tour parcouru par seconde ou minute.
 : Vitesse angulaire en rad/s
: Angle débattu en radian ou en tr
t : temps en seconde 
n: Fréquence de rotation en tr/s
Angle / temps = / t

nAngle / temps = / t
Le passage d’un système d’unité à l’autre se fait à l’aide des formules de transformation
suivantes :
Si n est en tr/min :  = 2 .n /60
Si n est en tr/s :  = 2 .n
La vitesse linéaire V est exprimée en m/s, elle
caractérise la distance d parcourue par unité de
temps :
V=d/t
d : distance en m
t : temps en seconde
+N
 (t)
+
O
Remarquons sur la figure 1 ci-contre que tous les
points N et M ont la même vitesse angulaire  ou
la même fréquence de rotation (45 tr/min). Par
contre ils n’ont pas la même vitesse linéaire V,
pourquoi ?
V (t)
+M
Fig.1- Représentation de la vitesse V d’un point
Réflexion pour n = 1 tour/sec :
Pour M : d correspond au périmètre du cercle OM
Pour N : d correspond au périmètre du cercle ON
Comme les distances à parcourir ne sont pas les mêmes mais le temps, oui, la vitesse V
n’est donc pas la même.
V : Vitesse linéaire en m/s
R : rayon en m
n : fréquence de rotation en tr/s
 : vitesse angulaire en rad/s
V(t) = périmètre x n = 2 R x n = R x (t)
Application numérique : n = 45 tr/min
ON = 7,5 cm
VN = 35, 35 cm/s
et
OM = 12 cm
VM = 56, 55 cm/s
5-Accélération normale et tangentielle.
Soit la phase d’accélération du disque (MCUA) :
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 (t)
A gauche, en rouge la trajectoire du point au
début du démarrage, en noir la
représentation du vecteur vitesse V, tangent
à la trajectoire et proportionnel au rayon et à
sa vitesse angulaire.
+
O

Vitesse tangentielle ou linéaire :
V (t)   (t). R
en m/s
V (t)
5.1- Représentation de l’accélération d’un point
L’accélération a(t) représentée sur l’image de gauche se décompose en deux composantes :
- une, tangente à la trajectoire notée at
- une, normale à la trajectoire notée an c'est-à-dire portée par le rayon.
Masselotte à
l’instant t
at (t)
+M
a(t)
O

an (t)

Accélération tangentielle :
at (t)  '(t). RR.

(t)
en m/s2
Accélération normale :
an (t) (t) . R
2
en m/s2
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