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Espaces vectoriels et applications linéaires
Exercice 1
On considère l'ensemble E des matrices carrées d'ordre 3 défini par
1) Montrer que  est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre 3.
Commentaires :
La question est ici explicite. On doit donc démontrer que E est bien un sous-ensemble non vide de ,
stable par combinaison linéaire.
L’énoncé annonce que E est un ensemble de matrices carrées d’ordre 3 particulières. C’est donc bien un sous
ensemble de 3(). Il n’est pas vide de façon évidente puisqu’il suffit de choisir des valeurs particulières pour
 et  et l’on a une matrice de E. En général on essaie de vérifier si le « zéro » de l’ensemble « complet » (donc ici
la matrice nulle de 3()) est un élément du sous-ensemble.
On peut également montrer que les matrices de E écrivent comme combinaison linéaire de matrices particu-
lières de . E sera alors le sous-espace vectoriel engendré par ces matrices.
Nous ne montrerons ici que la première méthode. Voir plus loin la seconde.
Par définition, l’ensemble E est composé de matrices carrées d’ordre 3, il est donc un sous ensemble
de 3( ). En prenant , on voit que   
   Donc E n’est pas vide.
Considérons  et  deux matrices de E et λ et μ deux nombres réels quelconques. Montrons
qu’alors la matrice  est un élément de E.
Dire que  est une matrice de E, c’est dire qu’il existe deux nombres réels  et  tels que
De la même façon on pourra écrire 
On aura donc 
  en posant et
La matrice  est bien une matrice de E.
E est donc stable par combinaison linéaire. C’est bien un sous-espace vectoriel de 3( ).

2) Justifier que les matrices   
   et       forment une famille génératrice de 
Commentaires :
Les matrices de E se « décomposent » assez naturellement en utilisant les propriétés de l’addition des ma-
trices et de la multiplication d’une matrice par un nombre réel.
Soit   
   une matrice quelconque de E. On a :
Toute matrice de E s’écrit comme combinaison linéaire des matrices et  donc les matrices et
forment une famille génératrice de E. 
3) La matrice  est-elle inversible ? Justifier la réponse.
Commentaires
Il y a deux grandes façons de répondre à la question de l’inversibilité d’une matrice (surtout si elle n’est pas
inversible) : bien entendu on peut passer par le calcul, c’est-à-dire par le pivot de Gauss, mais bien souvent (en-
core une fois surtout si elle n’est pas inversible), on peut également chercher à voir si les colonnes de la matrice
forment une famille libre (dans ce cas elle est inversible) ou une famille liée (et dans ce cas elle n’est pas inver-
sible). Pour ce second cas, rappelons qu’il suffit que l’un des vecteurs de la famille soit nul, que deux vecteurs
soient colinéaires (ou encore mieux égaux) ou que l’on puisse montrer facilement que l’un des vecteurs est com-
binaison linéaire des autres pour conclure.
On a   
   Cette matrice contient deux vecteurs colonnes égaux. La famille des vec-
teurs colonnes est liée et donc la matrice  n’est pas inversible.
4) a) Vérifier que  en déduire que l'ensemble  est stable pour la multiplication des matrices (autrement dit que le produit
de deux matrices de  est une matrice de ).
Commentaires
La première vérification demandée  se fait directement par le calcul.
Pour démontrer la stabilité, il faut éviter d’écrire les matrices de E sous la forme de « tableaux », mais plutôt
comme combinaison linéaire des matrices  et  ce qui permettra d’utiliser la formule précédente (c’est le sens
de l’expression « en déduire »).
Qu’attend-on alors comme résultat ? La « marque » des matrices de E est de s’écrire comme combinaison li-
néaire de  et de  Nous attendons donc que le produit de deux matrices qui s’écrivent comme combinaison
linéaire de  et de  soit une matrice qui s’écrive comme combinaison linéaire de  et de 
On a 

On a bien 
Soit  et  deux matrices de E. On peut écrire :
On a donc 
Le produit  s’écrit bien comme combinaison linéaire de  et de 
E est stable par la multiplication des matrices.
b) En déduire que la matrice  est inversible et que son inverse est un élément de 
Commentaires
L’expression clef est encore « en déduire ». L’énoncé n’attend pas que l’on calcule la matrice inverse ou que l’on
utilise le pivot de Gauss.
Il s’agit plutôt de trouver une matrice  de E telle que 
Ainsi  sera l’inverse de 
Cherchons  telle que 
On a 
(en remplaçant  par 2,  par 1,  par  et  par  dans la formule obtenue au a)).
On devra donc avoir 
Ce qui donne simplement : 
et
On a 
La matrice  est inversible et sa matrice inverse est donnée par :
Pour aller plus loin
Si nous suivons la définition exacte de la matrice inverse, il aurait fallu montrer également que
Pourtant de façon très générale, un seul côté suffit. Rappelons pourquoi.
Si  et  sont des matrices carrées de même ordre et que l’on a , montrons que 
Posons  On a

Donc par associativité 
Donc 
Donc 
Donc 
Donc 
Donc 
5) a) On considère l'endomorphisme de ³ associé à la matrice Déterminer l'image d'un vecteur ) de ³ par cet
endomorphisme.
Commentaires
Pour déterminer l’image d’un vecteur par une application linéaire dont on connaît la matrice, on effectue le pro-
duit de cette matrice par le vecteur écrit en colonne, le vecteur colonne obtenu correspond à l’image.
On a 
On a donc 
b) On note  l'ensemble des vecteurs  de ³ tels que  Montrer que  est un sous-espace vectoriel de ³.
Déterminer une famille génératrice de F.
Commentaires
Il s’agit bien sûr de déterminer le noyau de 
On a 
On a donc 
Donc 
Ce qui donne enfin 

Exercice 2
On considère l'application  de ³ dans ² définie par
1) Démontrer que  est une application linéaire.
On considère deux vecteurs et de 3 et un nombre réel λ, montrons que
On peut écrire et 
On a 
On a donc 
L’application  est donc une application linéaire.
2) On appelle  le sous-ensemble de ³ constitué par les éléments de ³ dont l'image est égale à  par Montrer que  est un
sous-espace vectoriel de ³.
Commentaires
Il s’agit bien sûr du noyau de  Nous savons comme résultat du cours qu’il s’agit d’un sous espace vectoriel de
l’ensemble de départ. Il s’agit ici de le redémontrer. Cette démonstration étant tout à fait générale, cela com-
plique beaucoup la démonstration si l’on utilise la définition de l’application  donnée par l’énoncé. On préfèrera
une forme plus générale sauf pour l’existence d’un élément dans 
 est un sous ensemble de 3 d’après sa définition.
n’est pas vide : en effet 
Donc 
Considérons  et  deux éléments de  et  et β deux nombres réels. On sait par définition que :
Il s’agit de montrer qu’alors , c’est-à-dire que 
On a puisque l’application  est une application linéaire :
Donc 
 est un sev de 3.
3) Déterminer une famille génératrice de 
On a 
On est amené à la résolution d’un système de deux équations à trois inconnus : 
En faisant  on obtient :