Fonctions exponentielles

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Séquence 4 – MA01
Séquence 4
 Introduire les (nouvelles) fonctions exponentielles
Connaître des propriétés (équation fonctionnelle, variations, fonction dérivée, …) de
la fonction exponentielle de base e.
Objectifs de la séquence
Fonctions
exponentielles
Sommaire
1. Pré-requis
2. Introduction aux fonctions exponentielles
3. La fonction exponentielle de base e
4. Dérivation et fonction exponentielle (base e)
5. Synthèse de la séquence
6. Exercices de synthèse
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Séquence 4 – MA01
1Pré-requis
Peut-être avez-vous déjà entendu une personne dire : « La croissance est expo-
nentielle ; il faut réagir vite avant que le phénomène n’atteigne des proportions
trop extravagantes. »
Les mots employés reflètent l’augmentation d’un phénomène à une vitesse extrê-
mement rapide, s’agissant d’une variation au cours du temps.
Nous allons étudier dans ce chapitre des fonctions dont les valeurs
f(x) grandis-
sent très vite (nous préciserons) lorsque la variable x augmente. Rien d’étonnant
à ce qu’on les appelle des fonctions… exponentielles.
Suites géométriques
Un nénuphar est placé le 1er juin dans un étang de forme carrée de côté 100 m.
Initialement, il couvre 1 m². Chaque jour, il double de taille. On note un la super-
ficie (en m²) couverte par le nénuphar au bout de n jours.
 Justifier que la suite ()
un est géométrique.
 En déduire l’expression de
un en fonction de n .
 Etudier le sens de variation de ().
un
 Quelle est la surface couverte par le nénuphar au bout d’une semaine ?
 Au bout de combien de jours le nénuphar couvrira-t-il :
 la moitié de l’étang ?
 la totalité de l’étang ?
 On sait que
u
01=.
Au bout d’un jour, il couvrira 21×= 2m² donc u
12=. Si le
n −ième jour il couvre
une surface de
un m², le jour suivant il couvrira une surface de
u 2m
n
2
× au-
trement dit,
uu
nn += 12. Cette relation de récurrence, valable pour tout
n ∈
montre que la suite () un est géométrique de raison 2.
 Comme son premier terme est
u
01= , on en déduit que pour tout
n ∈, un = 2
n.
A
Exercice
 Solution
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Séquence 4 – MA01
 Puisque la raison de la suite()
un est strictement supérieure à 1 et que son 1er
terme est strictement positif, cette suite est croissante.
 Au bout de 7 jours, le nénuphar couvre
u
772
2128== m.
 L’étang a une superficie de 100 100 10000 2
×= m.
On calcule
u
12 12
2 4096== ,
u
13 13
2 8192== et
u
14 14
2 16384== .
Par conséquent, c’est le 13e jour que la taille du nénuphar dépassera la moitié de
l’étang et le jour suivant (le 14e) qu’il couvrira la totalité de l’étang.
Une dame âgée se rappelle qu’une baguette de pain coûtait 0,70 € en 2000 et
que, depuis, son prix a augmenté chaque année du même pourcentage. En 2011,
elle paye 1,20 € à la boulangère. Chaque année, par combien a été multiplié le
prix d’une baguette de pain ?
Notons
un le prix (en €) de la baguette de pain en 2000 +
( )
n . Notons aus-
si q le coefficient par lequel a été multiplié le prix de la baguette chaque an-
née. On a donc u
007=, puis
uq
107=×, ; ensuite
uq
22
07=×,, … enfin,
uq
11 11
07=×,. Par conséquent, 07 12
11
,,.×= q
D’où
q =
12
07 105
1
11
,
,, (ce qui correspond à une augmentation annuelle de 5 %).
Vrai ou faux ?
 Si
u
u
n
n
+1 est constant pour tout entier
n ∈ alors () un est une suite géométrique.
 Si ()
un est une suite géométrique de raison q alors pour tous entiers n et p,
uuq
np
np
=×
−
.
Dans un pays, on note
tN le taux de natalité, tM le taux de mortalité et un le
nombre d’habitants n années après l’an 2000.
 Si
tN =10 ‰ et tM =10 ‰ alors lim .
nn
u
→+∞ =+∞
Si tN =12 ‰ et tM =8 ‰ alors () un est une suite géométrique de raison
q >1.
Si tN =9 ‰ et tM =11 ‰ alors () un est une suite géométrique de raison
q <1.
u
uq
n
n
+= 1 implique que pour tout
n ∈,
uqu
nn += 1 ; la suite ()
un est donc
une suite géométrique de raison q .
Exercice
 Solution
Exercice
 Solution
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Séquence 4 – MA01
 Etudions d’abord l’égalité à démontrer dans des cas simples.
Lorsque
np ,= l’égalité à démontrer s’écrit uuq
nn
=0, ce qui est bien vrai.
Lorsque
np 1,=+ l’égalité à démontrer s’écrit uuq
nn += 1 : on reconnaît la
relation de récurrence caractéristique d’une suite géométrique, qui est vraie.
Lorsque
np 2,=+ l’égalité à démontrer s’écrit uuq
nn += 22 . Cette égalité est
encore vraie puisque la suite () un est géométrique donc uqu
nn ++
=
21
et
uqu
nn += 1 ; d’où
uquqququ
nn nn ++
== =
21 2
() .
Plus généralement, si
np >, on peut écrire de proche en proche :
u qu qqu qqqu
nn n n
=× =×× =×××
−− −12
3
3
3
facteurs
== ...
…=××××
−
−−
−
qq qu
np
nnp
np
... ()
facteurs
=×
−
qu
np p
ce qui prouve que uuq
np
np
=×
−.
Remarquons enfin que les lettres
n et p jouent un rôle symétrique dans l’égalité à dé-
montrer. Par conséquent, si np <, c’est que pn > donc en échangeant les lettres
n et p on peut écrire l’égalité démontrée au point précédent : uuq
pn
pn
=×
−
et en divisant chaque membre par qpn
− (qui est ≠0 car
q ≠0 ) on obtient
u
qu
p
pn n
−= , c’est-à-dire
uq u
pnp n
−= (puisque 1
qq
k
k
=−) et l’égalité souhai-
tée est ainsi démontrée.
 D’une année sur l’autre la population est multipliée par
110
100 110 100 099+
×− =, ; autrement dit, pour tout
n ∈ on peut
écrire uu
nn +=× 1099, ce qui prouve que la suite ()
un est géométrique de
raison 0,99.
Conformément à l’étude faite à la séquence 1, portant sur les limites des suites
géométriques, nous commençons par repérer que la suite ()
un est de raison
strictement positive et de premier terme strictement positif. Comme sa raison
q =099, vérifie 01<< q , on peut affirmer que lim .
nn
u
→+∞ =0
 De manière similaire, on montre que la suite ()
un est géométrique de raison
q =× = >112 0 92 1 0304 1,,, .
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Séquence 4 – MA01
 Là encore on montre que la suite ()
un est géométrique. Sa raison est
q =× = <1 09 0 89 0 9701 1,,, .
Nous avons rencontré l’ensemble  qui est celui des entiers naturels ; on retient
que =
{}
0 1 2 3 4 5 127; ; ; ; ; ; ... ; ; ... .
Dans la suite, nous aurons aussi besoin de l’ensemble des entiers relatifs  qu’on
obtient en ajoutant aux nombres de l’ensemble , leurs nombres opposés.
On retiendra que :
=− −−−−
{
... ; ; ... ; ; ; ; ; ; ; ; ; ... ; ; ...451 4 3 2 1 0 1 2 3 451
}}
Nous utiliserons aussi l’ensemble des nombres réels  ; on retiendra que cet en-
semble contient tous les nombres connus en classe de terminales ES.
Remarque
A savoir
Lorsque () un est une suite géométrique de raison q , pour tous entiers n et
p, uuq
np
np
=×
−.
Pour démontrer qu’une suite () un est géométrique, on peut commencer par
calculer
u
u
n
n
+1.
Quelques fonctions particulières
1. Fonctions usuelles
Nom f ( x )Ensemble de définition Sens de variations
Carré
fx x ()=2 D
f
=
Décroissante sur ];]−∞ 0
Croissante sur [; [0+∞
Cube
fx x ()=3 D
f
= Croissante sur 
Racine carrée
fx x ()= D
f
=+∞[; [0 Croissante sur [; [0+∞
Inverse
fx x ()=1
D
f
=−∞ ∪ +∞];[];[00
Décroissante sur ];[−∞ 0
Décroissante sur ]; [0+∞
B
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