Conditionnement et indépendance

Conditionnement et indépendance
Patrick Soubeyrand
18 mars 2010
Exercice
1. Une urne contient 2 boules blanches et 2 boules noires.
On tire au hasard successivement et sans remise 2 boules et on aimerait connaître
la probabilité de l’événement :
E:«La première boule tirée est blanche et la deuxième est noire.»
Un élève propose le raisonnement suivant :
"Il y a 4 possibilités : BB, BN
|{z}
E
, NB et NN. Donc p(E) = 1
4."
Qu’en pensez-vous, et pourquoi?
2. L’urne contient à présent 36 boules blanches et 14 boules noires. On recom-
mence l’expérience précédente. Que vaut alors p(E)?
Solution:
1. C’est faux! En effet, si on numérote les boules et qu’on les désigne par B1, B2, N1
et N2, on constate alors que le nombre de tirages possibles est
]Ω = 4 ×3 = 12,
et que l’événement Eest réalisé uniquement par les issues B1N1, B1N2, B2N1
et B2N2. Donc le nombre d’éléments de Eest ]E = 4.D’où :
p(E) = 4
12 =1 3.
- Pourquoi est-ce faux? Parce que la réponse de l’élève ne prend pas en compte
le nombre de boules! Par exemple, avec 100 boules blanches et 2 boules noires,
il trouve encore p(E) = 1
4!!!
1

2. En dénombrant, on trouve : ]Ω = 50 ×49 et ]E = 36 ×14. D’où :
p(E) = 36 ×14
50 ×49.
Nous allons voir maintenant qu’on aurait pu donner directement p(E)sous la
forme :
p(E) = 36
50 ×14 49.
1 Probabilités conditionnelles
1.1 Introduction
Ω
A
Soit Aun événement de probabilité non nulle. On
suppose que l’événement Aest réalisé. Si on consi-
dère un autre événement, noté B, quelle est alors sa
probabilité?
Comme elle dépend de la réalisation de A, on va la noter pA(B).
Examinons d’abord deux cas particuliers :
- Cas où A∩B=∅.
Ω
A B
Les événements Aet Bétant disjoints, si Aest réa-
lisé, alors Bne peut pas l’être. D’où :
pA(B) = 0.
- Cas où A⊂B.
Ω
A B
Puisque Aest contenu dans Bet que Aest réalisé,
forcément Best réalisé! Donc
pA(B) = 1.
À présent revenons au cas général.
Ω
A B
L’idée c’est de se restreindre à A, i.e. de prendre A
comme nouvel univers. On a alors envie de prendre
p(A∩B)pour valeur de pA(B).
2

Mais, comme A∩B⊂Aet que pest une application croissante, il en résulte
0≤p(A∩B)≤p(A),
et si p(A)<1alors p(A∩B)ne peut pas atteindre la valeur 1, ce qui n’est pas le
cas de pA(B).
Pour résoudre ce problème, on normaliseen divisant par p(A), ce qui nous donne:
0≤p(A∩B)
p(A)≤1.
↑
Et voici la valeur de pA(B).
1.2 Définition
Définition 1.1 Soit Aun événement de probabilité non nulle. On définit sur Ωune
nouvelle probabilité, notée pA, en posant, pour tout événement B:
pA(B) = p(A∩B)
p(A).
La probabilité pAest appelée probabilité conditionnelle sachant que Aest réa-
lisé, et le nombre réel pA(B),probabilité de Bsachant A.
1.3 Exemples
Exemple 1 On jette un dé. Quelle est la probabilité que le résultat soit un 6 sa-
chant que c’est un nombre pair?
Soit A:«Le résultat est un nombre pair» et B:«Le résultat est un 6 ».
On demande pA(B)et il est clair que pA(B) = 1
3.
Vérifions que p(A∩B)
p(A)=1 3:
On a p(A∩B) = p(A) = 1
6et p(B) = 1 2donc p(A∩B) p(A)=1/6 1/2=1 3.
Exemple 2 Dans une classe de 40 élèves on
a la répartition ci-contre, en fonction du sexe,
d’une part, et de la première langue, d’autre part
(A=anglais, D= allemand) : D
A
8 10
13
G
9
F
3

On interroge au hasard un élève de cette classe.
a) Quelle est la probabilité qu’il étudie l’anglais sachant que c’est un garçon?
b) Quelle est la probabilité que ce soit un garçon sachant qu’il étudie l’anglais?
Soit A:«L’élève étudie l’anglais.» et G:«L’élève est un garçon.»
a) On demande pG(A)et parmi les 21 garçons il y en a 13 qui étudient l’anglais.
Donc pG(A) = 13
21. On peut vérifier que p(G∩A) p(G)=13/40 21/40 =13 21.
b) On demande pA(G)et parmi les 22 élèves qui étudient l’anglais il y a 13 gar-
çons. Donc pA(G) = 13
22. On peut vérifier que p(A∩G) p(A)=13/40 22/40 =13 22.
1.4 Probabilité d’une intersection
1. Si p(A)6= 0, il est clair alors que : p(A∩B) = p(A)×pA(B).
Exemple: Une urne contient 2 boules blanches et 2 boules noires. On tire au
hasard successivement et sans remise 2 boules. Quelle est la probabilité de l’évé-
nement E:«La première boule tirée est blanche et la deuxième est noire.»
Soit A:«La 1re est blanche.» et B:«La 2me est noire. » Alors E=A∩Bet
donc :
p(E) = p(A∩B) = p(A)×pA(B) = 2
4×2 3,
puisque, si Aest réalisé, il reste 1 boule blanche et 2 boules noires dans l’urne.
D’où : p(E) = 1
3(cf. l’exercice d’introduction).
2. Si p(B)est aussi 6= 0, alors on peut écrire que :
p(A∩B) = p(A)×pA(B) = p(B)×pB(A)
|{z }
Donc si on en connaît 3
on peut calculer la 4me .
Exemple: Lors d’une épidémie de grippe, on apprend qu’une personne sur 4 est
vaccinée contre la grippe. De plus, parmi les grippés il y a 10% de vaccinés et
parmi les vaccinés il y a 2% de grippés. Quel est le pourcentage de grippés?
On considère une personne au hasard.
Soit V:«La personne est vaccinée.» et G:«La personne est grippée.» On cherche
p(G).
4

Traduisons les données : p(V) = 1
4, pG(V) = 0,10 et pV(G) = 0,02.
Écrivons la probabilité de V∩G:
p(V∩G) = p(V)
|{z}
1/4
×pV(G)
|{z }
0,02
=p(G)×pG(V)
| {z }
0,10
.
On en déduit :
p(G) = 1/4×0,02
0,10 =1 20 = 0,05.
Il y a donc 5% de grippés.
1.5 Formule des probabilités totales
1.5.1 Cas de deux événements
Ω
B
AASi on connaît p(A∩B)et p(A∩B), peut-on en
déduire p(B)?
Comme B= (A∩B)∪(A∩B)avec A∩Bet A∩Bdisjoints, on trouve :
p(B) = p(A∩B) + p(A∩B).
1.5.2 Cas général
Ω
BA1
A2
A3
An
Si A1, A2, . . . , Anconstituent une partition de Ω
(i.e. si ce sont des parties non vides, deux à deux
disjointes, dont la réunion est Ω), alors :
p(B) = p(A1∩B) + p(A2∩B) + ···+p(An∩B).
Exemple: Les employés d’une entreprise se divisent en trois catégories : les syn-
dicalistes (la moitié), les indifférents (le tiers) et les hostiles au syndicalisme (le
reste, i.e. 1 sur 6).
Pendant une grève on trouve :
- 80% de grévistes parmi les syndicalistes,
- 50 % parmi les indifférents au syndicalisme,
- 10 % parmi les hostiles au syndicalisme.
5