Principe de moindre action et électromagnétisme (2)

Patrick VAUDON : Principe de moindre action.
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55
VI
Principe de moindre action et
électromagnétisme (2)
Le principe de moindre action ayant montré son aptitude à décrire les équations de
MAXWELL dans le vide, on s’intéresse désormais à la possibilité de décrire l’interaction entre
le champ électromagnétique et des charges en mouvement. Cela concerne essentiellement deux
types de situations :
- Le champ électromagnétique est imposé, et on souhaite déterminer le
mouvement des charges qui subissent ce champ.
- Le mouvement des charges est imposé, et on cherche à établir la relation entre
le mouvement de ces charges et le champ qui est généré.
I - Force exercée par un champ électromagnétique sur des charges en
mouvement.
L’expression de cette force a été établie par LORENTZ, et on se propose de montrer
qu’elle peut être déduite du principe de moindre action. Une particule de charge q, placée dans
un champ électromagnétique, est soumise à une force :
(
r
r r r
F = q E + vΛB
)
(VI-1)
La partie délicate consiste, comme d’habitude, à établir l’expression du lagrangien qui
traduit cette interaction entre le champ et les charges, que nous nommerons lagrangien
d’interaction électromagnétique.
De manière générale, on a vu dans la partie mécanique, que lorsque les forces dérivent
d’un potentiel généralisé au sens des équations de LAGRANGE, elles peuvent se mettre sous
la forme :
Fi =
∂L(qi, q& i, t ) d ∂L(q i, q& i, t )
−
∂qi
dt
∂q& i
(VI-2)
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où les qi sont les coordonnées ( attention : aucun rapport avec la charge q), et les Fi les
composantes de force associées à chacune de ces coordonnées.
On peut proposer une écriture vectorielle de cette relation qui permettra par la suite de
donner une notation plus concise des relations obtenues :
r r
r ∂L( rr , vr , t )
∂L( r , v, t )
r
r
− d
F=
∂r
dt
∂v
(VI-3)
r r
où on a posé v = r& .
Nous allons montrer, dans un raisonnement heuristique, que la force de LORENTZ peut
être déduite d’un potentiel généralisé (VI-2,3) à l’aide du principe de moindre action. Il s’agit
d’un potentiel généralisé, car il dépend de la vitesse de la particule alors que les potentiels
classiques de la mécanique n’en dépendent pas. La dépendance en fonction de la vitesse ne
signifie pas, dans ce cas particulier, que l’énergie potentielle va augmenter où diminuer en
fonction de la vitesse de la particule ; elle signifie qu’elle est à l’origine d’une force
orthogonale au vecteur vitesse, et qui va donc modifier cette trajectoire sans modifier l’énergie
totale du système.
Les champs électromagnétiques sont reliés au potentiel scalaire ϕ et potentiel vecteur
r
A par les relations :
r r r
B = ∇ΛA
(VI-4)
r
r
r
∂A
E = −∇.ϕ −
∂t
(VI-5)
Lorsqu’une charge est accélérée par une différence de potentiel, nous savons que
l’énergie potentielle d’interaction électromagnétique qui se transforme en énergie cinétique est
de la forme qϕ (produit de la charge par le potentiel scalaire). Puisque le lagrangien chargé de
traduire ces échanges est défini comme une énergie cinétique moins une énergie potentielle, on
devra nécessairement retrouver dans le lagrangien d’interaction électromagnétique, le terme
relatif au potentiel scalaire :
Lϕ = - q ϕ
(VI-6)
Il reste à déterminer le terme du lagrangien d’interaction électromagnétique qui, sans
contribuer à un apport d’énergie cinétique, va contribuer à une modification de la trajectoire,
comme cela se produit pour une charge en mouvement dans un champ magnétique : on peut
supposer que ce terme est une fonction du potentiel vecteur.
Pour avancer dans cette démarche, on réécrit la force de LORENTZ en fonction des
potentiels scalaires et vecteurs définis dans les relations (VI-4) et (VI-5) ci-dessus :
r
r
r
r r r

∂
A
F = q − ∇.ϕ −
+ vΛ ∇ΛA 
∂t


(
)
On développe le double produit vectoriel :
(VI-7)
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r
r r r
r
r
r r r
F = q − ∇.ϕ − ∂A + ∇. v.A − A. ∇.v 
∂t


( ( )
( ))
(VI-8)
On regroupe les termes qui permettent de mettre le gradient en facteur :
r
r
r r r 
r r r
r
r
r r r
r
r r


∂
A
∂
A
F = q −
− A. ∇.v  + q − ∇.ϕ + ∇. v.A = q −
− A. ∇.v  + q∇ − ϕ + v.A
 ∂t

 ∂t

(VI-9)
On cherche maintenant à se rapprocher de manière empirique, de l’expression de la
force déduite du principe de moindre action (VI-2, VI-3).
On note d’abord que la fonction gradient correspond ici à la dérivation par rapport au
vecteur position, si bien que la relation ci-dessus peut-être réécrite sous la forme :
( )
(
( ))
( )
(
r
r r r
r
r r
F = q − ∂A − A. ∇.v  + q ∂r − ϕ + v.A
∂r
 ∂t

( )
(
( ))
( ))
(VI-10)
Si on souhaite se rapprocher de la forme (VI-3) rappelée pour mémoire :
r r
r ∂L( rr , vr , t )
∂L( r , v, t )
d
r
r
F=
−
dt
∂v
∂r
alors l’expression
électromagnétique :
(
suivante
(VI-11)
peut
être
candidate
( ))
r r
L = q − ϕ + v.A
pour
le
lagrangien
d’interaction
(VI-12)
Il reste à vérifier que cette proposition de lagrangien introduite dans l’équation de
LAGRANGE (VI-11) redonne bien la force de LORENTZ (VI-10)
On calcule séparément :
( )
r
r
d ∂L
d
d
A
r =
qA = q
dt ∂v
dt
dt
( )
(VI-13)
De la différentielle totale :
r
r
r
r
r
∂
A
∂
A
∂
A
∂
A
dA =
dt +
dx +
dy +
dz
∂t
∂x
∂y
∂z
(VI-14)
on déduit :
r
r
r
r
r
r
r r
dA = ∂A + ∂A dx + ∂A dy + ∂A dz = ∂A + A. ∇.vr
dt
∂t
∂x dt
∂y dt
∂z dt
∂t
( )
En reportant ce résultat dans (VI-13), on obtient :
(VI-15)
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( )
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r
r r r

d ∂L
∂
A
r = q
+ A. ∇.v 
dt ∂v
 ∂t

( )
(VI-16)
ce qui achève la vérification proposée.
En résumé, la force de LORENTZ vérifie l’équation de LAGRANGE avec le
lagrangien d’interaction électromagnétique défini en (VI-12), soit donc :
{ (
( ))} + q ∂∂rr (− ϕ + (vr.Ar )) = − dtd  ∂∂r&r (− ϕ + (vr.Ar )) + q ∂∂rr (− ϕ + (vr.Ar ))
r
r r
F = − d ∂r − ϕ + v.A
dt ∂v
(VI-17)
Si on s’intéresse au mouvement d’une particule chargée de masse m dans un champ
électromagnétique, suivant le principe de moindre action, on va chercher à minimiser les
échanges entre l’énergie cinétique et l’énergie potentielle d’interaction électromagnétique, et
on posera :
(
( ))
2
r r
L = −mc2 1 − v2 + q − ϕ + v.A
c
(VI-18)
qui se réduit pour des vitesses non relativistes de la particule au lagrangien équivalent à une
constante près :
(
( ))
r r
L = 1 mv2 + q − ϕ + v.A
2
(VI-19)
En appliquant la condition de LAGRANGE aux variables spatiales et temporelles :
( )
(
)
r
r
r
r r r
∂L
r − d ∂L
r = F − m dv = q E + vΛB − m dv = 0
∂r
dt ∂v
dt
dt
(VI-20)
on obtient la relation fondamentale de la dynamique relativement à la force de LORENTZ, ce
qui assure une cohérence complète avec la mécanique classique.
En mécanique relativiste, l’impulsion d’une particule de masse au repos m est donnée
par :
r
p=
r
mv
2
1 − v2
c
(VI-21)
tandis que son énergie totale Em s’exprime sous la forme :
Em =
mc2
2
1 − v2
c
(VI-22)
d’où on déduit la relation relativiste qui relie l’énergie, l’impulsion et la masse au repos :
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E 2m = m2c4 + p 2c2
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(VI-23)
Lorsque cette particule est plongée dans un champ électromagnétique, on peut lui
attribuer le lagrangien :
(
( ))
2
r r
L = −mc2 1 − v2 + q − ϕ + v.A
c
(VI-24)
La quantité :
r
r
∂L
r = p + qA
∂v
(VI-25)
ne représente pas seulement l’impulsion, puisqu’on trouve un terme additionnel qui est
fonction du potentiel vecteur.
De même, l’énergie totale ET de la particule n’est plus seulement son énergie
relativiste : on doit lui ajouter la part de l’énergie potentielle d’interaction qui peut se
transformer en énergie cinétique :
ET = E m + qϕ
(VI-26)
Des modifications (VI-25,26), on peut réécrire la relation (VI-23) relative à l’énergie
relativiste dans un champ électromagnétique :
(ET
(
)
r 2
2
r − qA
− qϕ ) = m 2c4 + ∂L
∂v
(VI-27)
II - Equations de MAXWELL en présence de charges et de courants
Le paragraphe précédent a montré que le lagrangien relatif à une charge placée dans un
potentiel électromagnétique :
(
( ))
r r
L = q − ϕ + v.A
(VI-28)
permettait une description cohérente de l’interaction du champ électromagnétique avec cette
charge lorsque les champs électromagnétiques sont imposés.
L’interaction qui a été analysée et décrite par ce lagrangien est celle de l’influence du
champ sur le mouvement de la charge : pour fixer les idées, on peut imaginer une onde
électromagnétique qui tombe sur une antenne filaire et qui met les charges en mouvement.
On peut s’interroger sur l’aptitude de ce lagrangien à décrire une autre interaction
possible, c’est à dire celle du mouvement de la charge sur le champ électromagnétique qui est
généré. Pour fixer les idées, on peut accélérer des charges dans une antenne filaire par une ddp
adéquate, et on souhaite connaître le champ électromagnétique rayonné.
Si nous construisons une physique cohérente, le même lagrangien doit être en mesure
de décrire ces interactions réciproques.
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Dans le premier cas, les potentiels sont imposés, et on recherche l’action stationnaire en
faisant varier la trajectoire de la particule.
Dans le second cas, la trajectoire de la particule est imposée, et on doit donc rechercher
l’action stationnaire en faisant varier les potentiels. Des potentiels qui rendent l’action
stationnaire, on déduira les charges et les courants qui sont à l’origine des champs
électromagnétiques rayonnés. On doit donc retrouver de cette manière les équations de
MAXWELL en présence de charges et de courants.
Le lagrangien électromagnétique général est obtenu en écrivant que l’on va minimiser
les échanges d’énergie entre l’énergie potentielle d’interaction électromagnétique de la charge,
et une énergie électromagnétique du champ généré, déjà minimisée dans ses échanges
électriques et magnétiques (pour rester cohérent avec les résultats obtenus dans le vide), soit
donc :
(
( )) ∫∫∫ (12 ε E
r r
L = q − ϕ + v.A +
0
Ω
2
)
− 1 µ 0 H 2 dΩ
2
(VI-29)
Afin d’homogénéiser cette expression, on considère que la charge q est répartie dans le
volume Ω avec une densité ρ, ce qui conduit à la formulation suivante :
L=
(VI-30)
)
(VI-31)
2
− 1 µ 0 H 2 dΩ
2
∫∫∫ (− ρϕ + (J.A ))dΩ + ∫∫∫ (12 ε E
2
− 1 µ 0 H 2 dΩ
2
r r
0
Ω
L=
)
∫∫∫ ρ(− ϕ + (v.A ))dΩ + ∫∫∫ (12 ε E
Ω
r r
0
Ω
Ω
r
dans laquelle J représente la densité volumique de courant. On en déduit la densité volumique
lagrangienne électromagnétique en présence de charges et de courants :
(
) (
r r
∆L = − ρϕ + J.A + 1 ε0E 2 − 1 µ0H 2
2
2
)
(VI-32)
Les termes qui contiennent la densité volumique d’énergie électromagnétique ont été
analysé en détail dans le chapitre précédent : ils conduisent aux équations de MAXWELL dans
le vide. Il reste à vérifier si le principe de moindre action, appliqué aux charges et courant de la
densité lagrangienne électromagnétique (VI-32), introduit correctement les effets des charges
et courants dans ces équations.
Pour effectuer cette vérification, on applique les relations de LAGRANGE aux
potentiels, tels qu’elles ont été élaborées au chapitre précédent, soit :
















∂∆L − ∂  ∂∆L  − ∂  ∂∆L  − ∂  ∂∆L  − ∂  ∂∆L  = 0
∂A j ∂t  ∂ ∂A j   ∂x  ∂ ∂A j   ∂y   ∂A j   ∂z  ∂ ∂A j  
  ∂t  
  ∂x  
  ∂z  
 ∂ ∂y  



 
 
 

 
(VI-33)
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Puisque le détail de l’étude en espace libre, c’est à dire sans charges ni courants, a été
effectué au chapitre précédent, nous restreignons momentanément nos calculs à la densité
lagrangienne d’interaction électromagnétique introduite à l’aide de la force de LORENTZ, soit
explicitement :
(
)
r r
∆Lp = − ρϕ + J.A = −ρϕ + J x A x + J yA y + J z A z
(VI-34)
pour j = 0 : tous les termes sont nuls sauf le premier :
















∂∆Lp
∂∆Lp
∂∆Lp
∂∆Lp
∂∆Lp
∂
∂
∂
∂







 = −ρc
−
−
−
−
∂(ϕ / c ) ∂t   ∂(ϕ / c )   ∂x   ∂(ϕ / c )   ∂y   ∂(ϕ / c )   ∂z   ∂(ϕ / c )  
 ∂ ∂t  
 ∂ ∂x  
 ∂ ∂z  
 ∂ ∂y  




 
 
 
 
(VI-35)
Ce terme se rajoute à la relation obtenue au chapitre précédent pour l’espace libre (V51), ce qui donne en présence de charges et de courants :
r r
cε0∇.E − ρc = 0
(VI-36)
soit encore :
r r
ρ
∇.E =
ε0
(VI-37)
On reconnaît l’équation de MAXWELL relative à la densité volumique de charges, ce
qui conforte la cohérence du raisonnement qui a été construit autour du principe de moindre
action.
pour j = 1 : tous les termes sont nuls sauf le premier :


∂∆L − ∂  ∂∆L
∂A x ∂t   ∂A x
 ∂ ∂t
 




 − ∂  ∂∆L
  ∂x   ∂A x

 ∂ ∂x

 




 − ∂  ∂∆L
  ∂y   ∂A x

 ∂ ∂y

 




 − ∂  ∂∆L
  ∂z   ∂A x

 ∂ ∂z

 


 = J (VI-38)
x



Les lignes de calcul pour j = 2 et j = 3 ne sont pas reproduites car elles sont analogues à
celles correspondant à j = 1. Par permutation circulaire des indices x, y et z, on obtient Jy et Jz.
Ce terme se rajoute à la relation obtenue au chapitre précédent pour l’espace libre (V54, 55, 56), ce qui donne en présence de charges et de courants :
− ε0
∂By 
 ∂B
∂E x
 + Jx = 0
+ 1  z −
∂t
µ0  ∂y
∂z 
(VI-39)
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− ε0
∂E y
∂Bz 
 ∂B
+ 1  x −
+ Jy = 0
∂t
µ0  ∂z
∂x 
(VI-40)
− ε0
 ∂B
∂E Z
∂Bx 
 + Jz = 0
+ 1  y −
∂t
µ0  ∂x
∂y 
(VI-41)
Ces trois dernières relations (VI-39, 40, 41) déduites du principe de moindre action,
peuvent être sommées et synthétisées sous la forme :
r
r r r
ε0µ0 ∂E + µ0 J = ∇ΛB
∂t
(VI-42)
Nous venons d’obtenir la dernière équation de MAXWELL, en présence de charges et
de courants, comme conséquence du principe de moindre action.
III – Résumé et conclusion
Le principe de moindre action, établi sur la base d’une minimisation des échanges
énergétiques, permet de rendre compte des propriétés d’interactions des particules chargées
avec le champ électromagnétique.
Pour des particules chargées qui évoluent dans un champ électromagnétique imposé (les
potentiels scalaire et vecteur sont une donnée du problème), l’énergie potentielle d’interaction
électromagnétique se transforme en énergie cinétique, et le lagrangien qui traduit ces échanges
est de la forme :
(
( ))
2
r r
L = −mc2 1 − v2 + q − ϕ + v.A
c
(VI-43)
L’application des équations de LAGRANGE sur les variables spatiales et temporelles
de ce lagrangien permet de déterminer la force qui s’applique sur la particule, ainsi que sa
trajectoire.
Pour des particules dont le mouvement est imposé (la position et la vitesse de la
particule sont une donnée du problème), l’énergie potentielle d’interaction se transforme en
énergie électromagnétique, dont l’évolution entre énergie électrique et énergie magnétique est
elle même régie par le principe de moindre action. La densité lagrangienne qui traduit ces
échanges d’énergie est de la forme :
(
)
(
r r
∆L = − ρϕ + J .A + 1 ε0E2 − 1 µ0H 2
2
2
)
(VI-44)
L’application des équations de LAGRANGE sur les variables représentant le potentiel
scalaire, et les composantes du potentiel vecteur, conduit aux équations de MAXWELL en
présence de charges et de courant.
On notera dans ces expressions le rôle particulier de l’énergie potentielle d’interaction
électromagnétique et du lagrangien associé :
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(
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( ))
r r
L = q − ϕ + v.A
(VI-45)
qui assure la cohérence à la fois vers une transformation en énergie mécanique (énergie
cinétique) et une énergie électromagnétique transportée par l’onde générée.
Pour une particule chargée de masse au repos m, où un système de particules chargées,
les quantités lagrangiennes détaillées ci-dessus peuvent être regroupées pour définir un
lagrangien général qui permet de retrouver à la fois le mouvement d’une particule chargée dans
un champ électromagnétique et les équations de MAXWELL :
(
( )) ∫∫∫ (12 ε E
2
r r
L = −mc2 1 − v2 + q − ϕ + v.A +
c
0
Ω
2
)
− 1 µ0H 2 dΩ
2
(VI-46)
Puisque le dernier terme ne dépend pas explicitement de la position et de la vitesse de la
particule, il n’intervient pas dans les équations de LAGRANGE relatives à ces grandeurs qui
permettent de déterminer la trajectoire de la particule.
Puisque le premier terme ne dépend pas explicitement des potentiels, il n’intervient pas
dans les équations de LAGRANGE relatives à ces grandeurs qui permettent de retrouver les
équations de MAXWELL.