Suites et séries numériques de PCSI

Suites et séries numériques de PCSI
II - Généralités sur les suites numériques
On appellera suite réelle tout élément de R
N
.
1) Convergence — Unicité de la limite
Étant donné un réel ℓ, on dit que la suite réelle (u
n
)admet ℓpour limite si et seulement si
∀ε > 0∃n
0
∈N∀n∈Nn≥n
0
⇒ |u
n
−ℓ| ≤ ε.
Lorsqu’un tel nombre ℓexiste, on dit que la suite (u
n
)est convergente, ou encore qu’elle admet une
limite finie.
Le nombre ℓest alors unique, appelé la limite de la suite (u
n
), noté lim
n→∞
u
n
.
Dans le cas contraire, on dit que la suite (u
n
)est divergente.
On dit que (u
n
)admet pour limite +∞(resp. −∞) si et seulement si
∀A > 0∃n
0
∈N∀n∈Nn≥n
0
⇒u
n
≥A(resp. u
n
≤ −A).
Attention ! Dans le cas où (u
n
)admet pour limite ±∞,(u
n
)est divergente.
2) Composition de limites
Soient fune fonction numérique et (u
n
)
n∈N
une suite réelle telle que u
n
soit dans l’ensemble de définition
de fà partir d’un certain rang.
Si (u
n
)
n∈N
converge vers aet si fadmet une limite ℓen a, alors la suite f(u
n
)
n∈N
converge vers ℓ.
Si (u
n
)
n∈N
converge vers aet si fest continue en a, alors la suite f(u
n
)
n∈N
converge vers f(a).
3) Convergence et relation d’ordre
a) Passage à la limite dans une inégalité
Si (u
n
)
n∈N
et (v
n
)
n∈N
sont deux suites réelles convergentes telles que, à partir d’un certain rang,
u
n
≤v
n
, alors lim (u
n
)≤lim (v
n
).
Attention ! Avant d’appliquer cette propriété, bien justifier l’existence des limites (voir aussi le para-
graphe suivant).
Attention ! Les inégalités strictes ne se transmettent pas en général (cf. ∀n∈N
∗
1
n>0).
b) Théorème d’encadrement
Soient (u
n
)
n∈N
,(v
n
)
n∈N
,(w
n
)
n∈N
trois suites réelles telles que :
•à partir d’un certain rang, u
n
≤v
n
≤w
n
;
•(u
n
)
n∈N
et (w
n
)
n∈N
convergent vers une même limite ℓ.
Alors (v
n
)
n∈N
converge également vers ℓ.
Attention ! Ce n’est pas le cas sans l’hypothèse de la limite commune à(u
n
)
n∈N
et (w
n
)
n∈N
(cf. ∀n∈N−1≤(−1)
n
≤1).
NB : Ce résultat permet d’établir la convergence de (v
n
)
n∈N
, contrairement au “passage à la limite”.

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4) Convergence des suites monotones
Théorème : toute suite réelle croissante majorée converge ;
toute suite réelle décroissante minorée converge.
Plus précisément, si (u
n
)
n∈N
est une suite réelle croissante, alors
lim
n→∞
u
n
= sup {u
n
, n ∈N} ∈ R∪ {+∞}
(soit elle est majorée, auquel cas elle converge, soit elle a pour limite +∞).
De même, si (u
n
)
n∈N
est une suite réelle décroissante, alors
lim
n→∞
u
n
= inf {u
n
, n ∈N} ∈ R∪ {−∞}
(soit elle est minorée, auquel cas elle converge, soit elle a pour limite −∞).
5) Suites adjacentes
Définition : deux suites réelles (a
n
)
n∈N
et (b
n
)
n∈N
sont adjacentes si et seulement si l’une est croissante,
l’autre décroissante et lim
n→∞
(a
n
−b
n
) = 0.
Théorème : si (a
n
)
n∈N
et (b
n
)
n∈N
sont adjacentes, avec (a
n
)
n∈N
croissante et (b
n
)
n∈N
décroissante,
alors ∀(p, q)∈N
2
a
p
≤b
q
et (a
n
)
n∈N
et (b
n
)
n∈N
convergent vers une même limite.
NB : un énoncé équivalent est le théorème des segment emboîtés : si [a
n
, b
n
]
n∈N
est une suite décrois-
sante de segments de R, telle que lim
n→∞
(a
n
−b
n
) = 0, alors 
n∈N
[a
n
, b
n
]est un singleton.
Remarque pratique : pour montrer que deux suites sont adjacentes, sachant que l’une est croissante
et l’autre décroissante, penser éventuellement à montrer d’abord que les deux convergent (par exemple
à l’aide du § 1), puis que leurs limites sont égales (en utilisant les définitions des suites). On en déduit
que la différence converge vers 0 !
6) Suites extraites
Définition : on appelle suite extraite (ou sous-suite) d’une suite (a
n
)
n∈N
toute suite de la forme
a
ϕ(n)
n∈N
, où ϕest une application strictement croissante de Ndans N(en parti-
culier lim
+∞
ϕ= +∞).
Exemples : (a
n+1
)
n∈N
,(a
2n
)
n∈N
,(a
2
n
)
n∈N
sont des suites extraites de (a
n
)
n∈N
.
Propriété : si (a
n
)
n∈N
admet une limite (dans R), alors toute suite extraite de (a
n
)
n∈N
admet la même
limite.
Exercice classique : si (a
2n
)
n∈N
et (a
2n+1
)
n∈N
admettent une même limite ℓ, alors (a
n
)
n∈N
admet
pour limite ℓ(mais cf. (−1)
n
n∈N
. . . ).
IIII - Quelques idées pour l’étude de suites récurrentes
1) Généralités
On se donne une application f:D→Ret on s’intéresse aux suites réelles (u
n
)
n∈N
définies par la donnée
de u
0
, dans l’ensemble de définition Dde f, et la relation de récurrence : ∀n∈Nu
n+1
=f(u
n
).
a) Définition de la suite (u
n
)
n∈N
On peut chercher une partie Fde D, stable par f, telle que u
0
∈F; il est alors clair par récurrence
que la suite est définie et a tous ses termes dans F.

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b) Représentation graphique
Ayant tracé le graphe Γde fet la bissectrice ∆du repère (d’équation y=x), partant du point (u
0
, u
1
)
de Γ, on trace un segment parallèle à Ox pour rejoindre (u
1
, u
1
)de ∆, puis un segment parallèle à Oy
pour rejoindre (u
1
, u
2
)de Γ,. . .
c) Limites possibles
Si (u
n
)
n∈N
converge vers ℓet fcontinue en ℓ, nécessairement f(ℓ) = ℓ.
d) Cas où fest croissante
Si f:F→Fest croissante sur F, on montre par récurrence que (u
n
)
n∈N
est monotone :
si u
0
< u
1
, alors (u
n
)
n∈N
est croissante ; si u
0
> u
1
, alors (u
n
)
n∈N
est décroissante.
NB : la position de u
0
par rapport à u
1
peut-être fournie par l’étude du signe de f(x)−x.
e) Cas où fest décroissante
Si f:F→Fest décroissante sur F, alors les deux sous-suites (u
2p
)
p∈N
et (u
2p+1
)
p∈N
sont monotones,
de sens contraires :
•si u
0
< u
2
, alors (u
2p
)
p∈N
est croissante et (u
2p+1
)
p∈N
décroissante ;
•si u
0
> u
2
, alors (u
2p
)
p∈N
est décroissante et (u
2p+1
)
p∈N
croissante.
En effet, ces deux suites sont des suites récurrentes associées à la fonction f◦f, qui est croissante !
NB : la position de u
0
par rapport à u
2
peut-être fournie par l’étude du signe de f◦f(x)−x.
Rappel :(u
n
)
n∈N
converge vers ℓsi et seulement si(u
2p
)
p∈N
et (u
2p+1
)
p∈N
convergent vers ℓ.
2) Rapidité de convergence
a) Cas d’une fonction contractante
Supposons f:F→Fet k∈[0,1[ tels que : ∀(x, y)∈F
2
|f(x)−f(y)| ≤ k· |x−y|(penser à
l’inégalité des accroissements finis . . . ).
Si fadmet pour point fixe ℓdans Fet si u
0
∈F, une récurrence immédiate montre que
∀n∈N|u
n
−ℓ| ≤ k
n
· |u
0
−ℓ|
(majoration par une suite géométrique). On a convergence très rapide de (u
n
)
n∈N
vers ℓ.
b) Convergence quadratique
Supposons f:F→F,λ∈R
+∗
et ℓ∈Fpoint fixe de ftels que : ∀x∈F|f(x)−ℓ| ≤ λ·|x−ℓ|
2
.
Si u
0
∈Fet p∈N, une récurrence immédiate montre que
∀n≥p|u
n
−ℓ| ≤ λ
2
n−p
−1
· |u
p
−ℓ|
2
n−p
Pourvu que |λ·(u
p
−ℓ)|<1, pour une certaine valeur de p, on a convergence “ultra-rapide” de (u
n
)
n∈N
vers ℓ. On a coutume de dire que le nombre de décimales exactes est doublé à chaque itération (si l’on
considère u
n
comme une valeur approchée de ℓ).
Exemple : pour a > 0donné, soient F= [√a, +∞[et f:x→ 1
2x+a x; on vérifie que √aest point
fixe de fet que
∀x∈Ff(x)−√a=1
2xx−√a
2
≤1
2√ax−√a
2
Pour a= 2 et u
0
= 2, on trouve :
u
1
≈1.5000000000000000000000000000000000000000000000000
u
2
≈1.4166666666666666666666666666666666666666666666667
u
3
≈1.4142156862745098039215686274509803921568627450980
u
4
≈1.4142135623746899106262955788901349101165596221157
u
5
≈1.4142135623730950488016896235025302436149819257762
u
6
≈1.4142135623730950488016887242096980785696718753772
tandis que :
√2 = 1.4142135623730950488016887242096980785696718753769 . . .

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c) Obtention d’équivalents à l’aide du théorème de Cesàro
On suppose ici Fde la forme [0, b](b > 0) et f:F→Ftelle que
f(x) = x−a.x
p
+o(x
p
)où a > 0, p > 1
Alors, pour u
0
>0, suffisamment proche de 0, il est aisé de vérifier que (u
n
)
n∈N
décroît vers 0.
On cherche αtel que v
n
=1
u
α
n+1
−1
u
α
n
admette une limite réelle non nulle :
v
n
∼u
α
n
−u
α
n+1
u
2α
n
car u
n+1
∼u
n
puisque f(x)∼
0
x
or
u
α
n+1
=f(u
n
)
α
=u
α
n
·1−a.u
p−1
n
+ou
p−1
n
α
=u
α
n
·1−α.a.u
p−1
n
+ou
p−1
n
d’où
v
n
∼α.a ·u
p−1−α
n
On choisit donc α=p−1, alors (v
n
)converge vers (p−1) .a et, par sommation, le théorème de Cesàro
permet de montrer que 1
u
p−1
n
∼n. (p−1) .a
d’où
u
n
∼1
(p−1) .a.n 
1
p−1
Exemple : avec f:x→ sin x,b= 1, a =1
6, p = 3, on obtient u
n
∼3
n(convergence lente !)
3) Suites arithmético-géométriques
Ici F=Ret f:x→ ax +b(a∈R\{0,1}et b∈R
∗
). Les idées précédentes s’appliquent, mais on peut
exprimer directement u
n
en fonction de n:
•on détermine le point fixe ωde f:ω=b
1−a;
•on remarque que la suite (u
n
−ω)
n∈N
est géométrique, de raison a.
Par suite,
∀n∈Nu
n
=ω+a
n
.(u
0
−ω)
et (u
n
)
n∈N
converge (vers ω) si et seulement si (|a|<1ou u
0
=ω).
4) Récurrences homographiques
Ici f:x→ ax +b
cx +davec c= 0 et ad −bc = 0 ;fest une bijection de R\−d cdans R\a c; la
définition de la suite (u
n
)
n∈N
dans le cas général n’est pas triviale, il est bon de trouver Fstable par
f. . . Précisément, (u
n
)
n∈N
est définie si et seulement si u
0
n’appartient pas à l’ensemble des valeurs
prises par la suite (v
n
)
n∈N
telle que
v
0
=−d
cet ∀n v
n+1
=f
−1
(v
n
)(tant qu’elle est définie !)
Les points fixes de fsont les solutions d’une équation du second degré.
On peut ici aussi exprimer directement u
n
en fonction de n:
•si fadmet deux points fixes distincts αet β, on vérifie que la suite u
n
−α
u
n
−βest géométrique ;
•si fadmet un unique point fixe α(racine double. . . ), on vérifie que la suite 1
u
n
−αest
arithmétique.

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IIIIII - Séries numériques
1) Définitions — Notion de convergence
Soit (u
n
)
n∈N
une suite d’éléments de K(K=Rou C).
On appelle série de terme général u
n
, notée u
n
, la suite (S
p
)
p∈N
définie par :
∀p∈NS
p
=
p
n=0
u
n
.
Pour tout pdans N,S
p
est la somme partielle de rang pde la série.
Ainsi la série u
n
est dite convergente si et seulement si la suite (S
p
)
p∈N
converge, auquel cas sa limite
Sest la somme de la série ; on écrit alors :
S=
∞
n=0
u
n
= lim
p→∞
p
n=0
u
n
et l’on appelle reste de rang pde la série la différence R
p
=S−S
p
.
La série u
n
est dite divergente lorsque la suite (S
p
)diverge (y compris lorsque S
p
−→
p→∞
±∞).
Remarques :
1) On associe de même à une suite (u
n
)
n≥n
0
, définie à partir d’un certain rang n
0
, la série 
n≥n
0
u
n
.
2) Si u
n
converge, alors, pour tout p,
n≥p+1
u
n
converge également (les sommes partielles de ces
deux séries diffèrent d’une constante !) et le reste de rang ps’écrit :
R
p
=S−S
p
=
∞
n=p+1
u
n
.
3) Pour toute suite (S
p
), il existe une unique suite (u
n
)telle que (S
p
)soit la suite des sommes partielles
de la série u
n
; cette suite (u
n
)est définie par :
u
0
=S
0
et ∀n≥1u
n
=S
n
−S
n−1
4) Une suite (v
n
)converge si et seulement si la série (v
n+1
−v
n
)converge, avec en outre, en cas de
convergence,
∞
n=0
(v
n+1
−v
n
) = lim
n→∞
v
n
−v
0
Condition nécessaire de convergence : si la série u
n
converge, alors lim
n→∞
u
n
= 0
et donc si (u
n
)ne converge pas vers 0, alors u
n
diverge (on parle de divergence grossière ou triviale).
Dém. u
n
=S
n
−S
n−1
pour n≥1. . .
Attention ! Réciproque fausse ! ! (voir 
n≥1
(ln (n+ 1) −ln n),√n+ 1 −√n,
n≥1
1
n,. . . )
Exemples :
1) (−1)
n
,
n≥1
1
n
α
pour α∈R
−
divergent grossièrement.
2) 
n≥1
1
n(n+ 1) converge et a pour somme 1 (c’est 
n≥1
1
n−1 n+ 1).