⋇ Nombres complexes ⋇ Définitions Définition de ℂ Il existe un ensemble ℂ dont les éléments s’écrivent de manière unique sous la forme a + ib avec a et b ∈ ℝ et i tel que i² = -1 * L’écriture d’un complexe z sous la forme a + ib s’appelle la forme cartésienne ou algébrique de z * On peut identifier ℂ à ℝ² Règles de calcul (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d) (a + ib) × (c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc) * L’addition et la multiplication vérifient les propriétés de commutativité, d’associativité et de distributivité. Tout complexe non nul a un inverse. Tout ceci confère à ℂ une structure de corps. Définition – Parties réelle et imaginaire Soit z = a + ib ∈ ℂ. Les réels a et b sont appelés respectivement partie réelle et partie imaginaire de z. On note : a = Re(z) et b = Im(z) * Un nombre complexe de partie imaginaire nulle est un réel et un nombre complexe de partie réelle nulle est un imaginaire pur Proposition Soient z1, z2 ∈ ℂ. Alors Re(z1 + z2) = Re(z1) + Re(z2) et Im(z1 + z2) = Im(z1) + Im(z2) * Ce n’est pas vrai pour la multiplication Définition – Conjugué d’un nombre complexe Soit z = a + ib ∈ C. On appelle conjugué de z le nombre complexe z̅ défini par z = a − ib Propriétés de la conjugaison Re(z) = Re(z̅) et Im(z̅) = −Im(z) Re(z) = z+z̅ 2 et Im(z) = z−z̅ 2i z̿ = z * z est réel ssi z̅ = z , z est imaginaire pur ssi z̅ = −z Propriétés – Conjugaison et opérations Soient z1, z2 ∈ ℂ. Alors ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ z1 + z2 = z̅1 + z̅2 z1 − z2 = z̅1 − z̅2 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ z1 z2 = z̅1 z̅2 ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ z z ̅̅̅ ( 1) = 1 z2 z2 ̅̅̅ Définition – Module d’un nombre complexe Soit z ∈ ℂ. Alors zz̅ est un réel positif. On appelle module de z le réel positif défini par |z| = √zz̅ Proposition – Propriétés du module Soit z ∈ ℂ. |z| = √Re(z)2 + Im(z)2 z = 0 ssi |z| = 0 |z| = |z̅| Si z ≠ 0, 1 z z̅ = |z|2 |Re(z)| ≤ |z| et |Im(z)| ≤ |z| 19/04/2017 Algèbre – Nombres complexes | 1 Proposition – Module et opérations |𝑧1 𝑧2 | = |𝑧1 ||𝑧2 | |𝑧1 | |𝑧1 + 𝑧2 | ≤ |𝑧1 | + |𝑧2 | |𝑧 𝑛 | = |𝑧|𝑛 |𝑧1 − 𝑧2 | ≥ ||𝑧1 | − |𝑧2 || 19/04/2017 |𝑧2 | 𝑧 = | 1| 𝑧2 Algèbre – Nombres complexes | 2 Le plan complexe Définition – Image d’un complexe et affixe d’un point ou d’un vecteur On munit le plan euclidien E d’un repère orthonormé ℛ = (O, ⃗i, ⃗j) On appelle image d’un complexe z le point M de coordonnées (Re(z), Im(z)) dans le repère orthonormé ℛ On appelle affixe du point M de coordonnés (x, y) dans le repère orthonormé ℛ le complexe z = x + iy On appelle affixe du vecteur u ⃗⃗ = ai⃗ + bj⃗ le complexe z = a + ib Proposition Soient A et B deux points d’affixes respectives a et b. Alors le vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AB a pour affixe b – a Interprétation géométrique du conjugué ̅ de M par rapport à Si z est l’affixe d’un point M, alors z̅ est l’affixe du symétrique M l’axe des abscisses Interprétation géométrique du module Si z est un nombre complexe d’image le point M, alors |z| = 𝑂𝑀 Si u ⃗⃗ est un vecteur d’affixe z alors |z| = ‖u ⃗⃗‖ Proposition Si A et B sont deux points d’affixes respectifs a et b, alors AB = |b − a| Interprétation géométrique de l’inégalité triangulaire L’inégalité triangulaire |𝑧1 + 𝑧2 | ≤ |𝑧1 | + |𝑧2 | s’interprète par OB ≤ OA + AB 19/04/2017 L’inégalité triangulaire |𝑧1 − 𝑧2 | ≥ ||𝑧1 | − |𝑧2 || s’interprète par AB ≥ |OB − OA| Algèbre – Nombres complexes | 3 Groupe 𝕌 des complexes de module 1 Définition – 𝕌 On note 𝕌 l’ensemble des complexes de module 1. Cet ensemble muni de la loi multiplicative a une structure de groupe. * L’image des points de 𝕌 est le cercle de centre O et de rayon 1, c’est-à-dire le cercle trigonométrique Proposition 1 Soit u ∈ ℂ. Alors u ∈ 𝕌 ⇔ 𝑢̅ ∈ 𝕌 ⇔ = 𝑢̅ 𝑢 Définition – Notation 𝐞𝐢𝛉 Pour θ ∈ ℝ, on note eiθ le complexe cos θ + i sin θ Proposition Pour tout θ ∈ ℝ, eiθ ∈ 𝕌. Réciproquement, pour tout z ∈ 𝕌, il existe θ ∈ ℝ tel que 𝑧 = eiθ 𝕌 = {eiθ , θ ∈ ℝ} Proposition – Conjugué de 𝐞𝐢𝛉 Soit θ ∈ ℝ. Alors ̅̅̅̅ eiθ = 1 eiθ = e−iθ Proposition – Relation d’Euler Pour θ ∈ ℝ, cos θ = eiθ +e−iθ 2 et sin θ = eiθ −e−iθ 2i Propositions Soient θ1 , θ2 ∈ ℝ, alors on a : ei(θ1+θ2) = eiθ1 eiθ2 eiθ1 = eiθ2 ssi θ1 ≡ θ2 [2𝜋] n Par récurrence on a (eiθ ) = einθ pour tout entier relatif n Formule de Moivre Pour θ ∈ ℝ et n ∈ ℤ 19/04/2017 (cos θ + i sin θ)n = cos nθ + i sin nθ Algèbre – Nombres complexes | 4 Argument d’un complexe non nul Définition – Argument d’un complexe non nul Soit z un complexe non nul. Tout réel θ tel que 𝑧 = |𝑧|eiθ est appelé un argument de z Proposition Soient z un complexe non nul et θ0 un argument de z. L’ensemble des arguments de z est θ0 + 2πℤ = {θ0 + 2kπ, k ∈ ℤ} Proposition Soient z1, z2 ∈ ℂ∗ . Alors |z1 | = |z2 | z1 = z2 ⇔ { arg(z1 ) ≡ arg(z2 ) [2π] * Tout complexe non nul admet un argument unique dans l’intervalle ]−𝜋, 𝜋] On l’appelle l’argument principal. Proposition Soient z1, z2 ∈ ℂ∗ . Alors z arg(z1 z2 ) ≡ arg(z1 ) + arg(z2 )[2π] et arg ( 1) = arg(z1 ) − arg(z2 )[2π] z2 * Soit z un complexe non nul. z est réel ssi arg(z) ≡ 0[2π] π z est imaginaire pur ssi arg(z) ≡ [2π] 2 Interprétation géométrique de l’argument Si z est un nombre complexe non nul d’image le point M, alors arg(z) est une mesure de l’angle orienté (i⃗, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ OM) Si u ⃗⃗ est un vecteur non nul d’affixe z, alors arg(z) est une mesure de l’angle orienté (i⃗, u ⃗⃗ ) Proposition – Lien avec les coordonnées polaires Le point M d’affixe ρeiθ a pour coordonnées polaires [ρ, θ] Proposition Soient A et B deux points distincts d’affixes respectifs a et b. Alors arg(b − a) est une mesure de l’angle orienté (i⃗, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AB ) Proposition Soient A, B et M trois points distincts d’affixes respectifs a, b et z. Alors arg ( 19/04/2017 z−b z−a ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗, MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) ) est une mesure de l’angle orienté (MA Algèbre – Nombres complexes | 5 Racines nèmes Définition – Racines nèmes de l’unité Soit n un entier naturel non nul. On appelle racines n èmes de l’unité tout nombre complexe tel 𝑧 𝑛 = 1. Ce sont des éléments de 𝕌. On note 𝕌n l’ensemble des racines nèmes de l’unité. Proposition Il existe exactement n racines nèmes de l’unité qui sont les complexes ωk = ei 𝕌n = 2kπ {ei n , k ∈ ℤ} = 2kπ {ei n , k 2kπ n avec k ∈ ⟦0,n-1⟧ ∈ ⟦0, n − 1⟧} * Les ωk sont toutes des puissances de ω1 2π * les racines cubiques de l’unité sont 1, j et j² avec 𝑗 = ei 3 Interprétation géométrique des racines nèmes de l’unité Les images des racines nèmes de l’unité sont disposées régulièrement sur le cercle trigonométrique (ici n = 10) Elles sont les sommets d’un polygone régulier à n côtés Géométriquement on voit que la somme des racines n èmes de l’unité est nulle puisque c’est le centre de gravité du polygone qui a pour affixe 0 Définition – Racines nèmes d’un complexe non nul Soient a un complexe non nul et n ∈ ℕ*. On appelle racines nèmes de a tout complexe z tel que z n = a Proposition Soient a a un complexe non nul et n ∈ ℕ*. Si z0 est une racines nèmes de a alors l’ensemble des racines nèmes de a est z0 𝕌n = {z0 ω, ω ∈ 𝕌n } Corollaire Soient a un complexe non nul de module r et d’argument θ et et n ∈ ℕ*. Alors a admet exactement n racines nèmes qui sont 1 θ 2kπ ) n r n ei(n+ avec k ∈ ⟦0,n-1⟧ * Pour déterminer les racines nèmes d’un complexe a , on met donc a sous forme trigonométrique et on utilise ce corollaire 19/04/2017 Algèbre – Nombres complexes | 6 Equations du second degré Proposition – Racines carrées d’un complexe Tout complexe non nul admet deux racines carrées opposées * 0 n’admet que lui-même comme racine carré * Si a est un réel > 0 les racines carrées de a sont √a et −√a * Si a est un réel < 0 les racines carrées de a sont 𝑖 √−a et −i√−a * attention √a n’a de sens que pour a réel positif !! Méthode pour déterminer les racines d’un complexe * méthode algébrique Soit Z = X + iY une racine carrée d’un complexe non réel z = a + ib On a donc Z² = z. On considère la partie réelle et le module de Z² et z et on obtient X² − Y² = a et X² + Y² = √a² + b² On détermine les valeurs de X² et Y² ce ui nous donne 4 solutions possibles pour le couple (X, Y). En considérant la partie imaginaire de Z² et z, on a 2XY = b donc XY est du signe de b et on a finalement plus que 2 solutions * méthode trigonométrique θ Si on connaît la forme trigonométrique d’un complexe non nul z = reiθ , alors les racines carrées de z sont ±√rei2 Proposition – Equations du second degré à coefficients complexes Soient a, b, c trois complexes avec a non nul Considérons l’équation az² + bz + c = 0 dont ∆= b² − 4ac est son discriminant Si ∆≠ 0, l’équation admet deux racines distinctes z = Si ∆= 0, l’équation admet une racine double z = −b±δ 2a où δ est une racine carrée de ∆ −b 2a Proposition – Equations du second degré à coefficients réels Soient a, b, c trois complexes avec a non nul Considérons l’équation az² + bz + c = 0 dont ∆= b² − 4ac est son discriminant Si ∆> 0, l’équation admet deux racines réelles distinctes z = −b±√∆ 2a Si ∆< 0, l’équation admet deux racines complexes distinctes et conjuguées z = Si ∆= 0, l’équation admet une racine réelle double z = −b±i√−∆ 2a −b 2a Proposition – Lien coefficients-racines Soient a, b, c trois complexes avec a non nul. 𝑏 𝑐 𝑎 𝑎 Alors deux complexes 𝑧1 et 𝑧2 sont solutions de l’équation az² + bz + c = 0 ssi 𝑧1 + 𝑧2 = − et 𝑧1 𝑧2 = 19/04/2017 Algèbre – Nombres complexes | 7 Complexes et géométrie Proposition – Barycentres Soient M1 , …, Mn n points d’affixes z1 , …, zn . Soient α1 , …, αn n réels tels que A = ∑ni=1 αi ≠ 0. Alors le barycentre de 1 (M1 , α1 ), …, (Mn , αn ) est le point d’affixe ∑ni=1 αi zi A Proposition – Colinéarité et orthogonalité de vecteurs Soient u ⃗⃗ et v ⃗⃗ deux vecteurs d’affixes respectifs z1 et z2 . Alors ⃗⃗ et v u ⃗⃗ sont colinéaires ⇔ z2 z1 ∈ ℝ (avec z1 ≠ 0) ⇔ z1 z̅2 ∈ ℝ ⃗⃗ et v u ⃗⃗ sont orthogonaux ⇔ z2 z1 ∈ iℝ (avec z1 ≠ 0) ⇔ z1 z̅2 ∈ iℝ Proposition – Parallélisme et perpendicularité de droites Soient A, B, C, D quatre points d’affixes respectifs a, b, c et d. On suppose A ≠ B et C ≠ D d−c ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ (AB) et (CD) sont parallèles ⇔ ∈ ℝ ⇔ (d − c)(b − a) ∈ ℝ b−a (AB) et (CD) sont perpendiculaires ⇔ d−c b−a ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ∈ iℝ ⇔ (d − c)(b − a) ∈ iℝ Proposition – Alignement et angle droit Soient A, b et C trois points d’affixes respectifs a, b, c. alors A, B, C alignés ⇔ d−c b−a ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ∈ ℝ (si a et B sont distincts) ⇔ (d − c)(b − a) ∈ ℝ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̂ est un angle droit ⇔ d−c ∈ iℝ (si a et B sont distincts) ⇔ (d − c)(b BAC − a) ∈ iℝ b−a Proposition – Translation Soit a ∈ ℂ. L’application M(z) ⟼ M’(z + a) est une translation de vecteur u ⃗⃗d’affixe a Proposition – Symétrie L’application M(z) ⟼ M’(z̅) est la symétrie par rapport à l’axe des abscisses. Définition – Similitude directe On appelle similitude directe de centre A, d’angle θ et de rapport λ, la composée s de la rotation r de centre A et d’angle θ et de l’homothétie h de centre A et de rapport λ. De plus, r et h commutent. s=hor=roh Proposition Soient a ∈ ℂ\{1} et b ∈ ℂ. Alors il existe un unique ω tel que aω + b = ω L’application M(z) ⟼ M’(az + b) est la similitude de centre Ω(ω), d’angle arg(a) et de rapport |a| 19/04/2017 Algèbre – Nombres complexes | 8 Exponentielle complexe Définition – Exponentielle complexe Soit z = a + ib ∈ ℂ. On définit l’exponentielle complexe de z par ez = ea eib Propriétes de l’exponentielle L’exponentielle complexe a les mêmes propriétés que l’exponentielle réelle Soient z1 , z2 ∈ ℂ. Alors 𝑒 z1+z2 = 𝑒 z1 𝑒 z2 Soit z ∈ ℂ. Alors ez ≠ 0 et 1 ez = e−z Proposition – Module et argument Soit z ∈ ℂ. Alors |ez | = eRe(z) et arg(ez ) ≡ Im(z)[2π] Proposition – Surjectivité de l’exponentielle Tout nombre complexe non nul z admet des antécédents par l’exponentielle. Si Z est un antécédent de z, alors ses autres antécédents sont les 𝑍 + 2𝑖𝑘𝜋 avec k ∈ ℤ * L’exponentielle complexe est surjective sur ℂ∗ : tout nombre complexe admet au moins un antécédent (en fait une infinité) 19/04/2017 Algèbre – Nombres complexes | 9