Nombres complexes

19/04/2017 Algèbre – Nombres complexes | 1
 Nombres complexes 
Définitions
Définition de 
Il existe un ensemble  dont les éléments s’écrivent de manière unique sous la forme a + ib avec a et b   et i tel que i² = -1
* L’écriture d’un complexe z sous la forme a + ib s’appelle la forme cartésienne ou algébrique de z
* On peut identifier  
Règles de calcul
(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)
(a + ib) × (c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc)
* L’addition et la multiplication vérifient les propriétés de commutativité, d’associativité et de distributivité. Tout complexe
non nul a un inverse. Tout ceci confère à  une structure de corps.
Définition – Parties réelle et imaginaire
Soit z = a + ib . Les réels a et b sont appelés respectivement partie réelle et partie imaginaire de z.
On note : a = Re(z) et b = Im(z)
* Un nombre complexe de partie imaginaire nulle est un réel et un nombre complexe de partie réelle nulle est un imaginaire
pur
Proposition
Soient z1, z2  . Alors
Re(z1 + z2) = Re(z1) + Re(z2) et Im(z1 + z2) = Im(z1) + Im(z2)
* Ce n’est pas vrai pour la multiplication
Définition – Conjugué d’un nombre complexe
Soit z = a + ib  C. On appelle conjugué de z le nombre complexe  défini par z = a − ib
Propriétés de la conjugaison
Re(z) = Re() et Im() = −Im(z)
 et 
* z est réel ssi    , z est imaginaire pur ssi   
Propriétés – Conjugaison et opérations
Soient z1, z2  . Alors
Définition – Module d’un nombre complexe
Soit z  . Alors  est un réel positif. On appelle module de z le réel positif défini par 
Proposition – Propriétés du module
Soit z  .
z = 0 ssi  
Si z  0, 
 et 

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Proposition – Module et opérations

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Le plan complexe
Définition – Image d’un complexe et affixe d’un point ou d’un vecteur
On munit le plan euclidien E d’un repère orthonormé  = 
On appelle image d’un complexe z le point M de coordonnées (Re(z), Im(z)) dans le
repère orthonormé 
On appelle affixe du point M de coordonnés (x, y) dans le repère orthonormé  le
complexe z = x + iy
On appelle affixe du vecteur 
  le complexe z = a + ib
Proposition
Soient A et B deux points d’affixes respectives a et b. Alors le vecteur  a pour affixe b – a
Interprétation géométrique du conjugué
Si z est l’affixe d’un point M, alors  est l’affixe du symétrique 
 de M par rapport à
l’axe des abscisses
Interprétation géométrique du module
Si z est un nombre complexe d’image le point M, alors 
Si 
est un vecteur d’affixe z alors 
Proposition
Si A et B sont deux points d’affixes respectifs a et b, alors  
Interprétation géométrique de l’inégalité triangulaire
L’inégalité triangulaire  s’interprète
par OB  OA + AB
L’inégalité triangulaire   s’interprète
par   

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Groupe  des complexes de module 1
Définition – 
On note  l’ensemble des complexes de module 1. Cet ensemble muni de la loi multiplicative a une structure de groupe.
* L’image des points de  est le cercle de centre O et de rayon 1, c’est-à-dire le cercle trigonométrique
Proposition
Soit u  . Alors u        
Définition – Notation 
Pour   , on note  le complexe 
Proposition
Pour tout   ,   . Réciproquement, pour tout z  , il existe    tel que   
Proposition – Conjugué de 
Soit   . Alors 
Proposition – Relation d’Euler
Pour   ,   
 et   
Propositions
Soient ,  , alors on a :
  ssi  
Par récurrence on a   pour tout entier relatif n
Formule de Moivre
Pour    et n     

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Argument d’un complexe non nul
Définition – Argument d’un complexe non nul
Soit z un complexe non nul. Tout réel  tel que   est appelé un argument de z
Proposition
Soient z un complexe non nul et  un argument de z. L’ensemble des arguments de z est     
Proposition
Soient z1, z2  . Alors
* Tout complexe non nul admet un argument unique dans l’intervalle  On l’appelle l’argument principal.
Proposition
Soient z1, z2  . Alors
  et 
* Soit z un complexe non nul. z est réel ssi  
z est imaginaire pur ssi 
Interprétation géométrique de l’argument
Si z est un nombre complexe non nul d’image le point M, alors arg(z) est une
mesure de l’angle orienté 
Si 
est un vecteur non nul d’affixe z, alors arg(z) est une mesure de l’angle
orienté 
Proposition – Lien avec les coordonnées polaires
Le point M d’affixe  a pour coordonnées polaires 
Proposition
Soient A et B deux points distincts d’affixes respectifs a et b. Alors  est une mesure de l’angle orienté 
Proposition
Soient A, B et M trois points distincts d’affixes respectifs a, b et z. Alors 
 est une mesure de l’angle orienté 