Nombres complexes

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Définitions
Définition de ℂ
Il existe un ensemble ℂ dont les éléments s’écrivent de manière unique sous la forme a + ib avec a et b ∈ ℝ et i tel que i² = -1
* L’écriture d’un complexe z sous la forme a + ib s’appelle la forme cartésienne ou algébrique de z
* On peut identifier ℂ à ℝ²
Règles de calcul
(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)
(a + ib) × (c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc)
* L’addition et la multiplication vérifient les propriétés de commutativité, d’associativité et de distributivité. Tout complexe
non nul a un inverse. Tout ceci confère à ℂ une structure de corps.
Définition – Parties réelle et imaginaire
Soit z = a + ib ∈ ℂ. Les réels a et b sont appelés respectivement partie réelle et partie imaginaire de z.
On note : a = Re(z) et b = Im(z)
* Un nombre complexe de partie imaginaire nulle est un réel et un nombre complexe de partie réelle nulle est un imaginaire
pur
Proposition
Soient z1, z2 ∈ ℂ. Alors
Re(z1 + z2) = Re(z1) + Re(z2) et Im(z1 + z2) = Im(z1) + Im(z2)
* Ce n’est pas vrai pour la multiplication
Définition – Conjugué d’un nombre complexe
Soit z = a + ib ∈ C. On appelle conjugué de z le nombre complexe z̅ défini par z = a − ib
Propriétés de la conjugaison
Re(z) = Re(z̅) et Im(z̅) = −Im(z)
Re(z) =
z+z̅
2
et Im(z) =
z−z̅
2i
z̿ = z
* z est réel ssi z̅ = z , z est imaginaire pur ssi z̅ = −z
Propriétés – Conjugaison et opérations
Soient z1, z2 ∈ ℂ. Alors
̅̅̅̅̅̅̅̅̅
z1 + z2 = z̅1 + z̅2
z1 − z2 = z̅1 − z̅2
̅̅̅̅̅̅̅̅̅
z1 z2 = z̅1 z̅2
̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
z
z
̅̅̅
( 1) = 1
z2
z2
̅̅̅
Définition – Module d’un nombre complexe
Soit z ∈ ℂ. Alors zz̅ est un réel positif. On appelle module de z le réel positif défini par |z| = √zz̅
Proposition – Propriétés du module
Soit z ∈ ℂ.
|z| = √Re(z)2 + Im(z)2
z = 0 ssi |z| = 0
|z| = |z̅|
Si z ≠ 0,
1
z
z̅
= |z|2
|Re(z)| ≤ |z| et |Im(z)| ≤ |z|
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Algèbre – Nombres complexes | 1
Proposition – Module et opérations
|𝑧1 𝑧2 | = |𝑧1 ||𝑧2 |
|𝑧1 |
|𝑧1 + 𝑧2 | ≤ |𝑧1 | + |𝑧2 |
|𝑧 𝑛 | = |𝑧|𝑛
|𝑧1 − 𝑧2 | ≥ ||𝑧1 | − |𝑧2 ||
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|𝑧2 |
𝑧
= | 1|
𝑧2
Algèbre – Nombres complexes | 2
Le plan complexe
Définition – Image d’un complexe et affixe d’un point ou d’un vecteur
On munit le plan euclidien E d’un repère orthonormé ℛ = (O, ⃗i, ⃗j)
On appelle image d’un complexe z le point M de coordonnées (Re(z), Im(z)) dans le
repère orthonormé ℛ
On appelle affixe du point M de coordonnés (x, y) dans le repère orthonormé ℛ le
complexe z = x + iy
On appelle affixe du vecteur u
⃗⃗ = ai⃗ + bj⃗ le complexe z = a + ib
Proposition
Soient A et B deux points d’affixes respectives a et b. Alors le vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
AB a pour affixe b – a
Interprétation géométrique du conjugué
̅ de M par rapport à
Si z est l’affixe d’un point M, alors z̅ est l’affixe du symétrique M
l’axe des abscisses
Interprétation géométrique du module
Si z est un nombre complexe d’image le point M, alors |z| = 𝑂𝑀
Si u
⃗⃗ est un vecteur d’affixe z alors |z| = ‖u
⃗⃗‖
Proposition
Si A et B sont deux points d’affixes respectifs a et b, alors AB = |b − a|
Interprétation géométrique de l’inégalité triangulaire
L’inégalité triangulaire |𝑧1 + 𝑧2 | ≤ |𝑧1 | + |𝑧2 | s’interprète
par OB ≤ OA + AB
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L’inégalité triangulaire |𝑧1 − 𝑧2 | ≥ ||𝑧1 | − |𝑧2 || s’interprète
par AB ≥ |OB − OA|
Algèbre – Nombres complexes | 3
Groupe 𝕌 des complexes de module 1
Définition – 𝕌
On note 𝕌 l’ensemble des complexes de module 1. Cet ensemble muni de la loi multiplicative a une structure de groupe.
* L’image des points de 𝕌 est le cercle de centre O et de rayon 1, c’est-à-dire le cercle trigonométrique
Proposition
1
Soit u ∈ ℂ. Alors u ∈ 𝕌 ⇔ 𝑢̅ ∈ 𝕌 ⇔ = 𝑢̅
𝑢
Définition – Notation 𝐞𝐢𝛉
Pour θ ∈ ℝ, on note eiθ le complexe cos θ + i sin θ
Proposition
Pour tout θ ∈ ℝ, eiθ ∈ 𝕌. Réciproquement, pour tout z ∈ 𝕌, il existe θ ∈ ℝ tel que 𝑧 = eiθ
𝕌 = {eiθ , θ ∈ ℝ}
Proposition – Conjugué de 𝐞𝐢𝛉
Soit θ ∈ ℝ. Alors ̅̅̅̅
eiθ =
1
eiθ
= e−iθ
Proposition – Relation d’Euler
Pour θ ∈ ℝ, cos θ =
eiθ +e−iθ
2
et sin θ =
eiθ −e−iθ
2i
Propositions
Soient θ1 , θ2 ∈ ℝ, alors on a :
ei(θ1+θ2) = eiθ1 eiθ2
eiθ1 = eiθ2 ssi θ1 ≡ θ2 [2𝜋]
n
Par récurrence on a (eiθ ) = einθ pour tout entier relatif n
Formule de Moivre
Pour θ ∈ ℝ et n ∈ ℤ
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(cos θ + i sin θ)n = cos nθ + i sin nθ
Algèbre – Nombres complexes | 4
Argument d’un complexe non nul
Définition – Argument d’un complexe non nul
Soit z un complexe non nul. Tout réel θ tel que 𝑧 = |𝑧|eiθ est appelé un argument de z
Proposition
Soient z un complexe non nul et θ0 un argument de z. L’ensemble des arguments de z est θ0 + 2πℤ = {θ0 + 2kπ, k ∈ ℤ}
Proposition
Soient z1, z2 ∈ ℂ∗ . Alors
|z1 | = |z2 |
z1 = z2 ⇔ {
arg(z1 ) ≡ arg(z2 ) [2π]
* Tout complexe non nul admet un argument unique dans l’intervalle ]−𝜋, 𝜋] On l’appelle l’argument principal.
Proposition
Soient z1, z2 ∈ ℂ∗ . Alors
z
arg(z1 z2 ) ≡ arg(z1 ) + arg(z2 )[2π] et arg ( 1) = arg(z1 ) − arg(z2 )[2π]
z2
* Soit z un complexe non nul. z est réel ssi arg(z) ≡ 0[2π]
π
z est imaginaire pur ssi arg(z) ≡ [2π]
2
Interprétation géométrique de l’argument
Si z est un nombre complexe non nul d’image le point M, alors arg(z) est une
mesure de l’angle orienté (i⃗, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
OM)
Si u
⃗⃗ est un vecteur non nul d’affixe z, alors arg(z) est une mesure de l’angle
orienté (i⃗, u
⃗⃗ )
Proposition – Lien avec les coordonnées polaires
Le point M d’affixe ρeiθ a pour coordonnées polaires [ρ, θ]
Proposition
Soient A et B deux points distincts d’affixes respectifs a et b. Alors arg(b − a) est une mesure de l’angle orienté (i⃗, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
AB )
Proposition
Soient A, B et M trois points distincts d’affixes respectifs a, b et z. Alors arg (
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z−b
z−a
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗, MB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)
) est une mesure de l’angle orienté (MA
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Racines nèmes
Définition – Racines nèmes de l’unité
Soit n un entier naturel non nul. On appelle racines n èmes de l’unité tout nombre complexe tel 𝑧 𝑛 = 1. Ce sont des éléments
de 𝕌. On note 𝕌n l’ensemble des racines nèmes de l’unité.
Proposition
Il existe exactement n racines nèmes de l’unité qui sont les complexes ωk = ei
𝕌n =
2kπ
{ei n , k
∈ ℤ} =
2kπ
{ei n , k
2kπ
n
avec k ∈ ⟦0,n-1⟧
∈ ⟦0, n − 1⟧}
* Les ωk sont toutes des puissances de ω1
2π
* les racines cubiques de l’unité sont 1, j et j² avec 𝑗 = ei 3
Interprétation géométrique des racines nèmes de l’unité
Les images des racines nèmes de l’unité sont disposées
régulièrement sur le cercle trigonométrique (ici n = 10)
Elles sont les sommets d’un polygone régulier à n côtés
Géométriquement on voit que la somme des racines n èmes de
l’unité est nulle puisque c’est le centre de gravité du
polygone qui a pour affixe 0
Définition – Racines nèmes d’un complexe non nul
Soient a un complexe non nul et n ∈ ℕ*. On appelle racines nèmes de a tout complexe z tel que z n = a
Proposition
Soient a a un complexe non nul et n ∈ ℕ*. Si z0 est une racines nèmes de a alors l’ensemble des racines nèmes de a est
z0 𝕌n = {z0 ω, ω ∈ 𝕌n }
Corollaire
Soient a un complexe non nul de module r et d’argument θ et et n ∈ ℕ*. Alors a admet exactement n racines nèmes qui sont
1
θ 2kπ
)
n
r n ei(n+
avec k ∈ ⟦0,n-1⟧
* Pour déterminer les racines nèmes d’un complexe a , on met donc a sous forme trigonométrique et on utilise ce corollaire
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Algèbre – Nombres complexes | 6
Equations du second degré
Proposition – Racines carrées d’un complexe
Tout complexe non nul admet deux racines carrées opposées
* 0 n’admet que lui-même comme racine carré
* Si a est un réel > 0 les racines carrées de a sont √a et −√a
* Si a est un réel < 0 les racines carrées de a sont 𝑖 √−a et −i√−a
* attention √a n’a de sens que pour a réel positif !!
Méthode pour déterminer les racines d’un complexe
* méthode algébrique
Soit Z = X + iY une racine carrée d’un complexe non réel z = a + ib
On a donc Z² = z. On considère la partie réelle et le module de Z² et z et on obtient
X² − Y² = a et X² + Y² = √a² + b²
On détermine les valeurs de X² et Y² ce ui nous donne 4 solutions possibles pour le couple (X, Y). En considérant la partie
imaginaire de Z² et z, on a 2XY = b donc XY est du signe de b et on a finalement plus que 2 solutions
* méthode trigonométrique
θ
Si on connaît la forme trigonométrique d’un complexe non nul z = reiθ , alors les racines carrées de z sont ±√rei2
Proposition – Equations du second degré à coefficients complexes
Soient a, b, c trois complexes avec a non nul
Considérons l’équation az² + bz + c = 0 dont ∆= b² − 4ac est son discriminant
Si ∆≠ 0, l’équation admet deux racines distinctes z =
Si ∆= 0, l’équation admet une racine double z =
−b±δ
2a
où δ est une racine carrée de ∆
−b
2a
Proposition – Equations du second degré à coefficients réels
Soient a, b, c trois complexes avec a non nul
Considérons l’équation az² + bz + c = 0 dont ∆= b² − 4ac est son discriminant
Si ∆> 0, l’équation admet deux racines réelles distinctes z =
−b±√∆
2a
Si ∆< 0, l’équation admet deux racines complexes distinctes et conjuguées z =
Si ∆= 0, l’équation admet une racine réelle double z =
−b±i√−∆
2a
−b
2a
Proposition – Lien coefficients-racines
Soient a, b, c trois complexes avec a non nul.
𝑏
𝑐
𝑎
𝑎
Alors deux complexes 𝑧1 et 𝑧2 sont solutions de l’équation az² + bz + c = 0 ssi 𝑧1 + 𝑧2 = − et 𝑧1 𝑧2 =
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Algèbre – Nombres complexes | 7
Complexes et géométrie
Proposition – Barycentres
Soient M1 , …, Mn n points d’affixes z1 , …, zn . Soient α1 , …, αn n réels tels que A = ∑ni=1 αi ≠ 0. Alors le barycentre de
1
(M1 , α1 ), …, (Mn , αn ) est le point d’affixe ∑ni=1 αi zi
A
Proposition – Colinéarité et orthogonalité de vecteurs
Soient u
⃗⃗ et v
⃗⃗ deux vecteurs d’affixes respectifs z1 et z2 . Alors
⃗⃗ et v
u
⃗⃗ sont colinéaires ⇔
z2
z1
∈ ℝ (avec z1 ≠ 0) ⇔ z1 z̅2 ∈ ℝ
⃗⃗ et v
u
⃗⃗ sont orthogonaux ⇔
z2
z1
∈ iℝ (avec z1 ≠ 0) ⇔ z1 z̅2 ∈ iℝ
Proposition – Parallélisme et perpendicularité de droites
Soient A, B, C, D quatre points d’affixes respectifs a, b, c et d. On suppose A ≠ B et C ≠ D
d−c
̅̅̅̅̅̅̅̅̅
(AB) et (CD) sont parallèles ⇔
∈ ℝ ⇔ (d − c)(b
− a) ∈ ℝ
b−a
(AB) et (CD) sont perpendiculaires ⇔
d−c
b−a
̅̅̅̅̅̅̅̅̅
∈ iℝ ⇔ (d − c)(b
− a) ∈ iℝ
Proposition – Alignement et angle droit
Soient A, b et C trois points d’affixes respectifs a, b, c. alors
A, B, C alignés ⇔
d−c
b−a
̅̅̅̅̅̅̅̅̅
∈ ℝ (si a et B sont distincts) ⇔ (d − c)(b
− a) ∈ ℝ
̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̂ est un angle droit ⇔ d−c ∈ iℝ (si a et B sont distincts) ⇔ (d − c)(b
BAC
− a) ∈ iℝ
b−a
Proposition – Translation
Soit a ∈ ℂ. L’application M(z) ⟼ M’(z + a) est une translation de vecteur u
⃗⃗d’affixe a
Proposition – Symétrie
L’application M(z) ⟼ M’(z̅) est la symétrie par rapport à l’axe des abscisses.
Définition – Similitude directe
On appelle similitude directe de centre A, d’angle θ et de rapport λ, la composée s de la rotation r de centre A et d’angle θ et
de l’homothétie h de centre A et de rapport λ. De plus, r et h commutent.
s=hor=roh
Proposition
Soient a ∈ ℂ\{1} et b ∈ ℂ. Alors il existe un unique ω tel que aω + b = ω
L’application M(z) ⟼ M’(az + b) est la similitude de centre Ω(ω), d’angle arg(a) et de rapport |a|
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Algèbre – Nombres complexes | 8
Exponentielle complexe
Définition – Exponentielle complexe
Soit z = a + ib ∈ ℂ. On définit l’exponentielle complexe de z par ez = ea eib
Propriétes de l’exponentielle
L’exponentielle complexe a les mêmes propriétés que l’exponentielle réelle
Soient z1 , z2 ∈ ℂ. Alors 𝑒 z1+z2 = 𝑒 z1 𝑒 z2
Soit z ∈ ℂ. Alors ez ≠ 0 et
1
ez
= e−z
Proposition – Module et argument
Soit z ∈ ℂ. Alors |ez | = eRe(z) et arg(ez ) ≡ Im(z)[2π]
Proposition – Surjectivité de l’exponentielle
Tout nombre complexe non nul z admet des antécédents par l’exponentielle. Si Z est un antécédent de z, alors ses autres
antécédents sont les 𝑍 + 2𝑖𝑘𝜋 avec k ∈ ℤ
* L’exponentielle complexe est surjective sur ℂ∗ : tout nombre complexe admet au moins un antécédent (en fait une infinité)
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Algèbre – Nombres complexes | 9