19/04/2017 Algèbre – Nombres complexes | 1
Nombres complexes
Définitions
Définition de
Il existe un ensemble dont les éléments s’écrivent de manière unique sous la forme a + ib avec a et b et i tel que i² = -1
* L’écriture d’un complexe z sous la forme a + ib s’appelle la forme cartésienne ou algébrique de z
* On peut identifier
Règles de calcul
(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)
(a + ib) × (c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc)
* L’addition et la multiplication vérifient les propriétés de commutativité, d’associativité et de distributivité. Tout complexe
non nul a un inverse. Tout ceci confère à une structure de corps.
Définition – Parties réelle et imaginaire
Soit z = a + ib . Les réels a et b sont appelés respectivement partie réelle et partie imaginaire de z.
On note : a = Re(z) et b = Im(z)
* Un nombre complexe de partie imaginaire nulle est un réel et un nombre complexe de partie réelle nulle est un imaginaire
pur
Proposition
Soient z1, z2 . Alors
Re(z1 + z2) = Re(z1) + Re(z2) et Im(z1 + z2) = Im(z1) + Im(z2)
* Ce n’est pas vrai pour la multiplication
Définition – Conjugué d’un nombre complexe
Soit z = a + ib C. On appelle conjugué de z le nombre complexe défini par z = a − ib
Propriétés de la conjugaison
Re(z) = Re() et Im() = −Im(z)
et
* z est réel ssi , z est imaginaire pur ssi
Propriétés – Conjugaison et opérations
Soient z1, z2 . Alors
Définition – Module d’un nombre complexe
Soit z . Alors est un réel positif. On appelle module de z le réel positif défini par
Proposition – Propriétés du module
Soit z .
z = 0 ssi
Si z 0,
et