Théorie des modes couplés

Propagation dans un guide d’ondes perturbé –
Théorie des modes couplés
Christophe Sauvan
Table des matières
1 Introduction
3
2 Equation de propagation
4
3 Expression de la solution du problème perturbé en fonction des
modes du guide non-perturbé
5
4 Equation d’évolution des amplitudes Ak (z)
6
5 Couplage résonant, codirectionnel et contradirectionnel
5.1 Condition de couplage résonant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Couplage codirectionnel et contra-directionnel . . . . . . . . . . . . .
8
8
9
6 Perturbation uniforme en z
6.1 Equations d’évolution . . . . . . . . . .
6.2 Résolution des équations d’évolution .
6.3 Echange d’énergie d’un mode à l’autre
6.4 Cas particulier du couplage résonant .
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9
10
11
12
12
7 Perturbation périodique en z
14
8 Annexe A : Expression du champ magnétique
15
9 Annexe B : Orthogonalité des modes
16
1
2
1
Introduction
Le fonctionnement de nombreux composants de l’optique guidée est basé sur
l’utilisation d’une modification ∆n de l’indice de réfraction d’un guide d’onde. Cette
modification peut être locale, uniforme ou périodique suivant l’application visée
(coupleurs directionnels, réflecteurs de Bragg, modulateurs électro-optiques...). La
Figure 1 illustre les principaux types de modification d’indice et les composants qui
les utilisent. Dans la plupart des composants usuels, la modifications d’indice est
faible et peut être traitée comme une perturbation. Dans ce Chapitre, nous développons la théorie des modes couplés qui permet de décrire la propagation de la lumière
dans un guide d’onde perturbé en fonction des modes du guide non-perturbé.
De périodique
De uniforme
Filtre réjecteur
(miroir de Bragg)
Modulateur
électro-optique
De uniforme
Type de
perturbation
Composants
associés
1
Coupleur directionnel
Démultiplexeur
Diode laser DBR1
ou DFB2
Distributed Bragg Reflector
2
Distributed FeedBack
Figure 1 – Principaux types de perturbation et composants
associés. La première colonne montre une perturbation périodique
en z. La deuxième colonne montre une perturbation uniforme en
z due à une modification de l’indice du guide. La troisième colonne montre une perturbation uniforme en z due à la présence
d’un deuxième guide d’onde.
Tous les exemples de la Figure 1 correspondent au même problème générique,
à savoir la propagation de la lumière dans un milieu inhomogène caractérisé par
une permittivité diélectrique ǫ(x, y, z) qui peut être décomposée comme la somme
d’une permittivité ǭ(x, y) invariante suivant z (le guide d’onde) et d’une perturbation
∆ǫ(x, y, z) ≪ ǭ,
ǫ(x, y, z) = ǭ(x, y) + ∆ǫ(x, y, z).
(1)
Cette décomposition est intéressante si les modes du guide non-perturbé caractérisé
par ǭ(x, y) sont connus. Il est important de noter que le système perturbé n’est pas
nécessairement un guide d’onde invariant en z. C’est par exemple le cas avec un ∆ǫ
périodique qui crée un miroir de Bragg, cf. Figure 1. La modification de permittivité
∆ǫ peut être réelle ou complexe, ce qui permet de traiter la présence d’une faible
absorption (Im(∆ǫ) > 0) ou d’un faible gain (Im(∆ǫ) < 0, diodes laser DBR ou
DFB).
3
Dans sa forme la plus courante que nous reprenons ici 1 , la théorie des modes
couplés est basée sur trois approximations principales :
1. L’approximation du guidage faible qui permet de considérer une équation de
propagation scalaire.
2. On cherche une solution du problème perturbé en fonction des modes du guide
d’onde non-perturbé (traitement perturbatif).
3. L’approximation de l’enveloppe lentement variable qui permet de réduire l’équation de propagation à une équation différentielle du premier ordre.
La première approximation concerne à la fois le système perturbé et le système nonperturbé. Les approximations 2 et 3 se justifient par le fait que la modification ∆ǫ
est une perturbation, ∆ǫ ≪ ǭ.
2
Equation de propagation
Dans des milieux non-magnétiques et non-dispersifs caractérisés par une permittivité diélectrique ǫ(x, y, z) = ǫ0 n2 (x, y, z), avec ǫ0 la permittivité du vide et n
l’indice de réfraction, l’équation de propagation du champ électrique s’écrit
∂2E
− ∇(∇ · E) = 0.
(2)
∂t2
Cette équation se déduit directement des équations de Maxwell 2 . Dans toute la suite,
on considère des champs monochromatiques définis par E(r, t) = Re[E(r)e−iωt ] =
1
E(r)e−iωt + c.c., où E(r) est l’amplitude complexe du champ et l’abréviation c.c.
2
signifie complexe conjugué. L’équation de propagation devient
∇2 E − µ 0 ǫ
∇2 E + ω 2µ0 ǫE − ∇(∇ · E) = 0.
(3)
Dans le cas général, l’équation de propagation est une équation différentielle vectorielle qui couple les trois composantes du champ électrique à cause du troisième
terme ∇(∇ · E). En effet, la divergence du champ électrique n’est pas nulle dans
un milieu inhomogène. C’est la divergence du déplacement électrique D = ǫE qui
est nulle, ∇ · D = 0. En utilisant l’identité ∇ · (ǫE) = ǫ∇ · E + E · ∇ǫ, on obtient
∇ · E = −E · 1ǫ ∇ǫ = −E · ∇ ln ǫ.
Dans le cadre de l’approximation du guidage faible, basée sur le fait que les
variations de permittivité qui forment le guide d’onde sont faibles (∇ǫ ≪ ǫ), on
néglige la divergence du champ électrique, ∇ · E ≈ 0, et l’équation de propagation
devient simplement
∇2 E + ω 2 µ0 ǫE = 0.
(4)
Cette équation de propagation approchée est maintenant scalaire, c’est-à-dire que
les trois composantes de E vérifient indépendamment la même équation différentielle
1. Voir notamment A. Yariv and P. Yeh, Optical Waves in Crystals, Chaps. 6.4 et 11 (John
Wiley, New York, 1984).
2. ∇ × (∇ × E) = ∇(∇ · E) − ∇2 E = [...]
4
(sauf si le tenseur permittivité n’est pas diagonal). Il est intéressant de noter que
dans le cas particulier d’un guide d’onde planaire caractérisé par ǫ(x), les ondes
TE vérifient exactement ∇ · E = 0 puisque dans ce cas les vecteurs E et ∇ǫ sont
perpendiculaires et E · ∇ǫ = 0.
Dans toute la suite de ce Chapitre, on se place dans le cadre de l’approximation
du guidage faible et on considère donc l’équation de propagation donnée par (4).
C’est cette équation que l’on se propose de résoudre dans le cas où la permittivité
ǫ peut s’écrire comme la somme d’une permittivité ǭ qui correspond à un guide
d’ondes connu et d’une perturbation ∆ǫ.
3
Expression de la solution du problème perturbé
en fonction des modes du guide non-perturbé
En utilisant l’équation (1), l’équation de propagation dans le guide d’onde perturbé peut être réécrite sous la forme suivante
∇2 E + ω 2 µ0 ǭE = −ω 2 µ0 ∆ǫE.
(5)
Sous cette forme, on reconnaît l’équation de propagation dans le guide non-perturbé
ǭ en présence d’un terme source −ω 2 µ0 ∆ǫE proportionnel à la perturbation ∆ǫ.
La perturbation peut donc être vue comme une source dont le rayonnement crée le
champ perturbé. Mais attention, il est important d’être conscient du fait que le terme
source est inconnu puisqu’il est proportionnel au champ E recherché. L’équation (5)
est simplement une réécriture de l’équation de propagation dans le milieu perturbé
qui permet de comprendre physiquement le rôle de la perturbation.
Dans une section non-perturbée du guide, tout champ E0 peut être décomposé
sur les modes Em , qui sont les modes propres du guide non-perturbé et qui forment
P
une base complète, E0 = m Am em (x, y)eiβmz . A cause de la perturbation ∆ǫ, les
modes du guide non-perturbés ne sont plus les modes propres du guide perturbé
et la forme générale E0 ne peut pas être utilisée pour exprimer les solutions de
l’équation de propagation dans une section perturbée du guide. Néanmoins, comme
la modification ∆ǫ est une perturbation, nous considérerons que le champ E dans
le milieu perturbé est peu modifié et qu’il peut être approché par une expression
semblable à E0 faisant intervenir les modes du guide non-perturbé.
Pour comprendre intuitivement comment la présence de la perturbation ∆ǫ modifie la décomposition modale donnée par E0 , considérons un guide non-perturbé
qui supporte 2 modes E1 et E2 . Si l’on éclaire avec le mode E1 une perturbation
d’épaisseur infinitésimale en z, la présence du ∆ǫ crée une polarisation de perturbation ∆P = ∆ǫE1 . Cette polarisation rayonne le mode E1 avec une amplitude
modifiée mais également le mode E2 . Ainsi, on comprend qu’une perturbation ∆ǫ
couple les modes du guide non-perturbé et permet un échange d’énergie entre eux.
Cet échange d’énergie se traduit par le fait que les amplitudes des modes varient au
cours de la propagation.
Ainsi, l’hypothèse de base de la théorie des modes couplés est la suivante. On
considère que le champ dans le milieu perturbé reste une superposition des modes
5
propres du système non-perturbé mais ceux-ci sont couplés entre eux par la présence
de la perturbation. Ce couplage entre les modes au cours de la propagation est
introduit en considérant que les amplitudes Am sont des fonctions de z,
E(x, y, z) =
X
Am (z)em (x, y)eiβmz .
(6)
m
Cette équation constitue le point central de la théorie des modes couplés. C’est une
approximation qui traduit mathématiquement le fait que la présence d’une perturbation couple les modes entre eux au cours de la propagation. En écrivant sous cette
forme la solution générale de l’équation (5), on s’inspire de la méthode mathématique
de variation des constantes qui permet de résoudre une équation différentielle avec
second membre à partir de la solution générale de l’équation différentielle homogène
associée.
Comme la propagation de la lumière dans le milieu perturbé est décrite à l’aide
des modes du guide non-perturbé, il est utile de rappeler quelques-unes de leurs
propriétés. Les modes du guide non-perturbé s’écrivent Em (x, y, z) = em (x, y)eiβm z
et sont solutions de l’équation de propagation homogène
∇2 Em + ω 2 µ0 ǭEm =
∂ 2 em ∂ 2 em
2
+
+ (ω 2 µ0 ǭ − βm
)em = 0.
2
2
∂x
∂y
(7)
Dans le cas où le guide non-perturbé est non-absorbant (ǭ est réel), nous avons
montré dans les Chapitres précédents que les modes sont orthogonaux au sens du
vecteur de Poynting,
1 ZZ
(ek × h∗m ) · uz dxdy = δkm .
(8)
2
Ici nous avons normalisé les modes pour que le flux de leur vecteur de Poynting
à travers la section du guide soit égal à 1. Dans le cadre de l’approximation du
guidage faible, il est possible de montrer que la relation d’orthogonalité donnée par
l’équation (8) peut s’écrire uniquement en fonction du champ électrique sous la
forme (cf Annexe B)
ZZ
e∗k · em dxdy =
2ωµ0
δkm .
|βm |
(9)
Comme l’équation de propagation scalaire [équation (4)], cette relation d’orthogonalité est approchée, valable dans le cas d’un guide à faible contraste d’indice. Pour
un guide undimensionnel en polarisation TE, cette relation est exacte.
4
Equation d’évolution des amplitudes Ak (z)
Pour déterminer le champ électrique dans le milieu perturbé, il faut déterminer
les amplitudes Am (z) puisque les modes du guide non-perturbé sont supposés connus.
Nous allons voir que ces amplitudes sont déterminées par un système d’équations
différentielles couplées.
6
En injectant l’expression du champ total donnée par l’équation (6) dans l’équation de propagation (5) et en utilisant le fait que les modes non-perturbés Em vérifient l’équation de propagation homogène (7), on obtient l’équation suivante,
X
m
X
∂ 2 Am
∂Am
iβm z
2
e
e
=
−ω
µ
∆ǫ(x,
y,
z)
+
2iβ
Am (z)em eiβm z .
m
0
m
2
∂z
∂z
m
!
(10)
On utilise maintenant l’orthogonalité des modes [équation (9)] pour projeter cette
équation sur chacun des modes Ek , c’est-à-dire que l’on prend le produit scalaire
entre E∗k = e∗k e−iβk z et l’équation (10), puis on intègre transversalement sur la section
du guide. On obtient ainsi un système d’équations différentielles couplées dont les
inconnues sont les amplitudes Ak (z),
X
∂Ak
∂ 2 Ak
+
2iβ
=
−2|β
|
Ckm (z)Am (z)ei(βm −βk )z ,
k
k
2
∂z
∂z
m
(11)
où Ckm (z) est le coefficient de couplage entre les modes k et m et est donné par
l’intégrale de recouvrement entre les modes et la perturbation,
ω
Ckm (z) =
4
ZZ
e∗k · ∆ǫ em dxdy.
(12)
Notons que la dépendance en z du coefficient de couplage provient directement de la
dépendance en z de la perturbation ∆ǫ(x, y, z). Ainsi, dans le cas d’une perturbation
uniforme suivant l’axe du guide (comme par exemple dans le cas d’un coupleur
directionnel formé de deux guides parallèles), les coefficients de couplage entre les
modes sont invariants en z.
Pour simplifier l’équation (11), on utilise en général l’approximation de l’enveloppe lentement variable. On suppose que, comme ∆ǫ est une perturbation, la
variation des amplitudes des modes (l’enveloppe Ak (z)) est "lente" au cours de la
propagation, et on néglige la dérivée seconde,
∂2A k
∂z 2 ≪
∂A k
.
βk
∂z (13)
On obtient ainsi un système d’équations différentielles du premier ordre couplées,
∂Ak
|βk | X
=i
Ckm (z)Am (z)ei(βm −βk )z .
∂z
βk m
(14)
L’équation (14) décrit le couplage dû à la perturbation ∆ǫ entre les différents modes
au cours de la propagation le long du guide. En principe, ces équations impliquent
une infinité de modes. En réalité, nous allons voir que l’intensité du couplage dépend
fortement de l’écart βm − βk entre les constantes de propagation des modes. Ainsi,
en pratique, on considère souvent seulement 2 modes qui vérifient une condition de
couplage résonant.
7
5
5.1
Couplage résonant, codirectionnel et contradirectionnel
Condition de couplage résonant
Nous étudions ici plus précisément le couplage entre le mode m et le mode k
pour voir à quelle condition l’effet de ce couplage est significatif. En particulier, nous
définissons les notions importantes de couplage résonant, couplage codirectionnel et
couplage contra-directionnel.
La variation ∆Ak de l’amplitude du mode k due au couplage avec le mode m
après propagation sur une distance L s’écrit
∆Ak = i
|βk |
βk
Z
z0 +L
Ckm (z)Am (z)ei(βm −βk )z dz.
z0
(15)
On voit clairement que l’accord de phase entre les modes m et k, c’est-à-dire la
différence de leurs constantes de propagation βm − βk , intervient directement dans
l’expression. A travers la dépendance en z du ∆ǫ, le coefficient de couplage Ckm (z)
peut également intervenir dans cet accord de phase. C’est par exemple le cas pour
une perturbation périodique (filtre de Bragg). Pour voir l’impact de la perturbation
sur l’accord de phase entre les modes dans le cas général, on introduit la transformée
de Fourier C̃km (u)
∆Ak = i
|βk |
Am (z0 )
βk
Z
C̃km (u)
Z
z0 +L
z0
ei(βm −βk +u)z dzdu.
(16)
Pour obtenir cette expression, on a supposé que la distance L était petite par rapport
à la distance sur laquelle l’amplitude Ak varie significativement (enveloppe lentement
variable), c’est pour cela que l’on a sorti Ak (z0 ) de l’intégrale. Finalement, on trouve
∆Ak = i
|βk |
Am (z0 )
βk
Z
L
C̃km (u)Lei∆β(z0 + 2 ) sinc ∆β
L
du,
2
(17)
avec ∆β = βm − βk + u et sinc(x) = sin(x)/x. La présence du sinus cardinal dans
cette expression montre que la variation de l’amplitude Ak due au couplage avec
le mode m n’est significative que si ∆β ≈ 0. En effet, si ∆β n’est pas petit, il est
toujours possible de choisir la distance L telle que ∆βL ≫ 1 et sinc(∆βL/2) → 0.
Ainsi, seuls deux modes m et k qui vérifient une condition d’accord de
phase sont couplés efficacement par la perturbation. C’est la condition
de couplage résonant,
∆β = βm − βk + u ≈ 0 ,
(18)
où u est le vecteur d’onde (fréquence spatiale) amené par la perturbation lorsque
celle-ci n’est pas uniforme en z.
8
5.2
Couplage codirectionnel et contra-directionnel
L’équation (18) montre qu’il existe deux types de couplage. En effet, suivant les
valeurs de u, la condition de couplage résonant peut être satisfaite
– par deux modes se propageant dans le même sens, βm > 0 et βk > 0. On parle
alors de couplage codirectionnel.
– par deux modes se propageant dans des sens opposés, βm > 0 et βk < 0. On
parle alors de couplage contra-directionnel.
Dans la majeure partie des applications, la perturbation d’indice est soit uniforme
dans la direction z, ∆ǫ indépendant de z, soit périodique, ∆ǫ(z + Λ) = ∆ǫ(z).
Dans le cas d’une perturbation uniforme en z, u = 0. La condition de couplage
résonant devient alors simplement
βm − βk ≈ 0 .
(19)
Seuls deux modes dont les constantes de propagation sont proches peuvent être efficacement couplés par une perturbation uniforme dans la direction de propagation.
Le couplage est nécessairement codirectionnel. Il est par exemple possible de coupler
deux modes de polarisations différentes (un mode TE et un mode TM) se propageant dans un même guide ou deux modes se propageant dans deux guides différents
parallèles, cf. Figure 1.
Dans le cas d’une perturbation périodique en z de période Λ, u = p 2π
où p est
Λ
un entier positif ou négatif. La condition de couplage résonant devient
2π
≈ 0.
(20)
Λ
Dans ce cas, deux modes qui n’ont pas la même constante de propagation peuvent
être couplés ; c’est la périodicité qui fournit le vecteur d’onde manquant pour réaliser
l’accord de phase. Le couplage peut être codirectionnel ou contra-directionnel. En
particulier, un mode peut être couplé à lui-même mais se propageant en sens inverse.
C’est le cas dans les miroirs de Bragg.
βm − βk + p
6
Perturbation uniforme en z
Dans cette Section, on s’intéresse au cas d’une perturbation uniforme en z due
à une modification de l’indice du guide d’onde. Dans le cas d’une perturbation
uniforme due à la présence d’un deuxième guide parallèle, le système d’équations
couplées à résoudre est identique (équation (21)). Notons cependant que la dérivation
des équations couplées dans le cas de deux guides parallèles est légèrement différente
de celle présentée à la Section 4. Les différences proviennent essentiellement du fait
qu’il faut considérer, non plus les modes d’un seul guide, mais les modes de deux
guides différents 3 . Même dans le cas du couplage entre deux guides identiques, les
modes à considérer sont décalés spatialement.
L’objectif est de résoudre les équations d’évolution des amplitudes Ak pour
connaître la variation des amplitudes au cours de la propagation dans la direction
3. A. Yariv and P. Yeh, Optical Waves in Crystals, Chap. 11 (John Wiley, New York, 1984).
9
z. Dans ce cas où ∆ǫ est indépendant de la position z, les coefficients de couplage
Ckm sont des constantes indépendantes de z.
On considère pour simplifier (c’est presque toujours le cas en pratique) que la
condition de couplage résonant n’est vérifiée que par deux modes du système nonperturbé. On note ces modes 1 et 2, avec β1 − β2 ≈ 0. La condition de couplage
résonant ne peut être vérifiée que par deux modes se propageant dans la même
direction. Le couplage est donc nécessairement codirectionnel. On considère que les
modes se propagent tous les deux dans la direction z > 0, ainsi |β1 |/β1 = 1 et
|β2 |/β2 = 1.
6.1
Equations d’évolution
Avec les hypothèses précédentes, le système d’équations d’évolution (14) devient
un système de deux équations couplées,
∂A1
= iC11 A1 (z)
+ iC12 A2 (z)ei(β2 −β1 )z
∂z
∂A2
= iC21 A1 (z)ei(β1 −β2 )z + iC22 A2 (z)
∂z
(21a)
(21b)
Dans la matrice des coefficients de couplage, les termes diagonaux Cii couplent un
mode avec lui-même alors que les termes non-diagonaux couplent les modes entre
eux.
Nous allons voir que l’effet des termes diagonaux se traduit simplement par une
petite modification des constantes de propagation des modes. Pour cela, on réalise
le changement de variables suivant
B1 (z) = A1 (z)e−iC11 z
B2 (z) = A2 (z)e−iC22 z
(22)
Avec ces nouvelles variables, la matrice de couplage devient anti-diagonale (termes
nuls sur la diagonale) et le système d’équations (21) s’écrit simplement
∂B1
= iC12 B2 (z)e−iδz
∂z
∂B2
= iC21 B1 (z)eiδz
∂z
(23)
où le désaccord de phase est maintenant donné par
δ = (β1 + C11 ) − (β2 + C22 ) = β1′ − β2′ .
(24)
Cette dernière expression montre que le couplage d’un mode avec lui-même induit
simplement une petite modification des constantes de propagation, βi → βi′ = βi +Cii
avec i = 1, 2. Rappelons que nous sommes en train de faire un traitement perturbatif,
c’est-à-dire Cii ≪ βi .
Finalement, avec ces nouvelles variables, l’expression du champ électrique est la
suivante
10
E(x, y, z) = A1 (z)e1 (x, y)eiβ1z + A2 (z)e2 (x, y)eiβ2 z
′
′
= B1 (z)e1 (x, y)eiβ1z + B2 (z)e2 (x, y)eiβ2 z
6.2
(25)
Résolution des équations d’évolution
Nous allons maintenant résoudre le système d’équations couplées donné par
l’équation (23). Un tel système d’équations est typique d’un couplage codirectionnel,
même lorsque la perturbation n’est pas uniforme, comme nous le verrons dans la
Section 7.
On commence par découpler les équations en passant à des équations différentielles d’ordre 2. L’équation d’évolution de l’amplitude B1 est ainsi donnée par
∂B1
∂ 2 B1
+ iδ
+ C12 C21 B1 = 0 .
2
∂z
∂z
(26)
La solution générale de cette équation différentielle est de la forme B1 (z) = aeα+ z +
beα− z , où a et b sont deux constantes d’intégration et α+ et α− sont les solutions de
l’équation caractéristique α2 + iδα + C12 C21 = 0, c’est-à-dire
s
δ2
δ
α± = −i ± i C12 C21 + .
2
4
Finalement, en introduisant le paramètre s =
plitude B1 sous la forme suivante
δ
q
C12 C21 +
B1 (z) = e−i 2 z aeisz + be−isz
(27)
δ2
,
4
on peut exprimer l’am-
(28)
En procédant de même pour l’amplitude B2 (z), on obtient l’équation suivante
∂ 2 B2
∂B2
− iδ
+ C12 C21 B2 = 0 .
2
∂z
∂z
(29)
La solution a la même forme que B1 (z) en remplaçant δ par −δ, soit
δ
B2 (z) = ei 2 z ceisz + de−isz ,
(30)
où c et d sont deux constantes d’intégration. On remarque tout de suite que dans
le cas d’un couplage codirectionnel, les amplitudes des modes évoluent de façon
oscillante au cours de la propagation en z. La variation des amplitudes est périodique
avec une période 2π/s.
Les relations entre B1 et B2 (cf. équation (23)) permettent de déterminer deux
+
−
relations entre les quatre constantes d’intégration, c = −i Cα12
a et d = −i Cα12
b. Les
deux constantes d’intégration restantes sont déterminées à l’aide des conditions aux
limites.
Dans le cas d’un couplage codirectionnel, on s’intéresse souvent à la situation
nominale suivante : un seul des deux modes est incident sur la structure et celle-ci
11
a pour fonction de transférer tout ou partie de l’énergie incidente dans le second
mode. Les conditions aux bords d’une structure de longueur L sont donc en général
A1 (z = 0) = B1 (z = 0) = A0 ,
A2 (z = 0) = B2 (z = 0) = 0 .
(31)
Avec ces conditions aux limites, les expressions des amplitudes B1 et B2 deviennent
−i δ2 z
B1 (z) = A0 e
"
δ
cos(sz) + i sin(sz)
2s
#
C21 i δ z
e 2 sin(sz)
B2 (z) = iA0
s
(32)
A ce stade, rappelons que les amplitudes A1 et A2 des modes sont directement liées
aux amplitudes B1 et B2 par l’équation (22).
6.3
Echange d’énergie d’un mode à l’autre
Avant d’analyser les échanges d’énergie entre les modes au cours de la propagation, rappelons que nous nous sommes placés dans le cas où le guide d’onde nonperturbé est sans absorption ni gain (ǭ est réel). La puissance P dans le guide d’onde
est donnée par le flux du vecteur de Poynting à travers la section du guide. Comme
les modes du guide non-perturbé sont orthogonaux au sens du vecteur de Poyting,
la puissance totale est la somme des puissances portées par chacun des modes. La
puissance dépend donc de la position z et, comme les deux modes se propagent dans
la même direction, elle est simplement donnée par
P (z) = |A1 (z)|2 + |A2 (z)|2 .
(33)
Dans le cas d’une perturbation sans absorption ni gain (∆ǫ réel), les coefficients de
couplage sont réels et la puissance est donnée par
P (z) = |B1 (z)|2 + |B2 (z)|2 .
(34)
Si la perturbation inclut de l’absorption ou du gain, on obtient
i
i
P (z) = |B1 (z)|2 e−2C11 z + |B2 (z)|2 e−2C22 z ,
(35)
i
où Cmm
est la partie imaginaire du coefficient de couplage Cmm .
6.4
Cas particulier du couplage résonant
Pour illustrer l’échange d’énergie entre les deux modes, plaçons-nous dans le cas
où la condition de couplage résonant est réalisée, c’est-à-dire δ = 0. On inclue dans
la condition d’accord de phase le fait que le couplage de chaque mode sur lui-même
induit une petite modification de la constante de propagation, cf. équation (24). On
se place également dans le cas d’une perturbation sans absorption ni gain (∆ǫ réel).
Dans ce cas, les coefficients de couplage vérifient la relation suivante
∗
C21 = C12
.
12
(36)
Dans le cas de matériaux anisotropes, ∆ǫ est un tenseur et cette relation n’est
valable que pour des matériaux réciproques, c’est-à-dire si ∆ǫT = ∆ǫ, où l’exposant
T
représente la transposition.
Avec ces deux hypothèses, s = |C12 | et les amplitudes B1 et B2 deviennent
B1 (z) = A0 cos(|C12 |z)
|C12 |
B2 (z) = iA0
sin(C12 z)
C12
(37)
Il est facile de vérifier que, dans ce cas sans absorption ni gain, la puissance est bien
conservée au cours de la propagation, P (z) = |A0 |2 = cste.
A1 (0) = A0
∆ǫ
A2 (0) = 0
0
L
z
P (z)
|A0 |2
|A0 |2
2
0
0
π
4|C12 |
π
2|C12 |
z
Figure 2 – Couplage codirectionnel résonant sans absorption ni gain. Conditions aux limites et évolution de la puissance
dans chacun des modes. Nous nous sommes placés dans le cas où
seul le mode 1 est injecté dans le système avec un couplage résonant
entre les deux modes, δ = 0. La courbe bleue représente l’évolution
de la puissance dans le mode 1 |A1 (z)|2 et la courbe rouge en pointillés représente l’évolution de la puissance dans le mode 2 |A2 (z)|2 .
13
Comme le montre la Figure 2, la puissance oscille parfaitement entre les deux
modes au cours de la propagation dans la perturbation. Pour une longueur de couplage L = 4|Cπ12 | , les deux modes ressortent du composant avec la même énergie,
P1 (L) = P2 (L) = |A0 |2 /2. On a donc réalisé un coupleur 50/50. Au contraire, pour
une longueur L = 2|Cπ12 | , toute l’énergie est passée dans le mode 2, P1 (z) = 0 et
P2 (z) = |A0 |2 . On réalise alors un convertisseur de mode.
7
Perturbation périodique en z
Le cas d’une perturbation périodique, ∆ǫ(z + Λ) = ∆ǫ(z), est étudié en détails
dans le TD Perturbation périodique d’un guide d’onde — Réflexion de Bragg. Nous
rappelons simplement ici les principaux résultats.
– Condition de couplage résonant. La perturbation apporte un vecteur
où
d’onde supplémentaire u dans la condition d’accord de phase, u = p 2π
Λ
p est un entier relatif. En conséquence, il est possible de coupler deux modes
qui n’ont pas la même constante de propagation.
– Type de couplage. Le couplage peut être codirectionnel ou contra-directionnel.
En particulier, il est possible de coupler un mode à lui-même se propageant en
sens inverse. C’est le type de couplage utilisé pour réaliser un miroir de Bragg
(filtre réjecteur de bande).
– Echange d’énergie entre les modes. Dans le cas d’un couplage codirectionnel, les équations d’évolution sont exactement les mêmes que dans le cas
de la perturbation uniforme. L’énergie oscille entre les deux modes au cours
de la propagation. Au contraire, dans le cas d’un couplage contra-directionnel,
l’énergie n’oscille pas au cours de la propagation. L’échange d’énergie entre les
deux modes est "irréversible" ; une fois qu’une fraction de l’énergie est passée
d’un mode à l’autre, elle ne peut plus revenir dans le mode initial.
– Cas du réflecteur de Bragg. En fonction de la fréquence (ou de façon
équivalente en fonction du désaccord de phase), la structure perturbée réfléchit fortement le mode incident dans une certaine bande assez étroite. La
réflectivité maximale est obtenue pour un couplage résonant, qui a lieu pour
un certaine fréquence ω0 appelée fréquence centrale du filtre. Dans ce cas,
Rmax = tanh2 (|κ|L), où |κ| est le coefficient de couplage considéré. La largeur
spectrale du filtre est donnée par ∆ω = n2ceff |κ|, où neff est l’indice effectif du
mode du guide non-perturbé (constante de propagation normalisée par 2π
).
λ
14
8
Annexe A : Expression du champ magnétique
Le point central de la théorie des modes couplés est de chercher un champ électrique sous la forme d’une somme de modes non-perturbés avec des amplitudes
Am (z) qui changent au cours de la propagation,
E(x, y, z) =
X
Am (z)em (x, y)eiβmz .
X
Am (z)hm (x, y)eiβm z ,
(38)
m
Pour pouvoir calculer la puissance dans le guide, c’est-à-dire le flux du vecteur de
Poynting, il est nécessaire de connaître également l’expression du champ magnétique.
Lorsque nous avons écrit que la puissance portée par un mode était simplement
donnée par |Am (z)|2 , nous avons supposé que l’expression du champ magnétique
était similaire à celle du champ électrique, c’est-à-dire
H(x, y, z) =
(39)
m
où hm (x, y) est le profil du champ magnétique du mode m.
Cependant, les champs électrique et magnétique sont liés par les équations de
Maxwell ; le champ magnétique doit être le rotationnel du champ électrique, H =
1
∇ × E. Or, pour des amplitudes Am (z) quelconques, les champs électriques et
iωµ0
magnétiques données par les équations (38) et (39) ne vérifient pas les équations
de Maxwell. Nous allons voir que ces deux expressions ne sont compatibles avec les
équations de Maxwell que dans l’approximation de l’enveloppe lentement variable.
Commençons par rappeler la relation entre les profils em (x, y) et hm (x, y) des
1
modes du guide non-perturbé. Comme Hm (x, y, z) = hm (x, y)eiβm z = iωµ
∇ × Em =
0
1
∇
iωµ0
× em eiβm z , on a la relation suivante
1
(∇ × em + iβm uz × em ) .
(40)
iωµ0
En partant de l’expression du champ électrique donnée par l’équation (38) et en
utilisant les équations de Maxwell, l’expression du champ magnétique est donnée
par
hm =
X 1
1
∇×E=
∇ × Am (z)eiβm z em
iωµ0
m iωµ0
!
X 1
1
∂Am
iβm z
=
Am e
∇×em +
+ iβm Am eiβm z uz ×em
iωµ
iωµ
∂z
0
0
m
X
∂A
1
m
(uz ×em )eiβm z .
=
Am (z)hm eiβm z +
iωµ
∂z
0
m
H=
(41)
Cette expression montre bien que le champ magnétique donné par l’équation (39)
ne vérifie les équations de Maxwell que si
∂A m
∂z ≪ |βm Am | ,
c’est-à-dire si l’approximation de l’enveloppe lentement variable est vérifiée.
15
(42)
9
Annexe B : Orthogonalité des modes
Dans la dérivation des équations couplées, nous avons utilisé le fait que, dans le
cadre de l’approximation du guidage faible (∇ · E ≈ 0), la relation d’orthogonalité
des modes
1
(Ek × H∗m )·uz dS = δkm ,
2
pouvait être réécrite de la façon suivante
ZZ
Ikm =
ZZ
Ek · E∗m dS =
2ωµ0
δkm .
βm
(43)
(44)
Dans cette Annexe, nous démontrons que l’approximation ∇·E ≈ 0 permet bien de
passer de l’orthogonalité au sens du vecteur de Poynting (43) à la relation simplifiée (44) qui ne fait intervenir que le champ électrique.
Nous démontrons tout d’abord que l’intégrale Ikm peut être réécrite de la façon
suivante
Ikm =
βm
2ωµ0
ZZ
Ek · E∗m dS −
i
2ωµ0
ZZ
∗
(Ek · ∇)Ezm
dS .
(45)
∂
Pour cela, nous utilisons les équations de Maxwell et la relation ∇ = ∇t + ∂z
uz .
Les équations de Maxwell en rotationnel nous permettent d’exprimer le champ magnétique en fonction du champ électrique, H = − ωµi 0 ∇ × E. Ainsi, nous pouvons
exprimer le champ magnétique du mode H∗m en fonction de son champ électrique, 4
i
i h
i
i
∇(e−iβm z ) × e∗m + e−iβm z ∇×e∗m
∇ × E∗m =
∇ × e∗m e−iβm z =
ωµ0
ωµ0
ωµ0
βm
i −iβm z
βm
i
=
(uz ×E∗m ) +
e
∇×e∗m =
(uz ×E∗m ) +
∇t ×E∗m .
ωµ0
ωµ0
ωµ0
ωµ0
(46)
H∗m =
∂
Cette dernière égalité vient du fait que ∇×e∗m = ∇t ×e∗m + ∂z
(uz ×e∗m ) = ∇t ×e∗m
puisque le profil du mode e∗m est indépendant de z.
Il est donc possible de réécrire le vecteur de Poynting croisé Ek × H∗m en fonction
uniquement des champs électriques des deux modes
βm
i
Ek ×(uz ×E∗m ) +
Ek ×(∇t ×E∗m )
ωµ0
ωµ0
βm
i
βm
(Ek ·E∗m)uz −
Ezk E∗m +
Ek ×(∇t ×E∗m )
=
ωµ0
ωµ0
ωµ0
"
#
∂E∗m
βm
i
∗
∗
−Ezk
=
(Ek ·Em)uz +
+ Ek ×(∇t ×Em ) .
ωµ0
ωµ0
∂z
Ek × H∗m =
4. ∇ × (f a) = ∇f × a + f ∇ × a
16
(47)
Finalement,
(Ek ×
H∗m )·uz
βm
∂E∗
i
=
−Ezk m + Ek ×(∇t ×E∗m ) ·uz ,
Ek ·E∗m +
ωµ0
ωµ0
∂z
"
#
(48)
et en explicitant la composante suivant z du vecteur entre crochets, on obtient
i
βm
∗
Ek ·E∗m −
(Ek ·∇)Ezm
.
ωµ0
ωµ0
Nous avons donc démontré la relation (45).
(Ek × H∗m )·uz =
(49)
∗
En utilisant la relation (45), nous calculons maintenant la quantité Ikm + Imk
Ikm +
∗
Imk
βm + βk
=
2ωµ0
ZZ
Ek ·
E∗m dS
i
+
2ωµ0
ZZ
∗
[(E∗m ·∇)Ezk − (Ek ·∇)Ezm
] dS .
(50)
Les termes à l’intérieur de la seconde intégrale peuvent s’écrire
∂Ezk
∗ ∂Ezk
∗ ∂Ezk
+ Eym
+ Ezm
.
(51)
∂x
∂x
∂x
En utilisant des intégrations par partie et le fait que le champ des modes s’annule à
l’infini, on obtient les relations suivantes
∗
(E∗m ·∇)Ezk = Exm
∗
∂Eαm
dS
∂α
∂α
ZZ
ZZ
∂E ∗
∗ ∂Eαk
Eαk zm dS = −
Ezm
dS ,
∂α
∂α
ZZ
∗ ∂Ezk
Eαm
dS = −
ZZ
Ezk
(52)
avec α = x, y. Ces quatre relations permettent de montrer que
ZZ h
(E∗m ·∇)Ezk
−
∗
(Ek ·∇)Ezm
i
dS =
ZZ
∗
(Ezm
∇·Ek − Ezk ∇·E∗m) dS .
(53)
∗
Finalement, puisque Ikm + Imk
= 2δkm , nous avons démontré la relation suivante :
βm + βk
2ωµ0
ZZ
Ek ·
E∗m dS
i
+
2ωµ0
ZZ
∗
(Ezm
∇·Ek − Ezk ∇·E∗m) dS = 2δkm .
(54)
Ainsi, dans le cadre RRde l’approximation du guidage faible (∇ · E ≈ 0), on obm +βk
tient simplement β2ωµ
Ek · E∗m dS = 2δkm . Cette relation peut être réécrite plus
0
simplement
βm ZZ
Ek · E∗m dS = δkm .
2ωµ0
(55)
Nous avons bien démontré que l’approximation du guidage faible permet de passer
de l’orthogonalité au sens du vecteur de Poynting (43) à une relation simplifiée (44)
qui ne fait intervenir que le champ électrique.
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