TD n˚6, corrigé Condensation de Bose

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Jean-Jacques Greffet,
François Marquier,
TD n˚6, corrigé
Condensation de Bose-Einstein
1) Pour un oscillateur harmonique à une dimension, le hamiltonien est donné par :
Hx =
p2x
1
+ mω 2 x2
2m 2
les valeurs propres de ce hamiltonien sont les états d’énergie :
Enx
1
= h̄ω nx +
2
où nx est un entier positif ou nul. L’état d’énergie Enx n’est pas dégénéré. Il est associé à une
fonction d’onde que l’on note habituellement simplement |nx i.
À trois dimensions, le hamiltonien total peut s’écrire sous la forme d’une somme de trois hamiltoniens :
H = Hx + Hy + Hz
Ces trois hamiltoniens commutent. Une fonction d’onde du système peut donc s’écrire comme
un produit de fonctions d’onde de chaque hamiltonien à une dimension. On note en général cette
fonction d’onde |nx , ny , nz i. Elle est associée à la valeur propre :
Enx ,ny ,nz = h̄ω nx +
1
1
1
+ ny + + nz +
2
2
2
que l’on peut bien-sûr mettre sous la forme :
En = h̄ω n +
3
2
où n est un entier positif ou nul. Les états d’énergie En sont cette fois dégénérés car il y a
plusieurs combinaisons des nx , ny et nz qui peuvent donner n.
Pour un nx donné entre 0 et n, il y a n − nx + 1 couples (ny , nz ) tels que nx + ny + nz = n. La
dégénérescence est donc donnée par :
gn =
n
X
(n − nx + 1)
nx =0
1
que l’on peut réécrire avec p = n − nx + 1 sous la forme :
gn =
n+1
X
p
p=1
soit :
gn =
(n + 1)(n + 2)
2
2) Exprimer le grand potentiel requiert la donnée de la fonction de partition. Comme toujours en
physique statistique, il nous faut commencer par définir un état du système. L’état quantique d’un
atome dans le piège est donné par un triplet d’entiers (nx , ny , nz ). Pour simplifier les notations
(et se raccrocher aux notations du poly), appelons λ ce triplet d’entier. λ caractérise un état
possible (une fonction d’onde possible) pour un atome dans le piège. À cet état à un atome est
associée une énergie ελ = Enx ,ny ,nz .
Nous devons définir un état contenant plusieurs atomes. Nous allons donc prendre un état du
système r comme étant la donnée des nombres d’occupation de chaque état quantique λ. Par
exemple : 10 atomes dans l’état |0, 0, 0i, 2 dans l’état |1, 0, 0i, 3 en |0, 0, 1i et aucun dans les
autres est un état du système qui contient 15 atomes : il peut y avoir moins ou beaucoup plus
d’atomes...
On note r = {Nλ }. À cet état sont associés un nombre de particules Nr =
P
Er = λ Nλ ελ .
P
λ Nλ
et une énergie
La fonction de partition grand-canonique s’écrit :
Z =
X
exp(−βEr + βµNr )
r
=
X
exp −β
{Nλ }
X
Nλ ελ + βµ
X
Nλ
λ
λ
!
L’exponentielle de somme donnant un produit d’exponentielles, puis la donnée du nombre d’atomes
dans un état étant indépendant du nombre d’atomes dans les autres états, on a :
X
Z =
exp [−βN0 (ε0 − µ)] × exp [−βN1 (ε1 − µ)] × ...
{Nλ }
=
X
exp [−βN0 (ε0 − µ)] ×
N0
Soit finalement :
Z=
X
exp [−βN1 (ε1 − µ)] × ...
N1
1
1
×
× ...
1 − exp[−β(ε0 − µ)] 1 − exp[−β(ε1 − µ)]
Il est possible d’écrire cette dernière ligne à condition que ελ − µ > 0. Une condition suffisante
est donc ε0 − µ > 0, soit encore α < 23 βh̄ω.
Le grand potentiel s’écrit A(α, β) = −kT ln Z, soit :
A(α, β) = −
1X
1
ln
β λ
1 − exp[−β(ελ − µ)]
2
En prenant en compte la dégénérescence, c’est-à-dire le nombre de niveau de même énergie ελ ,
il vient facilement :
X
3
1 +∞
gn ln 1 − exp −βh̄ωn − βh̄ω + α
A(α, β) =
β n=0
2
3) Le nombre moyen de bosons dans le piège est donné par une simple dérivée du grand potentiel :
N=
∂A
∂ ln Z
= −β
∂α
∂α
Il vient donc :
N
=
+∞
X
n=0
=
+∞
X
n=0
3
exp −βh̄ωn − βh̄ω + α
gn
2
1 − exp −βh̄ωn − 32 βh̄ω + α
gn
exp βh̄ωn + 23 βh̄ω − α − 1
Soit avec α′ = α − 32 βh̄ω :
N=
+∞
X
gn
exp (βh̄ωn − α′ ) − 1
n=0
4) On se place dans le cas où kT ≫ h̄ω. Dans ce cas de figure, l’énergie peut apparaître comme
une variable continue, et on doit remplacer la dégénérescence gn par une densité d’état g(ε).
La question à se poser est alors : combien a-t-on d’états entre ε et ε + dε ? On peut d’abord
compter le nombre de niveaux : on en a simplement dε/h̄ω. En prenant ensuite en compte la
dégénérescence de chaque niveau gn = (ε/h̄ω + 1)(ε/h̄ω + 2)/2, il vient :
dε 1
g(ε)dε =
h̄ω 2
"
ε
h̄ω
2
#
ε
+2
+3
h̄ω
En première approximation, nous ne retenons que le terme de plus grande puissance, on a donc
1 :
1 ε2
g(ε) =
2 (h̄ω)3
5) On a :
N=
+∞
X
gn
exp(βh̄ωn − α′ ) − 1
n=0
On peut changer la série en intégrale, il vient alors :
N≈
Z
0
+∞
g(ε)dε
exp(ε − α′ ) − 1
1
√
Il est intéressant de constater que la densité d’états obtenue ici n’est pas en ε. Ceci est bien-sûr dû au fait
que l’on est pas dans un puits carré, où l’on ne compte habituellement que l’énergie cinétique de translation, mais
dans un piège harmonique, où les atomes sont de plus soumis à un potentiel non constant dans l’espace.
3
Soit finalement :
I2 (α′ )
2γ 3
N≈
6) À très haute température, γ devient très petit devant 1 et l’on a alors :
I2 (α′ ) ≈ 2γ 3 N
à N fixé, I2 (α′ ) devient très petit. Or, il est facile de constater que I2 est une fonction croissante
et positive. On a donc nécessairement α′ → −∞.
7) Pour garder N constant lorsque γ augmente (la température T diminue), il faut que I2 (α′ )
augmente. Ce terme va donc croître jusqu’à atteindre α′ = 0 qui correspond à la borne vue en
question 2).
On a alors :
I2 (0)
2γ03
N=
(1)
d’où la température T0 :
h̄ω 2N
T0 =
k I2 (0)
1/3
γ varie en 1/N 1/3 . Le remplacement d’une série par une intégrale à la question 5) supposait
que la température était « élevée », puisqu’il fallait que γ = βh̄ω soit beaucoup plus petit que
un. On voit que cette hypothèse est vraie, non seulement à haute température, mais même à la
température de transition, pourvu que N soit suffisamment grand pour que γ0 soit petit.
8) On a en fait :
N
=
≈
+∞
X
gn
1
+
′
exp(−α ) − 1 n=1 exp(βh̄ωn − α′ ) − 1
1
+
exp(−α′ ) − 1
= N0 (T ) +
Z
0
Il vient donc :
+∞
+∞
g(ε)dε
exp(ε
− α′ ) − 1
0
g(ε)dε
exp(ε − α′ ) − 1
Z
N′
I2 (α′ )
=
N
2N γ 3
Lorsque la condensation commence on a α′ = 0, on voit dans l’expression de N que le nombre
d’atomes présents sur le niveau fondamental tend donc vers l’infini. En termes plus physique,
cela signifie en fait que ce nombre devient macroscopique, ou encore de l’ordre de grandeur du
nombre total d’atomes dans le système. On a alors :
I2 (0)
N′
=
N
2N γ 3
4
9) On a donc :
N0
N′
I2 (0)
=1−
=1−
N
N
2N γ 3
En reprenant l’expression de N donnée par l’équation (1), on a alors :
γ3
N0
= 1 − 03 = 1 −
N
γ
T
T0
3
La figure 1 montre la variation du nombre de bosons dans l’état fondamental en fonction de la
température.
Fig. 1 – Variation de la population du niveau fondamental dans le piège harmonique en fonction
de la température. Au-dessus de la température de condensation T0 , le niveau fondamental n’est
pas peuplé macroscopiquement.
10) Les données de l’expérience nous permettent d’écrire γ0 ≈ 3.10−2 . Il est donc bien possible
de considérer que l’approximation de la question 5 (passage d’une série à une intégrale) était
légitime.
On obtient T0 ≈ 0.3 µK.
5
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