TD n˚6, corrigé Condensation de Bose

Jean-Jacques Greffet,
François Marquier,
TD n˚6, corrigé
Condensation de Bose-Einstein
1) Pour un oscillateur harmonique à une dimension, le hamiltonien est donné par :
Hx=p2
x
2m+1 2mω2x2
les valeurs propres de ce hamiltonien sont les états d’énergie :
Enx= ¯hω nx+1
2
où nxest un entier positif ou nul. L’état d’énergie Enxn’est pas dégénéré. Il est associé à une
fonction d’onde que l’on note habituellement simplement |nxi.
À trois dimensions, le hamiltonien total peut s’écrire sous la forme d’une somme de trois hamil-
toniens :
H=Hx+Hy+Hz
Ces trois hamiltoniens commutent. Une fonction d’onde du système peut donc s’écrire comme
un produit de fonctions d’onde de chaque hamiltonien à une dimension. On note en général cette
fonction d’onde |nx, ny, nzi. Elle est associée à la valeur propre :
Enx,ny,nz= ¯hω nx+1
2+ny+1 2+nz+1 2
que l’on peut bien-sûr mettre sous la forme :
En= ¯hω n+3
2
où nest un entier positif ou nul. Les états d’énergie Ensont cette fois dégénérés car il y a
plusieurs combinaisons des nx,nyet nzqui peuvent donner n.
Pour un nxdonné entre 0 et n, il y a n−nx+ 1 couples (ny, nz)tels que nx+ny+nz=n. La
dégénérescence est donc donnée par :
gn=
n
X
nx=0
(n−nx+ 1)
1

que l’on peut réécrire avec p=n−nx+ 1 sous la forme :
gn=
n+1
X
p=1
p
soit :
gn=(n+ 1)(n+ 2)
2
2) Exprimer le grand potentiel requiert la donnée de la fonction de partition. Comme toujours en
physique statistique, il nous faut commencer par définir un état du système. L’état quantique d’un
atome dans le piège est donné par un triplet d’entiers (nx, ny, nz). Pour simplifier les notations
(et se raccrocher aux notations du poly), appelons λce triplet d’entier. λcaractérise un état
possible (une fonction d’onde possible) pour un atome dans le piège. À cet état à un atome est
associée une énergie ελ=Enx,ny,nz.
Nous devons définir un état contenant plusieurs atomes. Nous allons donc prendre un état du
système rcomme étant la donnée des nombres d’occupation de chaque état quantique λ. Par
exemple : 10 atomes dans l’état |0,0,0i, 2 dans l’état |1,0,0i, 3 en |0,0,1iet aucun dans les
autres est un état du système qui contient 15 atomes : il peut y avoir moins ou beaucoup plus
d’atomes...
On note r={Nλ}. À cet état sont associés un nombre de particules Nr=PλNλet une énergie
Er=PλNλελ.
La fonction de partition grand-canonique s’écrit :
Z=X
r
exp(−βEr+βµNr)
=X
{Nλ}
exp −βX
λ
Nλελ+βµ X
λ
Nλ!
L’exponentielle de somme donnant un produit d’exponentielles, puis la donnée du nombre d’atomes
dans un état étant indépendant du nombre d’atomes dans les autres états, on a :
Z=X
{Nλ}
exp [−βN0(ε0−µ)] ×exp [−βN1(ε1−µ)] ×...
=X
N0
exp [−βN0(ε0−µ)] ×X
N1
exp [−βN1(ε1−µ)] ×...
Soit finalement :
Z=1
1−exp[−β(ε0−µ)] ×1 1−exp[−β(ε1−µ)] ×...
Il est possible d’écrire cette dernière ligne à condition que ελ−µ > 0. Une condition suffisante
est donc ε0−µ > 0, soit encore α < 3
2β¯hω.
Le grand potentiel s’écrit A(α, β) = −kT ln Z, soit :
A(α, β) = −1
βX
λ
ln 1
1−exp[−β(ελ−µ)]
2

En prenant en compte la dégénérescence, c’est-à-dire le nombre de niveau de même énergie ελ,
il vient facilement :
A(α, β) = 1
β
+∞
X
n=0
gnln 1−exp −β¯hωn −3
2β¯hω +α
3) Le nombre moyen de bosons dans le piège est donné par une simple dérivée du grand potentiel :
N=∂ln Z
∂α =−β∂A ∂α
Il vient donc :
N=
+∞
X
n=0
gn
1−exp −β¯hωn −3
2β¯hω +αexp −β¯hωn −3
2β¯hω +α
=
+∞
X
n=0
gn
exp β¯hωn +3
2β¯hω −α−1
Soit avec α′=α−3
2β¯hω :
N=
+∞
X
n=0
gn
exp (β¯hωn −α′)−1
4) On se place dans le cas où kT ≫¯hω. Dans ce cas de figure, l’énergie peut apparaître comme
une variable continue, et on doit remplacer la dégénérescence gnpar une densité d’état g(ε).
La question à se poser est alors : combien a-t-on d’états entre εet ε+ dε? On peut d’abord
compter le nombre de niveaux : on en a simplement dε/¯hω. En prenant ensuite en compte la
dégénérescence de chaque niveau gn= (ε/¯hω + 1)(ε/¯hω + 2)/2, il vient :
g(ε)dε=dε
¯hω
1
2"ε ¯hω 2
+ 3 ε
¯hω + 2#
En première approximation, nous ne retenons que le terme de plus grande puissance, on a donc
1:
g(ε) = 1
2
ε2
(¯hω)3
5) On a :
N=
+∞
X
n=0
gn
exp(β¯hωn −α′)−1
On peut changer la série en intégrale, il vient alors :
N≈Z+∞
0
g(ε)dε
exp(ε−α′)−1
1Il est intéressant de constater que la densité d’états obtenue ici n’est pas en √ε. Ceci est bien-sûr dû au fait
que l’on est pas dans un puits carré, où l’on ne compte habituellement que l’énergie cinétique de translation, mais
dans un piège harmonique, où les atomes sont de plus soumis à un potentiel non constant dans l’espace.
3

Soit finalement :
N≈I2(α′)
2γ3
6) À très haute température, γdevient très petit devant 1 et l’on a alors :
I2(α′)≈2γ3N
àNfixé, I2(α′)devient très petit. Or, il est facile de constater que I2est une fonction croissante
et positive. On a donc nécessairement α′→ −∞.
7) Pour garder Nconstant lorsque γaugmente (la température Tdiminue), il faut que I2(α′)
augmente. Ce terme va donc croître jusqu’à atteindre α′= 0 qui correspond à la borne vue en
question 2).
On a alors :
N=I2(0)
2γ3
0
(1)
d’où la température T0:
T0=¯hω
k2N I2(0)1/3
γvarie en 1/N1/3. Le remplacement d’une série par une intégrale à la question 5) supposait
que la température était « élevée », puisqu’il fallait que γ=β¯hω soit beaucoup plus petit que
un. On voit que cette hypothèse est vraie, non seulement à haute température, mais même à la
température de transition, pourvu que Nsoit suffisamment grand pour que γ0soit petit.
8) On a en fait :
N=1
exp(−α′)−1+
+∞
X
n=1
gn
exp(β¯hωn −α′)−1
≈1
exp(−α′)−1+Z+∞
0
g(ε)dε
exp(ε−α′)−1
=N0(T) + Z+∞
0
g(ε)dε
exp(ε−α′)−1
Il vient donc : N′
N=I2(α′) 2Nγ3
Lorsque la condensation commence on a α′= 0, on voit dans l’expression de Nque le nombre
d’atomes présents sur le niveau fondamental tend donc vers l’infini. En termes plus physique,
cela signifie en fait que ce nombre devient macroscopique, ou encore de l’ordre de grandeur du
nombre total d’atomes dans le système. On a alors :
N′
N=I2(0) 2Nγ3
4

9) On a donc :
N0
N= 1 −N′ N= 1 −I2(0) 2Nγ3
En reprenant l’expression de Ndonnée par l’équation (1), on a alors :
N0
N= 1 −γ3
0
γ3= 1 −T T03
La figure 1 montre la variation du nombre de bosons dans l’état fondamental en fonction de la
température.
Fig. 1 – Variation de la population du niveau fondamental dans le piège harmonique en fonction
de la température. Au-dessus de la température de condensation T0, le niveau fondamental n’est
pas peuplé macroscopiquement.
10) Les données de l’expérience nous permettent d’écrire γ0≈3.10−2. Il est donc bien possible
de considérer que l’approximation de la question 5 (passage d’une série à une intégrale) était
légitime.
On obtient T0≈0.3µK.
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