Calcul Intégral

Définition
Propriétés de d’intégrale
Intégrale fonction de sa borne supérieure
Calcul Intégral
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http://www.maths.univ-evry.fr/pages_perso/cprofeta/
Amphi n˚1
Janvier 2014
Méthodes d’intégration
Définition
Propriétés de d’intégrale
Intégrale fonction de sa borne supérieure
Méthodes d’intégration
Objectifs du cours
Rb
f (x)dx qui permet de comprendre
1
donner une définition de l’intégrale
son utilisation en physique,
2
présenter différentes méthodes pour calculer une intégrale donnée.
a
Définition
Propriétés de d’intégrale
Intégrale fonction de sa borne supérieure
Plan
1
Définition
2
Propriétés de d’intégrale
3
Intégrale fonction de sa borne supérieure
4
Méthodes d’intégration
Méthodes d’intégration
Définition
Propriétés de d’intégrale
Intégrale fonction de sa borne supérieure
Méthodes d’intégration
Subdivisions
Définition
On appelle subdivision d’un intervalle [a, b] de R toute suite de valeurs
σn = (x0 , . . . , xn ) telle que a = x0 < x1 < . . . < xn = b.
On appelle pas de la subdivision σn la quantité |σn | = sup (xi+1 − xi ).
0≤i≤n−1
Définition
Propriétés de d’intégrale
Intégrale fonction de sa borne supérieure
Méthodes d’intégration
Sommes de Darboux
Définition
Soit f : [a, b] 7−→ R définie et bornée sur [a, b] et soit σn une subdivision de
[a, b]. On note
mi =
inf
f (x)
x∈[xi ,xi+1 ]
et
Mi =
sup
f (x)
x∈[xi ,xi+1 ]
Les sommes de Darboux associées à f et σn sont :
s(f , σn ) =
n−1
X
i=0
mi (xi+1 − xi )
et
S(f , σn ) =
n−1
X
i=0
Mi (xi+1 − xi )
Définition
Propriétés de d’intégrale
Intégrale fonction de sa borne supérieure
Définition
Soit f : [a, b] 7−→ R définie et bornée sur [a, b].
On dit que f est intégrable (au sens de Riemann) sur [a, b] si :
lim (S(f , σn ) − s(f , σn )) = 0.
|σn |→0
Méthodes d’intégration
Définition
Propriétés de d’intégrale
Intégrale fonction de sa borne supérieure
Définition
Soit f : [a, b] 7−→ R définie et bornée sur [a, b].
On dit que f est intégrable (au sens de Riemann) sur [a, b] si :
lim (S(f , σn ) − s(f , σn )) = 0.
|σn |→0
Théorème
Si f est intégrable, alors lim s(f , σn ) = lim S(f , σn ) ∈ R.
|σn |→0
|σn |→0
Z b
On note
f (x)dx cette limite commune.
a
Méthodes d’intégration
Définition
Propriétés de d’intégrale
Intégrale fonction de sa borne supérieure
Lien avec la physique
Corollaire
Plus généralement, si ci ∈ [xi , xi+1 ] et si |σn | → 0, alors :
b
Z
f (x)dx = lim
a
n→+∞
n−1
X
i=0
f (ci )(xi+1 − xi ).
Méthodes d’intégration
Définition
Propriétés de d’intégrale
Intégrale fonction de sa borne supérieure
Méthodes d’intégration
Lien avec la physique
Corollaire
Plus généralement, si ci ∈ [xi , xi+1 ] et si |σn | → 0, alors :
b
Z
f (x)dx = lim
n→+∞
a
n−1
X
f (ci )(xi+1 − xi ).
i=0
Si on choisit la subdivision régulière :
xi = a + i∆x
avec
∆x =
b−a
n
et ci = xi alors :
b
Z
f (x)dx = lim
a
n→+∞
n−1
X
f (xi )∆x.
i=0
C’est cette égalité qui justifie l’application du calcul intégral en physique.
Définition
Propriétés de d’intégrale
Intégrale fonction de sa borne supérieure
Méthodes d’intégration
Exemples de fonctions intégrables
Théorème
Soit f : [a, b] 7−→ R.
1
Si f est monotone sur [a, b], alors f est intégrable sur [a, b].
2
Si f est continue sur [a, b], alors f est intégrable sur [a, b].
En particulier, toutes les fonctions usuelles (polynômes, racines,
exponentielles, logarithmes... et toutes leurs composées) sont intégrables sur
n’importe quel segment inclus dans leur ensemble de définition.
Définition
Propriétés de d’intégrale
Intégrale fonction de sa borne supérieure
Plan
1
Définition
2
Propriétés de d’intégrale
3
Intégrale fonction de sa borne supérieure
4
Méthodes d’intégration
Méthodes d’intégration
Définition
Propriétés de d’intégrale
Intégrale fonction de sa borne supérieure
Interprétation géometrique
On suppose que f est intégrable sur [a, b].
1
Si f est positive sur [a, b] alors :
Z b
f (x)dx = Aire sous la courbe représentative de f .
a
Méthodes d’intégration
Définition
Propriétés de d’intégrale
Intégrale fonction de sa borne supérieure
Interprétation géometrique
On suppose que f est intégrable sur [a, b].
1
Si f est positive sur [a, b] alors :
Z b
f (x)dx = Aire sous la courbe représentative de f .
a
2
Si f est de signe quelconque, alors :
Z b
f (x)dx = Aire algébrique sous la courbe
a
Méthodes d’intégration
Définition
Propriétés de d’intégrale
Intégrale fonction de sa borne supérieure
Relation de Chasles
Définition
Si a < b, alors on définit :
a
Z
Z
f (x)dx = −
b
b
f (x)dx.
a
Méthodes d’intégration
Définition
Propriétés de d’intégrale
Intégrale fonction de sa borne supérieure
Relation de Chasles
Définition
Si a < b, alors on définit :
a
Z
Z
f (x)dx = −
b
b
f (x)dx.
a
Théorème
Pour tous réels a, b et c :
Z b
Z
f (x)dx =
a
c
b
Z
f (x)dx +
a
f (x)dx.
c
Méthodes d’intégration
Définition
Propriétés de d’intégrale
Intégrale fonction de sa borne supérieure
Méthodes d’intégration
Linéarité
Théorème
Si f et g sont intégrables sur [a, b] et si λ ∈ R alors f + g et λf sont intégrables
sur [a, b]. De plus :
Z b
Z b
Z b
1
(f (x) + g(x))dx =
f (x)dx +
g(x)dx
a
a
b
Z
Z
λf (x)dx = λ
2
a
b
f (x)dx
a
a
Définition
Propriétés de d’intégrale
Intégrale fonction de sa borne supérieure
Positivité
Théorème
Soient a ≤ b et f intégrable sur [a, b].
Z b
1
f (x)dx ≥ 0.
Si f ≥ 0 sur [a, b], alors
a
Z
2
3
b
Si f ≤ g sur [a, b], alors
f (x)dx ≤
a
Z b
Z b
f (x)dx ≤
|f (x)|dx.
a
a
Z
b
g(x)dx.
a
Méthodes d’intégration
Définition
Propriétés de d’intégrale
Intégrale fonction de sa borne supérieure
Méthodes d’intégration
Valeur moyenne
Définition
Soit f intégrable sur [a, b]. On appelle valeur moyenne de f sur [a, b] le réel
Z b
1
f (x)dx
a 6= b.
b−a a
Définition
Propriétés de d’intégrale
Intégrale fonction de sa borne supérieure
Méthodes d’intégration
Valeur moyenne
Définition
Soit f intégrable sur [a, b]. On appelle valeur moyenne de f sur [a, b] le réel
Z b
1
f (x)dx
a 6= b.
b−a a
Choisissons xi = a + i∆x avec ∆x =
Z
n−1
X
b
f (x)dx = lim
n→+∞
a
b−a
. On sait que
n
f (xi )∆x = lim
i=0
n→+∞
n−1
b−a X
f (xi )
n i=0
donc
1
b−a
Z
b
f (x)dx = lim
a
n→+∞
n−1
1X
f (xi )
n i=0
| {z }
moyenne des valeurs de f en x0 , x1 , . . . , xn−1
Définition
Propriétés de d’intégrale
Intégrale fonction de sa borne supérieure
Formule de la moyenne
Théorème
Si f est continue sur [a, b], alors il existe c ∈ [a, b] tel que
Z b
1
f (x)dx = f (c)
b−a a
ce que l’on peut réécrire :
b
Z
f (x)dx = f (c)(b − a)
a
Méthodes d’intégration
Définition
Propriétés de d’intégrale
Intégrale fonction de sa borne supérieure
Plan
1
Définition
2
Propriétés de d’intégrale
3
Intégrale fonction de sa borne supérieure
4
Méthodes d’intégration
Méthodes d’intégration
Définition
Propriétés de d’intégrale
Intégrale fonction de sa borne supérieure
Méthodes d’intégration
Soit f intégrable sur [a, b]. On définit une fonction H sur [a, b] par
Z x
H(x) =
f (t)dt.
a
Théorème
1
H est continue sur [a, b].
2
Si de plus f est continue sur [a, b], alors H est dérivable sur [a, b] et
Z x
0
H 0 (x) =
f (t)dt = f (x).
a
Définition
Propriétés de d’intégrale
Intégrale fonction de sa borne supérieure
Méthodes d’intégration
Corollaire
Toute fonction continue f sur [a, b] admet au moins une primitive (c’est-à-dire
une fonction dont la dérivée est f ) qui est donnée par H.
Définition
Propriétés de d’intégrale
Intégrale fonction de sa borne supérieure
Méthodes d’intégration
Corollaire
Toute fonction continue f sur [a, b] admet au moins une primitive (c’est-à-dire
une fonction dont la dérivée est f ) qui est donnée par H.
Remarque
Si F est une primitive quelconque de f , alors
F 0 (x) = f (x) = H 0 (x)
donc
F(x) = H(x) + c
où c ∈ R.
x
Z
H : x 7−→
f (t)dt correspond donc à la primitive de f qui s’annule en a.
a
Définition
Propriétés de d’intégrale
Intégrale fonction de sa borne supérieure
Méthodes d’intégration
Notation
Z
f (x)dx désigne une primitive quelconque de f .
Corollaire
Si f est continue sur [a, b] et si F est une primitive quelconque de f sur [a, b],
alors
Z
b
f (t)dt = F(b) − F(a).
a
On notera par la suite :
Z
a
b
f (t)dt = [F(t)]ba = F(b) − F(a).
Définition
Propriétés de d’intégrale
Intégrale fonction de sa borne supérieure
Plan
1
Définition
2
Propriétés de d’intégrale
3
Intégrale fonction de sa borne supérieure
4
Méthodes d’intégration
Méthodes d’intégration
Définition
Propriétés de d’intégrale
Intégrale fonction de sa borne supérieure
Méthodes d’intégration
Calcul à l’aide de primitives
Dans ce tableau, f désigne une fonction continue et F une primitive de f :
f (x)
F(x)
f (x)
F(x)
xα
xα+1
+c
α+1
cos(x)
sin(x) + c
sin(x)
− cos(x) + c
1
= 1 + tan2 (x)
cos2 (x)
tan(x) + c
ex
ex + c
1
1 + x2
Arctan(x) + c
1
x
u0 (x)(u(x))α
u0 (x)
u(x)
ln(|x|) + c
α+1
(u(x))
α+1
+c
ln(|u(x)|) + c
u est une fonction dérivable, α 6= −1, c ∈ R.
Définition
Propriétés de d’intégrale
Intégrale fonction de sa borne supérieure
Méthodes d’intégration
Changement de variables
Parfois, pour calculer une intégrale, il peut être intéressant de changer la
Z b
variable d’intégration :
f (x)dx.
a
On suppose que x = ϕ(t), avec a = ϕ(α) et b = ϕ(β). Il va falloir changer :
Définition
Propriétés de d’intégrale
Intégrale fonction de sa borne supérieure
Méthodes d’intégration
Changement de variables
Parfois, pour calculer une intégrale, il peut être intéressant de changer la
Z b
variable d’intégration :
f (x)dx.
a
On suppose que x = ϕ(t), avec a = ϕ(α) et b = ϕ(β). Il va falloir changer :
i) le x dans la fonction f : on remplace simplement f (x) par f (ϕ(t)).
Définition
Propriétés de d’intégrale
Intégrale fonction de sa borne supérieure
Méthodes d’intégration
Changement de variables
Parfois, pour calculer une intégrale, il peut être intéressant de changer la
Z b
variable d’intégration :
f (x)dx.
a
On suppose que x = ϕ(t), avec a = ϕ(α) et b = ϕ(β). Il va falloir changer :
i) le x dans la fonction f : on remplace simplement f (x) par f (ϕ(t)).
ii) le terme dx : pour cela, on va dériver la relation x = ϕ(t) :
dϕ(t)
dx
=
= ϕ0 (t)
dt
dt
de sorte que
dx = ϕ0 (t)dt.
Définition
Propriétés de d’intégrale
Intégrale fonction de sa borne supérieure
Changement de variables : x = ϕ(t)
Enfin, pour les bornes, on constate que :
− lorsque x = a, comme on a supposé a = ϕ(α), on obtient t = α
− lorsque x = b, comme on a supposé b = ϕ(β), on obtient t = β.
On obtient donc finalement :
Z
b
Z
β
f (x)dx =
a
α
f (ϕ(t)) ϕ0 (t)dt .
|{z} | {z }
x
dx
Méthodes d’intégration
Définition
Propriétés de d’intégrale
Intégrale fonction de sa borne supérieure
Changement de variables : x = ϕ(t)
Enfin, pour les bornes, on constate que :
− lorsque x = a, comme on a supposé a = ϕ(α), on obtient t = α
− lorsque x = b, comme on a supposé b = ϕ(β), on obtient t = β.
On obtient donc finalement :
b
Z
Z
β
f (x)dx =
a
α
f (ϕ(t)) ϕ0 (t)dt .
|{z} | {z }
x
dx
Théorème
Soit f : [a, b] −→ R intégrable et soit ϕ : [α, β] −→ [a, b] de classe C 1 ,
bijective, avec ϕ(α) = a et ϕ(β) = b. Alors :
Z b
Z β
f (x)dx =
f (ϕ(t))ϕ0 (t)dt
a
α
Méthodes d’intégration
Définition
Propriétés de d’intégrale
Intégrale fonction de sa borne supérieure
1er exemple
Considérons
R √π
0
x cos x2 dx. Un calcul direct donne :
Méthodes d’intégration
Définition
Propriétés de d’intégrale
Intégrale fonction de sa borne supérieure
1er exemple
R √π
Considérons 0 x cos x2 dx. Un calcul direct donne :
√π
Z √π
sin(x2 )
sin(π) − sin(0)
2
x cos x dx =
=
= 0.
2
2
0
0
Méthodes d’intégration
Définition
Propriétés de d’intégrale
Intégrale fonction de sa borne supérieure
Méthodes d’intégration
1er exemple
R √π
Considérons 0 x cos x2 dx. Un calcul direct donne :
√π
Z √π
sin(x2 )
sin(π) − sin(0)
2
x cos x dx =
=
= 0.
2
2
0
0
Calculons à présent cette intégrale à l’aide du changement de variable
√
x = t.
Définition
Propriétés de d’intégrale
Intégrale fonction de sa borne supérieure
Méthodes d’intégration
1er exemple
R √π
Considérons 0 x cos x2 dx. Un calcul direct donne :
√π
Z √π
sin(x2 )
sin(π) − sin(0)
2
x cos x dx =
=
= 0.
2
2
0
0
Calculons à présent cette intégrale à l’aide du changement de variable
√
x = t.
Le terme dx
En dérivant, on a :
dx
1
= √
dt
2 t
1
de sorte que dx = √ dt
2 t
Définition
Propriétés de d’intégrale
Intégrale fonction de sa borne supérieure
Méthodes d’intégration
1er exemple
R √π
Considérons 0 x cos x2 dx. Un calcul direct donne :
√π
Z √π
sin(x2 )
sin(π) − sin(0)
2
x cos x dx =
=
= 0.
2
2
0
0
Calculons à présent cette intégrale à l’aide du changement de variable
√
x = t.
Le terme dx
En dérivant, on a :
dx
1
= √
dt
2 t
1
de sorte que dx = √ dt
2 t
Les bornes
2
•x=0
√0 2
√ =⇒ t = 0 =
• x = π =⇒ t = ( π) = π.
Définition
Propriétés de d’intégrale
Intégrale fonction de sa borne supérieure
Second exemple
1
Z
Calculons
0
p
1 − x2 dx. On va poser : x = sin(t).
Méthodes d’intégration
Définition
Propriétés de d’intégrale
Intégrale fonction de sa borne supérieure
Second exemple
1
Z
Calculons
p
1 − x2 dx. On va poser : x = sin(t).
0
Le terme dx
Les bornes
En dérivant, on a :
• lorsque x = 0, on prend t = 0,
• lorsque x = 1, on prend t = π2 .
dx = cos(t) dt
Méthodes d’intégration
Définition
Propriétés de d’intégrale
Intégrale fonction de sa borne supérieure
Second exemple
1
Z
Calculons
p
1 − x2 dx. On va poser : x = sin(t).
0
Le terme dx
Les bornes
En dérivant, on a :
• lorsque x = 0, on prend t = 0,
• lorsque x = 1, on prend t = π2 .
dx = cos(t) dt
1
Z
π
2
Z
p
1 − x2 dx =
0
q
1 − sin2 (t) cos(t)dt
0
π
2
Z
=
0
π
2
Z
p
cos2 (t) cos(t)dt =
0
| cos(t)| cos(t)dt.
Méthodes d’intégration
Définition
Propriétés de d’intégrale
Intégrale fonction de sa borne supérieure
Remarques
La formule de changement de variable
Z
Z
f (x)dx =
f (ϕ(t))ϕ0 (t)dt
(x = ϕ(t))
est liée à la formule de dérivation d’une fonction composée.
Méthodes d’intégration
Définition
Propriétés de d’intégrale
Intégrale fonction de sa borne supérieure
Remarques
La formule de changement de variable
Z
Z
f (x)dx =
f (ϕ(t))ϕ0 (t)dt
(x = ϕ(t))
est liée à la formule de dérivation d’une fonction composée.
Remarque
Si on choisit la fonction ϕ(t) = t, on obtient :
Z b
Z b
f (x)dx =
f (t)dt
a
La variable x (ou t) est dite muette.
a
Méthodes d’intégration
Définition
Propriétés de d’intégrale
Intégrale fonction de sa borne supérieure
Intégration par parties
Théorème
Soient u et v deux fonctions de classe C 1 sur [a, b]. Alors :
Z b
h
ib Z b
u(x)v0 (x)dx = u(x)v(x) −
u0 (x)v(x)dx.
a
a
a
Méthodes d’intégration
Définition
Propriétés de d’intégrale
Intégrale fonction de sa borne supérieure
Intégration par parties
Théorème
Soient u et v deux fonctions de classe C 1 sur [a, b]. Alors :
Z b
h
ib Z b
u(x)v0 (x)dx = u(x)v(x) −
u0 (x)v(x)dx.
a
Preuve :
a
a
Méthodes d’intégration
Définition
Propriétés de d’intégrale
Intégrale fonction de sa borne supérieure
Exemple
π/2
Z
Calculons
0
x cos(x)dx. On pose :

u(x) = x
v0 (x) = cos(x)

u0 (x) = 1
v(x) = sin(x)
Méthodes d’intégration
Définition
Propriétés de d’intégrale
Intégrale fonction de sa borne supérieure
Méthodes d’intégration
Exemple
π/2
Z
Calculons
0
x cos(x)dx. On pose :

u(x) = x

u0 (x) = 1
v0 (x) = cos(x)
v(x) = sin(x)
Ainsi :
Z
0
π/2
π/2
x cos(x) dx = |{z}
x sin(x)
|{z}
| {z }
| {z }
u(x)
v0 (x)
u(x)
v(x)
Z
−
0
0
π/2
1 sin(x) dx
|{z}
| {z }
u0 (x)
v(x)
Définition
Propriétés de d’intégrale
Intégrale fonction de sa borne supérieure
Méthodes d’intégration
Exemple
π/2
Z
Calculons
0
x cos(x)dx. On pose :

u(x) = x

u0 (x) = 1
v0 (x) = cos(x)
v(x) = sin(x)
Ainsi :
Z
0
π/2
π/2
x cos(x) dx = |{z}
x sin(x)
|{z}
| {z }
| {z }
u(x)
v0 (x)
u(x)
v(x)
Z
−
0
0
π/2
1 sin(x) dx
|{z}
| {z }
u0 (x)
π
π
π/2
= − [− cos(x)]0 = − 1.
2
2
v(x)
Définition
Propriétés de d’intégrale
Intégrale fonction de sa borne supérieure
Méthodes d’intégration
Généralités
Il existe une méthode générale qui permet d’intégrer toutes les fractions
P
rationnelles (i.e. de la forme
avec P et Q deux polynômes).
Q
P
comme somme de fractions faciles à intégrer ; c’est ce
Q
que l’on appelle la décomposition en éléments simples.
L’idée est d’écrire
On se limitera dans ce cours à traiter quelques exemples.
Définition
Propriétés de d’intégrale
Intégrale fonction de sa borne supérieure
Méthodes d’intégration
1er exemple : dénominateur à racines simples réelles
Théorème
Soit a, b, c, . . . des réels tous distincts. Alors il existe A, B, C, . . . tels que :
1
A
B
C
=
+
+
+ ...
(x − a)(x − b)(x − c) . . .
x−a
x−b
x−c
Définition
Propriétés de d’intégrale
Intégrale fonction de sa borne supérieure
Méthodes d’intégration
1er exemple : dénominateur à racines simples réelles
Théorème
Soit a, b, c, . . . des réels tous distincts. Alors il existe A, B, C, . . . tels que :
1
A
B
C
=
+
+
+ ...
(x − a)(x − b)(x − c) . . .
x−a
x−b
x−c
Calculons
Z
dx
.
x2 − 5x + 6
Ici, le dénominateur a deux racines simples : 2 et 3. La décomposition en
éléments simples donne :
1
1
A
B
=
=
+
.
x2 − 5x + 6
(x − 2)(x − 3)
x−2
x−3
Définition
Propriétés de d’intégrale
Intégrale fonction de sa borne supérieure
1er exemple : dénominateur à racines simples réelles
1
A
B
=
+
.
(x − 2)(x − 3)
x−2
x−3
Pour déterminer A, on multiplie de chaque côté par (x − 2) :
A(x − 2)
B(x − 2)
x−2
=
+
(x − 2)(x − 3)
x−2
x−3
qui se simplifie en :
B(x − 2)
1
=A+
x−3
x−3
Méthodes d’intégration
Définition
Propriétés de d’intégrale
Intégrale fonction de sa borne supérieure
1er exemple : dénominateur à racines simples réelles
1
A
B
=
+
.
(x − 2)(x − 3)
x−2
x−3
Pour déterminer A, on multiplie de chaque côté par (x − 2) :
A(x − 2)
B(x − 2)
x−2
=
+
(x − 2)(x − 3)
x−2
x−3
qui se simplifie en :
B(x − 2)
1
=A+
x−3
x−3
puis on choisit x = 2 :
1
=A
2−3
c’est-à-dire A = −1.
Méthodes d’intégration
Définition
Propriétés de d’intégrale
Intégrale fonction de sa borne supérieure
Méthodes d’intégration
1er exemple : dénominateur à racines simples réelles
1
−1
B
=
+
.
(x − 2)(x − 3)
x−2
x−3
On peut effectuer la même démarche pour trouver B. On multiplie par (x − 3) :
−(x − 3)
B(x − 3)
x−3
=
+
(x − 2)(x − 3)
x−2
x−3
qui se simplifie en :
−(x − 3)
1
=
+B
x−2
x−2
Définition
Propriétés de d’intégrale
Intégrale fonction de sa borne supérieure
Méthodes d’intégration
1er exemple : dénominateur à racines simples réelles
1
−1
B
=
+
.
(x − 2)(x − 3)
x−2
x−3
On peut effectuer la même démarche pour trouver B. On multiplie par (x − 3) :
−(x − 3)
B(x − 3)
x−3
=
+
(x − 2)(x − 3)
x−2
x−3
qui se simplifie en :
−(x − 3)
1
=
+B
x−2
x−2
puis on choisit x = 3 :
1
=B
3−2
c’est-à-dire B = 1.
Définition
Propriétés de d’intégrale
Intégrale fonction de sa borne supérieure
Méthodes d’intégration
1er exemple : dénominateur à racines simples réelles
On récapitule :
1
La décomposition en éléments simples donne :
1
−1
1
1
=
=
+
x2 − 5x + 6
(x − 2)(x − 3)
x−2
x−3
2
D’où l’on déduit la primitive :
Z
dx
= − ln |x − 2| + ln |x − 3| + k
x2 − 5x + 6
avec k ∈ R.
Définition
Propriétés de d’intégrale
Intégrale fonction de sa borne supérieure
Méthodes d’intégration
2ème exemple : le dénominateur a des racines multiples
Théorème
Soit a, b deux réels distincts et n, p deux entiers. Alors il existe des réels
A1 , . . . , An et B1 , . . . , Bp ,
1
An
An−1
A1
=
+
+ ... +
(x − a)n (x − b)p
(x − a)n
(x − a)n−1
x−a
Bp−1
B1
Bp
+
+ ... +
+
(x − b)p
(x − b)p−1
x−b