Me111 - Mécanique générale Faïz Ben Amar

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Université de Versailles St Quentin
UFR des Sciences et Technologies
Licence SPI
Me111 - Mécanique générale
Faïz Ben Amar
amar@robot.jussieu.fr
Chapitre 1
Introduction
1.1
Quelques définitions et terminologie
La mécanique générale a pour but l’étude des mouvements des corps dans l’univers. La
mécanique classique se décompose en :
– la cinématique : c’est l’étude des mouvements faisant intervenir des grandeurs ne dépendant que du temps et de l’espace
– la cinétique : c’est l’étude des mouvements en intégrant en plus les masses et leurs
répartitions,
– la dynamique : c’est l’étude des mouvements des corps en tenant compte des forces qui
s’exercent sur ces corps,
1.1.1
Notion de solide rigide ou indéformable
Une pièce mécanique (S) peut être considérée comme un solide indéformable si quels que
soient les points A et B de (S), la distance AB reste constante au cours du temps t.
1.1.2
Notion de référentiel
La notion de mouvement d’un point ou d’un corps est tout à fait relative. On parle du
mouvement de la lune par rapport à la terre, du mouvement d’une voiture par rapport
à la chaussée, ... Décrire un mouvement donc n’a de sens que si on choisi un solide de
référence auquel on associe un repère appelé référentiel.
Exemple : on définit un repère R0 = (O,~i0 , ~j0 , ~k0 ) lié au socle (S0 ) et fixe par rapport au
sol pour définir le mouvement d’un robot.
1.1.3
Mesure du temps
La notion d’écoulement du temps de manière régulière et irréversible est donnée à l’observateur par des mouvements particuliers appelés horloge (pendule, quartz, horloge atomique...)
1.2
Grandeurs vectorielles de la cinématique
Soit R0 = (O,~i0 , ~j0 , ~k0 ) un repère orthonormé direct. Soit (S) un solide en mouvement
par rapport à R0 .
2
1.2.1
Vecteur position
On appelle vecteur position du point P quelconque du solide (S) dans le repère R0 , à la
−→
date t, le vecteur OP où O est l’origine du repère R0 .
Le point P appartenant au solide (S) est appelé point matériel de (S). Ce point matériel
coincident à chaque instant avec un point géométrique du repère R0 . L’ensemble de ces
points géométriques est une courbe (C) qui constitue la trajectoire de P dans le repère
R0 .
−→
O0 P (t) = x(t)~i0 + y(t)~j0 + z(t)~k0

 x = x(t)
y = y(t)

z = z(t)
sont les équations paramétriques de la trajectoire de P dans R0 .
1.2.2
Vecteur vitesse
Le vecteur vitesse d’un point P par rapport à R0 , à la date t, est la dérivée par rapport
au temps, pour un observateur lié au repère R0 , du vecteur position du point P dans R0 .
" −→ #
−→
d O0 P
V (P/R0 ) =
dt
R0
−→
V (P/R0 ) =
"
−→
d O0 P (t)
dt
#
R0

 d x(t)~i0 + y(t)~j0 + z(t)~k0

= 
dt
R0
dy
dz
dx~
i0 + ~j0 + ~k0
=
dt
dt
dt
~
~
~
= ẋi0 + ẏ j0 + ż k0
Remarque :
– unité : m/s ou m.s−1
−→
– on peut préciser V (P, S/R0 ), s’il s’agit d’un point matériel de (S).
– il n’est pas nécessaire d’exprimer ce vecteur dans la base de R0 d’observation de la
vitesse.
– pour pouvoir calculer correctement cette dérivée, il est important de préciser le repère
de dérivation.
1.2.3
Vecteur Accélération
Le vecteur accélération d’un point P par rapport à R0 , à la date t, est la dérivée par
rapport au temps, pour un observateur lié au repère R0 , du vecteur vitesse du point P
par rapport à R0 .
F. Ben Amar
UVSQ - Licence SPI - Me111 - Introduction - Torseur
3
"
−→
d V (P/R0 )
γ (P/R0 ) =
dt
"
−→ #
d2 O0 P
=
dt2
−→
#
R0
R0

 ~
~
~
d ẋi0 + ẏ j0 + ż k0
−→

γ (P/R0 ) = 
dt
R0
= ẍ~i0 + ÿ~j0 + z̈~k0
Remarque :
2
– unité : m/s ou m.s−2
– il n’est pas non plus nécessaire d’exprimer ce vecteur accélération dans la base de R0 .
1.3
1.3.1
Torseur
Définition mathématique
~ M
~ P ), noté
Un torseur {T } est un bi-vecteurs (R,
( −→ )
R
{T } =
−→
MP P
où−→
:
– R : vecteur constant appelé résultante,
−→
– M P : appélé moment en P , vecteur champ, dépendant du point, et qui doit satisfaire
la relation suivante, dite de transport ou de changement de point,
−→
−→
−→
−→
M A = M B + AB ∧ R
1.3.2
Propriétés
– L’équiprojectivité du champ de moment :
−→
−→
−→
−→
∀A, B
M A . AB= M B . AB
– L’invariant scalaire d’un torseur :
−→
−→
−→
−→
I = R . M A= R . M B
– L’axe central et le pas d’un torseur : L’axe central est l’ensemble des points P tel que
−→
−→
MP= λ R
F. Ben Amar
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4
où λ est un scalaire appelé le pas. On montre que λ est unique et vaut
−→
λ=
−→
R . MA
−→2
R
−→
On montre également que l’axe est une droite affine de vecteur directeur R et passe
par le point H tel que
−→
−→
−→
R ∧ MA
AH=
−→2
R
L’amplitude du moment sur l’axe du torseur est minimal.
1.3.3
Quelques torseurs particuliers
−→
−→
−→
−→
– Le torseur nul : si R = 0 et M P = 0 ,
−→
−→
– Le glisseur : si M A . R = 0 ou l’invariant scalaire nul. Le moment d’un glisseur est
orthogonal à la résultante. L’invariant et le pas sont nuls. Le moment sur l’axe est nul.
−→
−→ −→
−→
– Le torseur couple : si R = 0 et M P 6= 0 . Le moment d’un torseur couple est invariant.
1.3.4
Torseur d’effort
Ce torseur, dit aussi torseur statique, permet de caractériser toute action mécanique, en
la réduisant à deux vecteurs, noté :
( −→ )
R
{F} =
−→
MA A
Si cette action mécanique est une action de contact, c’est-à-dire surfacique, de densité
−→
−→
surfacique f
s
(P ) =
df
ds
(
{F} =
)
R R −→
f
(P
)ds
R=
s
S
−→
R R −→
−→
AP
∧
f s (P )ds A
M A=
S
−→
Si cette action mécanique est une action à distance, c’est-à-dire volumique, de densité
−→
−→
volumiqe f
v
(P ) =
df
dv
(
{F} =
1.3.5
)
R R R −→
f
(P
)dv
R=
v
V
−→
R R −→
−→
AP
∧
f v (P )dv A
M A=
S
−→
Quelques actions simples
−→
– La force : une force F s’appliquant au point P peut être représentée par un torseur
(
)
( −→ −→ )
−→ −→
=
R F
R=F
{F} =
≡
−→
−→
−→
−→
−→
M A= 0
M A =AP ∧ F
P
A
Ce torseur est de type glisseur. La propriété des glisseurs vient du fait que si la résultante
(force) glisse sur son support, l’action mécanique est statiquement équivalente.
F. Ben Amar
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5
−→
−→
– Le couple de 2 forces opposées : 2 forces opposées F et − F s’appliquant en deux
points distincts A, B produisent une action mécanique qui peut être représentée par un
torseur résultant :
−→ )
− F
{F} =
+
−→
0
A
(
)
( B −→ )
−→
− F
F
=
+
−→
−→
−→
−→
0A ∧ F
0B
∧−
F
O
O
(
)
−→
0
=
−→
−→
−→
(OA − OB)∧ F
O
)
(
−→
0
=
−→
−→
BA ∧ F
O
(
−→
F
−→
0
)
(
Le torseur résultant est de type couple. Le moment d’un torseur couple est indépendant
du point O.
– Torseur associé à une distribution volumique d’effort : cas de la pesanteur
Soit un milieu continu (Ω), chaque élément de matière de volume dm est soumis à une
force
−→
−→
−→
df = dm g = ρdv g
−→
La résultante de ce champ de force df :
−→
R
Z Z Z
−→
df
=
Z Z
ZΩ
−→
ρ g dv
Z ZΩ Z
−→
= g
ρdv
=
Ω
=
−→
g Mtotale
−→
Chaque force df s’appliquant an centre P de l’élément de matière crée un moment au
−→
−→
point O égal à OP ∧ df . La résultante de ces moments élémentaires est :
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6
−→
MO
Z Z Z
−→
−→
OP ∧ df
=
Z Z ZΩ
−→
−→
OP ∧ρ g dv
Ω
Z Z Z
−→
−→
=
OP dm ∧ g
=
Ω
−→
−→
= Mtotale OG ∧ g
−→
−→
= OG ∧Mtotale g
−→
−→
= OG ∧ R
La distribution volumique des efforts de pesanteur est équivalente au poids total du
milieu appliqué au centre de gravité de celui-ci.
1.4
Quelques rappels de statique
– Principe fondamental de la statique : Un corps (ou un système de corps) est en équilibre
dans un référentiel dit galiléen, si et seulement si la somme des torseurs de toutes les
actions extérieures appliquées sur ce corps (ou système de corps) est égale à zéro.
– Principe des actions mutuelles : le torseur des actions du corps S1 sur le corps S2 est
égal à l’opposé du torseur des actions de S2 sur S1 .
– Un corps (ou système de corps) soumis à 2 forces est en équilibre si les 2 forces sont
opposées et portées par la ligne passant par les 2 points d’application de ces 2 forces.
– Un corps (ou système de corps) soumis à 3 forces est en équilibre si les 3 supports des
forces sont coplanaires et concourants (ou parallèles).
F. Ben Amar
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7
Chapitre 2
Cinématique du solide rigide
2.1
Dérivation vectorielle
En général, les vecteurs positions et les vecteurs vitesses par rapport à un référentiel R0
sont plus facilement exprimés en fonction de vecteurs de base qui ne sont pas fixes dans
~ quelconque par
R0 . il convient donc d’exprimer de façon simple la dérivée d’un vecteur U
rapport à un repère R0 ou par rapport à un autre repère R1 .
2.1.1
Etude d’un cas particulier de dérivation vectorielle
Examinons le cas particulier courant de deux repères R0 = (O0 ,~i0 , ~j0 , ~k0 ) et R1 =
(O1 ,~i1 , ~j1 , ~k1 ) où ~k1 , ~k0 d’une part et O0 , O1 d’autre part reste confondus quelque soit
t. L’orientation de la base de R1 est alors défini par un seul paramètre par rapport à celle
de R0 .
α(t) = (~i0 ,~i1 ) == (~j0 , ~j1 ).
~ (t) = a(t)~i1 + b(t)~j1 + c(t)~k1 .
soit U
"
~
dU
dt
#
=
R0
" #
da~
db~
dc ~
d~i1
i1 + j1 + k1 + a(t)
dt
dt
dt
dt
8
"
R0
d~j1
+ b(t)
dt
#
"
R0
d~k1
+ c(t)
dt
#
R0
or

 ~i1 = cos α~i0 + sin α~j0
~j = − sin α~i0 + cos α~j0
 ~1 ~
k1 = k0
donc
 h~ i
d i1

= −α̇ sin α~i0 + α̇ cos α~j0 = α̇~j1

dt

 h ~ iR0
dj1
= −α̇ cos α~i0 − α̇ sin α~j0 = −α̇~i1
dt
R

0
i
h


 d~k1
= ~0
dt
R0
avec α̇ =
dα
dt
et car ~i0 , ~j0 sont fixes dans R0 .
~ 1 /R0 ) = α̇~k0 , on peut écrire
En posant Ω(R
 h~ i
di1
~ 1 /R0 ) ∧ ~i1

= Ω(R

dt

 h ~ iR0
dj1
~ 1 /R0 ) ∧ ~j1
= Ω(R
dt
R

h i 0


 d~k1
~ 1 /R0 ) ∧ ~k1
= Ω(R
dt
R0
on obtient donc
"
~
dU
dt
#
"
R0
~
dU
=
dt
#
~ 1 /R0 ) ∧ U
~
+ Ω(R
~ (t)
∀U
R1
~ 1 /R0 ) est appelée vecteur rotation de la base R1 par rapport à celle de R0 (unité rd/s).
Ω(R
h i
~ est fixe dans R1 , la dérivée dU~
Dans le cas où U
se ramène au calcul simple d’un
dt
produit vectoriel.
2.1.2
R0
Formule générale de dérivation vectorielle
Afin de généraliser la formule précédente au cas d’un mouvement quelconque de la base
d’un repère R1 par rapport à la base d’un repère R0 , exprimons les dérivées des vecteurs
de base ~i1 ,~j1 ,~k1 .
On traduit qu’au cours du mouvement, la base de R1 reste orthonormée quelque soit t :


|| ~i1 ||2 =|| ~j1 ||2 =|| ~k1 ||2 = 1


~ ~
i .j = 0
∀t ~1 ~1

j1 .k1 = 0


 ~k .~i = 0
1 1
en dérivant ces expressions scalaires par rapport au temps, on obtient,
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9

h i
h i
h i
~
d~j1
d~i1

~
~
~
= j1 . dt
= k1 . ddtk1
=0
i1 . dt



R0
h Ri0
h i R0


~
~i1

 ddt
.~j1 = −~i1 . ddtj1
= Ωz
h iR0
h iR0
~
d~j1

.~k1 = −~j1 . ddtk1
= Ωx

dt


R
R0
0
h
i
h
i


~

 d~k1
.~i1 = −~k1 . di1
= Ωy
dt
dt
R0
R0
La première équation montre aisément que la dérivation vectorielle donne un vecteur
perpendiculaire. On montre également que ces relations correspondent aux propriétés des
applications linéaires et antisymétriques, et dont la matrice s’exprime dans la base de R1
par
h
d~i1
dt
h
i
R0

d~j1
dt
−Ωz
0
Ωx
0
 Ωz
−Ωy
h
i
R0
d~k1
dt
i
R0

Ωy
−Ωx 
0
~i1
~j1
~k1
ou encore
 h~ i
di1
~ 1 /R0 ) ∧ ~i1

= Ω(R

dt

R
 h~ i 0
dj1
~ 1 /R0 ) ∧ ~j1
= Ω(R
dt
R

0
i
h


 d~k1
~ 1 /R0 ) ∧ ~k1
= Ω(R
dt
R0
~ 1 /R0 ) = Ωx~i1 + Ωy~j1 + Ωz~k1
avec Ω(R
~ (t) par rapport
On en déduit la relation générale de la dérivée vectorielle d’un vecteur U
à R0 :
"
~
dU
dt
#
"
R0
~
dU
=
dt
#
~ 1 /R0 ) ∧ U
~
+ Ω(R
~ (t)
∀U
R1
~ 1 /R0 ) ne dépend que du mouvement de la base R1 par rapport à celle de
Le vecteur Ω(R
R0 . Ce vecteur est appelé, par analogie au cas particulier précédent, le vecteur rotation
de la base R1 par rapport à celle de R0 . Il est définit de façon unique à chaque instant.
2.1.3
Détermination du vecteur rotation
Mouvement de translation
Quand il s’agit d’un changement d’origine entre deux repères R0 = (O0 ,~i0 , ~j0 , ~k0 ) et
−→
~ 1 /R0 ) est nul.
R1 = (O1 ,~i0 , ~j0 , ~k0 ) avec O0 O1 (t), le vecteur rotation Ω(R
~ 1 /R0 ) = ~0
Ω(R
F. Ben Amar
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(2.1)
10
Mouvement de rotation autour d’un axe
On a démontrer dans le paragraphe précédent que quand il s’agit d’une rotation autour
de l’axe (O0 , ~k0 ), le vecteur rotation est dans ce cas :
~ 1 /R0 ) = α̇~k0
Ω(R
(2.2)
Composition de deux rotations
Prenons le cas d’un repère R2 dont le mouvement par rapport R0 résulte de deux mouvements de rotation simples qui sont le mouvement de R2 par rapport à R1 et celui de
~ 2 /R1 ) et Ω(R
~ 1 /R0 ) et calculons Ω(R
~ 2 /R0 ).
R1 par rapport à R0 . Donc, on connaît Ω(R
D’après la relation de la dérivation vectorielle, on peut écrire
"
"
~
dU
dt
~
dU
dt
#
"
#R0
R1
#
~
dU
~ 1 /R0 ) ∧ U
~
=
+ Ω(R
dt
" #R1
~
dU
~ 2 /R1 ) ∧ U
~
=
+ Ω(R
dt
R2
En faisant la somme de ces 2 équations membre à membre
"
~
dU
dt
#
"
R0
~
dU
=
dt
#
~ 2 /R1 ) + Ω(R
~ 1 /R0 ) ∧ U
~
+ Ω(R
R2
or
"
~
dU
dt
#
"
R0
~
dU
=
dt
#
~ 2 /R0 ) ∧ U
~
+ Ω(R
R2
en comparant les deux dernières expressions, on obtient
~ 2 /R1 ) + Ω(R
~ 1 /R0 ) − Ω(R
~ 2 /R0 ) ∧ U
~ = ~0
Ω(R
~
∀U
d’où finalement
~ 2 /R0 ) = Ω(R
~ 2 /R1 ) + Ω(R
~ 1 /R0 )
Ω(R
Application : calcul d’un vecteur vitesse et accélération en faisant que des produits vectoriels
2.2
Champ de vitesse d’un solide rigide
Dans un solide rigide et contrairement à un gaz ou un liquide, le vecteur vitesse d’un point
M du solide ne peut être indépendant du vecteur vitesse d’un autre point M 0 quelconque
du même solide.
F. Ben Amar
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11
2.2.1
Torseur cinématique d’un solide rigide
Soit (S) un solide rigide en mouvement par rapport à un référentiel R = (O,~i, ~j, ~k). On
attache au solide (S) un repère RS qu’on notera (S) par soucis de simplification.
Soient A, B deux points de (S). On peut écrire la relation de dérivation vectorielle du
−→
~ :
vecteur AB= U
"
or
−→
−→
d AB
dt
#
−→
"
R
d AB
=
dt
#
−→
−→
+ Ω (S/R)∧ AB
S
−→
= ~0 car AB est un vecteur fixe dans (S) puisque A, B sont lié à (S).
dAB
dt
S
La relation de Chasles permet d’écrire
−→
−→
−→
AB=OB − OA
en dérivant cette expression par rapport au temps et par rapport à R, on a
"
−→
d AB
dt
#
"
R
−→
d OB
=
dt
#
"
R
−→
d OA
−
dt
#
−→
R
−→
∀ A, B ∈ (S)
−→
= V (B ∈ S/R)− V (A ∈ S/R)
−→
−→
−→
V (A ∈ S/R) = V (B ∈ S/R)+ AB ∧ Ω (S/R)
Ce champ de vecteur respecte ce qu’on appelle l’équation des champs de moment. Il est
entièrement déterminé à partir de la connaissance du vecteur vitesse en un point particu−→
lier et du vecteur rotation du solide Ω (S/R) dans son mouvement par rapport à R. Ce
dernier vecteur est indépendant des choix de A et B du solide (S), c’est une caractéristique du mouvement du solide (S) par rapport à R.
Le mouvement d’un solide (S) par rapport à un référentiel R peut être défini par un
torseur dit torseur cinématique ou torseur des vitesses
V(S/R
(
−→
(
−→
=
=
Ω (S/R)
−→
V (A ∈ S/R)
)
A
)
Ω (S/R)
−→
−→
−→
−→
V (B ∈ S/R) = V (A ∈ S/R)+ BA ∧ Ω (S/R)
B
−→
−→
Ω (S/R) est la résultante du torseur et est indépendante du point A. La vitesse V (A ∈
S/R) est le moment du torseur au point A.
F. Ben Amar
UVSQ - Licence SPI - Me111 - Cinématique du solide rigide
12
2.2.2
Equiprojectivité du champ des vitesses
−→
Si on multiplie la relation des transports des vitesses (ou des moments) par AB, on obtient
la relation suivante appelée relation d’équiprojectivité
−→
−→
∀ A, B ∈ (S)
−→
−→
V (A ∈ S/R). AB= V (B ∈ S/R). AB
Remarque : Cette relation découle directement de l’hypothèse de solide rigide et peut
être obtenue directement en traduisant que
−→
||AB||2 = constante
∀ A, B ∈ (S)
soit par dérivation
"
−→
AB .
sachant que
−→
dAB
dt
=
−→
dOB
dt
R
−
R
−→
−→
−→
d AB
dt
−→
dOA
dt
#
−→
=0
R
−→
−→
= V (B ∈ S/R)− V (A ∈ S/R) on obtient
R
−→
−→
AB . V (A ∈ S/R) =AB . V (B ∈ S/R)
Interprétation graphique de l’équiprojectivité
F. Ben Amar
UVSQ - Licence SPI - Me111 - Cinématique du solide rigide
13
2.3
2.3.1
Mouvements particuliers
Mouvement de translation
Un solide (S) est en translation, par rapport à un repère R, pendant un intervalle de
temps t ∈ [t1 , t2 ] si et seulement si ∀t ∈ [t1 , t2 ], le champ des vecteurs vitesses du solide
est uniforme :
−→
−→
V (A ∈ S/R) = V (B ∈ S/R)
∀A, B ∈ S
En conséquence et d’après la relation de transport des vitesses
∀t ∈ [t1 , t2 ]
donc
−→
Ω (S/R)∧ AB= 0
−→
∀t ∈ [t1 , t2 ]
−→
−→
∀A, B ∈ S
−→
Ω (S/R) = 0
Le torseur cinématique est de la forme
(
V(S/R
=
−→
0
)
−→
V (A ∈ S/R)
A
Ce torseur est de type couple (résultante nulle).
−→
−→
Ω (S/R) = 0 traduit que la base de tout repère lié à (S) reste immobile (orientation
constante) par rapport à la base du repère R.
Exemples :
– Mouvement d’une nacelle de la grande roue par rapport au sol : translation circulaire
(O1 décrit un cercle)
– mouvement du piston par rapport au cylindre du moteur : translation rectiligne alternative (O1 décrit un segment de droite)
F. Ben Amar
UVSQ - Licence SPI - Me111 - Cinématique du solide rigide
14
2.3.2
Mouvement de rotation autour d’un axe
Un solide (S) est en rotation, par rapport à un repère R, autour d’un axe fixe pendant
un intervalle de temps t ∈ [t1 , t2 ] si et seulement on peut trouver deux points A et B
distincts tels que :
−→
−→
−→
V (A ∈ S/R) = V (B ∈ S/R) = 0
∀t ∈ [t1 , t2 ]
D’après la relation de transport des vitesses, on a donc
−→
−→
−→
AB ∧ Ω (S/R) = 0
(2.3)
−→
−→
Par conséquent, Ω (S/R) est parallèle à AB. Comme A et B sont fixes dans R, on choisit
−→
−→
−→
−→ −→
−→
le vecteur k du repère R tel que k kAB. On note Ω (S/R) = ω k = θ̇ k où ω = θ̇
est appelée la vitesse angulaire de (S) par rapport à R.
Remarque : Tout point de la droite (AB) est fixe dans R, (AB) est appelé axe de rotation
du mouvement.
−→
−→
−→
−→
−→
Preuve : soit M ∈ (AB), alors V (M ∈ S/R) = V (A ∈ S/R)+ M A ∧ Ω (S/R) = 0
−→
−→
car M A et Ω (S/R) sont colinéaires.
En un point M quelconque de l’axe de rotation, le torseur cinématique du mouvement
s’écrit :
(
V(S/R
=
−→
Ω (S/R) = ω~k
−→
0
)
M
Ce torseur est de type glisseur (produit scalaire résultante et moment est nul).
−→
−→
−→
Si P ∈
/ (AB) alors V (P ∈ S/R) =P A ∧ Ω (S/R)
−→
−→0
Soit H est la projection de P sur la droite (AB) et HP = r i (r désigne la distance de
−→
−→
−→
−→ −→ −→
−→
−→
P à l’axe de rotation. Or AP =AH + HP , AHk k k Ω (S/R) et HP ⊥ Ω (S/R), on a
donc
−→
−→
−→
−→
−→
0
0
V (P ∈ S/R) =P H ∧ Ω (S/R) = rω y = rθ̇ y
−→
Ce vecteur est perpendiculaire au vecteur rayon HP et à l’axe de rotation. Sa norme est
proportionnelle à l’éloignement r de l’axe de rotation et à la vitesse angulaire ω.
2.3.3
Torseurs de Lagrange
Soit P un point mobile par rapport à un référentiel R. Sa position est repérée par n
paramètres qj (j = 1, ..., n) et la variable t. On considère les (qj , q̇j , t) sont indépendants.
Alors,
F. Ben Amar
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15
"
−→
V (P/R) =
−→
d OP
dt
"
#
R
−→ #
d P
=
dt
−→
(2.4)
R
−→
n
X
∂ P
∂ P
=
q̇j
+
∂t
∂q
j
j=1
(2.5)
D’où on tire
−→
−→
∂ V (P/R)
∂ P
=
∂ q̇k
∂qk
(2.6)
On remarque les vitesses sont donc des fonctions linéaires de q̇j . On peut donc étndre
l’équation (2.5) au torseur de vitesse d’un solide rigide S dont la position est définie par
n paramètres qj (j = 1, ..., n) et la variable t.
{V(S/R)} = {Vt (S/R)} +
n
X
Vqj (S/R) q̇j
j=1
Les torseurs Vqj (S/R) sont appelés les torseurs de Lagrange, ou plus précisément les
torseurs de la base lagrangienne associée aux paramètres choisis qj .
F. Ben Amar
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16
2.4
Champ d’accélération
Prenons deux points A et B appartenant à un même solide (S). La relation qui relie leur
vitesse par rapport à un référentiel R est
−→
−→
−→
−→
V (A ∈ S/R) = V (B ∈ S/R)+ Ω (S/R)∧ BA
Si on dérive par rapport au temps cette relation, on obtient
−→
"
d Ω (S/R)
γ (A ∈ S/R) = γ (B ∈ S/R) +
dt
−→
−→
#
−→
R
"
−→
d BA
∧ BA + Ω (S/R) ∧
dt
−→
#
R
or
"
−→
d BA
dt
#
"
R
−→
d OA
=
dt
#
"
R
−→
d OB
−
dt
#
−→
−→
−→
−→
= V (A ∈ S/R)− V (B ∈ S/R) = Ω (S/R)∧ BA
R
Finalement, on obtient
"
−→
d Ω (S/R)
γ (A ∈ S/R) = γ (B ∈ S/R) +
dt
−→
−→
#
−→
−→
∧ BA + Ω (S/R) ∧
−→
−→ (S/R)∧
BA
Ω
R
Le champ d’accélération n’est pas équiprojectif, il ne peut être représenté par un torseur.
2.5
Formule cinématique de Lagrange
Soit P un point mobile par rapport à un référentiel R. Sa position est repérée par n
paramètres qj (j = 1, ..., n) et la variable t. On considère les (qj , q̇j , t) sont indépendants.
On rappelle que :
−→
−→
∂ V (P/R)
∂ P
=
∂ q̇k
∂qk
−→
∂
γ (P/R). P
∂qi
−→
#
−→
−→
d V (P/R)
∂ P
=
.
dt
∂qi
R
"
"
−→ #
−→
d −→
∂ P
d
=
− V (P/R).
V (P/R).
dt
∂qi
dt
(2.7)
"
(2.8)
−→ !#
∂ P
∂qi
(2.9)
R
Dans le dernier terme, on ne peut pas a priori intervertir les symboles de dérivation totale
d
(d’une fonction composée f (q(t))) et dérivation partielle ∂q∂ i . Ce dernier terme s’écrit :
dt
F. Ben Amar
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17
R
"
d
dt
−→ !#
∂ P
∂qi
−→ !
n
X
∂
=
∂qj
j=1
R
∂ P
∂qi
∂
q̇j +
∂t
−→ !
∂ P
∂qi
(2.10)
−→ !
−→ !
n
X
∂ P
∂
∂ P
∂
q̇j +
=
∂q
∂q
∂qi
∂t
i
j
j=1
" n
−→ !
−→ #
∂ X ∂ P
∂ P
=
q̇j +
∂qi j=1 ∂qj
∂t
(2.11)
(2.12)
−→
∂ V (P/R)
=
∂qi
(2.13)
donc,
−→
∂
γ (P/R). P
∂qi
−→
d
=
dt
"
−→
#
−→
−→
∂ V (P/R)
∂ V (P/R)
− V (P/R).
(2.14)
V (P/R).
∂ q̇i
∂qi
−→
enfin, on obtient la formule cinématique de Lagrange

h −→
i2 
h −→
i2
−→
∂
(P/R)
∂
(P/R)
V
V
−→
∂
d 1
 1
γ (P/R). P =

−
∂qi
dt 2
∂ q̇i
2
∂qi
=
2.6
d
dt
∂
∂ q̇i
∂
−
∂qi
h
i2 1 −→
V (P/R)
2
(2.15)
Composition des mouvements
On considère le mouvement d’un solide rigide (S) par rapport à un repère R0 . Ce mouvement est composé de 2 mouvements : un mouvement relatif par rapport à un repère
intermédiaire R1 et un mouvement d’entraînement de R1 par rapport à R0 .
Exemple : le mouvement d’un voyageur de train par rapport au sol est une composition
d’un mouvement relatif du voyageur par rapport au train et d’un mouvement du train
par rapport au sol.
2.6.1
Composition des vitesses
Soit P un point géométrique ou matériel quelconque en mouvement par rapport aux deux
repère R0 = (O0 ,~i0 , ~j0 , ~k0 ) et R1 = (O1 ,~i1 , ~j1 , ~k1 ). On peut écrire :
F. Ben Amar
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18
"
−→
V (P/R0 ) =
"
−→
d O0 P
dt
#
−→
d O0 O1
dt
R0
#
"
−→
d O1 P
=
+
dt
R0
" −→ #
−→
d O1 P
= V (01 /R0 ) +
dt
#
R0
−→
−→
+ Ω (R1 /R0 )∧ O1 P
R1
Soit
−→
V (P/R0 ) =
−→
−→
−→
−→
V (P/R1 )+ V (01 /R0 )+ Ω (R1 /R0 )∧ O1 P
On pose
−→
V (P ∈ R1 /R0 ) =
−→
−→
−→
V (01 /R0 )+ Ω (R1 /R0 )∧ O1 P
où le point P ∈ R1 est un point lié à R1 qui coïncide à l’instant t considéré avec le point
P . Ce point est appelé point coincidant de P dans R1 à l’instant t. Finalement, on a la
relation de composition des vitesses
−→
V (P/R0 ) =
−→
−→
V (P/R1 )+ V (P ∈ R1 /R0 )
−→
– le mouvement de P par rapport à R0 ) ( V (P/R0 )) est appelé mouvement absolu
(vitesse absolue)
−→
– le mouvement de P par rapport à R1 ) ( V (P/R1 )) est appelé mouvement relatif
(vitesse relative)
−→
– le mouvement de P lié à R1 ) par rapport à R0 ) ( V (P ∈ R1 )/R0 )) est appelé mouvement d’entraînement (vitesse d’entraînement)
F. Ben Amar
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19
−→
−→
Remarque : les vecteurs vitesses V (P/R0 ) et V (P/R1 ) se calcule plus facilement en
−→
dérivant les vecteurs positions. Par contre, le vecteur vitesse d’entraînement V (P ∈
R1 )/R0 ) ne peut être calculé en dérivant le vecteur position, mais plutôt en utilisant la
relation de transport des vitesses et cela en passant par un point appartenant réellement
au repère R1 .
2.6.2
Composition des mouvements
Soient 3 repères R0 , R1 , R2 en mouvement les uns par rapport aux autres et P un point
quelconque. D’après la relation de composition des vitesses, on peut écrire
−→
−→
−→
−→
−→
−→
−→
−→
−→
V (P/R0 ) =
V (P/R1 ) =
V (P/R2 ) =
V (P/R1 )+ V (P ∈ R1 /R0 )
V (P/R2 )+ V (P ∈ R2 /R1 )
V (P/R0 )+ V (P ∈ R0 /R2 )
En faisant la somme membre à membre, on obtient
−→
−→
−→
−→
V (P ∈ R0 /R2 )+ V (P ∈ R2 /R1 )+ V (P ∈ R1 /R0 ) = 0
D’autre part, on a déjà démontré la composition des vecteurs rotation. Elle s’écrit
−→
−→
−→
−→
−→
Ω (R0 /R2 )+ Ω (R2 /R1 )+ Ω (R1 /R0 ) = Ω (R0 /R0 ) = 0
On a alors la relation entre les torseurs cinématiques
VR0 /R2 + VR2 /R1 + VR1 /R0 = {0}
Cas particulier : R2 ≡ R1 → VR2 /R1 = {0} on a donc
VR1 /R0 = − VR0 /R1
ou encore
−→
−→
Ω (R1 /R0 ) = − Ω (R0 /R1 )
−→
−→
V (P ∈ R1 /R0 ) = − V (P ∈ R0 /R1 )
2.6.3
Composition des accélérations
On reprend la relation de composition des vitesses
−→
V (P/R0 ) =
=
F. Ben Amar
−→
−→
−→
−→
V (P/R1 )+ V (P ∈ R1 /R0 )
−→
−→
V (P/R1 )+ V (01 /R0 )+ Ω (R1 /R0 )∧ O1 P
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20
et on la dérive par rapport au temps et dans le repère R0
"
−→
d V (P/R0 )
dt
#
"
=
R0
−→
d V (P/R1 )
dt
#
"
+
R0
Détaillons chacun de ces termes
–
" −→
#
d V (P/R0 )
dt
−→
d V (01 /R0 )
dt
#
"
+
R0
−→
−→
d Ω (R1 /R0 )∧ O1 P
dt
#
R0
−→
= γ (P/R0 )
R0
–
"
−→
d V (P/R1 )
dt
#
"
=
R0
=
−→
d V (P/R0 )
dt
#
R1
−→
−→
−→
−→
+ Ω (R1 /R0 )∧ V (P/R1 )
−→
γ (P/R1 )+ Ω (R1 /R0 )∧ V (P/R1 )
–
"
−→
d V (01 /R0 )
dt
#
−→
= γ (O1 /R0 )
R0
–
"
−→
−→
d Ω (R1 /R0 )∧ O1 P
dt
#
"
=
R0
−→
d Ω (R1 /R0 )
dt
#
−→
R0
"
−→
d O1 P
∧ O1 P + Ω (R1 /R0 ) ∧
dt
−→
#
R0
or
"
−→
d O1 P
dt
#
=
−→
−→
−→
−→
V (P/R0 )− V (O1 /R0 )
R0
=
−→
V (P/R1 )+ Ω (R1 /R0 )∧ O1 P
Finalement, la relation de composition des accélérations s’écrit
−→
accélération absolue → γ (P/R0 ) =
accélération
→
d’entraînement
accélération de Coriolis →
−→
γ (P/R1 ) ← accélération relative
−→

−→
−→
d Ω (R1 /R0 )

 + γ (O1 /R0 ) +
∧
O
1P
dt
R0
−→ −→

 + −→
Ω (R1 /R0 ) ∧ Ω (R1 /R0 )∧ O1 P
−→
−→
+2 Ω (R1 /R0 )∧ V (P/R1 )
Remarque : on ne peut pas obtenir l’accélération d’entraînement par simple dérivation
de la vitesse d’entraînement, ou alors il faut traduire correctement que le point P est fixe
dans le repère intermédiaire R1 .
F. Ben Amar
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21
2.7
Mouvement de 2 solides en contact
Soient deux solides (S1 ) et (S2 ) en mouvement l’un par rapport à l’autre de telle sorte
qu’à chaque instant (S1 ) et (S2 ) aient au moins un point commun. A l’instant t, désignons
I un point commun à (S1 ) et (S2 ). Soit, R1 , R2 deux repères attachés à (S1 ) et (S2 ).
2.7.1
Vitesse de glissement
Définition : La vitesse de glissement en I de (S2 ) par rapport à (S1 ) à l’instant t est
−→
V (I ∈ R2 /R1 ). Donc c’est la vitesse par rapport à R1 du point coïncidant de I dans
−→
−→
−→
R2 et à l’instant t. Cette vitesse est aussi notée V gl (I, S2 /S1 ) = V (I ∈ R2 /R1 ) = V gl
(S2 /S1 ). Sous cette forme, la vitesse de glissement ne fait intervenir que le mouvement
relatif entre les deux solides (S1 ) et (S2 ).
Si les 2 solides sont en mouvement par rapport à un repère R0 . Le mouvement de R2 /R1
peut être considéré comme la composition de deux mouvements de R2 /R0 et de R0 /R1 :
−→
−→
−→
−→
V gl (I, S2 /S1 ) = V (I ∈ R2 /R1 ) = V (I ∈ R2 /R0 )− V (I ∈ R0 /R1 )
2.7.2
Contacts ponctuels
Soit 2 solides (S1 ) et (S2 ) en contact ponctuel. On définit la notion de point géométrique
P de contact entre les 2 solides. C’est le point d’intersection des 2 solides à l’instant t. Ce
point n’est pas lié à aucun des deux solides : il peut se déplacer au cours du temps sur
la surface extérieure de l’un et l’autre des solides. On définit également à chaque instant
deux points matériels de contact :
– le premier P1 lié au solide (S1 ) et qui coïncident à l’instant considéré seulement avec le
point géométrique de contact P
– le second lié à S2 et coïncident à l’instant considéré seulement avec le point géométrique
de contact P
F. Ben Amar
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22
Ces trois points sont définis à un instant donné. Il ne coïncident en général qu’à cet instant. Le point géométrique reste le point de contact au cours du temps alors que les points
matériels ne sont points de contact qu’à l’instant considéré.
Si le contact est permanent pendant un intervalle de temps T alors la vitesse de glissement
reste toujours dans le plan tangent commun aux 2 solides à tout instant de l’intervalle de
temps T .
Définition : Contact sans glissement (S2 ) est en contact sans glissement avec (S1 )
pendant un intervalle de temps [t1 , t2 ] si à à chaque instant t ∈ [t1 , t2 ], la vitesse de glissement de (S2 ) par rapport à (S1 ) est nulles en tous points de contact.
−→
Définition : Roulement et pivotement Le vecteur rotation Ω (R2 /R0 ) peut être
décomposé en
−→
– une composante normale au plan tangent de contact Ω N (R2 /R0 ) appelée composante
de pivotement
−→
– une composante tangentielle parallèle au plan tangent de contact Ω T (R2 /R0 ) appelée
composante de roulement
Définition : Roulement sans glissement
On parle de roulement sans glissement entre (S2 ) et (S1 ) si la vitesse de glissement est
−→
−→
nulle V gl (I, S2 /S1 ) = 0 et la composante de tangentielle du vecteur rotation est non
−→
−→
nulle Ω T (R2 /R0 ) 6= 0 .
Exemple : Un cerceau roulant sans glissement sur une droite matérielle horizontale. On
note (C) me cerceau de centre A et de rayon R. Soit R0 = (O,~i0 , ~j0 , ~k0 ) repère de référence
et R = (A,~i, ~j, ~k = ~k0 ) lié au cerceau. Soit I le point géométrique de contact.
−→
−→
−→
−→
On pose φ = (~i0 ,~i) = (~j0 , ~j), Ω (C/R0 ) = Ω (R/R0 ) = φ̇~k0 , OI= λ(t) i 0 .
La condition de roulement sans glissement entre le cerceau (C) et la droite D fixe dans
R0 .
−→
V gl (I, C/D) =
=
F. Ben Amar
−→
0
−→
−→
V (I ∈ C/R0 )− V (I ∈ D/R0 )
UVSQ - Licence SPI - Me111 - Cinématique du solide rigide
23
−→
−→
−→
−→
V (A ∈ C/R0 )+ Ω (C/R0 )∧ AI
−→
−→
= V (A/R0 ) + φ̇~k0 ∧ −R j 0
V (I ∈ C/R0 ) =
−→
0
= λ̇ i
−→
0
+Rφ̇ i
−→
−→
V (I ∈ D/R0 ) = 0
donc la vitesse de glissement est
−→
−→
0
V gl (I, C/D) = λ̇ i
−→
0
+Rφ̇ i
On vérifie qu’elle est parallèle au plan tangent au contact.
Finalement, si il y a roulement glissement on a
λ̇ + Rφ̇ = 0
−→
Remarque
: La vitesse du point géométrique I est par contre non nulle V (I/R0 ) =
h −→ i
−→
−→
dλ i 0
d OI
=
= λ̇ i 0 .
dt
dt
R0
F. Ben Amar
R0
UVSQ - Licence SPI - Me111 - Cinématique du solide rigide
24
Chapitre 3
Cinétique des systèmes
La cinétique se construit à partir de la cinématique en introduisant la notion de masse.
3.1
3.1.1
Systèmes matériels
Systèmes discrets
Les systèmes discrets sont constitués de masses ponctuels ou points matériels Mi de masse
mi . La masse total du système matériel Σ est
mΣ =
n
X
mi
1
et son centre de gravité G est
n
X
−→
OG=
−→
mi OM i
1
n
X
→
n
X
−→
−→
mi GM i = 0
1
mi
1
3.1.2
Systèmes continus
Les systèmes continus sont des milieus tridimensionnels de masse volumique ρ. La masse
totale est
Z Z Z
mΣ =
ρdv
Σ
et son centre de gravité est
Z Z Z
−→
OG=
−→
Z Z Z −→
OM ρdv
−→
Z Z ΣZ
→
GM ρdv = 0
Σ
ρdv
Σ
Remarques :
25
1. Si le milieu peut être assimilé à un milieu bi-dimensionnel (plaque d’épaisseur faible),
on peut définir une masse surfacique σ. Dans ce cas, la masse totale s’écrit :
Z Z
σds
mΣ =
Σ
où ds est l’aire d’un élément de surface.
2. Si le milieu est monodimensionnel (tige d’épaisseur faible), on peut définir un masse
linéïque λ. Dans ce cas, la masse totale s’écrit :
Z
λdl
mΣ =
Σ
où dl est la longueur d’un élément de corde.
3.2
Torseur cinétique d’un système matériel ou torseur
des quantités de mouvement
Soit un système matériel (Σ) de masse m de centre d’inertie G en mouvement par rapport
à un repère R0 .
Définition : Le torseur cinétique, exprimé en un point A quelconque, de (Σ) dans son
mouvement par rapport à un repère R0 est défini par
{C(A, Σ/R0 } =

Z Z Z
−→
−→

c

R
(Σ/R
)
=

V (P, Σ/R0 )dm
0


P ∈Σ
Z Z Z


−→


 σ (A, Σ/R0 ) =
P ∈Σ







−→
−→


AP ∧ V (P, Σ/R0 )dm 

A
Remarques :
−→
– La quantités élémentaires V (P, Σ/R0 )dm est la quantité de mouvement de l’élément
de matière autour du point P et de masse dm
−→
– Le moment cinétique σ est un champ de moment car
Z Z Z
−→
−→
−→
σ (A, Σ/R0 ) =
AP ∧ V (P, Σ/R0 )dm
Z Z ZP ∈Σ −→
−→
−→
=
(AB + BP )∧ V (P, Σ/R0 )dm
ZP ∈Σ
Z Z
Z Z Z
−→
−→
−→
−→
= AB ∧
BP ∧ V (P, Σ/R0 )dm
V (P, Σ/R0 )dm +
−→
c
P ∈Σ
−→
P ∈Σ
−→
= R (Σ/R)∧ BA + σ (B, Σ/R0 )
– Calcul de la résultante cinétique : On a la relation du centre de gravité
−→
Z Z Z
−→
m OG=
OP dm
Σ
F. Ben Amar
UVSQ - Licence SPI - Me111 - Cinétique
26
En dérivant cette relation par rapport au temps et dans le repère R0 , on obtient
−→
"
d OG
m
dt
#
R0
Z
−→
d
=
OP dm
dt P ∈Σ
R0
Z
d −→
OP
dm
=
P ∈Σ dt
R0
Z
−→
=
V (P, Σ/R0 )dm
P ∈Σ
On peut donc écrire
−→
c
−→
R (Σ/R0 ) = m V (G, Σ/R0 )
Donc, la résultante cinétique d’un système matériel est équivalente à la quantité de
mouvement de la masse totale concentrée au centre de gravité du système matériel.
– Remarque sur la dérivée particulaire d’une intégrale de volume, pour tout domaine D
−→
du système matériel incompressible Σ c’est à dire div V = 0
Z Z Z
Z Z Z
Z Z Z
−→
d
df
df
f dv =
+ f div V dv =
dv
dt
D
D dt
D dt
3.3
Torseur dynamique d’un système matériel ou torseur des quantités d’accélération
Soit un système matériel (Σ) de masse m de centre d’inertie G en mouvement par rapport
à un repère R0 .
Définition : Le torseur dynamique, exprimé en un point A quelconque, de (Σ) dans son
mouvement par rapport à un repère R0 est défini par
{D(A, Σ/R0 } =
 −→
Z Z Z
−→

d

γ (P, Σ/R0 )dm
R
(Σ/R
)
=

0


P ∈Σ
Z Z Z


−→


 δ (A, Σ/R0 ) =
P ∈Σ







−→

−→

AP ∧ γ (P, Σ/R0 )dm 

A
Remarques :
−→
– La quantités élémentaires γ (P, Σ/R0 )dm est la quantité d’accélération de l’élément
de matière autour du point P et de masse dm
−→
– Le moment dynamique δ est un champ de moment
−→
δ (A, Σ/R0 ) =
−→
−→
−→
d
δ (B, Σ/R0 )+ R (Σ/R0 )∧ BA
– On montre de la même façon que pour la résultante cinétique
−→
d
−→
R (Σ/R0 ) = m γ (G, Σ/R0 )
Donc, la résultante dynamique d’un système matériel est équivalente à la quantité
d’accélération de la masse totale concentrée au centre de gravité du système matériel.
F. Ben Amar
UVSQ - Licence SPI - Me111 - Cinétique
27
3.4
Relation entre moment cinétique et moment dynamique
On part de l’équation qui définit le moment cinétique au point A et pour un système
matériel Σ en mouvement par rapport à R0
Z Z Z
−→
−→
−→
AP ∧ V (P, Σ/R0 )dm
σ (A, Σ/R0 ) =
P ∈Σ
et on la dérive par rapport au temps et dans le repère R0
Z
−→
−→
d
d −→
σ (A, Σ/R0 )
=
AP ∧ V (P, Σ/R0 )dm
dt
dt P ∈Σ
R0
R
Z
−→
−→
d
dm
AP ∧ V (P, Σ/R0 )
=
P ∈Σ dt
R0
or
−→
d −→
AP ∧ V (P, Σ/R0 )
dt
=
d −→
AP
dt
R0
d −→
∧ V (P, Σ/R0 )+ AP ∧
V (P, Σ/R0 )
dt
R0
R0
−→
−→
et
d −→
AP
dt
=
R0
=
d −→
OP
dt
R0
−→
d −→
−
OA
dt
R0
−→
V (P/R)− V (A/R0 )
avec O origine du repère R0 .
Donc
−→
−→
−→
d −→
AP
∧ V (P, Σ/R0 ) = − V (A/R0 )∧ V (P/R0 )
dt
R0
La dérivée du moment cinétique peut donc s’écrire
d −→
σ (A, Σ/R0 )
dt
Z
Z
−→
−→
−→
AP ∧ γ (P/R0 )dm
V (A/R0 )∧ V (P/R0 )dm +
P ∈Σ
P ∈Σ
Z
−→
−→
−→
= − V (A/R) ∧
V (P/R0 )dm+ δ (A, Σ/R0 )
= −
R0
−→
−→
P ∈Σ
−→
−→
= − V (A/R0 ) ∧ m V (G, Σ/R0 )+ δ (A, Σ/R0 )
Finalement, on a
−→
−→
d −→
σ (A, Σ/R0 )
+ m V (A/R0 )∧ V (G, Σ/R0 )
δ (A, Σ/R0 ) =
dt
R0
−→
−→
Remarque : Le point A est un point quelconque et V (A/R0 ) est la vitesse du point
géométrique A.
Cas particuliers :
F. Ben Amar
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28
−→
−→
– A est un point fixe dans R0 , V (A/R) = 0
−→
d −→
σ (A, Σ/R0 )
δ (A, Σ/R0 ) =
dt
R0
– A est le centre de gravité de de Σ, A ≡ G
−→
d −→
σ (G, Σ/R0 )
δ (G, Σ/R0 ) =
dt
R0
3.5
Moment cinétique d’un solide rigide
Soit un solide (S), de masse m, de centre de gravité G, en mouvement par rapport à un
−→ −→ −→
repère R0 . Soit A un point lié à (S) et R = (A, x , y , z ) lié à (S). Le moment cinétique
au point A de S dans son mouvement par rapport à R0 s’écrit
Z Z Z
−→
−→
−→
AP ∧ V (P, S/R0 )dm
σ (A, S/R0 ) =
P ∈S
or A, P ∈ S donc
−→
−→
−→
−→
V (P, S/R0 ) = V (A, S/R0 )+ Ω (S/R0 )∧ AP
donc
Z
−→
−→
σ (A, S/R0 ) =
PZ∈S
=
Z
−→
−→
−→ AP ∧ V (A, S/R0 )dm +
AP ∧ Ω (S/R0 )∧ AP dm
P ∈S
Z
−→
−→ −→
−→
−→
AP ∧ Ω (S/R0 )∧ AP dm
AP dm ∧ V (A, S/R0 ) +
P ∈S
−→
−→
P ∈S
−→
−→
= m AG ∧ V (A, S/R0 ) + I(A, S) Ω (S/R0 )
Z
−→
−→
−→ −→
où I(A, S) Ω (S/R0 ) =
AP ∧ Ω (S/R0 )∧ AP dm
P ∈S
I(A, S) est appelé opérateur d’inertie du solide (S) et exprimé au point A.
Remarque :
−→
– V (A, S/R0 ) est la vitesse du point matériel A lié au solide (S)
−→
−→
– si A est un point fixe dans R0 alors V (A, S/R0 ) = 0 dans ce cas,
−→
−→
σ (A, S/R0 ) = I(A, S) Ω (S/R0 )
– si A est le centre de gravité, A ≡ G alors
−→
−→
σ (G, S/R0 ) = I(G, S) Ω (S/R0 )
F. Ben Amar
UVSQ - Licence SPI - Me111 - Cinétique
29
3.5.1
Opérateur d’inertie d’un solide
Définition : L’opérateur d’inertie de (S) en un point A est défini par l’équation
Z
−→ −→ −→
−→
I(A, S) u =
AP ∧ u ∧ AP dm
P ∈S
on peut aussi écrire
Z
−→
−→ −→
−→
AP ∧ AP ∧ u dm
I(A, S) u = −
P ∈S
on pose K −→ un opérateur linéaire tel que
AP
→ −→
−→ K−
AP
−→
u −−−→AP ∧ u
−→
−→
si AP = (x, y, z)t et u = (u1 , u2 , u3 )t dans le repère R lié à (S)

 


yu3 − zu2
0 −z y
u1
−→
−→
−→
0 −x   u2  = K −→ u
AP ∧ u =  zu1 − xu3  =  z
AP
xu2 − yu1
−y x
0
u3
avec

K −→
AP
on a donc

0 −z y
0 −x 
= z
−y x
0
−→ −→
−→
AP ∧ AP ∧ u = K −2→ u
−→
AP
avec

K −2→
AP

0 −z y
0
0 −x   z
=  z
−y x
0
−y

−(y 2 + z 2 )
xy
yx
−(z 2 + x2 )
= 
zx
zy

−z y
0 −x 
x
0

xz

yz
2
2
−(x + y )
on obtient donc la matrice dite d’inertie définissant l’opérateur d’inertie d’un solide (S)
en un point A


A −F −E
I(A, S) = − K −2→ dm =  −F B −D 
AP
S
−E −D C
Z
avec
Z
2
A=
Z
2
(y + z )dm, B =
S
F. Ben Amar
E=
Z
zxdm,
S
(x2 + y 2 )dm
S
Z
yzdm,
S
Z
2
(z + x )dm, C =
S
Z
D=
2
F =
xydm
S
UVSQ - Licence SPI - Me111 - Cinétique
30
3.5.2
Moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe
−→
Soit un axe ∆ = (A, u ), calculons la quantité
−→
−→
I(S, ∆) = u . I(A, S) u
−→
−→
u . I(A, S) u
Z
−→ −→ −→
u
=
.
AP ∧ u ∧ AP dm
P ∈S
Z
h −→ −→ −→i
−→
u . − AP ∧ AP ∧ u
=
dm
P ∈S
Z
−→
−→
u . −K −2→ u dm
=
AP
ZP ∈S
=
−ut K −2→ udm
AP
ZP ∈S
=
(−ut K −→ )(K −→ u)dm
AP
AP
ZP ∈S
(ut K −t → )(K −→ u)dm
=
AP
AP
ZP ∈S
(K −→ u)t (K −→ u)dm (car la matrice K −→ est antisymétrique)
=
AP
AP
AP
ZP ∈S
(K −→ u)2 dm
=
AP
P ∈S
Z
−→
−→
=
(AP ∧ u )2 dm
−→
P ∈S
si H est la projection de P si ∆, on
−→
−→
−→
−→
−→
−→
−→
AP ∧ u = (AH + HP )∧ u =HP ∧ u
−→
−→
donc |HP ∧ u |= r où r est la distance du point P à l’axe ∆. Donc
F. Ben Amar
UVSQ - Licence SPI - Me111 - Cinétique
31
Z
I(S, ∆) =
r2 dm
P ∈S
Cette quantité est appelé moment d’inertie du solide (S) par rapport à l’axe ∆.
Remarque : Les termes A, B, C de la matrice d’inertie sont donc les moments d’inertie
−→
−→
−→
par rapport aux axes (A, x ),(A, z ),(A, z ).
−→
−→
−→
−→
−→
y
y
x
x
z
z
A = . I(A, S)
, B = . I(A, S)
, C = . I(A, S)
−→
Les autres termes D, E, F sont appelés produit d’inertie.
3.5.3
Théorème de Koenigs pour l’opérateur d’inertie
On a
−→
Z
I(A, S) u =
−→
−→ −→ AP ∧ u ∧ AP dm
P ∈S
et on introduit le point G
Z
Z
−→ −→ −→ −→ −→
−→
−→
I(A, S) u =
AP ∧ u ∧ AG dm +
AP ∧ u ∧ GP dm
P ∈S
PZ∈S
−→
−→ −→
AP dm ∧ u ∧ AG
=
P ∈S
Z
Z
−→ −→ −→ −→ −→
−→
GP ∧ u ∧ GP dm
AG ∧ u ∧ GP dm +
+
P ∈S
P ∈S
−→ −→ −→
= m AG ∧ u ∧ AG
Z
−→
−→
−→
−→
+ AG ∧ u ∧
GP dm + I(G, S) u
P ∈S
−→ −→ −→
−→
R
−→
−→
u
= I(G, S)
+m AG ∧ u ∧ AG (car P ∈S GP dm = 0 )
ce qui permet d’écrire
I(A, S) = I(G, S) + I(A, G, m)
I(A, G, m) est l’opérateur d’inertie en A d’un solide (S) se réduisant au centre d’inertie
G muni de la masse totale m de (S).
3.5.4
Théorème de Huyghens
Le théorème de Koenigs permet d’écrire
−→
−→
u .I(A, S) u
F. Ben Amar
=
−→ −→ −→ −→
−→
u .I(G, S) u +m u . AG ∧ u ∧ AG
−→
UVSQ - Licence SPI - Me111 - Cinétique
32
En utilisant la relation du double produit vectoriel
−→ −→ −→ −→ −→ −→ −→
−→
u . AG ∧ u ∧ AG
= u . AG ∧ u ∧ HG
−→ −→ −→
−→
−→
−→ −→
= u . (AG . HG) u −(AG . u ) HG
2
= HG = d2
Soit ∆G l’axe parallèle à ∆ et passant par G, on a donc
I(S, ∆) = I(S, ∆G ) + md2
Enoncé du théorème de Huygens Le moment d’inertie par rapport à un axe est
égale au moment d’inertie par rapport à un axe parallèle passant par le centre de gravité
augmenté du moment d’inertie par rapport au premier axe de la masse totale placée au
centre de gravité.
3.5.5
Base principale d’inertie
Définition : L’opérateur d’inertie étant symétrique et positif, il existe une base orthonormée de vecteurs propres de cet opérateur appelée base principale d’inertie dans laquelle
la matrice d’inertie est diagonale :


A 0 0
I(A, S) =  0 B 0 
0 0 C
−→
−→
−→
Les axes (A, x ),(A, y ),(A, z ) sont appelés axes principaux d’inertie du solide (S) au
point A. Les moments d’inertie A, B, C sont appelés moments d’inertie principaux.
Propriétés :
– Tout axe de symétrie matérielle est un axe principal d’inertie. Si (A, ~z) est un axe de
symétrie matérielle alors (~z) est un vecteur propre de I(H, S) ∀H ∈ (A, ~z).
– Tout axe perpendiculaire à un plan de symétrie matérielle est un axe principal d’inertie.
Si (A, ~x, ~y ) est un plan de symétrie matérielle alors (~z) est un vecteur propre de I(H, S)
∀H ∈ (A, ~x, ~y ).
F. Ben Amar
UVSQ - Licence SPI - Me111 - Cinétique
33
3.5.6
Matrice d’inertie de quelques solides simples
– Solide plan (A, ~x,R~y ), z ' 0 donc R
R
D = E = 0, C = S x2 + y 2 dm = S x2 dm + S y 2 dm = A + B
– Solide de révolution d’axe
base (~i, ~j, ~z)R est base principal d’inertie.
R 2(A, ~z2), doncRtoute
2
D = E = F = 0, C = S x + y dm = S r dm,A = B = S z 2 dm + C/2,
– Solide à symétrie sphérique : sphère pleine ou creuse.
Toute base est principale.
R
R
D = E = F = 0, A = B = C = 2/3 S x2 + y 2 + z 2 dm = 2/3 S r2 dm = 2/3I0
3.6
Energie cinétique
Définition : L’énergie cinétique d’un système matériel (Σ) en mouvement par rapport à
un repère R0 est défini par
Z Z Z
Ec (Σ/R0 ) =
P ∈Σ
3.6.1
2
1 −→
V (P, Σ/R0 ) dm
2
Energie cinétique d’un solide rigide
Soit un solide (S), de masse m, de centre de gravité G, en mouvement par rapport à un
−→ −→ −→
repère R0 . Soit A un point lié à (S) et R = (A, x , y , z ) lié à (S). L’énergie cinétique
de ce solide s’écrit aussi
Z
−→
−→ −→
−→
1
Ec (S/R0 ) =
V (P, S/R0 ). V (A, S/R0 )+ Ω (S/R0 )∧ AP dm
2 P ∈S
Z
−→
−→
1
=
V (P, S/R0 ). V (A, S/R0 )dm
2 P ∈S
Z
−→
−→ −→
1
+
(P,
S/R
).
(S/R
)∧
AP
dm
V
Ω
0
0
2 P ∈S
Z
−→
−→
1
=
V (P, S/R0 )dm . V (A, S/R0 )dm
2
PZ∈S
−→
−→
−→
1
+
AP ∧ V (P, S/R0 )dm . Ω (S/R0 )
2
P ∈S
−→
−→
1 −→
1 −→
=
m V (G, S/R0 ). V (A, S/R0 ) + σ (A, S/R0 ). Ω (S/R0 )
2
2
Finalement, l’énergie cinétique peut se calculer à partir de la moitié du comoment des
torseurs cinématique et cinétique pris au même point.
1
{V(A, S/R0 } o {C(A, S/R0 }
2(
) (
)
−→
−→
1
m
(G, S/R0 )
Ω (S/R0 )
=
o −→ V
−→
2
σ (A, S/R0 )
V (A, S/R0 )
A
Ec (S/R0 ) =
A
Si A ≡ G
Ec (S/R0 ) =
F. Ben Amar
−→
1 −→
1 −→2
m V (G, S/R0 ) + σ (G, S/R0 ). Ω (S/R0 )
2
2
UVSQ - Licence SPI - Me111 - Cinétique
34
Chapitre 4
Puissance - Travail - Fonction de force Liaisons
4.1
4.1.1
Puissance
Puissance des efforts extérieures appliqués à un système
matériel
– Système discret : Un système matériel discret Σ occupant les positions Pi où s’ap−→
plique un ensemble de forces de l’extérieur F i (Σ̄ → Σ).
La puissance développée par ses forces extérieurs appliqués au système Σ dans son
mouvement par rapport au repère galiléen Rg
X −→ −→
P(Σ̄ → Σ/Rg ) =
F i . V (Pi /Rg )
i
– Système continu : Soit Σ un système matériel continu soumis une densité d’effort
−→
−→
volumique f v et une densité d’effort surfacique f s . La puissance des efforts extérieurs
appliqués au système Σ dans son mouvement par rapport au repère galiléen Rg
Z Z Z
−→
P(Σ̄ → Σ/Rg ) =
f
v
Z Z
−→
f
s
−→
(P ). V (P/Rg )ds
P ∈∂Σ
P ∈Σ
4.1.2
−→
(P ). V (P/Rg )dv +
Puissance des efforts extérieures appliqués à un solide rigide
Dans un solide rigide, la vitesse en P s’écrit
−→
−→
−→
−→
V (P, S/Rg ) = V (A, S/Rg )+ Ω (S/Rg )∧ AP
−→
Calculons le premier terme de la puissance celui dû au forces volumiques f
35
v
Z
−→
f
Z
−→
v
−→
f
(P ). V (P, S/Rg )dv =
ZP ∈S
P ∈S
=
v
−→
f
−→
−→
−→
(P ).( V (A, S/Rg )+ Ω (S/Rg )∧ AP )dv
−→
v
(P ). V (A, S/Rg )dv
P ∈S
Z
−→
−→
−→
(P ).( Ω (S/Rg )∧ AP )dv
P ∈S
Z
−→
−→
f v (P )dv
= V (A, S/Rg ).
Z P ∈S −→ −→
−→
+ Ω (S/Rg ).
AP ∧ f v (P )dv
+
f
v
P ∈S
−→
−→
Rv + Ω
−→
−→
(S/Rg ). Mv (A)
= V (A, S/Rg ).
= Fv (S̄ → S) × {V(S/Rg )}
de la même façon, pour les forces surfaciques
Z
Z
−→
−→
−→
−→
f s (P )ds
f s (P ). V (P, S/Rg )ds = V (A, S/Rg ).
P ∈∂S
P ∈∂S
Z
−→
−→
−→
AP ∧ f s (P )ds
+ Ω (S/Rg ).
−→
P ∈∂S
−→
−→
Rs + Ω
−→
(S/Rg ). Ms (A)
= V (A, S/Rg ).
= Fs (S̄ → S) × {V(S/Rg )}
Finalement, la puissance totale de actions extérieures sur un solide rigide peut s’écrire
P(S̄ → S/Rg ) = Fv (S̄ → S) × {V(S/Rg )} + Fs (S̄ → S) × {V(S/Rg )}
=
Fv (S̄ → S) + Fs (S̄ → S) × {V(S/Rg )}
= F(S̄ → S) × {V(S/Rg )}
Finalement, la puissance totale de actions extérieures sur un solide rigide peut se mettre
sous la forme d’un produit du torseur du torseur résultant de tous les efforts extérieurs
(à distance et de contact) et du torseur cinématique (bien sûr exprimés au même point).
4.1.3
Puissance des actions mutuelles entre deux solides
Considérons deux solides S1 , S2 en mouvement par rapport au repère Rg et désignons par
{FS1 →S2 } le torseur des efforts exercés par S1 sur S2 .
On a d’après le théorème de l’action et de la réaction :
{FS1 →S2 } = − {FS2 →S1 }
Calculons les puissances P(S1 → S2 /Rg ) et P(S2 → S1 /Rg ).
P(S1 → S2 /Rg ) = {F(S1 → S2 )} × {V(S2 /Rg )}
) ( −→
)
( −→
R (S1 → S2 )
Ω (S2 /Rg )
=
×
−→
−→
M (A, S1 → S2 )
V (A ∈ S2 /Rg )
F. Ben Amar
UVSQ - Licence SPI - Me111 - Puissance
36
P(S2 → S1 /Rg ) = {F(S2 → S1 )} × {V(S1 /Rg )}
)
) ( −→
( −→
Ω (S1 /Rg )
R (S2 → S1 )
×
=
−→
−→
V (A ∈ S1 /Rg )
M (A, S2 → S1 )
( −→
) ( −→
)
R (S → S2 )
Ω (S1 /Rg )
= − −→ 1
×
−→
M (A, S1 → S2 )
V (A ∈ S1 /Rg )
La puissance des efforts des actions mutuelles entre S1 et S2 est la somme des deux
puissances
P(S1 ↔ S2 ) = P(S1 → S2 /Rg ) + P(S2 → S1 /Rg )
)
( −→
) ( −→
−→
R (S1 → S2 )
Ω (S2 /Rg )− Ω (S1 /Rg )
=
×
−→
−→
−→
V (A ∈ S2 /Rg )− V (A ∈ S1 /Rg )
M (A, S1 → S2 )
)
) ( −→
( −→
Ω (S2 /S1 )
R (S1 → S1 )
×
=
−→
−→
V (A ∈ S2 /S1 )
M (A, S1 → S2 )
= {F(S1 → S2 )} × {V(S2 /S1 )}
= {F(S2 → S1 )} × {V(S1 /S2 )}
Théorème : La puissance des actions mutuelles entre deux solides ne dépend que du
mouvement relatif entre les 2 solides.
4.2
Coefficients énergétiques associés à des efforts extérieurs
On considère un système de p solide Σ = ∪pj=1 Sj , dont le mouvement par rapport à un
repère galiléen Rg est paramétré par l’ensemble qi (i = 1, ..., n).
4.2.1
Pour un solide
On considère un ensemble d’efforts extérieurs E s’appliquant sur Sj (E 6= S̄j mais E ⊂ S̄j ),
qu’on note {F(E → Sj )}. Le coefficient énergétique relatif au paramètre qi pour ces efforts,
dans le mouvement de Sj par rapport à Rg est par définition :
Qqi (E → Sj /Rg ) = {F(E → Sj )} × {Vqi (Sj /Rg )}
{Vqi (Sj /Rg )} étant le torseur de Lagrange associé au paramètre qi . Ou encore il suffit
d’extraire dans la puissance développé par ces efforts donnée par l’équation
P(E → Sj /Rg ) = Qt (E → Sj /Rg ) +
n
X
Qqi (E → Sj /Rg )q̇i
i=1
les termes facteurs de q̇i , vue que :
P(E → Sj /Rg ) = {F(E → Sj )} × {V(Sj /Rg )}
= {F(E → Sj )} ×
{Vt (Sj /Rg )} +
n
X
!
{Vqi (Sj /Rg )} q̇i
i=1
F. Ben Amar
UVSQ - Licence SPI - Me111 - Puissance
37
4.2.2
Pour un système de solides
De même, si on considère un ensemble d’efforts extérieur E s’appliquant sur le système
de solide Σ (E 6= Σ̄ mais E ⊂ Σ̄), qu’on note {F(E → Σ)}, le coefficient énergétique
relatif au paramètre qi pour ces efforts, dans le mouvement de Σ par rapport à Rg est par
définition :
Qqi (E → Σ/Rg ) =
p
X
{F(E → Sj )} × {Vqi (Sj /Rg )}
j=1
p
=
X
Qqi (E → Sj /Rg )
j=1
4.2.3
Travail développé par les efforts extérieurs
Le travail développé , entre les instants t1 et t2 , par un ensemble d’efforts extérieur E
s’appliquant sur le système de solides Σ qu’on note {F(E → Σ)} est par définition :
W (E →
Σ/Rg )tt21
Z
t2
P(E → Σ/Rg )dt
=
t1
Z
t2
=
t1
j=1
P(E → Sj /Rg )dt
j=1
p Z
X
=
4.3
p
X
t2
P(E → Sj /Rg )dt
t1
Liaisons cinématiques
Définition : On donne le nom de liaison à tout dispositif permettant de restreindre le
mouvement d’un corps ou d’un système.
4.3.1
Liaison parfaite
Une liaison est dite parfaite si la puissance des actions mutuelles soit nulle quelque soit le
mouvement permis par la liaison.
P(S1 ↔ S2 ) = {V(S2 /S1 )} × {F(S1 → S2 )} = 0 ∀ {V(S2 /S1 )} permis par la liaison
soit
(
{V(S2 /S1 )} =
−→
−→
−→
Ωx x +Ωy y +Ωz z
−→
−→
−→
Vx x +Vy y +Vz z
)
A
et
(
{F(S1 → S2 )} =
F. Ben Amar
−→
−→
−→
Rx x +Ry y +Rz z
−→
−→
−→
Mx x +My y +Mz z
)
A
UVSQ - Licence SPI - Me111 - Puissance
38
donc la puissance s’exprime
P(S1 ↔ S2 ) = Fx Vx + Fy Vy + Fz Vz + Mx Ωx + My Ωy + Mz Ωz
= 0
∀ {V(S2 /S1 )} permis par la liaison
Donc, si un mouvement (de translation ou de rotation) est permis suivant une direction
alors l’effort correspondant (respectivement la force ou le moment) suivant cette direction
est nulle.
4.3.2
Liaison sans frottement
Définition : Une liaison entre deux solides est dite sans frottement si l’effort en tout
point de contact entre les deux solides est entièrement porté par la normale au contact
c.à.d que la composante tangentielle dite de frottement doit être nulle.
−→
Conséquence : Soit df S1 →S2 l’effort sur un élément de surface du contact autour du point
P et entre les deux solides S1 et S2 . Si il n’y a pas de frottement ce vecteur est parallèle au
−→
−→
vecteur n normal au plan tangent du contact. Le vecteur V (P ∈ S2 /S1 ) est le vecteur
−→
glissement entre les deux corps, ce vecteur est dans le plan tangent donc normal à n . Donc
−→
−→
la puissance de l’action de contact en P obtenu à partir de df S1 →S2 . V (P ∈ S2 /S1 ) = 0
en tout point P du contact.
Théorème : Toute liaison sans frottement est parfaite (l’inverse n’est pas toujours vrai).
4.3.3
Loi de frottement de Coulomb
−→
Dans le cas de deux solides S1 et S2 en contact en un point I. On définit n 12 le vecteur
normal au plan tangent au contact en I (dans le cas de surfaces régulières) dirigé de S1
−→
vers S2 . Soit R (S1 → S2 ) la force qu’exerce (S1 → S2 ) en I. Cette force se décompose :
−→
−→
−→
12
R (S1 → S2 ) = N12 n 12 + T
−→
N est la composante normale et T est la composante tangentielle dite de frottement.
F. Ben Amar
UVSQ - Licence SPI - Me111 - Puissance
39
La condition de contact unilatéral est
N12 > 0
La loi de frottement de Coulomb exprime des conditions sur la force de frottement en
fonction de l’état de glissement du contact.
−→
−→
– Cas d’un contact sans glissement : V (I, S2 /S1 ) = 0 : dans ce cas
−→
12 ||<
|| T
f N12
f est une constante, qui dépend que des matériaux de S1 et S2 , appelé coefficient de
frottement
−→
−→
– Cas d’un contact avec glissement : V (I, S2 /S1 ) 6= 0 : dans ce cas
−→
12 ||=
|| T
avec
et
−→
T 12
−→
f N12
−→
∧ V (I, S2 /S1 ) = 0
−→
T 12
−→
. V (I, S2 /S1 ) < 0
Ces équations traduisent le fait que la force de frottement ne peut dépasser une certaine
valeur qui est proportionnelle à la force normale, qu’elle est colinéaire et opposée à la
vitesse de glissement.
On pose f = tan ϕ, ϕ est appelé angle de frottement.
F. Ben Amar
UVSQ - Licence SPI - Me111 - Puissance
40
4.3.4
Exemple de valeurs de coefficients de frottement
Matériaux en contact
Acier / Acier
Acier / Bronze
Acier / Antifriction
Acier / Nylon
Acier / Téflon
Acier / Caoutchouc
Fonte / Fonte
Fonte / Ferrodo
Caoutchouc / Bitume
F. Ben Amar
Nature du frottement
à sec
lubrifié
0,15 à 0,20
0,10
0,15
0,10
0,05
0,02 à 0,10
0,05 à 0,15
0,25 à 0,45
0,15
0,10
0,20 à 0,50
0,6 à 0,8
0,2 à 0,4
Exemples d’utilisation
Variateurs à friction
Engrenages à roue et vis sans fin
Paliers lisses
Courroies
Freins, embrayages
Pneu
UVSQ - Licence SPI - Me111 - Puissance
41
Chapitre 5
Dynamique : Théorèmes Généraux
5.1
Principe des Puissances virtuelles
On considère un système matériel Σ. On note Σ̄ le complémentaire de Σ dans l’univers.
−→
Le système est soumis à une densité d’efforts volumique (à distance) fv (Σ̄ → Σ) et une
−→
densité d’effort surfacique (de contact) fs (Σ̄ → Σ). Le principe des puissances virtuelles
s’énonce comme suit :
−→∗
Il existe au moins un référentiel galiléen Rg tel que pour pour tout champ vectoriel V ,
on a tout instant :
Z
−→∗
−→
γ (P/Rg ). V
Z
−→
−→∗
fv (Σ̄ → Σ). V
(P )dm =
Z
−→∗
(P )ds
∂Σ
Σ
Σ
−→
fs (Σ̄ → Σ). V
(P )dv +
+Pefforts intérieurs
−→∗
Quand V est un champ de torseur (ou champ rigidifiant) la puissance des efforts intérieurs est nul (voir cours de MMC ou Mécanique des Milieux Continus).
5.2
Principe Fondamental de la Dynamique
−→∗
On choisi V comme étant un champ de moment ou un champ d’un torseur {V}∗ et on
applique de PPV système matériel Σ :
{D(Σ/Rg )} × {V ∗ } = Fv (Σ̄ → Σ) × {V ∗ } + Fs (Σ̄ → Σ) × {V ∗ }
qui doit être vrai pour tout torseur {V}∗ , donc
{D(Σ/Rg )} = F(Σ̄ → Σ)
D’où les 2 théorèmes :
– Théorème de la résultante dynamique (ou du centre d’inertie)
−→
−→
m(Σ) γ (GΣ /Rg ) = R (Σ̄ → Σ)
– Théorème du moment dynamique
−→
−→
δ (A, Σ/Rg ) = M (A, Σ̄ → Σ)
42
5.3
Equations mouvement
Soit un système matériel Σ en mouvement par rapport à un repère galiléen Rg , la position
de de Σ dépend de n paramètres qi (t) (i = 1...n). Les 2 équations vectorielles énoncées précédemment, donnent par projection sur direction donnée une équation scalaire qui est une
équation différentielle du 2nd ordre non linéiare en général et dans laquelle interviennent
– les paramètres qi (t)
– leurs dérivées première et seconde q̇i (t), q̈i (t)
– les données du problème : de géométrie (longueurs), d’inertie (masse, moment d’inertie),
d’effort connu (poids, couple moteur)
– les composantes inconnues des efforts extérieures (composantes des forces dans les liaisons)
Définition : Une équation de mouvement est une équation scalaire différentielle du
second ordre obtenue par application des théorèmes généraux et dans laquelle ne figure
aucune composante inconnue des efforts extérieures. L’intégration des n équations différentielles de mouvement et la connaissance des conditions initiales de positions qi (t0 ) et
de vitesses q̇i (t0 ).
Définition : Si cette équation est intégrable par rapport au temps, elle est dite intégrale
première.
5.4
5.4.1
Théorème de l’énergie cinétique
Cas d’un solide
Soit un solide (S) en mouvement par rapport à un repère galiliéen Rg . Le principe fondamental de la dynamique appliqué à (S) s’écrit :
{D(S/Rg )} = F(S̄ → S)
Multiplions cette équation par le torseur cinématique {V(S/Rg )}
{D(S/Rg )} × {V(S/Rg )} = F(S̄ → S) × {V(S/Rg )}
Le second membre de cette équation est la puissance des forces extérieures appliquées à
S dans son mouvement par rapport à Rg . Calculons le premier membre en prenons un
point quelconque A :
{D(S/Rg )} × {V(S/Rg )} =
−→d
−→
−→
−→
R (S/Rg ). V (A, S/Rg )+ δ (A, S/Rg ). Ω (S/Rg )
Z
−→
−→
γ (P, Σ/R0 )dm
= V (A, S/Rg ).
P ∈Σ
Z
−→
−→
−→
+ Ω (S/Rg ).
AP ∧ γ (P, Σ/R0 )dm
P ∈Σ
Z
−→
−→
=
V (A, S/Rg ). γ (P, Σ/R0 )dm
P ∈Σ
Z
−→ −→
−→
γ
(S/R
).
AP
∧
(P,
Σ/R
)
dm
+
Ω
g
0
P ∈Σ
on peut écrire, en utilisant la relation de transport des vitesses entre le point A et P
F. Ben Amar UVSQ - Licence SPI - Me111 - Théorèmes Généraux de la dynamique 43
Z
−→
Z
−→
V (A, S/Rg ). γ (P, Σ/R0 )dm =
P ∈Σ
−→
−→ −→
(S/R
)∧
P
A
(P,
S/R
)+
Ω
V
g
g
P ∈Σ
−→
. γ (P, Σ/R0 )dm
Z
−→
−→
=
V (P, S/Rg ). γ (P, Σ/R0 )dm
P ∈Σ
Z
−→ −→
−→
γ (P, S/Rg ). AP ∧ Ω (S/Rg )
+
Z P ∈Σ
−→
−→
=
V (P, S/Rg ). γ (P, Σ/R0 )dm
P ∈Σ
Z
−→ −→
−→
−
Ω (S/Rg ). AP ∧ γ (P, S/Rg )
P ∈Σ
donc
Z
−→
−→
V (P, S/Rg ). γ (P, Σ/R0 )dm
{D(S/Rg )} × {V(S/Rg )} =
P ∈Σ
or
d −→
γ (P, S/Rg ) =
V (P, S/Rg )
dt
−→
donc
Z
P ∈Σ
Rg
d −→
dm
V (P, S/Rg ).
V (P, S/Rg ). γ (P, Σ/R0 )dm =
V (P, S/Rg )
dt
P ∈Σ
Rg
Z
d
1 −→2
=
V (P, S/Rg )dm
dt
P ∈Σ 2
d
(EC )
=
dt
−→
−→
Z
−→
Théorème de l’énergie cinétique pour un solide : Dans le mouvement d’un solide
par rapport à un repère galiléen, la dérivée par rapport au temps de l’énergie cinétique
est égale à la puissance des actions extérieures appliquées au solide.
5.4.2
Cas d’un système de solides
Soit un système de solide Σ composé de p solide Si . On applique le théorème de l’énergie
cinétique à chaque solide Si
d
(EC (Si /Rg )) = P(S̄i → Si )
dt
en faisant la somme membre à membre des p relations obtenues, on obtient
p
X d
X
(EC (Si /Rg )) =
P(S̄i → Si )
dt
i=1
i
F. Ben Amar UVSQ - Licence SPI - Me111 - Théorèmes Généraux de la dynamique 44
Le premier membre représente la dérivée de l’énergie cinétique totale de tout le système.
Le second membre est la somme de toutes les puissances des efforts extérieurs appliqués à
chaque corps Si . Ces efforts incluent ceux des actions mutuelles entre les différents solides
et ceux des actions extérieures à Σ.
X
d
(EC (Σ/Rg )) = P(Σ̄ → Σ) +
P(Si → Sj )
dt
(i,j)
p
= P(Σ̄ → Σ) +
X
P(Si ←→ Sj )
i=1,j>i
Théorème de l’énergie cinétique pour un système de solides : Dans le mouvement
d’un système de solide par rapport à un repère galiléen, la dérivée par rapport au temps
de l’énergie cinétique totale du système est égale à la puissance des actions extérieures
appliquées au système plus celle des actions mutuelles entre les éléments du système.
5.5
Champ de force et énergie potentielle
−→
Considérons un champ de forces de densité massique f (P ) s’exerçant sur un système
matériel Σ. On a vu que la puissance de ces efforts s’exprime
Z
−→
−→
−→
P( f → Σ/Rg ) =
f (P ). V (P, Σ/Rg )dm
P ∈Σ
−→
Définition : Le champ de force de densité f (P ) dérive d’une fonction de forces
U (q1 (t), ..., qn (t), t) si
n
−→
dU
∂U X ∂U
P( f → Σ/Rg ) =
=
+
q̇i
dt
∂t
∂qi
i=1
Donc, le coefficient énergétique relatif au paramètre qi s’écrit
−→
Qqi ( f → Σ/Rg ) =
∂U
∂qi
La fonction Ep = −U est appelée énergie potentielle.
Exemple : Energie potentielle de pesanteur
−→
Soit G le centre de gravité d’un solide S et z 0 une vecteur dirigé suivant la verticale
ascendante.
F. Ben Amar UVSQ - Licence SPI - Me111 - Théorèmes Généraux de la dynamique 45
Ppesanteur = P(pesanteur → S/R0 )
o
n
=
Fpesanteur × {V(S/R0 )}
(
) ( −→
)
−→
z
−mg 0
Ω (S/R0 )
=
×
−→
−→
0
V (G, S/R0 )
G
−→
0
= −mg z
−→
. V (G, S/R0 )
d −→
−→
= −mg z 0 .
OG
dt
R0
−→ d −→
=
−mg z 0 . OG
dt
d
=
(−mgzG )
dt
−→
−→
où zG = z 0 . OG est la cote suivant la verticale du point G. Par conséquent, il existe
pour les champ de force de la pesanteur
– une fonction de force U = −mgzG
– une énergie potentielle Ep = mgzG
5.6
Intégrale première de l’énergie cinétique
On considère le cas où un solide ou un système soumis à :
– des actions de telle sorte que leurs puissances soient nulles (exemple des liaisons parfaites)
– et à des actions dérivant d’une fonction de force ou d’un champ de potentielle
Le théorème de l’énergie cinétique appliqué au solide ou au système donne
−dEp
dEc
=
dt
dt
Donc, on peut écrire
Ec + Ep = Cte
Cette équation s’appelle l’intégrale première de l’énergie cinétique. Le système est dit
conservatif. La constante est donnée par les conditions initiales en position et en vitesse.
F. Ben Amar UVSQ - Licence SPI - Me111 - Théorèmes Généraux de la dynamique 46
Chapitre 6
Dynamique : Equations de Lagrange
Soit un système matériel Σ = ∪pi=1 Sj en mouvement par rapport à un repère galiléen
Rg , dont les paramètres sont qi (i = 1, ..., n)et la variable t. Les variables (t, qi , q̇i ) sont
considérées comme indépendantes.
6.1
Equations de Lagrange pour un solide
−→∗
On applique le PPV, en prenant comme champ V , le champ du torseur de Lagrange
{Vqi (Sj /R)} associé au paramètre qi , donc
−→∗
V
−→
∂ V (P/R)
(P ) =
∂ q̇i
−→
∂ P
=
∂qi
Z
Sj
−→
∂
γ (P/Rg ). P dm =
∂qi
−→
Z
−→
−→
∂ V (P/Rg )
fv (S̄j → Sj ).
dv
∂ q̇i
Sj
Z
+
∂Sj
−→
−→
∂ V (P/Rg )
fs (S̄j → Sj ).
ds
∂ q̇i
or d’après la formule cinématique de Lagrange
Z Sj
d
dt
∂
∂ q̇i
∂
−
∂qi
h
i2
1 −→
V (P/Rg ) dm = {Fv (S̄j → Sj )} × {Vqi (Sj /Rg )}
2
+{Fs (S̄j → Sj )} × {Vqi (Sj /Rg )}
soit
d
dt
∂Ec (Sj /Rg )
∂ q̇i
−
∂Ec (Sj /Rg )
= Qqi (S̄j → Sj /Rg )
∂qi
C’est l’équation de Lagrange relative au paramètre qi , notée Lqi (Sj /Rg ), il y a autant
d’équations de Lagrange que de paramètres. Le terme de gauche dans cette équation
peut être noté Dqi (Sj /Rg ), c’est à dire coefficient énergétique relatif au paramètre qi des
quantités d’accélération.
47
6.2
Equations de Lagrange pour un système de solides
Si on fait la somme
P des équations de Lagrange, relatif au paramètre qi , appliqués à chacun
des corps Sj ( pj=1 Lqi (Sj /Rg )), on obtient
d
dt
∂Ec (Σ/Rg )
∂ q̇i
p
∂Ec (Σ/Rg ) X
{F(S̄j → Sj )} × {Vqi (Sj /Rg )}
−
=
∂qi
j=1
Parmi les efforts extérieurs appliqués à Sj , il y a les efforts extérieurs au système Σ et les
efforts appliqués par les corps Sh (h 6= j), autrement dit
{F(S̄j → Sj )} = {F(Σ̄ → Sj )} +
h6=j
X
{F(Sh → Sj )}
h=1
D’où finalement, l’équation de Lagrange relative au paramètre qi , Lqi (Σ/Rg ),
p
X
∂Ec (Σ/Rg )
d ∂Ec (Σ/Rg )
{F(Σ̄ → Sj )} × {Vqi (Sj /Rg )}
−
=
dt
∂ q̇i
∂qi
j=1
p
X
+
{F(Sh → Sj )} × {Vqi (Sj /Sh )}
j,h=1,h>j
=
p
X
j=1
Qqi (Σ̄ → Sj /Rg ) +
p
X
Qqi (Sh ←→ Sj )
j,h=1,h>j
Pp
le coefficient énergétique relatif au paramètre qi des
j=1 Qqi (Σ̄ → Sj /Rg ) représente
P
efforts extérieurs à Σ et pj,h=1,h>j Qqi (Sh ←→ Sj ) représente le coefficient énergétique
relatif au paramètre qi des inter-efforts entre les solides de Σ.
6.3
Un cas particulier
Si
– toutes les liaisons géométriques intérieures et extérieures à Σ sont parfaites.
−→
– tous les efforts f , autres que dans les liaisons géométriques, dérivent d’une fonction
de force U , on a donc :
−→
∂U
Qqi ( f → Σ/Rg ) =
(q)
∂qi
ne dépend que de (q1 , ..., qn , t).
On pose L = Ec + U = Ec − Ep , appelé le Lagrangien, l’équation de Lagrange devient :
d ∂L
∂L
−
= 0
dt ∂ q̇i
∂qi
6.4
Equations de Lagrange avec multiplicateurs (pour
information)
Ce paragraphe est utile si le paramétrage utilisé est dépendant (dit aussi non strict ou non
minimal). Il peut exister, même souvent, des équations de contraintes entre les paramètres.
F. Ben Amar
UVSQ - Licence SPI - Me111 - Equations de Lagrange
48
Elles sont en général soit
– de la forme f (q, t) = 0, elles sont alors dites holonomes
– ou de la forme g(q, q̇, t) = 0, et sont donc non-holonomes
Dans beaucoup de cas (et après dérivation des équations holonomes), elles peuvent se
mettre sous la forme :
n
X
aji (q, t)q̇i = 0
1
avec j = 1, ..., m, m désigne de nombre d’équations de contraintes entre les n paramètres
(nécessairement m < n).
−→∗
Prenons comme champ V
−→∗
V
−→
n
X
∂ P ∗
q̇i
(P ) =
∂q
i
i=1
−→
n
X
∂ V (P/Rg ) ∗
=
q̇i
∂
q̇
i
i=1
−→∗
où q̇ ∗ est un vecteur quelconque, définit le champ de vitesse virtuel V .
L’application du PPV donne
" p
n
n X
X
X
d ∂Ec (Σ/Rg )
∂Ec (Σ/Rg ) ∗
−
q̇i =
Qqi (Σ̄ → Sj /Rg )
dt
∂ q̇i
∂qi
i=1
i=1
j=1
p
X
+
#
Qqi (Sh ←→ Sj ) q̇i∗
j,h=1,h>j
On obtient donc une combinaison linéaire des équations de Lagrange (comme définies
dans la section 2). Cette dernière équation peut se mettre sous la forme
n
X
Li q̇i∗ = 0
i=1
∗
Prenons, en particulier, q̇ vérifiant les équations
n
X
aji (q, t)q̇i∗ = 0
j = 1, ..., m
i=1
c’est à dire compatible avec les contraintes du système.
Soit le vecteur de Rn L = (L1 , ..., Ln ). On considère également les m vecteurs de Rn ,
xj = (aj1 , ..., ajn ) (j = 1, ..., m). Ces deux dernières équations traduisent que les vecteurs
xj sont tous orthogonaux à q̇ ∗ , le vecteur L aussi. Donc, ce dernier appartient au sousespace défini par les xj , donc s’écrit
L=
m
X
λ j xj
j=1
ou encore
Li =
m
X
λj aji
j=1
F. Ben Amar
UVSQ - Licence SPI - Me111 - Equations de Lagrange
49
enfin les équations de Lagrange avec multiplicateurs s’écrivent
p
X
d ∂Ec (Σ/Rg )
∂Ec (Σ/Rg )
−
=
Qqi (Σ̄ → Sj /Rg )
dt
∂ q̇i
∂qi
j=1
+
p
X
j,h=1,h>j
Qqi (Sh ←→ Sj ) +
m
X
λj aji
j=1
Les λj sont appelés multiplicateurs de Lagrange, et représentent les efforts dans les liaisons
où sont exprimées les contraintes entre les paramètres qi .
F. Ben Amar
UVSQ - Licence SPI - Me111 - Equations de Lagrange
50
Chapitre 7
Dynamique : Stabilité des équilibres &
Linéarisation
7.1
Equilibre
Soit un système matériel Σ = ∪pi=1 Sj en mouvement par rapport à un repère galiléen Rg ,
dont les paramètres sont qi (i = 1, ..., n) et la variable t. Le mouvement du système est
défini par n équations différentielles du second ordre.
7.1.1
Equilibre pour un paramètre
On dit qu’il y a équilibre pour le paramètre qj , s’il existe des conditions initiales :
qi (t0 ) = qi0 , q̇i (t0 ) = q̇i0 pour tout i 6= j et qj (t0 ) = qje , q̇j (t0 ) = 0
telles que les équations de mouvement conduisent à la solution qj (t) = qje ∀t
7.1.2
Equilibre paramétrique
On dit qu’il y a équilibre paramétrique quand il y a équilibre pour tous les paramètres
qi , c’est à dire s’il existe des conditions initiales : qi (t0 ) = qie , ∀i q̇i (t0 ) = 0 telles que les
équations de mouvement conduisent à la solution qi (t) = qie , ∀i ∀t.
Pour déterminer les équilibres paramétriques, il suffit de remplacer q̇i (t) et q̈i (t) par 0
dans le système d’équations différentielles. On obtient alors un système à n équations et
n inconnues q1 , ..., qn qui peut admettre une ou plusieurs solutions.
Questions : Parmi les éventuels positions d’équilibre, existe t-il des positions stables ? Que
se passe t-il quand le système est légérement décalé de ces positions ?
7.2
Stabilité d’un équilibre paramétrique
Définition L’état d’équilibre paramétrique qe = (q1e , ..., qne ) est dit stable si et seulement
si : ∀ε > 0 et µ > 0 ∃η > 0 et ν > 0 tels que pour toutes les conditions initiales qi (t0 ) = qi0 ,
q̇i (t0 ) = q̇i0 vérifiant | qi (t0 ) − qie |< η et | q̇i0 |< η on ait ∀t > t0 , | qi (t) − qie |< ε et
| q̇i (t) |< µ.
51
Si ε et µ sont petits, la stabilité est dite conditionnelle, et s’ils sont infinis la stabilité est
dite globale.
Autrement dit un équilibre est dit stable si le système étant dans des conditions initiales "voisines" de l’équilibre, la trajectoire du système reste dans un
voisinage de la position d’équilibre.
Théorème de Lejeune-Dirichlet
Soit un système matériel Σ = ∪pi=1 Sj en mouvement par rapport à un repère galiléen Rg ,
dont les paramètres sont qi (i = 1, ..., n) et la variable t. Toutes les liaisons géométriques
entre les Sj et entre Σ et Σ̄ sont parfaites. Tous les efforts (inter-efforts compris) autres
que les efforts de liaisons, dérivent d’un potentiel Ep .
Enoncé : Avec ces hypothèses, si pour une position d’équilibre qe le potentiel est un minimum strict alors qe est une position d’équilibre stable.
Commentaires :
– Le théorème de Lejeune-Dirichlet fournit une condition suffisante (et non nécessaire)
de la stabilité de l’équilibre.
– Le potentiel fait intervenir tous les efforts extérieurs et intérieurs (pesanteur, ressort,...).
Une condition nécessaire et suffisante pour que Ep soit en qe , minimum local strict, est
que la matrice dite de rigidité
2
∂ Ep
(qe )
Kij =
∂qi ∂qj
associée à la forme bilinéaire de la dérivée seconde δ 2 Ep soit définie positive.
Remarques :
– Si toutes les valeurs propres de [K] sont strictement positives alors la matrice est définie
positive et donc l’équilibre est stable.
– Si elle n’est pas définie positive (valeurs propres >0 et d’autres <0) alors Ep n’est pas
un minimum strict et il est possible de démontrer que l’équilibre est instable.
– Si certaines valeurs propres sont nulles, il faut considérer les dérivés d’ordre supérieur
F. Ben Amar UVSQ - Licence SPI - Me111 - Stabilité des équilibres & Linéarisation 52
– Le théorème de Lejeune-Dirchlet ne nécessite l’écriture des équations de mouvement,
seul l’énergie potentiel suffit et la matrice de rigidité.
– Le théorème ne donne aucune indication sur les trajectoires du système écarté de sa
position d’équilibre. D’où l’intérêt de la linéarisation présentée ci-après.
7.3
Linéarisation
Dans le cas général, il est difficile de trouver une solution analytique au système d’équations différentielles obtenu. Aussi utilise t’on une méthode approchée. On procède à une
linéarisation au premier ordre du système d’équations différentielles obtenu afin de pouvoir le résoudre.
Supposons qu’à l’instant t0 on connaisse les paramètres du mouvement, on note q(to ) le
vecteur dont les composantes sont les n paramètres du mouvement à l’instant to et q(t) le
vecteur dont les composantes sont les n paramètres du mouvement à l’instant t. On note
ε la variation infinitésimale des paramètres du mouvements correspondant à une variation
infinitésimale du temps dt, autour du point (to , q(to )) :
q(t) = q(t0 + dt) = q(t0 ) + ε
alors
F. Ben Amar UVSQ - Licence SPI - Me111 - Stabilité des équilibres & Linéarisation 53
dq
dε
=
dt
dt
et
d2 q
d2 ε
=
dt2
dt2
On suppose pour la linéarisation que ε est très petit et on suppose également que les
dérivées successives par rapport au temps de ε restent aussi très petites.
Dans le cas général, le système formé par les n équations de Lagrange s’écrit donc après
linéarisation
M (t, q0 )
d2 ε
dε
+ K(t, q0 )ε = F (t, q0 )
+
C(t,
q
)
0
dt2
dt
Stabilité du système différentiel homogène
On considère donc le cas où F (t, q0 ) = 0, le système s’écrit
M ε̈ + C ε̇ + Kε = 0
L’ensemble des solutions est de la forme ε = rest , avec r représente les conditions initiales
sur ε et ω solution (dans l’espace complexe) de l’équation caractéristique
det(M s2 + Cs + K) = 0
Alors 3 éventualités se présentent pour la stabilité de la solution = 0
– Si toutes les racines de l’équation caractéristique sont à partie réelle négative alors la
solution est stable,
s = a + ib
avec a < 0 et b quelconque
ε = eat cos(bt)
F. Ben Amar UVSQ - Licence SPI - Me111 - Stabilité des équilibres & Linéarisation 54
– Si une des racines de l’équation caractéristique est à partie réelle positive alors la solution est instable,
s = a + ib
avec a > 0 et b quelconque
ε = eat cos(bt)
– Si les racines sont des imaginaires purs, alors la solution est périodique.
s = ib
b quelconque
ε = cos(bt)
L’autre cas (F non nul) sera abordé d’une façon bien approfondi
en Master1 en cours de vibrations.
F. Ben Amar UVSQ - Licence SPI - Me111 - Stabilité des équilibres & Linéarisation 55
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