Université de Versailles St Quentin UFR des Sciences et Technologies Licence SPI Me111 - Mécanique générale Faïz Ben Amar [email protected] Chapitre 1 Introduction 1.1 Quelques définitions et terminologie La mécanique générale a pour but l’étude des mouvements des corps dans l’univers. La mécanique classique se décompose en : – la cinématique : c’est l’étude des mouvements faisant intervenir des grandeurs ne dépendant que du temps et de l’espace – la cinétique : c’est l’étude des mouvements en intégrant en plus les masses et leurs répartitions, – la dynamique : c’est l’étude des mouvements des corps en tenant compte des forces qui s’exercent sur ces corps, 1.1.1 Notion de solide rigide ou indéformable Une pièce mécanique (S) peut être considérée comme un solide indéformable si quels que soient les points A et B de (S), la distance AB reste constante au cours du temps t. 1.1.2 Notion de référentiel La notion de mouvement d’un point ou d’un corps est tout à fait relative. On parle du mouvement de la lune par rapport à la terre, du mouvement d’une voiture par rapport à la chaussée, ... Décrire un mouvement donc n’a de sens que si on choisi un solide de référence auquel on associe un repère appelé référentiel. Exemple : on définit un repère R0 = (O,~i0 , ~j0 , ~k0 ) lié au socle (S0 ) et fixe par rapport au sol pour définir le mouvement d’un robot. 1.1.3 Mesure du temps La notion d’écoulement du temps de manière régulière et irréversible est donnée à l’observateur par des mouvements particuliers appelés horloge (pendule, quartz, horloge atomique...) 1.2 Grandeurs vectorielles de la cinématique Soit R0 = (O,~i0 , ~j0 , ~k0 ) un repère orthonormé direct. Soit (S) un solide en mouvement par rapport à R0 . 2 1.2.1 Vecteur position On appelle vecteur position du point P quelconque du solide (S) dans le repère R0 , à la −→ date t, le vecteur OP où O est l’origine du repère R0 . Le point P appartenant au solide (S) est appelé point matériel de (S). Ce point matériel coincident à chaque instant avec un point géométrique du repère R0 . L’ensemble de ces points géométriques est une courbe (C) qui constitue la trajectoire de P dans le repère R0 . −→ O0 P (t) = x(t)~i0 + y(t)~j0 + z(t)~k0 x = x(t) y = y(t) z = z(t) sont les équations paramétriques de la trajectoire de P dans R0 . 1.2.2 Vecteur vitesse Le vecteur vitesse d’un point P par rapport à R0 , à la date t, est la dérivée par rapport au temps, pour un observateur lié au repère R0 , du vecteur position du point P dans R0 . " −→ # −→ d O0 P V (P/R0 ) = dt R0 −→ V (P/R0 ) = " −→ d O0 P (t) dt # R0 d x(t)~i0 + y(t)~j0 + z(t)~k0 = dt R0 dy dz dx~ i0 + ~j0 + ~k0 = dt dt dt ~ ~ ~ = ẋi0 + ẏ j0 + ż k0 Remarque : – unité : m/s ou m.s−1 −→ – on peut préciser V (P, S/R0 ), s’il s’agit d’un point matériel de (S). – il n’est pas nécessaire d’exprimer ce vecteur dans la base de R0 d’observation de la vitesse. – pour pouvoir calculer correctement cette dérivée, il est important de préciser le repère de dérivation. 1.2.3 Vecteur Accélération Le vecteur accélération d’un point P par rapport à R0 , à la date t, est la dérivée par rapport au temps, pour un observateur lié au repère R0 , du vecteur vitesse du point P par rapport à R0 . F. Ben Amar UVSQ - Licence SPI - Me111 - Introduction - Torseur 3 " −→ d V (P/R0 ) γ (P/R0 ) = dt " −→ # d2 O0 P = dt2 −→ # R0 R0 ~ ~ ~ d ẋi0 + ẏ j0 + ż k0 −→ γ (P/R0 ) = dt R0 = ẍ~i0 + ÿ~j0 + z̈~k0 Remarque : 2 – unité : m/s ou m.s−2 – il n’est pas non plus nécessaire d’exprimer ce vecteur accélération dans la base de R0 . 1.3 1.3.1 Torseur Définition mathématique ~ M ~ P ), noté Un torseur {T } est un bi-vecteurs (R, ( −→ ) R {T } = −→ MP P où−→ : – R : vecteur constant appelé résultante, −→ – M P : appélé moment en P , vecteur champ, dépendant du point, et qui doit satisfaire la relation suivante, dite de transport ou de changement de point, −→ −→ −→ −→ M A = M B + AB ∧ R 1.3.2 Propriétés – L’équiprojectivité du champ de moment : −→ −→ −→ −→ ∀A, B M A . AB= M B . AB – L’invariant scalaire d’un torseur : −→ −→ −→ −→ I = R . M A= R . M B – L’axe central et le pas d’un torseur : L’axe central est l’ensemble des points P tel que −→ −→ MP= λ R F. Ben Amar UVSQ - Licence SPI - Me111 - Introduction - Torseur 4 où λ est un scalaire appelé le pas. On montre que λ est unique et vaut −→ λ= −→ R . MA −→2 R −→ On montre également que l’axe est une droite affine de vecteur directeur R et passe par le point H tel que −→ −→ −→ R ∧ MA AH= −→2 R L’amplitude du moment sur l’axe du torseur est minimal. 1.3.3 Quelques torseurs particuliers −→ −→ −→ −→ – Le torseur nul : si R = 0 et M P = 0 , −→ −→ – Le glisseur : si M A . R = 0 ou l’invariant scalaire nul. Le moment d’un glisseur est orthogonal à la résultante. L’invariant et le pas sont nuls. Le moment sur l’axe est nul. −→ −→ −→ −→ – Le torseur couple : si R = 0 et M P 6= 0 . Le moment d’un torseur couple est invariant. 1.3.4 Torseur d’effort Ce torseur, dit aussi torseur statique, permet de caractériser toute action mécanique, en la réduisant à deux vecteurs, noté : ( −→ ) R {F} = −→ MA A Si cette action mécanique est une action de contact, c’est-à-dire surfacique, de densité −→ −→ surfacique f s (P ) = df ds ( {F} = ) R R −→ f (P )ds R= s S −→ R R −→ −→ AP ∧ f s (P )ds A M A= S −→ Si cette action mécanique est une action à distance, c’est-à-dire volumique, de densité −→ −→ volumiqe f v (P ) = df dv ( {F} = 1.3.5 ) R R R −→ f (P )dv R= v V −→ R R −→ −→ AP ∧ f v (P )dv A M A= S −→ Quelques actions simples −→ – La force : une force F s’appliquant au point P peut être représentée par un torseur ( ) ( −→ −→ ) −→ −→ = R F R=F {F} = ≡ −→ −→ −→ −→ −→ M A= 0 M A =AP ∧ F P A Ce torseur est de type glisseur. La propriété des glisseurs vient du fait que si la résultante (force) glisse sur son support, l’action mécanique est statiquement équivalente. F. Ben Amar UVSQ - Licence SPI - Me111 - Introduction - Torseur 5 −→ −→ – Le couple de 2 forces opposées : 2 forces opposées F et − F s’appliquant en deux points distincts A, B produisent une action mécanique qui peut être représentée par un torseur résultant : −→ ) − F {F} = + −→ 0 A ( ) ( B −→ ) −→ − F F = + −→ −→ −→ −→ 0A ∧ F 0B ∧− F O O ( ) −→ 0 = −→ −→ −→ (OA − OB)∧ F O ) ( −→ 0 = −→ −→ BA ∧ F O ( −→ F −→ 0 ) ( Le torseur résultant est de type couple. Le moment d’un torseur couple est indépendant du point O. – Torseur associé à une distribution volumique d’effort : cas de la pesanteur Soit un milieu continu (Ω), chaque élément de matière de volume dm est soumis à une force −→ −→ −→ df = dm g = ρdv g −→ La résultante de ce champ de force df : −→ R Z Z Z −→ df = Z Z ZΩ −→ ρ g dv Z ZΩ Z −→ = g ρdv = Ω = −→ g Mtotale −→ Chaque force df s’appliquant an centre P de l’élément de matière crée un moment au −→ −→ point O égal à OP ∧ df . La résultante de ces moments élémentaires est : F. Ben Amar UVSQ - Licence SPI - Me111 - Introduction - Torseur 6 −→ MO Z Z Z −→ −→ OP ∧ df = Z Z ZΩ −→ −→ OP ∧ρ g dv Ω Z Z Z −→ −→ = OP dm ∧ g = Ω −→ −→ = Mtotale OG ∧ g −→ −→ = OG ∧Mtotale g −→ −→ = OG ∧ R La distribution volumique des efforts de pesanteur est équivalente au poids total du milieu appliqué au centre de gravité de celui-ci. 1.4 Quelques rappels de statique – Principe fondamental de la statique : Un corps (ou un système de corps) est en équilibre dans un référentiel dit galiléen, si et seulement si la somme des torseurs de toutes les actions extérieures appliquées sur ce corps (ou système de corps) est égale à zéro. – Principe des actions mutuelles : le torseur des actions du corps S1 sur le corps S2 est égal à l’opposé du torseur des actions de S2 sur S1 . – Un corps (ou système de corps) soumis à 2 forces est en équilibre si les 2 forces sont opposées et portées par la ligne passant par les 2 points d’application de ces 2 forces. – Un corps (ou système de corps) soumis à 3 forces est en équilibre si les 3 supports des forces sont coplanaires et concourants (ou parallèles). F. Ben Amar UVSQ - Licence SPI - Me111 - Introduction - Torseur 7 Chapitre 2 Cinématique du solide rigide 2.1 Dérivation vectorielle En général, les vecteurs positions et les vecteurs vitesses par rapport à un référentiel R0 sont plus facilement exprimés en fonction de vecteurs de base qui ne sont pas fixes dans ~ quelconque par R0 . il convient donc d’exprimer de façon simple la dérivée d’un vecteur U rapport à un repère R0 ou par rapport à un autre repère R1 . 2.1.1 Etude d’un cas particulier de dérivation vectorielle Examinons le cas particulier courant de deux repères R0 = (O0 ,~i0 , ~j0 , ~k0 ) et R1 = (O1 ,~i1 , ~j1 , ~k1 ) où ~k1 , ~k0 d’une part et O0 , O1 d’autre part reste confondus quelque soit t. L’orientation de la base de R1 est alors défini par un seul paramètre par rapport à celle de R0 . α(t) = (~i0 ,~i1 ) == (~j0 , ~j1 ). ~ (t) = a(t)~i1 + b(t)~j1 + c(t)~k1 . soit U " ~ dU dt # = R0 " # da~ db~ dc ~ d~i1 i1 + j1 + k1 + a(t) dt dt dt dt 8 " R0 d~j1 + b(t) dt # " R0 d~k1 + c(t) dt # R0 or ~i1 = cos α~i0 + sin α~j0 ~j = − sin α~i0 + cos α~j0 ~1 ~ k1 = k0 donc h~ i d i1 = −α̇ sin α~i0 + α̇ cos α~j0 = α̇~j1 dt h ~ iR0 dj1 = −α̇ cos α~i0 − α̇ sin α~j0 = −α̇~i1 dt R 0 i h d~k1 = ~0 dt R0 avec α̇ = dα dt et car ~i0 , ~j0 sont fixes dans R0 . ~ 1 /R0 ) = α̇~k0 , on peut écrire En posant Ω(R h~ i di1 ~ 1 /R0 ) ∧ ~i1 = Ω(R dt h ~ iR0 dj1 ~ 1 /R0 ) ∧ ~j1 = Ω(R dt R h i 0 d~k1 ~ 1 /R0 ) ∧ ~k1 = Ω(R dt R0 on obtient donc " ~ dU dt # " R0 ~ dU = dt # ~ 1 /R0 ) ∧ U ~ + Ω(R ~ (t) ∀U R1 ~ 1 /R0 ) est appelée vecteur rotation de la base R1 par rapport à celle de R0 (unité rd/s). Ω(R h i ~ est fixe dans R1 , la dérivée dU~ Dans le cas où U se ramène au calcul simple d’un dt produit vectoriel. 2.1.2 R0 Formule générale de dérivation vectorielle Afin de généraliser la formule précédente au cas d’un mouvement quelconque de la base d’un repère R1 par rapport à la base d’un repère R0 , exprimons les dérivées des vecteurs de base ~i1 ,~j1 ,~k1 . On traduit qu’au cours du mouvement, la base de R1 reste orthonormée quelque soit t : || ~i1 ||2 =|| ~j1 ||2 =|| ~k1 ||2 = 1 ~ ~ i .j = 0 ∀t ~1 ~1 j1 .k1 = 0 ~k .~i = 0 1 1 en dérivant ces expressions scalaires par rapport au temps, on obtient, F. Ben Amar UVSQ - Licence SPI - Me111 - Cinématique du solide rigide 9 h i h i h i ~ d~j1 d~i1 ~ ~ ~ = j1 . dt = k1 . ddtk1 =0 i1 . dt R0 h Ri0 h i R0 ~ ~i1 ddt .~j1 = −~i1 . ddtj1 = Ωz h iR0 h iR0 ~ d~j1 .~k1 = −~j1 . ddtk1 = Ωx dt R R0 0 h i h i ~ d~k1 .~i1 = −~k1 . di1 = Ωy dt dt R0 R0 La première équation montre aisément que la dérivation vectorielle donne un vecteur perpendiculaire. On montre également que ces relations correspondent aux propriétés des applications linéaires et antisymétriques, et dont la matrice s’exprime dans la base de R1 par h d~i1 dt h i R0 d~j1 dt −Ωz 0 Ωx 0 Ωz −Ωy h i R0 d~k1 dt i R0 Ωy −Ωx 0 ~i1 ~j1 ~k1 ou encore h~ i di1 ~ 1 /R0 ) ∧ ~i1 = Ω(R dt R h~ i 0 dj1 ~ 1 /R0 ) ∧ ~j1 = Ω(R dt R 0 i h d~k1 ~ 1 /R0 ) ∧ ~k1 = Ω(R dt R0 ~ 1 /R0 ) = Ωx~i1 + Ωy~j1 + Ωz~k1 avec Ω(R ~ (t) par rapport On en déduit la relation générale de la dérivée vectorielle d’un vecteur U à R0 : " ~ dU dt # " R0 ~ dU = dt # ~ 1 /R0 ) ∧ U ~ + Ω(R ~ (t) ∀U R1 ~ 1 /R0 ) ne dépend que du mouvement de la base R1 par rapport à celle de Le vecteur Ω(R R0 . Ce vecteur est appelé, par analogie au cas particulier précédent, le vecteur rotation de la base R1 par rapport à celle de R0 . Il est définit de façon unique à chaque instant. 2.1.3 Détermination du vecteur rotation Mouvement de translation Quand il s’agit d’un changement d’origine entre deux repères R0 = (O0 ,~i0 , ~j0 , ~k0 ) et −→ ~ 1 /R0 ) est nul. R1 = (O1 ,~i0 , ~j0 , ~k0 ) avec O0 O1 (t), le vecteur rotation Ω(R ~ 1 /R0 ) = ~0 Ω(R F. Ben Amar UVSQ - Licence SPI - Me111 - Cinématique du solide rigide (2.1) 10 Mouvement de rotation autour d’un axe On a démontrer dans le paragraphe précédent que quand il s’agit d’une rotation autour de l’axe (O0 , ~k0 ), le vecteur rotation est dans ce cas : ~ 1 /R0 ) = α̇~k0 Ω(R (2.2) Composition de deux rotations Prenons le cas d’un repère R2 dont le mouvement par rapport R0 résulte de deux mouvements de rotation simples qui sont le mouvement de R2 par rapport à R1 et celui de ~ 2 /R1 ) et Ω(R ~ 1 /R0 ) et calculons Ω(R ~ 2 /R0 ). R1 par rapport à R0 . Donc, on connaît Ω(R D’après la relation de la dérivation vectorielle, on peut écrire " " ~ dU dt ~ dU dt # " #R0 R1 # ~ dU ~ 1 /R0 ) ∧ U ~ = + Ω(R dt " #R1 ~ dU ~ 2 /R1 ) ∧ U ~ = + Ω(R dt R2 En faisant la somme de ces 2 équations membre à membre " ~ dU dt # " R0 ~ dU = dt # ~ 2 /R1 ) + Ω(R ~ 1 /R0 ) ∧ U ~ + Ω(R R2 or " ~ dU dt # " R0 ~ dU = dt # ~ 2 /R0 ) ∧ U ~ + Ω(R R2 en comparant les deux dernières expressions, on obtient ~ 2 /R1 ) + Ω(R ~ 1 /R0 ) − Ω(R ~ 2 /R0 ) ∧ U ~ = ~0 Ω(R ~ ∀U d’où finalement ~ 2 /R0 ) = Ω(R ~ 2 /R1 ) + Ω(R ~ 1 /R0 ) Ω(R Application : calcul d’un vecteur vitesse et accélération en faisant que des produits vectoriels 2.2 Champ de vitesse d’un solide rigide Dans un solide rigide et contrairement à un gaz ou un liquide, le vecteur vitesse d’un point M du solide ne peut être indépendant du vecteur vitesse d’un autre point M 0 quelconque du même solide. F. Ben Amar UVSQ - Licence SPI - Me111 - Cinématique du solide rigide 11 2.2.1 Torseur cinématique d’un solide rigide Soit (S) un solide rigide en mouvement par rapport à un référentiel R = (O,~i, ~j, ~k). On attache au solide (S) un repère RS qu’on notera (S) par soucis de simplification. Soient A, B deux points de (S). On peut écrire la relation de dérivation vectorielle du −→ ~ : vecteur AB= U " or −→ −→ d AB dt # −→ " R d AB = dt # −→ −→ + Ω (S/R)∧ AB S −→ = ~0 car AB est un vecteur fixe dans (S) puisque A, B sont lié à (S). dAB dt S La relation de Chasles permet d’écrire −→ −→ −→ AB=OB − OA en dérivant cette expression par rapport au temps et par rapport à R, on a " −→ d AB dt # " R −→ d OB = dt # " R −→ d OA − dt # −→ R −→ ∀ A, B ∈ (S) −→ = V (B ∈ S/R)− V (A ∈ S/R) −→ −→ −→ V (A ∈ S/R) = V (B ∈ S/R)+ AB ∧ Ω (S/R) Ce champ de vecteur respecte ce qu’on appelle l’équation des champs de moment. Il est entièrement déterminé à partir de la connaissance du vecteur vitesse en un point particu−→ lier et du vecteur rotation du solide Ω (S/R) dans son mouvement par rapport à R. Ce dernier vecteur est indépendant des choix de A et B du solide (S), c’est une caractéristique du mouvement du solide (S) par rapport à R. Le mouvement d’un solide (S) par rapport à un référentiel R peut être défini par un torseur dit torseur cinématique ou torseur des vitesses V(S/R ( −→ ( −→ = = Ω (S/R) −→ V (A ∈ S/R) ) A ) Ω (S/R) −→ −→ −→ −→ V (B ∈ S/R) = V (A ∈ S/R)+ BA ∧ Ω (S/R) B −→ −→ Ω (S/R) est la résultante du torseur et est indépendante du point A. La vitesse V (A ∈ S/R) est le moment du torseur au point A. F. Ben Amar UVSQ - Licence SPI - Me111 - Cinématique du solide rigide 12 2.2.2 Equiprojectivité du champ des vitesses −→ Si on multiplie la relation des transports des vitesses (ou des moments) par AB, on obtient la relation suivante appelée relation d’équiprojectivité −→ −→ ∀ A, B ∈ (S) −→ −→ V (A ∈ S/R). AB= V (B ∈ S/R). AB Remarque : Cette relation découle directement de l’hypothèse de solide rigide et peut être obtenue directement en traduisant que −→ ||AB||2 = constante ∀ A, B ∈ (S) soit par dérivation " −→ AB . sachant que −→ dAB dt = −→ dOB dt R − R −→ −→ −→ d AB dt −→ dOA dt # −→ =0 R −→ −→ = V (B ∈ S/R)− V (A ∈ S/R) on obtient R −→ −→ AB . V (A ∈ S/R) =AB . V (B ∈ S/R) Interprétation graphique de l’équiprojectivité F. Ben Amar UVSQ - Licence SPI - Me111 - Cinématique du solide rigide 13 2.3 2.3.1 Mouvements particuliers Mouvement de translation Un solide (S) est en translation, par rapport à un repère R, pendant un intervalle de temps t ∈ [t1 , t2 ] si et seulement si ∀t ∈ [t1 , t2 ], le champ des vecteurs vitesses du solide est uniforme : −→ −→ V (A ∈ S/R) = V (B ∈ S/R) ∀A, B ∈ S En conséquence et d’après la relation de transport des vitesses ∀t ∈ [t1 , t2 ] donc −→ Ω (S/R)∧ AB= 0 −→ ∀t ∈ [t1 , t2 ] −→ −→ ∀A, B ∈ S −→ Ω (S/R) = 0 Le torseur cinématique est de la forme ( V(S/R = −→ 0 ) −→ V (A ∈ S/R) A Ce torseur est de type couple (résultante nulle). −→ −→ Ω (S/R) = 0 traduit que la base de tout repère lié à (S) reste immobile (orientation constante) par rapport à la base du repère R. Exemples : – Mouvement d’une nacelle de la grande roue par rapport au sol : translation circulaire (O1 décrit un cercle) – mouvement du piston par rapport au cylindre du moteur : translation rectiligne alternative (O1 décrit un segment de droite) F. Ben Amar UVSQ - Licence SPI - Me111 - Cinématique du solide rigide 14 2.3.2 Mouvement de rotation autour d’un axe Un solide (S) est en rotation, par rapport à un repère R, autour d’un axe fixe pendant un intervalle de temps t ∈ [t1 , t2 ] si et seulement on peut trouver deux points A et B distincts tels que : −→ −→ −→ V (A ∈ S/R) = V (B ∈ S/R) = 0 ∀t ∈ [t1 , t2 ] D’après la relation de transport des vitesses, on a donc −→ −→ −→ AB ∧ Ω (S/R) = 0 (2.3) −→ −→ Par conséquent, Ω (S/R) est parallèle à AB. Comme A et B sont fixes dans R, on choisit −→ −→ −→ −→ −→ −→ le vecteur k du repère R tel que k kAB. On note Ω (S/R) = ω k = θ̇ k où ω = θ̇ est appelée la vitesse angulaire de (S) par rapport à R. Remarque : Tout point de la droite (AB) est fixe dans R, (AB) est appelé axe de rotation du mouvement. −→ −→ −→ −→ −→ Preuve : soit M ∈ (AB), alors V (M ∈ S/R) = V (A ∈ S/R)+ M A ∧ Ω (S/R) = 0 −→ −→ car M A et Ω (S/R) sont colinéaires. En un point M quelconque de l’axe de rotation, le torseur cinématique du mouvement s’écrit : ( V(S/R = −→ Ω (S/R) = ω~k −→ 0 ) M Ce torseur est de type glisseur (produit scalaire résultante et moment est nul). −→ −→ −→ Si P ∈ / (AB) alors V (P ∈ S/R) =P A ∧ Ω (S/R) −→ −→0 Soit H est la projection de P sur la droite (AB) et HP = r i (r désigne la distance de −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ P à l’axe de rotation. Or AP =AH + HP , AHk k k Ω (S/R) et HP ⊥ Ω (S/R), on a donc −→ −→ −→ −→ −→ 0 0 V (P ∈ S/R) =P H ∧ Ω (S/R) = rω y = rθ̇ y −→ Ce vecteur est perpendiculaire au vecteur rayon HP et à l’axe de rotation. Sa norme est proportionnelle à l’éloignement r de l’axe de rotation et à la vitesse angulaire ω. 2.3.3 Torseurs de Lagrange Soit P un point mobile par rapport à un référentiel R. Sa position est repérée par n paramètres qj (j = 1, ..., n) et la variable t. On considère les (qj , q̇j , t) sont indépendants. Alors, F. Ben Amar UVSQ - Licence SPI - Me111 - Cinématique du solide rigide 15 " −→ V (P/R) = −→ d OP dt " # R −→ # d P = dt −→ (2.4) R −→ n X ∂ P ∂ P = q̇j + ∂t ∂q j j=1 (2.5) D’où on tire −→ −→ ∂ V (P/R) ∂ P = ∂ q̇k ∂qk (2.6) On remarque les vitesses sont donc des fonctions linéaires de q̇j . On peut donc étndre l’équation (2.5) au torseur de vitesse d’un solide rigide S dont la position est définie par n paramètres qj (j = 1, ..., n) et la variable t. {V(S/R)} = {Vt (S/R)} + n X Vqj (S/R) q̇j j=1 Les torseurs Vqj (S/R) sont appelés les torseurs de Lagrange, ou plus précisément les torseurs de la base lagrangienne associée aux paramètres choisis qj . F. Ben Amar UVSQ - Licence SPI - Me111 - Cinématique du solide rigide 16 2.4 Champ d’accélération Prenons deux points A et B appartenant à un même solide (S). La relation qui relie leur vitesse par rapport à un référentiel R est −→ −→ −→ −→ V (A ∈ S/R) = V (B ∈ S/R)+ Ω (S/R)∧ BA Si on dérive par rapport au temps cette relation, on obtient −→ " d Ω (S/R) γ (A ∈ S/R) = γ (B ∈ S/R) + dt −→ −→ # −→ R " −→ d BA ∧ BA + Ω (S/R) ∧ dt −→ # R or " −→ d BA dt # " R −→ d OA = dt # " R −→ d OB − dt # −→ −→ −→ −→ = V (A ∈ S/R)− V (B ∈ S/R) = Ω (S/R)∧ BA R Finalement, on obtient " −→ d Ω (S/R) γ (A ∈ S/R) = γ (B ∈ S/R) + dt −→ −→ # −→ −→ ∧ BA + Ω (S/R) ∧ −→ −→ (S/R)∧ BA Ω R Le champ d’accélération n’est pas équiprojectif, il ne peut être représenté par un torseur. 2.5 Formule cinématique de Lagrange Soit P un point mobile par rapport à un référentiel R. Sa position est repérée par n paramètres qj (j = 1, ..., n) et la variable t. On considère les (qj , q̇j , t) sont indépendants. On rappelle que : −→ −→ ∂ V (P/R) ∂ P = ∂ q̇k ∂qk −→ ∂ γ (P/R). P ∂qi −→ # −→ −→ d V (P/R) ∂ P = . dt ∂qi R " " −→ # −→ d −→ ∂ P d = − V (P/R). V (P/R). dt ∂qi dt (2.7) " (2.8) −→ !# ∂ P ∂qi (2.9) R Dans le dernier terme, on ne peut pas a priori intervertir les symboles de dérivation totale d (d’une fonction composée f (q(t))) et dérivation partielle ∂q∂ i . Ce dernier terme s’écrit : dt F. Ben Amar UVSQ - Licence SPI - Me111 - Cinématique du solide rigide 17 R " d dt −→ !# ∂ P ∂qi −→ ! n X ∂ = ∂qj j=1 R ∂ P ∂qi ∂ q̇j + ∂t −→ ! ∂ P ∂qi (2.10) −→ ! −→ ! n X ∂ P ∂ ∂ P ∂ q̇j + = ∂q ∂q ∂qi ∂t i j j=1 " n −→ ! −→ # ∂ X ∂ P ∂ P = q̇j + ∂qi j=1 ∂qj ∂t (2.11) (2.12) −→ ∂ V (P/R) = ∂qi (2.13) donc, −→ ∂ γ (P/R). P ∂qi −→ d = dt " −→ # −→ −→ ∂ V (P/R) ∂ V (P/R) − V (P/R). (2.14) V (P/R). ∂ q̇i ∂qi −→ enfin, on obtient la formule cinématique de Lagrange h −→ i2 h −→ i2 −→ ∂ (P/R) ∂ (P/R) V V −→ ∂ d 1 1 γ (P/R). P = − ∂qi dt 2 ∂ q̇i 2 ∂qi = 2.6 d dt ∂ ∂ q̇i ∂ − ∂qi h i2 1 −→ V (P/R) 2 (2.15) Composition des mouvements On considère le mouvement d’un solide rigide (S) par rapport à un repère R0 . Ce mouvement est composé de 2 mouvements : un mouvement relatif par rapport à un repère intermédiaire R1 et un mouvement d’entraînement de R1 par rapport à R0 . Exemple : le mouvement d’un voyageur de train par rapport au sol est une composition d’un mouvement relatif du voyageur par rapport au train et d’un mouvement du train par rapport au sol. 2.6.1 Composition des vitesses Soit P un point géométrique ou matériel quelconque en mouvement par rapport aux deux repère R0 = (O0 ,~i0 , ~j0 , ~k0 ) et R1 = (O1 ,~i1 , ~j1 , ~k1 ). On peut écrire : F. Ben Amar UVSQ - Licence SPI - Me111 - Cinématique du solide rigide 18 " −→ V (P/R0 ) = " −→ d O0 P dt # −→ d O0 O1 dt R0 # " −→ d O1 P = + dt R0 " −→ # −→ d O1 P = V (01 /R0 ) + dt # R0 −→ −→ + Ω (R1 /R0 )∧ O1 P R1 Soit −→ V (P/R0 ) = −→ −→ −→ −→ V (P/R1 )+ V (01 /R0 )+ Ω (R1 /R0 )∧ O1 P On pose −→ V (P ∈ R1 /R0 ) = −→ −→ −→ V (01 /R0 )+ Ω (R1 /R0 )∧ O1 P où le point P ∈ R1 est un point lié à R1 qui coïncide à l’instant t considéré avec le point P . Ce point est appelé point coincidant de P dans R1 à l’instant t. Finalement, on a la relation de composition des vitesses −→ V (P/R0 ) = −→ −→ V (P/R1 )+ V (P ∈ R1 /R0 ) −→ – le mouvement de P par rapport à R0 ) ( V (P/R0 )) est appelé mouvement absolu (vitesse absolue) −→ – le mouvement de P par rapport à R1 ) ( V (P/R1 )) est appelé mouvement relatif (vitesse relative) −→ – le mouvement de P lié à R1 ) par rapport à R0 ) ( V (P ∈ R1 )/R0 )) est appelé mouvement d’entraînement (vitesse d’entraînement) F. Ben Amar UVSQ - Licence SPI - Me111 - Cinématique du solide rigide 19 −→ −→ Remarque : les vecteurs vitesses V (P/R0 ) et V (P/R1 ) se calcule plus facilement en −→ dérivant les vecteurs positions. Par contre, le vecteur vitesse d’entraînement V (P ∈ R1 )/R0 ) ne peut être calculé en dérivant le vecteur position, mais plutôt en utilisant la relation de transport des vitesses et cela en passant par un point appartenant réellement au repère R1 . 2.6.2 Composition des mouvements Soient 3 repères R0 , R1 , R2 en mouvement les uns par rapport aux autres et P un point quelconque. D’après la relation de composition des vitesses, on peut écrire −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ V (P/R0 ) = V (P/R1 ) = V (P/R2 ) = V (P/R1 )+ V (P ∈ R1 /R0 ) V (P/R2 )+ V (P ∈ R2 /R1 ) V (P/R0 )+ V (P ∈ R0 /R2 ) En faisant la somme membre à membre, on obtient −→ −→ −→ −→ V (P ∈ R0 /R2 )+ V (P ∈ R2 /R1 )+ V (P ∈ R1 /R0 ) = 0 D’autre part, on a déjà démontré la composition des vecteurs rotation. Elle s’écrit −→ −→ −→ −→ −→ Ω (R0 /R2 )+ Ω (R2 /R1 )+ Ω (R1 /R0 ) = Ω (R0 /R0 ) = 0 On a alors la relation entre les torseurs cinématiques VR0 /R2 + VR2 /R1 + VR1 /R0 = {0} Cas particulier : R2 ≡ R1 → VR2 /R1 = {0} on a donc VR1 /R0 = − VR0 /R1 ou encore −→ −→ Ω (R1 /R0 ) = − Ω (R0 /R1 ) −→ −→ V (P ∈ R1 /R0 ) = − V (P ∈ R0 /R1 ) 2.6.3 Composition des accélérations On reprend la relation de composition des vitesses −→ V (P/R0 ) = = F. Ben Amar −→ −→ −→ −→ V (P/R1 )+ V (P ∈ R1 /R0 ) −→ −→ V (P/R1 )+ V (01 /R0 )+ Ω (R1 /R0 )∧ O1 P UVSQ - Licence SPI - Me111 - Cinématique du solide rigide 20 et on la dérive par rapport au temps et dans le repère R0 " −→ d V (P/R0 ) dt # " = R0 −→ d V (P/R1 ) dt # " + R0 Détaillons chacun de ces termes – " −→ # d V (P/R0 ) dt −→ d V (01 /R0 ) dt # " + R0 −→ −→ d Ω (R1 /R0 )∧ O1 P dt # R0 −→ = γ (P/R0 ) R0 – " −→ d V (P/R1 ) dt # " = R0 = −→ d V (P/R0 ) dt # R1 −→ −→ −→ −→ + Ω (R1 /R0 )∧ V (P/R1 ) −→ γ (P/R1 )+ Ω (R1 /R0 )∧ V (P/R1 ) – " −→ d V (01 /R0 ) dt # −→ = γ (O1 /R0 ) R0 – " −→ −→ d Ω (R1 /R0 )∧ O1 P dt # " = R0 −→ d Ω (R1 /R0 ) dt # −→ R0 " −→ d O1 P ∧ O1 P + Ω (R1 /R0 ) ∧ dt −→ # R0 or " −→ d O1 P dt # = −→ −→ −→ −→ V (P/R0 )− V (O1 /R0 ) R0 = −→ V (P/R1 )+ Ω (R1 /R0 )∧ O1 P Finalement, la relation de composition des accélérations s’écrit −→ accélération absolue → γ (P/R0 ) = accélération → d’entraînement accélération de Coriolis → −→ γ (P/R1 ) ← accélération relative −→ −→ −→ d Ω (R1 /R0 ) + γ (O1 /R0 ) + ∧ O 1P dt R0 −→ −→ + −→ Ω (R1 /R0 ) ∧ Ω (R1 /R0 )∧ O1 P −→ −→ +2 Ω (R1 /R0 )∧ V (P/R1 ) Remarque : on ne peut pas obtenir l’accélération d’entraînement par simple dérivation de la vitesse d’entraînement, ou alors il faut traduire correctement que le point P est fixe dans le repère intermédiaire R1 . F. Ben Amar UVSQ - Licence SPI - Me111 - Cinématique du solide rigide 21 2.7 Mouvement de 2 solides en contact Soient deux solides (S1 ) et (S2 ) en mouvement l’un par rapport à l’autre de telle sorte qu’à chaque instant (S1 ) et (S2 ) aient au moins un point commun. A l’instant t, désignons I un point commun à (S1 ) et (S2 ). Soit, R1 , R2 deux repères attachés à (S1 ) et (S2 ). 2.7.1 Vitesse de glissement Définition : La vitesse de glissement en I de (S2 ) par rapport à (S1 ) à l’instant t est −→ V (I ∈ R2 /R1 ). Donc c’est la vitesse par rapport à R1 du point coïncidant de I dans −→ −→ −→ R2 et à l’instant t. Cette vitesse est aussi notée V gl (I, S2 /S1 ) = V (I ∈ R2 /R1 ) = V gl (S2 /S1 ). Sous cette forme, la vitesse de glissement ne fait intervenir que le mouvement relatif entre les deux solides (S1 ) et (S2 ). Si les 2 solides sont en mouvement par rapport à un repère R0 . Le mouvement de R2 /R1 peut être considéré comme la composition de deux mouvements de R2 /R0 et de R0 /R1 : −→ −→ −→ −→ V gl (I, S2 /S1 ) = V (I ∈ R2 /R1 ) = V (I ∈ R2 /R0 )− V (I ∈ R0 /R1 ) 2.7.2 Contacts ponctuels Soit 2 solides (S1 ) et (S2 ) en contact ponctuel. On définit la notion de point géométrique P de contact entre les 2 solides. C’est le point d’intersection des 2 solides à l’instant t. Ce point n’est pas lié à aucun des deux solides : il peut se déplacer au cours du temps sur la surface extérieure de l’un et l’autre des solides. On définit également à chaque instant deux points matériels de contact : – le premier P1 lié au solide (S1 ) et qui coïncident à l’instant considéré seulement avec le point géométrique de contact P – le second lié à S2 et coïncident à l’instant considéré seulement avec le point géométrique de contact P F. Ben Amar UVSQ - Licence SPI - Me111 - Cinématique du solide rigide 22 Ces trois points sont définis à un instant donné. Il ne coïncident en général qu’à cet instant. Le point géométrique reste le point de contact au cours du temps alors que les points matériels ne sont points de contact qu’à l’instant considéré. Si le contact est permanent pendant un intervalle de temps T alors la vitesse de glissement reste toujours dans le plan tangent commun aux 2 solides à tout instant de l’intervalle de temps T . Définition : Contact sans glissement (S2 ) est en contact sans glissement avec (S1 ) pendant un intervalle de temps [t1 , t2 ] si à à chaque instant t ∈ [t1 , t2 ], la vitesse de glissement de (S2 ) par rapport à (S1 ) est nulles en tous points de contact. −→ Définition : Roulement et pivotement Le vecteur rotation Ω (R2 /R0 ) peut être décomposé en −→ – une composante normale au plan tangent de contact Ω N (R2 /R0 ) appelée composante de pivotement −→ – une composante tangentielle parallèle au plan tangent de contact Ω T (R2 /R0 ) appelée composante de roulement Définition : Roulement sans glissement On parle de roulement sans glissement entre (S2 ) et (S1 ) si la vitesse de glissement est −→ −→ nulle V gl (I, S2 /S1 ) = 0 et la composante de tangentielle du vecteur rotation est non −→ −→ nulle Ω T (R2 /R0 ) 6= 0 . Exemple : Un cerceau roulant sans glissement sur une droite matérielle horizontale. On note (C) me cerceau de centre A et de rayon R. Soit R0 = (O,~i0 , ~j0 , ~k0 ) repère de référence et R = (A,~i, ~j, ~k = ~k0 ) lié au cerceau. Soit I le point géométrique de contact. −→ −→ −→ −→ On pose φ = (~i0 ,~i) = (~j0 , ~j), Ω (C/R0 ) = Ω (R/R0 ) = φ̇~k0 , OI= λ(t) i 0 . La condition de roulement sans glissement entre le cerceau (C) et la droite D fixe dans R0 . −→ V gl (I, C/D) = = F. Ben Amar −→ 0 −→ −→ V (I ∈ C/R0 )− V (I ∈ D/R0 ) UVSQ - Licence SPI - Me111 - Cinématique du solide rigide 23 −→ −→ −→ −→ V (A ∈ C/R0 )+ Ω (C/R0 )∧ AI −→ −→ = V (A/R0 ) + φ̇~k0 ∧ −R j 0 V (I ∈ C/R0 ) = −→ 0 = λ̇ i −→ 0 +Rφ̇ i −→ −→ V (I ∈ D/R0 ) = 0 donc la vitesse de glissement est −→ −→ 0 V gl (I, C/D) = λ̇ i −→ 0 +Rφ̇ i On vérifie qu’elle est parallèle au plan tangent au contact. Finalement, si il y a roulement glissement on a λ̇ + Rφ̇ = 0 −→ Remarque : La vitesse du point géométrique I est par contre non nulle V (I/R0 ) = h −→ i −→ −→ dλ i 0 d OI = = λ̇ i 0 . dt dt R0 F. Ben Amar R0 UVSQ - Licence SPI - Me111 - Cinématique du solide rigide 24 Chapitre 3 Cinétique des systèmes La cinétique se construit à partir de la cinématique en introduisant la notion de masse. 3.1 3.1.1 Systèmes matériels Systèmes discrets Les systèmes discrets sont constitués de masses ponctuels ou points matériels Mi de masse mi . La masse total du système matériel Σ est mΣ = n X mi 1 et son centre de gravité G est n X −→ OG= −→ mi OM i 1 n X → n X −→ −→ mi GM i = 0 1 mi 1 3.1.2 Systèmes continus Les systèmes continus sont des milieus tridimensionnels de masse volumique ρ. La masse totale est Z Z Z mΣ = ρdv Σ et son centre de gravité est Z Z Z −→ OG= −→ Z Z Z −→ OM ρdv −→ Z Z ΣZ → GM ρdv = 0 Σ ρdv Σ Remarques : 25 1. Si le milieu peut être assimilé à un milieu bi-dimensionnel (plaque d’épaisseur faible), on peut définir une masse surfacique σ. Dans ce cas, la masse totale s’écrit : Z Z σds mΣ = Σ où ds est l’aire d’un élément de surface. 2. Si le milieu est monodimensionnel (tige d’épaisseur faible), on peut définir un masse linéïque λ. Dans ce cas, la masse totale s’écrit : Z λdl mΣ = Σ où dl est la longueur d’un élément de corde. 3.2 Torseur cinétique d’un système matériel ou torseur des quantités de mouvement Soit un système matériel (Σ) de masse m de centre d’inertie G en mouvement par rapport à un repère R0 . Définition : Le torseur cinétique, exprimé en un point A quelconque, de (Σ) dans son mouvement par rapport à un repère R0 est défini par {C(A, Σ/R0 } = Z Z Z −→ −→ c R (Σ/R ) = V (P, Σ/R0 )dm 0 P ∈Σ Z Z Z −→ σ (A, Σ/R0 ) = P ∈Σ −→ −→ AP ∧ V (P, Σ/R0 )dm A Remarques : −→ – La quantités élémentaires V (P, Σ/R0 )dm est la quantité de mouvement de l’élément de matière autour du point P et de masse dm −→ – Le moment cinétique σ est un champ de moment car Z Z Z −→ −→ −→ σ (A, Σ/R0 ) = AP ∧ V (P, Σ/R0 )dm Z Z ZP ∈Σ −→ −→ −→ = (AB + BP )∧ V (P, Σ/R0 )dm ZP ∈Σ Z Z Z Z Z −→ −→ −→ −→ = AB ∧ BP ∧ V (P, Σ/R0 )dm V (P, Σ/R0 )dm + −→ c P ∈Σ −→ P ∈Σ −→ = R (Σ/R)∧ BA + σ (B, Σ/R0 ) – Calcul de la résultante cinétique : On a la relation du centre de gravité −→ Z Z Z −→ m OG= OP dm Σ F. Ben Amar UVSQ - Licence SPI - Me111 - Cinétique 26 En dérivant cette relation par rapport au temps et dans le repère R0 , on obtient −→ " d OG m dt # R0 Z −→ d = OP dm dt P ∈Σ R0 Z d −→ OP dm = P ∈Σ dt R0 Z −→ = V (P, Σ/R0 )dm P ∈Σ On peut donc écrire −→ c −→ R (Σ/R0 ) = m V (G, Σ/R0 ) Donc, la résultante cinétique d’un système matériel est équivalente à la quantité de mouvement de la masse totale concentrée au centre de gravité du système matériel. – Remarque sur la dérivée particulaire d’une intégrale de volume, pour tout domaine D −→ du système matériel incompressible Σ c’est à dire div V = 0 Z Z Z Z Z Z Z Z Z −→ d df df f dv = + f div V dv = dv dt D D dt D dt 3.3 Torseur dynamique d’un système matériel ou torseur des quantités d’accélération Soit un système matériel (Σ) de masse m de centre d’inertie G en mouvement par rapport à un repère R0 . Définition : Le torseur dynamique, exprimé en un point A quelconque, de (Σ) dans son mouvement par rapport à un repère R0 est défini par {D(A, Σ/R0 } = −→ Z Z Z −→ d γ (P, Σ/R0 )dm R (Σ/R ) = 0 P ∈Σ Z Z Z −→ δ (A, Σ/R0 ) = P ∈Σ −→ −→ AP ∧ γ (P, Σ/R0 )dm A Remarques : −→ – La quantités élémentaires γ (P, Σ/R0 )dm est la quantité d’accélération de l’élément de matière autour du point P et de masse dm −→ – Le moment dynamique δ est un champ de moment −→ δ (A, Σ/R0 ) = −→ −→ −→ d δ (B, Σ/R0 )+ R (Σ/R0 )∧ BA – On montre de la même façon que pour la résultante cinétique −→ d −→ R (Σ/R0 ) = m γ (G, Σ/R0 ) Donc, la résultante dynamique d’un système matériel est équivalente à la quantité d’accélération de la masse totale concentrée au centre de gravité du système matériel. F. Ben Amar UVSQ - Licence SPI - Me111 - Cinétique 27 3.4 Relation entre moment cinétique et moment dynamique On part de l’équation qui définit le moment cinétique au point A et pour un système matériel Σ en mouvement par rapport à R0 Z Z Z −→ −→ −→ AP ∧ V (P, Σ/R0 )dm σ (A, Σ/R0 ) = P ∈Σ et on la dérive par rapport au temps et dans le repère R0 Z −→ −→ d d −→ σ (A, Σ/R0 ) = AP ∧ V (P, Σ/R0 )dm dt dt P ∈Σ R0 R Z −→ −→ d dm AP ∧ V (P, Σ/R0 ) = P ∈Σ dt R0 or −→ d −→ AP ∧ V (P, Σ/R0 ) dt = d −→ AP dt R0 d −→ ∧ V (P, Σ/R0 )+ AP ∧ V (P, Σ/R0 ) dt R0 R0 −→ −→ et d −→ AP dt = R0 = d −→ OP dt R0 −→ d −→ − OA dt R0 −→ V (P/R)− V (A/R0 ) avec O origine du repère R0 . Donc −→ −→ −→ d −→ AP ∧ V (P, Σ/R0 ) = − V (A/R0 )∧ V (P/R0 ) dt R0 La dérivée du moment cinétique peut donc s’écrire d −→ σ (A, Σ/R0 ) dt Z Z −→ −→ −→ AP ∧ γ (P/R0 )dm V (A/R0 )∧ V (P/R0 )dm + P ∈Σ P ∈Σ Z −→ −→ −→ = − V (A/R) ∧ V (P/R0 )dm+ δ (A, Σ/R0 ) = − R0 −→ −→ P ∈Σ −→ −→ = − V (A/R0 ) ∧ m V (G, Σ/R0 )+ δ (A, Σ/R0 ) Finalement, on a −→ −→ d −→ σ (A, Σ/R0 ) + m V (A/R0 )∧ V (G, Σ/R0 ) δ (A, Σ/R0 ) = dt R0 −→ −→ Remarque : Le point A est un point quelconque et V (A/R0 ) est la vitesse du point géométrique A. Cas particuliers : F. Ben Amar UVSQ - Licence SPI - Me111 - Cinétique 28 −→ −→ – A est un point fixe dans R0 , V (A/R) = 0 −→ d −→ σ (A, Σ/R0 ) δ (A, Σ/R0 ) = dt R0 – A est le centre de gravité de de Σ, A ≡ G −→ d −→ σ (G, Σ/R0 ) δ (G, Σ/R0 ) = dt R0 3.5 Moment cinétique d’un solide rigide Soit un solide (S), de masse m, de centre de gravité G, en mouvement par rapport à un −→ −→ −→ repère R0 . Soit A un point lié à (S) et R = (A, x , y , z ) lié à (S). Le moment cinétique au point A de S dans son mouvement par rapport à R0 s’écrit Z Z Z −→ −→ −→ AP ∧ V (P, S/R0 )dm σ (A, S/R0 ) = P ∈S or A, P ∈ S donc −→ −→ −→ −→ V (P, S/R0 ) = V (A, S/R0 )+ Ω (S/R0 )∧ AP donc Z −→ −→ σ (A, S/R0 ) = PZ∈S = Z −→ −→ −→ AP ∧ V (A, S/R0 )dm + AP ∧ Ω (S/R0 )∧ AP dm P ∈S Z −→ −→ −→ −→ −→ AP ∧ Ω (S/R0 )∧ AP dm AP dm ∧ V (A, S/R0 ) + P ∈S −→ −→ P ∈S −→ −→ = m AG ∧ V (A, S/R0 ) + I(A, S) Ω (S/R0 ) Z −→ −→ −→ −→ où I(A, S) Ω (S/R0 ) = AP ∧ Ω (S/R0 )∧ AP dm P ∈S I(A, S) est appelé opérateur d’inertie du solide (S) et exprimé au point A. Remarque : −→ – V (A, S/R0 ) est la vitesse du point matériel A lié au solide (S) −→ −→ – si A est un point fixe dans R0 alors V (A, S/R0 ) = 0 dans ce cas, −→ −→ σ (A, S/R0 ) = I(A, S) Ω (S/R0 ) – si A est le centre de gravité, A ≡ G alors −→ −→ σ (G, S/R0 ) = I(G, S) Ω (S/R0 ) F. Ben Amar UVSQ - Licence SPI - Me111 - Cinétique 29 3.5.1 Opérateur d’inertie d’un solide Définition : L’opérateur d’inertie de (S) en un point A est défini par l’équation Z −→ −→ −→ −→ I(A, S) u = AP ∧ u ∧ AP dm P ∈S on peut aussi écrire Z −→ −→ −→ −→ AP ∧ AP ∧ u dm I(A, S) u = − P ∈S on pose K −→ un opérateur linéaire tel que AP → −→ −→ K− AP −→ u −−−→AP ∧ u −→ −→ si AP = (x, y, z)t et u = (u1 , u2 , u3 )t dans le repère R lié à (S) yu3 − zu2 0 −z y u1 −→ −→ −→ 0 −x u2 = K −→ u AP ∧ u = zu1 − xu3 = z AP xu2 − yu1 −y x 0 u3 avec K −→ AP on a donc 0 −z y 0 −x = z −y x 0 −→ −→ −→ AP ∧ AP ∧ u = K −2→ u −→ AP avec K −2→ AP 0 −z y 0 0 −x z = z −y x 0 −y −(y 2 + z 2 ) xy yx −(z 2 + x2 ) = zx zy −z y 0 −x x 0 xz yz 2 2 −(x + y ) on obtient donc la matrice dite d’inertie définissant l’opérateur d’inertie d’un solide (S) en un point A A −F −E I(A, S) = − K −2→ dm = −F B −D AP S −E −D C Z avec Z 2 A= Z 2 (y + z )dm, B = S F. Ben Amar E= Z zxdm, S (x2 + y 2 )dm S Z yzdm, S Z 2 (z + x )dm, C = S Z D= 2 F = xydm S UVSQ - Licence SPI - Me111 - Cinétique 30 3.5.2 Moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe −→ Soit un axe ∆ = (A, u ), calculons la quantité −→ −→ I(S, ∆) = u . I(A, S) u −→ −→ u . I(A, S) u Z −→ −→ −→ u = . AP ∧ u ∧ AP dm P ∈S Z h −→ −→ −→i −→ u . − AP ∧ AP ∧ u = dm P ∈S Z −→ −→ u . −K −2→ u dm = AP ZP ∈S = −ut K −2→ udm AP ZP ∈S = (−ut K −→ )(K −→ u)dm AP AP ZP ∈S (ut K −t → )(K −→ u)dm = AP AP ZP ∈S (K −→ u)t (K −→ u)dm (car la matrice K −→ est antisymétrique) = AP AP AP ZP ∈S (K −→ u)2 dm = AP P ∈S Z −→ −→ = (AP ∧ u )2 dm −→ P ∈S si H est la projection de P si ∆, on −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ AP ∧ u = (AH + HP )∧ u =HP ∧ u −→ −→ donc |HP ∧ u |= r où r est la distance du point P à l’axe ∆. Donc F. Ben Amar UVSQ - Licence SPI - Me111 - Cinétique 31 Z I(S, ∆) = r2 dm P ∈S Cette quantité est appelé moment d’inertie du solide (S) par rapport à l’axe ∆. Remarque : Les termes A, B, C de la matrice d’inertie sont donc les moments d’inertie −→ −→ −→ par rapport aux axes (A, x ),(A, z ),(A, z ). −→ −→ −→ −→ −→ y y x x z z A = . I(A, S) , B = . I(A, S) , C = . I(A, S) −→ Les autres termes D, E, F sont appelés produit d’inertie. 3.5.3 Théorème de Koenigs pour l’opérateur d’inertie On a −→ Z I(A, S) u = −→ −→ −→ AP ∧ u ∧ AP dm P ∈S et on introduit le point G Z Z −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ I(A, S) u = AP ∧ u ∧ AG dm + AP ∧ u ∧ GP dm P ∈S PZ∈S −→ −→ −→ AP dm ∧ u ∧ AG = P ∈S Z Z −→ −→ −→ −→ −→ −→ GP ∧ u ∧ GP dm AG ∧ u ∧ GP dm + + P ∈S P ∈S −→ −→ −→ = m AG ∧ u ∧ AG Z −→ −→ −→ −→ + AG ∧ u ∧ GP dm + I(G, S) u P ∈S −→ −→ −→ −→ R −→ −→ u = I(G, S) +m AG ∧ u ∧ AG (car P ∈S GP dm = 0 ) ce qui permet d’écrire I(A, S) = I(G, S) + I(A, G, m) I(A, G, m) est l’opérateur d’inertie en A d’un solide (S) se réduisant au centre d’inertie G muni de la masse totale m de (S). 3.5.4 Théorème de Huyghens Le théorème de Koenigs permet d’écrire −→ −→ u .I(A, S) u F. Ben Amar = −→ −→ −→ −→ −→ u .I(G, S) u +m u . AG ∧ u ∧ AG −→ UVSQ - Licence SPI - Me111 - Cinétique 32 En utilisant la relation du double produit vectoriel −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ u . AG ∧ u ∧ AG = u . AG ∧ u ∧ HG −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ = u . (AG . HG) u −(AG . u ) HG 2 = HG = d2 Soit ∆G l’axe parallèle à ∆ et passant par G, on a donc I(S, ∆) = I(S, ∆G ) + md2 Enoncé du théorème de Huygens Le moment d’inertie par rapport à un axe est égale au moment d’inertie par rapport à un axe parallèle passant par le centre de gravité augmenté du moment d’inertie par rapport au premier axe de la masse totale placée au centre de gravité. 3.5.5 Base principale d’inertie Définition : L’opérateur d’inertie étant symétrique et positif, il existe une base orthonormée de vecteurs propres de cet opérateur appelée base principale d’inertie dans laquelle la matrice d’inertie est diagonale : A 0 0 I(A, S) = 0 B 0 0 0 C −→ −→ −→ Les axes (A, x ),(A, y ),(A, z ) sont appelés axes principaux d’inertie du solide (S) au point A. Les moments d’inertie A, B, C sont appelés moments d’inertie principaux. Propriétés : – Tout axe de symétrie matérielle est un axe principal d’inertie. Si (A, ~z) est un axe de symétrie matérielle alors (~z) est un vecteur propre de I(H, S) ∀H ∈ (A, ~z). – Tout axe perpendiculaire à un plan de symétrie matérielle est un axe principal d’inertie. Si (A, ~x, ~y ) est un plan de symétrie matérielle alors (~z) est un vecteur propre de I(H, S) ∀H ∈ (A, ~x, ~y ). F. Ben Amar UVSQ - Licence SPI - Me111 - Cinétique 33 3.5.6 Matrice d’inertie de quelques solides simples – Solide plan (A, ~x,R~y ), z ' 0 donc R R D = E = 0, C = S x2 + y 2 dm = S x2 dm + S y 2 dm = A + B – Solide de révolution d’axe base (~i, ~j, ~z)R est base principal d’inertie. R 2(A, ~z2), doncRtoute 2 D = E = F = 0, C = S x + y dm = S r dm,A = B = S z 2 dm + C/2, – Solide à symétrie sphérique : sphère pleine ou creuse. Toute base est principale. R R D = E = F = 0, A = B = C = 2/3 S x2 + y 2 + z 2 dm = 2/3 S r2 dm = 2/3I0 3.6 Energie cinétique Définition : L’énergie cinétique d’un système matériel (Σ) en mouvement par rapport à un repère R0 est défini par Z Z Z Ec (Σ/R0 ) = P ∈Σ 3.6.1 2 1 −→ V (P, Σ/R0 ) dm 2 Energie cinétique d’un solide rigide Soit un solide (S), de masse m, de centre de gravité G, en mouvement par rapport à un −→ −→ −→ repère R0 . Soit A un point lié à (S) et R = (A, x , y , z ) lié à (S). L’énergie cinétique de ce solide s’écrit aussi Z −→ −→ −→ −→ 1 Ec (S/R0 ) = V (P, S/R0 ). V (A, S/R0 )+ Ω (S/R0 )∧ AP dm 2 P ∈S Z −→ −→ 1 = V (P, S/R0 ). V (A, S/R0 )dm 2 P ∈S Z −→ −→ −→ 1 + (P, S/R ). (S/R )∧ AP dm V Ω 0 0 2 P ∈S Z −→ −→ 1 = V (P, S/R0 )dm . V (A, S/R0 )dm 2 PZ∈S −→ −→ −→ 1 + AP ∧ V (P, S/R0 )dm . Ω (S/R0 ) 2 P ∈S −→ −→ 1 −→ 1 −→ = m V (G, S/R0 ). V (A, S/R0 ) + σ (A, S/R0 ). Ω (S/R0 ) 2 2 Finalement, l’énergie cinétique peut se calculer à partir de la moitié du comoment des torseurs cinématique et cinétique pris au même point. 1 {V(A, S/R0 } o {C(A, S/R0 } 2( ) ( ) −→ −→ 1 m (G, S/R0 ) Ω (S/R0 ) = o −→ V −→ 2 σ (A, S/R0 ) V (A, S/R0 ) A Ec (S/R0 ) = A Si A ≡ G Ec (S/R0 ) = F. Ben Amar −→ 1 −→ 1 −→2 m V (G, S/R0 ) + σ (G, S/R0 ). Ω (S/R0 ) 2 2 UVSQ - Licence SPI - Me111 - Cinétique 34 Chapitre 4 Puissance - Travail - Fonction de force Liaisons 4.1 4.1.1 Puissance Puissance des efforts extérieures appliqués à un système matériel – Système discret : Un système matériel discret Σ occupant les positions Pi où s’ap−→ plique un ensemble de forces de l’extérieur F i (Σ̄ → Σ). La puissance développée par ses forces extérieurs appliqués au système Σ dans son mouvement par rapport au repère galiléen Rg X −→ −→ P(Σ̄ → Σ/Rg ) = F i . V (Pi /Rg ) i – Système continu : Soit Σ un système matériel continu soumis une densité d’effort −→ −→ volumique f v et une densité d’effort surfacique f s . La puissance des efforts extérieurs appliqués au système Σ dans son mouvement par rapport au repère galiléen Rg Z Z Z −→ P(Σ̄ → Σ/Rg ) = f v Z Z −→ f s −→ (P ). V (P/Rg )ds P ∈∂Σ P ∈Σ 4.1.2 −→ (P ). V (P/Rg )dv + Puissance des efforts extérieures appliqués à un solide rigide Dans un solide rigide, la vitesse en P s’écrit −→ −→ −→ −→ V (P, S/Rg ) = V (A, S/Rg )+ Ω (S/Rg )∧ AP −→ Calculons le premier terme de la puissance celui dû au forces volumiques f 35 v Z −→ f Z −→ v −→ f (P ). V (P, S/Rg )dv = ZP ∈S P ∈S = v −→ f −→ −→ −→ (P ).( V (A, S/Rg )+ Ω (S/Rg )∧ AP )dv −→ v (P ). V (A, S/Rg )dv P ∈S Z −→ −→ −→ (P ).( Ω (S/Rg )∧ AP )dv P ∈S Z −→ −→ f v (P )dv = V (A, S/Rg ). Z P ∈S −→ −→ −→ + Ω (S/Rg ). AP ∧ f v (P )dv + f v P ∈S −→ −→ Rv + Ω −→ −→ (S/Rg ). Mv (A) = V (A, S/Rg ). = Fv (S̄ → S) × {V(S/Rg )} de la même façon, pour les forces surfaciques Z Z −→ −→ −→ −→ f s (P )ds f s (P ). V (P, S/Rg )ds = V (A, S/Rg ). P ∈∂S P ∈∂S Z −→ −→ −→ AP ∧ f s (P )ds + Ω (S/Rg ). −→ P ∈∂S −→ −→ Rs + Ω −→ (S/Rg ). Ms (A) = V (A, S/Rg ). = Fs (S̄ → S) × {V(S/Rg )} Finalement, la puissance totale de actions extérieures sur un solide rigide peut s’écrire P(S̄ → S/Rg ) = Fv (S̄ → S) × {V(S/Rg )} + Fs (S̄ → S) × {V(S/Rg )} = Fv (S̄ → S) + Fs (S̄ → S) × {V(S/Rg )} = F(S̄ → S) × {V(S/Rg )} Finalement, la puissance totale de actions extérieures sur un solide rigide peut se mettre sous la forme d’un produit du torseur du torseur résultant de tous les efforts extérieurs (à distance et de contact) et du torseur cinématique (bien sûr exprimés au même point). 4.1.3 Puissance des actions mutuelles entre deux solides Considérons deux solides S1 , S2 en mouvement par rapport au repère Rg et désignons par {FS1 →S2 } le torseur des efforts exercés par S1 sur S2 . On a d’après le théorème de l’action et de la réaction : {FS1 →S2 } = − {FS2 →S1 } Calculons les puissances P(S1 → S2 /Rg ) et P(S2 → S1 /Rg ). P(S1 → S2 /Rg ) = {F(S1 → S2 )} × {V(S2 /Rg )} ) ( −→ ) ( −→ R (S1 → S2 ) Ω (S2 /Rg ) = × −→ −→ M (A, S1 → S2 ) V (A ∈ S2 /Rg ) F. Ben Amar UVSQ - Licence SPI - Me111 - Puissance 36 P(S2 → S1 /Rg ) = {F(S2 → S1 )} × {V(S1 /Rg )} ) ) ( −→ ( −→ Ω (S1 /Rg ) R (S2 → S1 ) × = −→ −→ V (A ∈ S1 /Rg ) M (A, S2 → S1 ) ( −→ ) ( −→ ) R (S → S2 ) Ω (S1 /Rg ) = − −→ 1 × −→ M (A, S1 → S2 ) V (A ∈ S1 /Rg ) La puissance des efforts des actions mutuelles entre S1 et S2 est la somme des deux puissances P(S1 ↔ S2 ) = P(S1 → S2 /Rg ) + P(S2 → S1 /Rg ) ) ( −→ ) ( −→ −→ R (S1 → S2 ) Ω (S2 /Rg )− Ω (S1 /Rg ) = × −→ −→ −→ V (A ∈ S2 /Rg )− V (A ∈ S1 /Rg ) M (A, S1 → S2 ) ) ) ( −→ ( −→ Ω (S2 /S1 ) R (S1 → S1 ) × = −→ −→ V (A ∈ S2 /S1 ) M (A, S1 → S2 ) = {F(S1 → S2 )} × {V(S2 /S1 )} = {F(S2 → S1 )} × {V(S1 /S2 )} Théorème : La puissance des actions mutuelles entre deux solides ne dépend que du mouvement relatif entre les 2 solides. 4.2 Coefficients énergétiques associés à des efforts extérieurs On considère un système de p solide Σ = ∪pj=1 Sj , dont le mouvement par rapport à un repère galiléen Rg est paramétré par l’ensemble qi (i = 1, ..., n). 4.2.1 Pour un solide On considère un ensemble d’efforts extérieurs E s’appliquant sur Sj (E 6= S̄j mais E ⊂ S̄j ), qu’on note {F(E → Sj )}. Le coefficient énergétique relatif au paramètre qi pour ces efforts, dans le mouvement de Sj par rapport à Rg est par définition : Qqi (E → Sj /Rg ) = {F(E → Sj )} × {Vqi (Sj /Rg )} {Vqi (Sj /Rg )} étant le torseur de Lagrange associé au paramètre qi . Ou encore il suffit d’extraire dans la puissance développé par ces efforts donnée par l’équation P(E → Sj /Rg ) = Qt (E → Sj /Rg ) + n X Qqi (E → Sj /Rg )q̇i i=1 les termes facteurs de q̇i , vue que : P(E → Sj /Rg ) = {F(E → Sj )} × {V(Sj /Rg )} = {F(E → Sj )} × {Vt (Sj /Rg )} + n X ! {Vqi (Sj /Rg )} q̇i i=1 F. Ben Amar UVSQ - Licence SPI - Me111 - Puissance 37 4.2.2 Pour un système de solides De même, si on considère un ensemble d’efforts extérieur E s’appliquant sur le système de solide Σ (E 6= Σ̄ mais E ⊂ Σ̄), qu’on note {F(E → Σ)}, le coefficient énergétique relatif au paramètre qi pour ces efforts, dans le mouvement de Σ par rapport à Rg est par définition : Qqi (E → Σ/Rg ) = p X {F(E → Sj )} × {Vqi (Sj /Rg )} j=1 p = X Qqi (E → Sj /Rg ) j=1 4.2.3 Travail développé par les efforts extérieurs Le travail développé , entre les instants t1 et t2 , par un ensemble d’efforts extérieur E s’appliquant sur le système de solides Σ qu’on note {F(E → Σ)} est par définition : W (E → Σ/Rg )tt21 Z t2 P(E → Σ/Rg )dt = t1 Z t2 = t1 j=1 P(E → Sj /Rg )dt j=1 p Z X = 4.3 p X t2 P(E → Sj /Rg )dt t1 Liaisons cinématiques Définition : On donne le nom de liaison à tout dispositif permettant de restreindre le mouvement d’un corps ou d’un système. 4.3.1 Liaison parfaite Une liaison est dite parfaite si la puissance des actions mutuelles soit nulle quelque soit le mouvement permis par la liaison. P(S1 ↔ S2 ) = {V(S2 /S1 )} × {F(S1 → S2 )} = 0 ∀ {V(S2 /S1 )} permis par la liaison soit ( {V(S2 /S1 )} = −→ −→ −→ Ωx x +Ωy y +Ωz z −→ −→ −→ Vx x +Vy y +Vz z ) A et ( {F(S1 → S2 )} = F. Ben Amar −→ −→ −→ Rx x +Ry y +Rz z −→ −→ −→ Mx x +My y +Mz z ) A UVSQ - Licence SPI - Me111 - Puissance 38 donc la puissance s’exprime P(S1 ↔ S2 ) = Fx Vx + Fy Vy + Fz Vz + Mx Ωx + My Ωy + Mz Ωz = 0 ∀ {V(S2 /S1 )} permis par la liaison Donc, si un mouvement (de translation ou de rotation) est permis suivant une direction alors l’effort correspondant (respectivement la force ou le moment) suivant cette direction est nulle. 4.3.2 Liaison sans frottement Définition : Une liaison entre deux solides est dite sans frottement si l’effort en tout point de contact entre les deux solides est entièrement porté par la normale au contact c.à.d que la composante tangentielle dite de frottement doit être nulle. −→ Conséquence : Soit df S1 →S2 l’effort sur un élément de surface du contact autour du point P et entre les deux solides S1 et S2 . Si il n’y a pas de frottement ce vecteur est parallèle au −→ −→ vecteur n normal au plan tangent du contact. Le vecteur V (P ∈ S2 /S1 ) est le vecteur −→ glissement entre les deux corps, ce vecteur est dans le plan tangent donc normal à n . Donc −→ −→ la puissance de l’action de contact en P obtenu à partir de df S1 →S2 . V (P ∈ S2 /S1 ) = 0 en tout point P du contact. Théorème : Toute liaison sans frottement est parfaite (l’inverse n’est pas toujours vrai). 4.3.3 Loi de frottement de Coulomb −→ Dans le cas de deux solides S1 et S2 en contact en un point I. On définit n 12 le vecteur normal au plan tangent au contact en I (dans le cas de surfaces régulières) dirigé de S1 −→ vers S2 . Soit R (S1 → S2 ) la force qu’exerce (S1 → S2 ) en I. Cette force se décompose : −→ −→ −→ 12 R (S1 → S2 ) = N12 n 12 + T −→ N est la composante normale et T est la composante tangentielle dite de frottement. F. Ben Amar UVSQ - Licence SPI - Me111 - Puissance 39 La condition de contact unilatéral est N12 > 0 La loi de frottement de Coulomb exprime des conditions sur la force de frottement en fonction de l’état de glissement du contact. −→ −→ – Cas d’un contact sans glissement : V (I, S2 /S1 ) = 0 : dans ce cas −→ 12 ||< || T f N12 f est une constante, qui dépend que des matériaux de S1 et S2 , appelé coefficient de frottement −→ −→ – Cas d’un contact avec glissement : V (I, S2 /S1 ) 6= 0 : dans ce cas −→ 12 ||= || T avec et −→ T 12 −→ f N12 −→ ∧ V (I, S2 /S1 ) = 0 −→ T 12 −→ . V (I, S2 /S1 ) < 0 Ces équations traduisent le fait que la force de frottement ne peut dépasser une certaine valeur qui est proportionnelle à la force normale, qu’elle est colinéaire et opposée à la vitesse de glissement. On pose f = tan ϕ, ϕ est appelé angle de frottement. F. Ben Amar UVSQ - Licence SPI - Me111 - Puissance 40 4.3.4 Exemple de valeurs de coefficients de frottement Matériaux en contact Acier / Acier Acier / Bronze Acier / Antifriction Acier / Nylon Acier / Téflon Acier / Caoutchouc Fonte / Fonte Fonte / Ferrodo Caoutchouc / Bitume F. Ben Amar Nature du frottement à sec lubrifié 0,15 à 0,20 0,10 0,15 0,10 0,05 0,02 à 0,10 0,05 à 0,15 0,25 à 0,45 0,15 0,10 0,20 à 0,50 0,6 à 0,8 0,2 à 0,4 Exemples d’utilisation Variateurs à friction Engrenages à roue et vis sans fin Paliers lisses Courroies Freins, embrayages Pneu UVSQ - Licence SPI - Me111 - Puissance 41 Chapitre 5 Dynamique : Théorèmes Généraux 5.1 Principe des Puissances virtuelles On considère un système matériel Σ. On note Σ̄ le complémentaire de Σ dans l’univers. −→ Le système est soumis à une densité d’efforts volumique (à distance) fv (Σ̄ → Σ) et une −→ densité d’effort surfacique (de contact) fs (Σ̄ → Σ). Le principe des puissances virtuelles s’énonce comme suit : −→∗ Il existe au moins un référentiel galiléen Rg tel que pour pour tout champ vectoriel V , on a tout instant : Z −→∗ −→ γ (P/Rg ). V Z −→ −→∗ fv (Σ̄ → Σ). V (P )dm = Z −→∗ (P )ds ∂Σ Σ Σ −→ fs (Σ̄ → Σ). V (P )dv + +Pefforts intérieurs −→∗ Quand V est un champ de torseur (ou champ rigidifiant) la puissance des efforts intérieurs est nul (voir cours de MMC ou Mécanique des Milieux Continus). 5.2 Principe Fondamental de la Dynamique −→∗ On choisi V comme étant un champ de moment ou un champ d’un torseur {V}∗ et on applique de PPV système matériel Σ : {D(Σ/Rg )} × {V ∗ } = Fv (Σ̄ → Σ) × {V ∗ } + Fs (Σ̄ → Σ) × {V ∗ } qui doit être vrai pour tout torseur {V}∗ , donc {D(Σ/Rg )} = F(Σ̄ → Σ) D’où les 2 théorèmes : – Théorème de la résultante dynamique (ou du centre d’inertie) −→ −→ m(Σ) γ (GΣ /Rg ) = R (Σ̄ → Σ) – Théorème du moment dynamique −→ −→ δ (A, Σ/Rg ) = M (A, Σ̄ → Σ) 42 5.3 Equations mouvement Soit un système matériel Σ en mouvement par rapport à un repère galiléen Rg , la position de de Σ dépend de n paramètres qi (t) (i = 1...n). Les 2 équations vectorielles énoncées précédemment, donnent par projection sur direction donnée une équation scalaire qui est une équation différentielle du 2nd ordre non linéiare en général et dans laquelle interviennent – les paramètres qi (t) – leurs dérivées première et seconde q̇i (t), q̈i (t) – les données du problème : de géométrie (longueurs), d’inertie (masse, moment d’inertie), d’effort connu (poids, couple moteur) – les composantes inconnues des efforts extérieures (composantes des forces dans les liaisons) Définition : Une équation de mouvement est une équation scalaire différentielle du second ordre obtenue par application des théorèmes généraux et dans laquelle ne figure aucune composante inconnue des efforts extérieures. L’intégration des n équations différentielles de mouvement et la connaissance des conditions initiales de positions qi (t0 ) et de vitesses q̇i (t0 ). Définition : Si cette équation est intégrable par rapport au temps, elle est dite intégrale première. 5.4 5.4.1 Théorème de l’énergie cinétique Cas d’un solide Soit un solide (S) en mouvement par rapport à un repère galiliéen Rg . Le principe fondamental de la dynamique appliqué à (S) s’écrit : {D(S/Rg )} = F(S̄ → S) Multiplions cette équation par le torseur cinématique {V(S/Rg )} {D(S/Rg )} × {V(S/Rg )} = F(S̄ → S) × {V(S/Rg )} Le second membre de cette équation est la puissance des forces extérieures appliquées à S dans son mouvement par rapport à Rg . Calculons le premier membre en prenons un point quelconque A : {D(S/Rg )} × {V(S/Rg )} = −→d −→ −→ −→ R (S/Rg ). V (A, S/Rg )+ δ (A, S/Rg ). Ω (S/Rg ) Z −→ −→ γ (P, Σ/R0 )dm = V (A, S/Rg ). P ∈Σ Z −→ −→ −→ + Ω (S/Rg ). AP ∧ γ (P, Σ/R0 )dm P ∈Σ Z −→ −→ = V (A, S/Rg ). γ (P, Σ/R0 )dm P ∈Σ Z −→ −→ −→ γ (S/R ). AP ∧ (P, Σ/R ) dm + Ω g 0 P ∈Σ on peut écrire, en utilisant la relation de transport des vitesses entre le point A et P F. Ben Amar UVSQ - Licence SPI - Me111 - Théorèmes Généraux de la dynamique 43 Z −→ Z −→ V (A, S/Rg ). γ (P, Σ/R0 )dm = P ∈Σ −→ −→ −→ (S/R )∧ P A (P, S/R )+ Ω V g g P ∈Σ −→ . γ (P, Σ/R0 )dm Z −→ −→ = V (P, S/Rg ). γ (P, Σ/R0 )dm P ∈Σ Z −→ −→ −→ γ (P, S/Rg ). AP ∧ Ω (S/Rg ) + Z P ∈Σ −→ −→ = V (P, S/Rg ). γ (P, Σ/R0 )dm P ∈Σ Z −→ −→ −→ − Ω (S/Rg ). AP ∧ γ (P, S/Rg ) P ∈Σ donc Z −→ −→ V (P, S/Rg ). γ (P, Σ/R0 )dm {D(S/Rg )} × {V(S/Rg )} = P ∈Σ or d −→ γ (P, S/Rg ) = V (P, S/Rg ) dt −→ donc Z P ∈Σ Rg d −→ dm V (P, S/Rg ). V (P, S/Rg ). γ (P, Σ/R0 )dm = V (P, S/Rg ) dt P ∈Σ Rg Z d 1 −→2 = V (P, S/Rg )dm dt P ∈Σ 2 d (EC ) = dt −→ −→ Z −→ Théorème de l’énergie cinétique pour un solide : Dans le mouvement d’un solide par rapport à un repère galiléen, la dérivée par rapport au temps de l’énergie cinétique est égale à la puissance des actions extérieures appliquées au solide. 5.4.2 Cas d’un système de solides Soit un système de solide Σ composé de p solide Si . On applique le théorème de l’énergie cinétique à chaque solide Si d (EC (Si /Rg )) = P(S̄i → Si ) dt en faisant la somme membre à membre des p relations obtenues, on obtient p X d X (EC (Si /Rg )) = P(S̄i → Si ) dt i=1 i F. Ben Amar UVSQ - Licence SPI - Me111 - Théorèmes Généraux de la dynamique 44 Le premier membre représente la dérivée de l’énergie cinétique totale de tout le système. Le second membre est la somme de toutes les puissances des efforts extérieurs appliqués à chaque corps Si . Ces efforts incluent ceux des actions mutuelles entre les différents solides et ceux des actions extérieures à Σ. X d (EC (Σ/Rg )) = P(Σ̄ → Σ) + P(Si → Sj ) dt (i,j) p = P(Σ̄ → Σ) + X P(Si ←→ Sj ) i=1,j>i Théorème de l’énergie cinétique pour un système de solides : Dans le mouvement d’un système de solide par rapport à un repère galiléen, la dérivée par rapport au temps de l’énergie cinétique totale du système est égale à la puissance des actions extérieures appliquées au système plus celle des actions mutuelles entre les éléments du système. 5.5 Champ de force et énergie potentielle −→ Considérons un champ de forces de densité massique f (P ) s’exerçant sur un système matériel Σ. On a vu que la puissance de ces efforts s’exprime Z −→ −→ −→ P( f → Σ/Rg ) = f (P ). V (P, Σ/Rg )dm P ∈Σ −→ Définition : Le champ de force de densité f (P ) dérive d’une fonction de forces U (q1 (t), ..., qn (t), t) si n −→ dU ∂U X ∂U P( f → Σ/Rg ) = = + q̇i dt ∂t ∂qi i=1 Donc, le coefficient énergétique relatif au paramètre qi s’écrit −→ Qqi ( f → Σ/Rg ) = ∂U ∂qi La fonction Ep = −U est appelée énergie potentielle. Exemple : Energie potentielle de pesanteur −→ Soit G le centre de gravité d’un solide S et z 0 une vecteur dirigé suivant la verticale ascendante. F. Ben Amar UVSQ - Licence SPI - Me111 - Théorèmes Généraux de la dynamique 45 Ppesanteur = P(pesanteur → S/R0 ) o n = Fpesanteur × {V(S/R0 )} ( ) ( −→ ) −→ z −mg 0 Ω (S/R0 ) = × −→ −→ 0 V (G, S/R0 ) G −→ 0 = −mg z −→ . V (G, S/R0 ) d −→ −→ = −mg z 0 . OG dt R0 −→ d −→ = −mg z 0 . OG dt d = (−mgzG ) dt −→ −→ où zG = z 0 . OG est la cote suivant la verticale du point G. Par conséquent, il existe pour les champ de force de la pesanteur – une fonction de force U = −mgzG – une énergie potentielle Ep = mgzG 5.6 Intégrale première de l’énergie cinétique On considère le cas où un solide ou un système soumis à : – des actions de telle sorte que leurs puissances soient nulles (exemple des liaisons parfaites) – et à des actions dérivant d’une fonction de force ou d’un champ de potentielle Le théorème de l’énergie cinétique appliqué au solide ou au système donne −dEp dEc = dt dt Donc, on peut écrire Ec + Ep = Cte Cette équation s’appelle l’intégrale première de l’énergie cinétique. Le système est dit conservatif. La constante est donnée par les conditions initiales en position et en vitesse. F. Ben Amar UVSQ - Licence SPI - Me111 - Théorèmes Généraux de la dynamique 46 Chapitre 6 Dynamique : Equations de Lagrange Soit un système matériel Σ = ∪pi=1 Sj en mouvement par rapport à un repère galiléen Rg , dont les paramètres sont qi (i = 1, ..., n)et la variable t. Les variables (t, qi , q̇i ) sont considérées comme indépendantes. 6.1 Equations de Lagrange pour un solide −→∗ On applique le PPV, en prenant comme champ V , le champ du torseur de Lagrange {Vqi (Sj /R)} associé au paramètre qi , donc −→∗ V −→ ∂ V (P/R) (P ) = ∂ q̇i −→ ∂ P = ∂qi Z Sj −→ ∂ γ (P/Rg ). P dm = ∂qi −→ Z −→ −→ ∂ V (P/Rg ) fv (S̄j → Sj ). dv ∂ q̇i Sj Z + ∂Sj −→ −→ ∂ V (P/Rg ) fs (S̄j → Sj ). ds ∂ q̇i or d’après la formule cinématique de Lagrange Z Sj d dt ∂ ∂ q̇i ∂ − ∂qi h i2 1 −→ V (P/Rg ) dm = {Fv (S̄j → Sj )} × {Vqi (Sj /Rg )} 2 +{Fs (S̄j → Sj )} × {Vqi (Sj /Rg )} soit d dt ∂Ec (Sj /Rg ) ∂ q̇i − ∂Ec (Sj /Rg ) = Qqi (S̄j → Sj /Rg ) ∂qi C’est l’équation de Lagrange relative au paramètre qi , notée Lqi (Sj /Rg ), il y a autant d’équations de Lagrange que de paramètres. Le terme de gauche dans cette équation peut être noté Dqi (Sj /Rg ), c’est à dire coefficient énergétique relatif au paramètre qi des quantités d’accélération. 47 6.2 Equations de Lagrange pour un système de solides Si on fait la somme P des équations de Lagrange, relatif au paramètre qi , appliqués à chacun des corps Sj ( pj=1 Lqi (Sj /Rg )), on obtient d dt ∂Ec (Σ/Rg ) ∂ q̇i p ∂Ec (Σ/Rg ) X {F(S̄j → Sj )} × {Vqi (Sj /Rg )} − = ∂qi j=1 Parmi les efforts extérieurs appliqués à Sj , il y a les efforts extérieurs au système Σ et les efforts appliqués par les corps Sh (h 6= j), autrement dit {F(S̄j → Sj )} = {F(Σ̄ → Sj )} + h6=j X {F(Sh → Sj )} h=1 D’où finalement, l’équation de Lagrange relative au paramètre qi , Lqi (Σ/Rg ), p X ∂Ec (Σ/Rg ) d ∂Ec (Σ/Rg ) {F(Σ̄ → Sj )} × {Vqi (Sj /Rg )} − = dt ∂ q̇i ∂qi j=1 p X + {F(Sh → Sj )} × {Vqi (Sj /Sh )} j,h=1,h>j = p X j=1 Qqi (Σ̄ → Sj /Rg ) + p X Qqi (Sh ←→ Sj ) j,h=1,h>j Pp le coefficient énergétique relatif au paramètre qi des j=1 Qqi (Σ̄ → Sj /Rg ) représente P efforts extérieurs à Σ et pj,h=1,h>j Qqi (Sh ←→ Sj ) représente le coefficient énergétique relatif au paramètre qi des inter-efforts entre les solides de Σ. 6.3 Un cas particulier Si – toutes les liaisons géométriques intérieures et extérieures à Σ sont parfaites. −→ – tous les efforts f , autres que dans les liaisons géométriques, dérivent d’une fonction de force U , on a donc : −→ ∂U Qqi ( f → Σ/Rg ) = (q) ∂qi ne dépend que de (q1 , ..., qn , t). On pose L = Ec + U = Ec − Ep , appelé le Lagrangien, l’équation de Lagrange devient : d ∂L ∂L − = 0 dt ∂ q̇i ∂qi 6.4 Equations de Lagrange avec multiplicateurs (pour information) Ce paragraphe est utile si le paramétrage utilisé est dépendant (dit aussi non strict ou non minimal). Il peut exister, même souvent, des équations de contraintes entre les paramètres. F. Ben Amar UVSQ - Licence SPI - Me111 - Equations de Lagrange 48 Elles sont en général soit – de la forme f (q, t) = 0, elles sont alors dites holonomes – ou de la forme g(q, q̇, t) = 0, et sont donc non-holonomes Dans beaucoup de cas (et après dérivation des équations holonomes), elles peuvent se mettre sous la forme : n X aji (q, t)q̇i = 0 1 avec j = 1, ..., m, m désigne de nombre d’équations de contraintes entre les n paramètres (nécessairement m < n). −→∗ Prenons comme champ V −→∗ V −→ n X ∂ P ∗ q̇i (P ) = ∂q i i=1 −→ n X ∂ V (P/Rg ) ∗ = q̇i ∂ q̇ i i=1 −→∗ où q̇ ∗ est un vecteur quelconque, définit le champ de vitesse virtuel V . L’application du PPV donne " p n n X X X d ∂Ec (Σ/Rg ) ∂Ec (Σ/Rg ) ∗ − q̇i = Qqi (Σ̄ → Sj /Rg ) dt ∂ q̇i ∂qi i=1 i=1 j=1 p X + # Qqi (Sh ←→ Sj ) q̇i∗ j,h=1,h>j On obtient donc une combinaison linéaire des équations de Lagrange (comme définies dans la section 2). Cette dernière équation peut se mettre sous la forme n X Li q̇i∗ = 0 i=1 ∗ Prenons, en particulier, q̇ vérifiant les équations n X aji (q, t)q̇i∗ = 0 j = 1, ..., m i=1 c’est à dire compatible avec les contraintes du système. Soit le vecteur de Rn L = (L1 , ..., Ln ). On considère également les m vecteurs de Rn , xj = (aj1 , ..., ajn ) (j = 1, ..., m). Ces deux dernières équations traduisent que les vecteurs xj sont tous orthogonaux à q̇ ∗ , le vecteur L aussi. Donc, ce dernier appartient au sousespace défini par les xj , donc s’écrit L= m X λ j xj j=1 ou encore Li = m X λj aji j=1 F. Ben Amar UVSQ - Licence SPI - Me111 - Equations de Lagrange 49 enfin les équations de Lagrange avec multiplicateurs s’écrivent p X d ∂Ec (Σ/Rg ) ∂Ec (Σ/Rg ) − = Qqi (Σ̄ → Sj /Rg ) dt ∂ q̇i ∂qi j=1 + p X j,h=1,h>j Qqi (Sh ←→ Sj ) + m X λj aji j=1 Les λj sont appelés multiplicateurs de Lagrange, et représentent les efforts dans les liaisons où sont exprimées les contraintes entre les paramètres qi . F. Ben Amar UVSQ - Licence SPI - Me111 - Equations de Lagrange 50 Chapitre 7 Dynamique : Stabilité des équilibres & Linéarisation 7.1 Equilibre Soit un système matériel Σ = ∪pi=1 Sj en mouvement par rapport à un repère galiléen Rg , dont les paramètres sont qi (i = 1, ..., n) et la variable t. Le mouvement du système est défini par n équations différentielles du second ordre. 7.1.1 Equilibre pour un paramètre On dit qu’il y a équilibre pour le paramètre qj , s’il existe des conditions initiales : qi (t0 ) = qi0 , q̇i (t0 ) = q̇i0 pour tout i 6= j et qj (t0 ) = qje , q̇j (t0 ) = 0 telles que les équations de mouvement conduisent à la solution qj (t) = qje ∀t 7.1.2 Equilibre paramétrique On dit qu’il y a équilibre paramétrique quand il y a équilibre pour tous les paramètres qi , c’est à dire s’il existe des conditions initiales : qi (t0 ) = qie , ∀i q̇i (t0 ) = 0 telles que les équations de mouvement conduisent à la solution qi (t) = qie , ∀i ∀t. Pour déterminer les équilibres paramétriques, il suffit de remplacer q̇i (t) et q̈i (t) par 0 dans le système d’équations différentielles. On obtient alors un système à n équations et n inconnues q1 , ..., qn qui peut admettre une ou plusieurs solutions. Questions : Parmi les éventuels positions d’équilibre, existe t-il des positions stables ? Que se passe t-il quand le système est légérement décalé de ces positions ? 7.2 Stabilité d’un équilibre paramétrique Définition L’état d’équilibre paramétrique qe = (q1e , ..., qne ) est dit stable si et seulement si : ∀ε > 0 et µ > 0 ∃η > 0 et ν > 0 tels que pour toutes les conditions initiales qi (t0 ) = qi0 , q̇i (t0 ) = q̇i0 vérifiant | qi (t0 ) − qie |< η et | q̇i0 |< η on ait ∀t > t0 , | qi (t) − qie |< ε et | q̇i (t) |< µ. 51 Si ε et µ sont petits, la stabilité est dite conditionnelle, et s’ils sont infinis la stabilité est dite globale. Autrement dit un équilibre est dit stable si le système étant dans des conditions initiales "voisines" de l’équilibre, la trajectoire du système reste dans un voisinage de la position d’équilibre. Théorème de Lejeune-Dirichlet Soit un système matériel Σ = ∪pi=1 Sj en mouvement par rapport à un repère galiléen Rg , dont les paramètres sont qi (i = 1, ..., n) et la variable t. Toutes les liaisons géométriques entre les Sj et entre Σ et Σ̄ sont parfaites. Tous les efforts (inter-efforts compris) autres que les efforts de liaisons, dérivent d’un potentiel Ep . Enoncé : Avec ces hypothèses, si pour une position d’équilibre qe le potentiel est un minimum strict alors qe est une position d’équilibre stable. Commentaires : – Le théorème de Lejeune-Dirichlet fournit une condition suffisante (et non nécessaire) de la stabilité de l’équilibre. – Le potentiel fait intervenir tous les efforts extérieurs et intérieurs (pesanteur, ressort,...). Une condition nécessaire et suffisante pour que Ep soit en qe , minimum local strict, est que la matrice dite de rigidité 2 ∂ Ep (qe ) Kij = ∂qi ∂qj associée à la forme bilinéaire de la dérivée seconde δ 2 Ep soit définie positive. Remarques : – Si toutes les valeurs propres de [K] sont strictement positives alors la matrice est définie positive et donc l’équilibre est stable. – Si elle n’est pas définie positive (valeurs propres >0 et d’autres <0) alors Ep n’est pas un minimum strict et il est possible de démontrer que l’équilibre est instable. – Si certaines valeurs propres sont nulles, il faut considérer les dérivés d’ordre supérieur F. Ben Amar UVSQ - Licence SPI - Me111 - Stabilité des équilibres & Linéarisation 52 – Le théorème de Lejeune-Dirchlet ne nécessite l’écriture des équations de mouvement, seul l’énergie potentiel suffit et la matrice de rigidité. – Le théorème ne donne aucune indication sur les trajectoires du système écarté de sa position d’équilibre. D’où l’intérêt de la linéarisation présentée ci-après. 7.3 Linéarisation Dans le cas général, il est difficile de trouver une solution analytique au système d’équations différentielles obtenu. Aussi utilise t’on une méthode approchée. On procède à une linéarisation au premier ordre du système d’équations différentielles obtenu afin de pouvoir le résoudre. Supposons qu’à l’instant t0 on connaisse les paramètres du mouvement, on note q(to ) le vecteur dont les composantes sont les n paramètres du mouvement à l’instant to et q(t) le vecteur dont les composantes sont les n paramètres du mouvement à l’instant t. On note ε la variation infinitésimale des paramètres du mouvements correspondant à une variation infinitésimale du temps dt, autour du point (to , q(to )) : q(t) = q(t0 + dt) = q(t0 ) + ε alors F. Ben Amar UVSQ - Licence SPI - Me111 - Stabilité des équilibres & Linéarisation 53 dq dε = dt dt et d2 q d2 ε = dt2 dt2 On suppose pour la linéarisation que ε est très petit et on suppose également que les dérivées successives par rapport au temps de ε restent aussi très petites. Dans le cas général, le système formé par les n équations de Lagrange s’écrit donc après linéarisation M (t, q0 ) d2 ε dε + K(t, q0 )ε = F (t, q0 ) + C(t, q ) 0 dt2 dt Stabilité du système différentiel homogène On considère donc le cas où F (t, q0 ) = 0, le système s’écrit M ε̈ + C ε̇ + Kε = 0 L’ensemble des solutions est de la forme ε = rest , avec r représente les conditions initiales sur ε et ω solution (dans l’espace complexe) de l’équation caractéristique det(M s2 + Cs + K) = 0 Alors 3 éventualités se présentent pour la stabilité de la solution = 0 – Si toutes les racines de l’équation caractéristique sont à partie réelle négative alors la solution est stable, s = a + ib avec a < 0 et b quelconque ε = eat cos(bt) F. Ben Amar UVSQ - Licence SPI - Me111 - Stabilité des équilibres & Linéarisation 54 – Si une des racines de l’équation caractéristique est à partie réelle positive alors la solution est instable, s = a + ib avec a > 0 et b quelconque ε = eat cos(bt) – Si les racines sont des imaginaires purs, alors la solution est périodique. s = ib b quelconque ε = cos(bt) L’autre cas (F non nul) sera abordé d’une façon bien approfondi en Master1 en cours de vibrations. F. Ben Amar UVSQ - Licence SPI - Me111 - Stabilité des équilibres & Linéarisation 55