ENSISA 2013-2014 Signaux aléatoires Travaux dirigés

ENSISA
2013-2014
Signaux aléatoires
Travaux dirigés
Exercice 1
Soient A et B deux variables aléatoires réelles indépendantes , ayant pour loi la loi normale centrée
réduite N (0, 1), et µ un réel non nul. On définit trois processus par :
Xt = A cos(µt),
Yt = B sin(µt)
et
Zt = Xt + Yt .
Calculer la moyenne et la covariance des ces processus. Sont-ils stationnaires ?
Exercice 2
Soient A et B deux variables aléatoires complexes centrées. On définit trois signaux aléatoires
Xt = A exp{iλt},
Yt = B exp{iµt}
et
Zt = Xt + Yt ,
où λ et µ sont des réels distincts.
1. Montrer que les signaux X et Y sont stationnaires.
2. On suppose que λ = 0 et µ = 1, et que A = B, A suivant une loi N (0, 1). Montrer que le signal Z n’est
pas stationnaire.
3. Montrer que si E(AB) = 0 le signal Z est stationnaire. On suppose que cette condition est satisfaite
dans la suite.
4. Calculer la fonction de corrélation γ du signal.
Exercice 3
Soit A et θ des variables aléatoires réelles indépendantes, A suivant la loi N (0, 1) et θ la loi uniforme sur
l’intervalle [0, 2π], notée U0,2π .
1. Calculer la moyenne et la covariance du processus Xt = A cos[2πat + θ], où a est un réel. Le processus
est-il stationnaire ?
2. Montrer que le signal Yt = cos[2πat+θ] est stationnaire et ergodique. Calculer sa puissance et déterminer
son spectre de puissance.
Exercice 4
1. Soient f1 , ..., fn des applications de R dans R nulles en dehors d’un intervalle [−N, N ], où N ∈ N∗+ .
Montrer que
+∞
Z+∞
n Z
Y
(f1 ∗ ... ∗ fn )(x)dx =
fi (x)dx.
−∞
i=1−∞
2. On pose g(x) = 1 − |t| 1[−1,1] (t), et h = g ∗ g ∗ g. Montrer que h est une densité de probabilité.
3. On considère une variable aléatoire réelle A de densité 1[0,1] , et une variable aléatoire réelle B de densité
h. On définit un signal aléatoire X par
∀t ∈ R
Xt = exp{2iπ(A + tB)}.
Montrer que le signal X est stationnaire.
4. Déterminer la fonction de corrélation et la densité spectrale du signal.
Exercice 5
Soit X = (Xt )t∈R un signal aléatoire stationnaire de fonction de corrélation γX ; on pose mX = EX0 .
a) Le signal Y = (Yt )t∈R , où pour tout t Yt = 4Xt+1 − 2, est-il stationnaire ? Si oui exprimer la fonction de
corrélation du signal Y en fonction de celle du signal X.
b) On suppose dans cette question que la fonction de corrélation du signal X est γX (τ ) = exp{− |τ |}. Le
signal Z = (Zt )t∈R , où pour tout t Zt = 2Xt + 3X2 , est-il stationnaire ? Si oui exprimer la fonction de
corrélation du signal Z en fonction de celle du signal X.
c) Soit Y = (Yt )t∈R un signal aléatoire stationnaire tel que pour tout couple (s, t) ∈ R2 les variables Xs et Yt
soient indépendantes. Montrer que le signal somme Z = (Zt )t∈R défini parZt = Xt + Yt est stationnaire.
Exercice 6
Soient A et B deux variables aléatoires réelles indépendantes, A ayant pour loi la loi uniforme sur [0, 1]
U0,1 et B prenant les valeurs −1 et 1 avec probabilités 1/2. On pose pour tout réel t Xt = B exp{−4iπAt}.
a) Montrer que le signal (Xt )t∈R est stationnaire.
b) Donner la fonction de corrélation du signal.
c) Quelle est la puissance du signal ?
d) Déterminer la densité spectrale du signal.
Exercice 7
Soit X = (Xt )t∈R un signal aléatoire stationnaire de fonction de corrélation γ et de densité spectrale ΓX .
Soit d un réel et Y = (Yt )t∈R le signal défini par Yt = Xt + Xt−d .
a) Montrer que le signal Y est stationnaire.
b) Exprimer la fonction de corrélation γY du signal Y en fonction de γX .
c) Que vaut la puissance PY du signal Y ? Pourquoi peut-on affirmer que PY ∈ [0, 4γX (0)].
d) Exprimer la densité spectrale du signal Y en fonction de celle du signal X. On pourra utiliser l’égalité
1 + cos(2θ) = 2 cos2 (θ).
e) On suppose que ΓX (ν) = sinc2 (πdν). Calculer explicitement ΓY , puis γY . On rappelle que 2 sin(θ) cos(θ) =
sin(2θ).
Exercice 8
a) Déterminer la transformée de Fourier de l’application γ(τ ) = 1[−T,T ] (τ ), puis montrer que γ n’est pas une
fonction de corrélation.
b) Montrer que l’application γ(τ ) = |τ | exp{− |τ |} n’est pas une fonction de corrélation.
Exercice 9
On se donne des variables aléatoires Y1 , Y2 , Z1 et Z2 globalement indépendantes. On suppose que les
variables Z1 et Z2 suivent une loi uniforme U[−1,1] , et que les variables Y1 et Y2 suivent une loi de densité
h(x) = 21 exp{−|x|}. On définit un signal aléatoire X = (Xt )t∈R par
r
3
Xt =
[Z1 exp{−2iπtY1 } + Z2 exp{−2iπtY2 }].
2
a) Montrer que le signal X est stationnaire.
b) Déterminer sa fonction de corrélation et sa puissance.
c) Déterminer la densité spectrale du signal.
Exercice 10
On considère un signal stationnaire X = (Xt )t∈R dont la densité spectrale ΓX est l’application constante
1
égale à 14 . Ce signal est transformé par un filtre linéaire de réponse percussionnelle h = 2T
IT , où IT désigne
la fonction indicatrice de l’intervalle [−T, T ], T > 0. On note Y = (Yt )t∈R le signal transformé du signal X
par ce filtre.
a) Déterminer la fonction de transfert du filtre.
b) Déterminer la densité spectrale du signal Y .
c) Quelle est la fonction de corrélation du signal Y ?
d) Quelle est la puissance du signal Y ?
Exercice 11
Soient A et B deux variables réelles indépendantes ayant pour loi la loi uniforme sur [0, 1] U0,1 . On pose
pour tout réel t Xt = exp{2iπ[At + B]}.
a) Montrer que le signal (Xt )t∈R est stationnaire.
b) Déterminer la densité spectrale du signal et sa puissance.
c) Le signal est-il ergodique ?
Exercice 12
1) Soit γZ la fonction de corrélation d’un signal stationnaire Z. Indiquer pourquoi si γZ (0) = 0 alors on a
pour tout réel t γZ (t) = 0.
2) Soit X = (Xt )t∈R un signal stationnaire de fonction de corrélation γX . On note mX la valeur commune des
espérances EXt .
On suppose qu’il existe un réel strictement positif T0 pour lequel γX (T0 ) = γX (0).
On définit un signal Y = (Yt )t∈R en posant pour tout réel t Yt = Xt+T0 − Xt .
a) Que vaut γX (−T0 ) ?
b) Montrer que le signal Y est stationnaire.
c) Exprimer la fonction de corrélation γY du signal Y en fonction de γX .
d) Montrer que γY (0) = 0.
e) ) En déduire que pour tout entier relatif k ∈ Z on a γX (kT0 ) = γX (0).
Exercice 13
Soit (Xt )t∈R un signal aléatoire complexe stationnaire de fonction de corrélation γ. On suppose qu’il
existe un réel T0 > 0 tel que γ(0) = γ(T0 ). On veut montrer que l’application γ est périodique de période T0 .
Première méthode
1. Utiliser l’inégalité de Cauchy-Schwarz pour montrer que pour tous réels t et τ on a :
2
E (Xt+τ +T0 − Xt+τ )Xt = 0.
h
i
2. Déduire de l’égalité E (Xt+τ +T0 − Xt+τ )Xt = 0 que γ(τ + T0 ) = γ(τ ), i.e. que γ est périodique.
Deuxième méthode
a) Soit Y = Xt+T0 − Xt ; calculer EY et E |Y |2 . En déduire que Xt+T0 = Xt presque partout.
b) Conclure que pour tout réel τ on a γ(τ + T0 ) = γ(τ ).
Exercice 14
Soit (Xt )t∈R un signal aléatoire stationnaire, réel et centré, de fonction de corrélation γ non nulle.
1) On se donne un réel t0 et un réel θ > 0 et on essaye de prédire la valeur Xt0 +θ du processus au temps t0 +θ
à partir de sa valeur Xt0 au temps t0 . On utilise comme estimateur de Xt0 +θ la variable λXt0 , où λ est un réel à
déterminer. On appellera erreur de prédiction (ou erreur quadratique moyenne) le réel ε2 = E |Xt0 +θ − λXt0 |2 .
a) Calculer explicitement l’erreur de prédiction.
b) Déterminer le réel λ0 qui minimise l’erreur de prédiction.
2) Etant donnés un réel T > 0 et un entier n ≥ 2, on cherche à estimer la valeur XnT +θ du processus à l’instant
nT + θ à partir des valeurs du processus échantillonné aux instants T, 2T, ..., nT . L’estimateur utilisé est de
la forme Y = λ1 XT + λ2 X2T + ... + λn XnT , où λ1 , ..., λn sont des réels que l’on déterminera en minimisant
l’erreur de prédiction ε2 = E |XnT +θ − Y |2 .
γ(t)
Pour cela on pose : Λ = (λ1 , ..., λn ), A = (XT , X2T , .., XnT ), ρ(t) = γ(0)
, G = (gij )i,j=1,...,n , où gij = ρ[(j−i)T ]
t
et Φ est le vecteur colonne dont le transposé est Φ = (ρ[(n − 1)T + θ], ρ[(n − 2)T + θ], ..., ρ(θ)).
Avec ces notations Y = λ1 XT + λ2 X2T + ... + λn XnT = Λ ×t A.
a) Montrer que ε2 = ρ(0)[1 − 2ΛΦ + ΛGt Λ].
b) Calculer les n dérivées partielles par rapport aux variables λ1 , λ2 , ..., λn .
c) Monter que le système obtenu en égalant à 0 les n dérivées partielles calculées en b) peut s’écrire −Φ+Gt Λ =
0.
d) En déduire le vecteur optimal Λ0 .
Exercice 15
Soit X = (Xt )t∈R un signal aléatoire stationnaire centré. On définit un signal Y = (Yt )t∈R par la formule :
Rt
Yt (ω) = T1 t−T Xu (ω)du, où T est un réel > 0.
1. Montrer que Y est le transformé de X par un filtre linéaire dont on précisera la fonction de transfert H.
Tracer le graphe de |H|. Ce filtre est appelé un filtre moyenneur.
2. On suppose que la densité spectrale de X est l’application Γ = k1[−a,a] . Quelle est la fonction de corrélation de X ?
3. Déterminer la densité spectrale du signal Y .
4. Quelle est la puissance du signal Y ?
5. Calculer explicitement la puissance dans le cas où aT 10 (ce qui permet de remplacer l’intégrale entre
−a et a par une intégrale entre −∞ et +∞).
R +∞
6. Montrer que pour tout T > 0 T −∞ sinc2 (πT ν)dν = 1. Déterminer les limites
Z +a
Z +a
2
lim T
sinc (πT ν)dν et lim T
sinc2 (πT ν)dν.
T →+∞
Valeurs numériques :
R 10
−10
T →0
−a
sinc2 (πx)dx ' 0.989873 et
R 20
−20
−a
sinc2 (πx)dx ' 0.9949346.
Exercice 16
Soit X = (Xt )t∈R un signal aléatoire stationnaire gaussien, réel et centré. On suppose que X est un bruit
blanc de densité spectrale constante égale à k. OnRnote Y = (Yt )t∈R le signal obtenu par filtrage par le filtre
t
moyenneur de paramètre T , i.e. donné par Yt = T1 t−T Xu du.
a) Calculer la densité spectrale de Y .
b) En déduire la fonction de corrélation de Y .
c) Calculer la fonction d’intercorrélation entre X et Y .
d) Quelle est la loi de Yt ?
Exercice 17
Soient X = (Xt )t∈R et Y = (Yt )t∈R deux signaux aléatoires indépendants, stationnaires et centrés, ayant
même densité spectrale Γ = k1[−a,a] .
a) Soit V = (Vt )t∈R le signal Vt = Xt cos(ωt), avec ω > 2πa. Calculer la fonction de corrélation de V . Le
signal V est-il stationnaire ?
b) Mêmes questions pour le signal W = (Wt )t∈R donné par Wt = Yt sin(ωt), avec ω > 2πa.
c) Montrer que le signal Zt = Vt + Wt est stationnaire.
Exercice 18
Soient X et Y des variables aléatoires réelles indépendantes, X suivant une loi U−2,2 (donc EX 2 = V X =
4
) et Y une loi ayant pour densité sur R l’application f (x) = 12 e−|x| . On définit un signal aléatoire Z = (Zt )t∈R
3
en posant pour tout réel t Zt = X exp{−2iπtY }. Soit g l’application définie pour tout réel τ par g(τ ) = e−|τ | .
a) Montrer que le signal est stationnaire.
b) Déterminer la fonction de corrélation du signal ainsi que sa puissance.
c) Montrer que la densité spectrale du signal s’écrit ΓZ = ag, où a est un réel.
d) On appelle W = (Wt )t∈R le signal transformé du signal Z par le filtre de convolution de réponse percussionnelle h(τ ) = 9+4π6 2 τ 2. . Déterminer la densité spectrale ΓW du signal W .
e) Déterminer la fonction de corrélation du signal W .
Exercice 19
Soit X = (Xt )t∈R un signal stationnaire de fonction de corrélation γX (τ ) = e−2|τ | . Ce signal est transformé
par un filtre de réponse percussionelle h(x) = e−x 1[0,+∞[ (x). On note Y = (Yt )t∈R le signal transformé de X
par ce filtre.
1. Quelle est la fonction de transfert du filtre ?
2. Déterminer la densité spectrale du signal X.
3. Montrer que la densité spectrale du signal Y s’écrit ΓY (ν) = 13 [ 1+4π4 2 ν 2 − 1+π12 ν 2 ].
4. Déterminer la fonction de corrélation du signal Y .
Exercice 20
On définit un signal X = (Xt )t∈R par Xt = exp{−2iπ[A+tB]}, où les variables A et B sont indépendantes,
A ayant une densité f (x) = 1[0,1] (x) et B une loi normale N (0, 1).
1. Montrer que le signal X est stationnaire.
2. Donner la fonction de corrélation du signal X.
3. On transforme ce signal par un filtre de convolution de réponse percusssionnelle h(t) = exp{−π 2 t2 }, et
on appelle Y = (Yt )t∈R le signal transformé du signal X par ce filtre. Peut-on calculer pour tout ω ∈ Ω
et tout réel t la valeur de Yt (ω) ?
4. Déterminer la fonction de corrélation du signal Y .
Exercice 21
On considère deux variables aléatoires réelles indépendantes Y et Z. La variable Y admet pour densité
l’application
fY (y) = 12 1[−1,1] (y).
On définit un signal aléatoire X par : ∀t ∈ R Xt = exp{2iπ(Y + tZ)}.
R +∞
sinc2 (2πt)dt.
R +∞
L’application positive g(x) = 1c sinc2 (2πx) vérifie −∞ g(t)dt = 1 ; c’est donc une densité de probabilité.
a) En utilisant le formulaire, calculer c =
−∞
b) On suppose que la variable Z a pour densité l’application g. Montrer que le signal X est stationnaire.
c) Calculer la fonction de corrélation de X.
d) Déterminer la densité spectrale du signal X.
e) On appelle W = (Wt )t∈R le signal transformé du signal X par le filtre de réponse percussionnelle h(t) =
1[−1,1] (t). Déterminer la densité spectrale du signal W ainsi que sa puissance.
f) Indiquer comment on pourrait calculer la fonction de corrélation du signal W .
Exercice 22
Un signal aléatoire stationnaire X = (Xt )t∈R est transformé par un filtre de convolution de réponse
percussionnelle h et fonction de transfert H en un signal Y = (Yt )t∈R . Sachant que pour tout réel τ γX (τ ) =
20
1
et γY (τ ) = 25+4π
2 τ 2 , et que pour tout réel ν H(ν) > 0, déterminer h et H.
1+4π 2 τ 2
Exercice 23
R +∞
1. Soitf (x) = exp{− |x|}. Donner la valeur de c = −∞ f (x)dx.
R +∞
L’application h = 1c f est une densité de probabilité puisque −∞ h(x)dx = 1.
On définit un signal aléatoire Z = (Zt )t∈R en posant pour tout réel t Zt = exp{−2iπ[Y + tX]}, où
les variables X et Y sont indépendantes, Y suivant une loi de densité g(x) = 18 1[−4,4] (x) et X une loi de
densité h.
2. Montrer que le signal Z est stationnaire.
3. Déterminer la fonction de corrélation du signal Z, puis sa densité spectrale. Vérifier que ΓZ (ν) =
a exp{−|ν|}, où a ∈ [0, +∞[.
4. On appelle U = (Ut )t∈R le signal transformé du signal Z par un filtre de convolution de réponse percus4
sionnelle h(t) = 4+4π
2 t2 . Déterminer la fonction de transfert H du filtre.
5. Déterminer la densité spectrale du signal U , puis sa fonction de corrélation.
6. Retrouver les résultats de la question précédent en calculant Ut par un produit de convolution.
A
Quelques formules trigonométriques
1. sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
2. sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b
3. cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
4. cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b
5. sin 2x = 2 sin x cos x
6. cos 2x = cos2 x − sin2 x = 2 cos2 x − 1 = 1 − 2 sin2 x
7. cos p cos q = 12 cos(p + q) + cos(p − q)
8. sin p cos q = 12 sin(p + q) + sin(p − q)
9. sin p sin q = 12 cos(p − q) − cos(p + q)
10. tan 2x =
2 tan x
1−tan2 x
=
2 cot x
cot2 x−1
=
2
cot x−tan x