ENSISA 2013-2014 Signaux aléatoires Travaux dirigés

ENSISA 2013-2014
Signaux aléatoires
Travaux dirigés
Exercice 1
Soient Aet Bdeux variables aléatoires réelles indépendantes , ayant pour loi la loi normale centrée
réduite N(0,1), et µun réel non nul. On définit trois processus par :
Xt=Acos(µt), Yt=Bsin(µt)et Zt=Xt+Yt.
Calculer la moyenne et la covariance des ces processus. Sont-ils stationnaires ?
Exercice 2
Soient Aet Bdeux variables aléatoires complexes centrées. On définit trois signaux aléatoires
Xt=Aexp{iλt}, Yt=Bexp{iµt}et Zt=Xt+Yt,
où λet µsont des réels distincts.
1. Montrer que les signaux Xet Ysont stationnaires.
2. On suppose que λ= 0 et µ= 1, et que A=B,Asuivant une loi N(0,1). Montrer que le signal Zn’est
pas stationnaire.
3. Montrer que si E(AB)=0le signal Zest stationnaire. On suppose que cette condition est satisfaite
dans la suite.
4. Calculer la fonction de corrélation γdu signal.
Exercice 3
Soit Aet θdes variables aléatoires réelles indépendantes, Asuivant la loi N(0,1) et θla loi uniforme sur
l’intervalle [0,2π], notée U0,2π.
1. Calculer la moyenne et la covariance du processus Xt=Acos[2πat +θ], où aest un réel. Le processus
est-il stationnaire ?
2. Montrer que le signal Yt= cos[2πat+θ]est stationnaire et ergodique. Calculer sa puissance et déterminer
son spectre de puissance.
Exercice 4
1. Soient f1, ..., fndes applications de Rdans Rnulles en dehors d’un intervalle [−N, N], où N∈N∗
+.
Montrer que
+∞
Z
−∞
(f1∗... ∗fn)(x)dx =
n
Y
i=1
+∞
Z
−∞
fi(x)dx.
2. On pose g(x) = 1− |t|1[−1,1](t), et h=g∗g∗g. Montrer que hest une densité de probabilité.
1

3. On considère une variable aléatoire réelle Ade densité 1[0,1], et une variable aléatoire réelle Bde densité
h. On définit un signal aléatoire Xpar
∀t∈RXt= exp{2iπ(A+tB)}.
Montrer que le signal Xest stationnaire.
4. Déterminer la fonction de corrélation et la densité spectrale du signal.
Exercice 5
Soit X= (Xt)t∈Run signal aléatoire stationnaire de fonction de corrélation γX; on pose mX=EX0.
a) Le signal Y= (Yt)t∈R, où pour tout t Yt= 4Xt+1 −2, est-il stationnaire ? Si oui exprimer la fonction de
corrélation du signal Yen fonction de celle du signal X.
b) On suppose dans cette question que la fonction de corrélation du signal Xest γX(τ) = exp{− |τ|}. Le
signal Z= (Zt)t∈R, où pour tout t Zt= 2Xt+ 3X2, est-il stationnaire ? Si oui exprimer la fonction de
corrélation du signal Zen fonction de celle du signal X.
c) Soit Y= (Yt)t∈Run signal aléatoire stationnaire tel que pour tout couple (s, t)∈R2les variables Xset Yt
soient indépendantes. Montrer que le signal somme Z= (Zt)t∈Rdéfini parZt=Xt+Ytest stationnaire.
Exercice 6
Soient Aet Bdeux variables aléatoires réelles indépendantes, Aayant pour loi la loi uniforme sur [0,1]
U0,1et Bprenant les valeurs −1et 1avec probabilités 1/2. On pose pour tout réel t Xt=Bexp{−4iπAt}.
a) Montrer que le signal (Xt)t∈Rest stationnaire.
b) Donner la fonction de corrélation du signal.
c) Quelle est la puissance du signal ?
d) Déterminer la densité spectrale du signal.
Exercice 7
Soit X= (Xt)t∈Run signal aléatoire stationnaire de fonction de corrélation γet de densité spectrale ΓX.
Soit dun réel et Y= (Yt)t∈Rle signal défini par Yt=Xt+Xt−d.
a) Montrer que le signal Yest stationnaire.
b) Exprimer la fonction de corrélation γYdu signal Yen fonction de γX.
c) Que vaut la puissance PYdu signal Y? Pourquoi peut-on affirmer que PY∈[0,4γX(0)].
d) Exprimer la densité spectrale du signal Yen fonction de celle du signal X. On pourra utiliser l’égalité
1 + cos(2θ) = 2 cos2(θ).
e) On suppose que ΓX(ν) = sinc2(πdν). Calculer explicitement ΓY, puis γY. On rappelle que 2 sin(θ) cos(θ) =
sin(2θ).
Exercice 8
a) Déterminer la transformée de Fourier de l’application γ(τ) = 1[−T,T ](τ), puis montrer que γn’est pas une
fonction de corrélation.
b) Montrer que l’application γ(τ) = |τ|exp{− |τ|} n’est pas une fonction de corrélation.
Exercice 9
On se donne des variables aléatoires Y1,Y2,Z1et Z2globalement indépendantes. On suppose que les
variables Z1et Z2suivent une loi uniforme U[−1,1], et que les variables Y1et Y2suivent une loi de densité
h(x) = 1
2exp{−|x|}. On définit un signal aléatoire X= (Xt)t∈Rpar
Xt=r3
2[Z1exp{−2iπtY1}+Z2exp{−2iπtY2}].
2

a) Montrer que le signal Xest stationnaire.
b) Déterminer sa fonction de corrélation et sa puissance.
c) Déterminer la densité spectrale du signal.
Exercice 10
On considère un signal stationnaire X= (Xt)t∈Rdont la densité spectrale ΓXest l’application constante
égale à 1
4. Ce signal est transformé par un filtre linéaire de réponse percussionnelle h=1 2TIT, où ITdésigne
la fonction indicatrice de l’intervalle [−T, T ],T > 0. On note Y= (Yt)t∈Rle signal transformé du signal X
par ce filtre.
a) Déterminer la fonction de transfert du filtre.
b) Déterminer la densité spectrale du signal Y.
c) Quelle est la fonction de corrélation du signal Y?
d) Quelle est la puissance du signal Y?
Exercice 11
Soient Aet Bdeux variables réelles indépendantes ayant pour loi la loi uniforme sur [0,1] U0,1. On pose
pour tout réel t Xt= exp{2iπ[At +B]}.
a) Montrer que le signal (Xt)t∈Rest stationnaire.
b) Déterminer la densité spectrale du signal et sa puissance.
c) Le signal est-il ergodique ?
Exercice 12
1) Soit γZla fonction de corrélation d’un signal stationnaire Z. Indiquer pourquoi si γZ(0) = 0 alors on a
pour tout réel t γZ(t)=0.
2) Soit X= (Xt)t∈Run signal stationnaire de fonction de corrélation γX. On note mXla valeur commune des
espérances EXt.
On suppose qu’il existe un réel strictement positif T0pour lequel γX(T0) = γX(0).
On définit un signal Y= (Yt)t∈Ren posant pour tout réel t Yt=Xt+T0−Xt.
a) Que vaut γX(−T0)?
b) Montrer que le signal Yest stationnaire.
c) Exprimer la fonction de corrélation γYdu signal Yen fonction de γX.
d) Montrer que γY(0) = 0.
e) ) En déduire que pour tout entier relatif k∈Zon a γX(kT0) = γX(0).
Exercice 13
Soit (Xt)t∈Run signal aléatoire complexe stationnaire de fonction de corrélation γ. On suppose qu’il
existe un réel T0>0tel que γ(0) = γ(T0). On veut montrer que l’application γest périodique de période T0.
Première méthode
1. Utiliser l’inégalité de Cauchy-Schwarz pour montrer que pour tous réels tet τon a :
E(Xt+τ+T0−Xt+τ)Xt
2= 0.
2. Déduire de l’égalité Eh(Xt+τ+T0−Xt+τ)Xti= 0 que γ(τ+T0) = γ(τ), i.e. que γest périodique.
Deuxième méthode
a) Soit Y=Xt+T0−Xt; calculer EY et E|Y|2. En déduire que Xt+T0=Xtpresque partout.
3

b) Conclure que pour tout réel τon a γ(τ+T0) = γ(τ).
Exercice 14
Soit (Xt)t∈Run signal aléatoire stationnaire, réel et centré, de fonction de corrélation γnon nulle.
1) On se donne un réel t0et un réel θ > 0et on essaye de prédire la valeur Xt0+θdu processus au temps t0+θ
à partir de sa valeur Xt0au temps t0. On utilise comme estimateur de Xt0+θla variable λXt0, où λest un réel à
déterminer. On appellera erreur de prédiction (ou erreur quadratique moyenne) le réel ε2=E|Xt0+θ−λXt0|2.
a) Calculer explicitement l’erreur de prédiction.
b) Déterminer le réel λ0qui minimise l’erreur de prédiction.
2) Etant donnés un réel T > 0et un entier n≥2, on cherche à estimer la valeur XnT +θdu processus à l’instant
nT +θà partir des valeurs du processus échantillonné aux instants T, 2T, ..., nT . L’estimateur utilisé est de
la forme Y=λ1XT+λ2X2T+... +λnXnT , où λ1, ..., λnsont des réels que l’on déterminera en minimisant
l’erreur de prédiction ε2=E|XnT +θ−Y|2.
Pour cela on pose : Λ=(λ1, ..., λn),A= (XT, X2T, .., XnT ),ρ(t) = γ(t)
γ(0) ,G= (gij )i,j=1,...,n, où gij =ρ[(j−i)T]
et Φest le vecteur colonne dont le transposé est tΦ = (ρ[(n−1)T+θ], ρ[(n−2)T+θ], ..., ρ(θ)).
Avec ces notations Y=λ1XT+λ2X2T+... +λnXnT = Λ ×tA.
a) Montrer que ε2=ρ(0)[1 −2ΛΦ + ΛGtΛ].
b) Calculer les ndérivées partielles par rapport aux variables λ1, λ2, ..., λn.
c) Monter que le système obtenu en égalant à 0les ndérivées partielles calculées en b) peut s’écrire −Φ+GtΛ =
0.
d) En déduire le vecteur optimal Λ0.
Exercice 15
Soit X= (Xt)t∈Run signal aléatoire stationnaire centré. On définit un signal Y= (Yt)t∈Rpar la formule :
Yt(ω) = 1
TRt
t−TXu(ω)du, où Test un réel >0.
1. Montrer que Yest le transformé de Xpar un filtre linéaire dont on précisera la fonction de transfert H.
Tracer le graphe de |H|. Ce filtre est appelé un filtre moyenneur.
2. On suppose que la densité spectrale de Xest l’application Γ = k1[−a,a]. Quelle est la fonction de corré-
lation de X?
3. Déterminer la densité spectrale du signal Y.
4. Quelle est la puissance du signal Y?
5. Calculer explicitement la puissance dans le cas où aT 10 (ce qui permet de remplacer l’intégrale entre
−aet apar une intégrale entre −∞ et +∞).
6. Montrer que pour tout T > 0TR+∞
−∞ sinc2(πT ν)dν = 1. Déterminer les limites
lim
T→+∞TZ+a
−a
sinc2(πT ν)dν et lim
T→0TZ+a
−a
sinc2(πT ν)dν.
Valeurs numériques : R10
−10 sinc2(πx)dx '0.989873 et R20 −20 sinc2(πx)dx '0.9949346.
Exercice 16
Soit X= (Xt)t∈Run signal aléatoire stationnaire gaussien, réel et centré. On suppose que Xest un bruit
blanc de densité spectrale constante égale à k. On note Y= (Yt)t∈Rle signal obtenu par filtrage par le filtre
moyenneur de paramètre T, i.e. donné par Yt=1
TRt
t−TXudu.
a) Calculer la densité spectrale de Y.
b) En déduire la fonction de corrélation de Y.
4

c) Calculer la fonction d’intercorrélation entre Xet Y.
d) Quelle est la loi de Yt?
Exercice 17
Soient X= (Xt)t∈Ret Y= (Yt)t∈Rdeux signaux aléatoires indépendants, stationnaires et centrés, ayant
même densité spectrale Γ = k1[−a,a].
a) Soit V= (Vt)t∈Rle signal Vt=Xtcos(ωt), avec ω > 2πa. Calculer la fonction de corrélation de V. Le
signal Vest-il stationnaire ?
b) Mêmes questions pour le signal W= (Wt)t∈Rdonné par Wt=Ytsin(ωt), avec ω > 2πa.
c) Montrer que le signal Zt=Vt+Wtest stationnaire.
Exercice 18
Soient Xet Ydes variables aléatoires réelles indépendantes, Xsuivant une loi U−2,2(donc EX2=V X =
4
3) et Yune loi ayant pour densité sur Rl’application f(x) = 1 2e−|x|. On définit un signal aléatoire Z= (Zt)t∈R
en posant pour tout réel t Zt=Xexp{−2iπtY }. Soit gl’application définie pour tout réel τpar g(τ) = e−|τ|.
a) Montrer que le signal est stationnaire.
b) Déterminer la fonction de corrélation du signal ainsi que sa puissance.
c) Montrer que la densité spectrale du signal s’écrit ΓZ=ag, où aest un réel.
d) On appelle W= (Wt)t∈Rle signal transformé du signal Zpar le filtre de convolution de réponse percus-
sionnelle h(τ) = 6
9+4π2τ2.. Déterminer la densité spectrale ΓWdu signal W.
e) Déterminer la fonction de corrélation du signal W.
Exercice 19
Soit X= (Xt)t∈Run signal stationnaire de fonction de corrélation γX(τ) = e−2|τ|. Ce signal est transformé
par un filtre de réponse percussionelle h(x) = e−x1[0,+∞[(x). On note Y= (Yt)t∈Rle signal transformé de X
par ce filtre.
1. Quelle est la fonction de transfert du filtre ?
2. Déterminer la densité spectrale du signal X.
3. Montrer que la densité spectrale du signal Ys’écrit ΓY(ν) = 1
3[4 1+4π2ν2−1 1+π2ν2].
4. Déterminer la fonction de corrélation du signal Y.
Exercice 20
On définit un signal X= (Xt)t∈Rpar Xt= exp{−2iπ[A+tB]}, où les variables Aet Bsont indépendantes,
Aayant une densité f(x) = 1[0,1](x)et Bune loi normale N(0,1).
1. Montrer que le signal Xest stationnaire.
2. Donner la fonction de corrélation du signal X.
3. On transforme ce signal par un filtre de convolution de réponse percusssionnelle h(t) = exp{−π2t2}, et
on appelle Y= (Yt)t∈Rle signal transformé du signal Xpar ce filtre. Peut-on calculer pour tout ω∈Ω
et tout réel tla valeur de Yt(ω)?
4. Déterminer la fonction de corrélation du signal Y.
Exercice 21
On considère deux variables aléatoires réelles indépendantes Yet Z. La variable Yadmet pour densité
l’application
fY(y) = 1
21[−1,1](y).
On définit un signal aléatoire Xpar : ∀t∈RXt= exp{2iπ(Y+tZ)}.
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